曲线运动、万有引力应用例析(老师)

曲线运动、万有引力应用例析

（竞赛班辅导材料）

本章知识点，从近几年高考看，主要考查的有以下几点：（1）平抛物体的运动。（2）匀速圆周运动及其重要公式，如线速度、角速度、向心力等。（3）万有引力定律及其运用。（4）运动的合成及分解。注意圆周运动问题是牛顿运动定律在曲线运动中的具体应用，要加深对牛顿第二定律的理解，提高应用牛顿运动定律分析、解决实际问题的能力。近几年对人造卫星问题考查频率较高，它是对万有引力的考查。卫星问题及现代科技结合密切，对理论联系实际的能力要求较高，要引起足够重视。本章内容常及电场、磁场、机械能等知识综合成难度较大的试题，学习过程中应加强综合能力的培养。

一、夯实基础知识

1、深刻理解曲线运动的条件和特点

（1）曲线运动的条件：运动物体所受合外力的方向跟其速度方向不在一条直线上时，物体做曲线运动。

（2）曲线运动的特点：在曲线运动中，运动质点在某一点的瞬时速度方向，就是通过这一点的曲线的切线方向。②曲线运动是变速运动，这是因为曲线运动的速度方向是不断变化的。做曲线运动的质点，其所受的合外力一定不为零，一定具有加速度。

2、深刻理解运动的合成及分解

物体的实际运动往往是由几个独立的分运动合成的，由已知的分运动求跟它们等效的合运动叫做运动的合成；由已知的合运动求跟它等效的分运动叫做运动的分解。

运动的合成及分解基本关系：分运动的独立性；运动的等效性（合运动和分运动是等效替代关系，不能并存）；运动的等时性；运动的矢量性（加速度、速度、位移都是矢量，其合成和分解遵循平行四边形定则。）

3.深刻理解平抛物体的运动的规律

（1）．物体做平抛运动的条件：只受重力作用，初速度不为零且沿水平方向。物体受恒力作用，且初速度及恒力垂直，物体做类平抛运动。

（2）．平抛运动的处理方法

通常，可以把平抛运动看作为两个分运动的合动

动：一个是水平方向（垂直于恒力方向）的匀速直

线运动，一个是竖直方向（沿着恒力方向）的匀加

速直线运动。

(3)．平抛运动的规律

以抛出点为坐标原点，水平初速度V 0方向为沿x 轴正方向，竖直向下的方向为y 轴正方向，建立如图1所示的坐标系，在该坐标系下，对任一时刻t.

①位移

分位移t V x 0 ,,合位移,.

图1

?为合位移及x 轴夹角.

②速度

分速度0V V x =, , 合速度220)(gt V V +=,.

θ为合速度V 及x 轴夹角

(4)．平抛运动的性质

做平抛运动的物体仅受重力的作用，故平抛运动是匀变速曲线运动。

4.深刻理解圆周运动的规律

(1)匀速圆周运动：质点沿圆周运动，如果在相等的时间里通过的弧长相等，这种运动就叫做匀速周圆运动。

(2)．描述匀速圆周运动的物理量

①线速度v ，物体在一段时间内通过的弧长S 及这段时间t 的比值，叫做物体的线速度，即。线速度是矢量，其方向就在圆周该点的切线方向。线速度方向是时刻在变化的，所以匀速圆周运动是变速运动。

②角速度ω，连接运动物体和圆心的半径在一段时间内转过的角度θ及这段时间t 的比值叫做匀速圆周运动的角速度。即ω=θ。对某一确定的匀速圆周运动来说，角速度是恒定不变的，角速度的单位是。

③周期T 和频率f

(3)．描述匀速圆周运动的各物理量间的关系:

(4)、向心力：是按作用效果命名的力，其动力学效果在于产生向心加速度，即只改变线速度方向，不会改变线速度的大小。对于匀速圆周运动物

体其向心力应由其所受合外力提供。

r mf r T

m r m r V m ma F n n 2222

2244ππω=====. 5.深刻理解万有引力定律

（1）万有引力定律：自然界的一切物体都相互吸引，两个物体间的引力的大小，跟它们的质量乘积成正比，跟它们的距离的平方成反比。公式：，

6.67×10-1122.适用条件：适用于相距很远，可以看做质点的两物体间的相互作用，质量分布均匀的球体也可用此公式计算，其中r 指球心间的距离。

（2）万有引力定律的应用：讨论重力加速度g 随离地面高度h 的变化情况： 物体的重力近似为地球对物体的引力，即。所以重力加速度 G ，可见，g 随h 的增大而减小。求天体的质量：通过观天体卫星运动的周期T 和轨道半径r 或天体表面的重力加速度g 和天体的半径R ，就可以求出天体的质量M 。求解卫星的有关问题：根据万有引力等于卫星做圆周运动的

