高三数学课件 圆锥曲线定义在高考中的应用
圆锥曲线定义的应用精选教学PPT课件
左支上的一点，P 到左准线的距离为d.
是否存在P 点使d 、|P F1 |、 |P F2|成等比数
列若存在，求双曲线的离心率e 的取值范围，
并求出P点坐标；若不存在，说明理由.
例7、 如图, 已知梯形ABCD中,|AB|=2|CD| 点E分有向线段AC所成的比为λ,双曲线过 C,D,E三点,且以A,B为焦点. 当时,求双曲线 离心率e 的范围.
点M、N ,F 为焦点且︱MF︱, 4 , ︱NF︱
成等差数列又线段MN 的中垂线恒通过定 点Q(6,0) . (1)求抛物线的方程; (2)在抛物线上求一点P ,使得以F , A(3,4)为
焦(3)点求且经M过Q点NP的的面椭积圆的的最长大轴值最. 短.
例5、在双曲线 x2 y2 1 的一支上有不同 13 12
2
（1）PA PF2 取得最小值;
（2）PA 2 PF1 取得最小值.
P
y AP
F1 o F2
x
5、 已知双曲线 x 2 y 2 1 F1，F2
4
为左、右焦点，点A(3,-1)，在双曲线上 求一点P，使
（1） PA PF2 取得最小值;
（2）5 PA 2 5 PF2 取得最小值.
y P
F1
o
P
F2
x
A P
6、若点A 的坐标为（3，2），F 为抛
物线 y2 2x 的焦点，点M 在抛物线上移
动时，求|MA|+|MF |的最小值，并求这时
M 的坐标.
y
l
dM
A
N
1 2
o
F
x
7、已知双曲线
x2 y2 a2 b2 1,
过左焦点F1 作一弦与左支相交于A,B
圆锥曲线定义的应用94111PPT精品文档18页
两点，若|AB|=m ,求ΔF2 AB 的周长 .
y
A
F1 o
F2 x
B
三、规律总结
1、在求轨迹方程时先利用定义判断曲线 形状可避免繁琐的计算. 2、涉及椭圆双曲线上的点与两个焦点构 成的三角形问题，常用第一定义结合正、 余弦定理来解决. 3、涉及焦点、准线、离心率、圆锥曲线上 的点中的三者，常用统一定义解决问题.
青并没有因为那天的小小不愉快，再表现出什么不高兴的和反常的举动来。108第三十四回 东伢子照面起风波|（兴冲冲前往 小树林，东伢子照面起风波；兴致全无扫兴归，小青耍小性真懊悔。）看到小青、耿英和耿直都不想再待在床上休息了，耿正 就对他们说：“我是一点儿也不累了。如果你们也不想再睡觉，不如和我一起到小树林那边去吧。咱们去告诉淋灰的人，来拉 他们的家伙什儿，顺便还可以在林子里边走一走呢！”大家都拍手称好。尤其是耿直，还高兴地蹦了一个高，大声说：“太好 了，到小树林里玩儿去喽，我看能不能抓到一只小兔子！”看他一边高兴地叫着，一边蹦跳着跑去开门了，小青笑着对耿英说： “直子小弟可真可爱啊，还顽皮呢！”耿英也笑着说：“他就是一个永远长不大的样子！”耿正高兴地一挥手，痛痛快快地大 声说：“小青姐，英子，咱们也走！”说着话，耿正领头出了过厅，忽然想起来没有带上那天卖石灰膏的头儿开的收据，就回 头对小青说：“对啦小青姐，你去向娘娘要上那个收据，我们好取回来押金！”