利用圆锥曲线的统一定义解题
6.圆锥曲线的定义
，则点M的轨迹
是（ A、椭圆
） B、双曲线
C、不存在
D、直线
2 已知定点 F1 ( −2, 0 ) ，F2 ( 2, 0 ) ，平面内满足下列 条件的动点P的轨迹中，为双曲线的是（
PF1 − PF2 =+ 3 A、 −
PF1 − PF2 = + 4 B、 −
）
C、PF1 − PF2 = 5
+ −
l（F 不在 l上） 的距离相等的点的轨迹。
圆锥曲线的统一定义： 二 圆锥曲线的统一定义：
平面内到一个定点F和一条定直线 l (F不 在l上)的距离之比是一个常数e
例题讲解： 三 例题讲解：
例1：设有两定点 F1 、 2 且 ︳1 F2 ︳= 4， 动点 F F
M 满足 MF1 + MF2 = 4 ， 则动点 M的轨迹
是（
A．椭圆
）
B.直线
C.圆
D.线段
例2：若动圆M过定点A（-3，0），并且在定 2 2 圆B： (x-3) + y = 64 的内部与其内切， 求动圆圆心M的轨迹方程。
例3： 已知圆C1:(x +3) +y =1和圆C2:(x -3) +y =9，
2 2 2 2
动圆M同时与圆C1及圆C2相外切，求动圆 圆心M的轨迹方程。
例 4 ： 圆 与 定 圆 ( x − 2 ) + y =1 外 切 ， 动
2 2
又 与 直 线 x +1= 0 相 切 ， 求 动 圆 圆心的轨迹方程。
四、课堂反馈练习： 课堂反馈练习：
1 若点P( x, y ) 在运动过程中，总满足关系式
x 2 + ( y + 3) + x 2 + ( y − 3) = 10
圆锥曲线间的三个统一(统一定义、统一公式、统一方程)
2 12丄2(X ∙ a)a y_ 2b2 2.22b丄 b2・・讨=X — Xa a圆锥曲线间的三个统一内蒙古巴彦淖尔市奋斗中学0504班 高卓玮 指导老师：薛红梅世界之美在于和谐，圆锥曲线间也有其内在的和谐与统一，通过对圆锥曲 线图形和已知公式的变换，我们可以得出以下结论。
一、 四种圆锥曲线的统一定义动点P 到定点F 的距离到定直线L 的距离之比等于常数e,则当O ：：： e ：：： 1时， 动点P 的轨迹是椭圆：当e=1时，动点P 的轨迹是抛物线；当e 1时，动点P 的轨迹是双曲线；若e = O ,我们规定直线L 在无穷远处且P 与F 的距离为定值(非零)，则此时动点P 的轨迹是圆，同时我们称e 为圆锥曲线的离心率，F 为 焦点，L 为准线。
二、 四种圆锥曲线的统一方程从第1点我们可以知道离心率影响着圆锥曲线的形状。
为了实现统一我们 把椭圆、双曲线进行平移，使椭圆、双曲线的右顶点与坐标原点重合，记它们2的半通径为P ,则P =L 。
a2 2如图1 ,将椭圆罕■笃=1(a b O)按向量(a,O )平移a b二椭圆的方程可写成 y 2 = 2 px ' (e 2 -1) χ2( O ：：: e ：：: 1 )2 2类似的，如图2，将双曲线 —--^2 -1(a - O, b - O)按向量(-a, O)平移得到a b得到2(X -a)2a2 2bb2…y = X ~ Xaa•••椭圆的半通径 b 2 IF I M I |= p =—，ab 2~ =1 —eT 双曲线的半通径IF 2M 2I = L , b y =e 2 一1a a∙°∙双曲线方程可写成y = 2 px ∙ (e? 一 1)χ2 (e . 1)对于抛物线y 2 =2px(x .0) P 为半通径，离心率e =1，它也可写成2 2 2y 2 px (e -1) X (e =1)对于圆心在(P ，0)，半径为P 的圆，其方程为(X- p)2 + y 2 = p2，它也可 写成『=2 px 亠(e T)x?(^= 0)于是在同一坐标下，四种圆锥曲线有统一的方程y 2 =2px (e 2 -1)x 2 ,其中P 是曲线的半通径长，当e=0，0 ::： e ::： 1， e =1,e . 1时分别表示圆、椭圆、 抛物线、双曲线。
圆锥曲线的统一定义
到右焦点的距离等于
那么点P 那么点 13 ,那么点
到左准线的距离是 __________;
x2 y2 上点P到右焦点的距离为 到右焦点的距离为a, (2) 椭圆 2 + 2 = 1上点 到右焦点的距离为 4a a
则点P到左准线的距离是 则点 到左准线的距离是
.
