概率论与数理统计模拟题一及答案
概率论与数理统计模拟题一一、 单项选择题（每小题3分，共30分）1、设,,A B C 是随机事件，且AB C ⊂，则（ ）。
(A)C A B ⊂U (B) A C ⊂且B C ⊂ (C)C AB ⊂ (D) A C ⊂或B C ⊂2、某工厂生产某种圆柱形产品，只有当产品的长度和直径都合格时才算正品，否则就为次品，设A 表示事件“长度合格”，B 表示事件“直径合格”，则事件“产品不合格”为（ ）。
(A)A B U (B) AB (C)AB (D) AB 或AB 3、已知()0.6,()0.8,()0.6P A P B P B A ===，则()P A B =（ ）。
(A)0.4 (B) 0.5 (C)0.6 (D) 0.7 4、在下述函数中，可以作为某随机变量的分布函数的为（ ）。
(A)21()1F x x =+ (B) 11()arctan 2F x x π=+ (C)1(1),0()20, 0xe x F x x -⎧->⎪=⎨⎪≤⎩(D) ()()x F x f x dx -∞=⎰，其中()1f x dx +∞-∞=⎰5、设连续型随机变量X 的概率密度和分布函数分别为()f x 和()F x ，则（ ）。
(A)0()1f x ≤≤ (B)()()P X x F x == (C)()()P X x F x =≤ (D) ()()P X x f x ==6、设随机变量~(0,1)X N ，则方程2240t Xt ++=没有实根的概率为（ ）。
(A)1)1(2-Φ (B))2()4(ΦΦ- (C))2()4(---ΦΦ (D))4()2(ΦΦ- 7、设二维离散型随机变量(,)X Y 的联合分布律为已知事件{0}X =与{1}X Y +=相互独立，则（ ）。
(A)0.2,0.3a b == (B)0.4,0.1a b == (C)0.3,0.2a b == (D)0.1,0.4a b ==8、设随机变量X 在区间(,)a b 上服从均匀分布，即(,)X U a b :，则DX =（ ）。
(A) 2()12b a - (B) 2()12b a + (C) 2()3a b + (D) 2()3b a -9、设,X Y 是方差均大于零的随机变量，则下列命题中不正确的事（ ）。
（A ）,X Y 不相关的充要条件是cov(,)0X Y = （B ） ,X Y 不相关的充要条件是()E X Y EX EY +=+ （C ） ,X Y 不相关的充要条件是()D X Y DX DY ±=+ （D ） ,X Y 不相关的充要条件是()()D X Y D X Y +=- 10、设~(0,1) , ~(0,1)X N Y N ，则（ ）。
(A)X Y +服从正态分布 (B) 22X Y +服从正态分布(C) 22, X Y 都服从2χ-分布 (D)22X Y 服从F -分布二、填空题（每小题3分，共30分）1、设随机事件,A B 互不相容，且(),()P A p P B q ==，则()P AB = 。
2、设q B P p A P ==)(,)(，且B A ,相互独立，则()P A B -= 。
3、从1,2,3,4,5,6这六个数字中等可能地有放回地连续抽取4个数字，则事件“取得4个数字完全不同”的概率为 。
4、设随机变量X 的分布函数为()arctan F x A B x =+，则常数A = ，B = 。
5、设在三次独立试验中，事件A 发生的概率相等。
若已知事件A 至少出现一次的概率等于1927，则事件A 在一次试验中出现的概率为 。
6、设随机变量X 与Y 相互独立，且都服从区间(0,1)上的均匀分布，则22(1)P X Y +≤= 。
7、设(,)~(1,1;4,4;0)X Y N ，则(1,1)P X Y ≤≤= 。
8、设随机变量X 服从参数为p 的01-分布，即~(1,)X B p ，则2(31)E X += 。
9、设总体~(72,100)X N ，为使样本均值X 大于70的概率不小于90%，问样本容量n 至少为 （已知(1.29)0.90Φ=）？10、设总体X 服从参数为(01)p p <<的01-分布，12,,,n X X X L 为总体X 的样本，则DX = 。
三、解答题（每小题10分，共40分）1、某工厂有4个车间生产同一种产品，其产量分别占总产量的15%，20%，30%，35%，各车间的次品率分别为0.05，0.04，0.03，0.02，现从出厂产品中任取一件，求 （1）取出的产品是次品的概率； （2）若取出的产品是次品，它是一车间生产的概率。
2、设随机变量X 的分布函数为0, 11,124()3, 2341, 3x x F x x x <-⎧⎪⎪-≤<⎪=⎨⎪≤<⎪⎪≥⎩证明：随机变量X3、设随机变量,X Y 的分布律分别为且(0)1P XY ==，（1）求,X Y 的联合分布律；（2）问,X Y 是否独立，为什么？ 4、 设总体~[,]X U a b ，其中,a b 为未知参数，12,,,n X X X L 为来自总体X 的一个样本，求参数,a b 的最大似然估计量。
模拟题一参考答案一、 单项选择题（每小题3分，共30分）1、解 应选（A ）。
由于AB C ⊂，因此C AB A B ?U ，故选（A ）。
2、解 应选（C ）。
由于AB 表示事件“产品合格”，因此AB 表示事件“产品不合格”，故选（C ）。
3、解 应选（D)。
由于()()()()()1()P AB P B P AB P B A P A P A -==-因此()()(1())()0.80.40.6P AB P B P A P B A =--=-⨯从而()0.80.24()10.30.7()0.8P AB P A B P B -===-=故选（D)。
