初一数学第七章三角形

B
C
第七章 三角形
认识三角形
1．三角形的概念
由不在同一直线上的三条线段首尾顺次连结所组成的图形叫做三角形 要点：①三条线段；②不在同一直线上；③首尾顺次相接． 2．三角形的表示
通常用三个大写字母表示三角形的顶点，如用A 、B 、C 表示三角形的三个顶点时，此三角形可记作△ABC ，其中线段AB 、BC 、AC 是三角形的三条边，∠A 、∠B 、∠C 分别表示三角形的三个内角． 3．三角形中的三种重要线段
三角形的角平分线、中线、高线是三角形中的三种重要线段．
1）三角形的角平分线：三角形一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线． 注意：①三角形的角平分线是一条线段，可以度量，而角的平分线是经过角的顶点且平分此角的一条射线．
②三角形有三条角平分线且相交于一点，这一点一定在三角形的内部．
③三角形的角平分线画法与角平分线的画法相同，可以用量角器画，也可通过尺规作图来画．
2）三角形的中线：在一个三角形中，连结一个顶点和它的对边中点的线段叫做三角形的中线．
注意：①三角形有三条中线，且它们相交三角形内部一点．②画三角形中线时只需连结顶点及对边的中点即可．
3）三角形的高线：从三角形一个顶点向它的对边作垂线，顶点和垂足间的限度叫做三角形的高线，简称三角形的高． 注意：①三角形的三条高是线段②画三角形的高时，只需要向对边或对边的延长线作垂线，连结顶点与垂足的线段就是该边上的高．
练习：1、图中共有（ ）个三角形。

A ：5 B ：6 C ：7 D ：8
2、如图，AE ⊥BC ，BF ⊥AC ，CD ⊥AB ，则△ABC 中AC 边上的高是（ ） A ：AE B ：CD C ：BF D ：AF
3、三角形一边上的高（ ）。

A ：必在三角形内部
B ：必在三角形的边上
C ：必在三角形外部
D ：以上三种情况都有可能
4、能将三角形的面积分成相等的两部分的是（ ）。

A ：三角形的角平分线
B ：三角形的中线
C ：三角形的高线
D ：以上都不对 6、具备下列条件的三角形中，不是直角三角形的是（ ）。

A ：∠A+∠B=∠C B ：∠A=∠B=
1
2
∠C C ：∠A=90°-∠B D ：∠A-∠B=90 7、一个三角形最多有 个直角，有 个钝角，有 个锐角。

8、△ABC 的周长是12 cm ，边长分别为a ，b , c , 且 a=b+1 , b=c+1 ， 则a= cm , b= cm , c= cm 。

三角形的内、外角和定理及其推论的应用
1.三角形的一个外角等于 两个内角的和；
2.三角形三角形的一个外角 任何一个与它不相邻的内角
3. 三角形的内角和 三角形的外角和等于
练习：1、三角形的三个外角中，钝角最多有（ ）。

A ：1个
B ： 2个
C ：3 个
D ： 4 个 2、下列说法错误的是（ ）。

A ：一个三角形中至少有两个锐角
B ：一个三角形中，一定有一个外角大于其中的一个内角
C ：在一个三角形中至少有一个角大于60°
D ：锐角三角形，任何两个内角的和均大于90° 3、一个三角形的外角恰好等于和它相邻的内角，则这个三角形是（ ）。

A ：锐角三角形 B ：直角三角形 C ：钝角三角形 D ：不能确定 4、直角三角形两锐角的平分线相交所成的钝角是（ ）。

A ：120° B ： 135° C ：150° D ： 165°
A C
D
E
A
B D A
B C
D 5、△ABC 中，B C A ∠=∠=∠3,1000
，则.___________=∠B
6、在△ABC 中，∠A=100°，∠B-∠C=40°，则∠B= ，∠C= 。

7、如图1，∠B=50°，∠C=60°，AD 为△ABC 的角平分线，求∠ADB 的度数。

9、已知：如图3，AE ∥BD ，∠B=28°，∠A=95°，求∠C 的度数。

图1 图3
三角形三边关系的应用
三角形的任何两边的和 第三边. 三角形的任何两边的差 第三边.
练习：1、以下列线段为边不能组成等腰三角形的是（ ）。

A ：2、2、4
B ：6、3、6
C ：4、4、5
D ：1、1、1
2、现有两根木棒，它们的长度分别为40 cm 和50 cm ，若要钉成一个三角架，则在下列四根棒中应选取（ ）。