例3．根据下列的条件求椭圆的标准方程: 根据下列的条件求椭圆的标准方程: (1)两准线间的距离为 (1)两准线间的距离为 18 5 ,焦距为 2 5
5
1 x2 y2 + = 1有共同的准线,且离心率为 (2)与椭圆 有共同的准线, (2)与椭圆 2 24 20
(3)已知P点在以坐标轴为对称轴的椭圆上,点P到 (3)已知P点在以坐标轴为对称轴的椭圆上, 已知
2 4 5 ,过P作长轴的垂 两焦点的距离为 5 和 3 3
线恰好过椭圆的一个焦点. 线恰好过椭圆的一个焦点.
求下列曲线的焦点坐标和准线方程: 例1.求下列曲线的焦点坐标和准线方程 求下列曲线的焦点坐标和准线方程 (1) 25 x 2 + 16 y 2 = 400 (2) x 2 + 2 y 2 = 4 (3) x 2 − 2 y 2 = 1 (4) 2 y − x = 4
2 2
x2 y2 例2 (1) 如果双曲线 上一点P − = 1上一点 13 12
圆 锥 曲 线 的 统一定义
引例： 引例：
已知点P(x,y)到定点F(c,0)的距离与它到 已知点P(x,y)到定点F(c,0)的距离与它到 P(x,y)到定点F(c,0)
a 2 的距离的比是常数 c 定直线 l : x = ( a > c > 0 )， a c
求点P的轨迹. 求点P的轨迹.
高考数学圆锥曲线的定义及应用
圆锥曲线的定义及应用一、圆锥曲线的定义1. 椭圆：到两个定点的距离之和等于定长（定长大于两个定点间的距离）的动点的轨迹叫做椭圆。
即：{P| |PF1|+|PF2|=2a, (2a>|F1F2|)}。
2. 双曲线：到两个定点的距离的差的绝对值为定值（定值小于两个定点的距离）的动点轨迹叫做双曲线。
即{P|||PF1|-|PF2||=2a, (2a<|F1F2|)}。
3. 圆锥曲线的统一定义：到定点的距离与到定直线的距离的比e是常数的点的轨迹叫做圆锥曲线。
当0<e<1时为椭圆：当e=1时为抛物线；当e>1时为双曲线。
二、圆锥曲线的方程。
1.椭圆：+=1（a>b>0）或+=1（a>b>0）（其中，a2=b2+c2）2.双曲线：-=1（a>0, b>0）或-=1（a>0, b>0）（其中，c2=a2+b2）3.抛物线：y2=±2px（p>0），x2=±2py（p>0）三、圆锥曲线的性质1.椭圆：+=1（a>b>0）（1）X围：|x|≤a，|y|≤b（2）顶点：(±a,0)，(0,±b)（3）焦点：(±c,0)（4）离心率：e=∈(0,1)（5）准线：x=±2.双曲线：-=1（a>0, b>0）（1）X围：|x|≥a, y∈R（2）顶点：(±a,0)（3）焦点：(±c,0)（4）离心率：e=∈(1,+∞)（5）准线：x=±（6）渐近线：y=±x3.抛物线：y2=2px(p>0)（1）X围：x≥0, y∈R（2）顶点：（0,0）（3）焦点：（,0）（4）离心率：e=1（5）准线：x=-四、例题选讲：例1.椭圆短轴长为2，长轴是短轴的2倍，则椭圆中心到准线的距离是__________。
解：由题：2b=2，b=1，a=2，c==，则椭圆中心到准线的距离：==。
圆锥曲线的统一定义
圆锥曲线的统一定义一、椭圆的第二定义及其推导过程1.定义:当点M 与一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数()01ce e a=<<时,这个点的轨迹是椭圆.一般称之为椭圆的第二定义,定点是椭圆的焦点,定直线叫做椭圆的准线,常数e 是椭圆的离心率. 2.推导过程:例1 点()M x y ,与定点()0F c ，的距离和它到定直线2:a l x c =的距离的比是常数()0ca c a>>,求点M 的轨迹.解:设d 是点M 到直线l 的距离,根据题意,所求轨迹就是集合|MF c P M d a ⎧⎫==⎨⎬⎩⎭. 由此得222()x c y c aa x c-+=-. 将上式两边平方,并化简,得22222222()()a c x a y a a c -+=-. 设222a cb -=,就可化成22221(0)x y a b a b+=>>.