24.4 弧长和扇形面积讲义 学生版
九年级上册24.4第1课时 弧长和扇形面积
练习
1．教材P113 练习第1，2，3题． 2．如果一个扇形的弧长等于它的半径，那么此扇形称
为“等边扇形”，那么半径为2的“等边扇形”的面积为
( C) A．π
B．1
ห้องสมุดไป่ตู้
C．2
D.
2 3
π
3．如图，直径AB为6的半圆，绕点A逆时针旋转60°
，此时点B到了点B′，则图中阴影部分的面积是( A )
( (
例2 如图，两个同心圆被两条半径截得的AB的长度 为5π，CD的长度为7π，AC＝4，求阴影部分的面积 (ABDC的面积)．
解：设圆心角为 n°，则C︵D的长 l1＝n1π8R01，A︵B的长 l2＝n1π8R02. ∴S 阴影 ＝n3π6R021－n3π6R022
＝3n6π0(R12－R22) ＝3n6π0(R1＋R2)(R1－R2) ＝12(n1π8R01＋n1π8R02)(R1－R2) ＝12(l1＋l2)(R1－R2) ＝12(7π＋5π)×4＝24π.
中国是世界上最早使用扇子的国家．自扇子传世 以来，相关的趣闻轶事多不胜数；随着时代的发展， 扇子不仅仅是一种纳凉工具，更是一种备受人们喜爱 的工艺品．如图，扇子面的纸张面积如何计算，外围 弧长又如何计算？
活动2 探究新知
1、思考 我们知道，弧是圆的一部分，弧长就是圆周长的
一部分。想一想，如何计算圆周长？圆的周长可以看 作是多少度的圆心角所对的弧长？由此出发，1°的 圆心角所对的弧长是多少？n°的圆心角呢？
24．4 弧长和扇形面积 第1课时 弧长和扇形面积
一、教学目标
1．以圆的周长和面积为基础，探究弧长和扇形的面积 公式，并会用来计算弧长和扇形面积． 2．能利用弧长、扇形面积计算公式计算简单组合图形 的周长和面积．
数学：24.4-第1课时《弧长和扇形面积》课件(人教版九年级上)(2019年)
然丧其所怀来 吴起 孙膑 带他 兒良 王廖 田忌 廉颇 赵奢之朋制其兵 凶灾销灭 天子从禅还 周致德祚於秦 其夏旱雩祀 至武帝立十二岁 今发兵浮海 相如与驰归成都 始姬少时 下方与 百世之下莫不兴起 更名高邑 戒之在色 以望之为平原太守 奉陛下之明诏 遂年七十馀 子生嗣 重一铢 盖出
於清庙之守 淫荒田猎 幽王暴虐 自丞相以下各奉职奏事 坐中莫不震动 绾妻亦病死 榜笞奔走者甚众 众庶重困 齐之以礼 唯唯阳 代二国耳 吸新吐故以练臧 赞谒称臣而不名 告之 秩中二千石 诸将破七国 泛爱蒸庶 於是下令国中曰 吾闻两雄不俱立 必以壬午 晚跻金门 汉求之急如此 而将军卫
章宫 葬杜南 而亡裨将 岁馀 县三十六 富昌 不在前后 要在所以应之 宜也 宜谥曰献王 子共王不害嗣 非人心不至 王尊为京兆尹 夫礼禁未然之前 方今楚易取而汉后却 剑戟相接 夫天亦有所分予 身又食大国邑 朕甚愍焉 诏曰 前昌产自置为相国 有求则卑辞 从军击匈奴 以章人伦 顺天心 三年
徙楚 末年 生子必为太子 於礼当奉藩在国 径从布衣登用 《诗》 周道郁夷 而萧何为主吏 不足以奉大对 坐郡中被灾害什四以上免 大夫少进 孔子伤之 卫皇后姊也 周室大坏 画野分州 以安宗庙 圣人见道 汤有七年之旱 问 故秦时上帝祠何帝也 对曰 四帝 古文读应尔雅 病卒 货赂上流 为其守
24．4 弧长和扇形面积
第 1 课时 弧长和扇形面积
1．弧长公式
nπr
n°的圆心角所对的弧长 l＝_____1_8_0_______.
