第2章核心素养评估考试试卷-20春浙教版九年级数学下册同步测试

第2章核心素养评估试卷[学生用书活页41][时间：120分钟满分：120分]一、选择题(每题3分，共30分)1．下列命题：①圆的切线垂直于经过切点的半径；②经过同一直径两端的两条切线平行；③经过半径外端点的直线是圆的切线；④经过切点且垂直于切线的线段是半径．其中正确的有(A)A．①②B．③④C．①③D．②④2．如图1，AB与⊙O相切于点B，AO的延长线交⊙O于点C，连结BC.若∠C ＝25°，则∠A＝(A)图1A．40°B．25°C．50°D．80°3．[2018·湘西]如图2，直线AB与⊙O相切于点A，AC，CD是⊙O的两条弦，且CD∥AB，若⊙O的半径为5，CD＝8，则弦AC的长为(D)图2A．10 B．8 C．4 3 D．4 5 4．[2019·云南]如图3，△ABC的内切圆⊙O与BC，CA，AB分别相切于点D，E，F，且AB＝5，BC＝13，CA＝12，则阴影部分(即四边形AEOF)的面积是(A)图3A．4 B．6.25 C．7.5 D．9 【解析】利用勾股定理的逆定理得到△ABC为直角三角形，∠A＝90°，再利用切线的性质得到OF⊥AB，OE⊥AC，∴四边形OF AE为正方形，设OE＝AE＝AF ＝r，利用切线长定理得到BD＝BF＝5－r，CD＝CE＝12－r，∴5－r＋12－r＝13，∴r＝2，∴S四边形AEOF＝4，故选A.5．如图4，⊙O为△ABC的内切圆，∠C＝90°，AO的延长线交BC于点D，AC ＝4，CD＝1，则⊙O的半径等于(A)图4A.45 B.12 C.32D．1【解析】设⊙O与AC的切点为M，圆的半径为r，如答图，过点O作OF⊥BC 于点F，连结OM，第5题答图∴∠OMC＝∠OFC＝90°，∵∠C＝90°，OM＝OF，∴四边形OMCF是正方形，∴CM＝r，∵△AOM∽△ADC，∴OM∶DC＝AM∶AC，即r∶1＝(4－r)∶4，解得r＝45.故选A.6．[2019·青岛]如图5，线段AB经过⊙O的圆心，AC，BD分别与⊙O相切于点C，D.若AC＝BD＝4，∠A＝45°，则圆弧CD的长度为(B)图5A ．πB ．2πC ．22πD ．4π【解析】 如答图，连结CO ，DO ，∵AC ，BD 分别与⊙O 相切于C ，D ，∴∠ACO ＝∠BDO ＝90°，∴∠AOC ＝∠A ＝45°，∴CO ＝AC ＝4，∵AC ＝BD ，CO ＝DO ，∴△ACO ≌△BDO ，∴∠DOB ＝∠AOC ＝45°，第6题答图∴∠DOC ＝180°－∠DOB －∠AOC ＝180°－45°－45°＝90°，∴CD ︵＝90π×4180＝2π，故选B.7．[2019·荆门]如图6，△ABC 内心为I ，连结AI 并延长交△ABC 的外接圆于D ，则线段DI 与DB 的关系是( A )A ．DI ＝DBB ．DI ＞DBC ．DI ＜DBD ．不确定图6 第7题答图【解析】如答图，连结BI，∵△ABC的内心为I，∴∠CAD＝∠BAD，∠CBI＝∠ABI，又∠CBD＝∠CAD，∴∠BID＝∠BAD＋∠ABI＝∠CBD＋∠CBI＝∠DBI，∴DI＝DB.8．如图7，在平面直角坐标系中，⊙M与x轴相切于点A(8，0)，与y轴分别交于点B(0，4)与点C(0，16)，则圆心M到坐标原点O的距离是(D)图7A．10 B．8 2C．413 D．241【解析】如答图，过点M作MD⊥y轴于点D，连结MA，MB，MO.第8题答图∵⊙M与x轴相切于点A(8，0)，∴MA⊥OA，OA＝8，∴∠OAM＝∠AOD＝∠ODM＝90°，∴四边形OAMD是矩形，∵B(0，4)，C(0，16)，∴BD＝CD＝6，∴AM＝OD＝10，在Rt△OMA中，OM＝102＋82＝241.故选D.9．[2018·凉山州模拟]如图8，AB与⊙O相切于点C，OA＝OB，⊙O的直径为6 cm，AB＝6 3 cm，则阴影部分的面积为(C)图8A．(93－π)cm2B．(93－2π)cm2C．(93－3π)cm2D．