一致收敛函数列与函数项级数级数的性质.ppt

又
lim
x x0
fN1( x) aN1
,
所以存在δ > 0 , 当0 < | x – x0 | <δ时，
| fN+1(x) – aN+1 | <ε/3
这样当0 < | x – x0 | <δ时，
| f (x) A|
| f ( x) f N 1( x) | | f N 1( x) aN 1 | | aN 1 A |

? lim
x x0
n1
un ( x)

n1
lim
x x0
un
(
x)
注：对函数序列{Sn ( x)}而言，应为
? lim
x x0
lim
n
Sn
(
x
)
lim
n
lim
x x0
Sn
(
x)
2.求导运算与无限求和运算交换次序问题
? d
dx n1 un ( x)
d n1 dx un ( x)
lim lim
x x0 n
fn
(
x)

lim
n
lim
x x0
fn(x) .
这表明在一致收敛的条件下，极限可以交换顺序．
证 先证数列 { an } 收敛．因为{ fn } 一致收敛，
故对任给的ε > 0 , 存在 N > 0 , 当 n > N 时，对任何 正整数 p ，对一切 x ∈(a , x0 )∪(x0 , b) 有
| fn(x) – f n+p(x) | <ε
从而
lim
x x0
|
fn(x)
fn p ( x) |
,
即
| an an p | .
由柯西准则知数列 { an } 收敛．
设
lim
n
an

A,
下面证明： lim f ( x) A . x x0
因为{ fn } 一致收敛于 f ，数列 { an } 收敛于 A ，
13.2 一致收敛函数列与 函数项级数级数的性质
一 一致收敛函数列的性质 二 函数项级数的性质
问题的提出
问题: 有限个连续函数的和仍是连续函数，有限 个函数的和的导数及积分也分别等于他们的导数 及积分的和．对于无限个函数的和是否具有这些 性质呢？
函数项级数（或函数序列）的基本问题
1.极限运算与无限求和运算交换次序问题
Sn(
x )dx
b
lim
n a
Sn ( x)dx
一、一致收敛函数列的性质
定理 13.8 设函数列 { fn } 在 (a , x0 )∪(x0 , b) 上 一致收敛于 f ，且
lim
x x0
fn( x) an
n 1, 2, ,
则
lim
x x0
f (x)
lim
n
an
.
即
因此对任给的ε > 0 , 存在 N > 0 , 当 n > N 时，
对任何 x ∈(a , x0 )∪(x0 , b) 有 | fn(x) – f (x) | <ε/3 和 | an – A | <ε/3
同时成立．特别取 n = N +1，有
| fN+1(x) – f (x) | <ε/3 和 | aN+1 – A | <ε/3
b
|
a fn( x)dx
f ( x)dx |
a
|
a
fn( x)
f ( x) |dx

b
dx
(b a) .
证毕．
a
注1：该定理指出：在一致收敛的条件下， 极限运算与积分运算可以交换顺序
注2：一致收敛只是这两种运算换序的充分条件， 而并非必要条件。如下面的
例 1.定义在[0,1]上的函数列
注：对函数序列{Sn ( x)}而言，应为
? d
dx
lim
n
Sn(
x)
d
lim
n
dx
Sn ( x)
3.极限运算与无限求和运算交换次序问题
? b
a un ( x)dx
b a un ( x)dx
n1
n1
注：对函数序列{Sn ( x)}而言，应为
? b
a
lim
n
,
333
所以
lim f ( x) A .
x x0
利用两个极限交换定理可以得到下列判别法
设 函 数 列{ fn( x)}在[a, b)上 有 定 义 ， 并 满 足
(i) n, fn( x)在 点a右 连 续 ；
(ii) x (a, b),lim n
fn(x)
b
b
b
f ( x)dx a
lim
a n
fn( x)dx

lim
n
a fn ( xa , b] 上连续，从而 f 在
[a , b] 上可积．
b
b
b
|
a fn( x)dx
f ( x)dx | |
a
[
a
fn( x)
f
( x)]dx |
要证：对任何
x0 ∈I
, lim x x0
f (x)
f ( x0 ) .
由定理 13.8，
lim
x x0
f (x)
lim lim
x x0 n
fn
(
x)
lim
n
lim
x x0
fn(x)
lim n
fn( x0 )

f ( x0 ) .
注：若各项为连续函数的函数列在区间I上极限函 数不连续，则此函数列在区间I上不一致收敛
f ( x)；
(iii)
lim
n
f n (a )不 存 在 ，
则{ fn( x)}在(a, b)内 不 一 致 收 敛
定理 13.9（连续性） 设函数列 { fn } 在区间 I 上一致收敛于 f ，且 fn ( n = 1, 2, . . . ) 在 I 上连续， 则 f在 I 上也连续．
证

2n
n
x
,
0


x

1 2n
fn ( x)


2
b

|
a
fn( x)
f ( x) |dx
因为函数列 { fn } 在 [a , b]上一致收敛于 f ，所以 对任给的ε> 0 , 存在 N > 0 , 当 n > N 时，对一切
x ∈ [a , b]，
都有 | fn ( x ) － f ( x ) | < ε 于是当 n > N 时有
b
b
例如：函数列xn的各项在 (1,1] 上都是连续的,
但其极限函数
0, f ( x) 1,
1 x 1, x1
在 x 1时不连续，从而推得
xn在 (1,1] 上不一致收敛
定理 13.10（可积性）设函数列 { fn } 在 [a , b]上
一致收敛于 f ，且 fn ( n = 1, 2, . . . ) 在 [a , b] 上连续， 则 f 在 [a , b] 上可积，且