向心力可求卫星的速度、周期、动能、动量等状态量。由2r Mm r V 2得，由2r

Mm (2π)2得2π。由2r

Mm ω2得ω=，由21221r Mm 。 (3)三种宇宙速度：第一宇宙速度V 17.9,人造卫星的最小发射速度；第二宇宙速度V 211.2,使物体挣脱地球引力束缚的最小发射速度；（3）第三宇宙速度V 316.7,使物体挣脱太阳引力束缚的最小发射速度。

二、解析典型问题

问题1：会用曲线运动的条件分析求解相关问题。

例1、质量为m的物体受到一组共点恒力作用而处于平衡状态，当撤去某个恒力F1时，物体可能做( )

A．匀加速直线运动；

B．匀减速直线运动；

C．匀变速曲线运动；

D．变加速曲线运动。

分析及解：当撤去F1时，由平衡条件可知：物体此时所受合外力大小等于F1，方向及F1方向相反。

若物体原来静止，物体一定做及F1相反方向的匀加速直线运动。

若物体原来做匀速运动，若F1及初速度方向在同一条直线上，则物体可能做匀加速直线运动或匀减速直线运动，故A、B正确。

若F1及初速度不在同一直线上，则物体做曲线运动，且其加速度为恒定值，故物体做匀变速曲线运动，故C正确，D错误。

正确答案为：A、B、C。

例2、图1中实线是一簇未标明方向的由点电荷产生的电场线，虚线是某一带电粒子通过该电场区域时的运动轨迹，a、b是轨迹上的两点。若带电粒子在运动中只受电场力作用，根据此图可作出正确判断的是（）A．带电粒子所带电荷的符号；

B．带电粒子在a、b两点的受力方向；

图1

C．带电粒子在a、b两点的速度何处较大；

D．带电粒子在a、b两点的电势能何处较大。

分析及解：由于不清楚电场线的方向，所以在只知道粒子在a、b间受力情况是不可能判断其带电情况的。而根据带电粒子做曲线运动的条件可判定，在a、b两点所受到的电场力的方向都应在电场线上并大致向左。若粒子在电场中从a向b点运动，故在不间断的电场力作用下，动能不断减小，电势能不断增大。故选项B、C、D正确。

问题2：会根据运动的合成及分解求解船过河问题。

例3、一条宽度为L的河流，水流速度为,已知船在静水中的速度为，那么：

（1）怎样渡河时间最短？

（2）若>,怎样渡河位移最小？

（3）若<,怎样注河船漂下的距离最短？

分析及解：（1）如图2甲所示，设船上头斜向上游及河岸成任意角θ，这时船速在垂直于河岸方向的速度分量V1θ,渡河所需时间为：.

可以看出：L、一定时，t随θ增大而减小；当θ=900时，θ=1,所以，当船头及河岸垂直时，渡河时间最短，.

2

图2甲

图2乙

图2丙

(2)如图2乙所示，渡河的最小位移即河的宽度。为了使渡河位移等于L ，必须使船的合速度V 的方向及河岸垂直。这是船头应指向河的上游，并及河岸成一定的角度θ。根据三角函数关系有：θ─0.

所以θ,因为0≤θ≤1,所以只有在>时，船才有可能垂直于河岸横渡。

（3）如果水流速度大于船上在静水中的航行速度，则不论船的航向如何，总是被水冲向下游。怎样才能使漂下的距离最短呢？如图2丙所示，设船头及河岸成θ角，合速度V 及河岸成α角。可以看出：α角越大，船漂下的距离x 越短，那么，在什么条件下α角最大呢？以的矢尖为圆心，以为半径画圆，当V 及圆相切时，α角最大，根据θ,船头及河岸的夹角应为：θ. 船漂的最短距离为：θ

θsin )

cos (min c c s V L V V x -=. 此时渡河的最短位移为：.

问题3：会根据运动的合成及分解求解绳联物体的速度问题。

对于绳联问题，由于绳的弹力总是沿着绳

的方向，所以当绳不可伸长时，绳联物体的速

度在绳的方向上的投影相等。求绳联物体的速

度关联问题时，首先要明确绳联物体的速度，然

后将两物体的速度分别沿绳的方向和垂直于绳的方向进行分解，令两物体沿绳方向的速度相等即可求出。

图4