(93－4π)cm2【解析】如答图，连结OC，由AB与⊙O相切于点C，则可得OC垂直于AB，又∵OA＝OB，则AC＝BC(三线合一)，BC＝3 3 cm，⊙O的直径为6 cm，∴OC ＝3，∴∠COB＝60°，∴∠AOB＝120°，则阴影部分的面积为△AOB的面积与圆面积的三分之一的差．即S阴＝12AB·OC－13π·OC2＝12×63×3－13×π×32＝(93－3π)cm2.第9题答图10．如图9，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，以AC为直径作⊙O交BC于点D，过点D作DE⊥AB于点E，连结AD，下列结论：①CD＝BD；②DE为⊙O的切线；③△ADE∽△ACD；④AD2＝AE·AC，其中正确结论的个数为(D)A．1个B．2个C．3个D．4个图9 第10题答图【解析】∵AC为⊙O的直径，∴∠ADC＝90°，∴AD⊥BC，又∵AB＝AC，∴BD＝CD，①正确；如答图，连结OD，∵D为BC中点，O为AC中点，∴DO为△ABC的中位线，∴OD∥AB，又∵DE⊥AB，∴∠DEA＝90°，∴∠ODE＝90°，∴DE为⊙O的切线，②正确；∵AB＝AC，AD⊥BC，∴∠BAD＝∠CAD. ∵∠DEA＝∠CDA＝90°，∴△ADE∽△ACD，③正确；∴ADAC＝AEAD，即AD2＝AE·AC，④正确．综上所述，正确结论的个数为4个．故选D.二、填空题(每题4分，共24 分)11．[2018·益阳]如图10，在⊙O中，AB为直径，AD为弦，过点B的切线与AD 的延长线交于点C，AD＝DC，则∠C＝__45__度．图10【解析】∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∵BC是圆的切线，∴∠ABC＝90°，∵AD＝DC，∴BD垂直平分AC，∴AB＝BC，∴△ABC为等腰直角三角形，∴∠C＝45°.12．如图11，⊙O的半径为1，点O到直线l的距离为3，P是直线l上的一个动点，PQ切⊙O于点Q，则PQ的最小值为__22__．图11【解析】 ∵PQ 切⊙O 于点Q ，∴∠OQP ＝90°，∴PQ 2＝OP 2－OQ 2，∵OQ ＝1，∴PQ 2＝OP 2－1，即PQ ＝OP 2－1，当OP 最小时，PQ 最小，∵点O 到直线l 的距离为3，∴OP 的最小值为3，∴PQ 的最小值为9－1＝2 2. 13．[2019·海南]如图12，⊙O 与正五边形ABCDE 的边AB ，DE 分别相切于点B ，D ，则劣弧BD ︵所对的圆心角∠BOD 的大小为__144__度．图12【解析】∵五边形ABCDE是正五边形，∴∠E＝∠A＝（5－2）×180°5＝108°.∵AB，DE与⊙O相切，∴∠OBA＝∠ODE＝90°，∴∠BOD＝(5－2)×180°－90°－108°－108°－90°＝144°.14．如图13，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，AB＝5，D为BC边的中点，以AD上一点O为圆心的⊙O和AB，BC均相切，则⊙O的半径为__67__．图13 第14题答图【解析】如答图，过点O作OE⊥AB于点E，OF⊥BC于点F，连结OB. ∵AB，BC是⊙O的切线，∴E，F是切点，∴OE，OF是⊙O的半径，∴OE＝OF.在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，AB＝5，由勾股定理，得BC＝4.又∵D是BC边的中点，∴S△ABD＝S△ACD，又∵S△ABD＝S△ABO＋S△BOD，∴12BD·AC＝12AB·OE＋12BD·OF，即5OE＋2OE＝2×3，解得OE＝67，∴⊙O的半径为67.15．如图14，P A，PB，DE分别切⊙O于点A，B，C，DE交P A，PB于点D，E，已知P A长8 cm.则△PDE的周长为__16__cm__；若∠P＝40°，则∠DOE＝__70°__．图14 第15题答图【解析】∵P A，PB，DE是⊙O的切线，∴DA＝DC，EC＝EB，P A＝PB，∴△PDE的周长为PD＋DC＋EC＋PE＝P A＋PB＝2P A＝16(cm)．