高考数学答题模板：第8讲统计和古典概型的综合问题(含解析)
高中数学必修三古典概型的几种解题技巧
高中数学必修三古典概型的几种解题技巧古典概型是概率论中最基本的概率模型之一，它涉及到对已知的随机试验的多种可能结果和其对应概率的求解。
在高中数学必修三中，古典概型的解题技巧是学生必须掌握的一部分内容。
下面将介绍几种常见的古典概型解题技巧。
1. 直接计数法直接计数法是指通过对试验结果的数量进行计数，从而求解概率。
该方法一般适用于试验结果较少且容易确定的情况。
有5个小球，其中2个红色，3个蓝色，求从中任意抽取2个小球，抽到两个红色小球的概率。
按照直接计数法，我们可以将这个问题转化为从5个小球中抽取2个小球的问题，同时我们知道其中2个小球是红色的。
我们可以计算红色小球和非红色小球的组合数，然后除以所有小球的组合数来求解概率。
2. 互补事件法互补事件法是指通过求解事件的互补事件概率来求解事件的概率。
互补事件是指与事件A互补的事件，即事件A不发生的事件。
对于互补事件，其概率加上事件的概率必然等于1。
有一个盒子中有3个红球和2个蓝球，从中任意抽取一个球，求抽到一个红球的概率。
按照互补事件法，我们可以将该事件的互补事件定义为抽到一个蓝球的事件。
我们可以先求解抽到一个蓝球的概率，然后用1减去该概率来求解抽到一个红球的概率。
3. 排列组合法排列组合法是指通过排列组合的知识来求解概率。
它适用于试验结果较多且不易直接计数的情况。
有8个字母a，b，c，d，e，f，g，h，从中任意抽取3个字母，求抽取的三个字母都是元音字母的概率。
按照排列组合法，我们可以先计算所有情况的数量，即从8个字母中任意抽取3个字母的组合数，然后计算抽取的三个字母都是元音字母的情况数量，并将其除以所有情况的数量来求解概率。
4. 事件的分解法通过掌握以上几种古典概型解题技巧，可以帮助高中数学学生更好地理解和应用古典概型，在解决实际问题时能够灵活运用这些技巧，提高解题能力。
古典概型的几类基本问题(1)
古典概型中的几类基本问题1 引言对于古典概型问题的求解，首先要做到这三方面的工作67]1[：一是明确分辨问题的性质，即是不是古典概型问题；二是掌握古典概型的公式；三是根据公式要求，确定n （基本事件总数）和k （有利事件总数）的值17]2[，这是解题的关键一步，计算方法灵活多变，没有一个固定的模式，但古典概型的种种解法大体上都是围绕n 和k 展开的．抛硬币、掷骰子、摸球、取数等随机试验，在概率问题的研究中有着十分重要的意义．一方面，这些模型是人们从大量的随机现象中筛选出来的理想化的概率模型，它们的内容生动形象，结构清楚明确，富有直观性和典型性，便于深入浅出地反映事物的本质，揭示事物的规律．另一方面，这种模式化的解决，常常归结为某种简单的模型．因此，有目的地考察并掌握若干常见的概率模型，有助于我们举一反三，触类旁通，丰富解题的技能和技巧，不断提高解题能力．通过对相关资料的查询及老师的指导，本文主要讨论古典概率的三类基本问题：摸球问题、质点入盒问题、随机取数问题，给出它们的一般解法，指出其典型意义，并介绍其推广应用．2 摸球模型摸球模型是指从n 个可分辨的球中按照不同的要求（例如是否放回、是否计序等）一个一个地从中取出m （n m ≤）个，从而得到不同的样本空间，然后在各自的样本空间中计算事件的概率．一般说来，根据摸球的方式不同，可分为四种情况来讨论，得如下表一的四种不同的样本空间26]3[：表一其中mn m m n H C =-+1表示从n 个不同元素中取m 个元素进行元素的可重复的组合时其不同的组合个数，对各种情况先举例及推广应用：如果摸球是从n 个可分辨的球按有放回且计序的方式一个一个地从中取出m 个，这时样本空间的基本事件，总数应按相异元素允许重复的排列公式计算，因而有mn 个,此种情形是我们经常遇到的，下面来看个例子．例1 用1、2两个数字组成3个数，组成多少个数？思考方法 在数字排序的问题中，百位、十位、个位这三个位置上必须找出一个数字，至于每个是否均有位置，则不作要求，所以这是个有放回且计序的摸球问题，从而在各个位置上可以是1、2的任一个．依乘法原理不同的组合数有823==mn个．2.2 有放回且无计序摸球从n 个相异元素每次取出允许重复的m 个元素，不计次序并成一组，叫做从n 个相异元素允许重复的m 元组合，其所有组合的个数为mn m m n H C =-+1，通过下面的这个例子我们也可以看出它的典型性．例2 匣内装颜色分别为红、白、黑的三个球，有放回不按序选取，问匣内任取两个不同颜色的球的概率为多少？思考方法 作为有放回不按序摸球问题，设A 表示从匣内有放回不计序选取两个不同颜色的球的事件．由题设可知，样本空间的基本事件总数为624212323===-+C C H ，事件A 所含的基本事件数为323=C ,故所求概率为21)(2323==H C A P ．2.3 无放回且计序摸球如果摸球是无放回且计序摸球，这时样本空间的基本事件总数等于从n 个不同元素中取出m 个元素的所有不同排列的个数为mn A ，或是n 个互异元素的全排列!n P n =，这种情形也是摸球模型的重要类型．例3 袋中有α个白球，β个黑球，从中陆续取出)3(3βα+≤个球，求这3个球依次为黑白黑的概率．思考方法 每一个样本点对应着βα+个球中依次取出三个球的一种取法，需要考虑先后顺序，属于排列问题．用A 表示事件“取出3个球依次为黑白黑”，从βα+个球中依次任取三个，有3βα+P 种取法，此即样本点总数．对于有利事件，第一个和第三个黑球可在β个黑球中依次取得，有2βP 种取法；第二个白球可在α个白球中取得，有1αP 种取法．因此，A 所包含的样本点总数为12αβP P ，于是312)(φααβ+=P P P A P ．如果摸球是无放回且不计序，其样本空间的基本事件总数是从不同元素中取出若干个元素的所有不同的组合个数．例4 袋中有α个白球，β个黑球，问：从中不放回取出n m +（βα≤≤∈n m N n m ，，、）个球，试求所取出的球恰有m 个白球的概率．思考方法：这些同类球都不加区别，即不计序，又抽取后部返回，因而本例属无放回且不计序的摸球模型，其基本事件总数为nm C ++βα，此事件A 为“取出n m +个球中恰有m 个白球”，而事件A 所包含的样本点数，相当于从α个白球中取出m 个，从另外m -+βα个球中任取n 个取法种数共n m m C C -+βαα，所以nm nmm CC C A P ++-+=βαβαα)(．前面我们对摸球模型的各种类型进行了归纳，如果把白球、黑球换成产品中的正品、次品，或换成甲物、乙物，这样的人、那样的人……就可以得到形形色色的摸球问题．如果能灵活地将这些实际问题与前面的模型类型对号入座，我们就能解决有关的实际问题，为我们的生活带来方便和乐趣，例如灯泡厂检验合格率等这些产品抽样问题；还有可以把全班学生分成两组，求每组中男女生人数相对等的概率；从一副扑克牌中任取6张，求得3张红色的和3张黑色的概率；在安排值班的问题中，也可以按照无放回模型进行分析；在买彩票的过程中，可以把双色球、D 3、36选7等玩法的中奖概率求出，增加自己中奖机会．这样不仅把古典概率的知识应用在了生活中，给生活带来方便，同时也使数学给自己带来了乐趣，激发了对数学应用的动力．3 质点入盒模型该模型是指有n 个可分辨的盒子，m （n m <）个质点，按照质点是否可分辨，每盒可容纳质点的多少等不同情况，把m 个质点放入n 个可分辨的盒子，从而形成不同的样本空间，然后在各自样本空间计算事件的概率，与摸球模型类似，这里也可分四种情况讨论，清晰地可见这种模型的具体分类情况，如表二)37(]3[p ：表二3.1 每盒能容纳任意多个质点且质点可分辨质点需要分辨的问题就是排列问题，盒子能容纳任意多个质点的问题就是重复排列问题． 例1 有5个不同的质点，每个都同样以101的概率落入10个盒子，事件A ={指定的一个盒子中恰有3个质点}的概率．思考方法：由题意知，盒子容纳质点的数目不限，又质点可分辨，故为重复排列问题，其基本事件总数为510=m n ．在指定的一个盒子中恰有3个质点，共有35C 种选法，余下的2个质点可任意放入余下的9个盒中，共有29种不同选法，因而事件A 所包含的基本事件总数为3529C ，故所求概率为008.010*******109)(5352===C A P ． 3.2 每盒可容纳任意多个质点且质点不需分辨m 个质点随机进入n 个盒中，质点不需分辨属组合问题，又每盒能容纳任意多个质点，该组合为元素允许重复的组合，样本空间中含有m n m m n H C =-+1个样本点，即其基本事件总数为mm n C 1-+．例2 将例1中“5个不同的质点”换为“5个相同的质点”．思考方法：质点不需分辨属组合问题，又每个盒子容纳的质点不限，故该组合为元素可重复的组合，其基本事件总数为200251451510510===-+C C H ，因3个质点有35C 种选法，其余两质点可能落入两个盒中，有29C 种选法；也可能落入一个盒中，有19C种选法，故有224.0)()(514192935=+=C C C C A P ． 3.3 每盒最多可容纳一质点且质点需分辨 这样的问题是属于元素不允许重复的排列问题． 例3 将3个不同质点投入5个盒中，每个质点都以51的概率进入每一个盒中，且限定每盒最多只容纳一质点，求：事件A ={指定的一个盒子为空}的概率．思考方法 因质点互异，且每盒最多只容纳一质点，故属元素不允许重复的排列问题，因而其基本事件总数为6035=A ，事件A 所含的基本事件为2434=A ，故4.06024)(35434===A A A P ．3.4 每盒最多只容纳一质点且质点不需分辨 例4 将将3个相同质点投入5个盒中，每个质点都以51的概率进入每一个盒中，且限定每盒最多只容纳一质点，求：事件A ={指定的一个盒子为空}的概率．思考方法：质点不需分辨，属组合问题，又每盒最多只容纳一个质点，该组合为元素不允许重复的组合，因而其基本事件总数为1035=C ，事件A 所包含的基本事件总数为434=C ，故4.0104)(3534===C C A P ．质点入盒模型概括了很多的古典概型问题．如果把盒子看作365天，可研究n 个人的生日问题；如果把盒子看作每周的7天，又可研究值班的安排问题；如果把质点看作人，盒子看作房子，又可研究住房分配问题；如果把粒子看作质点，盒子看作空间的小区域，又可研究统计物理的Boltzmann Maxwell -统计模型；如果把信看作质点，盒子看作邮筒，又可研究投信问题；如果把骰子（硬币）看作质点，骰子（硬币）上的六点（正面和反面）看作)2(6个盒子，又可研究骰子（硬币）问题；如果将旅客视为质点，各个车站看作盒子，又可研究旅客下车问题等．不难看出质点入盒模型可以用来描述很多直观，背景完全不同但实质都完全一样的随机试验，应透过表面抓住本质，把相关问题与相应的模型联系起来，加以转化，这样问题就不难解决了．4 随机取数模型与前面的两种模型相比，此模型分类情况较简单些，分为有放回地随机取数和无放回地随机取数两种情况)44(]3[p ．4.1 有放回地随机取数取出的数字还原时，其样本空间的基本事件总数可按从n 个不同数字里取出m 个的重复排列计算问题．例1 从，，21…10这十个数中任取一个，假定各个数都以同样的概率被取中，然后还原，先后取出7个数，试求下列各事件的概率：)1(1A :7个数全不相同；)2(2A :不含9和2；)3(3A :8至少出现三次；)4(4A :5至少出现两次；)5(6A :取到的最大数恰为6．思考方法 本题所及的随机试验，就取样方法来说，属于返回取样．也就是说，把某数取出后还原，下次仍有同样的可能再取到这个数．注意到这一特点，运用上面介绍的思想方法，此题就不难得解．解 依题设，样本空间就是10个相异元素允许重复的7元排列．所以，样本点总数为710．)1(事件1A ，要求所取的7个数是互不相同的，考虑到各个数取出时有先后顺序之分，所以有利场合相当于从10个相异元素里每次取出7个相异元素的排列．因此，1A 所包含的样本点数为710P ．于是06048.010)(77101≈=P A P ．)2(事件2A ，先后取出的7个数中不含9和2，所以，这7个数只能从108765,3,41，，，，，这8个数中取得．注意到试验属于有返回取样，则2A 的有利场合，相当于8个互异元素允许重复的7元排列．于是2A 所包含的样本点数为78，有2097.0108)(772≈=A P ．)3(事件3A 中出现的三次8，可以是7次取数的任意三次，有37C 种选法；其余的4次，每次可以去剩下的9个数中的任一个，共有49种取法．因此0230.0109)(74373≈=C A P ． )4(事件4A 是六个两两互不相容事件“5恰好出现k 次”)65432(，，，，=k 的和，因此，1497.0109C )P(A 727774≈=∑=-k kk ． 也可以考虑4A 的逆事件．这里4A 是事件“5恰好出现一次或一次也不出现”．显然8503.01099)(776174≈+=C A P所以，1497.08503.01)(-1)P(A 44=-==A P)5(事件5A 的有利场合，就是6个相异元素)654321(，，，，，允许重复的最大数恰好为6的7元排列．这种排列可以分为6出现1次，1次，2次，3次，4次，5次，6次，7次等7类，显然，它们的排列数依次为6175C ,5275C ,4375C ,3475C ,2575C ,567C ,0775C ．