圆心角圆心角专题培优
期末模拟试题(一)- 2022-2023学年九年级上册数学同步培优题库(浙教版)(解析卷)
2022-2023学年九年级上期期末模拟试题（一）测试内容:九年级上全册+九年级下1-2章注意事项：本试卷满分120分，考试时间120分钟，试题共24题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（2022·浙江九年级期末）对一批校服进行抽查，统计合格校服的套数，得到合格校服的频率频数表如下：抽取件数50 100 150 200 500 800 1000合格频数30 80 120 140 445 720 900合格频率0.6 0.8 0.8 0.7 0.89 0.9 0.9估计出售1200套校服，其中合格校服大约有（）A．1080套B．960套C．840套D．720套【答案】A【分析】根据表格中数据估计合格校服的概率约为0.9，再根据概率公式计算即可．【详解】解：根据表格数据可估计合格校服的概率约为0.9，∴估计出售1200套校服，其中合格校服大约有1200×0.9=1080（套），故选：A．【点睛】本题考查频率估计概率、样本估计总体，根据表格数据估计出合格校服的概率是解答的关键．2．（2022·四川巴中市·中考真题）两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯发现了黄金分割，即：如图，点P是线段AB上一点（AP＞BP），若满足BP APAP AB=，则称点P是AB的黄金分割点．黄金分割在日常生活中处处可见，例如：主持人在舞台上主持节目时，站在黄金分割点上，观众看上去感觉最好．若舞台长20米，主持人从舞台一侧进入，设他至少走x米时恰好站在舞台的黄金分割点上，则x满足的方程是（）A．（20﹣x）2＝20x B．x2＝20（20﹣x）C．x（20﹣x）＝202D．以上都不对【答案】A【分析】点P是AB的黄金分割点，且PB＜P A，PB＝x，则P A＝20−x，则BP APAP AB=，即可求解．【详解】解：由题意知，点P是AB的黄金分割点，且PB＜P A，PB＝x，则P A＝20−x，∴BP APAP AB=，∴（20−x）2＝20x，故选：A．【点睛】本题考查黄金分割，理解黄金分割的概念，找出黄金分割中成比例的对应线段是解决问题的关键．3.（2022·石家庄市九年级二模）现从四个数2-，0，1，2中任意选出两个不同的数，分别作为函数y ax b =+中a ，b 的值．那么所得图像中，分布在一二三象限的概率是（ ）A ．16B ．112 C ．13D ．23【答案】A【分析】先利用列表的方法求解从四个数2-，0，1，2中任意选出两个不同的数的结果数，再判断使函数y ax b =+的图像分布在一二三象限的结果数，再直接利用概率公式进行计算即可得到答案. 【详解】解：列表如下：2-0 1 22-()2,0-()2,1-()2,2- 0()0,2-0,1()0,21()1,2-()1,01,22()2,2- ()2,0 ()2,1一共有12种等可能的结果，而y ax b =+分布在一二三象限，a ∴＞0,b ＞0, 所以符合条件的等可能的结果数有2种，所以使y ax b =+分布在一二三象限的概率是21=.126选：.A 【点睛】本题考查的是利用画树状图或列表的方法求解等可能事件的概率，一次函数的性质，灵活应用以上知识解题是解题的关键.4．（2022•绵阳市九年级一模）如图，以O 为圆心的，C 、D 三等分，连MN 、CD ，下列结论错误的是（ ）A ．∠COM ＝∠CODB ．若OM ＝MN ，则∠AOB ＝20°C ．MN ∥CD D ．MN ＝3CD 【分析】连接ON 、MC 、DN ，过点O 作OE ⊥CD 交于点E ，根据圆周角定理判断A ；根据等边三角形的判定定理和性质定理判断B；根据垂径定理、平行线的判定定理判断C，根据两点之间线段最短判断D．【解析】连接ON、MC、DN，过点O作OE⊥CD交于点E，∵，∴∠COM＝∠COD，A选项结论正确，不符合题意；∵OM＝MN，OM＝ON，∴OM＝ON＝MN，∴△OMN为等边三角形，∴∠MON＝60°，∵，∴∠AOB＝20°，B选项结论正确，不符合题意；∵OE⊥CD，∴，∴，∴OE⊥MN，∴MN∥CD，C选项结论正确，不符合题意；∵MC+CD+DN＞MN，∴MN＜3CD，D选项结论错误，符合题意；故选：D．【点评】本题考查的是圆心角、弧、弦直径的关系、垂径定理、平行线的判定，掌握圆心角、弧、弦直径的关系定理是解题的关键．5．（2022·广西·九年级专题练习）如图，在△ABC中，点D在AC上，点F是BD的中点，连接AF 并延长交BC点E，BE：BC＝2：7，则AD：CD＝（）A．2：3 B．2：5 C．3：5 D．3：7【答案】A【分析】过点D作DH∥AE交BC于H，根据平行线的性质得BE＝EH，即可得EH：CH＝2：3，根据平行线等分线段定理即可得23 AD EHDC CH==．【详解】解：如图，过点D作DH∥AE交BC于H，∵BF ＝DF ，FE ∥DH ，∴BE ＝EH ，∴BE ：BC ＝2：7，∴EH ：CH ＝2：3， ∵AE ∥DH ，∴23AD EH DC CH ==，故选：A ． 【点睛】本题考查了平行线等分线段定理，解题的关键是学会添加辅助线，利用平行线等分线段成比例定理解决问题．6．（2022·江苏·南京郑和外国语学校九年级期中）如图，正方形ABCD 和正三角形AEF 内接于O ，DC 、BC 交EF 于G 、H ，若正方形ABCD 的边长是4，则GH 的长度为( )A ．22B ．44233-C ．463D ．8233- 【答案】A【分析】连接AC 交EF 于M ，连接OF ，根据正方形的性质、等边三角形的性质及等腰三角形的性质即可求解．【详解】解：连接AC 交EF 于M ，连接OF ，四边形ABCD 是正方形，90B ∴∠=︒，AC ∴是O 的直径，ACD ∴∆是等腰直角三角形，242AC AD ∴==，22OA OC ∴==，AEF ∆是等边三角形，AM EF ∴⊥，30OFM ∠=︒，122OM OF ∴==，2CM ∴=，45ACD ∴∠=︒，90CMG ∠=︒，45CGM ∴∠=︒，CGH ∴∆是等腰直角三角形，222GH CM ∴==．故选：A ．【点睛】本题考查正多边形与圆的关系，涉及到特殊锐角三角函数值、正方形的性质、等边三角形的性质及等腰三角形的性质，解题的关键是综合运用所学知识．7．（2022·河南南阳·二模）如图，平面直角坐标系中，A （4，0），点B 为y 轴上一点，连接AB ，tan ∠BAO ＝2，点C ，D 为OB ，AB 的中点，点E 为射线CD 上一个动点、当△AEB 为直角三角形时，点E 的坐标为（ ）A ．（4，4）或（25+2，4）B ．（4，4）或（25-2，4）C ．（12，4）或（25+2，4）D ．（12，4）或（25-2，4）【答案】C【分析】根据已知可得OA =4，OB = 8，从而利用勾股定理可求出AB ，然后分两种情况，当∠AE 1B =90°，当∠BAE 2=90°，进行计算即可解答． 【详解】解：∵A （4，0），∴OA =4， 在Rt △ABO 中，tan ∠BAO =2BOOA=，∴OB =2OA =8， ∴22228445AB OA OB =+=+=， ∵点C ，D 为OB ，AB 的中点，∴142OC OB ==，122CD OA ==，//CD OA 如图，分两种情况：当∠AE 1B =90°，点D 为AB 的中点， ∴DE 1＝1252AB =，11225CE CD DE =+=+，∴E 1（52＋2，4 ）， 当∠BAE 2=90°，过点E 2作E 2F ⊥x 轴，∴∠BAO +∠E 2AF = 90°， ∵∠BOA ＝90°，∴∠ABO +∠BAO =90°，∴∠ABO ＝∠E 2AF ， ∵∠BOA ＝∠AFE 2=90°，∴△BOA ∽△AFE 2，∴2BO AF OA E F =，∴844AF ＝，∴AF =8，∴OF =OA +AF =12，∴E 2（12，4）． 综上所述，当△AEB 为直角三角形时，点E 的坐标为（52＋2，4 ）或（12，4）．【点睛】本题考查了解直角三角形，相似三角形的判定与性质，三角形的中位线定理，勾股定理的逆定理，坐标与图形的性质，熟练掌握一线三等角构造相似模型是解题的关键，同时渗透了分类讨论的数学思想．8．（2022·重庆九年级开学考试）重庆实验外国语学校坐落在美丽且有灵气的华岩寺旁边，特别是金灿灿的大佛让身高1.6米的小王同学很感兴趣，刚刚学过三角函数知识，他就想测一下大佛的高度，小王到A 点测得佛顶仰角为37︒，接着向大佛走了10米来到B 处，再经过一段坡度4:3i =，坡长为5米的斜坡BC 到达C 处，此时与大佛的水平距离 6.2DH =米（其中点A 、B 、C 、E 、F 在同一平面内，点A 、B 、F 在同一条直线上），请问大佛的高度EF 为（ ）（参考数据：tan370.75︒≈，sin370.60︒≈，cos370.80)︒≈．A ．15米B ．16米C ．17米D ．18米【答案】B【分析】过点C 作CM BF ⊥于点M ，过点G 作GN EF ⊥于点N ，设4CM x =，3BM x =，则由勾股定理可以求出x =1，再证明四边形DHFM 和四边形AGNF 是矩形，得到 6.2DH FM ==米，从求出19.2AF GN ==米，最后解直角三角形即可．【详解】解：过点C 作CM BF ⊥于点M ，过点G 作GN EF ⊥于点N ， 斜坡BC 的坡度4:3i =，5BC =米，∴设4CM x =，3BM x =，∵222CM BM BC += 222(4)(3)5x x ∴+=，解得1x =，4CM ∴=米，3BM =米， ∵DH ⊥EF ，AB ⊥EF ，DM ⊥AB ，GA ⊥AB ，∴四边形DHFM 和四边形AGNF 是矩形， 6.2DH FM ∴==米，10AB =米，103 6.219.2AF GN AB BM MF ∴==++=++=米，在Rt ENG ∆中，37EGN ∠=︒，tan 370.75ENNG∴︒=≈， 0.750.7519.214.4EN NG ∴=⨯=⨯=米，14.4 1.616EF EN NF ∴=+=+=米．故选B ．【点睛】本题主要考查了坡比，勾股定理，解直角三角形，矩形的性质与判定等等，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．9．（2022·四川旌阳·九年级期末）关于x 的函数2|2|41y x x x k =---++的图象与x 轴有四个不同的公共点，则k 的取值范围是（ ） A ．134k <且3k ≠ B ．1334k <<C ．134k >D ．134k <【答案】B【分析】首先根据绝对值的意义将2|2|41y x x x k =---++整理为2253(2)31(2)x x k x y x x k x ⎧-++≥=⎨-+-<⎩，根据图象与x 轴有四个不同的公共点得到判别式24>0b ac ∆=-，代入列出不等式组求解即可．【详解】解：∵2|2|41y x x x k =---++∴2253(2)31(2)x x k x y x x k x ⎧-++≥=⎨-+-<⎩，由题意得22(5)4(3)0(3)4(1)0k k ⎧--+>⎨--->⎩，且当2x =时，>0y ，即4810k -++>，解得：1334k <<．故选：B ． 