4、解 应选B 。
由于在选项（A ）中，()01F +∞=≠，在选项（C ）中，1()12F +∞=≠，在选项（D ）中，取1, 12()2, 340, x f x x -≤≤⎧⎪=≤≤⎨⎪⎩其他则()1f x dx +∞-∞=⎰，但当12x <<时，()10F x x =-<，因此选项A 、C 、D 都不正确，故选B 。
5、解 应选（C ）。
由于{}{}X x X x =⊂≤，因此，由概率的单调性及分布函数的定义，得()()()P X x P X x F x =≤≤=故选（C ）。
6、解 应选（A ）。
22( 240 )(4160)P t Xt P X ++==-<“方程没有实根”2(4)(22)P X P X =<=-<< (2)(2)2(2)1ΦΦΦ=--=-故选（A ）。
7、解 应选（B ）。
由0.40.11a b +++=，得0.5a b +=由于事件{0}X =与{1}X Y +=相互独立，且(0)0.4P X a ==+(1)(0,1)(1,0)P X Y P X Y P X Y a b +====+===+(0,1)(0,1)P X X Y P X Y a =+=====因此(0,1)(0)(1)(0.4)()a P X X Y P X P X Y a a b ==+===+==++所以0.42a a +=从而0.4,0.1a b ==故选（B ）。
8、解 应选(A )。
由于X 在区间(,)a b 上服从均匀分布，因此X 的概率密度为1,()0, a x b f x b a⎧<<⎪=-⎨⎪⎩其它因为2a bEX +=，而 2221()baEX x f x dx x dx b a+∞-∞==⋅-⎰⎰3322133b a b ab a b a -++=⋅=- 所以X 的方差为222222()()()3212b ab a a b b a DX EX EX +++-=-=-=故选(A )。
9、解 应选(B)。
由于,X Y 不相关的充要条件是cov(,)0X Y =，因此选项(A )正确；同理选项（C ）、（D ）都正确，故选(B)。
10、解 应选（C ）。
由于~(0,1), ~(0,1)X N Y N ，因此2222~(1), ~(1)X Y χχ，即22X Y 、都服从2χ分布，故选C 。
二、填空题（每小题3分，共30分）1、解 应填1p q --。
由于A 、B 互不相容，因此()()1()P AB P A B P A B ==-U U1()()()P A P B P AB =--+1()()1P A P B p q =--=--故填1p q --。
2、解 应填(1)p q -。
由于A 、B 相互独立，因此()()()()()()()P A B P A AB P A P AB P A P A P B -=-=-=-(1)p pq p q =-=-故填(1)p q -。
3、解 应填518。
样本空间基本事件总数11116666n C C C C =。
有利于所求事件发生的基本事件数111116543k C C C C =，从而所求的概率为111165431111116666518C C C C k p n C C C C === 故填518。
4、解 应填11,2A B π==。
由()02F A B π-∞=-= ()12F A B π+∞=+=解之得11,2A B π==，故填11,2A B π==。
5、解 应填13。
设事件A 在一次试验中发生的概率为p ，X 表示三次独立试验中事件A 发生的次数，则(3,)X B p :，依题意，得319(1)1(0)1(1)27P X P X p =≥=-==-- 解之，得13p =，从而事件A 在一次试验中发生的概率为13，故填13。
6、解 应填4π。
由于X 与Y 的概率密度分别为1,01()0, X x f x <<⎧=⎨⎩其它，1,01()0, Y y f y <<⎧=⎨⎩其它又X 与Y 相互独立，故(,)X Y 的联合概率密度为1,01,01(,)()()0, X Y x y f x y f x f y <<<<⎧==⎨⎩其它所以22221(1)(,)4x y P X Y f x y dxdy π+≤+≤==⎰⎰（221x y +≤含在01,01x y <<<<内的平面图形的面积），故填4π。
7、解 应填14。
由于(,)~(1,1;4,4;0)X Y N ，且0ρ=，因此~(1,4)X N ，~(1,4)Y N ，且,X Y 相互独立， 从而111(1,1)(1)(1)224P X Y P X P Y ≤≤=≤≤=⨯=故填14。
概率论与数理统计模拟试题&参考答案
练习题一一、填空题。
1、已知P(A)=0.3，P(A+B)=0.6，则当A 、B 互不相容时，P(B)=___________，而当A 、B 相互独立时，P(B)=__________。
2、已知X ～),(p n B ,且8E X =, 4.8D X =, 则n =__________，X 的最可能值为__________。
3、若)(~λP X ，则=EX ，=DX 。
4、二维离散型随机变量),(ηξ的分布律为：则η的边缘分布_____________，ξ，η是否独立？_____________（填独立或不独立）。
5、设12(,,,)n X X X 是来自正态总体2(,)N μσ的一组简单随机样本，则样本均值11()n X X X n=++ 服从__________。
6、设一仓库中有10箱同种规格的产品，其中由甲、乙、丙三厂生产的分别为5箱、3箱、2箱，三厂产品的次品率依次为0.1, 0.2, 0.3, 从这10箱中任取一箱，再从这箱中任取一件，则这件产品为次品的概率为 。