A ：10 cm 的木棒 B ：40 cm 的木棒 C ：90 cm 的木棒 D ：100 cm 的木棒
3、三条线段a=5,b=3,c 为整数，从a 、b 、c 为边组成的三角形共有（ ）. A ：3个 B ：5个 C ：无数多个 D ： 无法确定
4、在△ABC 中，a=3x ，b=4x ，c=14 ，则 x 的取值范围是（ ）。

A ：2<x<14 B: x>2 C: x<14 D: 7<x<14
5、如果三角形的三边长分别为 m-1, m , m+1 (m 为正数)，则m 的取值范围是（ ）。

A ：m>0 B: m>-2 C: m >2 D: m < 2
6、等腰三角形的两边长为25cm 和12cm ，那么它的第三边长为 cm 。

7、工人师傅在做完门框后．为防变形常常像图4中所示的那样上两条斜拉的木条 这样做根据的数学道理是 。

8、已知一个三角形的周长为15 cm ，且其中的两边都等于第三边的2倍，求这个三角形的最短边。

9、如果a ,b ,c 为三角形的三边，且2
2()
()0a b a c b c -+-+-=，试判断这个三角形的形状。

10、△ABC 的周长为24，BC=10，AD 是△ABC 的中线，且被分得的两个三角形的周长差为2，求AB 和AC 的长。

多边形的内、外角和定理的综合应用
n 边形的内角和为_________________；正n 边形的单个内角为 任意多边形的外角和都为________；正n 边形的单个外角为
1、若四边形的四个内角大小之比为1：2：3：4，则这四个内角的大小为 。

2、如果六边形的各个内角都相等，那么它的一个内角是 。

3、在各个内角都相等的多边形中，一个外角等于一个内角的
1
3
，则这个多边形的每个内角为 度。

4、（n+1）边形的内角和比n 边形的内角和大（ ）。

A ： 180° B ： 360° C ：n ×180° D: n ×360° 5、n 边形的内角中，最多有（ ）个锐角。

A ：1个 B ： 2 个 C ： 3个 D ： 4个 7、若多边形内角和分别为下列度数时，试分别求出多边形的边数。

① 1260° ② 2160°
8、已知n 边形的内角和与外角和之比为9:2，求n 。

知识回顾
1．等腰三角形的边长为1和2，那么它的周长为（ ）A 、5 B 、4 C 、5或4 D 、以上都不对 2．在三角形的三个外角中，锐角最多只有（ ）A 、3个 B 、2个 C 、1个 D 、0个 3．（n+1）边形的内角和比n 边形的内角和大（ ）A 、180° B 、360° C 、n ·180° D 、n ·360° 4．将一个正方形桌面砍下一个角后，桌子剩下的角的个数是（ ）A 、3个B 、4个C 、5个 D 、3个或4个或5个 5．如图，把△ABC 纸片沿DE 折叠，当点A 落在四边形BCDE 内部时，则∠A 与
∠1+∠2之间有一种数量关系始终保持不变，试着找一找这个规律，你发现的规律是（ ） A 、∠1+∠2=2∠A
B 、∠1+∠2=∠A
C 、∠A=2（∠1+∠2）
D 、∠1+∠2=
2
1
∠A 二、潜心填空
6．木工师傅做完房门后，为防止变形钉上两条斜拉的木条这样做的根据是 三角形的稳定性 7．某一个三角形的外角中有一个角是锐角，那么这个三角形是 钝角三角形
8．一个多边形的内角和是外角和的一半，则它的边数是 3
9．如图，正方形ABCD 中，截去∠B 、∠D 后，∠1、∠2、∠3、∠4的和为 540º 三、解答题
10．如图直线AD 和BC 相交于O ，AB ∥CD ，∠AOC=95°，∠B=50°，求∠A 和∠D 。

∠D=∠A=45º
11．如图，已知△ABC ，D 在BC 的延长线上，E 在CA 的延长线上，F 在AB 上，试比较∠1与∠2的大小。

∠2>∠1
1
2
A
B
C
D E
B
A
C
D 2
13
4
A
B
C D
O
E
A。