于是0202.0105)(771775≈=∑=-k kkCA P事件5A 的有利场合的有利场合数也可以这样来考虑：最大数字不大于6的7元重复排列，有76种，它可以分为两类，一类是最大数恰好是6的7元重复排列；一类是最大数小于6的7元重复排列．注意到第二类重复排列有75种，则第一类重复排列有76-75种．于是0202.01056)(7775≈-=A P ． 4.2 无放回地随机取数如取出的数字不还原，其样本空间的事件总数要根据取数是计序或不计序，按不重复的排列或组合计算．例2 从，，10…9这十个数中任取三个不同的数字，试求下列事件的概率：)1(1A :三个数字中不含0或5；)2(2A :三个数字中不含0和5．解 所取三个数不计序，本例属元素不允许重复的组合问题，其基本事件总数为35C n =．)1(有利于1A 的基本事件总数为381C m =,于是所求概率为157)(310381==C C A P ．)2(在所给的十个数字中任取3个不含0的数字共有39C 个，同样任取3个不含5的数字共有39C 个．这些个数中均包含既不含0又不含5的3个数字的个数38C ．于是这样的3个不同数字被算了两次，即多算了一次，造成了重复．因而有利于事件2A 的基本事件数3839392C C C m -+=,故所求概率为1514)2()(31038392=-=C C C A P ． 随机取数模型作为典型的古典概型，解题的思想方法对于同类问题具有指导意义．但绝不能把它作为现成的公式乱套，有些问题表面看机构相仿，实质上差别较大，须斟酌题意灵活运用．随机取数模型在日常生活也可应用在通讯公司计算电话号码，单位票据编号完全不同的概率等实际问题中．作为古典概型在事件生活中的应用，现例举一综合例子：我们在庙会，公园里都可以看到玩这种游戏的，袋中有3种颜色的相同玻璃球，各有3个球，大家可以免费参加摸球游戏，每次从袋中摸出3个球，奖罚规则如下：摸出的3个球若：(1)颜色只有一种奖励玩家5元；(2)有两种颜色的情况罚玩家1元；(3)有三种颜色的情况奖励玩家2元．面对这种情形，我们大多数人都会对其产生诱惑，会高兴地“免费”试试身手，但我们学习完古典概型的知识后，可以看到这种游戏背后的真相．对于(1)、 (2)、)3(其概率利用古典概型的知识可得为843)1(3913==C C P ,8454)2(3913231223==C C C C C P ,8427)3(39131313==C C C C P ．直观地说，就是在84次的摸球中，第一种情况有3次，老板赢得155*3=元，第二种情况有54次，玩家输去541*54=元，第三种情况有27次，老板赢得542*27=元，最终老板赢得15541554=-+元，这个看似比较公平的游戏还是被老板赚了，所以以后大家遇到这种情形就需要考虑了．总之，通过以上几种古典概型问题的分析过程可得，这类问题是一个既有法、有时又无定法的问题．求解这类问题通常有两条基本思路：一条是直接法，对有附加条件的特殊元素或排列中的特殊位置应先处理，直接求出满足题设条件的种数；另一条是间接法，先撇开附加条件求出一个总数，再扣除不合要求的种数．在这两个过程中，均以排列、组合等知识点作为出发点，考虑一切可能出现的结果，既不能将它们遗漏，也不要重复．综合知识间的内在联系，运用多种多样、灵活多变的解题技巧把抽象的内容知识延伸至实际问题中，提高解决实际问题的能力．因此，在解答概率题时没有一个固定的模式，需要扎实的基础知识和灵活的技能技巧，为解决实际问题服务，把古典概型的知识应用在日常生活中．参考文献：[1] 赵振威等．怎样解概率题[M]．北京师范大学出版社，1986[2] 魏宗舒等．概率论与数理统计教程[M ]．高等教育出版社，1983[3] 毛纲源．概率论与数理统计解题方法技巧归纳[M]．华中科技大学出版社，1999[4] 汪仁宫．概率论引论[M]．北京大学出版社，2005[5] 周惠新．概率方法的妙用[J]．高等数学研究，2005[6] 文建新．如何分析计算古典概型习题[J]．武当学刊，1996[7] 曹晓阳．关于古典概率的几种解法[J]．自然科学版，2005．09[8] A. Kolmogorov-Smirnov .Test for Classical Probability Models [J]．自然期刊，2010。
高考数学统计与概率大题解题模板
统计与概率大题解题模板 一、随机抽样和用样本估计总体模板一、频率分布直方图1、频率分布直方图的性质：（1）小矩形的面积=组距×频率/组距=频率，所以各小矩形的面积表示相应各组的频率.这样，频率分布直方图就以面积的形式反映了数据落在各个小组内的频率大小； （2）在频率分布直方图中，各小矩形的面积之和等于1； （3）频数/相应的频率=样本容量.2、频率分布直方图反映了样本在各个范围内取值的可能性，由抽样的代表性利用样本在某一范围内的频率，可近似地估计总体在这一范围内的可能性.3、频率分布直方图中的纵坐标为频率组距，而不是频率值.例1-1.某城市100户居民月平均用电量(单位：度)，以[160180)，、[180200)，、[200220)，、[220240)，、[240260)，、[260280)，、]280[300，分组的频率分布直方图如图.（1）求直方图中x 的值；（2）求月平均用电量的众数和中位数；（3）在月平均用电量为[220240)，、[240260)，、[260280)，、]280[300，的四组用户中，用分层抽样的方法抽取11户居民，则月平均用电量在[220240)，的用户中应抽取多少户？ 【解析】（1）由(0.0020.00950.0110.01250.0050.0025)201x ++++++⨯=得：0.0075x =，∴直方图中x 的值是0.0075；（2）月平均用电量的众数是2202402302+=，∵(0.0020.00950.011)200.450.5++⨯=<，∴月平均用电量的中位数在[220240)，内，设中位数为a ， 由(0.0020.00950.011)200.0125(220)0.5a ++⨯+⨯-=得：224a =， ∴月平均用电量的中位数是224；（3）月平均用电量为[220240)，的用户有0.01252010025⨯⨯=户， 月平均用电量为[240260)，的用户有0.00752010015⨯⨯=户， 月平均用电量为[260280)，的用户有0.0052010010⨯⨯=户， 月平均用电量为]280[300，的用户有0.0025201005⨯⨯=户， 抽取比例11125151055==+++，∴月平均用电量在[220,240)的用户中应抽取12555⨯=户.模板二、茎叶图1、绘制茎叶图的关键是分清茎和叶，如数据是两位数，十位数字为“茎”，个位数字为“叶”；如果是小数时，通常把整数部分作为“茎”，小数部分作为“叶”，解题时要根据数据的特点合理选择茎和叶.2、利用茎叶图进行数据分析时，一般从数据分布的对称性、中位数、稳定性等几个方面来考虑. 例1-2.某中学高二（2）班甲、乙两名学生自进入高中以来，每次数学考试成绩情况如下： 甲：95、81、75、91、86、89、71、65、76、88、94、110、107； 乙：83、86、93、99、88、103、98、114、98、79、78、106、101. 画出两人数学成绩的茎叶图，并根据茎叶图对两人的成绩进行比较. 【解析】甲、乙两人数学成绩的茎叶图如图所示：从这个茎叶图上可以看出，乙同学的得分情况是大致对称的， 中位数是98；甲同学的得分情况，也大致对称，中位数是88， 乙同学的成绩比较稳定，总体情况比甲同学好.模板三、散点图1、两个变量的关系2、散点图：将样本中n 个数据点()i i x y ，(1i =，2，…，n )描在平面直角坐标系中得到的图形.3、正相关与负相关：（1）正相关：如果一个变量的值由小变大时，另一个变量的值也由小变大，这种相关称为正相关.（2）负相关：如果一个变量的值由小变大时，另一个变量的值由大变小，这种相关称为负相关. 4、最小二乘法：设x 、y 的一组观察值为()i i x y ，(1i =，2，…，n )，且回归直线方程为ˆˆˆybx a =+.当x 取值i x (1i =，2，…，n )时，y 的观察值为i y ，差ˆi i y y -(1i =，2，…，n )刻画了实际观察值i y 与回归直线上相应点纵坐标之间的偏离程度，通常是用离差的平方和，即21()ni i i Q y a bx ==--∑作为总离差，并使之达到最小.这样，回归直线就是所有直线中Q 取最小值的那一条.由于平方又叫二乘方，所以这种使“离差平方和最小”的方法，叫做最小二乘法. 5、回归直线方程的系数计算公式例1-3.一个车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了10次试验，收集数据如下：（1）y 与x 是否具有线性相关关系？（2）如果y 与x 具有线性相关关系，求y 关于x 的回归直线方程. 审题路线图：→→→【解析】（1）画散点图如下：由图可知y 与x 具有线性相关关系；（2）列表、计算：1102211055950105591.70.66838500105520ˆ1iii ii x y x ybxx ==⋅-⋅⋅-⨯⨯==≈-⨯-⋅∑∑，91.70.668ˆ55.6ˆ549ay bx =-=-⨯=，即所求的回归直线方程为：0.66859ˆ 4.6y x =+.构建答题模板：第一步：列表i x 、i y 、i i x y ；第二步：计算x ，y ，21ni i x =∑，1ni i i x y =∑；第三步：代入公式计算ˆb 、ˆa 的值； 第四步：写出回归直线方程；第五步：反复回顾，查看是否有重复或遗漏情况，明确规范书写答题.模板四、古典概型例1-4.袋中有五张卡片，其中红色卡片三张，标号为1、2、3；蓝色卡片两张，标号为1、2. （1）从以上五张卡片中任取两张，求这两张卡片颜色不同且标号之和小于4的概率；（2）向袋中再放入一张标号为0的绿色卡片，从这六张卡片中任取两张，求这两张卡片颜色不同且标点之和小于4的概率.审题路线图：确定概率模型→列出所有取卡片的结果(基本事件)→构成事件的基本事件→求概率. 规范解答：【解析】（1）标号为1、2、3的三张红色卡片分别记为A 、B 、C ， 标号为1、2的两张蓝色卡片分别记为D 、E ， 从五张卡片中任取两张的所有可能的结果为：AB 、AC 、AD 、AE 、BC 、BD 、BE 、CD 、CE 、DE 共10种，由于每一张卡片被取到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的， 从五张卡片中任取两张，这两张卡片颜色不同且它们的标号之和小于4的结果为：AD 、AE 、BD ，共3种，∴这两张卡片颜色不同且它们的标号之和小于4的概率为310；（2）记F 是标号为0的绿色卡片，从六张卡中任取两张的所有可能的结果为：AB 、AC 、AD 、AE 、AF 、BC 、BD 、BE 、BF 、CD 、CE 、CF 、DE 、DF 、EF 共15种，用于每一张卡片被取到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的， 从六张卡片中任取两张，这两张卡片颜色不同且它们的标号之和小于4的结果为：AD 、AE 、BD 、AF 、BF 、CF 、DF 、EF ，共8种， ∴这两张卡片颜色不同且它们的标号之和小于4的概率为815. 构建答题模板：第一步：列出所有基本事件，计算基本事件总数；第二步：将所求事件分解为若干个互斥的事件或转化为其对立事件(也许不用分解，但分解必要注意互斥)；第三步：分别计算每个互斥事件的概率；第四步：利用概率的加法公式求出问题事件的概率；第五步：反复回顾，查看是否有重复或遗漏情况，明确规范书写答题.二、概率与统计之超几何分布与二项分布离散型随机变量的分布列、数学期望与方差1、关于离散型随机变量分布列的计算方法如下： （1）写出ξ的所有可能取值；（2）用随机事件概率的计算方法，求出ξ取各个值的概率； （3）利用（1）、（2）的结果写出ξ的分布列. 2、常见的特殊离散型随机变量的分布列：（1）两点分布，分布列为(0p -、1q -)，其中01p <<，且1p q +=；（2）二项分布，分布列为(00p 、11p 、22p 、…、k kp 、…、n np )，其中k k n kk n p C p q -=，0k =、1、2、…、n ，且01p <<，1p q +=，k k n k k n p C p q -=可记为(,,)b k n p .3、对离散型随机变量的期望应注意：（1）期望是算术平均值概念的推广，是概念意义下的平均；（2）()E ξ是一个实数，由ξ的分布列唯一确定，即作为随机变量ξ是可变的，可取不同值，而()E ξ是不变的，它描述ξ取值的平均状态；（3）()1122n n E x p x p x p ξ=++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅直接给出了E ξ的求法，即随机变量取值与相应概率值分别相乘后相加.4、对离散型随机变量的方差应注意：（1）()D ξ表示随机变量ξ对()E ξ的平均偏离程度，()D ξ越大表明平均偏离程度越大，说明ξ的取值越分散；反之()D ξ越小，ξ的取值越集中，在()E ξ来描述ξ的分散程度.