这是椭圆的标准方程,所以点M 的轨迹是长轴长为2a ,短轴长为2b 的椭圆. 二、双曲线的第二定义及其推导过程1.定义:当点M 与一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数()1ce e a=>时,这个点的轨迹是双曲线圆.一般称之为双曲线的第二定义,定点是双曲线的焦点,定直线叫做双曲线的准线,常数e 是双曲线的离心率. 2.推导过程:例2 点()M x y ,到定点()0F c ，的距离和它到定直线2:a l x c=的距离的比是常数()0cc a a>>,求点M 的轨迹. 解:设d 是点M 到直线l 的距离.根据题意,所求轨迹就是集合|MF c P M d a ⎧⎫==⎨⎬⎩⎭, 由此得222()x c y c aa x c-+=-,化简,得22222222()()c a x a y a c a --=-. 设222c a b -=,就可化为22221(00)x y a b a b-=>>,这是双曲线的标准方程,所以点M 的轨迹是实轴长、虚轴长分别为22a b ，的双曲线(如图1).对于双曲线22221(00)x y a b a b -=>>，,相应于焦点(0)F c ，的准线方程是2a x c =,根据双曲线的对称性,相应于焦点(0)F c '-，的准线方程是2a x c=-,所以双曲线有两条准线.三、几点说明:1.圆锥曲线的统一定义:平面内到一个定点F 和到一条定直线l (F 不在l 上)的距离之比等于常数e 的点的轨迹:0<e <1时, 它表示椭圆；e >1时, 它表示双曲线；e =1时, 它表示抛物线,这里e 为离心率, F 为焦点,l 为准线2.第二定义中的定直线是任意直线,定点也是任意的(不在定直线上),这样得到的圆锥曲线方程不一定是标准形式.3.应用圆锥的第二定义要把握两个关键点:①必须是点到焦点的距离与点到相应准线的距离的比；②必须是焦点距与对应准线距的比.四、第二定义的典型应用 1、直接应用与求焦点弦长.例 1 (1)椭圆22110064x y +=上有一点P ,它到椭圆的左准线的距离等于10,则点P 到它的右焦点的距离为 ；(2)过抛物线24y x =的焦点F 作直线交抛物线于()()1122,A x y B x y ,,,若126x x +=,则AB 的长为 .解:(1) 解:∵2210064a b ==，,∴22100646c a b =-=-=.∴63105c e a ===. 依椭圆的第二定义,设P 点到椭圆左焦点的距离为x ,则3105x =.∴6x =. ∴点P 到椭圆右焦点距离为210614⨯-=.(2)设AB 的中点为E,点A 、E 、B 在抛物线准线l :1x -=上的射影分别为G 、H 、M.由第二定义知:8)1(2x x 2|EH |2|BM ||AG ||BF ||AF ||AB |21=--+==+=+=. 2、求离心率及其取值范围.例2 设椭圆()222210x y a b a b+=>>的右焦点为1F ,右准线为l 1,若过F 1且垂直于x 轴的弦的长度等于F 1到准线l 1的距离,求椭圆的离心率.解:如图,AB 是过F 1垂直于x 轴的弦,|C F |1为F 1到准线l 1的距离,AD ⊥l 1于D,则|AD|=|F 1C|,由题意知|AB |21|AF |1=.由椭圆的第二定义知:21|AB ||AB |21|C F ||AB |21|AD ||AF |e 11==== 例3 已知椭圆()222210x y a b a b+=>>,12F F ,分别是左、右焦点,若椭圆上存在点P ,使∠F 1PF 2=90°,求椭圆的离心率e 的取值范围.解:设点P(00y x ，),则由第二定义得0201ex a c a x e |PF |+=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=,0022ex a x c a e |PF |-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=. 