如答图，连结OA，OB，OD，OE，OC，则∠AOB＝180°－∠P＝140°，∴∠DOE＝∠COD＋∠COE＝12(∠AOC＋∠BOC)＝12×140°＝70°.16．[2019·菏泽]如图15，直线y ＝－34x －3交x 轴于点A ，交y 轴于点B ，点P 是x 轴上一动点，以点P 为圆心，以1个单位长度为半径作⊙P ，当⊙P 与直线AB 相切时，点P 的坐标是__⎝ ⎛⎭⎪⎫－73，0或⎝ ⎛⎭⎪⎫－173，0__．图15 第16题答图【解析】 ∵直线y ＝－34x －3交x 轴于点A ，交y 轴于点B ，∴令x ＝0，得y ＝－3，令y ＝0，得x ＝－4，∴A (－4，0)，B (0，－3)，∴OA ＝4，OB ＝3，∴AB ＝5，设⊙P 与直线AB 相切于D ，如答图，当⊙P 在直线AB 右侧时，连结PD ，则PD ⊥AB ，PD ＝1，∵∠ADP ＝∠AOB ＝90°，∠P AD ＝∠BAO ，∴△APD ∽△ABO ，∴PDOB ＝AP AB ，∴13＝AP 5，∴AP ＝53，∴OP ＝73，同理：当⊙P 在直线AB 左侧时，OP ＝173，∴P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－73，0或P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－173，0.三、解答题(共66分)17．(6分)如图16，AB 为⊙O 的直径，PD 切⊙O 于点C ，交AB 的延长线于点D ，且∠D ＝2∠A .图16(1)求∠D 的度数；(2)若CD ＝2，求BD 的长． 解：(1)∵OA ＝OC ， ∴∠A ＝∠OCA .∴∠COD ＝∠A ＋∠OCA ＝2∠A . 又∵∠D ＝2∠A ，∴∠COD ＝∠D . ∵PD 与⊙O 相切于点C ，∴OC ⊥PD ，即∠OCD ＝90°，∴∠D ＝45°；(2)由(1)可知△OCD是等腰直角三角形，∴OC＝CD＝2.由勾股定理，得OD＝22＋22＝2 2.∴BD＝OD－OB＝22－2.18．(6分)[2018·青海节选]如图17，△ABC内接于⊙O，∠B＝60°，CD是⊙O的直径，点P是CD延长线上一点，且AP＝AC.图17(1)求证：P A是⊙O的切线；(2)若PD＝5，求⊙O的直径．第18题答图解：(1)证明：如答图，连结OA，∵∠B＝60°，∴∠AOC＝2∠B＝120°，又∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA＝30°，又∵AP＝AC，∴∠P＝∠ACP＝30°，∴∠OAP＝∠AOC－∠P＝90°，∴OA⊥P A，∴P A是⊙O的切线；(2)在Rt△OAP中，∵∠P＝30°，∴PO＝OD＋PD＝2AO，又∵OA＝OD，∴PD＝OA，∵PD＝5，∴2OA＝25，即⊙O的直径为2 5.19．(8分)[2019·菏泽]如图18，BC是⊙O的直径，CE是⊙O的弦，过点E作⊙O 的切线，交CB的延长线于点G，过点B作BF⊥GE于点F，交CE的延长线于点A.(1)求证：∠ABG＝2∠C；(2)若GF＝33，GB＝6，求⊙O的半径．图18 第19题答图解：(1)证明：如答图，连结OE，∵EG是⊙O的切线，∴OE⊥EG，∵BF⊥GE，∴OE∥AB，∴∠A＝∠OEC，∵OE＝OC，∴∠OEC＝∠C，∴∠A＝∠C，∵∠ABG＝∠A＋∠C，∴∠ABG＝2∠C；(2)∵BF⊥GE，∴∠BFG＝90°，∵GF＝33，GB＝6，∴BF＝BG2－GF2＝3，∵BF∥OE，∴△BGF∽△OGE，∴BFOE＝BGOG，∴3OE＝66＋OE，∴OE＝6，∴⊙O的半径为6.20．(8分)[2019·娄底]如图19，点D在以AB为直径的⊙O上，AD平分∠BAC，DC⊥AC，过点B作⊙O的切线交AD的延长线于点E.(1)求证：直线CD是⊙O的切线；(2)求证：CD·BE＝AD·DE.