（2）()D ξ与()E ξ一样也是一个实数，由ξ的分布列唯一确定.模板一、超几何分布——离散型随机变量的分布列、期望与方差（1）超几何分布的特征：①在小范围内不放回的随机抽取；②每次抽取相互影响；③每次抽取的可能性一直变化；（2）超几何分布的题型：在含有M 件次品的N 件产品中任取n 件(n M N ≤≤)，其中恰有X 件次品；（3）超几何分布的分布列、期望与方差：①分布列：()k n k M N MnNC C P X k C --⋅==，012k n =⋅⋅⋅，，，，，k ∈N ；②期望：0()[()]nk nME X k P X k N ===⋅=∑； ③{}22()()()[()]()(1)nk nM N M N n D X k E x P X k N N =--==-⋅=-∑. 例2-1.已知一个袋中装有3个白球和3个红球，这些球除颜色外完全相同.（1）每次从袋中取一个球，取出后不放回，直到取到一个红球为止，求取球次数ξ的分布列和数学期望()E ξ；（2）每次从袋中取一个球，取出后放回接着再取一个球，这样取3次，求取出红球次数η的分布列、数学期望和方差()D η.审题路线图：取到红球为止→取球次数的所有可能1、2、3、4→求对应次数的概率→列分布列→求()E ξ.取出后放回，这是条件→每次取到红球的概率相同→三次独立重复试验→利用公式. 规范解答：【解析】（1）ξ的可能取值为1、2、3、4，31(1)62P ξ===，333(2)6510P ξ==⨯=， 3233(3)65420P ξ==⨯⨯=，32131(4)654320P ξ==⨯⨯⨯=，故ξ的分布列为：17()123421020204E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=；（2）取出后放回，取球3次，可看作3次独立重复试验，∴1~(2)2B η，，η的可能取值为0、1、2、3，0033111(0)()()228P C η==⋅⋅=，1123113(1)()()228P C η==⋅⋅=，2213113(2)()()228P C η==⋅⋅=，3303111(4)()()228P C η==⋅⋅=，故ξ的分布列为：∴()322E η=⨯=，113()3224D η=⨯⨯=. 构建答题模板：第一步：确定离散型随机变量的所有可能性； 第二步：求出每个可能性的概率； 第三步：画出随机变量的分布列； 第四步：求期望和方差；第五步：反复回顾，查看是否有重复或遗漏情况，明确规范书写答题.如本题可重点查看随机变量的所有可能值是否正确；根据分布列性质检查概率是否正确.模板二、二项分布及其应用（1）二项分布的特征：①在小范围内有放回的随机抽取或在大范围内任意随机抽取；②每次抽取相互独立；③每次抽取的可能性保持不变；（2）二项分布的题型：在n 次独立重复试验中，设事件A 发生的次数为X ，在每次试验中事件A 发生的概率为p ；（3）二项分布的分布列、期望与方差：①分布列：~(,)X B n p ，n 为试验次数，p 为试验成功率，()(1)k kn k n P X k C p p -==-，0,1,2,,k n =⋅⋅⋅，k ∈N ；②期望：()E X np =； ③()(1)D X np p =-.例2-2.某联欢晚会举行抽奖活动，举办方设置了甲、乙两种抽奖方案，方案甲的中奖率为23，中奖可以获得2分；方案乙的中奖率为25，中奖可以获得3分；未中奖则不得分.每人有且只有一次抽奖机会，每次抽奖中奖与否互不影响，晚会结束后凭分数兑换奖品.（1）若小明选择方案甲抽奖，小红选择方案乙抽奖，记他们的累计得分为X ，求3≤X 的概率； （2）若小明、小红两人都选择方案甲或都选择方案乙进行抽奖，问：他们选择何种方案抽奖，累计得分的数学期望较大？【解析】（1）由已知得，小明中奖的概率为23，小红中奖的概率为25，且两人中奖与否互不影响，记“这2人的累计得分3≤X ”的事件为A ，则事件A 的对立事件为“5X =”， ∵224(5)3515P X ==⨯=，∴11()1(5)15P A P X =-==， 即这两人的累计得分3≤X 的概率为1115； （2）设小明小红都选择方案甲抽奖中奖次数为1X ，都选择方案乙抽奖中奖次数为2X ，则这两人选择方案甲抽奖累计得分的数学期望为1()2E X ⨯， 选择方案乙抽奖累计得分的数学期望为2()3E X ⨯，由已知可得12~(2)3X B ，，22~(2)5X B ，，∴124()233E X =⨯=，224()255E X =⨯=，从而18()23E X ⨯=，212()35E X ⨯=，∴12()2()3E X E X ⨯>⨯，∴他们都选择方案甲进行抽奖时，累计得分的数学期望较大.模板三、统计概率的综合应用例2-3.某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随即抽取该流水线上40件产品作为样本算出他们的重量(单位：克)重量的分组区间为，(495500]，，…，(510515]，，由此得到样本的频率分布直方图，如图所示.（1）根据频率分布直方图，求重量超过505克的产品数量.（2）在上述抽取的40件产品中任取2件，设X 为重量超过505克的产品数量，求X 的分布列及期望.（3）在上述抽取的40件产品中任取5件产品，求恰有2件产品的重量超过505克的概率. 【解析】（1）重量超过505克的产品数量是40(0.0550.015)12⨯⨯+⨯=件； （2）X 的所有可能取值为0、1、2，021********(0)130C C P X C ⋅===，11122824056(1)130C C P X C ⋅===，20122824011(2)130C C P X C ⋅===， X 的分布列为：X 的期望561139()01213013013065E X =⨯+⨯+⨯=； （3）设在上述抽取的40件产品中任取5件产品，恰有2件产品的重量超过505克为事件A ，则322812540231()703C C P A C ⋅==. 变式1：第三问改为：从流水线上任取5件产品，设Y 为重量超过505克的产品数量，求Y 的分布列、期望、方差.【解析】从流水线上任取5件产品服从二项分布：Y 可取：0、1、2、3、4、5；超过505克的产品发生的概率为0.3p =，则~(50.3)Y B ，， 005055(0)(1)0.70.16807P Y C p p -==-==， 115111455(1)(1)0.30.70.36015P Y C p p C -==-=⨯=，225222355(2)(1)0.30.70.3087P Y C p p C -==-=⨯=，335333255(3)(1)0.30.70.1323P Y C p p C -==-=⨯=，44544455(4)(1)0.30.70.02835P Y C p p C -==-=⨯=，555555(5)(1)0.30.00243P Y C p p -==-==，则Y 的分布列为：Y 的期望()50.3 1.5E Y =⨯=，方差()50.30.7 1.05D Y =⨯⨯=.变式2：某食品厂为了检查甲乙两条自动包装流水线的生产情况，随即在这两条抽流水线上各抽取40件产品作为样本算出他们的重量(单位：克).重量落在(495510]，的产品为合格品，否则为不合格.表一为甲流水线样本频率分布表，图一为乙流水线样本的频率分布直方图.（1）根据上表数据在答题卡上作出甲流水线样本的频率分布直方图；（2）若以频率作为概率，试估计从乙流水线上任取5件产品，恰有3件产品为合格品的概率；（3）由以上统计数据完成下面22⨯列联表，并回答有多大的把握认为“产品的包装质量与两条自动包装流水线的选择有关”.附：下面的临界值表供参考：(参考公式：22()()()()()n ad bcKa b a c c d b d-=++++，其中n a b c d=+++).在平面直角坐标系中做出频率分布直方图，甲流水线样本的频率分布直方图如下：（2）由图1知，乙样本中合格品为：(0.060.090.03)54036++⨯⨯=，故合格品的频率为360.940=， ∴可估计从乙流水线上任取一件产品该产品为合格品的概率0.9P =，设ξ为从乙流水线上任取5件产品中的合格品数，则~(50.9)B ξ，， ∴3325(3)0.90.10.0729P C ξ===，即从乙流水线上任取5件产品，恰有3件产品为合格品的概率为0.0729； （3）22⨯列联表如下：∵22()80(120360) 3.117 2.706()()()()66144040n ad bc K a b a c c d b d -⨯-==≈>++++⨯⨯⨯， ∴有90%的把握认为“产品的包装质量与两条自动包装流水线的选择有关”.课后作业1. 某学生对其亲属30人的饮食习惯进行了一次调查，并用茎叶图表示30人的饮食指数.(说明：图中饮食指数低于70的人，饮食以蔬菜为主；饮食指数高于70的人，饮食以肉类为主.)（1）根据茎叶图，帮助这位学生说明其亲属30人的饮食习惯；（2）根据以上数据完成下列22⨯列联表：（3）能否有99%的把握认为其亲属的饮食习惯与年龄有关，并写出简要分析.【答案】（1）30位亲属中50岁以上的人多以食蔬菜为主，50岁以下的人多以食肉为主；（2）表格见解析；（3）有，分析见解析.【解析】【分析】（1）根据茎叶图，分析题中数据即可得出结果.（2）根据茎叶图，补充完善列联表，计算观测值即可求解.【详解】（1）30位亲属中50岁以上的人多以食蔬菜为主，50岁以下的人多以食肉为主；（2）补全22⨯列联表：（3）230(42168)10 6.63512182010K ⨯⨯-⨯==>⨯⨯⨯，有99%的把握认为其亲属的饮食习惯与年龄有关.2. 某网站就“民众是否支持加大修建城市地下排水设施的资金投入”进行投票.按照北京暴雨前后两个时间收集有效投票，暴雨后的投票收集了50份，暴雨前的投票也收集了50份，所得统计结果如下表：已知工作人员从所有投票中任取一个，取到“不支持投入”的投票的概率为25. （1）求列联表中的数据x ､y ､A ､B 的值；（2）绘制条形统计图，通过图形判断本次暴雨是否影响到民众对加大修建城市地下排水设施的投入的态度？（3）能够有多大把握认为北京暴雨对民众是否赞成加大对修建城市地下排水设施的投入有关？ 【答案】（1）40x =，10y =，60A =，40B =；（2）条形统计图答案见解析，暴雨影响到民众对加大修建城市地下排水设施的投入的态度；（3）有99.9%把握.【解析】【分析】（1）先求出y的值，再求,,B x A的值；（2）先求出暴雨前后的支持率和不支持率，画出条形统计图，再通过图形判断本次暴雨是否影响到民众对加大修建城市地下排水设施的投入的态度.（3）利用独立性检验求解即可.【详解】（1）设“从所有投票中抽取一个，取到不支持投入的投票”为事件A，由已知得302()1005yP A+==，∴10y=，40B=，40x=，60A=；（2）由（1）知北京暴雨后支持为404505=，不支持率为41155-=，北京暴雨前支持率为202505=，不支持率为23155-=，条形统计图如图：由图可以看出暴雨影响到民众对加大修建城市地下排水设施的投入的态度；（3）22100(30402010)5016.7810.828505040603K⨯⨯-⨯==≈>⨯⨯⨯，故至少有99.9%把握认为北京暴雨对民众是否赞成加大对修建城市地下排水设施的投入有关.【点睛】方法点睛：独立性检验的解题步骤：（1）2*2列联表；（2）提出假设：设p与q没有关系；（3）根据列联表中的数据2K计算的值；（4）根据计算得到的随机变量2K的观测值作出判断.3. 电视传媒公司为了解某地区观众对某类体育节目的收视情况，随机抽取了100名观众进行调查，其中女性有55名.下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图：将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷”，已知“体育迷”中有10名女性.（1）根据已知条件完成下面的22⨯列联表，并据此资料判断是否有95%的把握认为“体育迷”与性别有关？（2）将日均收看该体育节目不低于50分钟的观众称为“超级体育迷”，已知“超级体育迷”中有2名女性，若从“超级体育迷”中任意选取2人，求至少有1名女性观众的概率.附：22()()()()()n ad bcKa b a c c d b d-=++++【答案】（1）列联表答案见解析，没有95%的把握认为“体育迷”与性别有关；（2）7 10 .【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图，计算体育迷的人数，再结合条件依次填入22⨯列联表，并计算2K ，并和临界值3.841比较后进行判断；（2）首先由频率分布直方图计算“超级体育迷”的人数，在通过编号列举的方法，利用古典概型的计算公式计算概率.