圆锥曲线定义解题

巧用圆锥曲线定义法解题

摘要：圆锥曲线是解析几何中的重点，也是高中数学教学过程中的重点章节之一，在教学过程和高考试卷中都占有很大的比例。在历年高考的命题中都是热点和重点之一。圆锥曲线的定义在初高中数学乃至高等数学中，都有广泛的应用。本论文首先对圆锥曲线的定义进行归纳总结概述，运用类比和大量的举例对圆锥曲线概念作了说明；其次给出了利用圆锥曲线定义巧解题的一些方法以及解题过程，然后对利用圆锥曲线定义巧解题中所涉及到的数学思想作了归纳和总结；最后通过调查分析了解了学生在学习利用圆锥曲线定义解题中常出错的地方，并给出了应对方法。

关键词：圆锥曲线定义解题方法

一、圆锥曲线的定义

圆锥曲线包括三类曲线，分别为椭圆，双曲线，抛物线。对于圆锥曲线，国际上总体上有两大类的定义，第一种定义明确的标出了圆锥曲线的三类曲线的特性，第二种定义则概括出了各圆锥曲线的本质上的联系。在数学中，定义是展现数学概念之间区别的强有力的工具，定义反映了数学对象的本质属性和特征，对与数学定义的深刻理解，能够为提高解题能力打下坚实基础。在圆锥曲线中，有相当多的问题是可以化归到运用定义从而得以简捷求解。

1.1圆锥曲线的第一定义

高中数学教材中对与圆锥曲线给出了两种定义，第一定义展示了三类曲线各自独特性质和几何特征，分别为：椭圆：平面内与两个定点距离的和等于定值的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做焦距。

双曲线：平面内与两个定点距离的差的绝对值是定值的点的轨迹叫做双曲线。这两个定点叫双曲线的焦点，两焦点的距离叫做焦距。

抛物线：平面内到一个定点和一条定直线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线。

几何解析中，用垂直于圆锥锥轴的平面去截圆锥，得到的是圆;把平面稍稍的倾斜，得到椭圆；当平面倾斜到和圆锥的一条母线平行时，得到抛物线；当平面再倾斜一些就可以得到双曲线。

1.2圆锥曲线的第二定义

圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛物线）统一定义：平面内一个动点M与一个定点F的距离与一条定直线l（点F不在直线l上）的距离比等于一个常数e。当0＜e＜1时，动点M的轨迹是椭圆；当e=1时，动点M的轨迹是抛物线；当e＞1时，动点M的轨迹是双曲线。

圆锥曲线的第二定义，是圆锥曲线定义概念的重要组成部分，揭示了圆锥曲线之间的内在联系。学习好圆锥曲线的定义，不仅是研究圆锥曲线图像与性质的基础，而且在许多高中数学问题的解题过程中。具有不可磨灭的特殊作用。

第二定义（又叫做统一定义）深刻揭露了三类曲线的内在联系，使焦点，离心率，和准线等构成一个统一的整体，它揭示了圆锥曲线定义的本质属性。 二、圆锥曲线定义的作用

2.1导向作用:充分理解圆锥曲线的定义，对于很多高中数学以至于以后的高等数学，关于圆锥曲线的问题的解题过程上都有很大的导向作用，可以有助于拓展学生的数学解题思维，启迪解题思路。

2.2简化作用:几何学学习中巧用圆锥曲线的定义，能够化简复杂的变形与讨论，从而使问题变得简洁，也有利于学生在考场上轻松解决与关于圆锥曲线考点的相关习题。

2.3转化作用:结合曲线圆锥的第一和第二定义，分析具体题目的独特的结构特征，有助于发掘隐含在考题当中的条件，从而使得题目化隐为显，有效解决高考中的圆锥曲线问题。

2.4联络问题:对于一些需要多种属性思维和解题方法技巧的题目，圆锥曲线定义可以再其中起到桥梁纽带作用，使得解题思路更连贯畅通。

三、圆锥曲线的方程和圆锥曲线的基本性质 3.1圆锥曲线的方程

3.1.1椭圆 参数方程：θθsin ;cos x b Y y +==(θ为参数) 直角坐标（中心为原点）：1a x 22

22=+b

y

3.1.2抛物线 参数方程：pt 2x 2=（t 为参数） 直角坐标：c bx ax y 2++=（开口方向为y 轴，0a ≠） 3.1.3双曲线 参数方程：θθtan ;asec x b Y y X +=+=(θ为参数)

