北师大版初一数学上册行程问题-相遇与追及问题
北师大数学初一上-行程问题-专题分类整理-带部分答案
行程问题一、弄清行程问题中基本的量和它们之间的关系。
行程问题中有三个基本量：速度、时间、路程。
这三个量之间的关系是：路程＝时间×速度：速度＝路程/时间时间＝路程/速度二、行程问题常见类型1、普通相遇问题。
2、追及（急）问题。
3顺（逆）水航行问题。
4、跑道上的相遇（追急）问题三、行程问题中的等量关系所谓等量关系就是意义相同的量能用等量连接的关系。
若路程已知，则应找时间的等量关系和速度的等量关系；若速度已知，则应找时间的等量关系和路程的等量关系；若时间已知，则找路程的等量关系和速度的等量关系。
在航行问题中还有两个固定的等量关系，就是：顺水速度＝静水速度＋水流速度逆水速度＝静水速度＋水流速度【通讯员问题】牢牢把握住关键隐含条件——时间相等。
【火车过桥问题】桥长＋车长=路程速度×过桥时间=路程【火车错车或超车问题】A车长＋B车长=路程速度和×错车时间=错车路程速度差×超车时间=超车路程【流水行船】船速：在静水中的速度水速：河流中水流动的速度顺水船速：船在顺水航行时的速度逆水速度：船在逆水航行时的速度相遇问题1、甲乙两人在一条长400 米的环形跑道上跑步，甲的速度是每分钟跑360米，乙的速度是每分钟跑240米。
两人同时同地同向跑，几秒后两人第一次相遇？分析：本题属于环形跑道上的追及问题，两人同时同地同向而行，第一次相遇时，速度快者比速度慢者恰好多跑一圈，即等量关系为：甲走的路程-乙走的路程=4002.为了迎接2008年北京奥运会，小区倡导大家锻炼身体，聪聪和明明兄弟两人决定每天早起跑步，明明每秒跑4米，聪聪每秒跑6米，如果他们站在百米跑道的两端同时相向起跑，那么几秒后两人相遇？分析：①用线段图表示为：聪聪x秒跑的路程：明明x秒跑的路程：②用符号语言表示为（即列方程）：3.甲乙两人在环形跑道上练习跑步。
已知环形跑道一圈长400米，乙每秒跑6米，甲的速度是乙的4/3倍。
行程问题(相遇、追及、多次相遇、电车)
相遇追及（多次）、电车问题一、知识地图简单相遇追及匀速直线行程多次相遇追及（包括火车过桥）发车间隔问题多次相遇追及环形线路行程（包括钟表问题）⎧⎨⎩⎧⎪⎨⎪⎩变速直线行程（求平均速度）流水行船不同参照系的行程自动扶梯行程中的比例关系其他类型（正、反比例运用）相遇点变化问题二、基础知识在历年“小升初”考试和各类小学奥数竞赛试题中，“行程问题”都占有很大的比重。
同时也是小学奥数专题中的难点，“行程问题”经常作为一份试卷中的压轴难题出现，提高解决“行程问题”的能力不仅能帮助在小升初考试和各类数学竞赛中取得优异成绩，还能为今后初中阶段数学、物理学科的学习打下良好的基础。
（一）典型的相遇和追及所有行程问题是围绕“⨯路程=速度时间”这一条基本关系式的展开，比如我们遇到的两大典型行程题相遇问题和追及问题的本质也是这三个量之间的关系，在这里：=⨯路程和速度和相遇时间；=⨯路程差速度差追及时间；这两组关系式中“路程和”或“路程差”实际上对应的是相遇或追及问题中的原始（初始）距离，我们可以通过图示来理解。
相遇问题追及问题（二）多次相遇追及通过图示介绍直线上的相遇和追及的规律这部分内容涉及以下几个方面：1求相遇次数2求相遇地点3由相遇地点求全程“线段示意图”和“折线示意图”是解行程问题特别是多次相遇问题的重要方法。
举个例子：假设A、B两地相距6000米，甲从A地出发在AB间往返运动，速度为6千米/小时，乙从B出发，在AB间往返运动，速度为4千米/小时。