【详解】（1）由频率分布直方图可知，在抽取的100人中，“体育迷”有25人，从而完成22⨯列联表如下：将22⨯列联表中的数据代入公式计算，得22100(30104515)100 3.030 3.8417525455533K ⨯⨯-⨯==≈<⨯⨯⨯，∴没有95%的把握认为“体育迷”与性别有关；（2）由频率分布直方图可知“超级体育迷”为5人，设123,,a a a 是3名男超级体育迷，12,b b 是2名女超级体育迷，从而一切可能结果所组成基本事件为：12()a a ，､13()a a ，､23()a a ，､11()a b ，､12()a b ，､ 21()a b ，､22()a b ，､31()a b ，､32()a b ，､12()b b ，，则由10个基本事件组成，而且这些基本事件的出现是等可能的， 用A 表示“任选2人中，至少有1人是女性”这一事件，则A 由11()a b ，､12()a b ，､21()a b ，､22()a b ，､31()a b ，､32()a b ，､12()b b ， 这7个基本事件组成，因而7()10P A =.4. 2015年7月9日21时15分，台风“莲花”在我国广东省陆丰市甲东镇沿海登陆，给当地人民造成了巨大的财产损失，适逢暑假，大学生小张调查了当地某小区的100户居民由于台风造成的经济损失，将收集的数据分成[02000),、[2000,4000)、[4000,6000)、[6000,8000)、[800010000],五组作出频率分布直方图，如图：（1）台风后居委会号召小区居民为台风重灾区捐款，小张调查的100户居民捐款情况如表格，在表格空白处填写正确数字，并说明是否有95%以上的把握认为捐款数额多于或少于500元和自身经济损失是否到4000元有关？（2）将上述调查所得到的频率视为概率.现在从该地区大量受灾居民中，采用随机抽样方法每次抽取1户居民，抽取3次，记被抽取的3户居民中自身经济损失超过4000元的人数为ξ.若每次抽取的结果是相互独立的，求ξ的分布列，期望()E ξ和方差()D ξ.【答案】（1）答案见解析，有；（2）分布列见解析，()0.9E ξ=，()0.63D ξ=. 【解析】【分析】（1）由频率分布直方图可求出抽取的100户中，经济损失不超过4000元的户数，经济损失超过4000元的户数， 从而可补全列联表，进而可求出2K ，得出结论；（2）由题意知ξ的取值可能有0、1、2、3，符合二项分布，则3~(3)10B ξ，，从而利用二项分布的概率公式求出各自对应的概率，进而可得ξ的分布列，期望()E ξ和方差()D ξ. 【详解】（1）由频率分布直方图可知，在抽取的100户中，经济损失不超过4000元的有1002000(0.000150.00020)70⨯⨯+=户，则经济损失超过4000元的有30户， 则表格数据如下：22100(60102010) 4.76280207030K ⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯，∵4.762 3.841>，2( 3.841)0.05P K ≥=，∴有95%以上把握认为捐款数额是否多于或少于500元和自身经济损失是否到4000元有关； （2）由频率分布直方图可知抽到自身经济损失超过4000元居民的频率为0.3，将频率视为概率，由题意知ξ的取值可能有0、1、2、3，符合二项分布，则3~(3)10B ξ，，003337343(0)()()10101000P C ξ==⋅⋅=，112337441(1)()()10101000P C ξ==⋅⋅=，221337189(2)()()10101000P C ξ==⋅⋅=，33033727(3)()()10101000P C ξ==⋅⋅=，从而ξ的分布列为：3()30.910E np ξ==⨯=，37()(1)30.631010D np p ξ=-=⨯⨯=. 5. 私家车的尾气排放是造成雾霾天气的重要因素之一，因此在生活中我们应该提倡低碳生活，少开私家车，尽量选择绿色出行方式，为预防雾霾出一份力．为此，很多城市实施了机动车车尾号限行，我市某报社为了解市区公众对“车辆限行”的态度，随机抽查了50人，将调查情况进行整理后制成下表：（1）完成被调查人员的频率分布直方图．（2）若从年龄在[15,25)（[25,35)的被调查者中各随机选取2人进行追踪调查，求恰有2人不赞成的概率．（3）在(2)在条件下，再记选中的4人中不赞成．．．“车辆限行”的人数为ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望．【答案】（1）见解析（2（2275（3）见解析 【解析】【详解】试题分析：（1）根据频率等于频数除以总数，再求频率与组距之比得纵坐标，画出对应频率分布直方图．（2）先根据2人分布分类，再对应利用组合求概率，最后根据概率加法求概率，（3）先确定随机变量，再根据组合求对应概率，列表可得分布列，最后根据数学期望公式求期望. 试题解析：（1（（2（由表知年龄在[)15,25内的有5人，不赞成的有1人，年龄在[)25,35 内的有10人，不赞成的有4人，恰有2人不赞成的概率为：()11122464442222510510C C C C C 4246666222C C C C 1025104522575P ξ==⋅+⋅=⋅+⋅==（（3（ ξ的所有可能取值为：0（1（2（3（()226422510C C 45150C C 22575P ξ==⋅==（()21112646442222510510C C C C C 415624102341C C C C 1045104522575P ξ⋅==⋅+⋅=⋅+⋅==（ ()124422510C C 461243C C 104522575P ξ==⋅=⋅==（ 所以ξ的分布列是：所以ξ的数学期望5E ξ=（ 6. 某商场举行的“三色球”购物摸奖活动规定：在一次摸奖中，摸奖者先从装有3个红球与4个白球的袋中任意摸出3个球，再从装有1个蓝球与2个白球的袋中任意摸出1个球，根据摸出4个球中红球与蓝球的个数，设一、二、三等奖如下：其余情况无奖且每次摸奖最多只能获得一个奖级．（1）求一次摸奖恰好摸到1个红球的概率；（2）求摸奖者在一次摸奖中获奖金额x的分布列与期望E（x）．【答案】（1）（2）X的分布列为EX==4元【解析】【详解】（1）设A i表示摸到i个红球，B i表示摸到i个蓝球，则与相互独立（i=0，1，2，3）∴P（A1）==（2）X的所有可能取值为0，10，50，200P（X=200）=P（A3B1）=P（A3）P（B1）=P（X=50）=P（A3）P（B0）==P（X=10）=P（A2）P（B1）==P（X=0）=1﹣=∴X的分布列为EX==4元7. 以下茎叶图记录了甲､乙两组个四名同学的植树棵树､乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以X表示.（1）如果8X=，求乙组同学植树棵树的平均数和方差；（2）如果9X=，分别从甲､乙两组中随机选取一名同学，求这两名同学的植树总棵树Y的分布列和数学期望.【答案】（1）平均数为354，方差为1116；（2）分布列答案见解析，数学期望：19.【解析】【分析】（1）利用平均数和方差公式求出即可；（2）根据题意可得Y 的可能取值为17，18，19，20，21，分别求出Y 取不同值的概率，即可得出分布列，求出期望.【详解】（1）当8X =时，由茎叶图可知，乙组同学的植树棵数是：8，8，9，10， ∴平均数为889103544x +++==，方差为2222213535353511[(8)(8)(9)(10)]4444416s =-+-+-+-=；（2）当9X =时，由茎叶图可知，甲组同学的植树棵树是：9，9，11，11， 乙组同学的植树棵数是：9，8，9，10，分别从甲､乙两组中随机选取一名同学，共有4416⨯=种可能的结果， 这两名同学植树总棵数Y 的可能取值为17，18，19，20，21，事件“17Y =”等价于“甲组选出的同学植树9棵，乙组选出的同学植树8棵”， ∴该事件有2种可能的结果，21(17)168P Y ===， 事件“18Y =”等价于“甲组选出的同学植树9棵，乙组选出的同学植树9棵”， ∴该事件有4种可能的结果，41(18)164P Y ===， 事件“19Y =”等价于“甲组选出的同学植树9棵，乙组选出的同学植树10棵， 或甲组选出的同学植树11棵，乙组选出的同学植树8棵”， ∴该事件有224+=种可能的结果，41(19)164P Y ===， 事件“20Y =”等价于“甲组选出的同学植树11棵，乙组选出的同学植树9棵”， ∴该事件有4种可能的结果，41(20)164P Y ===， 事件“21Y =”等价于“甲组选出的同学植树11棵，乙组选出的同学植树10棵”， ∴该事件有2种可能的结果，21(21)168P Y ===，∴随机变量Y 的分布列为：∴11()17181920211984448E Y =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.8. 语文成绩服从正态分布2(100,17.5)N ，数学成绩的频率分布直方图如图，如果成绩大于135的则认为特别优秀.（1）这500名学生中本次考试语文、数学特别优秀的大约各多少人？（2）如果语文和数学两科都特别优秀的共有6人，从（1）中的这些同学中随机抽取3人，设三人中两科都特别优秀的有X 人，求X 的分布列和数学期望.(附公式：若2~(,)X N μσ，则()0.68P X μσμσ-<≤+=，(22)0.96P X μσμσ-<≤+=).【答案】（1）语文有10人，数学有12人；（2）分布列见解析，98.【解析】【分析】（1）利用正态分布的对称性求出语文成绩特别优秀的概率，从而可估计出语文成绩特别优秀人数，由频率分布直方图可求出数学成绩特别优秀的频率，用频率来衡量概率，从而可求出数学成绩特别优秀的人数；（2）结合（1）可知数学语文单科优秀的有10人，则X 的所有可能取值为0、1、2、3，然后求出各自对应的概率即可列出分布列，求得数学期望【详解】（1）∵语文成绩服从正态分布2(10017.5)N ，，∴语文成绩特别优秀概率为11(135)(10.96)0.022P P X =≥=-⨯=， ∴数学成绩特别优秀的概率为230.0016200.0244P =⨯⨯=， ∴语文特别优秀的同学有5000.0210⨯=人，数学特别优秀的同学有5000.02412⨯=人； （2）语文数学两科都优秀的有6人，单科优秀的有10人，X 的所有可能取值为0、1、2、3，3103163(0)14C P X C ===，2110631627(1)56C C P X C ⋅===， 1210631615(2)56C C P X C ⋅===，363161(3)28C P X C ===， ∴X 的分布列为：19()0123145656288E X =⨯+⨯+⨯+⨯=. 9. 张明要参加某单位组织的招聘面试.面试要求应聘者有7次选题答题的机会(选一题答一题)，若答对4题即终止答题，直接进入下一轮，否则被淘汰.已知张明答对每一道题的概率都为12. （1）求张明进入下一轮的概率；（2）设张明在本次面试中答题的个数为ξ，试写出ξ的分布列，并求ξ的数学期望. 【答案】（1）12；（2）分布列答案见解析，数学期望：9316. 【解析】 【分析】（1）分情况讨论张明进入下一轮的概率；（2）由条件可知4,5,6,7ξ=，理解随机变量对应的事件，写出概率分布列，计算数学期望.。
高考数学专题《概率与统计》解读含答案解析
重难点04 概率与统计新高考概率与统计主要考查统计分析、变量的相关关系，独立性检验、用样本估计总体及其特征的思想，以排列组合为工具，考查对五个概率事件的判断识别及其概率的计算。
试题考查特点是以实际应用问题为载体，小题部分主要是考查排列组合与古典概型，解答题部分主要考查独立性检验、超几何分布、离散型分布以及正态分布对应的数学期望以及方差。
概率的应用立意高，情境新，赋予时代气息，贴近学生的实际生活。
取代了传统意义上的应用题，成为高考中的亮点。
解答题中概率与统计的交汇是近几年考查的热点趋势，应该引起关注。
求解概率问题首先确定是何值概型再用相应公式进行计算，特别对于解互斥事件（独立事件）的概率时，要注意两点：（1）仔细审题，明确题中的几个事件是否为互斥事件（独立事件），要结合题意分析清楚这些事件互斥（独立）的原因；（2）要注意所求的事件是包含这些互斥事件（独立事件）中的哪几个事件的和（积），如果不符合以上两点，就不能用互斥事件的和的概率.离散型随机变量的均值和方差是概率知识的进一步延伸，是当前高考的热点内容.解决均值和方差问题，都离不开随机变量的分布列，另外在求解分布列时还要注意分布列性质的应用.捆绑法:题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组，当作一个大元素参与排列。
相离问题插空排:元素相离（即不相邻）问题，可先把无位置要求的几个元素全排列，再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端。
定序问题缩倍法:在排列问题中限制某几个元素必须保持一定的顺序，可用缩小倍数的方法。
标号排位问题分步法:把元素排到指定位置上，可先把某个元素按规定排入，第二步再排另一个元素，如此继续下去，依次即可完成。
有序分配问题逐分法:有序分配问题指把元素分成若干组，可用逐步下量分组法。
对于二项式定理的应用，只要会求对应的常数项以及对应的n项即可，但是应注意是二项式系数还是系数。