小青恍然大悟，赶快回屋里跟姆妈要上收据， 出来了递给耿正，大家一起高高兴兴地出发了。不成想，四个人刚出院门儿，迎面就碰上了对门儿的东伢子正好挑着空水桶出 来。耿正和耿英同时向东伢子点点头打招呼：“嗨，东伢子，打水去啊？”东伢子憨厚地笑一笑，说：“啊，打水去。你们这 是要去哪里呀？”耿正和耿英还没有来得及回答呢，耿直就抢着说：“我们要去小树林里玩儿！”耿正也笑一笑，说：“我们 去小树林那边叫淋灰的人来拉他们的家伙什儿，顺便在林子里边走一走。”东伢子说：“小树林里是挺不错呢。天儿暖和了， 树上已经长出了新叶子，树下也有了小草小花儿的。走一走好哇，叫什么来着？”看他那可爱的憨厚样子，耿英忍不住笑了， 说：“你是想说‘踏青’吧？”东伢子说：“啊，对对对，踏青，踏青。春日里踏青，挺有意思的，我也很喜欢呢！”看耿正 兄妹三人和东伢子聊得很热乎，小青不乐意了。她偷偷地拽一拽耿英的衣角，大声说：“咱们快走啊，怎么说起来还没完了 呢！”耿正不解地看着小青，问：“小青姐，你这是怎么了？”小青赌气地一扭头，说：“没什么。你们去吧，我不去了，回 家去！”说着转身就要走，耿英赶快伸手拉住她，陪着笑脸说：“小青姐，这就是你的不对了。说好了一起去走一走的。你这 样赌气不去了，我们也玩儿不好啊！”抬头一看，东伢子已经很识趣儿地走了，就继续低声对她说：“人家东伢子又没有惹你， 你干吗要那样对待人家呢？”耿直也眨巴着眼睛说：“我也觉得刚才是小青姐姐不对。我很喜欢这个东伢子，他很像我们的大 壮哥哥呢！”耿直的后半句话让耿英心里一
《高考直通车》高考数学一轮复习课件第50课圆锥曲线的定义在解题中的应用
圆锥曲线统一定义：平面内到一个定 点F和到一条定直线l(F不在l上）的距 离的比等于常数e的点的轨迹。 当0<e<1时，它表示椭圆；
当e>1时，它表示双曲线；
当e=1时，它表示抛物线。
其中e是双曲线的离心率，定点F是圆锥曲 线的焦点，定直线l是圆锥曲线的准线。
等于 1 的动点轨迹方程是 2
x2 4
y2 3
.
1
诊断练习
题1：点P在椭圆 x2 y2 1上，它到左焦点的距离是它到右焦点
25 9 距离的两倍，则点P到左准线的距离为
25 .
题2.椭圆
x2
y2
3
1 上一点的横坐标为2，则该点
25 9 33
到左焦点的距离
。
5
诊断练习
题3：焦点在轴上，且一个焦点到渐近线的距离为3， 到相应准线距离为 的9双曲线的标准方程为
___1_0_______
变式：B(2,3)改为B(3,2)呢？
基础知识回顾与梳理
3、已知双曲线 3x2 y2 9 ，则双曲线左支上的点 P 到右
2 焦点的距离与 P 到右准线的距离之比为____________
变式：P到左焦点的距离与P到左准线的距离 之比呢？
基础知识回顾与梳理
4.到定点（1，0）与到定直线 x 4 距离之比
25
x2 y2 1 16 9
1 题4：抛物线y2 8x到双曲线4
范例导析
例1：已知点A(2,1)在椭圆 x2 y2 1内，F为椭圆的右焦点 16 12
在椭圆上求一点P，使得PA 2PF最小.