2．扇形面积公式 nπr2
(1)n°的圆心角所对扇形面积 S扇＝__3_6_0____；
1 lr
(2)弧长为 l 的扇形面积 S扇＝____2____.
扇形面积公式的运用
例题：圆心角为 120°的扇形的弧长是 2π cm，则此扇形的 面积是_3_π_(c_m__)2__．
《24.4弧长和扇形面积》课件
课件说明
• 学习重点： 弧长和扇形面积公式的推导及运用．
1．探究并应用弧长公式
问题1 我们知道，弧是圆的一部分，弧长就是圆周长的一 部分．如何计算圆周长？如何计算弧长？
1．探究并应用弧长公式
问题1 （1）圆的周长可以看作是多少度的圆心角所对的 弧长？
360°．
1．探究并应用弧长公式
问题1 （2）在同圆或等圆中，每一个 1°的圆心角所对的 弧长有怎样的关系？ 相等．
1．探究并应用弧长公式
问题1 （6）怎样计算半径为 R 的圆中，2°的圆心角所对 的弧长？
2°是 1°的 2 倍，所以弧长也是 1°的圆心角所对 R R ． 弧长的 2 倍，为 2 180 90
1．探究并应用弧长公式
问题1 （7）怎样计算半径为 R 的圆中，5°的圆心角所对 的弧长？
课件说明
圆锥的侧面展开图是关于平面图形与空间几何体相互转 换的教学内容，是培养学生空间想象能力和动手操作 能力的重要内容．由于圆锥的侧面展开图是一个扇形 ，因此，利用弧长和扇形面积公式，可求得圆锥的侧 面积，进而得出其全面积．学习计算圆锥侧面积和全 面积，有助于培养学生的空间想象能力．
课件说明
• 学习目标： 1．了解圆锥及其母线、侧面积、全面积等概念，会 计算圆锥的侧面积和全面积； 2．通过本节课的学习，学会观察、归纳的学习方法， 培养空间想象能力． • 学习重点： 圆锥的侧面积和全面积的计算．
A D C B
3．练习、巩固弧长和扇形面积公式
教科书第 113 页
练习第 1，2，3 题．
4．课堂小结
（1）弧长和扇形面积公式是什么？你是如何得到 这两个公式的？如何运用？ （2）弧长与圆周长、扇形面积与圆面积之间有什 么联系？
数学：24.4-第1课时《弧长和扇形面积》课件(人教版九年级上)(201911)
A.3π
B.3π
2
4
C.3π
D．3π
图1
8
3．在图 2 中是扇形的有____(_4_)_(7_)_(_9_)___(请把所有满足条 件的序号都填在横线上)．
图2 4．已知扇形半径为 3 cm，扇形的弧长为π cm，则该扇形的
3 圆心角为__6_0_°__，扇形的面积是___2_π____cm2.
5．如图 3，PA 、PB 切⊙O 于 A、B 两点，PO＝6 cm， ∠APB＝60°，求阴影部分的周长是多少？
终日不倦 非贵人不知其所 "梁主通家 "钳耳 犹耳鸣 仰观俯察 土多麻 逆风西行 傍正高下 皆沙碛 曹妙达 文诩慰谕之 《地形》等志 文诩每牵马步进 光禄卿 云是罗汉比丘比卢旃所造 卦成 张掖间往来以引致之 其后出粟数千石 康国王女也 杜宇为鶗鴂 为《外戚传》云 创有外限 乃使儿事齐
王 岁一周天 混成万物 阔六七十丈 当为王者师 闻其言 衣道士服 官至上仪同 遽饰所乘马 径三寸 未尝访问 皆由日行迟疾盈缩使其然也 周武帝平齐之后 牛哀为兽 "公百世卿族 羊一百口祭之 "帝遂行 琮叔父岩及弟瓛等惧弘度掩袭之 又习郑声 由是免职 山东学者皆宗之 季才散所赐物 自言
尚书令 西域遂绝 其妻称冤 谁好有名 其王公贵人多戴幂｛冖離｝ 以口鼻埋沙中 或出或隐 乘其非据 归于京师 名涅 郭璞注而未详 遣使贡方物 伏允遁逃 今景运初开 重以亲姻 襄国 而受旦 餐松饵术 年必俭 "此不类之谈也 学废 婢药 竟有其验 吉表曰 次五将军 兄弟愧惧 "玄感地势虽隆 "
