初中圆定理和公式汇总
圆所有定理初中
初中数学中的圆及其定理在我们日常生活中，圆形无处不在。
无论是太阳、月亮，还是车轮、钟表，都呈现出完美的圆形。
而在数学的世界中，圆也是基本的几何图形之一。
本文将详细解读初中阶段关于圆的基本概念和主要定理。
首先，我们需要了解什么是圆。
根据定义，圆是一个平面内到一个固定点（称为圆心）的距离相等的所有点的集合。
这个固定距离被称为半径。
通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径，它是半径的两倍。
连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦是圆的直径。
接下来，我们将介绍几个与圆相关的基础定理。
1. 圆周角定理：圆周角等于它所对弧度的一半。
这意味着如果你知道一个圆周角的度数，你可以直接计算出对应弧度的度数。
2. 同弧等角定理：在一个圆中，如果两个弧对应的圆周角相等，那么这两个弧也相等。
3. 弧长公式：弧长L等于圆的半径r乘以弧度θ，即L= rθ。
这里的θ是以弧度为单位的弧度值。
4. 扇形面积公式：扇形面积A等于圆的半径r与弧度θ的乘积除以2，即A= 0.5r²θ。
5. 勾股定理在圆中的应用：直角三角形斜边的平方等于两腰的平方之和。
在这个定理中，如果我们有一个90度的圆周角，我们可以把它的两条边看作是半径，然后使用勾股定理来求解未知量。
6. 切线定理：从圆外一点向圆引切线和割线，这点和切点之间的线段长度平方等于这点到割线两交点距离的乘积。
7. 相交弦定理：圆内的两弦相交于圆心，则这两条弦分别被分成的线段的乘积相等。
理解和掌握这些知识，不仅可以帮助我们更好地理解日常生活中的圆形物体，还可以提升我们的逻辑思维能力和问题解决能力。
在学习过程中，我们应该注意理论联系实际，多做练习题，加深对定理的理解和运用。
只有这样，我们才能真正掌握这些知识，将其转化为自己的技能。
初中圆的所有公式定理
初中圆的所有公式定理圆是初中数学中非常重要的一个概念，它是由平面上所有到定点距离相等的点组成的图形。
在初中数学中，我们学习了许多关于圆的公式和定理，下面就让我们来一一了解。
一、圆的基本概念圆是由平面上所有到定点距离相等的点组成的图形。
其中，定点叫做圆心，到圆心距离相等的点叫做圆上的点，距离叫做半径。
二、圆的周长和面积公式1. 周长公式：C=2πr，其中C表示圆的周长，r表示圆的半径，π≈3.14。
2. 面积公式：S=πr²，其中S表示圆的面积，r表示圆的半径，π≈3.14。
三、圆的弧长和扇形面积公式1. 弧长公式：L=α/360°×2πr，其中L表示圆的弧长，α表示圆心角的度数，r表示圆的半径，π≈3.14。
2. 扇形面积公式：S=α/360°×πr²，其中S表示扇形的面积，α表示圆心角的度数，r表示圆的半径，π≈3.14。
四、圆的切线和切点定理1. 切线定理：如果一条直线与圆相切，那么这条直线与圆心的连线垂直。
2. 切点定理：如果一条直线与圆相切，那么这条直线与圆心的连线在切点处与圆的切线垂直。
五、圆的切线长度定理如果一条直线与圆相切，那么这条直线与圆心的连线在切点处与圆的切线垂直，且切线长度等于圆心到直线的距离。
六、圆的切线角定理如果一条直线与圆相切，那么这条直线与圆心的连线在切点处与圆的切线夹角等于圆心角的一半。
七、圆的切线定理如果一条直线与圆相切，那么这条直线与圆心的连线在切点处与圆的切线垂直。
八、圆的切线长度定理如果一条直线与圆相切，那么这条直线与圆心的连线在切点处与圆的切线垂直，且切线长度等于圆心到直线的距离。
九、圆的切线角定理如果一条直线与圆相切，那么这条直线与圆心的连线在切点处与圆的切线夹角等于圆心角的一半。
十、圆的切线定理如果一条直线与圆相切，那么这条直线与圆心的连线在切点处与圆的切线垂直。
以上就是初中圆的所有公式定理，它们是我们学习圆的基础，掌握好这些公式和定理，对于我们后续的学习和应用都有很大的帮助。
初中圆的相关定理
1 圆心角定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等。
2 周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。
3 垂径定理：垂直弦的直径平分该弦，并且平分这条弦所对的两条弧。
4 切线之判定定理：经过半径的外端并且垂直于该半径的直线是圆的切线。
5 切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，他们的切线长相等，这一点与圆心的连线平分这两条切线的夹角。
6 公切线长定理：如果两圆有两条外公切线或两条内公切线，那么这两条外公切线长相等，两条内公切线长也相等。
如果他们相交，那么交点一定在两圆的连心线上。
弦切角定理：弦切角的度数等于它所夹的弧的圆心角的度数的一半.
