微积分泰勒公式
中值定理和泰勒公式
中值定理和泰勒公式一、中值定理中值定理，也称为拉格朗日中值定理，是微分学的基本定理之一、它是由法国数学家拉格朗日在18世纪提出的。
中值定理有三种形式：罗尔中值定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理。
这些定理之间存在递进和包含关系，其中拉格朗日中值定理是最常用的。
1.罗尔中值定理罗尔中值定理适用于满足以下三个条件的函数f(x)：1）在闭区间[a,b]上连续；2）在开区间(a,b)内可导；3）f(a)=f(b)。
罗尔中值定理断言：在满足上述条件的情况下，存在一个c（a<c<b），使得f'(c)=0。
简单来说，罗尔中值定理说明，如果一个函数在两个端点具有相同的函数值，并且在中间一些地方导数为零，那么在这个导数为零的点附近，函数的变化是很小的。
2.拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理适用于满足以下两个条件的函数f(x)：1）在闭区间[a,b]上连续；2）在开区间(a,b)内可导。
拉格朗日中值定理断言：在满足上述条件的情况下，存在一个c（a<c<b），使得f'(c)=(f(b)-f(a))/(b-a)。
简单来说，拉格朗日中值定理说明，如果一个函数在一个闭区间上连续且可导，那么在这个区间内至少存在一个点，它的导数等于函数在这个区间两个端点连线斜率的平均值。
3.柯西中值定理柯西中值定理是拉格朗日中值定理的推广，适用于满足以下两个条件的函数f(x)和g(x)：1）在闭区间[a,b]上连续；2）在开区间(a,b)内可导，并且g(x)不为零。
柯西中值定理断言：在满足上述条件的情况下，存在一个c（a<c<b），使得[f(b)-f(a)]/g(b)-g(a))]=f'(c)/g'(c)。
简单来说，柯西中值定理说明，如果两个函数在一个闭区间上连续且可导，并且其中一个函数在这个区间两个端点的导数不为零，那么在这个区间内至少存在一个点，它的导数的比值等于两个函数在这个区间两个端点连线斜率的比值。
微积分基本公式16个
微积分基本公式16个1. 微分：微分是数学中最重要的概念之一，它指的是在一定时间内几何形状的变化率。
可以理解为小步长地移动拟合函数，接近曲线本身。
可以表示为\frac{dy}{dx} 或f'(x) 。
2. 泰勒公式：泰勒公式是一个重要的微积分工具，它可以在某一特定点附近对任意连续函数进行展开，也就是说任意设定一个位置x0，可以根据它附近的数值向量求出函数在该位置的平均值。
可以用公式表示为：f(x) = f(x_0) + f'(x_0)(x-x_0) + \frac{f''(x_0)(x-x_0)^2}{2!} + \frac{f^{n}(x_0)(x-x_0)^n}{n!} + ...3. 高斯积分公式：高斯积分是指将函数抽象为一次多项式曲线，采用指数型或线性型积分方法求解积分。
它可以用公式f(x)=\sum_{i=0}^n a_i x^i 表示，其中a_i为积分下限、上限和积分点x_i处函数值相乘所得到的系数。
4. 黎曼积分：黎曼积分是一种常用的积分方法，它通过对连续函数求和，来确定函数在给定区间上的定积分。
可以用公式表示为：\int_{a}^{b}f(x)dx=\sum_{i=1}^{n}f(x_i)\Delta x_i ,其中n为梯形的节点数。
5. Stokes公式：Stokes公式是一种将多变量函数投影到多方向进行积分的方法，可以用公式表示为：\int_{\Omega}\nabla\times{\bf F} dA =\int_{\partial\Omega}{\bf F}\cdot{\bf n}dS，其中\nabla\times{\bf F} 为梯度矢量场，\partial\Omega 为边界，{\bfn}dS 为单位向量与边界面积的乘积。
6. Γ函数：Γ函数是一种重要的数学函数，通常用来表示非负整数的排列组合，也可以表示实数的阶乘，可以用公式表示为：\Gamma(x)=\int_0^{\infty}t^{x-1}e^{-t}dt7. 方阵的行列式：方阵的行列式是指一个n阶矩阵的行列式，可以用公式表示为：D= |a_{i,j}| = \begin{vmatrix} a_{1,1} & a_{1,2} & ... & a_{1,n} \\ a_{2,1} & a_{2,2} & ... & a_{2,n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n,1} & a_{n,2} & ... & a_{n,n} \end{vmatrix} ，其中a_{i,j} 为矩阵中的元素。
《微积分》第七节 泰勒公式
f (n1) ( )
n 1!