我们可以依次求出甲、乙每次到达A点或B点的时间。
为了说明甲、乙在AB间相遇的规律，我们可以用“折线示意图”来表示。
第四次相遇第五次相遇第六次相遇第二次相遇第三次相遇第一次相遇折线示意图能将整个行程过程比较清晰的呈现出来：例如AD表示的是，甲从A地出发运动到B地的过程，其中D点对应的时间为1小时，表示甲第一次到达B点的时间为1小时，BF表示乙从B地出发到达A地的过程，F点对应的时间为1.5小时，表示乙第一次到达A 地的时间为1.5小时，AD与BF相交于C点，对应甲、乙的第一次相遇事件，同样的G点对应是甲、乙的第二次相遇事件。
七年级数学上追及问题与相遇问题
七年级数学上追及问题与相遇问题【1】追及问题：（相向而行）：追及路程/追及速度和=追及时间（同向而行）：追及路程/追及速度差=追及时间基本概念：行程问题是研究物体运动的，它研究的是物体速度、时间、行程三者之间的关系。
基本公式：路程＝速度×时间；路程÷时间＝速度；路程÷速度＝时间关键问题：确定行程过程中的位置相遇问题：速度和×相遇时间＝相遇路程（请写出其他公式）追击问题：追击时间＝路程差÷速度差（写出其他公式）流水问题：顺水行程＝（船速＋水速）×顺水时间逆水行程＝（船速－水速）×逆水时间顺水速度＝船速＋水速逆水速度＝船速－水速静水速度＝（顺水速度＋逆水速度）÷2 水速＝（顺水速度－逆水速度）÷2流水问题：关键是确定物体所运动的速度，参照以上公式。
过桥问题：关键是确定物体所运动的路程，参照以上公式。
【和差问题公式】（和+差）÷2=较大数；（和-差）÷2=较小数。
【和倍问题公式】和÷（倍数+1）=一倍数；一倍数×倍数=另一数，或和-一倍数=另一数。
【差倍问题公式】差÷（倍数-1）=较小数；较小数×倍数=较大数，或较小数+差=较大数。
【平均数问题公式】总数量÷总份数=平均数。
【一般行程问题公式】平均速度×时间=路程；路程÷时间=平均速度；路程÷平均速度=时间。
【反向行程问题公式】反向行程问题可以分为“相遇问题”（二人从两地出发，相向而行）和“相离问题”（两人背向而行）两种。
这两种题，都可用下面的公式解答：（速度和）×相遇（离）时间=相遇（离）路程；相遇（离）路程÷（速度和）=相遇（离）时间；相遇（离）路程÷相遇（离）时间=速度和。
【同向行程问题公式】追及（拉开）路程÷（速度差）=追及（拉开）时间；追及（拉开）路程÷追及（拉开）时间=速度差；（速度差）×追及（拉开）时间=追及（拉开）路程。
七年级数学上追及问题与相遇问题
七年级数学上追及问题与相遇问题追及问题:(相向而行):追及路程/追及速度与=追及时间(同向而行):追及路程/追及速度差=追及时间基本概念:行程问题就是研究物体运动的,它研究的就是物体速度、时间、行程三者之间的关系。
基本公式:路程＝速度×时间;路程÷时间＝速度;路程÷速度＝时间关键问题:确定行程过程中的位置相遇问题:速度与×相遇时间＝相遇路程(请写出其她公式)追击问题:追击时间＝路程差÷速度差(写出其她公式)流水问题:顺水行程＝(船速＋水速)×顺水时间逆水行程＝(船速－水速)×逆水时间顺水速度＝船速＋水速逆水速度＝船速－水速静水速度＝(顺水速度＋逆水速度)÷2 水速＝(顺水速度－逆水速度)÷2流水问题:关键就是确定物体所运动的速度,参照以上公式。
过桥问题:关键就是确定物体所运动的路程,参照以上公式。
【与差问题公式】(与+差)÷2=较大数;(与-差)÷2=较小数。
