第7章 动态规划.
第07章 动态规划 《运筹学》PPT课件
动态规划
模型分类
离散确定型 离散随机型 连续确定型 连续随机型
§1 多阶 段决 策过 程的 最优
化
多阶段决策问题
(Multi-Stage decision process)
决策u1 决策u2
决策uk
32
维护费
8 8 9 9 10 6 6 8 8 10 5 6 8 9 5 5 6 4 54Βιβλιοθήκη 新设备购置费 5050
52 52 55 60
旧设备折价
20 15 10 5 2 30 25 20 15 10 31 26 21 15 33 28 20 35 30
40
§1 多阶 段决 策过 程的 最优
化
3)连续生产过程的控制 问题：一般化工生产过程中，
本章 内容
多阶段决策过程的最优化 动态规划的基本概念和基本原理 动态规划模型的建立与求解 动态规划在经济管理中的应用 马氏决策规划简介
创始时间 创始人
上个世纪50年代
美国数学家贝尔曼 （Richard. Bellman)
是运筹学的一个主要分支 是解决多阶段决策过程的最优化的一
种方法多阶段决策过程： 多阶段决策过程的最优化的目标： 达到整个活动过程的总体效果最优 •主要用于解决：
不过，实际中尚有许多不包含时间 因素的一类“静态”决策问题，就其本 质而言是一次决策问题，是非动态决策 问题，但是也可以人为地引入阶段的概 念当作多阶段决策问题，应用动态规划 方法加以解决。
§1 多阶 段决 策过 程的 最优
化
4）资源分配问题：便属于这类静 态问题。如：某工业部门或公司，拟对 其所属企业进行稀缺资源分配，为此需 要制定出收益最大的资源分配方案。这 种问题原本要求一次确定出对各企业的 资源分配量，它与时间因素无关，不属 动态决策，但是，我们可以人为地规定 一个资源分配的阶段和顺序，从而使其 变成一个多阶段决策问题(后面我们将 详细讨论这个问题)。
运筹学概念整理
运筹学概念整理名解5、简答4、建模与模型转换2、计算5~6第1章线性规划与单纯形法(计算、建模:图解法)线性规划涉及的两个方面：使利润最大化或成本最小化线性规划问题的数学模型包含的三要素：一组决策变量：是模型中需要首确定的未知量。
一个目标函数：是关于决策变量的最优函数，max或min。
一组约束条件：是模型中决策变量受到的约束限制，包括两个部分：不等式或等式；非负取值（实际问题）。
线性规划问题(数学模型)的特点：目标函数和约束条件都是线性的。
1.解决的问题是规划问题；2解决问题的目标函数是多个决策变量的线性函数，通常是求最大值或最小值；3解决问题的约束条件是多个决策变量的线性不等式或等式。
图解法利用几何图形求解两个变量线性规划问题的方法。
求解步骤：第一步：建立平面直角坐标系；第二步：根据约束条件画出可行域；第三步：在可行域内平移目标函数等值线，确定最优解及最优目标函数值。
LP问题的解：（原因）唯一最优解、无穷多最优解（有2个最优解，则一定是有无穷多最优解）无界解（缺少必要的约束条件）、无可行解（约束条件互相矛盾，可行域为空集）标准形式的LP模型特点：目标函数为求最大值、约束条件全部为等式、约束条件右端常数项bi全部为非负值，决策变量xj的取值为非负●线性规划模型标准化（模型转化）(1) “决策变量非负”。
若某决策变量x k为“取值无约束”(无符号限制)，令：x k= x’k–x”k，(x’k≥0, x”k≥0) 。
(2) “目标函数求最大值”。
如果极小化原问题minZ = CX，则令Z’ = – Z，转为求maxZ’ = –CX 。
注意：求解后还原。
(3) “约束条件为等式”。
对于“≤”型约束，则在“≤”左端加上一个非负松弛变量，使其为等式。
对于“≥”型约束，则在“≥”左端减去一个非负剩余变量，使其为等式。
(4) “资源限量非负”。
若某个bi < 0，则将该约束两端同乘“–1” ，以满足非负性的要求。
算法设计技巧与分析答案
算法设计技巧与分析参考答案第1章算法分析基本概念(a)6 (b)5 (c)6 (d)6算法执行了7+6+5+4+3+2+1=28次比较(a)算法MODSELECTIONSORT执行的元素赋值的最少次数是0,元素已按非降序排列的时候达到最小值。