【点睛】此题考查了绝对值的意义，二次函数的判别式和与x 轴交点的关系，解题的关键是熟练掌握．抛物线与x 轴交点个数由△决定：Δ＝b 2﹣4ac ＞0时，抛物线与x 轴有2个交点；Δ＝b 2﹣4ac ＝0时，抛物线与x 轴有1个交点；Δ＝b 2﹣4ac ＜0时，抛物线与x 轴没有交点．10．（2022·绵阳市·九年级期末）二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的大致图象如图所示，下列结论：①abc ＜0；②9a +3b +c ＜0；③a ＞3c；④若方程ax 2+bx +c ＝0两个根x 1和x 2，则3＜|x 1﹣x 2|＜4，其中正确的结论有（ ）A ．①②③B ．①②④C ．①③④D ．②③④【答案】A【分析】①根据对称轴的位置可判断出ab 的符号，然后根据函数和y 轴的交点坐标可判断出c 的正负，进而可判断出abc 的正负；②根据二次函数的对称性可得当x =3时，即可判断函数值y 的正负；③首先由对称轴公式得出a 与b 的关系，然后根据当x =1时函数值y 为负求解即可； ④根据二次函数与x 轴的交点坐标的取值范围求解即可．【详解】①抛物线对称轴在y 轴右侧，则a ，b 异号，而c ＞0，则abc ＜0，故结论正确； ②由图象可知x ＝3时，y ＝9a +3b +c ＜0，故结论正确； ③∵2b a＝2，∴b ＝﹣4a ，∵当x ＝1时，y ＝a +b +c ＜0，∴﹣3a +c ＜0，∴a ＞3c，故结论正确； ④若方程ax 2+bx +c ＝0两个根x 1和x 2，由图象可知，0＜x 1＜1，3＜x 2＜4， ∴则2＜|x 1﹣x 2|＜4，故结论错误；故选：A ．【点睛】此题考查了二次函数的图像和性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的图像和性质． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）11．（2022·江苏）小红在地上画了半径为2m 和3m 的同心圆，如图，然后在一定距离外向圈内掷小石子，若每一次都掷在大圆形成的封闭区域内，则掷中阴影部分的概率是________________．【答案】59【分析】用阴影部分的面积除以大圆的面积即可求得概率． 【详解】解：S 阴影＝π（32﹣22）＝5π（cm 2）， 所以掷中阴影部分的概率是55==99S S 阴影大圆ππ，故答案为：59．【点睛】考查了几何概率的知识，解题的关键是求得阴影部分的面积，难度不大．12．（2022·黑龙江·九年级期中）设a 、b 为两实数，且满足2430a a --=，2430b b --=，则b aa b+=______．13．（2022·四川旌阳·九年级期末）点11(2,)P y -，22(2,)P y ，33(3,)P y 均在二次函数22y x x c =-++的图象上，则1y ，2y ，3y 的大小关系是________（用“>”连接）． 【答案】231y y y >>【分析】根据二次函数的解析式求得开口方向和对称轴，根据二次函数的性质可得离对称轴越远的点的函数值越小，分别计算123,,P P P 到对称轴1x =的距离，进而即可求得1y ，2y ，3y 的大小关系． 【详解】解：22y x x c =-++，∴对称轴为212x =-=-，10a =-< ∴二次函数的图象开口向下，则离对称轴越远的点的函数值越小，点11(2,)P y -，22(2,)P y ，33(3,)P y 均在二次函数22y x x c =-++的图象上， 点123,,P P P 到对称轴1x =的距离分别为3,1,2，则231y y y >>故答案为：231y y y >> 【点睛】本题考查了二次函数图象的性质，掌握二次函数的图象的性质是解题的关键．14．（2022·河南·郑州中原一中实验学校九年级月考）如图，在ABC 中，8AB cm =，16BC cm =，动点P 从点A 开始沿AB 边运动，速度为2/cm s ；动点Q 从点B 开始沿BC 边运动，速度为4/cm s ；如果P 、Q 两动点同时运动，那么经过______秒时QBP △与ABC 相似．【答案】0.8或2【分析】设经过t 秒时，QBP △与ABC 相似，则2AP tcm =,(82)BP t cm =-,4BQ tcm =,利用两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似进行分类讨论：BP BQBA BC=时，BPQ BAC ∽，即824816t t-=；当BP BQ BC BA=时，BPQ BCA △∽△，即824168t t -=，然后解方程即可求出答案． 【详解】解：设经过t 秒时，QBP △与ABC 相似，则2AP tcm =,(82)BP t cm =-,4BQ tcm =, ∵PBQ ABC ∠=∠，∴当BP BQ BA BC=时，BPQ BAC ∽，即824816t t-=，解得：2t =； 当BP BQ BC BA=时，BPQ BCA △∽△，即824168t t-=，解得：0.8t =； 综上所述：经过0.8s 或2s 秒时，QBP △与ABC 相似，【点睛】本题考查了相似三角形的判定：两组对应边成比例且夹角相等的两个三角形相似，解题的关键是准确分析题意列出方程求解．15．（2022·辽宁·沈阳实验中学二模）如图，新疆部A 位于学校主教学楼P 南偏东45°方向，且距离教学楼60米，某同学从这里出发沿着正北方向走了一段时间后，到达位于主教学楼北偏东30°方向的综合楼B 处，此时这位同学一共走的距离为______米．【答案】(2306．【分析】过P 作PC ⊥AB 于C ，由新疆部A 位于学校主教学楼P 南偏东45°方向，可得∠A =45°可证PC =AC ，由P A =60米，由三角函数可得A C=PC =2B 处在教学楼北偏东30°方向，可得∠B =30°，可求PB =2PC =602Rt △BCP 中，BC =PB cos30°=6AB =BC +AC (302306=米即可．【详解】解：过P 作PC ⊥AB 于C ，∵新疆部A 位于学校主教学楼P 南偏东45°方向， ∴∠A =45°∴∠CP A =90°-∠A =45°，∴PC =AC ， 设A C=PC =x ，∵P A =60米∴A C=PC =P A cos45°=6023022⨯=， ∵综合楼B 处在教学楼北偏东30°方向，∴∠B =30°，∴PB =2PC =602， 在Rt △BCP 中，BC =PB cos30°36023062=⨯=， ∴AB =BC +AC ()302306=+米．故答案为：()302306+．【点睛】本题考查解直角三角形应用，掌握方位角，三角函数定义，以及三边之间关系是解题关键． 16．（2022·黑龙江龙凤·九年级期末）如图，平行四边形ABCD 中，AC BC ⊥，5AB =，3BC =，点P 在边AB 上运动以P 为圆心，PA 为半径作P ，若P 与平行四边形ABCD 的边有四个公共点，则AP 的长度满足条件是_______．【答案】201295AP <<或52AP =【分析】求出⊙P 与BC ，CD 相切时AP 的长以及⊙P 经过A ，B ，C 三点时AP 的长即可判断． 【详解】解：如图1中，当⊙P 与BC 相切时，设切点为E ，连接PE ． 在Rt △ABC 中，由勾股定理得：22AB BC -=4，设AP=x ，则BP=5-x ，PE=x ，∵⊙P 与边BC 相切于点E ，∴PE ⊥BC ， ∵BC ⊥AC ，∴AC ∥PE ，∴PE PB AC AB =，∴545x x -=，∴2020,99x AP ==；如图2中，当⊙P与CD相切时，设切点为E，连接PE．∵S平行四边形ABCD=2×12×3×4=5PE，∴PE=125，观察图象可知：209＜AP＜125时⊙P与平行四边形ABCD的边的公共点的个数为4，②⊙P过点A、B、C三点，如图3，⊙P与平行四边形ABCD的边的公共点的个数为4，此时AP=52，综上所述，AP的值的取值范围是：201295AP<<或AP=52．故答案为：201295AP<<或AP=52．【点睛】本题考查平行四边形的性质，勾股定理，直线与圆的位置关系等知识，解题的关键是学会利用特殊位置解决问题．三、解答题（本大题共8小题，共72分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（2022·江苏·常州外国语学校九年级月考）计算：（1）2tan45°•sin30°+cos30°•tan60°；（2）cos60°2cos45°+3tan230°．【答案】（1）52；（2）1．【分析】（1）将tan45°=1，sin30°=12，cos30°=3tan60°= 3（2）将cos60°=12，cos45°=22，tan230°=231()=33分别代入，再计算解题．【详解】解：（1）2tan45°•sin30°+cos30°•tan60°13=21+322⨯⨯⨯3=1+25=2；（2）cos60°﹣22cos45°+3tan230°21223=3()2223-⨯+⨯1113223=-+⨯1=．【点睛】本题考查特殊角的锐角函数值、锐角三角函数值的混合运算等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．18．（2022·广东广州·九年级期末）为落实“双减”，进一步深化白云区“数学提升工程”，提升学生数学核心素养，2021年12月3日开展“双减”背景下白云区初中数学提升工程成果展示现场会，其中活动型作业展示包括以下项目：①数独挑战；②数学谜语；③一笔画；④24点；⑤玩转魔方．为了解学生最喜爱的项目，随机抽取若干名学生进行调查，将调查结果绘制成两个不完整的统计图，如图：（1）本次随机抽查的学生人数为__________人，补全图（Ⅰ）；（2）参加活动的学生共有500名，可估计出其中最喜爱①数独挑战的学生人数为__________人，图（Ⅱ）中扇形①的圆心角度数为__________度；（3）计划在①，②，③，④四项活动中随机选取两项作为重点直播项日，请用列表或画树状图的方法，求恰好选中①，④这两项活动的概率【答案】（1）60，见解析；（2）125、90；（3）1 6【分析】（1）由②的人数除以所占百分比求出抽查的学生人数，即可解决问题；（2）由该校人数乘以最喜爱“①数独挑战”的人数所占的比例得出该校学生最喜爱“①数独挑战”的人数，再用360°乘以最喜爱“①数独挑战”的人数所占的比例即可；（3）画树状图，再由概率公式求解即可．【详解】解：（1）本次随机抽查的学生人数为：18÷30%=60（人），则喜爱⑤玩转魔方游戏的人数为：60-15-18-9-6=12（人），补全图（Ⅰ）如下：故答案为：60；（2）估计该校学生最喜爱“①数独挑战”的人数为：500×1560=125（人），图（Ⅱ）中扇形①的圆心角度数为：360°×1560=90°，故答案为：125，90； （3）画树状图如图：共有12个等可能的结果，恰好选中“①，④”这两项活动的结果有2个， ∴恰好选中“①，④”这两项活动的概率为212=16． 【点睛】本题考查了列表法与树状图法、扇形统计图、条形统计图；通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n ，再从中选出符合事件A 或B 的结果数目m ，然后根据概率公式求出事件A 或B 的概率．19．