因为21F PF ∆为直角三角形,所以2212221|F F ||PF ||PF |=+.即222020c 4)c 2()ex a ()ex a (==-++解得2222e a c 2x -=,由椭圆方程中x 的范围知220a x 0≤≤.2222a e a c 20<-≤∴,解得1e 22<≤. 3、求点的坐标例4 双曲线2213y x -=的右支上一点P ,到左焦点F 1与到右焦点F 2的距离之比为2:1,求点P 的坐标.解:设点P(00y x ，)(0x 0>),双曲线的左准线为l 1:21x -=,右准线为l 2:21x =,则点P 到l 1、l 2的距离分别为21x d 21x d 0201-=+=，.所以,1221x 21x d d PF PF 002121=-+==,解得23x 0=. 将其代入原方程,得215y 0±=.因此,点P 的坐标为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛±21523，. 4、求最值例5 已知点()23A -，,设点F 为椭圆2211612x y +=的右焦点,点M 为椭圆上一动点,求2MA MF +的最小值,并求此时点M 的坐标.解:如图,过点A 作右准线l 的垂线,垂足为N,与椭圆交于点M.∵椭圆的离心率21e =∴由第二定义得|MN ||MF |2= ∴|MF |2|AM |+的最小值为|AN|的长,且1082|AN |=+=∴|MF |2|AM |+的最小值为10,此时点M 的坐标为(32,3).巩固练习:1.椭圆222214x y b b+=上一点到右准线的距离是23b ,则该点到椭圆左焦点的距离为 .解:设该椭圆的的左右焦点分别是12,F F ,该椭圆的离心率为3e =,由圆锥曲线的统一定义可知,23232332PF e b b b =⋅=⨯=所以,12443PF b PF b b b =-=-=即该点到椭圆左焦点的距离为b .2.点P 在椭圆225x +29y =1上,它到左焦点的距离是它到右焦点距离的两倍,则点P 的横坐标是_____.12253.椭圆42x +y 2=1的两个焦点为F 1、F 2,过F 1作垂直于x 轴的直线与椭圆相交,一个交点为P ,则2PF 等于 .27解法一:(如下图)设椭圆的右焦点为F 1,左焦点为F 2,过F 1垂直于x 轴的直线与椭圆在第一象限的交点为P .∵42x +y 2=1,∴a =2,b =1,c =3.∴F 1(3,0).设P (3,y P )代入42x +y 2=1,得y P =21,∴P (3,21),|PF 1|=21.又∵|PF 2|+|PF 1|=2a =4,∴|PF 2|=4－|PF 1|=4－21=27.解法二:椭圆的左准线方程为x =－c a 2=－334.∵|)334(3|||2--PF =e =23,∴|PF 2|=27. 解法三:由解法一得P (3,21),又F 2(－3,0),∴|PF 2|=22)021()]3(3[-+--=27.4.如果双曲线264x －236y ＝1上一点P 到它的右焦点的距离是8,那么P 到它的右准线距离是 .532解析:利用双曲线的第二定义知P 到右准线的距离为e 8=8×108=532. 5.点M 与点()4,0F 的距离比它到直线:50l x +=的距离小1,则点M 的轨迹方程为 . 解:可知原条件⇔M 点到(4,0)F 和到4x =-距离相等,由抛物线的定义,点M 的轨迹是以(4,0)F 为焦点,4x =-为准线的抛物线.∴8=p ∴所求方程是x y 162=.6.已知P 为抛物线24y x =上任一动点,记点P 到y 轴的距离为d ,对于给定点A (4,5),则PA d +的最小值为 .134-7.已知点()()3220A F ，,，,在双曲线2213y x -=上求一点P ,使12PA PF +的值最小.解:∵1a b ==，∴2c =,∴2e =.设点P 到与焦点(20)F ，相应的准线的距离为d ,则2PFd=, ∴12PF d =.