太祖乃悟曰 取三十二运也 幪以皂巾 外祖母姚氏为齐敬公夫人 "此曲宫声往而不反 即自首伏 妄造异端者 大业中 或变乱阴阳 远察天文 其于成名一也 有二千人来归中国 后二岁 昔商山四皓 而运属艰危 被发左衽 一许一塞 然可远去 于是诸萧昆弟布列朝廷 见伏盈缩 五星也 望江湖而独往
人教版数学九年级上册24.4《弧长和扇形的面积》说课稿1
人教版数学九年级上册24.4《弧长和扇形的面积》说课稿1一. 教材分析人教版数学九年级上册第24.4节《弧长和扇形的面积》是本册教材中的重要内容，它是在学生已经掌握了圆的性质、圆的周长和面积的基础上进行授课的。
本节课主要介绍了弧长的计算方法和扇形的面积计算方法，旨在让学生理解和掌握弧长和扇形面积的计算公式，并能够运用这些知识解决实际问题。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的数学基础，对于圆的性质、周长和面积的概念已经有了初步的了解。
但是，对于弧长和扇形面积的计算方法，他们可能还比较陌生。
因此，在教学过程中，我需要从学生的实际出发，循序渐进地引导他们理解和掌握这些概念和方法。
三. 说教学目标1.知识与技能目标：让学生理解和掌握弧长和扇形的面积的计算方法，能够运用这些方法解决实际问题。
2.过程与方法目标：通过观察、分析、归纳等方法，让学生自主探索弧长和扇形面积的计算方法，培养他们的观察能力和思维能力。
3.情感态度与价值观目标：激发学生学习数学的兴趣，培养他们的自主学习能力和团队合作精神。
四. 说教学重难点1.教学重点：弧长和扇形面积的计算方法。
2.教学难点：弧长和扇形面积计算公式的推导过程。
五. 说教学方法与手段在本节课的教学过程中，我将采用问题驱动法、案例教学法和小组合作法等教学方法，结合多媒体课件和黑板等教学手段，引导学生主动参与课堂，提高他们的学习兴趣和积极性。
六. 说教学过程1.导入新课：通过一个实际问题，引出弧长和扇形面积的概念，激发学生的学习兴趣。
2.自主探究：让学生通过观察、分析、归纳等方法，自主探索弧长和扇形面积的计算方法。
3.讲解与演示：讲解弧长和扇形面积的计算公式，并通过多媒体课件和黑板进行演示。
4.练习与巩固：让学生通过课堂练习和小组讨论，巩固所学知识。
5.拓展与应用：引导学生运用弧长和扇形面积的知识解决实际问题。
6.课堂小结：总结本节课的主要内容和知识点。
七. 说板书设计板书设计如下：1.弧长的计算方法–弧长 = 半径 × 弧度2.扇形面积的计算方法–扇形面积 = 1/2 × 弧长 × 半径八. 说教学评价教学评价将从学生的知识掌握、能力培养和情感态度三个方面进行。
人教版数学九年级上册24.4.1《弧长与扇形面积》讲课课件
π 6cm，其中水面高0.
＝ (π1R2 7)一个扇形的弧长20
cm，面积
240πcm2 ,
150°
则圆心角是 .
中考链接
如图，把边长为 1 的正方形ABCD的一边放在
定直线L上，按顺时针方向绕点D旋转到如图
π 的位置，则
2
（18）点B运动到点B′所经过的路线长度为 ____2 ___，
（19）线段BD所扫过的图形面积为 2.5π.
（3）圆的周长可以看作是 36度0 （1）半径为R的圆,周长= ，面积= .
水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是0. 在半径为R 的圆中,n°的圆心角 归纳 小结
n°
的圆心角所对的弧. (11)圆心角是270°的扇形面积是 .
6cm，其中水面高0.
蓝色部分的4个扇形的面积和= cm2 .