（2022·四川成都·九年级期末）如图，在平面直角坐标系中，ABC 的顶点坐标分别为A (0，2)，B (1，3)，C (2，1)．(1)请在平面直角坐标系中，以原点O 为位似中心，画出ABC 的位似图形A 1B 1C 1，使它与ABC 的相似比为2：1；(2)求出A 1B 1C 1的面积． 【答案】(1)见解析 (2)6【分析】（1）分别作出三个顶点的对应点，再首尾顺次连接即可； （2）用矩形的面积减去四周三个三角形的面积． （1）如图所示，即为所求．(2)△A 1B 1C 1的面积为4×4-12×4×2-12×2×2-12×2×4=6．【点睛】本题主要考查作图—位似变换，解题的关键是掌握位似变换的定义与性质．20．（2022·贵州遵义）如图1所示是一种太阳能路灯，它由灯杆和灯管支架两部分构成如图2，AB 是灯杆，CD 是灯管支架，灯管支架CD 与灯杆间的夹角60BDC ∠=︒．综合实践小组的同学想知道灯管支架CD 的长度，他们在地面的点E 处测得灯管支架底部D 的仰角为60°，在点F 处测得灯管支架顶部C 的仰角为30°，测得3AE =m ，8EF =m （A ，E ，F 在同一条直线上）．根据以上数据，解答下列问题：(1)求灯管支架底部距地面高度AD 的长（结果保留根号）；(2)求灯管支架CD 的长度（结果精确到0.1m 3 1.73≈）． 【答案】(1)33m (2)1.2m【分析】（1）解Rt ADE △即可求解；（2）延长FC 交AB 于点G ，证明DGC ∴是等边三角形，解Rt AFG △，根据DC DG AG AD ==-即可求解．(1)在Rt ADE △中，tan tan 603ADAED AE∠==︒= 3AE =m 333AD AE ∴==m(2)如图，延长FC 交AB 于点G ，3,8AE EF == 11AF AE EF ∴=+= 3tan tan30AG F AF ==︒=113AG ∴=Rt AFG 中，90,30A F ∠=︒∠=︒60AGF ∴∠=︒60BDC GDC ∠=∠=︒ DGC ∴是等边三角形1123333 1.233DC DG AG AD ∴==-=≈ 答：灯管支架CD 的长度约为1.2m ．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，等边三角形的性质与判定，掌握以上知识是解题的关键． 21．（2022·内蒙古呼和浩特·）某市计划在十二年内通过租房建设，解决低收入人群的住房问题，已知前7年，每年竣工投入使用的公租房面积y （单位：百万平方米），与时间x （第x 年）的关系构成一次函数（1≤x ≤7且x 为整数），且第一和第三年竣工投入使用的公租房面积分别为236和72百万平方米；后五年竣工面积与时间的关系是y ＝18-x +154（7＜x ≤12且x 为整数）．（1）已知第六年竣工使用的公租房面积可解决20万人的住房问题，如果人均住房面积最后一年比第六年提高20%，那么最后一年竣工投入使用的公租房面积可解决多少万人的住房问题？（2）受物价上涨的影响，已知这12年中，每年投入使用的租金与时间的函数解析式为m ＝2x +36．假设每年的公租房当年全部出租完，写出这12年中每年竣工的公租房年租金W 关于时间x 的函数解折式，并求出W 的最大值（单位：亿元）．如果在W 取得最大值的这一年，老张租用了58平方米的房子，计算老张这一年应交的租金为多少？【答案】（1）最后一年竣工投入使用的公租房面积可解决12.5万人的住房问题；（2）()()2212144173131357124x x x W x x x ⎧-++≤≤⎪⎪=⎨⎪-++<≤⎪⎩，，；W 的最大值为1.47亿元；老张这一年应交的租金为2436元．【分析】（1）用待定系数法求出一次函数表达式，算出第六年对应的y 值，由已知条件即可求得答案；（2）分别算出17x ≤≤和712x <≤时，W 的函数表达式，配方求得最值，对比分析即可知道W 的最大值，进一步求得老张应交的租金． 【详解】解：设()0,17y kx b k x =+≠≤≤由已知得：236732k b k b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得：164k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩∴()14176y x x =-+≤≤ 当6x =时，164=36y =-⨯+∴30020=15÷（平方米），15(120)18⨯+=％（平方米）当12x =时，115912=844y =-⨯+∴910018=12.54⨯÷（万人）所以最后一年可解决12.5万人的住房问题．（2）当17x ≤≤时，()2112364214463W x x x x ⎛⎫=+-+=-++ ⎪⎝⎭；当712x <≤时，()21151********44W x x x x ⎛⎫=+-+=-++ ⎪⎝⎭∴这12年中每年竣工的公租房年租金W 关于时间x 的函数解折式为()()2212144173131357124x x x W x x x ⎧-++≤≤⎪⎪=⎨⎪-++<≤⎪⎩，， 又∵当17x ≤≤时，()22112144314733W x x x =-++=--+∴当3x =时，=147W ；∵当712x <≤时，()22113135614444W x x x =-++=--+∴当8x =时，=143W ；∵147＞143∴当3x =时，年租金最大，W 的最大值为1.47亿元 当3x =时，233642m =⨯+=∴58422436⨯=（元） 所以老张这一年应交的租金为2436元【点睛】本题考查一次函数实际应用，二次函数的应用．能够从大量文字中提取出解题所需要的条件，并能够列出符合题意的表达式，利用配方法将二次函数一般式配成顶点式，从而求出最值是解题的关键．22．（2022·杭州市十三中教育集团九年级）如图，OAB 中，OA OB =，O 过AB 中点C ，且与OA 、OB 分别交于点E 、F ．（1）求证：直线AB 是O 的切线；（2）延长AO 交O 于点D ，连结DF 、DC ，求证：EDC FDC ∠=∠；（3）在（2）的条件下，若10DE =，6DF =，求CD 的长．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）45【分析】（1）连接OC ，证OC AB ⊥即可证直线AB 是O 的切线；（2）由圆周角定理可得12EDC AOC ∠=∠，12FDC BOC ∠=∠，由（1）证AOC BOC ∠=∠即可；（3）作ON DF ⊥于N ，延长DF 交AB 于M ，在t R CDM 中求出DM 、CM 即可求出CD ． 【详解】解（1）证明：连接OC ，如下图：∵OA=OB ，C 为AB 的中点，∴OC AB ⊥，∵点C 在O 上，∴AB 是O 的切线；（2）根据圆周角定理可知，12EDC AOC ∠=∠，12FDC BOC ∠=∠，由（1）可得AOC BOC ∠=∠，∴EDC FDC ∠=∠； （3）作ON DF ⊥于N ，延长DF 交AB 于M ，如下图：∵ON DF ⊥，=OD OF ，∴1===32DN NF DF ，在t R ODN 中，∵=90OND ∠︒，1==52OD DE ，=3DN ，∴22==4ON OD DN -，∵=OD OC ，∴=OCD EDC ∠∠，∵=EDC FDC ∠∠，∴=OCD FDC ∠∠，∴OC ∥DM ， ∵OC AB ⊥，∴DM AB ⊥，∴四边形OCMN 是矩形，∴4ON CM ==， 5MN OC ==， 在t R CDM 中，=90DMC ∠︒，4CM =，==35=8DM DN MN ++∴22228445CD DM CM ++=【点睛】本题比较综合，考查了圆的切线，圆周角与圆心角的关系，勾股定理等相关知识，熟练掌握并能灵活运用每一个细小的知识点，是解决此类综合大题的关键．23．(2022.成都市初三一诊)天府新区某校数学活动小组在一次活动中，对一个数学问题作如下探究： （1）问题发现：如图1，在等边△ABC 中，点P 是边BC 上任意一点，连接AP ，以AP 为边作等边△APQ ，连接CQ ．求证：BP = CQ ；（2）变式探究：如图2，在等腰△ABC 中，AB =BC ，点P 是边BC 上任意一点，以AP 为腰作等腰△APQ ，使AP =PQ ，∠APQ =∠ABC ，连接CQ ．判断∠ABC 和∠ACQ 的数量关系，并说明理由；（3）解决问题：如图3，在正方形ADBC 中，点P 是边BC 上一点，以AP 为边作正方形 APEF ，Q 是正方形APEF 的中心，连接CQ ．若正方形APEF 的边长为6，22CQ =，求正方形ADBC 的边长．【答案】（1）证明见解析；（2）ABC ACQ ∠=∠，理由见解析；（3）正方形ADBC 的边长为214+． 【分析】（1）易证∠BAP ＝∠CAQ ，根据AB ＝AC ，AP ＝AQ ，由SAS 证得△BAP ≌△CAQ ，即可得出结论；（2）由等腰三角形的性质得出∠BAC ＝∠PAQ ，证得△BAC ∽△PAQ ，得出BA PAAC AQ=，易证∠BAP ＝∠CAQ ，则△BAP ∽△CAQ ，可得∠ABC ＝∠ACQ ； （3）连接AB 、AQ ，由正方形的性质得出2ABAC=，∠BAC ＝45°，2AP AQ =，∠PAQ ＝45°，易证∠BAP ＝∠CAQ ，则可得△ABP ∽△ACQ ，根据相似三角形的性质求出BP ＝4，设PC ＝x ，则BC ＝AC ＝4＋x ，在Rt △APC 中，利用勾股定理列方程求出x ，即可得出结果． 【详解】（1）证明：如图1，ABC 与APQ 都是等边三角形，60BAC PAQ ∴∠=∠=︒，1323∴∠+∠=∠+∠，12∠∠∴=．又AB AC =，AP AQ =，ABP ACQ ∴≅，BP CQ ∴=；（2）ABC ACQ ∠=∠，理由：如图2，在ABC 中，AB BC =，1802ABC BAC ︒-∠∴∠=，在PAQ △中，PA PQ =，1802APQPAQ ︒-∠∴∠=，APQ ABC ∠=∠，BAC PAQ ∴∠=∠，BACPAQ ∴，BA PAAC AQ∴=，又13BAC ∠+∠=∠，23PAQ ∠+∠=∠，12∠∠∴=，ABP ACQ ∴，∴ABC ACQ ∠=∠；（3）如图3，连接AB ，AQ ，正方形ADBC ，2ABAC∴=，45BAC ∠=︒， 又Q 为正方形APEF 的中心，2APAQ∴=，45PAQ ∠=︒， 13BAC ∠+∠=∠，23PAQ ∠+∠=∠，12∠∠∴=，AB APAC AQ=，ABP ACQ ∴，22AC CQ AB BP ∴==，22CQ =，4BP ∴=，设PC x =，则4BC AC x ==+，在Rt APC 中，222AP AC PC =+，即2236(4)x x =++， 解得：214x =-±，0x，214x ∴=-+，∴边长4214AC x =+=+.【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了等边三角形的性质、等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、正方形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、解一元二次方程等知识；熟练掌握正方形的性质，证明三角形相似是解题的关键．24．（2022·广东·广州九年级期中）如图，抛物线23y ax bx =++与x 轴交于()2,0A -、()6,0B 两点，与y 轴交于点C ．