变式：求 PA+PF 最大
范例导析
例2：过椭圆的 x2 y 2 1 ( a b 0 )
圆锥曲线在高考数学中的应用
圆锥曲线在高考数学中的应用圆锥曲线在高考数学中的应用是一个广为人知的话题。
圆锥曲线是数学中非常重要的一个概念，它在几何、代数、物理等多个领域中都有着广泛的应用，同时也是高中数学中的重要知识点之一。
在高考中，圆锥曲线不仅是数学选择题中常出现的题型，而且在解析几何中也有重要的应用和指导意义。
一、圆锥曲线的定义和分类在空间直角坐标系中，对于任意给定的两个定点 F1 和 F2 ，以及一个正实数 e（离心率），设点 P(x, y，z) 在平面 F1PF2 上，且点 P 到 F1、F2 两点的距离之比为 e，则称 P(x, y，z) 所在的曲线为椭圆，当 e=1 时，称为双曲线。
以直角坐标系中的 x 轴为对称轴，离心率为 e 的曲线称为扁平椭圆，离心率为 1 的曲线称为各向同性圆；以直角坐标系中的 y 轴为对称轴，离心率为 e 的曲线称为长圆，离心率为 1 的曲线称为抛物线；直角坐标系中过 y 轴的某一条直线称为对称轴，离心率为 e 的曲线称为双曲线，当 e=1 时，曲线即为平行于对称轴的两条渐进线的双曲线。
二、圆锥曲线在高考中的应用1. 选择题中的圆锥曲线圆锥曲线作为数学中重要的知识点之一，也是高考数学试卷中出现频率较高的题型之一。
在选择题中，考生通常需要根据所给出的条件来确定所求函数方程的类型，根据曲线的性质推算出符合条件的答案。
例如：已知点 A(2,0)、B(0,1) 和抛物线 C:y=mx^2+mx-1 的顶点在直线AB 上，且交点为 D。
则一个满足 D(-2,-3) 的曲线方程式为(A)双曲线(B)椭圆(C)抛物线(D)圆这道问题主要考察考生对于曲线类型的判断能力和对于直线方程、抛物线特征等知识点的掌握能力。
2. 解析几何中的圆锥曲线在解析几何中，圆锥曲线是几何学中不可或缺的内容之一。
其中，椭圆、双曲线和抛物线最为常见，它们的数学模型、特征方程以及轨迹方程等知识点在高考中都有一定的出现概率。
例如：已知椭圆的中心在坐标原点，长轴为 10，短轴为 6，曲线经过点（8，0）和（-8，0），则该椭圆的方程是：(A)x^2/25+y^2/9=1(B)x^2/100+y^2/36=1(C)x^2/36+y^2/100=1(D)x^2 /9+y^2/25=1这个问题主要考察考生通过已知条件推导出椭圆的方程的能力，需要对于椭圆的中心、坐标轴长度等特征有较为准确的掌握。
解析高考数学中的圆锥曲线及应用
解析高考数学中的圆锥曲线及应用近年来，高考数学中的圆锥曲线部分一直是考生们的重点之一，也是不少学生难以攻克的难点。
在这篇文章中，我们将对圆锥曲线进行较为全面的解析，并探讨其在实际应用中的具体意义。
一、圆锥曲线的概念和基本形态圆锥曲线，是指在平面直角坐标系中，由一个固定点F（焦点）与一条固定直线l（准线）所确定的点P的轨迹。
这个点P与焦点的距离PF与P到直线l的距离PL之比始终相等，该比值称为偏心率，用字母e表示。
具体而言，圆锥曲线可以分为四类：椭圆、双曲线、抛物线和直线。
1. 椭圆椭圆是由一个固定点F1（焦点）和另外一个固定点F2（F2≠F1）到平面上的所有点P距离之和为定值的轨迹。
该定值等于两焦点距离之和的一半，用字母2a表示。
对于一个椭圆来说，它的中心点是两焦点的中点O，偏心距离e=OF1/OF2，长轴长度为2a，短轴长度为2b。
2. 双曲线双曲线是由一个固定点F1（焦点）和另外一个固定点F2（F2≠F1）到平面上的所有点P距离之差为定值的轨迹。