(b) 算法MODSELECTIONSORT执行的元素赋值的最多次数是3(1)2n n ,元素已按非升序排列的时候达到最小值。
由上图可以看到执行的比较次数为1+1+2+2+2+6+2=16次。
由上图可以得出比较次数为5+6+6+9=26次。
FTF,TTT,FTF,TFF,FTF(a) 执行该算法，元素比较的最少次数是n-1。
元素已按非降序排列时候达到最小值。
(b) 执行该算法，元素比较的最多次数是(1)2n n -。
元素已按非升序排列时候达到最大值。
(c) 执行该算法，元素赋值的最少次数是0。
元素已按非降序排列时候达到最小值。
(d) 执行该算法，元素赋值的最多次数是3(1)2n n -。
元素已按非升序排列时候达到最大值。
(e)n 用O 符号和Ω符号表示算法BUBBLESORT 的运行时间：2()t O n =，()t n =Ω(f)不可以用Θ符号来表示算法的运行时间：Θ是用来表示算法的精确阶的，而本算法运行时间由线性到平方排列，因此不能用这一符号表示。
不能用p 关系来比较2n 和2100n 增长的阶。
∵221lim0100100n n n →∞=≠ 2n ∴不是2(100)o n 的，即不能用p 关系来比较2n 和2100n 增长的阶。
(a)当n 为2的幂时，第六步执行的最大次数是：12,2k k n j -==时，11[log ]log n ni i k n n n ====∑∑(b)由(a)可以得到：当每一次循环j 都为2的幂时，第六步执行的次数最大，则当33,22k kmn j ===（其中32k 取整）时，11[log(31)]log(1)n nkii i m n n ===-=-∑∑(c)用O 符号表示的算法的时间复杂性是(log )O n n 已证明n=2k 的情况，下面证明n=2k +1的情况：因为有⎥⎦⎥⎢⎣⎢+=⎥⎦⎥⎢⎣⎢21222k k所以n=2k +1时，第六步执行的最大次数仍是n log n 。
运筹学习题答案(第七章)
page 19 9 July 2013
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运筹学教程
第七章习题解答
7.10 用顺序解法计算7.1题，7.4题。 解：略。
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运筹学教程
第七章习题解答
7.11 某工厂生产三种产品，各种产品重量与利润 关系如表7-22所示，现将此三种产品运往市场出售， 运输能力总重量不超过6t，问应运输每种产品各多少 件可使总利润最大。 解：只运产品2两件，最大总利润260（千元）。
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同样适合第三版黄皮版
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运筹学教程（第二版） 习题解答
安徽大学管理学院
洪 文
电话：5108157(H)，5107443(O) E-mail: Hongwen9509_cn@
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第七章习题解答
7.1 现有天然气站A，需铺设管道到用气单位E， 可以选择的设计路线如下图所示，Bl，…，D2各点是 中间加压站，各线路的费用已标在线段旁(单位：万 元)，试设计费用低的路线。
max F x 1 2 x 2 x 3 x 3 4 x 2 2 x 3
2 2
(2)
x1 x 2 x 3 3 x i 0 , ( i 1, 2 , 3 )
解： x 1 1, x 2 1, x 3 1, F 4
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概率 0.4 0.3 0.3