7、设连续型随机变量ξ的概率密度为1 -1 ()1 010 x xx x x ϕ+≤<⎧⎪=-≤≤⎨⎪⎩其它，则E ξ=__________。
二、判断题。
1、服从二元正态分布的随机变量),(ηξ，它们独立的充要条件是ξ与η的相关系数0ρ=。
（ ）2、设12(,,,)n X X X 是来自正态总体2(,)N μσ的样本，S 是样本方差，则222(1)~()n Sn χσ-。
（ ）3、随机变量Y X ,相互独立必推出Y X ,不相关。
（ ）4、已知θ 是θ的无偏估计，则2θ 一定是2θ的无偏估计。
（ ）5、在5把钥匙中，有2把能打开门，现逐把试开，则第3把能打开门的概率为0.4。
（ ）三、选择题。
1、某元件寿命ξ服从参数为λ（11000λ-=小时）的指数分布。
3个这样的元件使用1000小时后，都没有损坏的概率是 （A ）1e -； （B ）3e -（C ）31e --（D ）13e -2、设X 的分布函数为)(x F ，则13+=X Y 的分布函数()y G 为（A ）()3131-y F （B ）()13+y F （C ）1)(3+y F （D ）⎪⎭⎫⎝⎛-3131y F3、设随机变量(3,4)N ξ ，且()()P c P c ξξ≤=>，则c 的取值为（） （A ）0； （B ）3； （C ）-3； （D ）24、设两个相互独立的随机变量X 和Y 的方差分别为4和2，则随机变量32X Y -的方差是（）。
概率论与数理统计：概率论练习题1及答案
5 / 8概率论练习题1（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分）1、若当事件A ，B 同时发生时，事件C 必发生，则下列选项正确的是（ ） A ．()()P C P AB =； B ．()()P C P AB ≤； C ．()()P C P AB ≥； D ．以上答案都不对．2、设随机变量()~X E λ，则下列选项正确的是（ ）A ．X 的密度函数为(),00,0x e x f x x λ-⎧>=⎨≤⎩；B ．X 的密度函数为(),00,0x e x f x x λλ-⎧>=⎨≤⎩；C ．X 的分布函数为(),00,0x e x F x x λλ-⎧>=⎨≤⎩；D ．X 的分布函数为()1,00,0x e x F x x λλ-⎧->=⎨≤⎩．3、设相互独立的连续型随机变量1X ，2X 的概率密度函数分别()1f x ，()2f x ，分布函数分别为()1F x ，()2F x ，则下列选项正确的是（ ） A ．()()12f x f x +必为某一随机变量的概率密度函数； B ．()()12f x f x ⋅必为某一随机变量的概率密度函数； C ．()()12F x F x +必为某一随机变量的分布函数； D ．()()12F x F x ⋅必为某一随机变量的分布函数．4、设()~,X B n p ，()2~,Y N μσ，则下列选项一定正确的是（ ） A ．()E X Y np μ+=+； B ．()E XY np μ=⋅； C ．()()21D X Y np p σ+=-+； D ．()()21D XY np p σ=-⋅．5、设随机变量X 与Y 相互独立，且都服从()1,0.2B ，则下列选项正确的是（ ）6 / 8A ．()1P X Y ==；B ．()1P X Y ≤=；C ．()1P X Y ≥=；D ．以上答案都不对． 6、设12,,,,n X X X 为独立的随机变量序列，且都服从参数为()0λλ>的指数分布，当n 充分大时，下列选项正确的是（ ）A ．21nii Xn nλλ=-∑近似服从()0,1N ； Bni X nλ-∑近似服从()0,1N ；C ．21ni i X λλ=-∑近似服从()0,1N ； D ．1ni i X nnλ=-∑近似服从()0,1N ．二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分）1、设事件A ，B ，C 相互独立，且()()()P A P B P C ==，()1927P A B C =，则()P A =．2、若()14P A =，()13P B A =，()12P A B =，则()P A B =．3、设()2~10,X N σ，且()10200.3P X <<=，则()010P X <<=．4、设随机变量X 与Y 相互独立，且()~100,0.3X B ，()~4Y P ，则()D X Y -=．5、设平面区域(){},01D x y x y =≤≤≤，二维随机变量(),X Y 在区域D 上服从均匀分布，则(),X Y 的联合分布密度函数为．6、若随机变量X 的分布律为()()2,0,1,2,k P X k ae k -+===，则常数a =．三、解答题（本大题共 6 小题，共 64 分）5 / 81、设盒一装有1支红色笔和2支黑色笔，盒二装有2支红色笔和1支黑色笔，盒三装有3支红色笔和3支黑色笔．现掷一枚匀质骰子，若掷出1点，则从盒一中任取一支笔，若掷出6点，则从盒三中任取一支笔，否则均从盒二中任取一支笔．求取出黑色笔的概率．（10分）2、一盒装有6只灯管，其中有2只次品，4只合格品，随机地抽取一只测试，测试后不放回，直到2只次品都被找出，求所需测试次数X 的概率分布及均值．（10分）3、设连续型随机变量X 的分布密度函数为(),13;0,ax b x f x +<<⎧=⎨⎩其他.，且{}{}23212P X P X <<=-<<，求常数a 和b 的值．（10分）6 / 84、设某工程队完成某项工程所需时间X （天）服从()100,25N ．工程队若在100天内完工，可获奖金10万元；若在100~115天内完工，可获奖金3万元；若超过115天完工，则罚款5万元．求该工程队在完成工程时所获奖金的均值（要求用标准正态分布的分布函数值表示）．