新高考统计主要考查统计分析、变量的相关关系，独立性检验、用样本估计总体及其特征的思想，以排列组合为工具，考查对五个概率事件的判断识别及其概率的计算。
高中必考难点题型(带答案)--古典概型(解析版)
⼀般已测：2387次正确率：77.4 %1.某年级有个班，现要从班到班中选个班的学⽣参加⼀项活动，有⼈提议：掷两个骰⼦，得到的点数之和是⼏就选⼏班，这种选法( )A.公平，每个班被选到的概率都为B.公平，每个班被选到的概率都为C.不公平，班被选到的概率最⼤D.不公平，班被选到的概率最⼤考点：概率性质的应⽤、古典概型及其概率计算公式知识点：基本事件答案：D 解析：，,，,，，,故选：D.中等已测：3845次正确率：51.5 %2.若以连续掷两次骰⼦分别得到的点数，作为点的坐标，则点落在圆内（含边界）的概率为( )．A.B.C.D.考点：列举法计算基本事件数及事件发⽣的概率知识点：古典概型及其概率公式答案：A解析：连续掷两次骰⼦分别得到的点数，作为点的坐标所得点有：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共个其中落在圆内（含边界）的有：，，，，，共个，故点落在圆内（含边界）的概率，故选．中等已测：2146次正确率：57.0 %122121121 6167P (1)=0P (2)=P (12)= 361P (3)=P (11)= 181P (4)=P (10)= 121P (5)=P (9)=91P (6)=P (8)= 365P (7)= 61m n P P x +y =1022 614192 367m n P P (1,1)(1,2)(1,3)(1,4)(1,5)(1,6)(2,1)(2,2)(2,3)(2,4)(2,5)(2,6)(3,1)(3,2)(3,3)(3,4)(3,5)(3,6)(4,1)(4,2)(4,3)(4,4)(4,5)(4,6)(5,1)(5,2)(5,3)(5,4)(5,5)(5,6)(6,1)(6,2)(6,3)(6,4)(6,5)(6,6)36x +y =1022(1,1)(1,2)(1,3)(2,1)(2,2)(3,1)6P x +y =1022P ==36661A3.从集合和集合中各取⼀个数,那么这两个数之和除以余的概率是( )A.B.C.D.考点：古典概型及其概率计算公式、列举法计算基本事件数及事件发⽣的概率知识点：等可能基本事件、古典概型及其概率公式答案：D 解析：从集合和集合中各取⼀个数,共有种⽅法.其中两数之和除余的有,,,,,共种,故其概率为.故本题正确答案是.⼀般已测：2073次正确率：68.6 %4.随机抛掷⼀枚质地均匀的骰⼦，记正⾯向上的点数为，则函数有两个不同零点的概率为（ ）．A.B.C.D.考点：⼀元⼆次⽅程与⼆次函数关系确定根的分布、古典概型及其概率计算公式知识点：⼆次函数根的分布、等可能基本事件答案：D解析：抛掷⼀枚质地均匀的骰⼦包含个基本事件，由函数有两个不同零点，得，解得或．⼜为正整数，故的取值有，，，，，共5种结果，所以函数有两个不同零点的概率为，故选．简单已测：4770次正确率：95.0 %5.甲、⼄、丙三⼈踢毽⼦,互相传递,每⼈每次只能踢⼀下,由甲开始踢,则第次接触毽⼦时恰好是甲的概率为.考点：概率性质的应⽤、列举法计算基本事件数及事件发⽣的概率知识点：概率的基本性质、古典概型及其概率公式答案：解析：利⽤树形图法可知,总事件数为,其中第次接触毽⼦时恰好为甲的情况有种,则其概率.A ={1,3,5,7,9}B ={2,4,6,8}31 31 51 52 103A={1,3,5,7,9}B ={2,4,6,8}2031(1,6)(3,4)(5,2)(5,8)(7,6)(9,4)6P = = 206103D a f (x )=x +2ax +22 312132 656f (x )=x +2ax +22Δ=4a −8>02a <−2a > 2a a 23456f (x )=x +2ax +22 65D 5 831656P= = 16683⼀般已测：931次正确率：92.5 %6.先后两次抛掷⼀枚骰⼦,将得到的点数分别记为,.若将,,分别作为三条线段的⻓,则这三条线段能围成等腰三⻆形的概率是.考点：古典概型及其概率计算公式、列举法计算基本事件数及事件发⽣的概率知识点：古典概型及其概率公式答案：解析：所有的基本事件数为,能与构成等腰三⻆形的基本事件为,共个,故所求概率.简单已测：1342次正确率：86.1 %7.已知某兴趣⼩组有男⽣名,⼥⽣名,现从中任选名去参加问卷调查,则恰有名男⽣与名⼥⽣的概率为考点：⽤对⽴事件的概率公式求概率、古典概型及其概率计算公式知识点：古典概型及其概率公式、对⽴事件的概率公式答案：解析：解法⼀：设名男⽣分别为名⼥⽣为,则任选名共有三种情况,设“恰有名男⽣与名⼥⽣”为事件,则事件共包含两种情况,故所求概率为.解法⼆ ：设名男⽣分别为名⼥⽣为,则任名共有三种情况,设“名都是男⽣”为事件,则事件包含的情况为,故所求概率为简单已测：4486次正确率：95.7 %8.在⼀个袋⼦中装有分别标注数字的四个⼩球,这些⼩球除标注的数字外完全相同．现从中随机取出个⼩球,则取出的⼩球标注的数字之和为的概率是．考点：古典概型及其概率计算公式知识点：古典概型及其概率公式答案：解析：任取两球,共有种等可能的结果：,⽽数字之和为的共有种：,a b a b 5 187365(1,5),(2,5),(3,3),(3,5),(4,4),(4,5),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),(6,5),(6,6)14P= = 361418721211 322A ,A ,112B 2A ,A (12)A ,B ,A ,B (1)(2)11M M A ,B ,A ,B (1)(2)PM = ()322A ,A ,112B 2A ,A ,A ,B ,A ,B (12)(1)(2)2N N A ,A (12)P ()=1−P (N )=1− =N 31321,2,3,425 316(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4)52(1,4),(2,3)(1)(2)(1)(2)(3)求的值，并估计该城市居⺠的平均承受能⼒是多少元；若⽤分层抽样的⽅法，从承受能⼒在与的居⺠中抽取⼈，在抽取的⼈中随机取⼈，求⼈的承受能⼒不同的概率.考点：频率分布直⽅图的应⽤、古典概型与统计的基本知识结合知识点：频率分布直⽅图的特征、古典概型及其概率公式(1)答案：，城市居⺠的平均承受能⼒⼤约为元；解析：由，所以，平均承受能⼒即城市居⺠的平均承受能⼒⼤约为元；(2)答案：解析：⽤分层抽样的⽅法在这两组中抽5⼈,即组中抽⼈与抽⼈,设组中两⼈为组中三⼈为,从这⼈中随机取⼈,有共种,符合两⼈承受能⼒不同的有共种,所以所求概率为.中等已测：2153次正确率：65.7 %11.⼀只⼝袋内装有只⽩球、只红球,这些球除颜⾊外都相同．从袋中任意摸出只球,求摸出的球是⽩球的概率；从袋中任意摸出只球,求摸出的两只球都是红球的概率；从袋中先摸出只球,放回后再摸出只球,求摸出的两只球颜⾊不同的概率．考点：古典概型及其概率计算公式、列举法计算基本事件数及事件发⽣的概率知识点：等可能基本事件、古典概型及其概率公式(1)答案：解析：从袋中任意摸出只球,共有种结果,其中是⽩球的有种,故摸出的球是⽩球的概率；(2)答案：解析：记只⽩球为号,只红球为号,从袋中任意摸出只球,所有的可能结果分为,,共有种,其中全是红球的有种,故摸出的两只球都是红球的概率；(3)答案：解析：从袋中先摸出只球,共有种结果,放回后再摸出只球,也有种结果,于是共有种结果,摸出的两只球颜⾊不同的结果有,共有种,故摸出的两只球颜⾊不同的概率．a [3.5,4.5)[5.5,6.5)5522a=0.2150700.1+0.1+0.14+0.45+a=1a =0.21=3×0.1+4×0.14+5×0.45+6×0.21+7×0.1=5.07,x 5070P= 53[3.5,4.5)2[5.5,6.5)3[3.5,4.5)A ,A ,[5.5,6.5)12B ,B ,B 12352A A ,A B ,A B ,A B ,A B ,A B ,A B ,B B ,B B ,B B 1211121321222312132310A B ,A B ,A B ,A B ,A B ,A B 1112132122236P= = 10653231211P= 52152P = 52P= 10321,233,4,52(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3)(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5)103P= 103P= 251215155×5=25(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4)(2,5),(3,1),(3,2),(4,1),(4,2),(5,1),(5,2)12P= 2512。
高中数学必修三古典概型的几种解题技巧
高中数学必修三古典概型的几种解题技巧古典概型是概率论中最基本的一种概型，适用于试验的结果只有有限个、且每个结果发生的概率相等的情形。
在高中数学必修三中，我们学习了古典概型的基本概念和计算方法。
本文将介绍几种在解古典概型问题时常用的技巧。
一、加法原理在一些试验中，我们需要统计的实验结果并不是唯一的，而是可以通过不同的方法得到。
此时，可以使用加法原理求解。
加法原理的基本思想是：如果两个事件A、B互不干扰，即A事件的发生与B事件的发生无关，那么A、B两事件至少发生一个的概率等于两事件的概率之和，即P(A或B)=P(A)+P(B)。
例如，有6只红球和4只蓝球，从中任取一球，求取到的是红球或蓝球的概率。
此题实验结果可以是取到红球或蓝球，因此可以使用加法原理求解：P(红球或蓝球)=P(红球)+P(蓝球)=6/10+4/10=1。
需要注意的是，加法原理只适用于互不干扰的事件，如果A事件的发生与B事件的发生相关，则需要使用另外一种原理进行计算。
在一些试验中，我们需要统计若干个事件共同出现的概率。
此时，可以使用乘法原理进行计算。
乘法原理的基本思想是：如果试验中包含m个步骤，每个步骤有n1,n2,...,nm种不同的可能结果，且每个步骤的结果与其他步骤的结果无关，那么所有步骤的结果组合起来的总方案数为n1×n2×...×nm。
例如，从4个人中任选3位代表参加会议，求选出的代表组合中，甲、乙两人都参加的概率。
此题实验结果包括三个步骤：第一步，任选一名代表；第二步，从剩下的人中任选一名代表；第三步，从剩下的人中任选一名代表。
每个步骤的结果都对下一个步骤的结果没有影响，因此可以使用乘法原理求解：P(甲、乙都参加)=选甲的概率×选乙的概率×选第三人的概率=1/4×1/3×2/2=1/6。
三、排列组合在一些试验中，我们需要计算的实验结果具有一定的排列顺序或组合顺序，此时需要使用排列组合知识。
古典概型知识点总结
古典概型知识点总结在概率论中，古典概型是一个基础且重要的概念。
它为我们理解和解决许多概率问题提供了简单而直观的方法。
接下来，让我们一起深入探讨古典概型的相关知识点。
一、古典概型的定义古典概型是指试验中所有可能出现的基本事件是有限的，并且每个基本事件出现的可能性相等的概率模型。
例如，掷一枚均匀的硬币，出现正面和反面就是两个基本事件，且它们出现的可能性相等，这就是一个古典概型的例子。
二、古典概型的概率计算公式如果一个古典概型中，一共有 n 个基本事件，事件 A 包含的基本事件数为 m，那么事件 A 发生的概率 P(A) ＝ m ／ n 。
这个公式是古典概型计算概率的核心，通过确定基本事件总数和事件 A 包含的基本事件数，就可以计算出事件 A 的概率。
三、古典概型的特点1、有限性：试验中所有可能出现的基本事件是有限的。
2、等可能性：每个基本事件出现的可能性相等。
这两个特点是判断一个概率模型是否为古典概型的关键。
四、计算古典概型概率的步骤1、确定试验的基本事件总数 n 。
2、确定所求事件 A 包含的基本事件数 m 。
3、代入公式 P(A) ＝ m ／ n 计算概率。
例如，一个盒子里有 5 个红球和 3 个白球，从中随机取出一个球，求取出红球的概率。
基本事件总数 n ＝ 8 （5 个红球＋ 3 个白球），事件“取出红球”包含的基本事件数 m ＝ 5 ，所以取出红球的概率 P ＝5 ／ 8 。
五、古典概型的常见题型1、摸球问题比如，一个袋子里有若干个不同颜色的球，从中摸出特定颜色球的概率。
2、掷骰子问题计算掷出特定点数或特定点数组合的概率。
3、抽奖问题在抽奖活动中，计算中奖的概率。
4、排列组合问题与古典概型的结合通过排列组合的方法确定基本事件总数和事件包含的基本事件数。
六、古典概型的应用1、决策分析在面临不确定性的决策时，可以通过计算不同结果的概率来辅助决策。
2、风险评估评估某些事件发生的可能性和风险程度。
2023年高考备考古典概型与统计(含答案)