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《算法设计与分析》(全)
1.1、算法与程序
程序：是算法用某种程序设计语言的具体实现。 程序可以不满足算法的性质(4)。 例如操作系统，是一个在无限循环中执行的程序， 因而不是一个算法。 操作系统的各种任务可看成是单独的问题，每一个 问题由操作系统中的一个子程序通过特定的算法来实 现。该子程序得到输出结果后便终止。
渐近分析记号的若干性质
（1）传递性： ➢ f(n)= (g(n))， g(n)= (h(n)) f(n)= (h(n))； ➢ f(n)= O(g(n))， g(n)= O (h(n)) f(n)= O (h(n))； ➢ f(n)= (g(n))， g(n)= (h(n)) f(n)= (h(n))； ➢ f(n)= o(g(n))， g(n)= o(h(n)) f(n)= o(h(n))； ➢ f(n)= (g(n))， g(n)= (h(n)) f(n)= (h(n))； （2）反身性： ➢ f(n)= (f(n))；f(n)= O(f(n))；f(n)= (f(n)). （3）对称性： ➢ f(n)= (g(n)) g(n)= (f(n)) . （4）互对称性： ➢ f(n)= O(g(n)) g(n)= (f(n)) ； ➢ f(n)= o(g(n)) g(n)= (f(n)) ；
巢湖学院计算机科学与技术系
渐近分析记号的若干性质
规则O(f(n))+O(g(n)) = O(max{f(n),g(n)}) 的证明： ➢ 对于任意f1(n) O(f(n)) ，存在正常数c1和自然数n1，使得对
所有n n1，有f1(n) c1f(n) 。 ➢ 类似地，对于任意g1(n) O(g(n)) ，存在正常数c2和自然数
巢湖学院计算机科学与技术系
第1章 算法引论
运筹学第三版课后习题答案 (2)
运筹学第三版课后习题答案第一章：引论1.1 课后习题习题1a)运筹学是一门应用数学的学科，旨在解决实际问题中的决策和优化问题。
它包括数学模型的建立、问题求解方法的设计等方面。
b)运筹学可以应用于各个领域，如物流管理、生产计划、流程优化等。
它可以帮助组织提高效率、降低成本、优化资源分配等。
c)运筹学主要包括线性规划、整数规划、指派问题等方法。
习题2运筹学的应用可以帮助组织提高效率、降低成本、优化资源分配等。
它可以帮助制定最佳的生产计划，优化供应链管理，提高运输效率等。
运筹学方法的应用还可以帮助解决紧急情况下的应急调度问题，优化医疗资源分配等。
1.2 课后习题习题1运筹学方法可以应用于各个领域，如物流管理、生产计划、供应链管理、流程优化等。
在物流管理中，可以使用运筹学方法优化仓储和运输的布局，提高货物的运输效率。
在生产计划中，可以使用运筹学方法优化产品的生产数量和生产周期，降低生产成本。
在供应链管理中，可以使用运筹学方法优化订单配送和库存管理，提高供应链的效率。
在流程优化中，可以使用运筹学方法优化业务流程，提高整体效率。
习题2在物流管理中，可以使用运筹学方法优化车辆的调度和路线规划，以提高运输效率和降低成本。
在生产计划中，可以使用运筹学方法优化生产线的安排和产品的生产量，以降低生产成本和提高产能利用率。
在供应链管理中，可以使用运筹学方法优化供应链各个环节的协调和调度，以提高整体效率和减少库存成本。
在流程优化中，可以使用运筹学方法优化业务流程的排布和资源的分配，以提高流程效率和客户满意度。
第二章：线性规划基础2.1 课后习题习题1线性规划是一种数学优化方法，用于解决包含线性约束和线性目标函数的优化问题。
其一般形式为：max c^T*xs.t. Ax <= bx >= 0其中，c是目标函数的系数向量，x是决策变量向量，A是约束矩阵，b是约束向量。
习题2使用线性规划方法可以解决许多实际问题，如生产计划、供应链管理、资源分配等。
《算法分析与设计》(李春葆版)课后选择题答案与解析
《算法及其分析》课后选择题答案及详解第1 章——概论1.下列关于算法的说法中正确的有（）。