直角坐标（中心为原点）：1-a x 22

22=b

y （开口方向为x 轴） 22

22y x -=1y a b （开口方向为轴）

在近几年高考对于考察圆锥曲线的考题中，大多数都是题目繁琐，且解答过程也很繁杂，但如果能透彻的理解圆锥曲线的定义，并利用定义熟练解题，就会使问题化繁为简， 3.2椭圆、双曲线和抛物线基本性质

椭 圆 双曲线 抛物线

轨迹条件

{M ｜｜MF 1｜+｜MF 2｜

=2a,｜F 1F 2｜＜2a}

{M ｜｜MF 1｜-｜MF 2｜.

=±2a,｜F 2F 2｜＞2a}.

{M ｜ ｜MF ｜=点M 到

直线l 的距离}.

曲

线 性 质

形 状

标准方程 22a x +2

2

b y =1(a ＞b ＞0)

22a x -2

2

b y =1(a ＞0,b ＞0)

y 2=2px(p ＞0)

顶 点

A 1(-a,0),A 2(a,0);

B 1(0,-b),B 2(0,b)

A 1(0,-a),A 2(0,a)

O(0,0)

轴

对称轴x=0,y=0

长轴长：2a

短轴长：2b 对称轴x=0,y=0

实轴长：2a 虚轴长：2b

对称轴y=0

焦 点

F 1(-c,0),F 2(c,0)

焦点在长轴上 F 1(-c,0),F 2(c,0)

焦点在实轴上 F(

2

P

，0) 焦点对称轴上

焦 距

｜F 1F 2｜=2c ，

c=b2-a2

｜F 1F 2｜=2c,

c=b2a2+

准 线

x=±c

a 2

准线垂直于长轴，且在椭圆外.

x=±c

a 2

准线垂直于实轴，且在两顶点的内侧.

x=-

2

p

准线与焦点位于顶点两侧，且到顶点的距离相等.

离心率 e=

a

c

,0＜e ＜1 e=

a

c

,e ＞1 e=1

四、巧用圆锥曲线定义解最值问题 4.1.椭圆第一定义在最值问题中的巧用

椭圆第一定义：平面内到两定点1F 、2F 的距离之和等于常数a 2的动点M 的轨迹叫椭圆，即

a MF MF 221=+。

例1：椭圆

116

362

2=+y x 上一点P 到两个焦点距离之积为m ，求m 的最大值，并求出当m 取得最大值时P 点的坐标。

分析：此题求P 点到两焦点之积，由不等式性质和椭圆第一定义，可转化为两距离之和来求解。

解：设椭圆116

362

2

=+y x 的左右焦点分别为1F 、2F , 1021=+PF PF ,2522

2121=???? ??+≤=PF PF PF PF m , 当且仅当21PF PF =时取等号，此时点P 为短轴的端点。

所以P 的坐标为（0，4）或（0，-4）时，m 能够取最大值，最大值为36。

考题中考察的是圆锥曲线的最值问题，而且题目中有涉及到圆锥曲线的焦点，我们此时可快速想到这种问题可以运用圆锥曲线的定义来解。此题考察的是动点到两焦点距离之积，从而能够很快速的想到该题能够涉及圆锥曲线的第一定义：动点到两定点距离之和等于定值2a 。再结合曾经学过的不等式性质，能够很容易的把题目的考点转化为曾经学过的知识，从而使得问题得到轻松的解决。

