高考数学圆锥曲线的定义及应用

圆锥曲线的定义及应用
一、圆锥曲线的定义
1. 椭圆：到两个定点的距离之和等于定长（定长大于两个定点间的距离）的动点的轨
迹叫做椭圆。

即：{P| |PF
1|+|PF
2
|=2a, (2a>|F
1
F
2
|)}。

2. 双曲线：到两个定点的距离的差的绝对值为定值（定值小于两个定点的距离）的动
点轨迹叫做双曲线。

即{P|||PF
1|-|PF
2
||=2a, (2a<|F
1
F
2
|)}。

3. 圆锥曲线的统一定义：到定点的距离与到定直线的距离的比e是常数的点的轨迹叫做
圆锥曲线。

当0<e<1时为椭圆：当e=1时为抛物线；当e>1时为双曲线。

二、圆锥曲线的方程。

1.椭圆：+=1（a>b>0）或+=1（a>b>0）（其中，a2=b2+c2）
2.双曲线：-=1（a>0, b>0）或-=1（a>0, b>0）（其中，c2=a2+b2）
3.抛物线：y2=±2px（p>0），x2=±2py（p>0）
三、圆锥曲线的性质
1.椭圆：+=1（a>b>0）
（1）范围：|x|≤a，|y|≤b
（2）顶点：(±a,0)，(0,±b)
（3）焦点：(±c,0)
（4）离心率：e=∈(0,1)
（5）准线：x=±
2.双曲线：-=1（a>0, b>0）
（1）范围：|x|≥a, y∈R
（2）顶点：(±a,0)
（3）焦点：(±c,0)
（4）离心率：e=∈(1,+∞)
（5）准线：x=±
（6）渐近线：y=±x
3.抛物线：y2=2px(p>0)
（1）范围：x≥0, y∈R
（2）顶点：（0,0）
（3）焦点：（,0）
（4）离心率：e=1
（5）准线：x=-
四、例题选讲：
例1.椭圆短轴长为2，长轴是短轴的2倍，则椭圆中心到准线的距离是__________。

解：由题：2b=2，b=1，a=2，c==，则椭圆中心到准线的距离：=
=。

注意：椭圆本身的性质（如焦距，中心到准线的距离，焦点到准线的距离等等）不受椭
圆的位置的影响。

例2.椭圆+=1的离心率e=，则m=___________。

解：（1）椭圆的焦点在x轴上，a2=m，b2=4，c2=m-4，e2===m=8。

（2）椭圆的焦点在y轴上，a2=4，b2=m，c2=4-m，e2===m=2。

注意：椭圆方程的标准形式有两个，在没有确定的情况下，两种情况都要考虑，切不可
凭主观丢掉一解。

例3.如图：椭圆+=1（a>b>0），F
为左焦点，A、B是两个顶点，P为椭圆上一
1
点，PF 1⊥x 轴，且PO//AB ，求椭圆的离心率e 。

解：设椭圆的右焦点为F 2，由第一定义：|PF 1|+|PF 2|=2a,
∵ PF 1⊥x 轴，∴ |PF 1|2+|F 1F 2|2=|PF 2|2，
即(|PF 2|+|PF 1|)(|PF 2|-|PF 1|)=4c 2,
∴ |PF
1|=。

∵ PO//AB ，∴ ΔPF 1O ∽ΔBOA,
∴ = c=b a=c, ∴ e==。

又解，∵ PF 1⊥x 轴，∴ 设P(-c, y)。

由第二定义：=e |PF 1|=e(x 0+)=(-c+)=,
由上解中ΔPF 1O ∽ΔBOA ，得到b=c e=。

例4.已知F 1，F 2为椭圆+=1的焦点，P 为椭圆上一点，且∠F 1PF 2=，求ΔF 1PF 2
的面积。

分析：要求三角形的面积，可以直接利用三角形的面积公式，注意到椭圆中一些量之间
的关系，我们选用面积公式S=absinC 。

解法一：S Δ=
|PF 1|·|PF 2|·sin |PF 1|+|PF 2|=2a=20，
4×36=4c 2=|F 1F 2|2=|PF 1|2+|PF 2|2-2|PF 1||PF 2|cos ，
即(|PF 1|+|PF 2|)2-3|PF 1||PF 2|=4×36，
|PF 1|·|PF 2|=
∴ S Δ=××=。