该定值等于两焦点距离之差的绝对值，用字母2a表示。
对于一个双曲线来说，它的中心点是两焦点的中点O，偏心距离e=OF1/OF2，距离焦点较远的那一部分曲线称为“远焦双曲线”，距离焦点较近的那一部分曲线称为“近焦双曲线”。
3. 抛物线抛物线是由一个固定点（焦点）F和一条固定直线（准线）l到平面上所有点P的距离之比为定值的轨迹。
该定值等于距离焦点F最近的点到准线l的距离，用字母p表示。
对于一个抛物线来说，它的中心点是准线l上的中点O，焦距f=2p。
4. 直线直线可以看作是一个非常特殊的圆锥曲线，它的两个焦点在无穷远点，准线可以看作是无穷远处的一条直线。
因此，直线的偏心率为0。
二、圆锥曲线的方程及参数表示圆锥曲线可以用不同的方程和参数表示，常用的有标准方程、参数方程和极坐标方程。
1. 椭圆的方程和参数表示椭圆的标准方程为：(x/a)^2+(y/b)^2=1。
高三复习课：圆锥曲线定义的应用(说课)
教法与学法分析
行展示、点
教法：启发、探究式；
学法评：、观反察分馈析。、小组合作。
平面与平面教垂 学直 过程—分—析复习课 创设情境 复习建构 优化认知
变式探究
体验应用
课堂实施 个人自探
02
问题 3：（改编自选修 2-1，复习参考题，A 组第 3 题（2）） 圆 O1 、 O2 的半径分别为 3 和 2，圆心距 O1O2 6 ，动圆 C 与
y
如图， M 是抛物线 y2 4x 上一点， F 是抛物线的焦点，
以 Fx为始边、 FM 为终边的角 xFM 60，求 FM 。
变式探究
M
体验应用
思路1：（利用代数运算）
oF
x
写出直线方程→联立方程组→求出 M 点坐标→算出 FM
思路2：（利用几何特征）
向准线转化→得到等边三角形→解直角三角形→算出 FM 4
学情分析
圆平锥面曲与线平定面义垂的直应—用—（复高习三课复习课） 内容分析 学情分析 教学目标分析 教学策略 教学过程
教学 目标
重点与 难点
1.系统掌握椭圆、双曲线、抛物线的定义，明确定义的 运用条件，能合理地运用定义解决相关的基本问题；
2.经历运用圆锥曲线定义解决问题的探索过程，体会三 种圆锥曲线的内在联系，积累解题经验；
教师引导，学生口 述，适当板书。
第二、第三象限的两个交点。若 F2 AB 为等边三角形，
求椭圆的离心率。
变式1：在“问题2”中，把
椭圆改为双曲线，其余条件 2
不变，求双曲线的离心率。
变式 2：在“问题 2”中，把圆改
3 为：以 F2 为焦点的抛物线 y2 4x ，
M 为两曲线在第一象限的交点。若
高考数学圆锥曲线的定义及应用
圆锥曲线的定义及应用一、圆锥曲线的定义1. 椭圆：到两个定点的距离之和等于定长（定长大于两个定点间的距离）的动点的轨迹叫做椭圆。
即：{P| |PF1|+|PF2|=2a, (2a>|F1F2|)}。
2. 双曲线：到两个定点的距离的差的绝对值为定值（定值小于两个定点的距离）的动点轨迹叫做双曲线。
即{P|||PF1|-|PF2||=2a, (2a<|F1F2|)}。
3. 圆锥曲线的统一定义：到定点的距离与到定直线的距离的比e是常数的点的轨迹叫做圆锥曲线。
当0<e<1时为椭圆：当e=1时为抛物线；当e>1时为双曲线。
二、圆锥曲线的方程。