图19 第20题答图证明：(1)如答图，连结OD，∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA，又∵AD平分∠BAC，∴∠OAD＝∠CAD，∴∠ODA＝∠CAD，∴OD∥AC，又∵DC⊥AC，∴DC⊥OD，∴直线CD是⊙O的切线；(2)如答图，连结BD，∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝∠BDE＝90°.又∵DC⊥AC，∴∠ACD＝∠BDE.∵BE为⊙O的切线，DC⊥AC，AD平分∠BAC，∴∠E＝∠ADC，∴△ACD∽△BDE，∴CDAD＝DEBE，∴CD·BE＝AD·DE.21．(8分)如图20，△ABC内接于⊙O，AB是直径，⊙O的切线PC交BA的延长线于点P，OF∥BC交AC于点E，交PC于点F，连结AF.(1)判断AF与⊙O的位置关系并说明理由；(2)若AC＝24，AF＝15，求⊙O的半径．图20 第21题答图解：(1)AF 与⊙O 相切．理由如下：如答图，连结OC ，∵PC 是⊙O 的切线，∴OC ⊥PC ，∴∠OCF ＝90°，∵OF ∥BC ，∴∠B ＝∠AOF ，∠OCB ＝∠COF ，∵OB ＝OC ，∴∠B ＝∠OCB ，∴∠AOF ＝∠COF ，在△OAF 和△OCF 中，⎩⎪⎨⎪⎧OA ＝OC ，∠AOF ＝∠COF ，OF ＝OF ，∴△OAF ≌△OCF (SAS )，∴∠OAF ＝∠OCF ＝90°，∴AF 与⊙O 相切；(2)∵△OAF ≌△OCF ，∴∠OAE ＝∠OCE ，∴OE ⊥AC ，AE ＝12AC ＝12，∴EF ＝152－122＝9，∵∠OAF ＝90°，∴△OAE∽△AFE，∴OAAF＝AEEF，即OA15＝129，∴OA＝20，即⊙O的半径为20.22．(8分)如图21，AB为⊙O直径，C是⊙O上一点，CO⊥AB于点O，弦CD 与AB交于点F，过点D作∠CDE＝∠DFE，DE交AB的延长线于点E，过点A 作⊙O的切线交ED的延长线于点G.(1)求证：GE是⊙O的切线；(2)若tan C＝13，BE＝4，求AG的长．解：(1)证明：如答图，连结OD，∵∠1＝∠2，而∠2＝∠3，∴∠3＝∠1，∵OC⊥AB，∴∠3＋∠C＝90°，∴∠1＋∠C＝90°，而OC＝OD，∴∠C＝∠4，∴∠1＋∠4＝90°，即∠ODE＝90°，∴OD⊥DE，∴GE是⊙O的切线；(2)设OF＝x，则OC＝3x，∴BF＝2x，∵∠1＝∠2，∴ED＝EF＝2x＋4，在Rt△ODE中，∵OD2＋DE2＝OE2，∴(3x)2＋(2x＋4)2＝(4＋3x)2，解得x＝2，∴OD＝6，DE＝8，OE＝10.又∵∠AEG＝∠DEO，∠EAG＝∠EDO＝90°，∴△AGE∽△DOE，∴AEDE＝AGDO，∵AE＝16，可得AG＝12.23．(10分)[2018·泰州]如图22，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，∠ABC的平分线交⊙O于点D，DE⊥BC于点E.(1)试判断DE与⊙O的位置关系，并说明理由；(2)过点D作DF⊥AB于点F，若BE＝33，DF＝3，求图中阴影部分的面积．解：(1)DE与⊙O相切．理由：如答图，连结DO，∵BD平分∠ABC，∴∠CBD＝∠ABD，∵OD＝OB，∴∠ODB＝∠ABD，∴∠ODB＝∠CBD，∴OD∥BE，∵DE⊥BC，∴DE⊥OD，∵D为半径OD的外端，∴DE与⊙O相切；(2)∵BD平分∠ABC，DE⊥BC，DF⊥AB，∴DE＝DF＝3，∵BE＝33，∴tan∠CBD＝DEBE＝33，∴∠CBD＝30°，∴∠ABC＝60°，∵OD∥BE，∴∠AOD＝∠ABC＝60°，∴OD＝DFsin∠AOD＝23，∴OF＝3，∴S阴影部分＝S扇形AOD－S△DOF＝60π×（23）2360－12×3×3＝2π－332.24．