高考材料高考材料专题18 古典概型与统计一、解答题1．〔2023年全国新高考II 卷数学真题〕在某地区进行流行病学调查，随机调查了100位某种疾病患者的年龄，得到如下的样本数据的频率分布直方图：(1)估量该地区这种疾病患者的平均年龄〔同一组中的数据用该组区间的中点值为代表〕； (2)估量该地区一位这种疾病患者的年龄位于区间的概率；[20,70)(3)已知该地区这种疾病的患病率为，该地区年龄位于区间的人口占该地区总人口的.从该地区中任选0.1%[40,50)16%一人，假设此人的年龄位于区间，求此人患这种疾病的概率．〔以样本数据中患者的年龄位于各区间的频率作[40,50)为患者的年龄位于该区间的概率，准确到0.0001〕. （答案）(1)岁； 47.9(2)； 0.89(3)． 0.0014（解析） （分析）〔1〕依据平均值等于各矩形的面积乘以对应区间的中点值的和即可求出；〔2〕设（一人患这种疾病的年龄在区间），依据对立事件的概率公式即可解出； A =[20,70)()1()P A P A =-〔3〕依据条件概率公式即可求出． (1)平均年龄(50.001150.002250.012350.017450.023x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯〔岁〕． 550.020650.017750.006850.002)1047.9+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=(2)设（一人患这种疾病的年龄在区间），所以A =[20,70)． ()1(1(0.0010.0020.0060.002)1010.110.89P A P A =-=-+++⨯=-=(3)设“任选一人年龄位于区间40,50)〞，“从该地区中任选一人患这种疾病〞， B =C =则由已知得：,()()16%0.16,0.1%0.001,(|)0.023100.23P B P C P B C =====⨯=则由条件概率公式可得从该地区中任选一人，假设此人的年龄位于区间，此人患这种疾病的概率为[40,50)． ()(|)()()0.0010.23(|)0.00143750.0014()0.16P BC P C P B C C B P B B P P ⨯====≈2．〔内蒙古呼伦贝尔市海拉尔第二中学2023届高三下学期第四次模拟考试数学〔理〕真题〕某职业中专开设的一门学科的考试分为理论考试和实践操作考试两局部，当理论考试合格才能参加实践操作考试，只有理论考试与实践操作考试均合格，才能获得技术资格证书，如果一次考试不合格有1次补考时机.学校为了掌握该校学生对该学科学习情况，进行了一次调查，随机选取了100位同学的一次考试成绩，将理论考试与实践操作考试成绩折算成一科得分〔百分制〕，制成如下表格： 分段 40，50) 50，60) 60，70) 70，80) 80，90) 90，100] 人数510a30a +510(1)①求表中a 的值，并估算该门学科这次考试的平均分〔同一组数据用该组区间的中点值代表〕；②在40，50)， 50，60)， 60，70)这三个分数段中，按频率分布情况，抽取7个学生进行教学调研，学校的教务主任要在这7名学生中随机选2人进行教学调查，求这2人均来自60，70)的概率；(2)该校学生小明在历次该学科模拟考试中，每次理论合格的概率均为，每次考实践操作合格的概率均为(01)p p <<，这个学期小明要参加这门学科的结业考试，小明全力以赴，且每次考试互不影响.如果小明考试的次数的期望不低12于2.5次，求的取值范围.p （答案）(1)①a =20，平均分74；②27(2) 1,13⎡⎫⎪⎢⎣⎭（解析） （分析）〔1〕①利用样本总量为100求出，从而估量出平均分，②利用分层抽样得到40，50)， 50，60)， 60，70)分20a =别抽取1人，2人，4人，利用列举法求出古典概型的概率；〔2〕求出小明考试的考试次数的可能取值及相应的概率，得到考试次数的期望值，列出不等式，求出的取值范围.p高考材料高考材料(1)①由题意得：，解得：， 51030510100a a ++++++=20a =， ()14555510652075308525951074100⨯⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=②40，50)， 50，60)， 60，70)频率之比为1:2:4，抽取7个学生进行教学调研， 故40，50)， 50，60)， 60，70)分别抽取1人，2人，4人，设抽取的40，50)的学生为， 50，60)的学生为， 60，70)的学生为， A ,B C a b c d ,,,这7名学生中随机选2人进行教学调研，则一共的选法有， ()()()()()()()()()()(),,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,A B A C A a A b A c A d B C B a B b B c B d ，()()()()()()()()()(),,,,,,,,,,,,,,,,,,,C a C b C c C d a b a c a d b c b d c d 共有21种情况，其中这2人均来自60，70)的情况有，共6种情况， ()()()()()(),,,,,,,,,,,a b a c a d b c b d c d 所以这2人均来自60，70)的概率为. 62217=(2)小明考试的次数为2次的概率为， ()22131122p p p p +-=-+考试次数为3次的概率为，()21111222p p p p p -⨯+=-考试次数为4次的概率为， ()21111222p p p p -⨯=-考试次数的期望值为，22223111321342222222p p p p p p p p ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-++-+-=-++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以，解得：，2352222p p -++≥113p ≤≤因为，所以01p <<11.3p ≤<即的取值范围是.p 1,13⎡⎫⎪⎢⎣⎭3．〔黑龙江省哈尔滨市第九中学校2023届高三第三次模拟考试数学〔文科〕真题〕某经销商采购了一批水果，依据某些评价指标进行打分，现从中随机抽取20筐〔每筐1kg 〕，得分数据如下：17，23，29，31，34，40，46，50，51，51，58，62，62，68，71，78，79，80，85，95．依据以往的大数据认定：得分在区间，，(]0,25(]25,50，内的分别对应四级、三级、二级、一级．(]50,75(]75,100(1)试求这20筐水果得分的平均数．(2)用样本估量总体，经销商参考以下两种销售方案进行销售； 方案1：将得分的平均数换算为等级，按换算后的等级X ； 方案2：分等级X ．不同等级水果的售价如下表所示：等级一级 二级 三级 四级 售价〔万元/吨〕21.81.41.2请从经销商的角度，依据售价分析采纳哪种销售方案较好，并说明理由． （答案）(1)55.5(2)采纳方案1较好；理由见解析 （解析） （分析）〔1〕利用平均数公式进行求解；〔2〕分别计算出方案1与方案2的平均数，比拟后得到答案. (1)这20筐水果得分的平均数为(2)方案1：由于得分的平均172329313440465051515862626871787980859555.520+++++++++++++++++++=数，(]55.550,75∈所以可以估量这批水果的销售单价为1.8万元/吨．方案2：设这批水果售价的平均值为万元/吨，由已知数据得， x 得分在内的有17，23，共2个，所以估量四级水果所占比例为， (]0,25110得分在内的有29，31，34，40，46，50，共6个，所以估量三级水果所占比例为， (]25,50310得分在内的有51，51，58，62，62，68，71，共7个，所以估量二级水果所占比例为， (]50,75720得分在内的有78，79，80，85，95，共5个，所以估量一级水果所占比例为， (]75,10014则〔万元/吨〕．17312 1.8 1.4 1.2 1.674201010x =⨯+⨯+⨯+⨯=所以从经销商的角度考虑，采纳方案1的售价较高，所以采纳方案1较好．4．〔吉林省吉林市一般中学2023届高三下学期第四次调研测试文科数学真题〕为了切实维护居民合法权益，提高居民识骗防骗能力，守好居民的“钱袋子〞，某社区开展“全民反诈在行动——反诈骗知识竞赛〞活动，现从参加该活动的居民中随机抽取了100名，统计出他们竞赛成绩分布如下： 成绩X人数 [)40,50 2[)50,60 a[)60,7022[)70,80 b高考材料高考材料[)80,9028[]90,100 a(1)求a ，b 的值，并补全频率分布直方图；(2)估量该社区居民竞赛成绩的平均数和方差〔同一组中的数据用该组区间的中点值作代表〕；x 2s (3)以频率估量概率，假设，社区获得“反诈先进社区〞称号，假设，社区()(]0.8,0.9P X x s ≥-∈()(]0.9,1P X x s ≥-∈获得“反诈先锋社区〞称号，试推断该社区可获得哪种称号〔s 为竞赛成绩标准差〕？ （答案）(1)；，图见解析 4a =40b =(2)75，100(3)该社区可获得“反诈先进社区〞称号 （解析） （分析）〔1〕依据频率分布直方图与频率分布表求出、的值，从而补全频率分布直方图； a b 〔2〕依据频率分布直方图中平均数与方差公式计算可得；〔3〕依据频率分布直方图求出，即可推断； ()()65P X x s P X ≥-=≥(1)解：由题可知：，， 0.004101004a =⨯⨯=()10024224028440b =-+++++=所以100名居民竞赛成绩在组内频率/组距为， [)70,8040100.040100÷=补全频率分布直方图如下：(2)解：估量该社区居民竞赛成绩的平均数 ， 24224028445556575859575100100100100100100x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=估量该社区居民竞赛成绩的方差 ()()()22222422457555756575100100100s =-⨯+-⨯+-⨯ ()()()22240284757585759575100100100100+-⨯+-⨯+-⨯=(3)解：由〔1〕可得，10s ==所以 ()()()()6516510.002100.004100.02250.83P X x s P X P X ≥-=≥=-<=-⨯+⨯+⨯=∵所以该社区可获得“反诈先进社区〞称号．(]0.830.8,0.9∈5．〔四川省泸州市泸县第二中学教育集团2023届高考仿真考试〔四〕数学〔文〕真题〕为了更好地刺激经济复苏，增加就业岗位，多地政府出台支持“地摊经济〞的举措．某市城管委对所在城市约6000个流动商贩进行调查统计，发觉所售商品多为小吃、衣帽、果蔬、玩具、饰品等，各类商贩所占比例如图．(1)该市城管委为了更好地效劳百姓，打算从流动商贩经营点中随机抽取100个进行政策问询．如果按照分层抽样的方法随机抽取，请问应抽取小吃类、果蔬类商贩各多少家？(2)为了更好地了解商户的收入情况，工作人员还对某果蔬经营点最近40天的日收入进行了统计〔单位：元〕，所得频率分布直方图如下．高考材料高考材料〔ⅰ〕请依据频率分布直方图估量该果蔬经营点的日平均收入〔同一组中的数据用该组区间的中点值为代表〕； 〔ⅱ〕假设从该果蔬经营点的日收入超过200元的天数中随机抽取两天，求这两天的日收入至多有一天超过250元的概率．（答案）(1)小吃类商贩家，果蔬类商贩家 4015(2)〔ⅰ〕元〔ⅱ〕 152.51415（解析） （分析）〔1〕先通过扇形统计图计算出小吃类所占的比例，然后依据百分比计算出小吃类和果蔬类商贩各多少家； 〔2〕〔i 〕依据频率分布直方图，利用每组数据区间的中间值乘以该组的频率求和得出平均数；〔ii 〕依据频率分布直方图，计算出日收入超过元的天数及日收入在，的天数，然后利用古典200200250-250300-概型的计算方法计算概率. (1)由题意知，小吃类所占比例为， 125%15%10%5%5%40%-----=按照分层抽样的方法随机抽取，应抽取小吃类商贩〔家〕， 10040%40⨯=果蔬类商贩〔家〕． 10015%15⨯=(2)〔ⅰ〕该果蔬经营点的日平均收入为元．()750.0021250.0091750.0062250.0022750.00150152.5⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=〔ⅱ〕该果蔬经营点的日收入超过200元的天数为：，天，其中超过250元的有()0.0020.001500.15+⨯=0.15406⨯=2天，记日收入超过250元的2天为，，其余4天为，，，随机抽取两天的全部可能情况为：，1a 2a 1b 2b 3b 4b ()12,a a ，，，，，，，，，，，，()11,a b ()12,a b ()13,a b ()14,a b ()21,a b ()22,a b ()23,a b ()24,a b ()12,b b ()13,b b ()14,b b ()23,b b ，共15种，()24,b b ()34,b b 其中至多有一天超过250元的对立事件为：共1种． ()12,a a 所以这两天的日收入至少有一天超过250元的概率为． 