数学 动态规划
动态规划
多阶段决策问题中，各个阶段采取的决策，一般来说是与时间有关的，决策依赖于当前状态，又随即引起状 态的转移，一个决策序列就是在变化的状态中产生出来的，故有“动态”的含义，称这种解决多阶段决策最优化 问题的方法为动态规划方法 。
任何思想方法都有一定的局限性，超出了特定条件，它就失去了作用。同样，动态规划也并不是万能的。适 用动态规划的问题必须满足最优化原理和无后效性 。
动态规划
运筹学的分支
01 原理
03 局限性
目录
02 分类
动态规划（Dynamic Programming，DP）是运筹学的一个分支，是求解决策过程最优化的过程。20世纪50年 代初，美国数学家贝尔曼（R.Bellman）等人在研究多阶段决策过程的优化问题时，提出了著名的最优化原理， 从而创立了动态规划。动态规划的应用极其广泛，包括工程技术、经济、工业生产、军事以及自动化控制等领域， 并在背包问题、生产经营问题、资金管理问题、资源分配问题、最短路径问题和复杂系统可靠性问题等中取得了 显著的效果 。
最优化原理可这样阐述：一个最优化策略具有这样的性质，不论过去状态和决策如何，对前面的决策所形成 的状态而言，余下的诸决策必须构成最优策略。简而言之，一个最优化策略的子策略总是最优的。一个问题满足 最优化原理又称其具有最优子结构性质 。
将各阶段按照一定的次序排列好之后，对于某个给定的阶段状态，它以前各阶段的状态无法直接影响它未来 的决策，而只能通过当前的这个状态。换句话说，每个状态都是过去历史的一个完整总结。这就是无后向性，又 称为无后效性 。
状态：状态表示每个阶段开始面临的自然状况或客观条件，它不以人们的主观意志为转移，也称为不可控因 素。在上面的例子中状态就是某阶段的出发位置，它既是该阶段某路的起点，同时又是前一阶段某支路的终点 。
动态规划的基本思想
动态规划的基本思想动态规划是一种常见的解决问题的算法思想，它通过将复杂的问题分解成一个个子问题，逐步求解并记录下每个子问题的解，最终得到原问题的解。
这种思想在很多领域都有广泛的应用，例如计算机科学、经济学、物理学等。
一、动态规划的定义与特点动态规划是一种分治法的改进方法，它主要用于解决具有重叠子问题和最优子结构性质的问题。
它的基本思想可以概括为“记住中间结果，以便在需要的时候直接使用”。
动态规划算法的特点包括：1. 问题可以分解为若干个重叠的子问题；2. 子问题的解可以通过已知的子问题解来求解，且子问题的解可以重复使用；3. 需要使用一个数据结构（通常是一个矩阵）来存储子问题的解，以便在需要时直接取出。
二、动态规划的基本步骤动态规划算法通常可以分为以下几个基本步骤：1. 确定问题的状态：将原问题转化为一个或多个子问题，并定义清楚每个子问题的状态是什么。
2. 定义问题的状态转移方程：找出子问题之间的关系，即如何通过已知的子问题解来解决当前问题。
3. 设置边界条件：确定最简单的子问题的解，即边界条件。
4. 计算子问题的解并记录：按顺序计算子问题的解，并将每个子问题的解记录下来，以便在需要时直接使用。
5. 由子问题的解得到原问题的解：根据子问题的解和状态转移方程，计算得到原问题的解。
三、动态规划的实例分析为了更好地理解动态规划的基本思想，我们以求解斐波那契数列为例进行分析。
问题描述：斐波那契数列是一个经典的数学问题，它由以下递推关系定义：F(n) = F(n-1) + F(n-2)，其中F(0) = 0，F(1) = 1。
解决思路：根据递推关系，可以将问题分解为求解F(n-1)和F(n-2)两个子问题，并将子问题的解累加得到原问题的解。
根据以上思路，可以得到以下的动态规划算法实现：1. 确定问题的状态：将第n个斐波那契数定义为一个状态，记为F(n)。
2. 定义问题的状态转移方程：由递推关系F(n) = F(n-1) + F(n-2)可得，F(n)的值等于前两个斐波那契数之和。
动态规划的基本原理和基本应用
动态规划的基本原理和基本应用动态规划（Dynamic Programming）是一种通过将一个问题分解为较小的子问题并存储子问题的解来解决复杂问题的方法。
动态规划的基本原理是通过记忆化或自底向上的迭代方式来求解问题，以减少不必要的重复计算。