Ⅰ.求解某一类问题的算法是唯一的Ⅱ.算法必须在有限步操作之后停止Ⅲ.算法的每一步操作必须是明确的，不能有歧义或含义模糊Ⅳ.算法执行后一定产生确定的结果A.1个B.2个C.3个D.4个2.T(n)表示当输入规模为n时的算法效率，以下算法效率最优的是（）。
A.T(n)=T(n-1)+1，T(1)=1B.T(n)=2nC.T(n)= T(n/2)+1，T(1)=1D.T(n)=3nlog2n答案解析：1.答：由于算法具有有穷性、确定性和输出性，因而Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ正确，而解决某一类问题的算法不一定是唯一的。
答案为C。
2.答：选项A的时间复杂度为O(n)。
选项B的时间复杂度为O(n)。
选项C 的时间复杂度为O(log2n)。
选项D的时间复杂度为O(nlog2n)。
答案为C。
第3 章─分治法1.分治法的设计思想是将一个难以直接解决的大问题分割成规模较小的子问题，分别解决子问题，最后将子问题的解组合起来形成原问题的解。
这要求原问题和子问题（）。
A.问题规模相同，问题性质相同B.问题规模相同，问题性质不同C.问题规模不同，问题性质相同D.问题规模不同，问题性质不同2.在寻找n个元素中第k小元素问题中，如快速排序算法思想，运用分治算法对n个元素进行划分，如何选择划分基准？下面（）答案解释最合理。
A.随机选择一个元素作为划分基准B.取子序列的第一个元素作为划分基准C.用中位数的中位数方法寻找划分基准D.以上皆可行。
但不同方法，算法复杂度上界可能不同3.对于下列二分查找算法，以下正确的是（）。
A.intbinarySearch(inta[],intn,int x){intlow=0,high=n-1;while(low<=high){intmid=(low+high)/2;if(x==a[mid])returnmid;if(x>a[mid])low=mid;elsehigh=mid;}return –1;}B.intbinarySearch(inta[],intn,int x) { intlow=0,high=n-1;while(low+1!=high){intmid=(low+high)/2;if(x>=a[mid])low=mid;elsehigh=mid;}if(x==a[low])returnlow;elsereturn –1;}C.intbinarySearch(inta[],intn,intx) { intlow=0,high=n-1;while(low<high-1){intmid=(low+high)/2;if(x<a[mid])high=mid;elselow=mid;}if(x==a[low])returnlow;elsereturn –1;}D.intbinarySearch(inta[],intn,int x) {if(n>0&&x>=a[0]){intlow= 0,high=n-1;while(low<high){intmid=(low+high+1)/2;if(x<a[mid])high=mid-1;elselow=mid;}if(x==a[low])returnlow;}return –1;}答案解析：1.答：C。
运筹学
第一章： 建模合理下料问题例1-2：假定现有一批某种型号的圆钢长8m ，需要截取长的毛坯100根、长的毛坯200根，问应怎样选择下料方式，才能既满足需要，又使总的用料最少根据经验，可先将各种可能的搭配方案列出来，如表1-3所示。
例1-2′某一机床需要用甲、乙、丙三种规格的轴各一根，这些轴的规格分别是，,（m ），这些轴需要用同一种圆钢来做，圆钢长度为。