（10分）5、设二维随机变量(),X Y 的概率密度函数为()8,01;,0,xy x y f x y <<<⎧=⎨⎩其他，求关于X 和Y 的边缘分布密度函数()X f x 和()Y f y ，并判别X 与Y 是否相互独立．（10分）5 / 86、设()~,X U a b ，且()0E X =，()13D X =．试确定X 的概率密度函数（6分）7、设随机变量X 服从标准正态分布，求2Y X =的概率密度函数()Y f y .（8分）6 / 8概率论练习题1参考答案一、单项选择题（本大题 6 小题，每小题 3 分，共 18 分） 1、C ； 2、B ； 3、D ； 4、A ； 5、D ； 6、B ． 二、填空题（本大题 6 小题，每小题 3 分，共 18 分）1、13； 2、13； 3、0.3； 4、25； 5、()()2,,;,0,x y D f x y ∈⎧⎪=⎨⎪⎩其他.； 6、23e e ---．三、解答题（本大题 6 小题，共 64 分）1、解 设A 表示“取出黑色笔”，iB 表示“从盒i 中取笔”，1,2,3i =．……..2分则()()1316P B P B ==，()246P B =，()123P A B =，()213P A B =，()312P A B =，…………7分故由全概率公式，有()()()31124111563636212iii P A P B P A B ===⋅+⋅+⋅=∑．……………….10分2、解 由题意可知，X 的所有可能取值为2,3,4,5,6，…………….…….2 且{}1215P X ==，{}2315P X ==，{}145P X ==， {}4515P X ==，{}163P X ==，……..7分 所以 ()121411423456151551533E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．……………………10分 3、解 由密度函数的性质()1f x dx +∞-∞=⎰，可得()31421ax b dx a b +=+=⎰，………..3分又由 {}{}23212P X P X <<=-<<，可得()()32212ax b dx ax b dx +=+⎰⎰，即02ab +=，…..7分联立方程，解得11,36a b ==-．………………………………………….10分4、解 方法1 由题设知工程队完成工程所需天数()~100,25X N ．设所获奖金为Y 万元，Y 的可能取值为10，3，-5，Y 取各值的概率为()100100{10}{100}(100)00.55P Y P X F -⎛⎫==≤==Φ=Φ= ⎪⎝⎭， ()115100100100{3}{100115}(115)(100)30.555P Y P X F F --⎛⎫⎛⎫==<≤=-=Φ-Φ=Φ- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 115100{5}{115}1(115)11(3)5P Y P X F -⎛⎫=-=>=-=-Φ=-Φ ⎪⎝⎭，…………….8分Y 因此 ()()()()100330.5513E Y =⨯Φ+Φ---Φ⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦()()()100.5330.551383 1.5=⨯+Φ---Φ=Φ-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦．…………10分方法2 由题设知工程队完成工程所需天数()~100,25X N ， 所获奖金10,100;3,100115;5,115.X Y X X ≤⎧⎪=<≤⎨⎪->⎩…………………………………………….2分5 / 8而()100100{10}{100}(100)00.55P Y P X F -⎛⎫==≤==Φ=Φ= ⎪⎝⎭， ()115100100100{3}{100115}(115)(100)30.555P Y P X F F --⎛⎫⎛⎫==<≤=-=Φ-Φ=Φ- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 115100{5}{115}1(115)11(3)5P Y P X F -⎛⎫=-=>=-=-Φ=-Φ ⎪⎝⎭，…….8分因此 ()()()()100330.5513E Y =⨯Φ+Φ---Φ⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦()()()100.5330.551383 1.5=⨯+Φ---Φ=Φ-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦．…………10分5、解 关于X 的边缘分布密度函数()Xf x ：当0x ≤或1x ≥时，(,)0f x y =，所以()(),00Xf x f x y dy dy +∞+∞-∞-∞===⎰⎰，当01x <<时，()()()1212,8441Xxxf x f x y dy xydy xy x x +∞-∞====-⎰⎰，所以，()()241,01;0,X x x x f x ⎧-<<⎪=⎨⎪⎩其他． ………………………….4分关于Y 的边缘分布密度函数()Yf y ：当0y ≤或1y ≥时，(,)0f x y =，所以()(),00Yf y f x y dx dx +∞+∞-∞-∞===⎰⎰，当01y <<时，()()230,844yyYf y f x y dx xydx yx y +∞-∞====⎰⎰，所以()34,01;0,Yy y f y ⎧<<⎪=⎨⎪⎩其他.．