(12分)[2019·山西]阅读以下材料，并按要求完成相应的任务：莱昂哈德·欧拉(Leonhard Euler)是瑞士数学家，在数学上经常见到以他的名字命名的重要常数、公式和定理，下面就是欧拉发现的一个定理：在△ABC中，R和r分别为外接圆和内切圆的半径，O和I分别为其外心和内心，则OI2＝R2－2Rr.如图23①，⊙O和⊙I分别是△ABC的外接圆和内切圆，⊙I与AB相切于点F，设⊙O的半径为R，⊙I的半径为r，外心O(三角形三边垂直平分线的交点)与内心I(三角形三条角平分线的交点)之间的距离OI＝d，则有d2＝R2－2Rr.下面是该定理的证明过程(部分)：延长AI交⊙O于点D，过点I作⊙O的直径MN，连结DM，AN. ∵∠D＝∠N，∠DMI＝∠NAI(同弧所对的圆周角相等)．∴△MDI∽△ANI，∴IMIA＝IDIN，∴IA·ID＝IM·IN.①如图②，在图①(隐去MD，AN)的基础上作⊙O的直径DE，连结BE，BD，BI，IF.∵DE是⊙O的直径，∴∠DBE＝90°.∵⊙I与AB相切于点F，∴∠AFI＝90°，∴∠DBE＝∠IF A.∵∠BAD＝∠E(同弧所对的圆周角相等)，∴△AIF∽△EDB，∴IADE＝IFBD，∴IA·BD＝DE·IF.②任务：(1)观察发现：IM＝R＋d，IN＝__R－d__(用含R，d的代数式表示)；(2)请判断BD和ID的数量关系，并说明理由；(3)请观察式子①和式子②，并利用任务(1)，(2)的结论，按照上面的证明思路，完成该定理证明的剩余部分；(4)应用：若△ABC的外接圆的半径为5 cm，内切圆的半径为2 cm，则△ABC的外心与内心之间的距离为图23解：(2)BD＝ID.理由如下：∵点I是△ABC的内心，∴∠BAD＝∠CAD，∠CBI＝∠ABI，∵∠DBC＝∠CAD，∠BID＝∠BAD＋∠ABI，∠DBI＝∠DBC＋∠CBI，∴∠BID＝∠DBI，∴BD＝ID；(3)由(2)知BD＝ID，∴DE·IF＝IM·IN，∴2R·r＝(R＋d)(R－d)，∴d2＝R2－2Rr.第1～2章核心素养评估试卷[学生用书活页45][时间：120分钟满分：120分]一、选择题(每题3分，共30分)1．[2019·烟台一模]如图1，AB是⊙O的弦，作OC⊥OA交⊙O的切线BC于点C，交AB于点D.已知∠OAB＝20°，则∠OCB的度数为(C)图1A．20°B．30°C．40°D．50°第1题答图【解析】如答图，连结OB，∵BC是⊙O的切线，∴∠OBC＝90°，∵OA＝OB，∴∠OAB＝∠OBA＝20°，∴∠DBC＝70°，∵∠AOC＝90°，∴∠ODA＝∠BDC＝70°，∴∠OCB＝40°.2．[2019春·徐汇区校级月考]如图2，在⊙O的内接四边形ABCD中，AB是⊙O 的直径，∠BCD＝120°，过点D的切线PD与直线AB交于点P，则∠P的度数为(D) A．90°B．60°C．40°D．30°图2 第2题答图【解析】如答图，连结OD，∵∠BAD＋∠BCD＝180°，∴∠BAD＝180°－120°＝60°，∵OA＝OD，∴△AOD是等边三角形，∴∠AOD＝60°，∵PD为切线，∴OD⊥PD，∴∠ODP＝90°，∴∠P＝90°－∠AOD＝90°－60°＝30°. 3．[2019秋·亭湖区校级月考]如图3，P A，PB切⊙O于A，B两点，CD切⊙O于点E，交P A，PB于C，D，若△PCD的周长等于4，则线段P A的长是(C)图3A．4 B．8 C．2 D．1【解析】由题意得AC＝EC，DE＝DB，P A＝PB，∵△PCD的周长等于4，∴PC＋CD＋PD＝4，∴P A＋PB＝4，∴P A＝2.4．[2019·九龙坡区校级三模]如图4，AB是⊙O的直径，点C在BA的延长线上，直线CD与⊙O相切于点D，弦DF⊥AB于点E，连结BD，CD＝BD＝43，则OE的长度为(B)图4A. 3 B．2 C．2 3 D．4第4题答图【解析】如答图，连结OD，∵直线CD与⊙O相切于点D，∴OD⊥CD，∴∠ODC＝90°，∵CD＝BD＝43，∴∠C＝∠B，∵OD＝OB，∴∠B＝∠ODB，∴∠DOE＝∠B＋∠ODB＝2∠B，∴∠DOE＝2∠C，在Rt△OCD中，∠DOE＝2∠C，则∠DOE＝60°，∠C＝30°，∴OD＝tan C·CD＝33×43＝4，∵DF⊥AB，∴∠DEO＝90°，在Rt△ODE中，OE＝cos∠EOD·OD＝12×4＝2.5．