11411515-=6．〔河南省安阳市2023届高三下学期高考模拟真题文科数学真题〕某省会城市为了积极倡导市民优先乘坐公共交通工具绿色出行，切实改善城市空气质量，缓解城市交通压力，公共交通系统推出“2元换乘畅享公交〞“定制公交〞“限行日免费乘公交〞“绿色出行日免费乘公交〞等便民效劳措施．为了更好地了解乘坐公共交通的乘客的年龄分布，交管部门对某线路公交车统计整理了某一天1200名乘客的年龄数据，得到的频率分布直方图如以下图所示：(1)求m 的值和这1200名乘客年龄的中位数；(2)现在从年龄分布在人中用分层抽样的方法抽取5人，再从这5人中抽取2人进行问卷调查，求这2人中至[20,40)少有一人年龄在的概率． [20,30)（答案）(1)，中位数为； 0.02m =1003(2)710（解析） （分析）〔1〕依据频率分布直方图中全部小矩形的面积之和为得到方程，即可求出，再依据中位数计算公式计算可得； 1m 〔2〕依据分层抽样求出、的人数，分别记作、、、、，用列举法列出全部可能结果，再依据[20,30)[30,40)A B a b c 古典概型的概率公式计算可得； (1)解：依题意可得，解得， ()0.0050.0150.030.0150.010.005101m ++++++⨯=0.02m =因为，所以中位数为于， ()0.0050.0150.02100.40.5++⨯=<[)30,40设中位数为，则，解得，故这1200名乘客年龄的中位数为x ()()0.0050.0150.0210300.030.5x ++⨯+-⨯=1003x =1003； (2)解：从年龄分布在人中用分层抽样的方法抽取5人，则中抽取人，记作、，[20,40)[20,30)0.02520.020.03⨯=+A B 中抽取人，记作、、，[30,40)0.03530.020.03⨯=+a b c高考材料高考材料则从这5人中抽取2人进行问卷调查有，，，，，，，，，(),A B (),A a (),A b (),A c (),B a (),B b (),B c (),a b (),a c 共个根本领件；(),b c 10满足这2人中至少有一人年龄在的有，，，，，，共个根本领[20,30)(),A B (),A a (),A b (),A c (),B a (),B b (),B c 7件，所以满足这2人中至少有一人年龄在的概率； [20,30)710P =7．〔北京市一零一中学2023届高三下学期三模数学真题〕作为北京副中心，通州区的建设不仅成为京津冀协同开展战略的关键节点，也肩负着医治北京市“大城市病〞的历史重任，因此，通州区的开展备受瞩目．2023年12月25日公布的（北京市通州区统计年鉴〔2023〕）显示：2023年通州区全区完成全社会固定资产投资939.9亿元，比上年增长，下面给出的是通州区2011~2023年全社会固定资产投资及增长率，如图一．又依据通州区统计局2023年17.4%1月25日公布：2023年通州区全区完成全社会固定资产投资1054.5亿元，比上年增长．12.2%(1)在图二中画出2023年通州区全区完成全社会固定资产投资〔柱状图〕，标出增长率并补全折线图；(2)通过计算2011~2023这7年的平均增长率约为，现从2011~2023这7年中随机选取2个年份，记X 为“选取17.2%的2个年份中，增长率高于的年份的个数〞，求X 的分布列及数学期望；17.2%(3)设2011~2023这7年全社会固定资产投资总额的中位数为，平均数为，比拟和与的大小〔只需写出结0x x 0x x 论〕．（答案）(1)见解析 (2)见解析 (3) 0x x <（解析） （分析）〔1〕依据“2023年通州区全区完成全社会固定资产投资1054.5亿元，比上年增长〞补全折线图 12.2%〔2〕依据题意写出的取值并计算对应的概率，写出分布列即可 X 〔3〕依据题意分别计算，直接写出答案即可 0,x x (1)(2)依题意，的可能取值为X 0,1,2 ； ；2427C 2(0)C 7P X ===113427C C 4(1)C 7P X ===2327C 1(2)C 7P X ===的分布列为：X ∴X 0 12P27 4717的数学期望X ∴2416()0127777E X =⨯+⨯+⨯=(3)0x x <8．〔广东省潮州市瓷都中学2023届高三下学期第三次模拟数学真题〕2023年，我国已经完成全面脱贫的历史性战略任务.但稳固脱贫成果还有很多工作要继续，利用互联网电商进行产品的销售就是一种有效的方法.某村盛产脐橙，为了更好销售，现从脐橙树上随机摘下100个脐橙进行测重，其质量分布在区间〔单位：克〕，统计质量的数[]200,500据作出其频率分布直方图如下图.(1)按分层抽样的方法从质量落在，的脐橙中随机抽取5个，再从这5个脐橙中随机抽2个，求这[)250,300[)300,3502个脐橙质量至少有一个小于300克的概率；(2)以各组数据的中间数值代表这组数据的平均水平，以频率代表概率，已知该村的脐橙种植地上大约还有100000个脐橙待X ，某电商提出两种收购方案：A .全部脐橙均以7元/千克收购；B .低于350克的脐橙以2元/个收购，其余的以高考材料高考材料3元/个收购.请你通过计算为该村选择收益较好的方案.〔参考数据：〕 2250.052750.163250.243750.34250.24750.05354.5⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（答案）(1)； 710(2)选择方案B ，理由见解析. （解析） （分析）〔1〕求出质量落在，的脐橙频率比，确定分层抽样落在有2个，质量落在有[)250,300[)300,350[)250,300[)300,3503个，利用超几何分布的概率公式求出2个脐橙质量至少有一个小于300克的概率；〔2〕计算出这100个脐橙的平均质量，从而计算出A 方案的收益，再依据频率求出低于350克的脐橙个数和不低于350克的脐橙个数，求出方案B 的收益，比拟得到结论.(1)质量落在，的脐橙的频率分别为，，其中， [)250,300[)300,3500.0032500.16⨯=0.0048500.24⨯=0.16:0.242:3=所以用分层抽样的方法抽取的5个脐橙中，质量落在有2个，质量落在有3个，则从这5个脐橙[)250,300[)300,350中随机抽2个，求这2个脐橙质量至少有一个小于300克的概率为 11223225C C C 7C 10+=(2)设这100个脐橙的平均质量为，则x A 方案：设收益为，则()2250.0012750.00323250.00483750.0064250.0044750.00150354.5x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=1w 〔元〕；51100000354.50.007 2.481510w =⨯⨯=⨯B 方案：设收益为，以频率代表概率，2w 则低于350克的脐橙个数为， ()0.0010.00320.00485010000045000++⨯⨯=不低于350克的脐橙个数为， ()0.0060.0040.0015010000055000++⨯⨯=所以 2450002550003255000w =⨯+⨯=因为，所以该村选择收益较好的方案B .12w w <9．〔河南省开封市局部学校2023届高考考前押题文科数学真题〕2023年2月20日，北京冬奥会在国家体育场“鸟巢〞落下帷幕，中国代表团创历史最正确战绩.北京冬奥会的成功举办推进了我国冰雪运动的普及，让越来越多的青年少爱上了冰雪运动.某学校组织了一次冰雪运动趣味知识竞赛，100名喜欢冰雪运动的学生参赛，现将成绩分成，，，，〔成绩均在区间上〕共五组并制成如下频率分布直方图.学校[)50,60[)60,70[)70,80[)80,90[]90,100[]50,100决定对成绩前15名的参赛学生进行奖励，奖品为冬奥桔祥物冰墩墩玩偶.(1)试求参赛学生成绩的众数及受奖励的分数线的估量值；(2)从受奖励的15名学生中按上述成绩分组并利用分层抽样抽取5人.现从这5人中抽取2人，试求这2人成绩恰有一个不低于90分的概率.（答案）(1)众数为75，受奖励分数的估量值为85(2) 35（解析） （分析）〔1〕依据频率分布直方图众数求法，可得众数；先求得成绩在的人数，分析可得受奖励分数线在[]90,100[)80,90内，且设为x ，依据题意，列出方程，即可得答案.〔2〕由〔1〕可得成绩在的人数为9，成绩在的人数为6，利用分层抽样，分别求得两层人数，且记[)85,90[]90,100作，，， ，，分别列出总可能情况和满足条件情况，依据古典概型概率公式，即可得答案. 1A 2A 3A 1B 2B (1)由频率分布直方图估量众数为75，竞赛成绩在的人数为，[]90,1000.006101006⨯⨯=竞赛成绩在的人数为，故受奖励分数线在内. [)80,900.0181010018⨯⨯=[)80,90设受奖励分数为，则， x ()900.0180.006100.15x -⨯+⨯=解得，故受奖励分数的估量值为85. 85x =(2)由〔1〕知，受奖励的15人，成绩在的人数为9，成绩在的人数为6，[)85,90[]90,100利用分层抽样，可知成绩在的抽取3人，记作，，，成绩在的抽取2人，记作，， [)85,901A 2A 3A []90,1001B 2B 现从这5人中抽取2人，全部的可能情况有，，，，，，，()12,A A ()13,A A ()11,A B ()12,A B ()23,A A ()21,A B ()22,A B ，，共10种，()31,A B ()32,A B ()12,B B高考材料高考材料满足条件的情况有，，，，，共6种， ()11,A B ()12,A B ()21,A B ()22,A B ()31,A B ()32,A B 故所求的概率为. 63105P ==10．〔山东省日照市2023届高三下学期5月校际联合考试〔三模〕数学真题〕（黄帝内经）中十二时辰养生法认为：子时的睡眠对一天至关重要〔子时是指23点到次日凌晨1点〕．相关数据说明，入睡时间越晚，深度睡眠时间越少，睡眠指数也就越低．依据某次的抽样数据，对早睡群体和晚睡群体睡眠指数的统计如下表： 组别 睡眠指数早睡人群占比 晚睡人群占比 1[)0,510.1%9.2%2[)51,6611.1% 47.4%3 [)66,7634.6% 31.6%4 [)76,9048.6% 11.8%5[]90,100 5.6% 0.0%注：早睡人群为23：00前入睡的人群，晚睡人群为01：00后入睡的人群．(1)依据表中数据，估量早睡人群睡眠指数25%分位数与晚睡人群睡眠指数25%分位数分别在第几组(2)据统计，睡眠指数得分在区间内的人群中，早睡人群约占80%．从睡眠指数得分在区间内的人群中[)76,90[)76,90随机抽取3人，以X 表示这3人中属于早睡人群的人数，求X 的分布列与数学期望． ()E X （答案）(1)分别在第3组，第2组 (2)分布列见解析， ()125E X =（解析） （分析）(1)依据百分位数的定义，结合题意给的表格与数据直接得出结果；(2)利用二项分布求概率公式分别求出， ()()()()0123P X P X P X P X ====、、、进而列出分布列，结合数学期望的计算公式计算即可. (1)早睡人群睡眠指数25%分位数估量在第3组， 晚睡人群睡眠指数25%分位数估量在第2组． (2)X 的全部可能取值为0，1，2，3．， ()()0312013341141120C 1C 5512555125P X P X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫======⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，， ()()2132333414841642C 3C 5512555125P X P X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫====== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以随机变量X 的分布列为：X 12 34 P1125121254812564125所以随机变量X 的数学期望为. ()11248641201231251251251255E X =⨯+⨯+⨯+⨯=11．〔河南省许平汝联盟2023-2023学年高三下学期核心模拟卷〔中〕文科数学〔三〕真题〕2023年10月1日是成立72周年.某校举行了爱国知识竞赛，为了解本次竞赛成绩情况，随机抽取了100名学生的成绩〔总分值100分，最di 分不低于50分〕进行统计，得出频率分布直方图如下图：(1)求实数m 的值，并估量这100名学生的成绩的平均数〔同一组数据用该区间的中点值作代表〕；(2)假设用分层抽样的方法在，，这三组中抽取6人担任爱国知识宣传员，再从这6人中随机[)70,80[)80,90[]90,100选出2人负责整理爱国知识相关材料，求这2人中至少有1人来自组的概率. [)80,90（答案）(1)，平均数是84.2分；0.014m =(2). 