……………………………………………8分于是()()()()32161,01,01;,0,X Y xy x x y f x f y f x y ⎧-<<<<⎪=≠⎨⎪⎩其他，所以X 与Y 不相互独立．……………………………………………10分 6、解 因为()~,X U a b ，所以()2a bE X +=，()()212b a D X -=，于是有()241,2123b a a b -+==，解得 1,3a b =-=，………….…..4分故X 的概率密度函数为()1,13;40,x f x ⎧-<<⎪=⎨⎪⎩其他.．………………….6分7、22(0,1),(),.x X N x x ϕ-=-∞<<∞Y 的分布函数为2()()()Y F y P Y y P X y =≤=≤ ……………………2分 当0y ≤时，()()0Y F y P Y y =≤=，从而()0.Y f y = ……………………4分当0y>时，2()(){(YF y P X y P X=≤=≤≤=Φ-Φ…6分从而2()()(((Y Yyf y F yϕϕϕϕ-'''==Φ-Φ==+=7分所以20()0,0-⎧>=≤⎩yYyf yy……………………………………………8分6 / 8。
概率论与数理统计模拟试卷和答案
北京语言大学网络教育学院《概率论与数理统计》模拟试卷一注意：1.试卷保密，考生不得将试卷带出考场或撕页，否则成绩作废。
请监考老师负责监督。
2.请各位考生注意考试纪律，考试作弊全部成绩以零分计算。
3.本试卷满分100分，答题时间为90分钟。
4.本试卷分为试题卷和答题卷，所有答案必须答在答题卷上，答在试题卷上不给分。
一、【单项选择题】(本大题共5小题，每小题3分，共15分) 在每小题列出的四个选项中只有一个选项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母填在答题卷相应题号处。
1、设A,B 是两个互不相容的事件，P （A ）>0 ，P （B ）>0，则（ ）一定成立。
[A] P （A)＝1－P （B ） [B] P （A │B)＝0 [C] P （A │B )＝1[D] P （A B )＝02、设A,B 是两个事件，P （A ）>0 ， P （B ）>0 ，当下面条件（ ）成立时，A 与B 一定相互独立。
[A] P(A B )＝P （A ）P （B ） [B] P （AB ）＝P （A ）P （B ） [C] P （A │B ）＝P （B ）[D] P （A │B ）＝P(A )3、若A 、B 相互独立，则下列式子成立的为（ ）。
[A] )()()(B P A P B A P = [B] 0)(=AB P [C])()(A B P B A P = [D])()(B P B A P =4、下面的函数中，（ ）可以是离散型随机变量的概率函数。
[A] {}11(0,1,2)!e P k k k ξ-=== [B] {}12(1,2)!e P k k k ξ-=== [C] {}31(0,1,2)2k P k k ξ=== [D] {}41(1,2,3)2k P k k ξ===--- 5、设1()F x 与2()F x 分别为随机变量1X 与2X 的分布函数，为了使12()()()F x aF x bF x =-是某一随机变量的分布函数，则下列个组中应取（ ）。
概率论与数理统计模拟试题
一．选择题1.设,为两个分布函数，其相应的概率密度,是连续函数，则必为概率密度的是（D ） A B 2C D2．设随机变量X~N （0,1），Y~N （1,4）且相关系数=1，则（D ）A P(Y=-2X-1)=1B P(Y=2X-1)=1C P(Y=-2X+1)=1D P(Y=2X+1)=1 3. "已知概率论的期末考试成绩服从正态分布，从这个总体中随机抽取n=36的样本，并计算得其平均分为79，标准差为9，那么下列成绩不在这次考试中全体考生成绩均值μ的的置信区间之内的有（ ），并且当置信度增大时，置信区间长度（ ）。
645.105.0=Z 已知：,减小 ,减小 ,增大 ,增大 答案：D解析：由题知，σ=9，n=36,X =79 当α=时，1-2α= 所以 2αZ =05.0Z =5325.76645.1369792/=⨯-=-ασz nX4675.81645.1369792/=⨯+=+ασz nX|即μ的的置信区间为（，）且当μ的置信度1-α增大时，置信区间的长度也增大。
故，答案为D. 4.下列选项中可以正确表示为分布函数F(x)或连续性随机变量的概率密度函数f(x)的是（ ）。
A.⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥<≤<≤<=5,152,4320,310,0)(x x x x x F B.⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥<≤<≤<=1,114,40,sin 0,0)(x x x x x x x F ππC.0,0,021)(22>⎪⎩⎪⎨⎧≤=-x x e x f x πD.⎪⎩⎪⎨⎧≤≤=其它,023,sin )(ππx x x f答案：B.解析：考点1.分布函数要满足右连续。
A 不满足右连续 )考点2.连续性随机变量的概率密度函数的x 范围为()+∞∞-,，且在这个范围上积分和为.为，D 为（-1）。