(
x
x0 )n1
(在x0与x之间)
拉格朗日型余项
若存在M 0, 当x (a, b)时, f ( x) (n1) M ,则有估计式
Rn( x)
f
(n1) ( )
n1 !
(
x
x0
)n1
M
n 1!
|
x
x0
|n1
及
lim
x x0
(
Rn( x) x x0 )n
0
即 Rn ( x) o[( x x0 )n ]. 皮亚诺型余项
2!
n!
o( xn )
例1 求 f ( x ) e x 的 n阶 麦克劳 林公 式.
解 f ( x ) f ( x ) f (n) ( x ) e x , f (0) f (0) f (0) f (n) (0) 1
注 意 到 f (n1) ( x ) e x , 代入公式, 得
1 n!
f
(n)(x0 )
x0 )2
f
(n)( x0 ) n!
(x
x0 )n
称Pn ( x)为f ( x)关于( x x0 )的n阶泰勒多项式
定理1 (Taylor中值定理) 若函数 f ( x) 在含有 x0 的某个开区间(a, b) 内具有直到 (n 1) 阶导数,则当
x (a,b) 时,有
e x 1 x x 2 x n e x x n1 (0 1).
2!
n! (n 1)!
由公式可知
ex 1 x x2 xn
2!
n!
估计误差
Rn ( x )
e x
x n1
(n 1)!
微积分近似计算公式
微积分近似计算公式微积分是现代数学的一个重要分支，主要应用于解决实际问题中的优化和最优化问题。
在微积分中，有一系列的近似计算公式，这些公式可以用来求解一些比较复杂的微积分问题。
下面我们将详细介绍这些微积分近似计算公式。
1. 雅可比公式雅可比公式是微积分中比较基础的一个公式，它主要用于求出一个复合函数的导数。
复合函数是多个函数的复合，用 f(g(x)) 来表示。
如果函数 g(x) 是可导的，那么函数 f(g(x)) 的导数可以用雅可比公式来求：(dy/dx)_g(x) = (dy/du)_u=g(x) * (du/dx)_x其中，(dy/du)_u=g(x) 表示函数 f(u) 对变量 u 的导数，在 u=g(x) 时的导数值；(du/dx)_x 表示函数 g(x) 对变量 x 的导数值。
2. 泰勒公式泰勒公式是微积分中比较重要的一个公式，它可以用来近似计算一个函数在某个点的值。
泰勒公式可以表示为：f(x) = f(a) + f'(a) * (x-a) + f''(a) / 2 * (x-a)^2 + ... + f^(n)(a) / n! * (x-a)^n + Rn(x)其中，a 表示要计算的点，x 表示幅度。
f'(a)、f''(a)、f^(n)(a) 分别表示函数 f(x) 的一阶、二阶、n 阶导数在点 a 处的导数值。
n! 表示 n 的阶乘。
Rn(x) 表示余项，它表示泰勒级数在 x 附近的误差。
3. 拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理是微积分中常用的一个定理，它可以用来判断函数是否单调递增或递减。
拉格朗日中值定理可以表示为：f(b) - f(a) = f'(c) * (b-a)其中，a 和 b 表示要计算的区间，c 表示 a 和 b 之间的某个点。
f'(c) 表示函数 f(x) 在点 c 处的导数值。
如果 f'(c) 大于 0，那么函数 f(x) 在区间 (a,b) 内单调递增；如果 f'(c) 小于 0，那么函数 f(x) 在区间(a,b) 内单调递减。
泰勒公式展开常用
泰勒公式展开常用【原创版】目录1.泰勒公式的定义和基本概念2.泰勒公式的展开形式3.泰勒公式的应用领域4.泰勒公式的优点和局限性正文泰勒公式是微积分学中的一种重要公式，它用于描述一个可微函数在某一点附近的近似值。
泰勒公式可以将函数展开为一个无穷级数，该级数的每一项都与该点的各阶导数有关。