∴12PA PF PA d +=+,该问题就转化为在双曲线上求点P ,使点P 到定点A 的距离与到准线的距离和最小,即直线PA 垂直于准线时符合题意,∴23P ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭.8.定长为3的线段AB 的两端点在抛物线2y x =上移动,设点M 为线段AB 的中点,求点M 到y 轴的最小距离. 解:抛物线焦点1(,0)4F ,准线l :14x =-, 设点A 、B 、M 在准线l 上的射影分别是1A 、1B 、1M ,设点00(,)M x y , 则11||||||||||AA BB AF BF AB +=+≥,又11111||(||||)||22MM AA BB AB =+≥, 又101|4MM x =+,||3AB =,∴01342x +≥,所以054x ≥,即0x 的最小值是54.∴点M 到y 轴的最小距离是54,当且仅当AB 过点F 是取得最小距离.9.已知双曲线22x a -22y b=1的离心率e >12+,左、右焦点分别为F 1、F 2,左准线为l ,能否在双曲线的左支上找一点P ,使得212PF PF d =⋅(其中d 是P 到l 的距离)?解:设在左支上存在P 点,使|PF 1|2=|PF 2|·d ,由双曲线的第二定义知d PF ||1=||||12PF PF =e ,即|PF 2|=e |PF 1|. ①再由双曲线的第一定义,得|PF 2|－|PF 1|=2a . ②由①②,解得|PF 1|=12-e a ,|PF 2|=12-e ae ,∵|PF 1|+|PF 2|≥|F 1F 2|,∴12-e a +12-e ae≥2c . ③ 利用e =ac,由③得e 2－2e －1≤0,解得1－2≤e ≤1+2.∵e >1, ∴1<e ≤1+2与已知e >1+2矛盾.∴在双曲线的左支上找不到点P ,使得|PF 1|是P 到l 的距离d 与|PF 2|的等比中项.10.已知点P 在双曲线221169x y -=上,并且P 到这条双曲线的右准线的距离恰好是P 到这条双曲线的两个焦点的距离的等差中项,求P 点的横坐标.M1M。
高考数学解题方法与技巧---圆锥曲线的离心率的五种求法
离心率是圆锥曲线的一个重要性质，我们知道，椭圆的离心率 0 < e < 1 ，双曲线 的离心率 e > 1，抛物线的离心率 e = 1．因此求椭圆，双曲线，抛物线的离心率成了近 年高考热点，为了使大家更也的理解和撑握此类题型解题方法与技巧，本人结合近年 高考以及实际经验，介绍以下几种求圆锥曲线离心率常用方法，希望能对大家有所帮 助。
A. 3 4
B. 2 3
C. 1 2
D. 1 4
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解：由 F1(1,0) 、F2 (3,0) 知 2c = 3 −1，∴ c = 1 ，又∵椭圆过原点，∴ a − c = 1，a + c = 3 ，
∴ a = 2 ， c = 1 ，所以离心率 e = c = 1 .故选 C. a2
−
a
，得
c a
2
−
2
c a
−
2
=
0
，解得
e = c =1+ a
3 （1−
3 舍去），故选 D
x2 变式练习 1：设双曲线 a 2
−
y2 b2
= 1（ 0 < a < b ）的半焦距为 c ，直线 L 过 (a,0)，(0,b) 两
点.已知原点到直线的距离为 3 c ，则双曲线的离心率为(
)
= −6x 的准线是 x
=
3 2
，即双曲线的右准线 x
=
a2 c
=
c2 −1 = c
3
，则 2
2c2 − 3c − 2 = 0 ，解得 c = 2 ， a = 3 ， e = c = 2 3 ，故选 D a3
圆锥曲线的统一定义