故C ，D 错误 5.设随机变量Y X ,服从正态分布)2,1(),2,1(N N -,并且Y X ,不相关，Y aX +与bY X +亦不相关，则（ ）.（A ）1=-b a （B ）0=-b a （C ）1=+b a （D ）0=+b a应选（D ）.解 X ~)2,1(-N ，Y ~)2,1(N ，于是()()2,2==Y D X D .又0),(,0),(=++=bY X Y aX Cov Y X Cov . 由协方差的性质有()()22),(),(),(),(),(=+=+=+++=++b a Y bD X aD Y Y bCov Y X abCov X Y Cov X X aCov aY X Y aX Cov?故0=+b a .故选（D ）.6.设X 为离散性随机变量，且......)2,1](a [p ===i X P i i ，则X 的期望EX 存在的充分条件是（ ） A.0lim =∞→n n p a n B.0lim2=∞→n n p a nC.∑∞=1n n n p a 收敛D.∑∞=12n n p a n 收敛 答案：D 解析：EX 存在⇔n np a∑∞=1n 收敛，所以是EX 存在的必要条件并不一定是充分条件，而B 不能保证收敛，因而正确选项是D期望和级数知识的综合考察。
概率论与数理统计模拟试题及答案
概率论与数理统计试题 考试时间：120分钟 试卷总分100分 题号 一 二 三 四 五 六 七 八 九 十 总分 得分 评卷教师一、填空题（满分15分）1.已知3.0)(=B P ,7.0)(=⋃B A P ,且A 与B 相互独立，则=)(A P 。
2.设随机变量X 服从参数为二项分布，且21}0{==X P ，则=p 。
3.设),3(~2σN X ,且1.0}0{=<X P ，则=<<}63{X P4.已知DX=1，DY=2，且X 和Y 相互独立，则D(2X-Y)＝5.已知随机变量X 服从自由度为n 的t 分布，则随机变量2X 服从的分布是 。
二、选择题（满分15分）1.抛掷3枚均匀对称的硬币，恰好有两枚正面向上的概率是 。
装订线（A ）0.125， （B ）0.25， （C ）0.375， （D ）0.5 2.有γ个球，随机地放在n 个盒子中（γ≤n），则某指定的γ个盒子中各有一球的概率为 。
（A ）γγn ! （B ）γγn C r n ! （C ）nn γ! (D) n n n C γγ! 3.设随机变量X 的概率密度为||)(x ce x f -=，则c ＝ 。
（A ）－21（B ）0 （C ）21 （D ）14.掷一颗骰子600次，求“一点” 出现次数的均值为 。
（A ）50 （B ）100 （C ）120 （D ）1505.设总体X 在),(ρμρμ+-上服从均匀分布，则参数μ的矩估计量为 。
（A ）x 1 （B ）∑=-n i i X n 111 （C ）∑=-n i i X n 1211 （D ）x 三、计算题（满分60分）1.某商店拥有某产品共计12件，其中4件次品，已经售出2件，现从剩下的10件产品中任取一件，求这件是正品的概率。
2.设某种电子元件的寿命服从正态分布N （40，100），随机地取5个元件，求恰有两个元件寿命小于50的概率。
（8413.0)1(=Φ，9772.0)2(=Φ）3.在区间（0，1）中随机地取两个数，求事件“两数之和小于56”的概率。
概率论 模拟题(一)及答案
上 海 金 融 学 院_概率论与数理统计（理工）模拟题一课程代码：13330075_考试形式：闭卷 时间: 120 分钟考试时 只能使用简单计算器(无存储功能)试 题 纸 一、单项选择题（共5题，每题2分，共计10分）1． 设当事件A 与B 同时发生时C 也发生, 则 ( ). (A) B A 是C 的子事件; (B)AB C =;(C) AB 是C 的子事件; (D) C 是AB 的子事件.2. 设事件=A {甲种产品畅销, 乙种产品滞销}, 则A 的对立事件为 ( ).(A) 甲种产品滞销,乙种产品畅销; (B) 甲种产品滞销;(C) 甲、乙两种产品均畅销;(D) 甲种产品滞销或者乙种产品畅销.3. 设X 为随机变量，且2()0.7,()0.2,E X D X ==则 式一定成立：A ．13{}0.222P X -<<≥ B．{0.6P X ≥C．{00.6P X <<≥ D．{00.6P X <<≤ 4. 设12,,,(1)n X X X n > 是来自总体(0,1)N 的一个样本，,X S 分别为样本均值和标准差，则 成立。
A. (0,1)X NB. (0,)nX N nC. 221(1)ni i X n χ=-∑ D.(1)Xt n S- 5. 设12,,,(1)n X X X n > 是来自总体2(,)N μσ的一个样本，期望值μ已知，则下列估计量中，唯有 是2σ的无偏估计。
A. 211()n i i X X n =-∑ B. 211()1n i i X n μ=--∑ C. 211()1n i i X X n =--∑ D. 211()1n i i X n μ=-+∑二、填空题（共15个空，每空2分，共计30分）1.已知,5.0)(=A P ()0.2P AB =， 4.0)(=B P , 则(1) )(AB P = ; (2) )(B A P -= ;(3) )(B A P ⋃= ; (4) )(B A P = . 2.若(0,1),()X N x x ϕΦ ，()分别表示它的概率密度函数、分布函数，则ϕ（0）= ；(0)Φ= ；{0}P X == ；{0}P X <= ；{0}P X >= 。
概率论与数理统计试习题与答案
设 为来自总体 的一个样本， 服从指数分布，其密度函数为 ，其中 为未知参数，试求 的矩估计量和极大似然估计量。
八、（本题满分12分）
设某市青少年犯罪的年龄构成服从正态分布，今随机抽取9名罪犯，其年龄如下：22，17，19，25，25，18，16，23，24，试以95%的概率判断犯罪青少年的年龄是否为18岁。
概率论与数理统计试题与答案(2012-2013-1)
概率统计模拟题一