它在计算机科学和数学中具有广泛的应用，尤其是在优化、组合数学和操作研究等领域。
1.确定最优子结构：将原问题分解为较小的子问题，并且子问题的最优解能够推导出原问题的最优解。
2.定义状态：确定存储子问题解的状态变量和状态方程。
3.确定边界条件：确定初始子问题的解，也称为边界状态。
4.递推计算：利用状态方程将子问题的解计算出来，并存储在状态变量中。
5.求解最优解：通过遍历状态变量找到最优解。
1.背包问题：背包问题是动态规划的经典应用之一、它有多种变体，其中最基本的是0/1背包问题，即在限定容量的背包中选择物品，使得所选物品的总价值最大。
可以使用动态规划的思想来解决背包问题，确定状态为背包容量和可选物品，递推计算每个状态下的最优解。
2. 最长递增子序列：最长递增子序列（Longest Increasing Subsequence）是一种常见的子序列问题。
给定一个序列，找到其中最长的递增子序列。
可以使用动态规划来解决这个问题，状态可以定义为以第i个元素为结尾的最长递增子序列的长度，并递推计算每个状态的解。
3.矩阵链乘法：矩阵链乘法是一种优化矩阵连乘计算的方法。
给定一系列矩阵，求解它们相乘的最小计算次数。
可以使用动态规划解决矩阵链乘法问题，状态可以定义为矩阵链的起始和结束位置，递推计算每个状态下最小计算次数。
4.最短路径问题：最短路径问题是在有向图或无向图中找到两个节点之间最短路径的问题。
可以使用动态规划解决最短路径问题，状态可以定义为起始节点到一些节点的最短距离，递推计算每个状态的最优解。
动态规划(完整)
主要内容:
§7.1多阶段决策问题 §7.2 动态规划的基本概念和基本原理
§7.3 动态规划应用举例
例 求解最短路问题
A1 2 Q 4 3 A3 A2 6 3 7 4 B1 1 4 2 4 4 1 5 6 B2 3 B3 3 3 C2 C1 3 4 T
Ⅰ
Ⅱ
Ⅲ
Ⅳ
分阶段的最短路径
• • • • • • • Ⅳ ： C1—T Ⅲ --Ⅳ : B1—C1—T Ⅱ--Ⅲ--Ⅳ ：A2—B1—C1—T Ⅰ--Ⅱ--Ⅲ --Ⅳ： Q—A2—B1—C1—T Q--A3—B1—C1—T Q--A3—B2—C2—T 3 4 7
决策为 xk 时的指标，则它就是第 k 段指标函
数，简记为vk 。 （2）过程指标函数（也称目标函数） 用f(sk , xk)表示第k子过程的指标函数。表
示处于第 k 段 sk 状态且所作决策为xk时，
从 sk 点到终点的距离。由此可见， f(sk , xk)
不仅跟当前状态 sk 有关，
还跟该子过程策略 pk(sk) 有关,严格说来，应
(6) 指标函数
用来衡量策略或子策略或决策的效果的 某种数量指标，就称为指标函数。它是定义 在全过程或各子过程或各阶段上的确定数量 函数。对不同问题，指标函数可以是诸如费 用、成本、产值、利润、产量、耗量、距离、 时间、效用，等等。
（1）阶段指标函数（也称阶段效应）
用vk(sk , xk)表示第 k 段处于状态 sk且所作
资规划, 排序问题和生产过程的最优控制
等问题;
§7.2 动态规划的基本概念和基本思想
一、基本概念
使用动态规划方法求解决策问题首先要将 问题改造成符合动态规划求解要求的形式, 要涉及以下概念: (1)阶段 (3)决策与策略 (2)状态 (4)状态转移方程
动态规划-动态规划-美国数学家贝尔曼-动态规划领域
物品
1 2 … j …n
重量（公斤/件） a1 a2 … aj … an
每件使用价值 c1 c2 … cj … cn
类似问题：工厂里的下料问题、运输中的 货物装载问题、人造卫星内的物品装载问题等。
生产决策问题：企业在生产过程中，由于需求 是随时间变化的，因此企业为了获得全年的最佳 生产效益，就要在整个生产过程中逐月或逐季度 地根据库存和需求决定生产计划。
描述状态的变量称为状态变量，它可用一个数、 一组数或一向量（多维情形）来描述，第k阶段 的状态变量常用sk表示，通常一个阶段有若干个 状态。
第k阶段的状态就是该阶段所有始点的集合， 用Sk表示。在第1阶段状态变量s1是确定的，称初 始状态。如引例中:
S1 A，S2 B1, B2, B3，S3 C1,C2,C3，S4 D1, D2