【与倍问题公式】与÷(倍数+1)=一倍数;一倍数×倍数=另一数,或与-一倍数=另一数。
【差倍问题公式】差÷(倍数-1)=较小数;较小数×倍数=较大数,或较小数+差=较大数。
【平均数问题公式】总数量÷总份数=平均数。
【一般行程问题公式】平均速度×时间=路程;路程÷时间=平均速度;路程÷平均速度=时间。
【反向行程问题公式】二人从两地出发,相向而行)与“相离问反向行程问题可以分为“相遇问题”（题”（两人背向而行)两种。
这两种题,都可用下面的公式解答:(速度与)×相遇(离)时间=相遇(离)路程;相遇(离)路程÷(速度与)=相遇(离)时间;相遇(离)路程÷相遇(离)时间=速度与。
【同向行程问题公式】追及(拉开)路程÷(速度差)=追及(拉开)时间;追及(拉开)路程÷追及(拉开)时间=速度差;(速度差)×追及(拉开)时间=追及(拉开)路程。
（完整版）相遇问题与追及问题
（完整版）相遇问题与追及问题相遇与追及问题一、学习目标1. 理解相遇与追及的运动模型，掌握相遇与追及这两种情况下路程、时间、速度这三个基本量之间的关系.会利用这个关系来解决一些简单的行程问题.2. 体会数形结合的数学思想方法.二、主要内容1. 行程问题的基本数量关系式：路程=时间×速度；速度=路程÷时间；时间=路程÷速度.2．相遇问题的数量关系式：相遇路程=相遇时间×速度和；速度和=相遇路程÷相遇时间；相遇时间=相遇路程÷速度和.3.追及问题的数量关系式：追及距离=追及时间×速度差；速度差=追及距离÷追及时间；追及时间=追及距离÷速度差.4. 能熟练运用路程、时间、速度这三个基本量的关系，结合图形分析，解决一些简单的行程问题.三、例题选讲例1两辆汽车同时分别从相距500千米的A，B两地出发，相向而行，速度分别为每小时40千米和每小时60千米.求几小时后两车相遇.例2甲车在乙车前200千米，同时出发，速度分别为每小时40千米与60千米.问多少小时后，乙车追上甲车.例3一辆公共汽车和一辆小轿车同时从相距598千米的两地相向而行.公共汽车每小时行40千米，小轿车每小时行52千米，问几小时后两车相距138千米？例4甲、乙两辆汽车同时从东、西两地相向开出，甲车每小时行56千米，乙车每小时行48千米，两车在离中点32千米处相遇.求东、西两地相距多少千米？例6一辆卡车和一辆摩托车同时从A、B两地相对开出，两车在途中距A地60千米处第一次相遇.然后，两车继续前进，卡车到达B地，摩托车到达A地后都立即返回，两车又在途中距B地30千米处第二次相遇.求A、B两地相距多少千米？例7甲、乙、丙三人进行100米赛跑.当甲到达终点时，乙离终点还有20米，丙离终点还有40米.如果甲、乙、丙赛跑的速度都不变，那么当乙到达终点时，丙离终点还有多远？例8小明步行上学，每分行75米，小明离家12分后，爸爸骑单车去追，每分行375米.问爸爸出发多少分后能追上小明？例9解放军某部快艇追击敌舰，追到A岛时，敌舰已逃离该岛15分钟，已测出敌舰每分钟行驶1000米，解放军快艇每分钟行驶1360米，在距离敌舰600米处可开炮射击.问解放军快艇从A岛出发经过多少分钟就可以开炮射击敌舰？例10甲、乙两人在环形跑道上以各自的不变速度跑步，如果两人同时从同地相背而行，乙跑4分钟后两人第一次相遇，已知甲跑一周需6分钟，那么乙跑一周需要多少分钟？例11两名运动员在湖周围环形道上练习长跑，甲每分跑250米，乙每分跑200米，两人同时从两地同向出发，经过45分甲追上乙，如果两人同时同地反向出发，经过多少分两人相遇？