一、填空题（本题满分18分，每题3分）
1、设 则 =。
2、设随机变量 ，若 ，则 。
3、设 与 相互独立， ，则 。
4、设随机变量 的方差为2，则根据契比雪夫不等式有 。
5、设 为来自总体 的样本，则统计量 服从
分布。
6、设正态总体 ， 未知，则 的置信度为 的置信区间的长度 。（按下侧分位数）
对 求导，得
五、（本题满分10分）解： ；
六、（本题满分13分）矩估计： ,
极大似然估计：似然函数 ,
，
七、（本题满分12分）解：欲检验假设
因 未知，故采用 检验，取检验统计量 ，今 ， ， ， ， ，拒绝域为 ，因 的观察值 ，未落入拒绝域内，故在 下接受原假设。
八、（本题满分8分）因 ，故
概率统计模拟题二
试求： （1）常数 ； （2） 落在 内的概率； （3） 的分布函数 。
五、（本题满分12分）
设随机变量 与 相互独立，下表给出了二维随机变量 的联合分布律及关于 和 边缘分布律中的某些数值,试将其余数值求出。
六、（本题满分10分）设一工厂生产某种设备，其寿命 (以年计)的概率密度函数为：
工厂规定，出售的设备若在售出一年之内损坏可予以调换。若工厂售出一台设备赢利100元，调换一台设备厂方需花费300元，试求厂方出售一台设备净赢利的数学期望。
概率论与数理统计期末考试题及答案
模拟试题一（一）一、 填空题（每空3分，共45分）1、已知P(A) = 0.92, P(B) = 0.93, P(B|A ) = 0.85, 则P(A|B ) = 。
P( A ∪B) = 。
3、一间宿舍内住有6个同学，求他们之中恰好有4个人的生日在同一个月份的概率： ；没有任何人的生日在同一个月份的概率；4、已知随机变量X 的密度函数为：,0()1/4,020,2x Ae x x x x ϕ⎧<⎪=≤<⎨⎪≥⎩, 则常数A=, 分布函数F (x )= , 概率{0.51}P X -<<=；5、设随机变量X~ B(2，p)、Y~ B(1，p)，若{1}5/9P X ≥=，则p = ，若X 与Y ，则Z=max(X,Y)的分布律：；6、设~(200,0.01),~(4),X B Y P 且X 与Y 相互，则D(2X-3Y)=, COV(2X-3Y, X)=；7、设125,,,X X X 是总体~(0,1)X N 的简单随机样本，则当k =时，~(3)Y t =；8、设总体~(0,)0X U θθ>为未知参数，12,,,n X X X 为其样本，11nii X X n ==∑为样本均值，则θ的矩估计量为：。
9、设样本129,,,X X X 来自正态总体(,1.44)N a ，计算得样本观察值10x =，求参数a 的置信度为95%的置信区间：；二、 计算题（35分）1、 (12分)设连续型随机变量X 的密度函数为：1,02()20,x x x ϕ⎧≤≤⎪=⎨⎪⎩其它求：1）{|21|2}P X -<；2）2Y X =的密度函数()Yy ϕ；3）(21)E X -；2、(12分)设随机变量(X,Y)的密度函数为1/4,||,02,(,)0,y x x x y ϕ<<<⎧=⎨⎩其他1） 求边缘密度函数(),()X Y x y ϕϕ；2） 问X 与Y 是否？是否相关？ 3） 计算Z = X + Y 的密度函数()Z z ϕ；3、（11分）设总体X 的概率密度函数为：1,0(),000xe x x x θϕθθ-⎧≥⎪=>⎨⎪<⎩X 1,X 2,…,X n 是取自总体X 的简单随机样本。
概率论与数理统计习题1及答案
概率论与数理统计习题及答案习题 一1.写出下列随机试验的样本空间及下列事件包含的样本点。
（1) 掷一颗骰子,出现奇数点。
(2） 掷二颗骰子，A =“出现点数之和为奇数，且恰好其中有一个1点.”B =“出现点数之和为偶数，但没有一颗骰子出现1点.” (3）将一枚硬币抛两次， A =“第一次出现正面。
” B =“至少有一次出现正面。
”C =“两次出现同一面.” 【解】{}{}1123456135A Ω==（），，，，，，，，；{}{}{}{}{}(2)(,)|,1,2,,6,(12),(14),(16),(2,1),(4,1),(6,1),(22),(24),(26),(3,3),(3,5),(4,2),(4,4),(4,6),(5,3),(5,5),(6,2),(6,4),(6,6);(3)(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(i j i j A B A B ΩΩ=======，，，，，，正反正正反正反反正正正反正正正反反{}{},),(,),(,),C =正正正反反2。
设A ，B ，C 为三个事件，试用A ，B ,C 的运算关系式表示下列事件: （1） A 发生，B ，C 都不发生； （2） A 与B 发生，C 不发生； （3） A ,B ，C 都发生;(4） A ，B ，C 至少有一个发生； （5） A ，B ，C 都不发生； （6） A ，B ，C 不都发生； (7) A ,B ,C 至多有2个发生；（8） A ,B ，C 至少有2个发生. 【解】（1） A BC （2） AB C （3) ABC（4） A ∪B ∪C =AB C ∪A B C ∪A BC ∪A BC ∪A B C ∪AB C ∪ABC =ABC(5） ABC =A B C (6） ABC(7） A BC ∪A B C ∪AB C ∪AB C ∪A BC ∪A B C ∪ABC =ABC =A ∪B ∪C (8） AB ∪BC ∪CA =AB C ∪A B C ∪A BC ∪ABC5.设A ，B 为随机事件，且P （A ）=0。
考研数学三概率论与数理统计(大数定律和中心极限定理)模拟试卷1