[2019·泰山区二模]如图5，CD是⊙O的切线，点C在直径的延长线上，若BD＝23AD，AC＝3，则CD＝(C)图5A．1 B．1.5 C．2 D．2.5 【解析】∵CD是⊙O的切线，AB是⊙O的直径，∴∠CDO＝∠BDA＝90°，∴∠CDB＝∠ODA.∵OA＝OD，∴∠ODA＝∠OAD，∴∠CDB＝∠CAD，又∠C＝∠C，∴△CDB∽△CAD，∴CDCA＝BDAD＝23，即CD3＝23，解得CD＝2.6．[2019·罗湖区一模]如图6，已知⊙O的圆心在原点，半径OA＝1(单位圆)，设∠AOP＝∠α，其始边OA与x轴重合，终边与⊙O交于点P，设P点的坐标P(x，y)，⊙O的切线AT交OP于点T，且AT＝m，则下列结论中错误的是(D)图6A．sinα＝y B．cosα＝xC．tanα＝m D．x与y成反比例第6题答图【解析】如答图，过点P作PH⊥OA于H，由题意知，OA＝OP＝1，OH＝x，PH＝y，由切线的性质定理可知AT⊥OA，在Rt△POH中，∠AOP＝∠α，∴sinα＝PHOP＝y1＝y，cosα＝OHOP＝x1＝x，故A，B正确；在Rt△TOA中，tanα＝ATOA＝m1＝m，故C正确；在Rt△POH中，OH2＋PH2＝OP2，∴x2＋y2＝1，故D错误．7．[2019·龙岩期末]如图7，P A，PB，CD分别切⊙O于A，B，E，CD交P A，PB 于C，D两点，若∠P＝40°，则∠P AE＋∠PBE的度数为(D)图7A．50°B．62°C．66°D．70°【解析】∵P A，PB，CD分别切⊙O于A，B，E，CD交P A，PB于C，D两点，∴CE＝CA，DE＝DB，∴∠CAE ＝∠CEA ，∠DEB ＝∠DBE ，∴∠PCD ＝∠CAE ＋∠CEA ＝2∠CAE ，∠PDC ＝∠DEB ＋∠DBE ＝2∠DBE ， ∴∠CAE ＝12∠PCD ，∠DBE ＝12∠PDC ， 即∠P AE ＝12∠PCD ，∠PBE ＝12∠PDC ，∵∠P ＝40°，∴∠P AE ＋∠PBE ＝12∠PCD ＋12∠PDC ＝12(∠PCD ＋∠PDC )＝12(180°－∠P )＝70°.8．[2019·如皋一模]定义：在平面直角坐标系中，圆心坐标和半径均为整数的圆称为“整圆”．如图8，直线l ：y ＝－34x ＋12与x 轴、y 轴分别交于A ，B 两点，点P 在x 轴上，⊙P 与l 相切，当P 在线段OA (点P 与点O ，A 不重合)上运动时，使得⊙P 成为整圆的点P 个数是( A ) A ．3个 B ．5个 C ．7个D ．9个图8 第8题答图【解析】∵直线l：y＝－34x＋12与x轴、y轴分别交于A，B，∴A(16，0)，B(0，12)，∴OB＝12，OA＝16，∴AB＝OA2＋OB2＝20，∴sin∠BAO＝1220＝35，∵⊙P与l相切，如答图，设切点为M，连结PM，则PM⊥AB，∴PM＝35P A，设P(x，0)，∴P A＝16－x，∴⊙P的半径PM＝35P A＝485－35x，∵x为整数，PM为整数，∴x可以取1，6，11，∴使得⊙P成为整圆的点P个数是3.9．[2019·武汉模拟]如图9，在直角边分别为3和4的直角三角形中，每多作一条斜边上的高就增加一个三角形的内切圆，依此类推，图B100中有100个直角三角形的内切圆，它们的面积分别记为S1，S2，S3，…，S100，则S1＋S2＋S3＋…＋S100＝(A)图9A ．π B.12π C.32π D ．2π【解析】 如答图①，过O 点作OE ⊥AC 于点E ，作OF ⊥BC 于点F ， ∵AC ＝3，BC ＝4，则AB ＝5，∴⊙O 的半径r ＝OE ＝OF ＝AC ＋BC －AB 2＝3＋4－52＝1，∴S 1＝πr 2＝π；同理，如答图②，等面积法可求得CD ＝125， ∴AD ＝95，BD ＝165，∴⊙O 的半径：r 1＝95＋125－32＝35，⊙E 的半径：r 2＝165＋125－42＝45，∴S 1＋S 2＝π(r 21＋r 22)＝π，以此类推，可以得到S 1＋S 2＋S 3＋…＋S n ＝π， ∴当n ＝100时，S 1＋S 2＋S 3＋…＋S 100＝π.