直线l 与抛物线交于A 、D 两点，点D 的坐标为()4,n ．(1)求抛物线的解析式与直线l 的解析式；(2)若点P 是抛物线上的点且在直线l 上方，连接PA PD 、，求当PAD 面积最大时点P 的坐标及该面积的最大值；(3)若点Q 是y 轴上的点，且45ADQ ∠=︒，请直接写出点Q 的坐标． 【答案】(1)2134y x x =-++,112y x =+(2)151,4P ⎛⎫ ⎪⎝⎭(3)()09Q -， 【分析】（1）先利用待定系数法求二次函数解析式，然后再根据点D 的横坐标为4，代入二次函数解析式求得D 点坐标，再用待定系数法求直线l 的解析式即可；（2）过点P 作PF y ∥轴交AD 于F ，设P （n ，21,34P n n n ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭），则1,12F n n ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，根据()132PAD D A S x x PF PF =⋅-⋅=，得到PF 的值最大时，△P AD 的面积最大，求出PF 的最大值即可； （3）如图2，将线段AD 绕点A 顺时针旋转90︒，得到AT ，作DM x ⊥轴于M ，TN x 轴于N ，则90ANT DMA AT AD ∠=∠=︒=，，证明AAS ANT DMA ≌（），得到16T -（，），设DT 交x 轴于Q ，证得ATD 是等腰直角三角形，则45ADQ ∠=︒，利用待定系数法求得直线DT 的解析式为39y x =-，再求得与y 轴的交点Q 的坐标即可．【详解】（1）解：将点A 、B 的坐标代入23y ax bx =++，得423036630a b a b -+=⎧⎨++=⎩，解得141a b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，∴抛物线的解析式为2134y x x =-++； ∵当4x =时，2144334y =-⨯++=，∴3(4)D ，； ∵直线l 经过点A ，D ，∴设直线l 的解析式y kx m =+，将点A ，点D 坐标代入得：2043k m k m -+=⎧⎨+=⎩，得121k m ⎧=⎪⎨⎪=⎩． ∴直线l 的解析式为112y x =+． （2）解：如图1，过点P 作PF y ∥轴交AD 于F设21,34P n n n ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭，则1,12F n n ⎛⎫+ ⎪⎝⎭ ∵()132PAD D A S x x PF PF =⋅-⋅=，∴PF 的值最大时，PAD 的面积最大，∵2113142PF n n n ⎛⎫=-++-+ ⎪⎝⎭=()219144n --+， ∴当1n =时，PF 的值最大，最大值为94， 此时PAD 的面积最大值为：2743max PF =， 当1x =时，2115344y x x =-++=∴此时151,4P ⎛⎫ ⎪⎝⎭． 综上所述：当ΔP AD 面积最大时点P 的坐标为151,4⎛⎫ ⎪⎝⎭，该面积的最大值为274． （3）解：如图2，，将线段AD 绕点A 顺时针旋转90︒，得到AT ，作DM x ⊥轴于M ，TN x 轴于N ，则90ANT DMA AT AD ∠=∠=︒=，，∵90NAT DAM MDA DAM ∠∠∠∠︒＋＝＋＝，∴NAT MDA ∠=∠，∴AAS ANT DMA ≅（），∴36AN DM NT MA ====，，∴1ON AN OA ＝－＝，∴()16T -，，设DT 交x 轴于Q ， ∵90TAD AD AT ∠︒＝，＝ ，∴ATD 是等腰直角三角形，∴45ADQ ∠=︒，设直线DT 的解析式为=+y px t ，∵()()4316D T -，，，，∴346p t p t =+⎧⎨-=+⎩，解得39p t =⎧⎨=-⎩， ∴直线DT 的解析式为39y x =-，令0x =，得9y =-．∴()09Q -，． 【点睛】本题主要考查了二次函数与一次函数的综合、待定系数法求函数解析式、二次函数的最值问题、直线与x 轴的交点、全等三角形的判定与性质等知识点，灵活运用相关知识并正确添加辅助线是解题的关键．。
圆心角圆周角练习题
圆心角圆周角练习题圆心角和圆周角是圆内角的一种特殊形式，它们在几何学中具有重要的地位。
本文将介绍关于圆心角和圆周角的一些练习题，帮助读者加深对这一概念的理解。
一、选择题1. 在同一个圆中，圆心角和对应的圆周角的关系是：A. 圆心角大于对应的圆周角B. 圆心角等于对应的圆周角C. 圆心角小于对应的圆周角2. 已知在同一个圆中，圆心角的度数为56°，则对应的圆周角的度数为：A. 56°B. 112°C. 224°3. 在圆O中，∠ACB是圆心角，则它所对应的圆周角的度数为：A. 30°B. 60°C. 120°4. 若∠ACD是圆O中的圆心角，且其度数为72°，则弧AB所对应的圆周角的度数为：A. 72°B. 144°C. 288°5. 在同一个圆中，圆心角和对应的弧所对应的圆周角之间的关系是：A. 圆心角小于对应的圆周角B. 圆心角等于对应的圆周角C. 圆心角大于对应的圆周角二、填空题1. 在同一圆中，一条弧的度数等于其所对应的圆周角的度数，则这条弧所对应的圆心角的度数为________。
2. 在圆O中，已知∠ACB是圆心角，则它所对应的圆周角的度数为________。
3. 在同一个圆中，圆心角的度数等于所对应的弧所对应的圆周角的度数，则该弧所对应的圆周角的度数为________。
三、解答题1. 在同一个圆中，圆心角和对应的圆周角的关系是什么？为什么？2. 已知在同一个圆中，圆心角的度数为60°，则对应的圆周角的度数是多少？并通过计算或推理进行解答。
3. 在圆O中，∠ACB是圆心角，则它所对应的圆周角的度数是多少？并通过计算或推理进行解答。
4. 若∠ACD是圆O中的圆心角，且其度数为90°，则弧AB所对应的圆周角的度数是多少？并通过计算或推理进行解答。
总结：本文通过选择题、填空题和解答题的形式，对圆心角和圆周角的概念进行了练习和探讨。
中考数学专题复习圆_圆心角圆周角专题训练
圆---圆心角、圆周角1. 如图，已知AB是⊙O的直径，C.D是上的三等分点，∠AOE＝60°，则∠COE是( )A.40°B.60°C.80°D.120°2.如图，已知在⊙O中，点C为的中点，∠A＝40°，则∠BOC等于( )A.40°B.50°C.70°D.80°3. 下面四个图中的角，是圆心角的是( )4. 下列说法正确的是( )A.相等的圆心角所对的弦相等B.相等的圆心角所对的弧相等C.等弧所对的弦相等D.度数相等的弧的长度相等5. 如图，在⊙O中，弦AB.CD相交于点E，且AB＝CD，连接AD.BC，则下列给出的结论中，正确的有( )①②AD＝BC ③∠CBD＝∠ADB ④∠A＝∠C ⑤AE＝CEA.5个B.4个C.3个D.2个6. 如图，在⊙O中，AC∥OB，∠BAO＝25°，则∠BOC的度数为( )A.25°B.50°C.60°D.80°7. 如图，已知经过原点的⊙P与x、y轴分别交于A.B两点，点C是劣弧OB上一点，则∠ACB＝( )A.80°B.90°C.100°D.无法确定8. 圆内接四边形ABCD中，已知∠A＝70°，则∠C＝( )A.20°B.30°C.70°D.110°9. 如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，已知∠BOD＝100°，则∠BCD的度数为( )A.50°B.80°C.100°D.130°10. 顶点在圆心，两边与圆相交的角叫做_________.在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧_____，所对的弦也______；在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角______，所对的弦_________；在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角_____，所对的弦_______-.11. 顶点在_________，两边都和圆_______的角叫圆周角.一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的_______.在__________(或相等的圆)中，同弧或等弧所对的圆周角_______；反之，相等的圆周角所对的弧_________.12. 半圆(或直径)所对的圆周角是_______；90°的圆周角所对的弦是________.13.如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做__________，这个圆叫做___________；圆内接四边形对角_________-.14. 已知圆O的半径为5cm，弦AB的长为5cm，则弦AB所对的圆心角∠AOB＝__________.15. 如图，已知AB为⊙O的直径，点D为半圆周上的一点，且所对圆心角的度数是所对圆心角度数的两倍，则圆心角∠BOD的度数为_____.16. 下列四个图中，∠x是圆周角的是________.17. 如图，AB.CD是⊙O的两条互相垂直的弦，圆心角∠AOC＝130°，AD.CB的延长线相交于P，则∠P＝_______-.18. 如图所示，A.B.C.D是⊙O上顺次四点.若∠AOC＝160°，则∠D＝_______________ ，∠B＝____________.19. 如图，已知A.B.C.D是⊙O上四点，若AC＝BD，求证：AB＝CD.20. 如图，在△AOB中，AO＝AB，以点O为圆心，OB为半径的圆交AB于D，交AO于点E，AD＝BO.试说明，并求∠A的度数.21. 如图，A.B.C在圆上，弦AE平分∠BAC交BC于D.求证：BE2＝ED·EA.22. 如图所示，AB是⊙O的直径，AB＝8cm，∠ADE＝60°，DC平分∠ADE，求AC.BC的长.23. 如图，△ABC内接于⊙O，过C作CD∥AB与⊙O相交于D点，E是上一点，且满足AD＝DE，连接BD 与AE相交于点F.求证：△ADF∽△ABC.24. 如图，四边形ABCD内接于⊙O，点E在对角线AC上，EC＝BC＝DC.(1)若∠CBD＝39°，求∠BAD的度数；(2)求证：∠1＝∠2.25. 如图，已知△ABC是等边三角形，⊙O经过点A.B.C，点P是BC上任一点.(1)图中与∠PBC相等的角为________；(2)试猜想三条线段PA.PB.PC之间的数量关系，并证明.26. 如图，以△ABC的一边AB为直径的半圆与其它两边AC.BC的交点分别为D.E，且.(1)试判断△ABC的形状，并说明理由；(2)已知半圆的半径为5，BC＝12，求sin∠ABD的值.参考答案：1—9 CBDCA BBDD10. 圆心角相等相等相等相等相等相等11. 圆上相交一半同一圆相等相等12. 90°直径13. 圆的内接多边形多边形的外接圆互补14. 60°15. 60°16. ③17. 40°18. 80° 100°19.20. 解：设∠A ＝x°.∵AD ＝BO ，又OB ＝OD ，∴OD ＝AD ，∴∠AOD ＝∠A ＝x°，∴∠ABO ＝∠ODB ＝∠AOD ＋∠A ＝2x°.∵AO ＝AB ，∴∠AOB ＝∠ABO ＝2x°.