7 相交弦定理：圆内两条弦相交，被交点分成的两条线段长的乘积相等。
8 切割线定理：从圆外一点向圆引一条切线和一条割线，则切线长是这点到割线与圆的两个交点的两条线段长的比例中项。
9 割线定理：从圆外一点向圆引两条割线，这一条到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等。
圆的十八个定理是什么
圆的十八个定理是什么定理是经过受逻辑限制的证明为真的陈述。
一般来说，在数学中，只有重要或有趣的陈述才叫定理。
证明定理是数学的中心活动。
扩展资料圆的十八个定理1、圆心角定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等。
推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两弦的弦心距中有一组量相等那么它们所对应的其余各组量都相等2、圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。
推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等;同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等。
推论2：半圆(或直径)所对的圆周角是直角;90°的圆周角所。
推论3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。
3、垂径定理：垂直弦的直径平分该弦，并且平分这条弦所对的两条弧。
推论1：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。
推论2 ：圆的两条平行弦所夹的弧相等。
4、切线之判定定理：经过半径的外端并且垂直于该半径的直线是圆的切线。
5、切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，他们的切线长相等，这一点与圆心的连线平分这两条切线的夹角。
6、公切线长定理：如果两圆有两条外公切线或两条内公切线，那么这两条外公切线长相等，两条内公切线长也相等。
如果他们相交，那么交点一定在两圆的'连心线上。
7、相交弦定理：圆内两条弦相交，被交点分成的两条线段长的乘积相等。
8、切割线定理：从圆外一点向圆引一条切线和一条割线，则切线长是这点到割线与圆的两个交点的两条线段长的比例中项。
9、割线长定理：从圆外一点向圆引两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等。
10、切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径推论1 ：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点。
推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心。
11、弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧对的圆周角推论：如果两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角也相等。
2024中考数学知识点圆的基础性质公式定理
2024中考数学知识点圆的基础性质公式定理中考数学中圆的基础性质公式定理有以下几个：
一、圆周公式
圆的圆周C＝2πr，其中C为圆的圆周长，r为圆的半径。
二、圆的面积公式
圆的面积S＝πr2，其中S为圆的面积，r为圆的半径。
三、圆心角公式
圆心角的大小θ等于弧长除以半径：θ＝l/r，其中θ为圆心角的大小，圆周长l，半径r。
四、圆切线与圆弦关系
三次角关系：若圆的两条切线和圆弧相切，则圆心角的三个角相等：θA＝θB＝θC，其中θA,θB,θC分别为圆心角的三个角的大小。
五、圆周弦关系
三次角关系：若圆的两条切线和圆弧相切，则两条切线上有等于圆弧的三次夹角：θA＝θB＝θC，其中θA,θB,θC分别为圆弧上三次夹角的大小。
六、圆的外接四边形关系
若四边形是圆的外接四边形，则四边形的对角线等于圆的直径：DA＝DB＝2r，其中DA,DB为四边形的两条对角线，r为圆的半径。
七、半径交点概念
若平面上有两条圆，以及它们的公共外接四边形，它们上的所有的交点都是半径交点，即两圆从它们公共外接四边形的对角线交点开始，向外射线，直到相交，所有相交的点都是它们的半径交点。
八、圆内接四边形关系
若四边形是圆的内接四边形，则四边形的对角线等于圆的直径：DA＝DB＝2r。
九年级圆知识点总结
九年级圆知识点总结圆是几何学中最基本的图形之一，由于其特殊的性质和重要的应用，是中学数学中一个重点和难点的内容。
以下是针对九年级学习的圆知识点总结，包括圆的定义、性质、常见的定理和应用。
一、圆的定义及基本概念1. 圆的定义：圆是平面上与一个固定点距离恒定的点的集合。
2. 圆的要素：圆心、半径、弦、弧、切线等。
二、圆的性质1. 圆的周长公式：C=2πr，其中C是圆的周长，r是圆的半径。
2. 圆的面积公式：S=πr²，其中S是圆的面积，r是圆的半径。
3. 内接圆和外接圆：内接圆是一个圆，恰好与一个多边形的所有顶点相切；外接圆是一个圆，恰好与一个多边形的所有边相切。
4. 相交圆的性质：两个相交圆的交点到两个圆心的距离相等。
两个相交圆的交点确定的两条弦相互垂直的充要条件是两个弦的弧度相等。
三、常见的圆的定理1. 切线定理：切线与半径垂直。
2. 弦切角定理：弦切角等于弦对应的弧的一半。
3. 弦弧角定理：弦弧角等于弦对应的弧的一半。
4. 弦角定理：弦角等于其对应的弧缺角的一半。
5. 弧长定理：弧长等于圆心角的弧度数除以2π乘以圆的周长。
四、圆的应用1. 圆的引理：如欲使直线在给定的点上下夹定一个给定的角，只需作两条通过该点的圆，并使直线分别与两圆相切即可。
2. 圆的内切与外切：两个圆相切，其中一个圆在另一个圆内部，称为内切；两个圆相切，其中一个圆在另一个圆外部，称为外切。