min
4
9
12
决策点为B3
AB3
f2
B3
3 9*
f1(A)=12说明从A到E的最短距离为12，最短路 线的确定可按计算顺序反推而得。即
A→B3→C2→D2→E 上述最短路线问题的计算过程，也可借助于图
形直观的表示出来：
12 2 A4
3
11
B1
7 4
6
93
B2 2
4
96
B3
2 5
6
C1 3
多阶段决策过程特点：
（1）根据过程的特性可以将过程按空 间、时间等标志分为若干个互相联系又互相 区别的阶段。
（2）在每一个阶段都需要做出决策，从 而使整个过程达到最好的效果。
（3）在处理各阶段决策的选取上，不仅只 依赖于当前面临的状态，而且还要注意对以后 的发展。即是从全局考虑解决局部（阶段）的 问题。
动态规划例题
动态规划例题动态规划是一种以最优化原理为基础的问题求解方法，通过拆分问题为若干阶段，每个阶段求解一个子问题，再逐步推导出整个问题的最优解。
例如，有一个背包能够承受一定的重量，现有一些物品，每个物品都有自己的重量和价值。
我们希望将物品放入背包中，使得背包的总价值最大。
这个问题可以用动态规划来解决。
首先，我们定义一个二维数组dp，其中dp[i][j]表示在前i个物品中，容量为j的背包中所能放入的物品的最大价值。
那么，对于每一个物品，可以选择放入背包或者不放入背包。
如果选择放入背包，最大价值为dp[i-1][j-w[i]] + v[i]，其中w[i]表示第i个物品的重量，v[i]表示第i个物品的价值。
如果选择不放入背包，最大价值为dp[i-1][j]。
因此，dp[i][j]的状态转移方程为：dp[i][j] = max(dp[i-1][j-w[i]] + v[i], dp[i-1][j])。
基于这个状态转移方程，可以逐步求解从第1个物品到第n个物品的最大价值。
最终，dp[n][W]即为问题的最优解，其中W 表示背包的容量。
举个简单的例子，假设背包的容量为10，有3个物品，它们的重量分别为3、4、5，价值分别为4、5、6。
此时，可以得到如下的dp矩阵：0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 4 4 4 4 4 4 4 40 0 0 4 5 5 9 9 9 9 90 0 0 4 5 5 9 10 10 14 14我们可以看到，dp[3][10]的最大价值为14，表示在前3个物品中，容量为10的背包中所能放入的物品的最大价值为14。
通过动态规划，我们可以有效地求解背包问题，得到物品放入背包的最优解。
这个例子只是动态规划的一个简单应用，实际上，动态规划可以解决各种复杂的问题，如最长公共子序列、最大子数组和、最大字段和等。
因此，学习动态规划是非常有意义的。
动态规划(生产和存储问题)
动态规划（生产和存储问题）一、动态规划法的发展及其研究内容动态规划是运筹学的一个分支，是求解决策过程最优化的数学方法。
20世纪50年代初美国数学家R.E.BELLMAN等人在研究多阶段决策过程的优化问题时，提出了著名的最优化原理，把多阶段问题转化为一系列的单阶段问题，逐个求解创立了解决这类过程优化问题的新方法——动态规划。
1957年出版的他的名著《Dynamic Proggramming》，这是该领域的第一本著作。
动态规划问世以来，在经济管理·生产调度·工程技术和最优控制等方面得到了广泛的应用。
例如最短路线·库存管理·资源分配·设备更新·组合·排序·装载等问题，采用动态规划法求解比用其他方法更为简便。
二、动态规划法基本概念一个多阶段决策过程最优化问题的动态规划模型通常包括以下几个要素：1．阶段阶段（stage）是对整个过程的自然划分。
通常根据时间顺序或是空间特征来划分阶段，对于与时间，空间无关的“静态”优化问题，可以根据其自然特征，人为的赋予“时段”概念，将静态问题动态化，以便按阶段的顺序解优化问题。
阶段变量一般用k=1.2….n.表示。
1.状态状态(state)是我们所研究的问题（也叫系统）在过个阶段的初始状态或客观条件。
它应能描述过程的特征并且具有无后效性，即当某阶段的状态给定时，这个阶段以后的过程的演变与该阶段以前各阶段的状态无关。