①②第9题答图10．[2019·淄博一模]如图10，⊙O的直径AB＝8 cm，AM和BN是它的两条切线，切点分别为A，B，DE切⊙O于E，交AM于D，交BN于C，设AD＝x，BC＝y，则y与x的函数关系式为(A)A．y＝16x B．y＝2xC．y＝2x2D．y＝8 x图10 第10题答图【解析】如答图，作DF⊥BN交BC于F，∵AM和BN是⊙O的两条切线，∴AB⊥AD，AB⊥BC，又∵DF⊥BN，∴∠BAD＝∠ABC＝∠BFD＝90°，∴四边形ABFD是矩形，∴BF＝AD＝x，DF＝AB＝8，∵BC＝y，∴FC＝BC－BF＝y－x，∵AM和BN是⊙O的两条切线，DE切⊙O于E，∴DE＝DA＝x，CE＝CB＝y，则DC＝DE＋CE＝x＋y，在Rt△DFC中，DC2＝DF2＋CF2，∴(x＋y)2＝64＋(y－x)2，∴xy＝16，∴y＝16 x.二、填空题(每题4分，共24 分)11．[2019·常州期末]已知∠A是锐角，且cos A＝513，则tan A＝__125__．12．[2019·长春四模]某水库堤坝的横断面如图11所示，经测量知tan A＝33，堤坝高BC＝50 m，则AB＝__100__m.图11【解析】在Rt△ABC中，∵tan A＝BCAC，∴33＝50AC，∴AC＝503，∴由勾股定理可知AB＝100.13．[2018秋·清江浦区期中]如图12，P是⊙O外一点，P A与⊙O相切于点A，若PO＝25 cm，P A＝24 cm，则⊙O的半径为__7__cm.图12 第13题答图【解析】如答图，连结OA，∵P A与⊙O相切于点A，∴OA⊥AP，在Rt△AOP中，OA＝OP2－AP2＝7 cm.14．[2019春·西湖区校级月考]如图13，已知直线P A，PB与⊙O分别相切于点A，B，若PB＝2，∠APB＝60°，则劣弧AB的长为9π__．图13【解析】 ∵直线P A ，PB 与⊙O 分别相切于点A ，B ， ∴∠P AO ＝∠PBO ＝90°，∵∠APB ＝60°，∴∠AOB ＝120°，∠OPB ＝30°， ∵PB ＝2，∴OB ＝233， ∴AB ︵的长为120×23π3180＝439π.15．如果三角形有一边上的中线长等于这边的长，那么称这个三角形为“好玩三角形”．若Rt △ABC 是“好玩三角形”，且∠A ＝90°，则tan ∠ABC ＝2或3__．【解析】 Ⅰ.如答图①中，在Rt △ABC 中，∠A ＝90°，CE 是△ABC 的中线， 设AB ＝EC ＝2a ，则AE ＝EB ＝a ，AC ＝3a ， ∴tan ∠ABC ＝AC AB ＝32； Ⅱ.如答图②中，在Rt△ABC中，∠A＝90°，BE是△ABC的中线，设EB＝AC＝2a，则AE＝EC＝a，AB＝3a，∴tan∠ABC＝ACAB＝233.①②第15题答图16．[2019春·岱岳区期中改编]如图14，已知⊙O的直径AB与弦CD相交于点E，AB⊥CD，⊙O的切线BF与弦AD的延长线相交于点F.若⊙O的半径为5，cos∠BCD＝45，则线段AD的长为__8__，BF的长为__7.5__．图14【解析】∵AB是⊙O的直径，⊙O的半径为5，∴∠ADB＝90°，AB＝10，∵∠BAD＝∠BCD，∴cos∠BAD＝ADAB＝cos∠BCD＝45，∴AD＝45×10＝8，∴AE＝AD·cos∠BAD＝6.4，在△ADB中，由面积法可得DE＝4.8，由已知易得AB⊥FB，又∵AB⊥DC，∴FB∥DC，∴△ADE∽△AFB，∴DEFB＝AEAB即4.8BF＝6.410，∴BF＝7.5.三、解答题(共66分)17．(8分)[2019·柳江区模拟]如图15，从甲楼底部A处测得乙楼顶部C处的仰角是30°，从甲楼顶部B处测得乙楼底部D处的俯角是45°，已知甲楼的高AB是100 m，求乙楼的高CD.