从而∠BOD ＝2x°－x°＝x°，即∠BOD ＝∠AOD ，∴由三角形的内角和为180°，有2x°＋2x°＋x°＝180°，x°＝36°，即∠A ＝36°.21. 证明：∵AE 平分∠BAC ，∴∠EAB ＝∠EAC ，又∵∠EBC ＝∠EAC ，∴∠EBC ＝∠EAB ，又∵∠E 公用，∴△EBD ∽△EAB ，∴EB EA ＝ED EB，∴EB2＝EA·ED. 22. 解：∵∠ADE ＝60°，DC 平分∠ADE ，∴∠ADC ＝12∠ADE ＝30°＝∠ABC.又∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ACB ＝90°，∴AC ＝12AB ＝4cm.BC ＝AB2－AC2＝82－42＝43(cm). 23. 证明：∵AB ∥CD ，∴∠BAC ＝∠ACD ，∵AD ＝DE ，∴∠DAE ＝∠AED ，∴∠DAE ＝∠AED ＝∠ACD ＝∠BAC ，∵∠ADF ＝∠ACB ，∠DAE ＝∠BAC ，∴△ADF ∽△ABC.24. (1)解：∵BC ＝DC ，∴∠CBD ＝∠CDB ＝39°，∵∠BAC ＝∠CDB ＝39°，∠CAD ＝∠CBD ＝39°，∴∠BAD ＝∠BAC ＋∠CAD ＝39°＋39°＝78°；(2)证明：∵EC ＝BC ，∴∠CEB ＝∠CBE ，而∠CEB ＝∠2＋∠BAE ，∠CBE ＝∠1＋∠CBD ，∴∠2＋∠BAE ＝∠1＋∠CBD ，∵∠BAE ＝∠CBD ，∴∠1＝∠2.25. 解：(1)∠PAC ；(2)PA ＝PB ＋PC.在AP 上截取PD ＝PC ，连接CD 可证△PCD 是等边三角形，△ACD ≌△BCP.26. 解：(1)△ABC 为等边三角形.理由如下：连接AE ，如图，∵，∴∠DAE ＝∠BAE ，即AE 平分∠BAC ，∵AB 为直径，∴∠AEB ＝90°，∴AE ⊥BC ，∴△ABC 为等腰三角形；(2)∵△ABC 为等腰三角形，AE ⊥BC ，∴BE ＝CE ＝12BC ＝12×12＝6，在Rt △ABE 中，∵AB ＝10，BE ＝6，∴AE ＝102－62＝8，∵AB 为直径，∴∠ADB ＝90°，∴12AE·BC＝12BD·AC，∴BD ＝8×1210＝485，在Rt △ABD 中，∵AB ＝10，BD ＝485，∴AD ＝AB2－BD2＝145，∴sin ∠ABD ＝AD AB ＝14510＝725.。
培优专题15与圆周角或圆心角有关的辅助线作法-解析版
【答案】127.5 【分析】分别连接 OA，OB，OC，OD，根据圆心角定理可求得∠AOD 和∠BOC 的度数；再根据弦 AB=CD，可求得∠AOB 和∠COD 的度数；最后根据圆周角定理可求得∠APB 的度数． 【详解】解：连接 OA，OB，OC，OD，如图所示．
∵ AAD 和 BAC 的度数分别是 30°和 120°，
D．58°
【答案】C
【分析】连接 OD，OC，先利用圆周角定理求出∠AOD，从而求出∠DOB，再根据 BAD =2 BAC ，求出
∠BOC，进而求出∠CAO，最后利用三角形的外角进行计算即可解答．
【详解】解：连接 OD，OC，
∵∠ACD=20°，
∴∠AOD=2∠ACD=40°， ∴∠DOB=180°-∠AOD=140°， ∵ BAD =2 BAC ， ∴∠BOD=2∠BOC， ∴∠BOC=70°，
理是解题的关键．
◎作法二：利用直径构造直角三角形 模型展示
6．（2022·辽宁营口·中考真题）如图，点 A，B，C，D 在 A O 上， AC BC, AC 4,ADC 30 ，则 BC 的长为（ ）
A． 4 3 B．8 C． 4 2 D．4 【答案】A 【分析】连接 AB ，根据 AC BC 可得 AB 为 A O 的直径，又根据 ADC 30 得到 ABC 30 ，故在直角三 角形中，利用特殊角的三角函数即可求出 BC ． 【详解】解：连接 AB ，
∴∠AOD=30°，∠BOC=120°．
∵AB=CD，
∠A∠OB= COD 360 30 120 105
∴
2
．
∵ BACD BACD ，
∠A∠PB 1 360 AOB = 1 360 105 =127.5
∴
专题7几何问题(六年级培优系列)
知识要点一、线*直线：没有端点；长度无限；过一点可以画无数条，过两点只能画一条直线。
*射线：只有一个端点；长度无限。
*线段：有两个端点，是直线的一部分；长度有限；两点之间线段最短。
*平行线：在同一平面内，不相交的两条直线（平行线之间的垂线段相等）。
*垂线；两条直线相交成直角时互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线,相交的点叫做垂足。
过直线外一点到这条直线有且只有一条垂线，该垂线段为点到直线的距离。
二、角：从一点引出两条射线，所组成的图形叫做角。
这个点叫做角的顶点，这两条射线叫做角的边。
*锐角：小于90°的角叫做锐角。
*直角：等于90°的角叫做直角。
*钝角：大于90°而小于180°的角叫做钝角。
*平角：等于180°，角的两边成一条直线。
*周角：等于360°，角的一边旋转一周与另一边重合。
三、平面图形（1）基本概念*周长：围成一个图形的所有边长的总和*面积：围成的平面图形的大小*轴对称：沿着一条直线对折，两侧能完全重合的图形。
折痕所在直线是对称轴。
（2）圆：平面上到定点的距离等于定长的点的集合①定点为圆心，一般记作O；定长为半径，一般记作R或r；过圆心与圆相交于两点的线段为圆的直径，一般记作d。
②同一圆内：有无数条直径（半径）且为该圆的对称轴；直径是半径的两倍，即d=2r；圆周长与其直径的比为π，π为无限不循环小数，约等于3.14。
③圆的周长：L=πd=2πR；圆的面积：S=πr2（3）扇形：一条弧和经过这条弧两端的两条半径所围成的图形①弧，圆上任意两点之间的部分；圆心角，顶点在圆心的角。
②扇形有一条对称轴，为其圆心角的平分线。
③扇形周长L=2r+2πrn÷360；扇形面积S=πn r2÷360（4）环形：由两个半径不相等的同心圆相减而成，有无数条对称轴。
环形周长L=2π(R-r)环形面积S=π(R²-r²）四、立体图形【例1】对称性①观察下列哪些图形是轴对称图形？是轴对称图形的画出对称轴。
部编数学九年级上册24.1.3弧、弦、圆心角(解析版)2023实验培优含答案
2022-2023学年九年级数学上册章节同步实验班培优题型变式训练（人教版）24.1.3 弧、弦、圆心角【题型1】利用弧、弦、圆心角求解1．（2022·山东·德州市第五中学九年级开学考试）下列命题是真命题的是（ ）A．在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆心角相等，所对的弧也相等B．平分弦的直径垂直于弦C．一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形D．两条直线被第三条直线所截，内错角相等【答案】C【解析】【分析】利用圆的有关性质、垂径定理、平行四边形的判定方法及平行线的性质分别判断后即可确定正确的选项．【详解】A、在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆心角相等，所对的弧不一定相等，故原命题错误，是假命题，不符合题意；B、平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，故原命题错误，是假命题，不符合题意；C、如图，四边形ABCD，AB∥CD，∠A=∠C，∵AB∥CD，∴∠A+∠D=180°，又∵∠A=∠C，∴∠C+∠D=180°，∴AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形，故一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形，正确，是真命题，符合题意；D、两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等，故原命题错误，是假命题，不符合题意．故选：C．【点睛】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解圆的有关性质、垂径定理、平行四边形的判定方法及平行线的性质等知识，难度不大．【变式1-1】2．（2022·陕西·西安工业大学附中三模）如图，⊙O在△ABC三边上截得的弦长相等，即DE＝FG=MN，∠A＝50°，则∠BOC＝（）A．100°B．110°C．115°D．120°【答案】C【解析】【分析】过点O作OP⊥AB于点P，OQ⊥AC于点Q，OK⊥BC于点K，由于DE＝FG＝MN，所以弦的弦心距也相等，所以OB 、OC 是角平分线，根据∠A ＝50°，先求出180130ABC ACB A Ð+Ð=°-Ð=°，再求出，进而可求出∠BOC ．【详解】解：过点O 作OP ⊥AB 于点P ，OQ ⊥AC 于点Q ，OK ⊥BC 于点K ，∵DE ＝FG ＝MN ，∴OP ＝OK ＝OQ ，∴OB 、OC 平分∠ABC 和∠ACB ，12OBC ABC \Ð=Ð，12OCB ACB Ð=Ð，∵∠A ＝50°，∴180130ABC ACB A Ð+Ð=°-Ð=°，∴1122OBC OCB ABC ACB Ð+Ð=Ð+Ð()12ABC ACB =Ð+Ð65=°，∴∠BOC ＝()180OBC OCB °-Ð+Ð18065=-°115=°故选：C ．【点睛】本题主要考查了垂径定理，角平分线的判定，三角形内角和，角平分线的定义，解题关键是构造出辅助线——弦心距．【题型2】利用弧、弦、圆心角的关系求证1．（2022·上海静安·二模）如图，已知半圆直径2AB =，点C 、D 三等分半圆弧，那么CBD V 的面积为________．【解析】【分析】连接OC ，OD ，过点O 作OE ⊥CD ，垂足为点E ，点C 、D 三等分半圆弧，可知COD △是等边三角形，从而可以证得CD ∥AB ，所以COD △和CBD V 的面积相等，利用30°所对的直角三角形的性质和勾股定理，即可求得面积．【详解】解：连接OC ，OD ，过点O 作OE ⊥CD ，垂足为点E ，如图，∵点C 、D 三等分半圆弧，∴∠COD =∠BOD =60°，∵OC =OD ，∴COD △是等边三角形，∴∠CDO =60°，∴∠CDO =∠BOD ，∴CD ∥AB ，∴CBD COD S S =△△，∵OE ⊥CD ，∴∠COE =12∠COD =30°，∴1111112222222CE OC AB ==´=´´=，在Rt COE △中，OE ==∴1111222222CBD COD S S CD OE CE OE ==×=´´=´´=△△．【点睛】本题主要考查了弧与圆心角的关系、等边三角形的判定与性质、平行线的判定、30°所对的直角三角形的性质和勾股定理．【变式2-1】2．（2022·山东烟台·九年级期末）如图，AB ，CD 是⊙O 的直径，弦BE CD ∥．»BC ，»AD ，»DE有什么关系？为什么？【答案】»»»BC AD DE==，见解析【解析】【分析】连接OE ，根据对顶角相等，可得∠BOC =∠AOD ，根据平行线的性质，可得∠BOC =∠B ，∠DOE =∠E ，根据等腰三角形的性质∠BOC =∠DOE ，即可得出»»»BC AD DE==，即可得出答案．【详解】解：»»»BC AD DE==．理由：连接OE ，∵∠BOC ＝∠AOD ，∴»»=．BC AD∥，∵BE CD∴∠BOC＝∠B，∠DOE＝∠E．