综合提升-【新教材】人教A版高中数学选择性必修第二册课件1
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·
25
·
巩
固
层 知
当 a－1＞1，即 a＞2 时，函数 f (x)在(－∞，1)上为增函数，在
识
培
整 (1，a－1)上为减函数，在(a－1，＋∞)上为增函数．
优
合
层
·
依题意当 x∈(1，4)时，f ′(x)＜0，
素 养
提
升
升
当 x∈(6，＋∞)时，f ′(x)＞0.
华
层
题
故 4≤a－1≤6，即 5≤a≤7.因此 a 的取值范围是[5，7].
知
识 小值同号．
培
整
优
合
2．在什么情况下，y＝f (x)有两个零点？
·
层 素
提
[提示]
Δ＞0 且 f (x1)f (x2)＝0.即函数有两个极值点且其中一个
养 升
升
华
层 极值点为零．
题
型
3．在什么情况下，y＝f (x)有三个零点？
探
究
[提示] Δ＞0 且 f (x1)f (x2)＜0，即函数的极大值和极小值异号．
·
8
·
巩
固
层
(2)设切点为(x0，y0)，
知
识 整 合
则直线 l 的斜率为 f ′(x0)＝3x20＋1，
培 优 层
·
∴直线 l 的方程为
素 养
提 升 层
y＝(3x20＋1)(x－x0)＋x30＋x0－16.
升 华
题 型
又∵直线 l 过点(0，0)，
探
究
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·
9
·
巩 固 层
∴0＝(3x20＋1)(－x0)＋x30＋x0－16.
型
探
究
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·
26
·
巩 固
函数的极值、最值与导数
层
知
识
培
整
[探究问题]
优
合
层
·
三次函数 f (x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a＞0)．令 x1，x2 为 f (x)的极值
素 养
提
升
升 点．
华
层
题 型 探 究
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·
27
·
巩
1．在什么情况下，y＝f (x)有一个零点？
固 层
[提示] Δ≤0 或 f (x1)f (x2)＞0，即函数是单调的或者极大值和极
知 识 整
整理得，x30＝－8，
培 优
合
∴x0＝－2.
·
层 素
养
提
∴y0＝(－2)3＋(－2)－16＝－26.
升
升 华
层
k＝3×(－2)2＋1＝13.
题
型 探
∴直线 l 的方程为 y＝13x，切点坐标为(－2，－26)．
究
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10
·
巩
固
层 知
(3)∵切线与直线 y＝－4x＋3 垂直，
识
培
整 合
知
识
培
整 合
f (x)min＝f (2)＝－2，f (x)max 为 f (0)与 f (t)中较大的一个．
优 层
·
f (t)－f (0)＝t3－3t2＝t2(t－3)＜0，
素 养
提
升
升
所以 f (x)max＝f (0)＝2.
华
层
题 型 探 究
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·
33
·
巩 固 层
知
识
培
整 合
1．(变结论)在本例条件不变的情况下，若关于 x 的方程 f (x)＝c
型
探
究
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·
29
·
巩 固 层
知 识
[解] (1)因为 f ′(x)＝3x2＋2ax，曲线在 P(1，0)处的切线斜率为 培
整
优
合 f ′(1)＝3＋2a，即 3＋2a＝－3，a＝－3.
·
层
素
提
又函数过(1，0)点，即－2＋b＝0，b＝2.
养 升
升
华
层
所以 a＝－3，b＝2，f (x)＝x3－3x2＋2.
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16
·
巩 固 层
知 识
(2)设函数 f ′(x)是奇函数 f (x)(x∈R)的导函数，f (－1)＝0，当 x>0 培
整
优
合 时，xf ′(x)－f (x)<0，则使得 f (x)>0 成立的 x 的取值范围是( )
·
层
素
提
A．(－∞，－1)∪(0，1)
升
B．(－1，0)∪(1，＋∞)
∴切线的斜率 k＝4.
优 层
·
素
设切点坐标为(x0，y0)，
提
养 升
升 层
则 f ′(x0)＝3x20＋1＝4，
华
题
型 探
∴x0＝±1.
究
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·
11
·
巩
固
层
知 识 整
∴xy00＝ ＝1－，14 或xy00＝ ＝－ －11，8.