例2、如图，椭圆C 的方程为22

22 1 (0)y x a b a b

+=>>，A 是椭圆C 的短轴左顶点，过A 点作斜率为－1的

直线交椭圆于B 点，点P （1，0）, 且BP ∥y 轴，△APB 的面积为

9

2

，求椭圆C 的方程； 分析：看似题目考查的是函数问题 ，按照经验似乎应该做函数求峰值。但如果这样一来，问题会变的很复杂。但是我们可以巧用椭圆的第一定义，解答就相比较变得简洁许多。

解：（1） ,2

9

21=?=

?PB AP S APB 又∠PAB ＝45°， AP ＝PB ，故AP ＝BP ＝3. ∵P （1,0），A （－2,0），B （1,－3）

∴ b=2，将B 点坐标代入椭圆得：22

2

19

1b b a =???+=?? 得 2

12a =，所求椭圆方程为22 1 124y x += 如果题目问的是圆锥曲线的最值问题时, 如果由题目所给的条件, 考虑用圆锥曲线的定义来求解, 就能起到化繁为简的效果。在解题中，要注意题目的已知条件，对问题中所给的条件反复推敲，举一反三。假以时日，以后遇到相同或者相近的习题时，就都可以此类推，下面列出一题，因解法类似，在此就不做解答了。题：已知两点M(-2, 0)，N(2, 0)，动点P(x, y)在y 轴上的射影为H ，PH 是2和PN PM ?的等比中项.（1）求动点P 的轨迹方程；（2）若以点M 、N 为焦点的双曲线C 过直线x+y=1上的点Q ，求实轴最长的双曲线C 的方程. 4.2.双曲线的第一定义在最值问题中的巧用

双曲线第一定义：平面内点M 与一定点F 的距离和它到一定直线的距离的比是常数a

c

e =，这个点 M 的轨迹是双曲线。定点是双曲线的焦点，定直线叫双曲线的准线，常数e 是双曲线的离心率。

例3：如图2，M 是以A 、B 为焦点的双曲线2

2

2x y -=右支上任一点，若点M 到点C （3，1）与点B 的距离之和为S ，则S 的取值范围是（ ）

A

B

P x

y

O

A 、)

262,?++∞?

B 、)2622,?-+∞?

C 、)

2622,2622?-+?

D 、)262,?-

+∞?

解：连结MA ，由双曲线的第一定义可得：2MB MC MA a MC +=-+

22222622MA MC AC =+-≥-=- 当且仅当A 、M 、C 三点共线时取得最小值。

此题充分凸显的用圆锥曲线定义解题的便捷性。 我们现将该题延伸

（1）若M 点在左支上，则点M 到点C （3，1）与点B 的距离之和为S ，则S 的取值范围是多少？

（2）如果M 是以A 、B 为焦点的椭圆22143x y +=上任一点，若点M 到点1,12C ?? ???

与点B 的距离之差为S ，则S 的最大值是多少？

（3）如果M 是以A 、B 为焦点的椭圆22143

x y +=上任一点， 若点M 到点1,12C ??

???

与点B 的距离之和为S ，则S 的取值范围是多少？ 分析：连结MA ，由椭圆的第一定义可得：()

22MB MC a MA MC a MA MC +=-+=--，当且仅当A 、M 、C 三点共线时取得最大、最小值，如图所示。对于抛物线，也有类似的结论，由于较简单，在此就不一一列举了。

例4：已知双曲线

19

162

2=-y x 内有一点()2,6B ,1F 、2F 分别为双曲线左右焦点，P 是双曲线右支上的动点，求PB PF +2的最小值。

分析：题目问的是PB PF +2的最值问题，若从函数问题着手求最值则显得太过繁琐，我们可以从圆锥曲线定义入手。利用曲线第一定义，把2PF 转化为81-PF ,而1PF PB +为平面内三点距离之和，当B ,P ,1F 点共线时有最小值。