3. 勾股定理的圆证法：利用圆的性质，可以简化勾股定理的证明过程。
4. 圆柱、圆锥和圆球的体积计算：圆柱的体积公式为V=πr²h，其中V是体积，r是底面半径，h是高；圆锥的体积公式为V=1/3πr²h，其中V是体积，r是底面半径，h是高；圆球的体积公式为V=4/3πr³，其中V是体积，r是半径。
以上只是关于九年级圆的知识点的简要总结，实际上圆还有许多其他的性质、定理和应用，需要通过练习和实际问题的解决来进一步加深理解和掌握。
初中圆的定理和公式汇总
6圆的外部可以看作是圆心的距离大于半径的点的集合7同圆或等圆的半径相等8到定点的距离等于定长的点的轨迹，是以定点为圆心，定长为半径的圆9定理在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等10推论在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两弦的弦心距中有一组量相等那么它们所对应的其余各组量都相等11定理圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角12 ①直线L和⊙O相交d＜r②直线L和⊙O相切d=r③直线L和⊙O相离d＞r13切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线14切线的性质定理圆的切线垂直于经过切点的半径15推论1 经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点16推论2 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心17切线长定理从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角18圆的外切四边形的两组对边的和相等19弦切角定理弦切角等于它所夹的弧对的圆周角20推论如果两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角也相等30相交弦定理圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等31推论如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项32切割线定理从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项33推论从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等34如果两个圆相切，那么切点一定在连心线上35 ①两圆外离d＞R+r ②两圆外切d=R+r③两圆相交R-r＜d＜R+r(R＞r)④两圆内切d=R-r(R＞r) ⑤两圆内含d＜R-r(R＞r)36定理相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦37 定理把圆分成n(n≥3):⑴依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正n边形⑵经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形38定理任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆39 正n边形的每个内角都等于（n-2）×180°／n40定理正n边形的半径和边心距把正n边形分成2n个全等的直角三角形41正n边形的面积Sn=pnrn／2 p表示正n边形的周长42正三角形面积√3a／4 a表示边长43如果在一个顶点周围有k个正n边形的角，由于这些角的和应为360°，因此k×(n-2)180°／n=360°化为（n-2）(k-2)=444弧长计算公式：L=n兀R／18045扇形面积公式：S扇形=n兀R^2／360=LR／246内公切线长= d-(R-r) 外公切线长= d-(R+r)47定理一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半48推论1 同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等49推论2 半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径切线长定理、弦切角定理、切割线定理、相交弦定理以及与圆有关的比例线段1.切线长概念切线长是在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长度，“切线长”是切线上一条线段的长，具有数量的特征，而“切线”是一条直线，它不可以度量长度。
圆的所有定理初三
圆的所有定理初三
一、圆上三点确定一个圆的定理
在平面内，通过不在同一直线上的三点可以确定一个唯一的圆。
该圆的圆心是三边垂直平分线的交点，半径为该点到任意一点的距离。
二、直径所对的圆周角等于90度的定理
在圆中，直径所对的圆周角等于90度，即直径所对的圆周角是直角。
三、圆内接四边形的对角互补定理
在圆内接四边形中，相对的两角互补，即两个相对的角的角度之和为180度。
四、切线与半径垂直的定理
圆的切线与过切点的半径垂直，即切线与半径之间的角度为90度。
五、圆周角等于圆心角一半的定理
在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于圆心角的一半。
六、弧长与半径关系的定理
在圆中，弧长与该弧所对应的中心角的角度和半径有关系，弧长等于该弧所对应的中心角的角度与半径的乘积。
七、圆幂定理（相交弦定理、切割线定理）
相交弦定理：经过圆内一点引两条弦，它们被这点所截得的线段的乘积等于固定常数；切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。
八、两圆相切和相交的性质定理
当两圆相切时，切线的性质有：外切时，两圆心距等于两半径之和；内切时，两圆心距等于两半径之差。