考研数学三概率论与数理统计（大数定律和中心极限定理）模拟试卷1(总分：86.00，做题时间：90分钟)一、<B>选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
</B>(总题数：10，分数：20.00)1.设随机变量X 1，X 2，…，X n相互独立，S n =X 1 +X 2+…+X N，则根据列维一林德伯格中心极限定理，当n充分大时S N近似服从正态分布，只要X 1，X 2，…，X N（分数：2.00）A.有相同期望和方差．B.服从同一离散型分布．C.服从同一均匀分布．√D.服从同一连续型分布．解析：解析：因为列维一林德伯格中心极限定理的条件是，X 1，X 2，…，X n独立同分布而且各个随机变量的数学期望和方差存在．显然4个选项中只有选项(C)满足此条件：均匀分布的数学期望和方差都存在。
选项(A)不成立，因为X 1，X 2，…，X n有相同期望和方差，但未必有相同的分布，所以不满足列维一林德伯格中心极限定理的条件；而选项(B)和(D)虽然满足同分布，但数学期望和方差未必存在，因此也不满足列维一林德伯格中心极限定理的条件，故选项(B)和(D)一般也不能保证中心极限定理成立．2.假设随机变量X 1，X 2，…相互独立且服从同参数A的泊松分布，则下面随机变量序列中不满足切比雪夫大数定律条件的是（分数：2.00）A.X 1，X 2，…，X n，…B.X 1 +1，X 2 +2，…，X n +n，…C.X 1，2X 2，…nX n,…√解析：解析：切比雪夫大数定律的条件有三个：第一个条件要求构成随机变量序列的各随机变量是相互独立的．显然无论是X 1，…，X n，…，还是X 1 +1，X 2 +2，…，X n +n，…；X 1，2X 2，…，nX n，…以及X 1，都是相互独立的；第二个条件要求各随机变量的期望与方差都存在．由于EX n =λ，DX2λ，．因此四个备选答案都n =λ，E(X n +n)=λ+n，D(X n +n)=λ，E(nX n )=nλ，D(nX n )=n满足第二个条件；第三个条件是方差DX 1，…，DX n，…有公共上界，即DX n＜c，c是与n无关的常数．对于(A)=DX n =λ＜λ+1；对于(B)：D(X n +n)=DX n =λ＜λ+1；对于(C)：D(nX n )=n 2 DX n =n 2λ没有公共上界；对于(D)：综上分析，只有(C)中方差不满足方差一致有界的条件，因此应选(C)．3.设随机变量序列X 1，…X n，…相互独立，根据辛钦大数定律，当n→∞时学期望，只要{X n，n≥1}（分数：2.00）A.有相同的数学期望．B.有相同的方差．C.服从同一泊松分布．√D.服从同一连续型分布，一∞＜x＜+∞)．解析：解析：辛钦大数定律要求：{X n，n≥1}独立同分布且数学期望存在．选项(A)、(B)缺少同分布条件，选项(D)虽然服从同一分布但期望不存在，因此选(C)．4.设X n表示将一枚匀称的硬币随意投掷n次其“正面”出现的次数，则（分数：2.00）A.B.C. √D.解析：5.设随机变量X服从F(3，4)分布，对给定的α(0＜α＜1)，数F α (3，4)满足P{X＞F α (3，4)}=α，若P{X≤x}=1一α，则x=（分数：2.00）√C.F α (4，3)．D.F 1-α (4，3)．解析：解析：因X～F(3，4)，故～F(4，3)．又1一α=P{X≤x}=P{X＜x}= 所以=F 1-α(4，3)，即因此选(A)．6.设X 1，X 2，X 3，X 4是来自正态总体N(0，2 2 )的简单随机样本，记Y=a(X 1一2X 2 ) 2 +b(3X 3—4x2，其中a，b为常数．已知Y～χ2 (n)，则4 )（分数：2.00）A.n必为2．B.n必为4．C.n为1或2．√D.n为2或4．解析：解析：依题意X i～N(0，2 2 )且相互独立，所以X 1 -2X 2～N(0，20)，3X 3—4X 4～N(0，100)，且它们相互独立．由χ2分布的典型模式及性质知(1)当时，Y～χ2(2)；(2)当b=0，或a=0，时，Y～χ2 (1)．由上可知，n=1或2，即应选(C)．7.设X 1，X 2，…，X n是来自标准正态总体的简单随机样本，S 2为样本均值和样本方差，则（分数：2.00）服从自由度为n一1的χ2分布．D.(n一1)S 2服从自由度为n一1的χ2分布．√解析：解析：显然，(n一1)S 2服从自由度为n一1的χ2分布，故应选(D)．其余选项不成立是明显的：对于服从标准正态分布的总体，由于X 1，X 2，…，X n相互独立并且都服从标准正态分布，可见服从自由度为n的χ2分布．8.设随机变量X～t(n)(n＞1)，（分数：2.00）A.Y～χ2 (n)．B.Y～χ2 (n一1)．C.Y～F(n，1)．√D.Y～F(1，n)．解析：解析：根据t分布的性质，如果随机变量X～t(n)，则X 2～F(1，n)，又根据F分布的性质，如果X 2～F(1，n)，则～F(n，1)．因此～F(n，1)，故应选(C)．9.设随机变量X服从n个自由度的t分布，定义t α满足P{X≤t α }=1一α(0＜α＜1)．若已知P{|X|＞x}=b(b＞0)，则x等于（分数：2.00）A.t 1-b．C.t b．√解析：解析：根据t分布的对称性及b＞0，可知x＞0．从而P{X≤x}=1一P{X＞x}= 根据题设定义P{X≤t α }=1一α，可知应选(D)．10.假设总体X的方差DX存在，X 1，…，X n是取自总体X的简单随机样本，其样本均值和样本方差分别为，则EX 2的矩估计量是（分数：2.00）A.B.C.D. √解析：解析：按定义，EX 2的矩估计量是由于所以EX 2的矩估计量，选(D)．二、填空题(总题数：20，分数：40.00)11.将一枚骰子重复掷n次，则当n→∞时，n 1。