一、泰勒公式的定义和基本概念泰勒公式的定义如下：设函数 f(x) 在点 a 附近可微，如果在点 a 的邻域内，f(x) 可以展开为：f(x) = f(a) + f"(a)(x-a) + f""(a)(x-a)^2/2! + f"""(a)(x-a)^3/3! +...+ f^n(a)(x-a)^n/n! + Rn(x)其中，f"(a)、f""(a)、f"""(a) 等表示函数 f(x) 在点 a 的各阶导数，n! 表示 n 的阶乘，Rn(x) 表示泰勒公式的余项。
二、泰勒公式的展开形式泰勒公式的展开形式可以分为两部分：一部分是级数前面的各项，它们是函数 f(x) 在点 a 的各阶导数乘以 (x-a) 的相应次方；另一部分是余项 Rn(x)，它表示函数 f(x) 在点 a 附近与级数前面的各项的误差。
三、泰勒公式的应用领域泰勒公式在数学和物理等领域具有广泛的应用。
在近似计算中，泰勒公式可以用来估算函数在某一点附近的值，这对于许多实际问题具有重要意义。
此外，泰勒级数还可以用于求解微分方程、研究函数的性质等。
四、泰勒公式的优点和局限性泰勒公式的优点在于它可以将复杂的函数在某一点附近近似为简单的多项式，从而简化问题。
同时，泰勒公式可以描述函数在邻域内的行为，为我们提供了函数的局部性质。
然而，泰勒公式也存在局限性。
首先，泰勒公式的展开需要知道函数在点 a 的各阶导数，这对于某些函数可能难以求得。
其次，泰勒公式的余项 Rn(x) 可能较大，导致近似结果的误差较大。
泰勒公式在高考中的应用之终极版
泰勒公式在高考中的应用之终极版泰勒公式是微积分中非常重要的一个定理，它在高考中的应用非常广泛。
本文将从终极版的角度，详细介绍泰勒公式在高考中的应用。
首先，我们来回顾一下泰勒公式的表达式。
泰勒公式是一个函数在一些点附近的展开式，它可以将一个函数表示成无穷个项的无穷级数。
泰勒公式的一般形式如下：f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+f''(a)(x-a)^2/2!+f'''(a)(x-a)^3/3!+...+f^n(a)(x-a)^n/n!+Rn(x)其中，f(x)是要展开的函数，a是展开点，f'(x)是f(x)的一阶导数，f''(x)是f(x)的二阶导数，以此类推，f^n(x)是f(x)的n阶导数，Rn(x)是余项。
高考中最常见的泰勒公式是二阶泰勒公式，即：f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+f''(a)(x-a)^2/2!+R2(x)应用方面，泰勒公式可以用于求函数的近似值、计算复杂函数的导数、证明恒等式等等。
首先，泰勒公式可以帮助我们计算函数的近似值。
当我们需要计算一个复杂函数的值时，可以利用泰勒公式将该函数展开，然后取前几项进行计算。
由于泰勒公式是一个无穷级数，所以当我们取到一定阶数的时候，剩下的余项非常小，可以忽略不计，从而得到较为准确的结果。
其次，泰勒公式可以用于计算复杂函数的导数。
根据泰勒公式的定义，我们可以得到一个函数在一些点处的导数与该点周围的函数值之间的关系。
这样，当我们需要计算一个复杂函数的导数时，可以利用泰勒公式将该函数展开，然后对展开后的每一项求导，最终求得函数的导数。
另外，泰勒公式也可以用于证明恒等式。
对于一些复杂的恒等式，我们可以利用泰勒公式将其中的函数进行展开，然后比较两边展开后的项，从而得到相等的结论。
这样，我们就能够通过泰勒公式证明一些复杂的恒等式。
综上所述，泰勒公式在高考中的应用非常广泛。
考研常用八大泰勒公式
考研常用八大泰勒公式泰勒公式是微积分中非常常用的工具，它可以帮助我们近似计算函数在某一点的值。
具体来说，泰勒公式可以将一个光滑函数表示为无穷级数的形式，通过截取其中有限项来进行计算。
有许多版本的泰勒公式，但在考研中常用的有以下八大泰勒公式。
它们分别是：常数项近似、线性近似、二次公式近似、三次公式近似、四次公式近似、五次公式近似、六次公式近似和七次公式近似。