例12甲、乙两人在相距90米的直路上来回跑步，甲的速度是每秒3米，乙的速度是每秒2米，如果她们同时分别从直路两端点出发，跑了6分，那么，这段时间内，两人共迎面相遇了多少次？巩固练习:1、甲、乙两站相距980千米，两列火车由两站相对开出，快车每小时行50千米，慢车每小时行多少千米，两车经10小时能相遇？2、甲车每小时行60千米，1小时后，乙车紧紧追赶，速度为每小时80千米，几小时后乙车可追上甲车？3、早晨6时，有一列货车和一列客车同时从相距360千米的甲、乙两城相对开出，中途相遇，这期间，货车停车一次60分钟，客车停车两次各30分钟，已知货车每小时行42千米，客车每小时行78千米，问两车在几点钟相遇？4、东、西两镇相距240千米，一辆客车从上午8时从东镇开往西镇，一辆货车在上午9时从西镇开往东镇，到正午12点，两车恰好在两镇间的中点相遇，如果两车都从上午8时由两地相向开出，速度不变，到上午10时，两车还相距多少千米？5、骑单车从甲地到乙地，以每小时10千米的速度行进，下午1点到，以每小时15千米的速度行进，上午11点到.如果希望中午12点到，那么应以怎样的速度行进呢？6、某人由甲地去乙地，如果他从甲地先骑摩托车行了12小时，再换骑自行车行9小时，恰好到达乙地.如果他从甲地先骑自行车行了21小时，再换骑摩托车行8小时，也恰好到达乙地.问：全程骑摩托车需要多少小时才能到达乙地？7、兄妹两人同时由家上学，哥哥每分钟走90米，妹妹每分钟走60米，哥哥到校门口时，发现忘了带课本，立即沿原路返回去取，行至离校门口180米处与妹妹相遇，他们家离学校多少米？8、兄妹两人在周长300米的圆形水池边玩.从同一地点同时背向饶水池而行.哥哥每分钟走13米，妹妹每分钟走12米.他们第5次相遇时，哥哥共走了多长的路？课后作业:1.甲以每小时4千米的速度步行去学校,乙比甲晚4小时骑自行车从同一地点出发去追甲,乙每小时行12千米,乙多少小时可追上甲？2.小张从家到公园,原打算每分钟走50米,为了提早10分钟到,他把速度加快,每分钟走75米.小张家到公园有多少米？3.父亲和儿子都在某厂工作,他们从家里出发步行到工厂,父亲用40分钟,儿子用30分钟.如果父亲比儿子早5分钟离家,问儿子用多少分钟可赶上父亲?4.解放军某部小分队,以每小时6千米的速度到某地执行任务,途中休息30分后继续前进,在出发5.5小时后,通讯员骑摩托车以56千米的速度追赶他们。
北师大数学七年级上册一元一次方程之行程问题
一元一次方程（四）——行程问题【基本关系式】（1）行程问题中的三个基本量及其关系：路程=速度×时间时间＝路程÷速度速度＝路程÷时间（2）基本类型①相遇问题：快行距＋慢行距＝原距②追及问题：快行距－慢行距＝原距【经典例题】例题1.甲、乙两站相距480公里，一列慢车从甲站开出，每小时行90公里，一列快车从乙站开出，每小时行140公里。
（1）慢车先开出1小时，快车再开。
两车相向而行。
问快车开出多少小时后两车相遇（2）两车同时开出，相背而行多少小时后两车相距600公里（3）两车同时开出，慢车在快车后面同向而行，多少小时后快车与慢车相距600公里（4）两车同时开出同向而行，快车在慢车的后面，多少小时后快车追上慢车（5）慢车开出1小时后两车同向而行，快车在慢车后面，快车开出后多少小时追上慢车此题关键是要理解清楚相向、相背、同向等的含义，弄清行驶过程。
故可结合图形分析。
（1）分析：相遇问题，画图表示为：等量关系是：慢车走的路程+快车走的路程=480公里。