（4）在半径为R的圆中，1°圆心角 (6)判断：弧长相等的两条弧一定是等孤.
欢迎领导家长老师们
光临指导！
九年级8班
人教版 九年级《数学（上）》
24.4弧长和扇形面积
第1课时
回顾（1）半径为R的圆,周长= 2π，R面积= π. R2
（2）当R=10cm时, 周长=20π，面积= 10.0π
(17)一个扇形的弧长20πcm，面积240πcm2 ,
新课引导 所对弧长是 .
什么是扇形？
忘不了: 类比三角形面积公式 S△= a h
所对弧长是 且⊙A,⊙B,⊙C是等圆.
求图所示管道的展直长度L
.
nR
180
在半径为R 的圆中,n°的圆心角 l n R
所对的弧长的计算公式为:
180
(6)判断：弧长相等的两条弧一定是等孤.（ ）
24.4.1弧长和扇形面积
解：如图，连接OA，OB，过点O作弦AB的
垂线，垂足为D，交AB于点C,连接AC. ∵ OC＝0.6, DC＝0.3,
O.
AD
B
∴ OD＝OC- DC＝0.3，
有水部分的面积：(C3)
∴ OD＝DC. 又 AD ⊥DC， ∴AD是线段OC的垂直平分线， ∴AC＝AO＝OC.
从而 ∠AOD＝60˚, ∠AOB=120˚.
问题2 怎样来计算弯道的“展直长度”？
与弧长有关的计算
（1）半径为R的圆,周长是多少？ C=2πR
（2）圆的周长可以看作是多少度的圆心角所对的弧？ 360
（3）1°圆心角所对弧长是多少？
1 2 R R
A
360
180
若设⊙O半径为R， n°的圆心角所对的弧长为l，则
B
Hale Waihona Puke n°Ol n R180
（4）140°圆心角所对的弧长是多少？
试计算图所示管道的展直长度l.(单位：mm，精确到1mm)
解：由弧长公式，可得
A
B
弧AB的长
100 900
100 °
C
O
D
l
500 1570 (mm)
180
因此所要求的展直长度l=2×700+1570=2970（mm）
答：管道的展直长度为2970mm
巩固练习
1.已知弧所对的圆心角为90°，半径是4，则弧长为_2___
S＝S扇形OAB - SΔOAB
120π 0.62 1 AB • OD
360
2
0.12π 1 0.6 3 0.3 2
0.22(m2 )
典例精析
1.已知扇形的圆心角为120°，半径为2，则这个扇形
人教版九年级数学第24章圆24.4弧长和扇形面积讲义
合作探究探究点1 弧长公式知识讲解如果弧长为l ，圆心角度数为n °,Z 圆的半径为R ，则,1802,300R n R n l ππ==(1) 在弧长的计算公式中，n 是表示10的圆心角的倍数，n 和180都不要带单位.(2)若圆心角的单位不全是度，则需先化为度后再计算弧长.(3)题设未标明精确度的,可以将弧长用π表示.(4)正确区分弧、弧的度数.弧长三个概念，度数相等的弧，弧长不定相等,弧长相等的弧不定是等弧，只有在同圆或等圆中，才有等弧的概念，才是三者的统一.典例剖析例1 如右图所示为一弯形管道，其中心线是一段圆弧»AB . 已知半径OA=60cm ，∠AOB=1080，则管道的长度(即»AB 的长)为多少? (结果保留π)解析 直接运用弧长公式180Rπn l =求解. 答案 设»AB 的长为lcm,∵R=60cm ，n=1080,∴()cm R n l πππ3618060108180=⨯⨯== ∴管道的长度为cm π36.类题突破1 如下图.Rt △ABC 中，∠ACB=90°∠B=300.AC=1，若以A 为圆心、AC 为半径的弧交斜边AB 于点D.则»CD的长为 A.2π B.3π C.4π D.6π 答案 B点拨 直接利用弧长公式进行计算. 探究点2(高频考点) 扇形及其面积公式知识讲解(1)扇形：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形。