∵OB＝OE，∴∠B＝∠E，∴∠BOC＝∠DOE，∴»»BC DE=．∴»»»==．BC AD DE【点睛】本题主要考查了圆心角、弧、弦三者的关系，熟练掌握圆心角、弧、弦三者的关系进行求解是解决本题的关键．【题型3】圆心角的概念1．（2021·全国·九年级课时练习）下图中是圆心角的是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】【分析】根据圆心角的概念：圆心角是指在中心为O的圆中,过弧AB两端的半径构成的∠AOB, 称为弧AB所对的圆心角进行判断.【详解】解：A、不是圆心角，故不符合题意；B 、不是圆心角，故不符合题意；C 、是圆心角，故符合题意；D 、不是圆心角，故不符合题意；故选：C ．【点睛】本题考查的是圆心角的概念，掌握顶点在圆心的角叫作圆心角是解题的关键．【变式3-1】2．（2021·江苏·九年级专题练习）如图，AB 是O e 的弦，50A Ð=°，则AOB Ð=________．【答案】80°【解析】【分析】根据同圆中半径相等，可得OA OB =，根据等边对等角以及三角形内角和定理可得结果．【详解】解：∵OA OB =，∴A B Ð=Ð，又50A Ð=°，∴180218025080AOB A Ð=°-Ð=°-´°=°，故答案为：80°．【点睛】本题考查了等腰三角形性质，三角形内角和定理，根据等边对等角得出A B Ð=Ð是解题的关键．【题型4】求圆弧的度数1．（2022·山东聊城·中考真题）如图，AB ，CD 是O e 的弦，延长AB ，CD 相交于点P ．已知30P Ð=°，80AOC Ð=°，则»BD的度数是（ ）A ．30°B ．25°C ．20°D ．10°【答案】C【解析】【分析】如图，连接OB ，OD ，AC ，先求解100OAC OCA Ð+Ð=°，再求解50PAO PCO Ð+Ð=°，从而可得260BOA COD Ð+Ð=°，再利用周角的含义可得3608026020BOD Ð=°-°-°=°，从而可得答案．【详解】解：如图，连接OB ，OD ，AC ，∵80AOC Ð=°，∴100OAC OCA Ð+Ð=°，∵30P Ð=°，∴50PAO PCO Ð+Ð=°，∵OA OB =，OC OD =，∴OBA OAB Ð=Ð，OCD ODC Ð=Ð，∴50OBA ODC Ð+Ð=°，∴260BOA COD Ð+Ð=°，∴3608026020BOD Ð=°-°-°=°．∴»BD的度数20°．故选：C ．【点睛】本题考查的是圆心角与弧的度数的关系，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理的应用，掌握“圆心角与弧的度数的关系”是解本题的关键．【变式4-1】2．（2021·江苏·淮安市洪泽实验中学九年级期中）如图，在扇形OAB 中，110AOB Ð=°，将扇形OAB 沿过点B 的直线折叠，点O 恰好落在弧AB 上的点D 处，折痕交OA 于点C ，则弧AD 的度数为____________．【答案】50°##50度【解析】【分析】连接OD ，先根据折叠的性质、等边三角形的判定与性质可得60BOD Ð=°，再根据角的和差可得50AOD Ð=°，由此即可得．【详解】解：如图，连接OD ，则OB OD =，由折叠的性质得：OB BD =，OD OB BD \==，BOD \V 是等边三角形，60BOD \Ð=°，110AOB Ð=°Q ，50AOB BO AOD D \Ð=Ð=-а，则弧AD的度数为50°，故答案为：50°．【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质、折叠的性质、圆弧的度数，熟练掌握折叠的性质是解题关键．一．选择题1．（2020·上海民办建平远翔学校九年级阶段练习）下列关于圆的说法中，错误的是（）A．半径、圆心角分别相等的两段弧一定是等弧B．如果两条弦相等，那么这两条弦所对的圆心角相等C．圆的对称轴是任意一条直径所在的直线D．拱形不一定是弓形【答案】B【解析】【分析】根据圆心角、弧、弦的关系对A、B进行判断；根据过圆心的直线都为圆的对称轴可对C进行判断；根据拱形与弓形的定义对D进行判断．【详解】解：A．半径、圆心角分别相等的两段弧一定是等弧，所以A选项不符合题意；B．在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么这两条弦所对的圆心角相等，所以B选项符合题意；C．圆的对称轴是任意一条直径所在的直线，所以C选项不符合题意；D．拱形加上跨度为弓形，所以D选项不符合题意．故选：B．【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．也考查了轴对称．2．（2022·湖北十堰·九年级期末）如图，在⊙O 中，弦AB 与直径CD 垂直，垂足为E ，则下列结论中错误的是（ ）A ．AE =BEB ．CE =DEC ．AC =BCD ．AD =BD【答案】B【解析】【分析】回顾一下垂径定理的内容，根据定理得出AE=BE ，弧AD=弧BD ，弧AC=弧BC ，即可得出选项．【详解】∵CD ⊥AB ，CD 为直径，∴AE=BE ，弧AD=弧BD ，弧AC=弧BC ，CE ＞DE ，AD=BD,AC=BC,故选:B ．【点睛】本题考查了垂径定理的应用，解此题的关键是能正确理解定理的内容，注意：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的每一条弧．3．（2021·全国·九年级专题练习）如图，,AB CD 是O e 的直径，»»AE BD=，若32AOE °Ð=，则COE Ð的度数是（ ）A ．32°B ．60°C ．68°D ．64°【答案】D 【解析】【分析】根据已知条件和圆心角、弧、弦的关系，可知32BOD AOE °Ð=Ð=，然后根据对顶角相等即可求解．【详解】»»AE BD=Q ，32BOD AOE °\Ð=Ð=．BOD AOC Ð=ÐQ ，32AOC \Ð=°，323264COE °°°\Ð=+=，故选：D ．【点睛】本题主要考查圆心角、弧、弦的关系、对顶角相等，较简单，掌握基本概念是解题关键．4．（2021·内蒙古·呼和浩特市回民中学九年级期中）如图，已知在O e 中，BC 是直径，AB DC =，则下列结论不一定成立的是（ ）A ．OA OB AB ==B ．AOB CODÐ=ÐC ．»»AB DC=D ．O 到AB 、CD 的距离相等【答案】A【解析】【分析】根据圆心角、弧、弦之间的关系即可得出答案．【详解】在O e 中，弦AB =弦DC ，则其所对圆心角相等，即AOB COD Ð=Ð，所对优弧和劣弧分别相等，所以有»»AB DC=，故B 项和C 项结论正确，∵AB DC =，AO =DO =BO =CO∴ABO DCO △≌△（SSS ）可得出点O 到弦AB ，DC 的距离相等，故D 项结论正确；而由题意不能推出AB OA =，故A 项结论错误．故选：A【点睛】此题主要考查圆的基本性质，解题的关键是熟知圆心角、弧、弦之间的关系．5．（2021·全国·九年级课时练习）在O e 中，AB ，CD 为两条弦，下列说法：①若AB CD =，则»»AB CD =；②若»»AB CD =，则2AB CD =；③若2AB CD =，则弧AB=2弧CD ；④若2AOB COD Ð=Ð，则2AB CD =.其中正确的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】A【解析】【分析】根据圆心角、弧、弦之间的关系解答即可.【详解】①若AB CD =，则»»AB CD =，正确；②若»»AB CD =，则AB CD =，故不正确；③由2AB CD =不能得到弧AB=2弧CD ，故不正确；④若2AOB COD Ð=Ð，则2AB CD =，错误.故选A.【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系，在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对的其余各组量都分别相等.也考查了等腰三角形的性质.6．（2022·江苏·九年级专题练习）如图所示，MN 为⊙O 的弦，∠N=52°，则∠MON 的度数为（ ）A ．38°B ．52°C ．76°D ．104°【答案】C【解析】【分析】根据半径相等得到OM=ON ，则∠M=∠N=52°，然后根据三角形内角和定理计算∠MON 的度数．【详解】∵OM=ON ，∴∠M=∠N=52°，∴∠MON=180°-2×52°=76°．故选C ．【点睛】本题考查了圆的认识：掌握与圆有关的概念（弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等）．二、填空题7．（2019·全国·九年级课时练习）弦AB 把⊙O 分成两条弧，它们的度数的比是4：5，则这两条弧的度数分别为__________．【答案】160°，200°【解析】【分析】根据“同圆或等圆中，弧的度数等于弧所对的圆心角的度数”， 再结合弦AB 把⊙O 分成度数比为4:5的两条弧，而整个圆周的度数为360°，即可解答.【详解】∵弦AB 把⊙O 分成度数比为4:5的两条弧，整个圆周的度数为360°，∴劣弧的度数为360°×454+=160°，优弧的度数为360°-160°=200°.即这两条弧的度数分别为160°,200°.故答案为160°，200°.【点睛】本题考查圆心角、弧、弦的关系，解题的关键是熟练掌握弧的度数的定义.8．（2021·北京·九年级期中）如图，在O e 中，点C 是»AB 的中点，50A Ð=°，则BOC Ð等于________．【答案】40°【解析】【分析】根据等腰三角形性质和三角形内角和定理求出∠AOB ，根据等腰三角形性质得出∠BOC ＝12∠AOB ，代入求出即可．【详解】解：∵OA OB =，∴50OAB OBA Ð=Ð=°∴180280BOA A Ð=°-Ð=°，∵点C 是»AB 的中点，即»»2AC BC =，∴11804022BOC BOA Ð=Ð=´°=°，故答案为：40°．【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系，垂径定理，等腰三角形的性质的应用，注意：在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦，其中有一对相等，那么其余两对也相等．9．（2021·贵州·凯里一中九年级期中）如图，在⊙O 中， ¶AB =¶CD，则下列结论中：①AB =CD ；②AC =BD ；③∠AOC =∠BOD ；④¶AC =¶BD，正确的是______填序号．【答案】①②③④【解析】【分析】利用同圆或等圆中弧，弦以及所对的圆心角之间的关系逐项分析即可．【详解】解：∵在⊙O 中，¶AB =¶CD，∴AB =CD ，故①正确；∵BC为公共弧，∴¶AC=¶BD，故④正确；∴AC=BD，故②正确；∴∠AOC=∠BOD，故③正确．故答案为：①②③④．【点睛】本题考查了弧，弦、圆心角之间的关系：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等以及推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．10．（2021·黑龙江双鸭山·九年级期中）一根横截面为圆形的下水管的直径为1米，管内污水的水面宽为0.8米，那么管内污水深度为__________米．