首先是常数项近似，这是泰勒公式中最简单的形式。
它表示一个函数在某一点附近的值可以近似为函数在该点的值，也就是函数的常数项。
举个例子，如果我们要计算 sin(x) 在 x=0 附近的值，常数项近似告诉我们可以用 0 来近似计算。
接下来是线性近似，它在常数项近似的基础上增加了一阶导数的项。
这样近似计算的结果更加精确。
以 f(x)=sin(x) 为例，线性近似公式告诉我们可以用 x 来近似计算函数在 x=0 附近的值，即f(x)≈x。
在二次公式近似中，我们考虑了除了常数项和一阶导数项之外的二阶导数项。
这进一步提高了近似的准确性。
例如，在计算f(x)=sin(x) 在 x=0 附近的值时，二次公式近似告诉我们可以用 x-x^3/6 来近似计算。
类似地，三次公式近似引入了三阶导数项，四次公式近似引入了四阶导数项，以此类推。
每一次增加的导数项将增加近似计算的精度。
比如，四次公式近似给出了f(x)≈x-x^3/6+x^5/120。
最后两个公式是五次公式近似和六次公式近似。
它们在之前公式的基础上再增加了五阶导数和六阶导数的项。
这些高阶导数项使得近似结果的精度更高，特别是在函数曲率较大的地方。
七次公式近似又增加了七阶导数。
通过使用这八大泰勒公式，我们可以在考研中更准确地进行计算和近似。
它们为我们提供了一种逼近函数值的工具，特别是在无法直接计算函数值的情况下。
例如，当计算某一函数值的导数过于繁琐或无法获得解析解时，我们可以通过泰勒公式来进行近似计算。
需要注意的是，泰勒公式的应用需要考虑近似的范围。
常用等价无穷小_泰勒公式_三角函数
常用等价无穷小_泰勒公式_三角函数泰勒公式是数学中极为重要的公式之一，它可以将任意函数表示为多项式的形式。
在微积分中，泰勒公式经常被用来近似计算函数的值。
它是由17世纪英国数学家布鲁斯·泰勒发现的，被广泛地应用于物理、工程和计算机科学等领域。
泰勒公式的一般形式是：f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+f''(a)(x-a)^2/2!+f'''(a)(x-a)^3/3!+...+f^(n)(a)(x-a)^n/n!+Rn(x)其中，f(x)是要近似的函数，a是近似点，f'(a)表示函数f(x)在点x=a处的一阶导数，f''(a)表示函数f(x)在点x=a处的二阶导数，以此类推。
f^(n)(a)表示函数f(x)在点x=a处的n阶导数，Rn(x)为拉格朗日余项。
三角函数在泰勒公式中的应用也非常广泛。
我们可以利用泰勒公式来近似计算正弦函数、余弦函数、正切函数等等。
以正弦函数为例，我们将其展开为带有无穷多项的泰勒级数。
正弦函数的泰勒级数展开为：sin(x)=x-x^3/3!+x^5/5!-x^7/7!+...我们可以利用该级数来计算任意角度的正弦函数值。
例如，当x取0时，根据泰勒级数的定义，我们可以得到sin(0)=0。
当x取π/6时，根据泰勒级数的前几项，我们可以得到sin(π/6)≈π/6-π^3/6^3*3!≈0.5同样地cos(x)=1-x^2/2!+x^4/4!-x^6/6!+...我们可以利用该级数来计算任意角度的余弦函数值。
例如，当x取0时，根据泰勒级数的定义，我们可以得到cos(0)=1、当x取π/4时，根据泰勒级数的前几项，我们可以得到cos(π/4)≈1-π^2/4^2*2!≈0.707在实际应用中，我们通常只需要计算泰勒级数的前几项，因为随着项数的增加，计算的复杂度会增加，并且前几项已经能够给出较为精确的近似值。
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即: f (x) = f (0) + f ′(0)x + f ′′(0) x2 + f ′′′(0) x3 + + f (n) (0) xn + f (n+1) (ξ ) xn+1.