现在要制造100台机床，最少要用多少圆钢来生产这些轴 方案规格12345678需求量y 1 2 1 1 1 0 0 0 0 100 y 2 0 2 1 0 3 2 1 0 100 y 31 0 1 3 0234 100方案件数 毛坯I Ⅱ Ⅲ Ⅳ需要根数3 2 1 01000 2 4 6200目标函数 minf ＝C1x1+C2x2+…+Cnxn. a11x1+ a12x2+…+a1nxn ≥ b1 a21x1+ a22x2+…+a2nxn ≥ b2 ┇ ┇ ┇ ┇ am1x1+ am2x2+…+amnxn ≥ bmxj ≥0 (j ＝1，2，…，n)运输问题(物资调运问题)例1-3：设某种物资(例如煤炭)共有m 个产地A1、A2 、…、Am ，其产量分别为a1、a2、…、am ；另有n 个销地B1、B2、…、Bn 其销量分别为b1、b2、…、bn 。
已知由产地Ai(i ＝1，2，…，m)运往销地Bj(j ＝1，2，…，n)的单位运价为Cij ，如表1—6所示。
当产销平衡 m n(即∑ai=∑bj 时，问如何调运，才能使总运费最省方式 个 数毛 坯B 1 B 2 … B n需要毛坯数A1A2┇Ama 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n ┇ ┇ ┇ a m1 a m2 a mnb 1 b 2 ┇ b mi=1 j=1目标函数 min f=∑∑CijXij 最小i=1 j=1n∑Xij=ai （i＝1，2，…，m）j=1满足 m∑Xij=bj （ j＝1，2，…，n)i=1xij≥0 i＝1，2，…，m；j＝1，2，…，n)第二章：图解法整数规划步骤：写出模型，假设X1,X2…Xn是…1）作可行线2）作等值线3）平移等值线与可行线相交或相切于一点或直线4）例1：见笔记例2例1 某工厂在计划期内要安排工、Ⅱ两种产品的生产，已知生产单位产品所需的设备台时及A，B两种原材料的消耗，以及资源的限制，如下表所示。
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称指标具有可加性，或 Vk,n(sk, xk, xk+1, …, xn) = vk(sk, xk)×Vk+1(sk+1,
xk+1, …, xn)称指标具有可乘性。
二、基本方程：
最优指标函数fk(sk)：从状态sk出发，对所有的策略Pk,n，过程指 标Vk,n的最优值，即
f k (sk )
管
opt
管 理 运 筹 学
3
§2
基本概念、基本方程与最优化原理
6、阶段指标函数vk(sk, xk)：从状态sk出发，选择决策xk所产生的第 k阶段指标。
过程指标函数Vk,n(sk, xk, xk+1,…, xn)：从状态sk出发，选择决策xk,
xk+1, …, xn所产生的过程指标。动态规划要求过程指标具有可分离 性，即 Vk,n(sk, xk, xk+1, …, xn) = vk(sk, xk)+Vk+1(sk+1, xk+1, …, xn)
3、决策xk：从某一状态向下一状态过渡时所做的选择。决策是所 在状态的函数，记为xk(sk)。
决策允许集合Dk(sk)：在状态sk下，允许采取决策的全体。
4、策略Pk,n(sk)：从第k阶段开始到最后第n阶段的决策序列，称k 子策略。P1,n(s1)即为全过程策略。
5、状态转移方程 sk+1=Tk(sk, xk)：某一状态以及该状态下的决策， 与下一状态之间的函数关系。
管 理 运 筹 学
12
7
§3
二、背包问题
动态规划的应用(1)
设有n种物品，每一种物品数量无限。第i种物品每件
重量为wi公斤，每件价值ci元。现有一只可装载重量为W
公斤的背包，求各种物品应各取多少件放入背包，使背 包中物品的价值最高。 这个问题可以用整数规划模型来描述。设xi为第i种 物品装入背包的件数（i =1, 2, …, n），背包中物品的总
上式中“opt”表示“max”或“min”。对于可乘性指标函数，上式 可以
写为
f k ( sk )
opt
xk Dk ( sk )
{vk ( sk , xk ) f k 1 ( sk 1 )}
k 1,2,, n
以上式子称为动态规划最优指标的递推方程，是动态规划的基本 方程。 终端条件：为了使以上的递推方程有递推的起点，必须要设定最 优指标的终端条件，一般最后一个状态n+1下最优指标fn+1(sn+1) = 0。
管 理 运 筹 学
5
§2
基本概念、基本方程与最优化原理