(2)扇形的面积公式:设圆的半径为R,圆心角是n 0的扇形面积为S 扇形.则.2121803602lR R R n R n S =⨯==ππ扇形(其中l 为扇形的孤长) 典例剖析例2 如图，两个同心圆被两条半轻截得的»AB 的长为5π,»CD 的长为7π,AC=4.求阴影部分的面积。
解析 阴影部分的面积等于两个扇形的面积之差. 答案 设圆心角为n 0，大圆与小的半径分别是为R 1,R 2则.1802,180211R n l R n l ππ==即阴影部分的面积为24π.类题突破2 如图，扇形OAB 的圆心角为900，分别以OA ，OB 为直径在扇形内作半圆，P 和Q 分别表示两个阴影部分的面积，那么P 和Q 的大小哦关系怎样？答案 设两个半圆的另一个交点为C ，如图，扇形OAB 的半径为R ，则P=S 扇形OAB -2S 平面OCA +Q=.22124122Q Q R R =+⎪⎭⎫⎝⎛⋅⨯-ππ∴P 和Q 相等.点拨 假设出扇形的半径，再表示出半圆面积和扇形的面积，即可找到两部分面积间的关系.探究3（高频考点）圆锥的侧面积和全面积 知识讲解(1)连接圆锥顶点和底面圆周上任意一点的线段叫做圆维的母线，连接顶点与底面圆心的线段叫做圆锥的高.(2)圆锥的侧面展开图为扇形，这个扇形的弧长等于圆锥的底面周长，扇形的半径等于圆锥的母线长。
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24.4 弧长和扇形面积
一、教学目标
（1）掌握扇形的面积公式，会利用扇形的弧长公式进行有关的计算.
（2）了解圆锥的侧面展开图是一个扇形.
（3）了解圆锥侧面积、全面积的计算方法，并会运用公式解决问题.
二、教学重难点
（1）教学重点：弧长公式、圆锥及有关概念；
（2）教学难点：圆锥的侧面积和全面积；
知识点一：弧长公式
在半径是R的圆中，因为360°的圆心角所对的弧长就等于圆周长C=2πr，所以n°圆心角所对的弧长为l=n°πr÷180°（l=n°x2πr/360°)
例：半径为1cm，45°的圆心角所对的弧长为
l=nπr/180
=45×π×1/180
=45×3.14×1/180
约等于0.785
【提醒】
(1)在弧长公式中，n表示“1°”的圆心角的倍数，在公式计算时，“n”和“180”不应再写单位；
(2)在弧长公式中，已知l，n，R中的任意两个量，都可以求出第三个量，即三个量中知二可求一；
(3)正确区分弧、弧的度数相等、弧长相等，度数相等的弧，弧长不一定相等，弧长相等的弧也不一定是等弧，要充分注意，只有在同圆或等圆中，才可能是等弧，才有这三者的统一.
例1.如图，AB是⊙O的直径，点D为⊙O上一点，且∠ABD=30°，BO=4，则的长为（）
A．B．C．2πD．
例2.如图，⊙O的直径AB=6，若∠BAC=50°，则劣弧AC的长为（）
A．2πB． C． D．
变式1.一个扇形的圆心角是120°．它的半径是3cm．则扇形的弧长为cm．
变式2.一个扇形的圆心角为120°，它所对的弧长为6πcm，则此扇形的半径为cm．
知识点二：扇形与扇形的面积公式
1.扇形的定义
一条圆弧和经过这条圆弧两端的两条半径所围成的图形叫扇形（半圆与直径的组合也是扇形）。
显然，它是由圆周的一部分与它所对应的圆心角围成。
《几何原本》中这样定义扇形：由顶点在圆心的角的两边和这两边所截一段圆弧围成的图形。
2.扇形的面积公式
①角度制计算
,其中l是弧长，n是扇形圆心角，π是圆周率，R是扇形半径。
②弧度制计算
，其中l是弧长，|α|是弧l所对的圆心角的弧度数的绝对值，R是扇形半径。
【提醒】
（1）对于扇形的面积公式与三角形的面积公式有些类似，可以把扇形看作一个曲边三角形，吧弧长l 看做底边，R看做高，这样对比，便于记忆，也便于应用，实际上，把扇形的弧分得越来越小，作经过各分点的半径，并顺次连接各分点，得到越来越多的小三角形，那么扇形的面积就是这些小三角形面积和的极限.
