高中数学学案：圆锥曲线的定义在解题中的应用

高中数学学案：圆锥曲线的定义在解题中的应用
1. 了解圆锥曲线的统一定义,能够运用定义求圆锥曲线的标准方程.
2. 理解圆锥曲线准线的意义,会利用准线进行相关的转化和计算.
1. 阅读：选修11第52～53页(理科阅读选修21相应内容)；阅读之前先独立书写出圆锥曲线的统一定义,并尝试根据圆锥曲线的统一定义推导出椭圆方程.
2. 解悟：①写出圆锥曲线的统一定义,写出椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)和双曲线x 2a 2－y 2
b 2＝1(a>0,b>0)的准线方程；②椭圆、双曲线、抛物线各有几条准线？有什么特征？
3. 在教材上的空白处完成选修11第54页练习第2题(理科完成选修21相应任务).
基础诊断
1. 点P 在椭圆x 225＋y 2
9＝1上,它到左焦点的距离是它到右焦点距离的两倍,则点P 到左准线
的距离为 25
3 .
解析：设椭圆的左,右焦点分别为F 1,F 2,由题意知PF 1＋PF 2＝2a ＝10,PF 1＝2PF 2,所以PF 1＝203,PF 2＝103.因为椭圆x 225＋y 29＝1的离心率为e ＝45,所以点P 到左准线的距离d ＝PF 1e ＝20
345＝253.
2. 已知椭圆x 225＋y 29＝1上一点的横坐标为2,则该点到左焦点的距离是 33
5 .
解析：椭圆x 225＋y 29＝1,则a ＝5,b ＝3,c ＝4,所以离心率e ＝c a ＝4
5.由焦半径公式可得该点到左
焦点的距离为a ＋ex ＝5＋45×2＝33
5.
3. 焦点在x 轴上,且一个焦点到渐近线的距离为3,到相应准线的距离为9
5的双曲线的标准
方程为 x 216－y 2
9＝1 .
解析：设双曲线的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1,焦点为(－c,0),(c,0),渐近线方程为y ＝±b
a x,准线方程为x ＝±a 2c ,由题意得焦点到渐近线的距离d ＝bc a 2＋
b 2＝bc
c
＝
b ＝3,所以b ＝3.因为焦点到相应准线的
距离为95,所以有⎩⎪⎨⎪⎧c －a 2c ＝95，c 2＝a 2＋9，
解得⎩⎨⎧a ＝4，c ＝5，所以双曲线的标准方程为x 216－y 29＝1.
4. 已知椭圆x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a>b>0)的左、右顶点分别是A 、B,左、右焦点分别是F 1,F 2,若
AF 1,F 1F 2,F 1B 成等比数列,则此椭圆的离心率为 5 .
解析：设椭圆的半焦距为c,则AF 1＝a －c,F 1F 2＝2c,F 1B ＝a ＋c.又因为AF 1,F 1F 2,F 1B 为等比数列,所以(a －c)(a ＋c)＝4c 2,即a 2＝5c 2,所以椭圆的离心率e ＝c a ＝5
5.
范例导航
考向❶ 用圆锥曲线统一定义求解问题
例1 已知点A(2,1)在椭圆x 216＋y 2
12＝1内,F 为椭圆的右焦点,在椭圆上求一点P,使得PA ＋2PF 最小.
解析：如图,直线l 是椭圆的右准线,椭圆的离心率e ＝12,由圆锥曲线统一定义可知PF
PH ＝e ＝12,
所以PH ＝2PF, 所以PA ＋2PF ＝PA ＋PH.
过点A 作AH′⊥l,垂足为H′,交椭圆于点P′, 由图可知,当点P 在P′处时,PA ＋PH 的值最小, 点P′的纵坐标为1,代入椭圆方程得其横坐标为233
3,
故所求点P 的坐标为⎝ ⎛⎭
⎪⎫
2333，1.
已知点A(3,0),F(2,0),在双曲线x 2
－y 23＝1上求一点P,使得PA ＋1
2PF 最小.
解析：因为a ＝1,b ＝3,所以c ＝2,离心率e ＝2.
设点P 到与焦点F(2,0)相应的准线的距离为d,则PF d ＝2,所以12PF ＝d,所以PA ＋1
2PF ＝PA ＋d.
问题转化为在双曲线上求点P,使点P 到定点A 的距离与到相应准线的距离和最小,即直线PA 垂直于准线时符合题意,
此时,点P 的坐标为(1,0).
考向❷ 用圆锥曲线的统一定义求解简单的综合问题
例2 B 1,B 2是椭圆x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a>b>0)的短轴端点,椭圆的右焦点为F,△B 1B 2F 为等边三角形,点F 到椭圆右准线l 的距离为1,求椭圆的方程.