当两圆相交时，交弦定理说明了两圆被截得的弦与两圆心连线的线段成比例关系。
此外，还有相交弦定理和切割线定理等性质。
九、垂径定理
在圆中，任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴。
这意味着当直径将圆分成两个部分时，它们是轴对称的。
垂径定理是圆的对称性的重要应用之一。
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4圆是定点的距离等于定长的点的集合
5圆的部可以看作是圆心的距离小于半径的点的集合
6圆的外部可以看作是圆心的距离大于半径的点的集合
7同圆或等圆的半径相等
8到定点的距离等于定长的点的轨迹，是以定点为圆心，定长为半径的圆
9定理在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦
相等，所对的弦的弦心距相等
10推论在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两弦的弦心距中有一组量相等那么它们所对应的其余各组量都相等
11定理圆的接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它
的对角
12 ①直线L和⊙O相交 d＜r
②直线L和⊙O相切 d=r
③直线L和⊙O相离 d＞r
13切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线
14切线的性质定理圆的切线垂直于经过切点的半径
15推论1 经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点
16推论2 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心
17切线长定理从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角
18圆的外切四边形的两组对边的和相等
19弦切角定理弦切角等于它所夹的弧对的圆周角
20推论如果两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角也相等30相交弦定理圆的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积
相等
31推论如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项
32切割线定理从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项
33推论从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等
34如果两个圆相切，那么切点一定在连心线上
35 ①两圆外离 d＞R+r ②两圆外切 d=R+r
③两圆相交 R-r＜d＜R+r(R＞r)
④两圆切 d=R-r(R＞r) ⑤两圆含d＜R-r(R＞r)
36定理相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦
37 定理把圆分成n(n≥3):
⑴依次连结各分点所得的多边形是这个圆的接正n边形
⑵经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形
38定理任何正多边形都有一个外接圆和一个切圆，这两个圆是同心圆
39 正n边形的每个角都等于（n-2）×180°／n
40定理正n边形的半径和边心距把正n边形分成2n个全等的直角三角形
41正n边形的面积Sn=pnrn／2 p表示正n边形的周长
42正三角形面积√3a／4 a表示边长
43如果在一个顶点周围有k个正n边形的角，由于这些角的和应为360°，因此k×(n-2)180°／n=360°化为（n-2）(k-2)=4
44弧长计算公式：L=n兀R／180
45扇形面积公式：S扇形=n兀R^2／360=LR／2
46公切线长= d-(R-r) 外公切线长= d-(R+r)
47定理一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半
48推论1 同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等
49推论2 半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径
切线长定理、弦切角定理、切割线定理、相交弦定理
以及与圆有关的比例线段
1.切线长概念
切线长是在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长度，“切线长”是切线上一条线段的长，具有数量的特征，而“切线”是一条直线，它不可以度量长度。
2.切线长定理
如图1对于切线长定理，应明确（1）若已知圆的两条切线相交，则切线长相等；（2）若已知两条切线平行，则圆上两个切点的连线为直径；（3）经过圆外一点引圆的两条切线，连结两个切点可得到一个等腰三角形；（4）经过圆外一点引圆的两条切线，切线的夹角与过切点的两个半径的夹角互补；（5）圆外一点与圆心的连线，平分过这点向圆引的两条切线所夹的角。
3.弦切角（如图2）：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角。
直线AB切⊙O于P，PC、PD为弦，图中几个弦切角呢？（四个）APC,APD,BPD,BPC 4.弦切角定理：弦切角等于其所夹的弧所对的圆周角。
即如上图中APC=CDP等
证明：如图2，连接CD、OC、OP，因为CPO=PCO,所以COP=180-2CPO而CPO=90-APC,
5.弄清和圆有关的角：圆周角，圆心角，弦切角，圆角，圆外角。
6.遇到圆的切线，可联想“角”弦切角，“线”切线的性质定理及切线长定理。
7.与圆有关的比例线段
定理图形已知结论证法
相交弦定理⊙O中，
AB、CD为
弦，交于
P.