2!
3!
n!
(n +1)!
(2) : 记Rn (x) =
f (n+1) (ξ )
(n +1)!
(
x
−
x0
) n +1
=
在近似计算或者理论分析中, 常用一个简单的函数近似地表示比较复杂的函数. 而多项式函数是最简单的一类函数.
2018/11/19
Edited by Lin Guojian
2
证 : 只证x ∈[x0, x0 + δ )的情形,其它情形类似可证.
构造F (z) = f (x) −[ f (z) + f ′(z)(x − z) + f ′′(z) (x − z)2 2!
2
x=0
2 x=0
2
2
则当n = 2k, k = 1,2,时,sin( n ⋅π ) = sin( 2k ⋅π ) = sin(kπ ) = 0.
2
2
当n = 2k −1, k = 1,2,时,
sin( n ⋅π ) = sin( 2k −1 ⋅π ) = sin(kπ − π ) = sin[(k −1)π + π ] = (−1)k−1 sin[π ] = (−1)k−1.
x0 )n+1
=
f
(n+1) (x0 ) + (n +1)!
o(1)
(x
−
x0 )n+1
=
f (n+1) (x0 ) (n +1)!
(x
−
x0 )n+1
+
o(1) (x (n +1)!
−
x0 )n+1
=
f
(n+1) ( x0 (n +1)!
)
(x
−
x0
) n +1
+
o[(x
−
x0 )n+1],
(x
→
问题(1) : 若f ′(x0) = 0,如何近似计算f(x) − f(x0).
问题(2) : 近似的精度不够,因为o(x − x0)仅仅是x − x0的高阶无穷 小量(x → x0),如何得到任意高阶的无穷小量o[(x − x0)n],n ≥ 1.
问题(3) : 这样近似只是定性的估计,没有给出具体的误差计算公式.
3! 5!
(2k −1)!
或 sin x = x − 1 x3 + 1 x5 + + (−1)k−1 x2k−1 + o(x2k−1), x → 0.
3! 5!
(2k −1)!
2018/11/19
Edited by Lin Guojian
8
例: 求f (x) = cos x带皮亚诺余项的麦克劳林公式.
)
(x
−
x0
)n
]
F′(z) = −[ f ′(z) + f ′′(z)(x − z) + (−1) ⋅ f ′(z) + f ′′′(z) (x − z)2 + f ′′(z) 2(x − z)(−1)
2!
2!
+ f (4) (z) (x − z)3 + f ′′′(z) 3(x − z)2 (−1)
f (n+1) (ξ ) =
f (n+1) (x0 )
⇒
lim[ f (n+1) (ξ ) −
x → x0
f (n+1) (x0 )] = 0 ⇒
f (n+1) (ξ ) =
f (n+1) (x0 ) + o(1), (x →
x0 ).
这时Rn (x) =
f (n+1) (ξ )
(n +1)!
(x
−
2!
3!
n!
(n +1)!