解析：因为△B 1B 2F 为正三角形,OF ＝c,OB 2＝b,B 2F ＝a, 所以e ＝c a ＝OF FB 2＝cos 30°＝3
2,
所以⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝32，a 2c －c ＝1，
解得⎩⎨⎧a ＝23，c ＝3，所以b ＝ 3.
故所求椭圆方程为x 212＋y 2
3＝1.
如图,在平面直角坐标系xOy 中,F 1、F 2分别是椭圆x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点,顶点B 的坐标为(0,b),且△BF 1F 2是边长为2的等边三角形.
(1) 求椭圆的方程；
(2) 过右焦点F 2的直线l 与椭圆相交于A,C 两点,记△ABF 2,△BCF 2的面积分别为S 1,S 2.若S 1＝2S 2,求直线l 的斜率.
解析：(1) 由题意得a ＝2c ＝2,b 2＝a 2－c 2＝3,
所求椭圆的方程为x 24＋y 2
3＝1.
(2) 设点B 到直线AC 的距离为h,由于S 1＝2S 2, 所以12AF 2·h ＝2×1
2F 2C·h,即AF 2＝2F 2C, 所以AF 2→＝2F 2C →.
方法一：设A(x 1,y 1),C(x 2,y 2). 又F 2(1,0),则(1－x 1,－y 1)＝2(x 2－1,y 2), 即⎩⎨⎧x 1＝3－2x 2，y 1＝－2y 2.
由⎩⎪⎨⎪⎧x 224＋y 2
23＝1，
（3－2x 2）24＋（－2y 2）2
3＝1， 解得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝7
4，y 2＝±358，
所以直线l 的斜率k ＝±35
8
74－1＝±5
2.
方法二：由方法一知x 1＝3－2x 2,
设点A(x 1,y 1)到椭圆x 24＋y 23＝1右准线x ＝4的距离为d,则AF 2d ＝1
2,
所以AF 2＝2－12x 1,同理CF 2＝2－1
2x 2.
由AF 2＝2F 2C,得2－12x 1＝2⎝ ⎛
⎭
⎪⎫2－12x 2,
即x 2＝2＋1
2x 1.
所以x 2＝7
4(以下同方法一). 方法三：椭圆的右准线为直线x ＝4, 分别过A, C 作准线的垂线,垂足分别为A′,C′, 过C 作CH ⊥AA′,垂足为H,如图所示.
由于CF 2CC′＝AF 2AA′＝12,
又AF 2＝2F 2C,在Rt △CAH 中,
AC ＝3F 2C,AH ＝2F 2C,所以CH ＝5F 2C, 所以tan ∠CAH ＝5
2.
根据椭圆的对称性知,所求直线的斜率为±5
2.
自测反馈
1. F 1、F 2分别是双曲线－y 220＋x 2
16＝1的左、右焦点,设P 是双曲线上的一点,且PF 1＝16,则
点P 到双曲线右准线的距离为 16或16
3 .
解析：在双曲线x 216－y 2
20＝1中,因为a 2＝16,b 2＝20,所以c ＝6,因为P 是双曲线上一点,且PF 1
＝16,所以点P 到双曲线左准线的距离为d ＝PF 1e ＝1632
＝323.又因为左、右准线之间距离为2a 2c ＝16
3,
所以点P 到双曲线右准线的距离为⎪⎪⎪⎪
⎪⎪
d±2a 2
c ＝16或163.
2. 如果双曲线的两个焦点分别为F 1(－3,0),F 2(3,0),一条渐近线方程为y ＝2x,那么它的两条准线间的距离是 2 .
解析：设双曲线的方程为x 2a 2－y 2
b 2＝1(a>0,b>0),则有⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2
＝9，b a
＝2，解得⎩⎨⎧a 2＝3，b 2＝6，所以两条准线
间的距离是2a 2
c ＝2.
3. 已知点A(x 0,y 0)在双曲线x 24－y 2
32＝1的右支上,若点A 到右焦点的距离等于2x 0,则x 0＝ 2 Ｗ.
解析：双曲线x 24－y 232＝1,则a ＝2,b ＝42,c ＝6,所以右焦点F(6,0),离心率c
a ＝3,将点A(x 0,y 0)
代入双曲线方程,得y20＝8x20－32,所以AF＝（x0－6）2＋y20＝（x0－6）2＋8x20－32＝2x0,解得x0＝2.
4. 若抛物线y2＝4x上的点M到焦点的距离为10,则M到y轴的距离是9Ｗ.
解析：由题意得抛物线的准线为x＝－1.因为点M到焦点的距离为10,所以点M到准线x ＝－1的距离为10,所以M到y轴的距离为9.
1. 在解题中遇到焦点时应主动考虑两种定义.
2. 要注意左焦点对应左准线,右焦点对应右准线.
3. 你还有哪些体悟,写下来：。