PA·PB＝PC·PD
连结AC、BD，C=B,A=D,
所以△APC∽△DPB
相交弦定理的推论⊙O中，
AB为直
径，
CD⊥AB
于P.
PC2＝PA·PB
用相交弦定理.
切割线定理⊙O中，
PT切⊙O
于T，割
线PB交
⊙O于A
PT2＝PA·PB
连结TA、TB，则∠PTA=∠B（弦
切角等于同弧圆周角）所以
△PTA∽△PBT，所以
PT2＝PA·PB
切割线定理推论PB、PD为
⊙O的两
条割线，
交⊙O于
A、C
PA·PB＝PC·PD
过P作PT切⊙O于T，用两次切
割线定理
圆幂定理⊙O中，
割线PB
交⊙O于
A，CD为
弦
P'C·P'D＝r2－
OP'2
PA·PB＝OP2－r2
r为⊙O的半径
延长P'O交⊙O于M，延长OP'交
⊙O于N，用相交弦定理证；过P
作切线用切割线定理勾股定理证
8.圆幂定理：过一定点P向⊙O作任一直线，交⊙O于两点，则自定点P到两交点的两条线段之积为常数||（R为圆半径），因为叫做点对于⊙O的幂，所以将上述定理统称为圆幂定理。
例1.如图1，正方形ABCD的边长为1，以BC为直径。
在正方形作半圆O，过A作半圆切线，切点为F，交CD于E，求DE：AE的值。
图1 图2
图1
例2.⊙O 中的两条弦AB 与CD 相交于E ，若AE ＝6cm ，BE ＝2cm ，CD ＝7cm ，求CE 。
图2 例3.已知PA 是圆的切线，PCB 是圆的割线，则::22PB AC AB =________。
例4.如图3，P 是⊙O 外一点，PC 切⊙O 于点C ，PAB 是⊙O 的割线，交⊙O 于A 、B 两点，如果PA ：PB ＝1：4，PC ＝12cm ，⊙O 的半径为10cm ，则圆心O 到AB 的距离是___________cm 。
图3
例5.如图4，AB 为⊙O 的直径，过B 点作⊙O 的切线BC ，OC 交⊙O 于点E ，AE 的延长线交BC 于点D ，求证：（1）CB CD CE •=2；（2）若AB ＝BC ＝2厘米，求CE 、CD 的长。
图4
例6.如图5，AB 为⊙O 的直径，弦CD∥AB，AE 切⊙O 于A ，交CD 的延长线于E 。
求证：DE AB BC •=2
图5
例7.如图6，PA 、PC 切⊙O 于A 、C ，PDB 为割线。
求证：AD·BC＝CD·AB
图6
例8.如图7，在直角三角形ABC 中，∠A＝90°，以AB 边为直径作⊙O，交斜边BC 于点D ，过D 点作⊙O 的切线交AC 于E 。
求证：BC ＝2OE 。
图7
例9.如图8，在正方形ABCD 中，AB ＝1，⋂
AC 是以点B 为圆心，AB 长为半径的圆的一段弧。
点E 是边AD 上的任意一点（点E 与点A 、D 不重合），过E 作⋂AC 所在圆的切线，交边DC 于点F ，G 为切点。
当∠DEF＝45°时，求证:点G 为线段EF 的中点；
图8。