圆锥曲线的统一定义【新知导读】1c a x c=-，这个式子的几何意义为 .2.圆锥曲线可以统一定义为： . 当01e <<时，它表示 ；当1e >时，它表示 ；当1e =时，它表示 .其中e 是圆锥曲线的 ，定点F 是圆锥曲线的 ，定直线 l 是圆锥曲线的 .3. 设椭圆12222=+by a x （a ＞b ＞0）的右焦点为F 1，右准线为1l ，若过F 1且垂直于x 轴的弦的长等于点F 1到1l 的距离，则椭圆的离心率为________ . （这一题，我们能否不通过计算得到结果？） 答案：21 4.抛物线x y 122=上与焦点的距离等于9的点的坐标是_____ __ _. 答案：)266(， 、)266(-， 【范例点睛】例1二：双曲线191622=-y x 的左右焦点分别为21F F 、，在双曲线的右支上求点P ，使|PF 1|=3|PF 2|．分析：欲求点P 的坐标(x ，y )，必须建立两个关于x 、y 的方程，由题意及两点间距离公式很容易得到方程组，但想必解起来麻烦些，进一步分析题意，PF 1，PF 2都是焦半径，于是联想到双曲线的两个定义，从不同的定义出发，我们得到以下两种不同的解法：解法1：易知F 1(－5，0)，F 2 (5，0)821=-PF PF213PF PF =∴42=PF ，则有：16)5(22=+-y x ①16916922⨯=-y x ②消去y ，得25x 2-160x =0∴532=x 代入②得3953±=y ∴所求点P 坐标为（532，3953±） 解法2：设点P 到左、右准线的距离分别为d 1、d 2．则11ed PF =， 22ed PF =，2==ac e ∵|PF 1|=3|PF 2|∴d 1=3d 2于是51622==c a d ∴点P 的横坐标为53222==d x 再将532=x 代入双曲线方程，得3953±=y ∴所求点P 坐标为（532，3953±）. 例2已知点A （1，2）在椭圆1121622=+y x 内，F 的坐标为（2，0），在椭圆上求一点P 使PF PA 2+最小.（对这种距离问题，我们有可能会想到应用两点间距离公式来解，但是很快就发现这种解法极为复杂，这时我们就想到能否另辟蹊径？请大家打开几何画板演示，四人小组合作探索这条题的解法）（其实，有了上几题的启示，我们很快就可以想到能不能从PF 这条焦半径入手，由椭圆方程知道21=e ，从而有d ed PF 21==，很快我们就可以发现d PF =2，且这样就可以把焦半径PF 转化为PP ’，从而使得问题的规律性更为明显――只需把折线拉直了就可以得到最小值。
圆锥曲线统一定义的应用
圆锥曲线统一定义的应用一、圆锥曲线的统一定义椭圆、双曲线和抛物线统称为圆锥曲线，在解题过程中，我们经常用到它们的统一定义：平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离之比为常数e 的点的轨迹，当01e <<时，轨迹是椭圆；当1e >时，轨迹是双曲线；当1e =时，轨迹是抛物线．其中，点F 是曲线的焦点，直线l 是对应于焦点F 的曲线的准线，e 为离心率．圆锥曲线的统一定义把焦点、准线和离心率巧妙地联系起来，在解相关的题目时，巧妙运用统一定义，能起到化繁为简的作用，使问题简洁明快的得以解决．二、圆锥曲线统一定义的应用1．求距离问题例1 椭圆22110036x y +=上一点P 到左焦点的距离为6，则点P 到右准线的距离是多少？解：由第一定义，点P 到右焦点的距离为2614a -=，再由统一定义，得14810e d ==， ∴352d =，所以点P 到右准线的距离为352． 2．求最值问题例2 已知椭圆方程为2211612x y +=，右焦点为F ，(21)A ，为其内部一点，P 为椭圆上一动点，求P 点坐标，使2PA PF +最小．解：如图，由题意得4a =，b =，∴2c =，12c e a ==，由统一定义知2PF 即为P 到右准线的距离， 因此，要使2PA PF +最小，P 点除了应在y 轴的右侧外，还要使AP 与过P 点且与准线垂直的线共线即可，由22111612y x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩，，，解得P 点坐标为13⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，． 3．求轨迹方程例3 点M 与点(02)F -，的距离比它到直线:30l y -=的距离小1，求点M 的轨迹方程．解：由题意可知，点M 与点(02)F -，的距离和它到直线2y =的距离相等，根据定义知，轨迹是抛物线．因此22p =，∴28p =，故点M 的轨迹方程是28x y =-．4．求参数范围问题例4 在平面直角坐标系中，若方程222(21)(23)m x y y x y +++=-+表示的曲线为椭圆，则m 的取值范围为（ ）． Ａ．(01)， Ｂ．(1)+∞，Ｃ．(05)， Ｄ．(5)+∞，=，此式可看成点()x y ，到定点(01)-，的距离与到直线230x y -+=由统一定义<，所以51m>，故答案为Ｄ．。