1.椭圆：+=1（a>b>0）或+=1（a>b>0）（其中，a2=b2+c2）2.双曲线：-=1（a>0, b>0）或-=1（a>0, b>0）（其中，c2=a2+b2）3.抛物线：y2=±2px（p>0），x2=±2py（p>0）三、圆锥曲线的性质1.椭圆：+=1（a>b>0）（1）X围：|x|≤a，|y|≤b（2）顶点：(±a,0)，(0,±b)（3）焦点：(±c,0)（4）离心率：e=∈(0,1)（5）准线：x=±2.双曲线：-=1（a>0, b>0）（1）X围：|x|≥a, y∈R（2）顶点：(±a,0)（3）焦点：(±c,0)（4）离心率：e=∈(1,+∞)（5）准线：x=±（6）渐近线：y=±x3.抛物线：y2=2px(p>0)（1）X围：x≥0, y∈R（2）顶点：（0,0）（3）焦点：（,0）（4）离心率：e=1（5）准线：x=-四、例题选讲：例1.椭圆短轴长为2，长轴是短轴的2倍，则椭圆中心到准线的距离是__________。
解：由题：2b=2，b=1，a=2，c==，则椭圆中心到准线的距离：==。
圆锥曲线定义的应用
案例：圆锥曲线定义浙江省洞头县第二中学/陈展(325701)教学背景《圆锥曲线》一章是高考的重要内容。
基于普通中学学生数学基底薄弱的典型特征与新课程课时安排的结构要求，《圆锥曲线定义的应用》被安排在高考第一轮复习中，可以体现承前启后的目的。
高中学生已经非常适应多媒体辅助教学，因此，本节课也体现了这一特点。
课前仅要求学生复习圆锥曲线的定义及性质。
教学目标1.探索应用圆锥曲线定义解决问题的思维形成过程，体会代数与图形之间的联系，熟练掌握数形结合的数学思想方法。
2.体会数学的应用价值，注重探索,逐步获得建构数学模型，并创造性解决问题的知识经验，提高、深化学生对定义的理解与感悟， 激发学生对定义概念的学习兴趣，进一步培养学生的创新精神及学以致用的实践能力。
设计依据完形趋向律认为良好的连续结构易被知觉成一个整体，有利于保证数学知识的系统性，有利于知识的迁移。
教学流程一、创设情境 感受定义应用T :已知椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线必经过椭圆的另一个焦点。
今有一个水平放置的椭圆形台球盘，点A 、B 是它的两个焦点，长轴长为2a ，焦距为2c 。
当静放在点A 的小球(小球的半径不计)从点A 沿直线击出，经椭圆壁反弹后再回到点A 时，求小球经过的路程。
S :小球经过的路程为4a 。
T :为什么？S :根据椭圆的第一定义得出。
T :很好，如果增加一个条件：小球必须经过椭圆内部的定点P ，则满足条件的路线可能有几条？学生思考了一会儿。
S :定点可以是焦点吗？ T :是的。
S :答案分两类：定点如是焦点则有无数条；定点不是焦点则仅有一条(如下图)。
T :那么，第2类中的定点P 又有什么特点呢？请看例1。
这个情境设计使学生不知不觉中体验到定义应用解题的乐趣。
二、逐步深入 浮现数学模型 例1已知P 为椭圆x 225 +y 216 =1上任一点，F 为椭圆的左焦点，A(2，1)为椭圆内一点，求|PF|+|PA|的最大值（多媒体显示）。
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PF1 PF2 2a 4 F1F2 2c 2 a2 b2 2 5
1
1
PF1 • PF2
2
S F1PF2
2
PF1 • PF2
•21 2
y
P
F1 o
F2
x
双曲线 x2 y2 1
1997年高考题
12 3
12、椭圆
x2 12
y2 3
1
的焦点为F1和F2，点P在
椭圆上，如果线段PF1的中点在y轴上，那么
为其上的动点.当 F1PF2 为钝角时，点P
横坐标的取值范围是____3_5_5__, _3_5_5.