35（解析） （分析）〔1〕利用直方图的性质及平均数的求法即得； 〔2〕利用分层抽样的概念及古典概型的概率公式即得. (1)高考材料高考材料由题意知，， ()0.0040.0120.0280.042101m ++++⨯=解得，0.014m =∴〔分〕. 0.04550.12650.14750.28850.429584.2x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=估量这100名学生的成绩的平均数是84.2分. (2)由题知组有人，组有人，组有人， [)70,801000.1414⨯=[)80,901000.2828⨯=[]90,1001000.4242⨯=利用分层抽样抽取6名学生，则在，，组中抽取的人数分别为：人，[)70,80[)80,90[]90,100614184⨯=628284⨯=人，人， 642384⨯=即在，，组中抽取的人数分别为1人、2人、3人，[)70,80[)80,90[]90,100记组的1位同学为A ，组的2位同学为、，组的3位同学为、、，[)70,80[)80,901B 2B []90,1001C 2C 3C 则从6位同学中抽2位同学有，，，，，，，，，()1,A B ()2,A B ()1,A C ()2,A C ()3,A C ()12,B B ()11,B C ()12,B C ()13,B C ，，，，，，共15种可能，()21,B C ()22,B C ()23,B C ()12,C C ()13,C C ()23,C C 其中组中至少有1人入选的有，，，，，，，，[)80,90()1,A B ()2,A B ()12,B B ()11,B C ()12,B C ()13,B C ()21,B C ()22,B C ，共9种，()23,B C 所以这2人中至少有1人来自组的概率为. [)80,9093155P ==12．〔贵州省一般高等学校招生2023届高三适应性测试数学〔文〕真题〕北京冬奥会期间，志愿者团队“FieldCast〞从全部参加冬奥会的运动健儿中分别抽取男女运发动各100人的年龄进行统计分析〔抽取的运发动年龄均在区间16，40]内〕，经统计得出女运发动的年龄频率分布直方图〔图1〕和男运发动的年龄扇形分布图〔图2〕.答复以下问题：(1)求图1中的a 值；(2)利用图2，估量参赛男运发动的平均年龄〔同一组中的数据用该组区间的中点值为代表〕；(3)用分层抽样方法在年龄区间为16，24〕周岁的女运发动中抽取5人，男运发动中抽取4人；记这9人中年龄区间在20，24〕周岁的运发动有m 人，再从这m 人中抽取2人，求这2人是异性的概率.（答案）(1) 0.0500(2)26.8周岁(3) 35（解析） （分析）〔1〕由各组的频率和为1，列方程可求出a 的值， 〔2〕直接利用平均数公式求解即可，〔3〕先由题意结合分层抽样的定义求出，然后利用列举法求解概率 6m =(1)依题意，， ()40.07500.07500.02500.01250.01251a +++++=解得 0.0500.a =(2)用每个年龄区间的中点值作为本区间的年龄值，由图2可知：年龄区间为16，20〕，20，24〕，24，28〕，28，32〕，32，36〕，36，40]的频率分别为：0.1，0.3，0.2，0.2，0.1，0.1所以参赛男运发动的平均年龄估值为： 180.1220.3260.2300.2340.1380.126.8⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=即男运发动的平均年龄估值为26.8周岁. (3)由图1可知；年龄区间为16，20〕周岁的女运发动有人，年龄区间为20，24〕周岁的女运发动有0.05410020⨯⨯=人，0.0750410030⨯⨯=由图2可知：年龄区间为16，20〕和20，24〕周岁的男运发动分别有10人和30人，故用分层抽样女运发动年龄在区间16，20〕和20，24〕应分别抽取2人和3人，男运发动年龄在区间16，20〕和20，24〕应分别抽取1人和3人.所以抽取的9人中年龄在20，24〕的有6人，故6m =记这6人中年龄在20，24〕周岁的3名女运发动分别为a ，b ，c ，3名男运发动分别为1，2，3，从6人中抽取2人的根本领件如下：〔a ，b 〕，〔〕，〔a ，1〕，〔a ，2〕，〔a ，3〕，〔b ，c 〕，〔b ，1〕，〔b ，2〕，〔b ，3〕，〔c ，1〕，〔c ，2〕，〔c ，3〕，〔1，c a ，2〕，〔1，3〕，〔2，3〕，共15种.记抽取2人是异性的事件为A ，事件A 包含根本领件有：〔a ，1〕，〔a ，2〕，〔a ，3〕，〔b ，1〕，〔b ，2〕，〔b ，3〕，〔c ，1〕，〔c ，2〕，〔c ，3〕共9种所以. ()93155P A ==13．〔江西省上饶市六校2023届高三第二次联考数学〔文〕真题〕在迎接年北京冬季奥运会期间，某校开展了2022“冰雪答题王〞冬奥知识竞赛活动.现从参加冬奥知识竞赛活动的学生中随机抽取了名学生，将他们的比赛成绩100〔总分值为分〕分为组：，得到如下图的频率分布直方图.1006[)[)[)[)[)[]40,50,50,60,60,70,70,80,80,90,90,100高考材料高考材料(1)求的值；a (2)从比赛成绩在和两个分数段内按照分层抽样随机抽取名学生，再从这名学生中随机抽取两名学[)50,60[)80,9077生，求这两名学生恰好来自不同分数段的概率. （答案）(1) 0.025a =(2) 1021（解析） （分析）〔1〕利用频率和为可直接求得结果；1〔2〕依据分层抽样原则可确定中应抽取人，中应抽取人；列举知名学生中随机抽取两名学生全[)50,602[)80,9057部的根本领件和两名学生恰好来自不同分数段的根本领件，由古典概型概率公式可得结果. (1)，. ()0.0050.0100.0200.0300.010101a +++++⨯= 0.025a ∴=(2)比赛成绩在和的频率之比为，[)50,60[)80,900.1:0.252:5=中应抽取人，记为；中应抽取人，记为；[)50,60∴2,A B [)80,905,,,,a b c d e 从名学生中随机抽取两名学生有：，，，，，，，，，，，，，，7AB Aa Ab Ac Ad Ae Ba Bb Bc Bd Be ab ac ad ae ，，，，，，，共个根本领件；bc bd be cd ce de 21其中两名学生恰好来自不同分数段的情况有，，，，，，，，，，共个根本领件；Aa Ab Ac Ad Ae Ba Bb Bc Bd Be 10两名学生恰好来自不同分数段的概率. ∴1021p =14．〔广西柳州市2023-2023学年高一下学期期末联考数学真题〕某政府部门为促进党风建设，拟对政府部门的效劳质量进行量化考核，每个群众办完业务后可以对效劳质量进行打分，最gao 分为100分.上个月该部门对100名群众进行了回访调查，将他们按所打分数分成以下几组：第—组，第二组，第三组，第四组，[)0,20[)20,40[)40,60[)60,80第五组，得到频率分布直方图如下图.[]80,100(1)估量所打分数的众数，平均数；〔同一组中的数据用该组区间的中点值作为代表〕(2)该部门在第—､二组群众中按比例分配的分层抽样的方法抽取6名群众进行深刻调查，之后将从这6人中随机抽取2人聘为监督员，求监督员来自不同组的概率. （答案）(1)众数为70，平均数为65； (2)815（解析） （分析）(1)依据频率分布直方图与众数、平均数的计算方法依次计算即可；(2)先求出6人中第—、二组抽到的人数，求出样本空间的样本点个数和事件“2人来自不同的组〞包含的样本点个数，代入概率公式计算即可. (1)由频率分布直方图可知， 众数为； 6080=702+5个组的频率分别为0.05，0.1，0.2，0.35，0.3， 所以平均数为；100.05300.1500.2700.35900.365⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=(2)由频率分布直方图可知第—组的频率为0.05，第二组的频率为0.1， 则第—组的人数为5人，第二组的人数为10人， 所以按分层抽样的方法抽到的6人中，第—组抽2人，记为；第二组抽4人，记为，12、a a 1234b b b b 、、、则，121112131421222324121314232434{,,,,,,,,,,,,,,}a a a b a b a b a b a b a b a b a b b b b b b b b b b b b b Ω=高考材料高考材料设事件为抽到的2人来着不同的组，A 则，所以. 1112131421222324{,,,,,,,}A a b a b a b a b a b a b a b a b =8()15P A =15．〔2023·陕西·西安市临潼区铁路中学高一期末〕新冠肺炎疫情期间，为确保“停课不辍学〞，各校精心组织了线上教学活动，开学后，某校采纳分层抽样的方法从三个年级的学生中抽取一个容量为150的样本进行关于线上教学实施情况的问卷调查.已知该校高一年级共有学生660人，抽取的样本中高二年级有50人，高三年级有45人.下表是依据抽样调查情况得到的高二学生日睡眠时间〔单位：〕的频率分布表. h 分组频数 频率 [)6,6.5 50.10 [)6.5,780.16[)7,7.5 x0.14 [)7.5,812y [)8,8.5100.20[]8.5,9z 合计501(1)求该校学生总数及频率分布表中实数的值；,,x y z (2)已知日睡眠时间在区间的5名高二学生中，有2名女生，3名男生，假设从中任选2人进行面谈，求选中的[)6,6.52人恰好为一男一女的概率.（答案）(1)1800人，7,0.24,8x y z ===(2) 35（解析） （分析）〔1〕设该校学生总数为，依据题意由求解； n 1501505045660n --=〔2〕利用古典概型的概率求解. (1)解：设该校学生总数为， n 由题意，解得， 1501505045660n --=1800n =。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第8讲统计和古典概型的综合问题
例10某校高三(1)班共有40名学生，他们每天自主学习的时间全部在180分钟到330分钟之间，按他们学习时间的长短分5个组统计，得到如下频率分布表：
(1)求分布表中s，t的值；
(2)王老师为完成一项研究，按学习时间用分层抽样的方法从这40名学生中抽取20名进行研究，问应抽取多少名第一组的学生？
(3)已知第一组学生中男、女生人数相同，在(2)的条件下抽取的第一组学生中，既有男生又有女生的概率是多少？
审题破题根据频率、频数关系求s，t→
根据分层抽样特征求第一组抽取的学生数→
列举第一组中所有抽样的方法→利用古典概型求解
解(1)s＝8
40
＝0.2，t＝1－0.1－s－0.3－0.25＝0.15.
(2)设应抽取x名第一组的学生，则x
4＝20
40
，得x＝2.故应抽取2名第一组的学生．
(3)在(2)的条件下应抽取2名第一组的学生，记第一组中2名男生为a1，a2,2名女生为b1，b2.按学习时间用分层抽样的方法抽取2名第一组的学生共有6种结果，列举如下：a1a2，a1b1，a1b2，a2b1，a2b2，b1b2.其中既有男生又有女生被抽中的有a1b1，a1b2，a2b1，a2b2这4种结果，所以既
有男生又有女生被抽中的概率为P＝4
6＝2 3.
构建答题模板
第一步：定模型：根据统计知识确定元素(总体、个体)以及要解决的概率模型. 第二步：列事件：将所有基本事件列举出来(可用树状图).
第三步：算概率：计算基本事件总数n ，事件A 包含的基本事件数m ，代入公式P (A )＝m
n .
第四步：规范答：要回到所求问题，规范作答.
对点训练10 某产品的三个质量指标分别为x ，y ，z ，用综合指标S ＝x ＋y ＋z 评价该产品的等级．若S ≤4，则该产品为一等品．现从一批该产品中，随机抽取10件产品作为样本，其质量指标列表如下：
(1)利用上表提供的样本数据估计该批产品的一等品率； (2)在该样本的一等品中，随机抽取2件产品． ①用产品编号列出所有可能的结果；
②设事件B 为“在取出的2件产品中，每件产品的综合指标S 都等于4”，求事件B 发生的概率．
解 (1)计算10件产品的综合指标S ，如下表：
其中S ≤4的有A 1，A 2，A 4，A 5，A 7，A 9，共6件，故该样本的一等品率为6
10＝0.6，从而可估
计该批产品的一等品率为0.6.
(2)①在该样本的一等品中，随机抽取2件产品的所有可能结果为{A 1，A 2}，{A 1，A 4}，{A 1，A 5}，{A 1，A 7}，{A 1，A 9}，{A 2，A 4}，{A 2，A 5}，{A 2，A 7}，{A 2，A 9}，{A 4，A 5}，{A 4，A 7}，{A 4，A 9}，{A 5，A 7}，{A 5，A 9}，{A 7，A 9}，共15种．
②在该样本的一等品中，综合指标S 等于4的产品编号分别为A 1，A 2，A 5，A 7，则事件B 发生的所有可能结果为{A 1，A 2}，{A 1，A 5}，{A 1，A 7}，{A 2，A 5}，{A 2，A 7}，{A 5，A 7}，共6种． 所以P (B )＝615＝25.。