函数f (x)的n +1阶带皮亚诺余项的麦克劳林公式为:
f (x) = f (0) + f ′(0)x + f ′′(0) x2 + f ′′′(0) x3 ++ f (n) (0) xn + o(xn ).
2!
3!
n!
由e0 = 1与(ex )(n) = ex , ⇒ (ex )(n) = ex = 1,
f (n+1) (ξ ) = f (n+1) (x0 ) + o(1), x → x0 , x0 ∈[a, b].
其中x0 = a或x0 = b时, x → x0是指单侧极限过程.
这时因为: x0 < ξ < x,故x → x0时,ξ → x0.
⇒ lim x → x0
f (n+1) (ξ ) = lim ξ →x0
x0 ).
通常, 称o[(x − x0 )n+1], (x → x0 )为皮亚诺余项.
2018/11/19
Edited by Lin Guojian
6
例: 求f (x) = ex的n +1阶麦克劳林公式.
解 :函数f (x)的n +1阶带拉格朗日余项的麦克劳林公式为:
f (x) = f (0) + f ′(0)x + f ′′(0) x2 + f ′′′(0) x3 + + f (n) (0) xn + f (n+1) (ξ ) xn+1,
2! 3!
n!
2018/11/19
Edited by Lin Guojian
7
例: 求f (x) = sin x带皮亚诺余项的麦克劳林公式.
解 :由于sin 0 = 0, (sin x)(n) = sin(x + n π )⇒ (sin x)(n) = sin(x + n π ) = sin(n ⋅ π ) = sin( n ⋅π ),
f (x) =
f (x0 ) +
f ′(x0 )(x − x0 ) +
f
′′( x0 2!
)
(
x
−
x0
)2
+
+
f
(Байду номын сангаас
n) (x0 n!
)
(
x
−
x0
)
n
+
f (n+1) (ξ ) (n +1)!
(
x
−
x0
)n+1
其中ξ介于x0与x之间.
特别地, n = 0时,泰勒公式变为f (x) = f (x0 ) + f ′(ξ )(x − x0 ),即为拉格朗日公式.
x=0
x=0
且(ex )(n+1) = ex = eξ = eθx ,0 < θ < 1.
x=ξ
x=ξ
故 : ex = 1+ x + 1 x2 + 1 x3 + + 1 xn + eθx xn+1,0 < θ < 1.(拉格朗日余项)
2! 3!
n! (n +1)!
ex = 1+ x + 1 x2 + 1 x3 ++ 1 xn + o(xn ), x → 0.(皮亚诺余项)
对F (z)与G(z)在[x0, x]上应用柯西中值定理知 :
F ( x) G(x)
− −
F (x0 ) G(x0 )
=
F′(ξ ) G′(ξ )
,ξ
∈ (x0 ,
x).
− f (x) −[ f (x0 ) + 即
f ′(x0 )(x − x0 ) +
f
′′( x0 2!
)
(x
−
x0
)2
+
f
′′′( x0 3!
3!
3!
+ + f (n+1) (z) (x − z)n + f (n) (z) n(x − z)n−1(−1)] = − f (n+1) (z) (x − z)n.
n!
n!
n!
2018/11/19
Edited by Lin Guojian
3
再构造G(z) = (x − z)n+1,则G(x) = 0, G(x0 ) = (x − x0 )n+1. G′(z) = (n +1)(x − z)n (−1) = −(n +1)(x − z)n. 且G′(z)在(x0, x)内不为零.
2
2
2
2
2
因此(sin
x)(n)
x=0
=
0 (−1) k −1
n = 2k n = 2k −1
从而sin x = x + −1 x3 + 1 x5 + + (−1)k−1 x2k−1 + (−1)k x2k+1 +
3! 5!
(2k −1)!
(2k +1)!
= x − 1 x3 + 1 x5 + + (−1)k−1 x2k−1 + o(x2k ), x → 0.
2
2
2
2
当n = 2k, k = 1,2,时, cos( n ⋅π ) = cos( 2k ⋅π ) = cos(kπ ) = (−1)k