x2 y2 1a 0 求a的取值范围
a4
a 8或0 a 2
x2 y2 1
3 5 9 4
x y • y 1
5 x 5 x 5
y
P2
P1 x, y
F1 5,0 o
作垂直于X轴的直线与椭圆相交,一个交点为P,则 PF2
A 3
2
B 3
C 7
2
D4
第二定义
2.(2005江苏)抛物线 y 4x2上的一点M到焦点的距离
为1,则点M的纵坐标为( )
A17
16
B15
C 7
D0
16
8
总结
一．当题中出现两个焦点的字样 时,一般选用第一定义解题
二. 当题中出现一个焦点,准线 字样时,一般选用第二定义
(A)2 (C) 4
(B) 3 (D) 5
焦半径公式:
y0
p 2
2004年高考题(全国Ⅳ)
16(理)设P是曲线 y2 4x 1 上的一
个动点,则点P到点 0,1 的距离与P
到Y轴的距离之和的最小值是__5___
y2 4x 1
求PP PM
PP PF min 求 PF PM min MF 5
A |PF1|是|PF2|的（ ）
A．7倍 B．5倍 C．4倍 D．3倍
PF2 x轴
3 PF2 2
a 2 3 c 3 PF1 PF2 2a 4 3
b 3
PF1
97 3 2
y
Q
P
3,
3 2
F1 o
F2
x
x2 y2 1
12 3
2000年高考题
（14）椭圆
x2 y2 1 94
的焦点为F1、F2，点P
64 36
的右焦点的距离是8,那么点P到它的右
D 准线的距离是( )
A10
C2 7
B32 7
7
D 32
5
PF2 e c 10 5 8
d
a 8 4 dy
d 32 5
P
F1 o
F2
x
2000年高考题
（11）过抛物线 y ax2 a 0 的焦点F作一直线
交抛物线于P、Q两点，若线段PF与FQ的长分
y
P
P
0,1M P
o A1,0 F 2,0
x
总结
想一想: 什么时候用第一定义解题?
当题中出现两个焦点的字
样时,一般选用第一定义解 题
总结
想一想: 什么时候用第二定义解题?
当题中出现一个焦点,准线字样时,
一般选用第二定义
练习
第一定义
1.(2004年全国Ⅰ)椭圆
x2 y2 1 4
的两个焦点F1,F2过F1
当e>1时
双曲线
运用第一定义解决的问题
1993年高考题
(12)一动圆与两圆:x2+y2=1和x2+y2-8x+12=0都
外切,则动圆圆心的轨迹为（C）
(A)抛物线 (B)圆 (C)双曲线的一支 (D)椭圆
第二个圆方程化为: (x 4)2 y 2 4
PO r 1 PA PO 1 AO 4
C 别是p、q,则 1 1 等于( ) pq
A 4 B 1 C 4a D 1
a
2a
4a
PF 1 p
2a
FQ 1 q 2a
1 1 2a pq
y
x2 1 y a
F
PQ
o
x
2005年高考题
(5) (文)抛物线 x2 4 y上一点A的纵坐
标为4,则点A与抛物线焦点的距离为( D )
圆锥曲线定义在高考中的应用
高二数学 高惠玲
2006年10月24日
复习
第一定义
椭圆第一定义:
PF1 PF2 2a F1F2
双曲线第一定义:
PF1 PF2 2a F1F2
第二定义
圆锥曲线统一定义:
平面内到定点的距离与到定直线的距离之比是常数e 的点的轨迹
当0<e<1时 椭圆
当e=1时
抛物线
PA r 2
y
P
o
A 4,0
x
1994年高考题
(8)设F1和F2为双曲线
x2 4
y2
1的两个焦
点,点P 在双曲线上且满∠F1PF2=90°,
则△F1PF2的面积是（ A ）
A1 B 5 C2 D 5
2
RtF1PF2 PF1 2 PF2 2 F1F2 2
PF1 PF2 2 2 PF1 • PF2 F1F2 2
F2 5,0 x
2006年高考题
(5)已知△ABC的顶点B、C在椭圆 x2 y2 1上，
3
顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外
C 一个焦点在BC边上，则△ABC的周长是( )
（A）2 3 （B）6 （C）4 3 （D）12
运用第二定义解决的问题
1989年高考题
(10)如果双曲线 x2 y2 1上一点P到它