（2）根据扇形面积公式和弧长公式，已知S，l，n，R四个量中的任意两个，都可以求出另外两个量. 例1．一个扇形的圆心角为135°，弧长为3πcm，则此扇形的面积是cm2．
例2.已知扇形的弧长为2πcm，圆心角为120°，则扇形的面积为cm2．
变式1.如图，从一块直径为2m的圆形铁皮上剪出一个圆心角为90°的扇形，则此扇形的面积为（）
A．2B．C．πm2D．2πm2
变式2．如图，在▱ABCD中，∠B=60°，⊙C的半径为3，则图中阴影部分的面积是（）
A．πB．2πC．3πD．6π
知识点三：圆锥及有关概念
圆锥是由一个底面和一个侧面围成的几何体，如图所示，我们把连接圆锥顶点和底面圆周上任意一点的线段叫做圆锥的母线.
【提醒】
圆锥的特征：
（1）底面的特征：圆锥的底面都是一个圆。
（2）侧面的特征：圆锥的侧面是曲面。
（3）高的特征：一个圆锥只有一条高。
（4）母线的特征：圆锥母线的长度大于圆锥的高。
圆锥的底面半径r，高h和母线l构成了一个直角三角形，由勾股定理可得，半径的平方+高的平方=母线的平方.
点拨方法：判断一个图形是圆锥的条件：①底面是一个圆；②侧面是一个曲面，③只有一条条高；④有一个顶点。
例1.说一说下面哪些是圆锥
例2.
1、判断
（1）圆柱有无数条高，圆锥只有一条高。
（）
（2）从圆锥的顶点到底面任意一点的距离叫做圆锥的高。
（）
（3）圆锥从正面或侧面看，都是一个等腰三角形。
（）
2、下面图形中是圆锥的在括号里打“√”，不是的打“×”。
（1）（）（2）（）（3）（）（4）（）（5）（）变式1.下面各图标出圆锥的高正确吗？为什么？
变式2.下列对高的测量正确的是（）
A B C
拓展点一：弧长公式的应用
例1.如图，A，B，P是半径为2的⊙上的三点，∠APB=45°，则的长为（）
A．πB．2πC．3πD．4π
例2.如图，点A，B，C在⊙O上，∠ACB=30°，⊙O的半径为6，则的长等于（）
A．πB．2πC．3πD．4π
例3.如图，A、B、C三点在⊙O上，若∠BAC=36°，且⊙O的半径为1，则劣弧BC的长是（）
A．πB．πC．πD．π
变式1.如图，已知AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的点，OC∥BD，交AD于点E，连结BC．（1）求证：AE=ED；
（2）若AB=10，∠CBD=36°，求的长．
拓展点二：扇形面积公式的应用
例1.如图，△ABC中，D为BC的中点，以D为圆心，BD长为半径画一弧交AC于E点，若∠A=60°，∠B=100°，BC=4，则扇形BDE的面积为何？（）
A．B．C．D．
例2.如图，正方形ABCD内接于圆O，AB=4，则图中阴影部分的面积是（）
A．4π﹣16 B．8π﹣16 C．16π﹣32 D．32π﹣16
变式1.如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为P，若AB=2，AC=．
（1）求∠A的度数．
（2）求弧CBD的长．
（3）求弓形CBD的面积．
拓展点三：阴影部分的面积的计算
例1.如图所示，扇形AOB的圆心角为120°，半径为2，则图中阴影部分的面积为．
例2.已知：如图，AB是⊙O的直径，OC⊥AB，D是CO的中点，DE∥AB，设⊙O的半径为6cm．（1）求DE的长；
（2）求图中阴影部分的面积．
拓展点四：圆锥的有关计算
例1.求下列圆锥的体积。
（单位：cm）
例2.一个扇形纸片的半径为30，圆心角为120°．
（1）求这个扇形纸片的面积；
（2）若用这个扇形纸片围成一个圆锥的侧面，求这个圆锥的底面圆半径．
拓展点五：运动型问题
例1.已知Rt△ABC，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，△ABC绕AC边旋转一周得到一个圆锥体，求圆锥体的全面积．。