通常还要求状态是可以直接或者是间接可以观测的。
描述状态的变量称为状态变量（State Virable）用s 表示，状态变量的取值集合称为状态集合，用S表示。
变量允许取值的范围称为允许状态集合(set of admissble states).用x(k)表示第k阶段的状态变量，它可以是一个数或者是一个向量。
用X(k)表示第k阶段的允许状态集合。
n 个阶段的决策过程有n+1个状态变量，x(n+1)是x(n)的演变的结果。
数学专业的优化方法
数学专业的优化方法在数学专业中，优化方法是一门重要的课程，涉及到数学模型的建立与求解，以及在各个领域的应用。
本文将介绍数学专业的优化方法，并探讨其在实际问题中的应用。
一. 优化方法的概念与分类优化方法是指通过系统地寻求最好（最优）解决方案的一种方法。
在数学领域中，优化方法可以分为数学规划、动态规划、金融工程、遗传算法等多种类型。
不同的优化方法适用于不同的问题领域。
二. 数学规划1. 线性规划线性规划是最常见的优化方法之一。
它的目标是在一组线性约束条件下，寻找一个最佳的线性函数值。
线性规划广泛应用于生产运作、供应链管理、资源分配等领域。
2. 整数规划整数规划是线性规划的一种扩展，它要求变量的取值为整数。
整数规划在物流路径规划、旅行商问题等领域有着重要的应用。
3. 非线性规划非线性规划是一类目标函数或者约束条件为非线性的优化问题。
非线性规划在工程设计、投资组合优化等领域具有广泛应用。
三. 动态规划动态规划是一种逐阶段求解决策问题的方法，其核心思想是将问题分解为子问题的求解，并利用子问题的解构造整个问题的解。
动态规划常应用于资源分配、路径规划等领域。
四. 遗传算法遗传算法是生物进化原理和数学优化方法的结合。
它通过模拟生物进化的过程，利用选择、交叉、变异等操作寻找最优解。
遗传算法在机器学习、图像处理等领域有广泛应用。
五. 数学专业优化方法的应用数学专业的优化方法不仅仅是理论研究，还应用于各个领域的实际问题。
以下是其中几个常见的应用领域。
1. 生产计划优化通过数学规划方法，可以有效地进行生产计划的优化，提高生产效率、降低成本。
例如，可以利用线性规划来确定生产资源的最优配置。
2. 交通运输优化在交通运输领域，优化方法可以帮助解决路径规划、交通流优化等问题。
例如，应用动态规划算法可以实现最短路径的搜索。
3. 金融风险管理金融领域的风险管理也是优化方法的重要应用之一。
通过建立数学模型，可以对风险进行评估，并采取相应的措施进行管理。
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这时就可写成
Vk,n (sk , uk , , sn1 ) vk (sk , uk )Vk1,n (sk1, uk1, , sn1 )
指标函数的最优值，称为最优值函数，记为 fk (sk ) 它表示从第k阶段的状态sk开始到第n阶段的终止状态的过程， 采取最优策略所得到的指标函数值。即
fk (sk ) opt Vk,n (sk , uk ,L , sn1)
第七章 动态规划
第七章 动态规划
最短路线问题 给定一个线路网络图，要从A地向F地铺设一条输油管
道，各点间连线上的数字表示距离，问应选择什么路线， 可使总距离最短？
某公司拟将某种设备5台，分配给所属的甲 乙丙三个工厂，三个工厂获得此设备后，预测 可创造的利润如表，问这5台设备应如何分配给 这3个工厂，使得所创造的总利润为最大？
逆序解法：Vk ,n
n
vj (sj,u j )
jk
基本方程： fk
(Sk
)
opt
uk Dk
vk (sk,uk )
f k 1 ( S k 1 )
fn1(Sn1) 0
顺序解法：V1，kFra bibliotekkv j (s j＋1, u j )
j 1
基本方程： fk (Sk＋1)
opt
uk Dk
vk (sk＋1,uk )
其中 vj (s j ,u j ) 表示第j阶段的阶段指标，这时上式可写成
Vk,n (sk , uk , , sn1) vk (sk , uk ) Vk1,n (sk1, uk1, , sn1)
2) 过程和它的任一子过程的指标是它所包含的各阶段的指标的