【答案】0.8或0.2.【解析】【分析】构造垂径定理，分两种情形求得弦心距，从而得到水深.【详解】如图所示，作AB的垂直平分线，垂足为E，根据题意，得AO=0.5，AE=0.4，根据勾股定理，得，∴水深ED=OD-OE=0.5-03=0.2（米）或水深ED=OD+OE=0.5+03=0.8（米），∴水深为0.2米或0.8米.故答案为：0.2米或0.8.【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理，解答时，构造垂径定理，活用分类思想是解题的关键. 11．（2021·浙江杭州·九年级期中）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝25°，以点C为圆心，BC为半径的圆交AB于点D，交AC于点E，则»BD的度数为____________．【答案】50°【解析】【分析】连接CD，如图，先根据三角形内角和计算出∠B＝65°，再根据等腰三角形的性质由CB＝CD得到∠B＝∠BDC ＝65°，然后再利用三角形内角和计算出∠BCD＝50°，最后根据圆心角的度数等于它所对的弧的度数求解．【详解】解：连接CD，如图，∵∠C＝90°，∠A＝25°，∴∠B＝90°−25°＝65°，∵CB＝CD，∴∠B＝∠BDC＝65°，∴∠BCD＝180°−65°−65°＝50°，∴»BD的度数为50°．【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等；圆心角的度数等于它所对的弧的度数．12．（2021·北京·人大附中九年级期中）如图，在⊙O中，若»»»==，则AC与2CD的大小关系是：AB BC CDAC__2CD．（填“＞”，“＜”或“＝”）【答案】<【解析】【分析】如图，连接AB、BC，根据题意知，AB＝BC＝CD，又由三角形三边关系得到AB+BC＞AC得到：AC＜2CD．【详解】解：如图，连接AB、BC，∵»»»AB BCCD ==∴AB ＝BC ＝CD ，在△ABC 中，AB +BC ＞AC ．∴AC ＜2CD ．故答案是：＜．【点睛】本题主要考查了圆心角、弧、弦的关系，解题的关键是利用三角形三边关系得到AB +BC ＞AC ．三、解答题13．（2021·福建·厦门一中九年级期中）已知：如图所示，A ，B ，C ，D 是⊙O 上的点，且»»AC BD=，125AOB Ð=°，求COD Ð的度数．【答案】125COD Ð=°．【解析】【分析】由题意易知»»AB CD =，然后根据弧与圆心角的关系可直接进行求解．【详解】解：∵A ，B ，C ，D 是O e 上的点，»»AC BD=，∴»»»»AC BCBD BC +=+，即»»AB CD =，∴AOB COD Ð=Ð，∵125AOB Ð=°，∴125COD Ð=°．【点睛】本题主要考查圆的基本性质，熟练掌握同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角相等是解题的关键．14．（2021·吉林吉林·九年级期中）如图，⊙O 中，弦AB 与CD 相交于点E ，AB ＝CD ，连接AD ，BC ．求证：»»AD BC=．【答案】证明见详解【解析】【分析】由AB CD =知»»AB CD =，得到¼¼¼¼AD AC BC AC +=+，即可得出»»AD BC =．【详解】解：AB CD =Q ，\»»AB CD =，即¼¼¼¼AD AC BC AC +=+，\»»AD BC=．【点睛】本题主要考查圆心角、弧、弦的关系，理解在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等是解题关键．15．（2022·安徽·定远县育才学校九年级期中）如图，在V ABC 中，∠C ＝90°，以点C 为圆心，BC 为半径的圆交AB 于点D ，交AC 于点E ．（1）若∠A ＝25°，求»DE的度数；（2）若BC ＝9，AC ＝12，求BD 的长．【答案】（1）40°；（2）545【解析】【分析】（1）连接CD ，先利用互余计算出9065B A Ð=°-Ð=°，再利用等腰三角形的性质和三角形内角和计算出DCE Ð的度数，从而得到»DE的度数；（2）作CH BD ^，根据垂径定理得到BH DH =，再利用勾股定理计算出15AB =，接着利用面积法计算出365CH =，然后利用勾股定理计算出BH ，从而得到BD 的长．【详解】解：（1）如图，连接CD ，90ACB Ð=°Q ，∠A ＝25°，9065B A \Ð=°-Ð=°，CB CD =Q ，65CDB B \Ð=Ð=°，180250BCD B \Ð=°-Ð=°，40DCE ACB BCD \Ð=Ð-Ð=°，\»DE 的度数为40°；（2）如图，作CH BD ^，则BH DH =，∵∠C ＝90°，BC ＝9，AC ＝12，∴在Rt ACB △中，15AB ==，Q 1122ACB S CH AB BC AC =×=×△，91236155CH ´\==，在Rt BCH △中，275BH ==，5425BD BH \==．【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，直角三角形的两个锐角互余，等腰三角形的性质，垂径定理以及勾股定理的应用，熟练掌握圆心角、弧、弦的关系以及垂径定理以及勾股定理是解决本题的关键．16．（2021·重庆江津·九年级阶段练习）如图，在⊙O 中，AB 是⊙O 的弦，CD 是⊙O 的直径，且AB ⊥CD ，垂足为G ，点E 在劣弧»AB 上，连接CE ．（1）求证：CE 平分∠AEB ；（2）连接BC ，若BC //AE ，求证：BC =BE ．【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】【分析】（1）根据垂径定理，可得»»AC BC=，从而得到 AEC BEC Ð=Ð，即可求证；（2）根据BC AE ∥，可得到AEC BCE Ð=Ð，再由AEC BEC Ð=Ð，即可求证．【详解】（1）证明：CD AB ^Q ，CD 是直径，»»AC BC\=． AEC BEC \Ð=Ð，CE \平分AEB Ð；（2）解：如图，∵BC AE P ，∴AEC BCE Ð=Ð．又∵AEC BEC Ð=Ð，BCE BEC \Ð=ÐBE BC \=．【点睛】本题主要考查了垂径定理，平行线的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键．17．（2021·浙江·杭州市天杭实验学校九年级期中）如图，AD 、BC 是⊙O 的两条弦，且AB ＝CD ，求证：AD ＝BC ．【答案】证明见解析．【解析】【分析】根据AB =CD ，得出»»AB CD =，进而得出»»AD BC=，即可解答．【详解】证明：∵AB ，CD 是⊙O 的两条弦，且AB =CD ，∴»»AB CD =,∴»»»»AB BDCD BD -=-，∴»»AD BC=，∴AD =BC ．【点睛】此题考查圆心角、弧、弦的关系，关键是利用三者的关系解答．18．（2021·江苏·九年级专题练习）如图，在O e 中，AB ，CD 是两条弦，OE AB ^，OF CD ^，垂足分别为E ，F ．（1）如果AOB COD Ð=Ð，那么OE 与OF 相等吗？说明理由；（2）如果OE OF =，那么AB 与CD 相等吗？AOB Ð与COD Ð相等吗？»AB 与»CD呢？【答案】（1）相等，见解析；（2）AB CD =，AOB COD Ð=Ð，»»AB CD =，见解析【解析】【分析】（1）求出∠OEB ＝∠OFD ＝90°，∠EOB ＝∠FOD ，证△EOB ≌△FOD ，即可推出OE ＝OF ．（2）证AOE COF △≌△，推出AE CF =，根据垂径定理求出AB ＝CD ，根据圆心角、弧、弦之间的关系即可得出答案．【详解】解：（1）解：OE ＝OF ，理由是：∵OE ⊥AB ，OF ⊥CD ，OA ＝OB ，OC ＝OD ，∴∠OEB ＝∠OFD ＝90°，∠EOB ＝12∠AOB ，∠FOD ＝12∠COD ，∵∠AOB ＝∠COD ，∴∠EOB ＝∠FOD ，∵在△EOB 和△FOD 中，OEB OFD EOB FODOB OD Ð=ÐìïÐ=Ðíï=î∴△EOB ≌△FOD （AAS ），∴OE ＝OF ．；（2）AB CD =，AOB COD Ð=Ð，»»AB CD =．理由：∵OE AB ^，OF CD ^，∴90AEO CFO Ð=Ð=°，又∵OE OF =，OA OC =，∴Rt Rt (HL)AOE COF V V ≌，∴AE CF =，∵OA OB =，OC OD =，OE AB ^，OF CD ^，∴12AE AB =，12CF CD =，∴AB CD =，∴AOB COD Ð=Ð，»»AB CD =．【点睛】本题考查了全等三角形性质和判定，等腰三角形的性质和判定，垂径定理，圆心角、弧、弦之间的关系等知识点的应用，主要考查学生运用定理进行推理的能力．。
完整版)圆心角圆周角练习题
完整版)圆心角圆周角练习题知识点三：弧、弦、圆心角与圆周角1.定义圆心角为顶点在圆心的角。
2.在同圆或等圆中，弧、弦、圆心角之间的关系：两个圆心角相等，圆心角所对的弧相等（无论是优弧还是劣弧），圆心角所对的弦相等。
3.一个角是圆周角必须满足两个条件：（1）角的顶点在圆上；（2）角的两边都与圆有除顶点外的交点。
4.同一条弧所对的圆周角有两个。
5.圆周角定理：圆周角等于圆心角的一半。
6.圆周角定理的推论：（1）同弦或等弦所对的圆周角相等；（2）半圆或直径所对的圆周角相等；（3）90°的圆周角所对的弦是直径。
需要注意的是，“同弦或等弦”改为“同弧或等弧”结论就不一定成立了，因为一条弦所对的圆周角有两类，它们是相等或互补关系。
7.圆内接四边形定义为所有顶点都在圆上的多边形，圆心即为这个圆内接四边形的交点。
圆内接四边形的对角线相互垂直，且交点为对角线的中点。
夯实基础1.如果两个圆心角相等，则它们所对的弧相等，选项B正确。
2.不正确的语句为③，因为圆不一定是轴对称图形，只有圆上的任何一条直径所在直线才是它的对称轴。
3.错误的说法是D，相等圆心角所对的弦不一定相等。
4.根据圆心角的性质，∠A=2∠B，所以∠A=140°。
5.∠BAC与∠BCD互补，∠BCD与∠CBD相等，所以与∠BAC相等的角有2个，即∠CBD和∠ABD。
6.因为∠CAB为30°，所以∠ABC为60°，由正弦定理可得BC=5√3.7.根据圆周角定理，∠ACB=40°。
8.设∠A=3x，∠B=4x，∠C=6x，则∠D=360°-3x-4x-6x=120°。
9.∠DCE=∠A。
1、如图，AB是⊙O的直径，C，D是BE上的三等分点，∠AOE=60°，求证∠COE=80°。
证明：由三等分点的性质可知，BC=CD=DE，又∠AOE=60°，所以∠AOC=120°。
(完整版)圆心角圆周角的经典练习