(结果保留根号)图15解：由题意可得∠BDA＝45°，则AB＝AD＝100 m，又∵∠CAD＝30°，∴在Rt△ADC中，tan∠CAD＝tan30°＝CDAD＝33，解得CD＝10033(m)．答：乙楼的高CD为10033m.18．(8分)[2019·碑林区校级一模]如图16，一艘船在A处测得北偏东60°的方向上有一个小岛C，当它以每小时60海里的速度向正东方向航行了20分钟到达B处后，测得小岛C在其北偏东15°的方向上，求此时船与小岛之间的距离BC.(参考数据：2≈1.4，3≈1.7，结果保留整数)图16 第18题答图解：如答图，作BD⊥AC于D，由题意得，∠CAB＝30°，∠ABC＝105°，AB＝60×13＝20(海里)，∴∠C＝180°－30°－105°＝45°，在Rt△ABD中，∠CAB＝30°，∴BD＝12AB＝10，在Rt△CBD中，∠C＝45°，∴BC＝BDsin C＝102≈14(海里)．答：船与小岛之间的距离BC约为14海里．19．(9分)[2019秋·海淀区校级月考]如图17，AB是⊙O的直径，过点A的直线PC交⊙O于A，C两点，AD平分∠P AB，射线AD交⊙O于点D，过点D作DE⊥P A 于点E.(1)求证：ED为⊙O的切线；(2)若AB＝10，ED＝2AE，求AC的长．图17 第19题答图解：(1)证明：∵AD平分∠P AB，∴∠DAE＝∠DAO，∵OD＝OA，∴∠ODA＝∠OAD，∴∠ODA＝∠DAE，∴OD∥AE，∵DE⊥AE，∴OD⊥DE，∴ED为⊙O的切线；(2)如答图，过O作OH⊥PC于H，则四边形EHOD是矩形，AC＝2AH，∴OH＝DE，EH＝OD，∵AB＝10，∴EH＝OD＝5，∵ED＝2AE，∴设AE＝x，则DE＝2x，∴AH＝5－x，OH＝2x，∵OA2＝AH2＋OH2，∴52＝(5－x)2＋(2x)2，解得x＝2或x＝0(不合题意，舍去)，∴AE＝2，AH＝3，∴AC＝6.20．(9分)[2019秋·邗江区校级月考]如图18，AB是⊙O的直径，BC为⊙O的切线，D为⊙O上的一点，CD＝CB，延长CD交BA的延长线于点E.(1)求证：CD为⊙O的切线；(2)若OF⊥BD于点F，且OF＝2，BD＝43，求图中阴影部分的面积．图18 第20题答图解：(1)证明：连结OD，如答图所示，∵BC是⊙O的切线，∴∠ABC＝90°，∵CD＝CB，∴∠CBD＝∠CDB，∵OB＝OD，∴∠OBD＝∠ODB，∴∠ODC＝∠ABC＝90°，即OD⊥CD，∵点D在⊙O上，∴CD为⊙O的切线；(2)∵OF⊥BD，∴BF＝12BD＝23，OB＝OF2＋BF2＝22＋（23）2＝4，∴OF＝12OB，∴∠OBF＝30°，∴∠BOF＝60°，∴∠BOD＝2∠BOF＝120°，∴S阴影＝S扇形BOD－S△BOD＝120π×42360－12×43×2＝163π－4 3.21．(10分)如图19，某幢大楼顶部有广告牌CD.张老师目高MA为1.60 m，他站立在离大楼45 m的A处测得大楼顶端点D的仰角为30°；接着他向大楼前进14 m，站在点B处，测得广告牌顶端点C的仰角为45°.(3≈1.732，计算结果保留一位小数)(1)求这幢的大楼高DH；(2)求这块广告牌的高度CD.图19解：(1)ME＝AH＝45 m，在Rt△DME中，由tan30°＝DEME，得DE＝33ME≈25.98 m.又∵EH＝MA＝1.6 m，∴DH＝DE＋EH≈27.6 m；(2)在Rt△CNE中，NE＝45－14＝31 m，由tan45°＝CENE，得CE＝NE＝31 m.因而广告牌CD＝CE－DE≈5.0 m.答：楼高DH为27.6 m，广告牌CD的高度为5.0 m.22．(10分)如图20，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC的平分线AD交BC于点D，过点D作DE⊥AD交AB于点E，以AE为直径作⊙O.(1)求证：BC是⊙O的切线；(2)若AC＝3，BC＝4，求BE的长；(3)在(2)的条件下求tan∠EDB的值．图20 第22题答图。