乘积。即
n
Vk,n (sk , uk ,L , sn1) v j (s j , u j ) jk
状态——过程中各阶段所处的“位置” 性质：如果某阶段状态给定后，则在这个阶段以后的过程的发 展不受这个阶段以前的各阶段的影响。无后效性 状态必须满足一定的条件： •能够描述问题的变化过程 •具有无后效性 •能够直接或间接的决算出来
(3)．决策与策略 决策表示当过程处于某一阶段的某个状态时，可以作出
(5)．指标函数和最优值函数 用来衡量所实现过程优劣的一种数量指标，称为指标函数
。它是定义在全过程和所有后部子过程上确定的数量函数。常 用Vk,n表示，即
Vk,n Vk, n (sk , uk , sk 1,L , sn1), k 1, 2,L , n
对于要构成动态规划模型的指标函数，应具有可分离性 ，并满足递推关系。即Vk,n可以表示为sk、uk、Vk+1,n的函数， 记为
9
2、 顺序解法
阶段的划分A到F 可以分成从B到A，从C 到B，从D到C，从E到 D，从F到E
当初始状态给定时可用逆序解法，当终止状态给定时可 用顺序解法。若问题给定了一个初始状态与一个终止状态， 则两种方法均可使用。
13 17
15
12 7
10 5
8 5
9 4
0
5
4 0
3
6 11
7 12
10 14
Vk,n (sk , uk , sk1 , , sn1 ) k [sk , uk ,Vk1,n (sk1 , , sn1 )]
在实际问题中很多指标函数都满足这个性质。
常见的指标函数形式
1) 过程和它的任一子过程的指标是它所包含的各阶段的指
标的和。即
n
Vk,n (sk , uk ,L , sn1) v j (s j , u j ) jk
12
14 17
14
3.逆序解法与顺序解法比较
（1） 状态转移方式不同
逆序解法中第k段的输入状态sk，决策为uk，由 此确定输出为sk+1，即第k+1段的状态，状态转移方 程为
Sk1 Tk (Sk , uk )
顺序解法中第k段的输入状态sk+1，决策为uk， 由此确定输出为sk，状态转移方程为
Sk Tk (Sk1, uk )
（2） 指标函数的定义不同
逆序解法中，定义最优指标函数 fk(sk)表示第k段 从状态sk出发到终点后部子过程最优效益值，f1(s1) 是整体最优函数值。
顺序解法中，定义最优指标函数 fk(sk+1)表示第k 段从起点到状态sk的前部子过程最优效益值，fn(sk+1) 是整体最优函数值。
（3） 基本方程形式不同 指标函数为阶段指标和形式
fk－1(Sk )
f0 (S1) 0
（3） 基本方程形式不同 指标函数为阶段指标积形式
逆序解法：Vk ,n
n
vj (sj ,u j )
jk
基本方程： f
k
(
S
k
)
opt
uk Dk
vk (sk,uk ) •
f k 1 (S k 1 )
fn1(Sn1) 1
顺序解法：V1，k
k
v j (s j＋1, u j )
uk ,L , un
可根据题意而取min或max。
二. 动态规划的基本思想与基本原理
从A到F可以分成从A到B，从B到C，从C到D，从D到E，从E到F 从A到F可以分成从B到A，从C到B，从D到C，从E到D，从F到E
1、 逆序解法
12
13
7
10
4
5
8
3
15
5
9
12
13
7
10
4
17
5
8
3
15
5
设备
甲
乙
丙
0
0
0
0
1
3
5
4
2
7
10
6
3
9
11
11
4
12
11
12
5
13
11
12
§7－1 动态规划的基本概念和基本原理
一. 动态规划的概念
❖ 阶段 ❖ 状态 ❖ 决策和策略 ❖ 状态转移 ❖ 指标函数
(1) 阶段
把所给问题的过程，恰当地分为若干个相互 联系的阶段，以便能按一定的次序去求解。描述 阶段的变量称为阶段变量，常用k表示。阶段的 划分，一般是根据时间和空间的自然特征来划分， 但要便于把问题的过程能转化为多阶段决策的过 程。如例4可分为5个阶段来求解，从A到F可以分 成从A到B，从B到C，从C到D，从D到E，从E到 F； k分别等于1、2、3、4、5。
j 1
基本方程： f
k
(Sk＋1
)
opt
uk Dk
vk (sk＋1,uk ) •