解:如图，由题意得)0,5(1-F 、()0,52F ，有双曲线的第一定义得 821=-PF PF 所以PB PF +2=812-=PF PF ，当p 点在如图2位置时有最小值，当P 点

在如图位置时有最小值，即552)56(2211=++=≥+BF PB PF ,所以PB PF +2的最小值为855-。

Y

X

M1

F

O

M

Y

X

N M1

A

O

M

4.3.抛物线的第一定义在最值中的巧用

抛物线的定义，必须满足的条件是定点需在直线外。如果定点跑到直线上，则平面内与这个定点和定直线距离相等的点的轨迹是过这个定点与定直线垂直的直线。在抛物线的标准方程px 2y 2=中,p 的几何意义是焦点到准线的距离。

1、用定义解决的第一类问题：求抛物线标准方程。

若已知焦点，准线，顶点，以及抛物线上一点的坐标这四个条件中的任意两个，就可以画出草图求出抛物线的标准方程。

2、用定义解决的第二类问题：已知抛物线的标准方程求焦点坐标和准线方程。 又如，下面的问题涉及到充分把握定义中p 的几何意义。

例5：求抛物线x2=2ay(a ≠0)的焦点坐标和准线方程。方程中的字母a 有两种情况：

（1）a>0时，抛物线开口向上，2p=2a,p=a,p/2=a/2,焦点（0,a/2）在y 轴正半轴上,准线方程：x=-a/2. （2）a<0时，抛物线开口向下，x2=-(-2a)y,2p=-2a,p=-a,p/2=-a/2,焦点（0,a/2）在y 轴负半轴上,准线方程：x=-a/2.

这样讨论之后才发现，无论a (a ≠0)取何值，焦点坐标（0,a/2）,准线方程：x=-a/2. 4.4利用抛物线定义解决的第三类问题：焦半径和焦点弦。

抛物线px 2y 2=上任意一点M ），（00y x ，焦点为F ，线段MF 叫做焦半径。MF 2

p

x 0+

= 如图。连接MF ，并作1MM 垂直于准线l 交y 轴于点n 。 根据抛物线的定义，NM MM MF +=12

p x 0+

= 应用：求焦点在x 轴上，且点)3,2-(A 到焦点的距离是5，求抛物线的方程。

抛物线px 2y 2=，过焦点的直线AB 交抛物于A,B 两点，A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2),线段AB 叫做抛物线的焦点弦。由上面焦半径公式可知，BF AF AB += ∴ AB =x 1+

2p +x 2+2

p 于是得到焦点弦公式： AB =p x x 21++ 。这个公式2-x m =：对于开口方向不同的抛物线要灵活应用，在理解的基础上进行记忆。

例6：动点M 到）（0,3A 的距离比到直线m ：2-x =的距离大1，求动点M 的轨迹。

如果用一般求轨迹的方法，解法如下：设），（y x M ，点M 到准线m 距离为d 则，

MA =1d +即，12)30(22++=+-x y x 根据图形可知，点M 在直线的右侧，

于是去绝对值得12)30(22++=+-x y x 两边平方化简得：x 12y 2

=

这样求出来才发现点M 的轨迹是抛物线。

我们也可以换一种思路：先判断出轨迹再求方程。如图，作m 的垂线交m 于N ，交直线3-x =于1M .则

MA =MN 1+ 而MN =+11MM 所以MA =1MM

这样，用语言表述上面的等式是：点M 到点)0,3(A 的距离等于它到直线3-=X 的距离，根据抛物线的定义可知，点M 的轨迹是抛物线，点A 是焦点，x=-3是准线。所以6=P ，抛物线的标准方程是：x 12y 2=。

对比以上两种解题方法，第一种方法是先求出轨迹方程后知道轨迹，第二种方法先判断出轨迹再求解轨迹方程。我倾向于第二种方法，简化了计算，比较简单。当然了，只有在熟练了定义情况下才能做到得心应手。 五、圆锥曲线第二定义在最值问题中的巧用 5.1椭圆第二定义在最值问题中的巧用