解：设快车开出x小时后两车相遇，由题意得，140x+90(x+1)=480解这个方程，230x=390,23161 x 答：快车开出23161小时两车相遇 （2）分析：相背而行，画图表示为：等量关系是：两车所走的路程和+480公里=600公里。
解：设x 小时后两车相距600公里，由题意得，(140+90)x+480=600解这个方程，230x=120 ∴ x= 2312 答：2312小时后两车相距600公里。
（3）分析：等量关系为：快车所走路程－慢车所走路程+480公里=600公里。
解：设x 小时后两车相距600公里，由题意得，(140－90)x+480=600 50x=120 ∴x=答：小时后两车相距600公里。
（4）分析：追及问题，画图表示为：等量关系为：快车的路程=慢车走的路程+480公里。
解：设x 小时后快车追上慢车。
由题意得，140x=90x+480 解这个方程，50x=480 ∴ x=答：小时后快车追上慢车。
数学北师大版七年级上册行程问题
内容：七年级第五章第六节教学目标：1、通过小组合作、自主探究，使学生知道速度的表示法；理解和掌握行程问题中速度、时间、路程三个数量的关系。
知道同向、反向、相向相遇（或追及）问题，会列方程解应用题。
2、通过课堂上的合作学习、汇报展示、互动交流，提高学生分析处理信息的能力，培养学生解决实际问题的能力。
3、让学生通过提出问题、解决问题，感受数学来源于生活，在交流评价中培养学生的自信心，体验到成功的喜悦。
教学重难点：同向、反向、相向相遇（或追及）问题，会列方程解应用题。
教学过程：一、创设情境，提出目标1、创设情境：A、B两站相距260千米，快车、慢车速度分别为100千米/时、80千米/时，快车在A站，慢车在B站，两车怎么走，方向如何？（1）学生自由发言。
（2）方向：①相向②同向③反向2、提出学习目标：请同学们想一想，哪些问题值得我们研究呢？让学生说一说再标出线段图：（1）怎样设未知数？怎么表示路程？（2）行程问题中有哪些数量？它们之间有什么关系？列出方程。
“[设计意图] 从学生已有的知识出发，充分联系学生的生活实际，使学生进一步体验数学来源于生活。
同时激发发的学习动机,让他们带着明确的目标进行自学。
三、分层练习，拓展延伸1、基本训练（1）相向（2）反向（3）同向2、拓展提高（1）学生独立列方程，订正时，让学生说说是怎样做的？（2）老师进行指导，讲清线段图怎么画？方程怎么列？注意哪些关键词[设计意图]通过设计层次性作业，使各类学生对所学的知识有所巩固提高。
四、总结反思，布置作业1、说说这节课的收获。
2、作业。
数学北师大版七年级上册行程中的相遇问题
60x
乙 B
解：设甲车行了 小时后与乙车相遇。 依题意，得
x
40 x 60 x 300
解得 x3
答：甲车行了3小时后与乙车相遇。
例1： 甲、乙两车分别停靠在
①相遇前相距100千米
②相遇后相距100千米
甲 40x 相距300千米的A、B两地，
甲车每小时行40千米， 乙车每小时行60千米。 （2）若两车同时相向而 A
40 x 60 x 100 300
解得 x4
答：甲车行了4小时后两车相距100千米
谢谢您的聆听
②相遇后相距100千米
60x
100千米
甲 40x 相距300千米的A、B两地，
甲车每小时行40千米， 乙车每小时行60千米。 （2）若两车同时相向而 A
乙
300千米
B
甲车路程+乙车路程-相距100千米=相距路程
行，请问甲车行了多长
解：设甲车行了 小时后与乙车相遇。 依题意，得