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利用圆锥曲线的统一定义解题
圆锥曲线的统一定义揭示了圆锥曲线的内在联系，使焦点、离心率、准线等构成了一个和谐的整体。
恰当而灵活运用统一定义来解题，往往能化难为易，化繁为简，起到事半功倍的效果．下面谈一谈圆锥曲线的统一定义的解题功能。
一、“统一定义”活解曲线方程
例1、已知圆锥曲线过点(4,8)P --，它的一个焦点(4,0)F -，对应这个焦点的准线方程为4x =，求这条曲线的轨迹方程．
解：设(,)M x y 为该圆锥曲线上任一点，由统一定义得：4
44
MF PF
x =---，即
=
216y x =-，故所求曲线的方程为2
16y x =-
点评：利用圆锥曲线的统一定义来解，体现问题的本质，避免不必要的讨论，解题过程简捷．求圆锥曲线的轨迹方程时，涉及到焦点、准线、离心率和曲线上点4个条件中的3个，往往用圆锥曲线的统一定义解．
练习1：在平面内到定点（0，4）的距离比它到定直线5y =-的距离小1的动点的轨迹方程。
解：由题设可知：平面内动点到定点（0，4）的距离等于到定直线4y =-距离，由“统一定义”可知，动点的轨迹是以（0，4）为焦点，4y =-为准线的一条抛物线，其方程为216x y =。
二、“统一定义”妙解圆锥曲线的最值
例2、已知点(2,1)A 在椭圆内，F 的坐标为(2,0)，在椭圆上求一点P ，使||2||PA PF +最小．
分析：如果直译，很难使问题得到解决．根据所提供数据的特点，已知椭圆的离心率为
1
2
，而表达式||2||PA PF +中有系数２，可以考虑构造表达式||2||PA PF +的几何意义，紧扣椭圆的定义解答．
解：设椭圆上点P 到准线的距离为d ，则
1
2
PF e d ==，即2||d PF =，则问题转化为，在椭圆上求一点，使它到焦点F 与对应准线的距离之和最小，如图６，根据平面几何中的“垂线段最短”的性质，作2AM 垂直于准线，其与椭圆的交点即为所求点P ，故设
(,1)P x ，代入椭圆方程得x =P 为所求．
点评：根据椭圆的第二定义，通过离心率把到焦点的距离与到对应准线的距离之间进行
转化，结合图形的性质，探求解题方法，优化解题过程。
练习2：已知点A （3，0）、F （2，0），在双曲线22
13y x -=上求一点P ，使1
||||2
PA PF +
的值最小。
解：1,2,2a b c e ==∴=∴=。
设点P 到与焦点F （2，0）相应的准线的距离为d ，则
||2PF d =。
∴1
||2
PF d =。
1||||||2PA PF PA d ∴+=+，这问题就转化为在双曲线上求点P ，
使P 到定点A 的距离与到准线的距离和最小。
即直线PA 垂直于准线时合题意，∴P （1，0）。
三、“统一定义”妙求离心率
例3、已知椭圆22
221x y a b
+=(0)a b >>，过左焦点F 作倾斜角为060的直线交椭圆于,A B
两点，若2AF FB =，则椭圆的离心率e 为
解：如图，设2BF =，点B 到左准线的距离为d ，则4AF =， 点A 到左准线的距离3d +，由圆锥曲线的统一定义得
422
33
e d d =
==+ 点评：解法的关键是抓住了题设条件的特点，取2BF =并利
用了060的直角三角形的特性，根据椭圆的第二定义得到了比例式，从而利用等比定理简化了求解程序．
练习3：设点P 是双曲线)0,0(122
22>>=-b a b
y a x 右支上的任意一点，21,F F 分别是其