圆锥曲线的第二定义既是推导圆锥曲线标准方程的依据，又是用来解决一些问题的重要方法，一般情况下，当问题涉及焦点或准线，且用其它方法不易求解时，可考虑运用定义求解。圆锥曲线中涉及到很多最值问题，如果方法不当，求解过程就很复杂。有些与焦点和准线有关的问题，从第二定义入手，就很容易解决问题。

圆锥曲线第二定义在求最值的形式一般是：PF e

PA 1

+

的最小值。其中，在曲线C （椭圆，双曲线或抛物线）内一定点（异于焦点），P 是曲线C 上的一个动点，F 是曲线C 的一个焦点，e 是曲线C 的离心率。

椭圆第二定义：平面内动点M 与一个定点的距离和它到一条定直线的距离之比为常数a

c

e =()1

例7：已知112

16,)3,2(2

2=+-y x F A 是

的右焦点，点M 为椭圆的动点，求MF MA 2+的最小值， 并求出此时点M 的坐标。

分析：此题主要在于MF 2的转化，由第二定义：2

1

=

=e d

MF ，可得出d MF =2，即为M 到L （右准线）的距离。再求最小值可较快的求出。

解：如图所示，过M 作l MN ⊥于N ，L 为右准线：8=x ，由第二定义，知：

2

1=

=e d

MF ，MN d MF ==∴2 ,2MN MA MF MA +=+ 要使MF MA 2+为最小值，即：MF MA +为“最小”

，由图知： 当N M A 、、共线，即：l AM ⊥时，MF MA 2+为最小；且最小值为A 到L 的距离10=，此时，可设

)3,(0x M ，代入椭圆方程中，解得：320=x 故：当)3,32(M 时，MF MA 2+为的最小值为10

由上我们可以知道，利用椭圆的第二定义解题，能够使问题转化为点到直线的距离，很容易使题目变得简单。

在以后的学习中，看到求点到直线的距离，就要充分理解运用第二定义的思维去解决圆锥曲线相关问题。

例8：设),(00y x P 为椭圆)0(,122

22>>=+b a b

y a x 的一点，离心率为e ，P 到左焦点F 1和右焦点F 2的距离分别

为r 1，r 2 求证：0201,ex a r ex a r -=+= 证明如图，由第二定义：

e c

a x PF =+

201 即：a ex c

a x e c a x e PF r +=+=+?==02

02011)( 又a PF PF 221=+ 0012)(22ex a ex a a r a r -=+-=-=∴ 注：①上述结论01ex a r +=，02ex a r -=称为椭圆中的焦半径公式

②a x a ex a r PF ≤≤-+==0011由 得出c a a e a r c a ea a r -=-?+≥+=+≤)(11且 即c a PF c a +≤≤-1当）a ，（，P c a PF 01--=为时 当）（a，，P c a PF 01为时+= 5.2.双曲线的第二定义在最值问题中的巧用

双曲线的第二定义：平面内点M 与一定点F 的距离和它到一定直线的距离的比是常数a

c

e =，这个点 M 的轨迹是双曲线。定点是双曲线的焦点，定直线叫双曲线的准线，常数e 是双曲线的离心率。

例9：平面内，点)y x (，M 与定点)0c (，F 的距离和它到直线2

:a l x c

=的距离的比是常数(0)c c a a >>，

求点M 的轨迹。

首先通过《几何画板》演示，让学生有一个感性的认识，并从中观察出点的轨迹，然后进行求解。 解：设d 是点M 到直线1的距离，根据题意，所求的轨迹就是

222

2222222222

2

2

2

22()||

,.,()().,1(0,0).

x c y MF c c P M d a a a

x c

c a x a y a c a x y c a b a b a b

-+??

==

=???