圆心角和圆周角同步练习一、填空题: 一、填空题：1. 在同一个圆中，同弧所对的圆周角和圆心角的关系是．2. 如图1，直径AB 垂直于弦CD ，垂足为E ，130AOC ∠=o， 则弧AD 的度数为 ，CAD ∠的度数为 ，ACD ∠的度数为 ．图1 图23. 如图2，CD 是半圆的直径，O 为圆心，E 是半圆上一点，且93EOD ∠=o，A 是DC 延长线上一点，AE 与半圆相交于点B ，如果AB OC =，则EAD ∠= ，EOB ∠=，ODE ∠=．4. 如图3，弧ACB 与弧ADB 的度数比是5:4，则AOB ∠= ，ACB ∠=，ADB ∠= ， CAD CBD ∠+∠= ．5. 如图4，△ABC 内接于圆O ，AB AC =，点E ，F 分别在弧AC 和弧BC 上，若50ABC ∠=o，则BEC ∠= BFC ∠=．图图56. 如图5，已知：圆O 是△ABC 的外接圆，50BAC ∠=o，47ABC ∠=o，则AOB ∠=__________度．1.如图1,等边三角形ABC 的三个顶点都在⊙O 上,D 是»AC 上任一点(不与A 、C 重合),则∠ADC 的度数是________.DDCBAO(1) (2) (3)2.如图2,四边形ABCD 的四个顶点都在⊙O 上,且AD ∥BC,对角线AC 与BC 相交于点E,那么图中有______对相等的角。
3.已知,如图3,∠BAC 的对角∠BAD=100°,则∠BOC=_______度.Ａ4.如图4,A 、B 、C 为⊙O 上三点，若∠OAB=46°,则∠ACB=_______度.BAA(4) (5) (6)5.如图5,AB 是⊙O 的直径, »»BC BD =,∠A=25°,则∠BOD 的度数为________.6.如图6,AB 是半圆O 的直径,AC=AD,OC=2,∠CAB= 30 °, 则点O 到CD 的距离OE=______.二、选择题:7.如图7,已知圆心角∠BOC=100°,则圆周角∠BAC 的度数是( ) A.50° B.100° C.130° D.200°DDCBA(7) (8) (9) (10)8.如图8,A 、B 、C 、D 四个点在同一个圆上,四边形ABCD 的对角线把四个内角分成的八个角中,相等的角有( ) A.2对 B.3对 C.4对 D.5对9.如图9,D 是»AC 的中点,则图中与∠ABD 相等的角的个数是( ) A.4个 B.3个 C.2个 D.1个10.如图10,∠AOB=100°,则∠A+∠B 等于( )A.100°B.80°C.50°D.40°11.在半径为R 的圆中有一条长度为R 的弦,则该弦所对的圆周角的度数是( ) A.30° B.30°或150° C.60° D.60°或120°12.如图,A 、B 、C 三点都在⊙O 上,点D 是AB 延长线上一点,∠AOC=140°, ∠CBD 的度数是( ) A.40° B.50° C.70° D.110°三、解答题:13.如图,⊙O 的直径AB=8cm,∠CBD=30°,求弦DC 的长.BA14.如图,A 、B 、C 、D 四点都在⊙O 上,AD 是⊙O 的直径,且AD=6cm,若∠ABC= ∠CAD,求弦AC 的长.15.如图,在⊙O 中,AB 是直径,CD 是弦,AB ⊥CD.(1)P 是¼CAD上一点(不与C 、D 重合),试判断∠CPD 与∠COB 的大小关系, 并说明理由. (2)点P′在劣弧CD 上(不与C 、D 重合时),∠CP′D 与∠COB 有什么数量关系?请证明你的结论.16.在足球比赛场上,甲、乙两名队员互相配合向对方球门MN 进攻.当甲带球部到A 点时,乙随后冲到B 点,如图所示,此时甲是自己直接射门好,还是迅速将球回传给乙,让乙射门好呢?为什么?(不考虑其他因素)答案：1.120°2.3 13.160°4.44°5.50°7.A 8.C 9.B 10.C 11.B 12.C 13.连接OC 、OD,则OC=OD=4cm,∠COD=60°,故△COD 是等边三角形,从而CD= 4cm. 14.连接DC,则∠ADC=∠ABC=∠CAD,故AC=CD.∵AD 是直径,∴∠ACD=90°, ∴AC 2+CD 2=AD 2,即2AC 2=36,AC 2. 15.(1)相等.理由如下:连接OD,∵AB ⊥CD,AB 是直径,∴»»BCBD ,∴∠COB= ∠DOB. ∵∠COD=2∠P,∴∠COB=∠P,即∠COB=∠CPD.(2)∠CP′D+∠COB=180°.理由如下:连接P′P,则∠P′CD=∠P′PD,∠P′PC=∠P′DC.∴∠P′CD+∠P′DC=∠P′PD+∠P′PC=∠CPD.∴∠CP′D=180°-(∠P′CD+∠P′DC)=180°-∠CPD=180°-∠COB,从而∠CP′D+∠COB=180°.16.迅速回传乙,让乙射门较好,在不考虑其他因素的情况下, 如果两个点到球门的距离相差不大,要确定较好的射门位置,关键看这两个点各自对球门MN的张角的大小,当张角越大时,射中的机会就越大,如图所示,则∠A<MCN=∠B,即∠B>∠A, 从而B处对MN的张角较大,在B处射门射中的机会大些.。
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圆心角和圆周角
一、经典考题赏析
例1.（成都）如图，ABC 内接于O ，AB=BC ，0120ABC ∠=,AD 为O 的直径，AD=6，那么
BD=
变式题组：
1.（河北）如图，四个边长为1的小正方形拼成一个大正方形，A 、B 、O 是小正方形的顶点，O 的半径为1，P 是O 上的点，且位于右上方的小正方形内，则APB ∠= 。
2.（芜湖）如图，已知点E 是O 上的点，B 、C 分别是劣弧AD 上的三等分点，0
46BOC ∠=，则AED ∠的度数为 。
3.如图，量角器外沿上有A 、B 两点，它们的读数分别是0
70、0
40，则1∠的度数为 。
例2.（盐城）如图，A 、B 、C 、D 为O 的四等分点，动点P 从圆心O 出发，沿O —C —D —O 路线作匀速运动。
设运动时间为()t s ，()0
APB y ∠=，则下列图象中表示y 与t 之间函数关系最恰
当的是（ ）
变式题组：
4.如图所示，在O 内有折线OABC ，其中OA=8,AB=12,0
60A B ∠=∠=,则BC 的长为（ ） A.19 B.16 C.18 D.20
5.（威海）如图，AB 是O 的直径，点C 、D 在O 上，OD AC ，下列结论错误的是（ ） A.BOD BAC ∠=∠ B.BOD COD ∠=∠ C.BAD CAD ∠=∠ D.C D ∠=∠
6.（青岛）如图，AB 为O 的直径，CD 为O 的弦，0
42ACD ∠=，则BAD ∠= 。
例3.（柳州）如图，AB 为O 的直径，C 为弧BD 的中点，CE AB ⊥,垂足为E ，BD 交CE 于点F 。
（1）求证：CF=BF
（2）若AD=2，O 的半径是3，求BC 的长。
变式题组：
7.（广州）如图，在O 中0
60ACB BDC ∠==，23AC =cm. （1）求∠BAC 的度数；（2）求O 的周长 8.（潍坊）如图，O 是ABC 的外接圆，BAC ∠与ABC ∠的平分线相交于点I ，延长AI 交O
于点D ，连接BD 、CD 。
（1）求证：BD DC DI == （2）若O 的半径为10cm ，0120BAC ∠=，求BDC 的面积。
例4.如图，在ABC 中，036B ∠=，0
128ACB ∠=，CAB ∠平分线交BC 于M ，ABC 的外接圆的切线AN 交BC 的延长线于N ，则ANM 的最小角等于 。
变式题组：9.如图，已知点A 、B 、C 、D 顺次在O 上，AB=BD ，BM AC ⊥于M ， 求证：AM DC CM =+
二、演练巩固，反馈提高
1.（孝感）如图，O 是ABC 的外接圆，已知060B ∠=，则CAO ∠的度数是（ ）
A.015
B.030
C.045
D.0
60
2.（泰安）如图，O 的半径为1，AB 为O 的一条弦，且3AB =，则弦AB 所对圆周角的度
数为（ ）
A.0
30 B.0
60 C.0
30或0
150 D.0
60或0
120
3.（绍兴）如图，O 是正三角形ABC 的外接圆，点P 在劣弧AB 上，0
22ABP ∠=，则BCP ∠的度数为 。
4.（啟庆）如图，O 是正方形ABCD 的外接圆,点P 在O 上，APB ∠等于（ ） A.030 B.045 C.055 D ．0
60
5.（泰州）如图O 的半径为1cm ，弦AB 、CD 的长度分别为2cm ，1cm ，则AC 、BD 所夹的锐角α= 。
6.（安徽）ABC 中，AB AC =，A ∠为锐角，CD 为AB 边上的高，I 为ACD 的内切圆的圆心，则AIB ∠的度数是（ ）
A.0
120 B ．0
125 C ．0
135 D.0
150
7.（十堰）如图，ABC 内接于
O ，连接OA 、OB ，若025ABO ∠=,则C ∠的度数为（ ）
A.055
B.060
C.065
D.0
70
8.（丽水）如图，ABC 是O 的内接三角形，点D 是BC 的中点，已知0
98AOB ∠=，0120COB ∠=。
则ABD ∠的度数是 .
9.（云南）如图，A 、D 是O 上的两个点，BC 是直径，若0
35D ∠=，则OAC ∠的度数是（ ）
A.035
B.055
C.065
D.0
70
10.（荆门）如图，如图，MN 是半径为1的O 的直径，点A 在O 上，
030AMN ∠=，B 为AN 的中点，P 是直径MN 上一动点，则PA PB +的
最小值是（ ）
A.22
B.2
C.1
D.2
11.（株洲）如图，点A 、B 、C 是O 上的三点，AB OC 。
（1）求证：AC 平分OAB ∠;
（2）过点O 作OE AB ⊥于点E ，交AC 于点P 。
若AB=2，0
30AOE ∠=，求PE 的长。
三、培优升级
1.（武汉）如图，已知O 的半径为1，锐角ABC 内接于O ，BD AC ⊥于点D ，OM AB ⊥于点M ，则sin CBD ∠的值等于 。
1.（眉山）如图，AB 、CD 是 O 的两条互相垂直的弦，圆心角0
130AOC ∠=，AD 、CB 的延长线相交于点P ，则P ∠= 度。
2.（成都）如图，A 、B 、C 是O 上的三点，以BC 为一边，作CBD ABC ∠=∠，过BC 上一点P ，作PE
AB 交BD 于点E 。
060AOC ∠=，BE=3，则点P 到弦AB 的距离是 。
3.（铁岭）如图所示，AB 为O 的直径，P 点为其半圆上一点，0
40POA ∠=，C 为另一半圆上任意一点（不含A 、B ），则PCB ∠= 度。
4.（衢州）如图，AD 是O 的直径，（1）如图①，垂直于AD 的两条弦1122,B C B C 把圆周四等分，则1B ∠的度数是 ，2B ∠的度数是 。
（2）如图②,垂直于AD 的三条弦1122,B C B C ，33B C 把圆6等分，分别求123,,B B B ∠∠∠的度数。
（3）如图③,垂直于AD 的n 条弦112233,B C B C B C ,……n n B C 把圆周2n 等分，请你用含n 的代数式表示n B ∠的度数（只需直接写出答案）
5.如图1，点M为x轴上一点，⊙M与x轴交于点A、B，与y轴交于点C、D，设C（0，3），B（3，0）
（1）求点M的坐标；
（2）如图2所示，点P为BC上任一点，Q为CF上的中点，直线BP、DQ交于点E，求BE的长；
（3）如图3所示，连接AC、BC，作∠BCK的平分线CF交⊙M于点F，连接AF，求CF
AF
的值．
6.如图，在平面直角坐标系中，M是x轴正半轴上一点，⊙M与x轴交于A、B两点，与y轴交于
C、D两点，A、M的坐标分别是（-1，0），（1，0）.
（1）求C点坐标．
（2）如图，P是BC上的一个动点，Q为PC中点，直线BP、DQ交于点K，当点P在BC上运动时（不包括B、C两点）BK的长度是否发生变化？若变化，请指出其变化范围；若不变化，请求出其值．。