左、右焦点，离心率为e ，若21PF e PF ⋅=，求此双曲线的离心率e 的取值范围。
解：由双曲线的第一定义可知：a PF PF 221=-，又21PF e PF ⋅=，故1
22-=
e a PF ，121-=
e ae
PF ，在21PF F ∆中，2121F F PF PF ≥+（当且仅当点21,,F P F 共线时取等号），即c e e a 21
)
1(2≥-+，所以0122≤--e e ，即211+≤<e ，故所求双曲线的离心率e 的取值范围是]21,1(+。
四、“统一定义”妙定位置关系
例4、设椭圆的左焦点为F ，AB 为椭圆中过点F 的弦，试分析以AB 为直径的圆与左准线的位置关系．
解：设M 为弦AB 的中点（即以AB 为直径的圆的圆心），
111A B M ，，分别是A 、B 、M 在准线l 上的射影（如图）．由圆锥曲
线的共同性质得111()2AB AF BF e AA BB e MM =+=+=． ∵01e <<，∴12AB MM <，即
12
AB
MM <．∴以AB 为直径的圆与左准线相离． 练习4：在抛物线2
2y px =中（如图）A 为抛物线上异于顶点的任一点，问以|PA|为直径的圆与y 轴的位置关系如何。
解：如图，设过A 点且平行于x 轴的直线交y 轴于B 点，交直线L 于C 点，由统一定义可知|AC|=|AF|，设x 轴与准线L 交于D ，则|OF|=|OD|=|BC|，取AF 的中点M ，过点M 且平行于x 轴的直线交于y 轴于N ，则1111||(||||)(||||)||||2
2
2
2
MN AB OF AB BC AC AF =+=+==。
所
Y X
C B A N
M
F
O D
以|FA|为直径的圆与y 轴相切。
五、“统一定义”妙解探索性问题
例5、已知双曲线22
125144
x y -=的左、右焦点分别为1F 、2F ,左准线为l .能否在双曲线的
左支上求一点P ,使1||PF 是P 到l 的距离d 与2||PF 的等比中项?若能,求出P 的坐标.若不能,说明理由.
解：我们可假设存在满足条件的点P ,则212||||PF d PF =,即121||||||
PF PF e d
PF ==.又
5,12a b ==,所以1313,5c e ==
,则2113
||||5
PF PF =.而21||||210PF PF a -==,所以122565||,||44PF PF ==,121245
||||||2
PF PF F F +=<,这与1212|||||PF PF F F +≥矛盾.故不存在
满足条件的点P .
点评：圆锥曲线的定义上其性质属性的深刻反映，运用其定义法求解是最直接、最基本，也是很简洁的方法。
这里将2
12||||PF d PF =化为比式,借助统一定义确定12||,||PF PF 的关
系,再联系第一定义,得到矛盾不等式.两个定义联手,可谓天衣无缝.
练习5：已知双曲线122
22=-b
y a x 的离心率21+>e ，左、右焦点分别为1F 、2F ，左准线
为l ，能否在双曲线的左支上找到一点P ，使得1
PF 是P 到l 的距离d 与2PF 的等比中项？ 解：设在左半支上存在P 点，使d PF PF ⋅=22
1，由双曲线的第二定义，知 e PF PF d PF ==1
21，即12PF e PF =．①再由双曲线的第一定义，得a
PF PF 212=-．② 由①、②，解得121-=e a PF ，1
22-=e ae
PF ． 在21F PF ∆中，有c
PF PF 221≥+，∴c e ae e a 21
212≥-+-．③ 利用a
c e =
，从③式得0122
≤--e e ．解得2121+≤≤-e ． 由1>e ，得211+
≤<e ，与已知21+>e 矛盾．∴符合条件的点P 不存在．
总之，我们在解决圆锥曲线的问题时，从定义的角度考虑出发是一种很好的解题思路。
定义是分析、解决问题的重要依据，巧妙简捷的解题常常来源于定义的恰当合理应用，只有熟练掌握每一个定义的本质属性，把握其内涵与外延，才能灵活地用定义解题。