?-

--=--=-=>>集合由此得化简得设就可化为

这是双曲线的标准方程，所以点M 的轨迹是实轴长、虚轴长分别为2a 、2b 的双曲线。

注:对于双曲线22

221x y a b

-=，相应于焦点)0c (，F 的准线方程是2a x c =，根据双曲线的对称性，相应于焦点

)0c ('

，-F 的准线方程是2

a x c

=-，所以双曲线有两条准线。

例10：如果双曲线

22

16436

x y -=上一点P 到双曲线右准线的距离d 等于8，求点P 到右焦点F 的距离PF 。 :648,366,643610

||||10

,,||10

88

a b c PF c PF PF d a ====∴=+==∴=∴= 解 即点P 到右焦点F 的距离PF 为10。 如上题如何求P 到左焦点'F 的距离'PF 解：a 2'=-PF PF ， ∴1610-'=PF ， ∴26'=PF

方法二：双曲线左支上的点离右准线的距离的最小值2

()14.48a a c

--=>，故P 点为双曲线右支上的点， ∴P 到左准线的距离26428220.8.10

a d d c '=+=+= 由双曲线的第二定义||10||10

,,||26.820.88PF PF PF d '''==∴='即 注：通过一题多解巩固双曲线中焦点与准线的“对应”关系。

例2：已知点)35(，

A ，)02(，F ，在双曲线2

2

13

y x -=上求一点P ，使1||||2PA PF +的值最小。 解：∵1a =，3b =，∴2c =，e=

2c

a

=，设P 到与焦点

）（0,2相应的准线的距离为d ， 则

||1

2,||2

PF PF d d =∴=即在双曲线上求点P ，使P 到定点A 的距离与到准线的距离和最小， 显然直线垂直于准线时合题意，且在双曲线的右支上，此时P 点纵坐标为3，∴所求的点为)32(，

P 5.3.抛物线的第二定义在最值中的巧用

例11：设P 是x y 42

=上的一个动点，若有点()2,3B ，求PF PB +的最小值。

分析: 此题是求PF e

PA 1

+

的最小值”问题，由抛物线的离心率1=e ， 则可把PF 转化为P 点到准线的距离，再结合几何知识从而问题得解。

解：作抛物线的准线为L ,过P 点作准线L 的垂线交点为Q 由抛物线定义得4=≥+=+BQ PQ PB PF PB

如图， 当P 为过点B 的l 的垂线与抛物线的交点时取等号,即所求最小值为6。 题中PF ed =，将所求折线转化为直线，结合图形利用平面几何知识很容易解决问题 六．总结

1.巧用圆锥曲线定义解最值问题，能使问题简单化，从上面的类型可以得出，求解圆锥曲线最值问题可分分为以下两种：

（1）圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛物线）第一定义在最值问题中的巧用； （2）圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛物线）第二定义在最值问题中的巧用。

2.从上述例题可以看出，圆锥曲线定义是解决一些最值问题的有效而又快捷的方法。如果一道解答题题目涉及到对圆锥曲线定义的与圆锥曲线的位置关系、轨迹与最值等等,常常考虑通过圆锥曲线定义来求解，它的基本特点是解题思路比较简单, 规律性较强。圆锥曲线的定义是由曲线上的点到焦点的距离来刻画的, 由此可对一些距离进行有效的转化, 因此在解题中凡涉及曲线上的点到焦点的距离时, 应先想到利用定义进行求解, 会有事半功倍之效。

参考文献：

[1]张秀英，浅谈圆锥曲线定义解题，中国科教创新导刊，2010（32）。

[2] 任春玲，巧用圆锥曲线定义解决有关最值问题，试题与研究2教学论坛，2012（7）。

[3]杨万机，浅谈高中数学—以圆锥曲线定义的运用为例，数学学习与研究， 2011（15）。

[4]韦寿朋，高考中圆锥曲线问题剖析，数学爱好者(高考版)，2007（10）