解法二：S Δ=|F 1F 2|·|y P |=×12×y P =6|y P |，
由第二定义：=e |PF 1|=a+ex P =10+x P ，
由第一定义：|PF 2|=2a-|PF 1|=10-x P ，
4c 2=|F 1F 2|2=(10+x P )2+(10-x P )2-2(10+x P )(10-x P )cos ，
144=100+=， =64(1-)=64×，
S Δ=6|y P |=6×=。

注意：两个定义联合运用解决问题。

从三角形面积公式均可得到结果。

初学时最好两种
办法都试试。

例5.椭圆+=1 的焦点为F 1和F 2，点P 在椭圆上，若线段PF 1的中点在y 轴上，求：
|PF 1|，|PF 2|。

分析：先要根据题意画出图形，然后根据已知量，将关于|PF 1|，|PF 2|的表达式写出来，
再求解。

解：如图，∵O 为F 1F 2中点，PF 1中点在y 轴上，∴PF 2//y 轴，∴PF 2⊥x 轴，
由第一定义：|PF 1|+|PF 2|=2a=4，
|PF 1|2-|PF 2|2=|F 1F 2|2
，
(|PF 1|-|PF 2|)(|PF 1|+|PF 2|)=4×9=36，。

例6.椭圆：+=1内一点A （2，2），F 1，F 2为焦点，P 为椭圆上一点，求|PA|+|PF 1|
的最值。

解：|PA|+|PF 1|=|PA|+2a-|PF 2|=10+|PA|-|PF 2|≤|AF 2|+10=2
+10，
|PA|+|PF 1|=|PA|+10-|PF 2|=10-(|PF 2|-|PA|)≥10-|AF 2|=10-2。

注意：利用几何图形的性质：三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。

例7.已知：P 为双曲线-=1（a>0, b>0）上一点，F 1，F 2为焦点，A 1，A 2为其顶点。

求证：以PF 1为直径的圆与以A 1，A 2为直径的圆相切。

证明：不妨设P 在双曲线的右支上，设PF 1中点为O ＇, A 1A 2
中点为O ，
|OO ＇|=|PF 2|，圆O 半径为|A 1A 2|，圆O ＇半径为|PF 1|
由双曲线定义：|PF 1|-|PF 2|=|A 1A 2|
|PF 1|-|A 1A 2|=|PF 2|=|OO'|
∴ 两个圆相内切。

注意：可以自己证出P 在左支时，两圆相外切。

例8.已知：过抛物线y 2
=2px(p>0)焦点F 的直线与抛物线交于P ，
Q 两点。

求证：以线段PQ 为直径的圆与准线相切。

证明：由定义知，如图：|PP ＇|=|PF|, |QQ ＇|=|QF|
|PQ|=|PP ＇|+|QQ ＇|，|PQ|=(|PP ＇|+|QQ ＇|)，
故圆心到准线的距离等于圆的半径，即圆和准线相切。

五、课后练习
1. 椭圆+=1上一点P 与椭圆两焦点连线互相垂直，则ΔPF 1F 2的面积为（ ）
A 、20
B 、22
C 、28
D 、24
2. 若点P(a,b)是双曲线x 2-y 2=1右支上一点，且P 到渐近线距离为，则a+b=( )
A 、-
B 、或2
C 、-2或
D 、2或-
3. 焦点在直线3x-4y-12=0上的抛物线的标准方程是（ ）
A 、y 2=16x 或x 2=16y
B 、y 2=16x 或x 2=-16y
C 、x 2=-12y 或y 2=16x
D 、x 2=16y 或y 2=-12x
4. 已知：椭圆+=1（a>b>0）上两点P 、Q ，O 为原点，OP ⊥OQ ，求证：+为定值。

六、练习答案：
1. D
2. B
3. C
4. 设P(|OP|cosα, |OP|sinα), Q(|OQ|cos(α+90°), |OQ|sin(α+90°))，利用两点距离公式及三角
公式，+=。