三、最优化原理 作为整个过程的最优策略具有如下性质： 不管在此最优策略上的某个状态以前的状 态和决策如何，对该状态来说，以后的所有决 策必定构成最优子策略。就是说，最优策略的 任意子策略都是最优的。
管
理
运
筹
学
6
§3
一、资源分配问题
动态规划的应用(1)
C 1
6
8 D1
4
10
4
B3 7 3
8
1
5
4
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2
§2
基本概念、基本方程与最优化原理
一、基本概念： 1、阶段k：表示决策顺序的离散的量，阶段可以按时间或空间划 分。 2、状态sk：能确定地表示决策过程当前特征的量。状态可以是数 量，也可以是字符，数量状态可以是连续的，也可以是离散的。
例2. 某公司拟将某种设备5台，分配给所属的甲、乙、丙三个工
厂。各工厂获得此设备后，预测可创造的利润如表所示，问这
5台设备应如何分配给这3个工厂，使得所创造的总利润为最大？
盈利
工厂 设备台数 0 甲 厂 0 乙 厂 0 丙 厂 0
1
2 3 4
3
7 9 12
5
10 11 11
4
6 11 12
5
13
11 表10-5
第七章
§1
动态规划
多阶段决策过程最优化问题举例
§2 基本概念、基本方程与最优化原理
§3 §4 动态规划的应用(1) 动态规划的应用(2)
管
理
运
筹
学
1
§1
多阶段决策过程最优化问题举例
例1 最短路径问题 下图表示从起点A到终点E之间各点的距离。求A到E的最 短路径。
B 2 1 1 6 4 A 3 2 3 B2 7 2 C2 7 5 D 2 6 C3 1 6 E
价值为z，则 Max z = c1x1+c2x2+ … +cnxn s.t. w1x1+w2x2+…+wnxn≤W x1, x2, …, xn0 且为整数。
管 理 运 筹 学
8
§3
动态规划的应用(1)
下面用动态规划逆序解法求解它。设 阶段变量k：第k次装载第k种物品（k=1, 2, …, n） 状态变量sk：第k次装载时背包还可以装载的重量； 决策变量uk = xk：第k次装载第k种物品的件数； 决策允许集合：Dk(sk) = { xk | 0 xksk/wk，xk为整数}； 状态转移方程： sk+1 = sk wkxk； 阶段指标： vk = ckxk； 最优过程指标函数fk(sk)：第k到n阶段容许装入物品的最大使 用价值； 递推方程： fk(sk) = max {ckxk+fk+1(sk+1)} = max {ckxk+fk+1(sk wkxk)}； xDk(sk) 终端条件： fn+1(sn+1) = 0。
咨询项目类 型1 2 3 4 Nhomakorabea待处理客户 数
4 3 2 2
管 理 运
处理每个客户 所需工作日数
1 3 4 7
筹 学
处理每个 客户所获 利润
2 8 11 20
10
§3 动态规划的应用(1)
实际上，背包问题我们也可以用整数规划来求解，如果 背包携带物品重量的限制为W公斤，这N种物品中第i种物品 的重量为wi ，价值为 c i ，第i种物品的总数量的 ni ，我们可 以设 x i 表示携带第i种物品的数量，则其数学模型为：
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9
§3
动态规划的应用(1)
例3. 某咨询公司有10个工作日可以去处理四种类型的咨 询项目，每种类型的咨询项目中待处理的客户数量、处理每个 客户所需工作日数以及所获得的利润如表所示。显然该公 司在10天内不能处理完所有的客户，它可以自己挑选一些客 户，其余的请其他咨询公司去做，应如何选择客户使得在这10 个工作日中获利最大？
x k Dk ( s k )
{ Vk , n ( s k , P k , n )}
筹 学
4
理
运
§2
基本概念、基本方程与最优化原理
opt
xk Dk ( sk )
对于可加性指标函数，上式可以写为
f k ( sk ) {vk ( sk , xk ) f k 1 ( sk 1 )} k 1,2, , n