x
时间后两车相距100千米？
60x
100千米
乙 B
300千米
甲车路程+乙车路程+相距100千米=相距路程
行，请问甲车行了多长
解：设甲车行了x 小时后两车相距100千米。 依题意，得
时间后两车相距100千米？
40 x 60 x 100 300
解得 x2
答：甲车行了2小时后两车相距100千米
例1： 甲、乙两车分别停靠在
S千米
B
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
2.如果两车相遇，则相遇时两车所走的路程 与A、B两地的距离有什么关系？ 等量关系：甲车路程+乙车路程=相距路程
线段图分析：
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一元一次方程模型的应用--行程问题
湖南省邵阳市绥宁县实验中学孙腊珍
探究新知2 行程问题中的追及问题：
例2 A、B两站间的路程为448千
米，一列快车从Ａ站出发，每小时
行驶80千米，一列慢车从Ｂ站出
发，每小时行驶60千米，问：两车
同时、同向而行，如果慢车在前，
出发后多长时间快车追上慢车？
1、问：你能找出题中的等量关系
吗？
2、你能解决这个问题吗？
（1）学生思考，回答：
等量关系：
快车行驶路程—慢车行
驶路程＝相距路程
（2）学生上台板演解题
过程。
通过画线段图分
析题目，培养学生
分析问题、解决问
题的能力。
归纳总结行程问题——追及问题：
关系式：
快者路程—慢者路程 = 二者距离
（或慢者先走路程）
思考、分析
培养学生自我归
纳总结的能力。
探究新知3 行程问题特例——环形跑道问题：
例 3 如下图：小杰、小丽分别在
400米环形跑道上练习跑步与竞
走，小杰每分钟跑320米，小丽每
分钟走120米，两人同时由同一点
同向出发，问几分钟后，小丽与小
杰第一次相遇？
1、多媒体动画展示小杰、小丽的运
动过程。
2、问：你能找出题中的等量关系
吗？你能解决这个问题吗？
（1）学生思考，回答：
等量关系：
小杰跑的路程―小丽走
的路程=环形跑道一周的
长
（2）学生上台板演解题
过程。
动画展示运动过
程，激发学生的学
习兴趣；让学生自
己寻找等量关系，
从而解决问题，培
养学生的观察、思
考、分析、解决问
题的能力。
合作交流请大家小组讨论：
两人同时由同一点同向出发，几
分钟后，小丽与小杰第二次相遇？
第三次相遇？第n次相遇？（其他
条件不变）
小组讨论、交流，派代表
上台板演。
通过小组讨论交
流，培养学生的团
结协作能力。
变式训练如下图：小杰、小丽分别在400米
环形跑道上练习跑步与竞走，小杰
每分钟跑320米，小丽每分钟走120
米，两人同时由同一点反向出发，
问几分钟后，小丽与小杰第一次相
遇？
（1）动画展示运动过程。
（2）设问：怎么解决这个问题？
学生思考、交流解题方法通过变式训练，让
学生学会举一反
三，提高学生的学
习能力。
巩固练习甲、乙两名同学练习百米赛跑，甲
每秒跑7米，乙每秒跑6.5米，如
果甲让乙先跑1秒，那么甲经过几
秒可以追上乙？
学生自己解决问题把知识活用
全课小结提问：
1.今天我们学习了哪些知识？
2.今天学习了哪些数学方法？
学生思考、回答：
1、行程问题：
（1）相遇问题
（2）追及问题
（3）特例：环形跑道问
题
2、画图分析法：
画线段分析行程问题
通过学生总结，养
成概括、提炼和反
思的习惯。
布置作业课本109页第 9题和第11题。