培 优
合层·来自即切点为(1，－14)或(－1，－18)．
素 养
提 升
层
知 识 整
又∵g(－x)＝f－－xx＝－－fxx＝fxx＝g(x)(x≠0)，
培 优
合
层
·
∴g(x)是偶函数，
素
养
提 升
∴当 x∈(－∞，－1)时，g(x)＜0，从而 f (x)＞0；
升 华
层
题
当 x∈(－1，0)时，g(x)＞0，从而 f (x)＜0.
型
探 究
综上，所求 x 的取值范围是(－∞，－1)∪(0，1)．故选 A.]
返
首
页
·
28
·
巩 固 层
知 识
【例 3】 已知函数 f (x)＝x3＋ax2＋b 的图象上一点 P(1，0)且在 培
整
优
合 点 P 处的切线与直线 3x＋y＝0 平行．
·
层
素
提
(1)求函数 f (x)的解析式；
养 升
升
华
层
(2)求函数 f (x)在区间[0，t](0＜t＜3)上的最大值和最小值．
题
探
究
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31
·
巩
固
层
知
②当 2＜t＜3 时，当 x 变化时，f ′(x)，f (x)的变化情况如下表：
识
培
整 合
x 0 (0，2) 2 (2，t)
t
优 层
·
f ′(x) 0 － 0 ＋
素 养
提
升
升 层
f (x) 2 ↘ －2 ↗ t3－3t2＋2
华
题 型 探 究
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·
32
·
巩 固 层
养 升
华
层
C．(－∞，－1)∪(－1，0)
D．(0，1)∪(1，＋∞)
题
型
探
究
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·
17
·
巩 固 层
知
识
培
整
优
合
[思路探究] (1)利用f (x)单调递增⇒f ′(x)≥0；
·
层
素
提
(2)构造函数解决．
养 升
升
华
层
题 型 探 究
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18
·
巩
固
层 知
(1)C (2)A [(1)f ′(x)＝1－23cos 2x＋acos x＝1－23(2cos2x－1)＋
识
培
整 fx在a，b上单调递减，则 f′x≤0 恒成立，得到关于参数的不等式， 优
合
层
·
解出参数范围；
素 养
提
升
升
3验证参数范围中取等号时，是否恒有 f′x＝0.若 f′x＝0 恒成 华
层
题 立，则函数 fx在a，b上为常函数，舍去此参数值.
型 探 究
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·
24
·
[跟进训练]
巩
固 层
知
2．若函数 f (x)＝13x3－12ax2＋(a－1)x＋1 在区间(1，4)上为减函数，
切线方程为 y＝4(x－1)－14 或 y＝4(x＋1)－18.
升 华
层
题
即 y＝4x－18 或 y＝4x－14.
型
探
究
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·
12
·
巩
固
层
1．导数的几何意义的应用：利用导数的几何意义可以求出曲线
知
识 整
上任意一点处的切线方程 y－y0＝f ′(x0)(x－x0)，明确“过点 P(x0，y0)
识
培
整 合
acos x＝－43cos2x＋acos x＋53，f (x)在R上单调递增，
·
优 层
素
养
提 升
则f ′(x)≥0在R上恒成立，令cos x＝t，t∈[－1，1]，
升 华
层
题 型
则－43t2＋at＋53≥0在[－1，1]上恒成立，
探
究
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·
19
·
巩
固
层
即 4t2－3at－5≤0 在[－1，1]上恒成立，
养 升
升
华
层
题 型 探 究
返 首 页
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7
·
巩 固 层
知 识
[解] (1)∵f ′(x)＝(x3＋x－16)′＝3x2＋1，
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新教材高中数学模块综合提升ppt课件新人教A版选择性必修第二册
[提示] G2＝ab 不能得出 G 是 a，b 的等比中项，如 G＝0，a＝
0，b＝1.
7．如果数列{an}为等比数列，则数列{ln an}是等差数列．( × )
[提示] 当 an＞0 时，结论才能成立．
8 ． 数 列 {an} 的 通 项 公 式 是 an ＝ an ， 则 其 前 n 项 和 为 Sn ＝
(× )
[提示] 最值和值域是函数的两个不同的概念，如果自变量是整
数，则值域不能用区间表示．
27．函数 f (x)＝x3＋ax2－x＋1 必有 2 个极值．
( ×)
28．面积为 S 的一切矩形中，周长最小的矩形的边长是 S．
(√ ) 29．若 f (x)是[a，b]上的连续函数，且在(a，b)内可导，则 f (x)
[提示] 两边项数必须相同才成立．
11．若{an}是等比数列，则数列a1n，{a2n}，{|an|}一定是等比数
列．
( ×)
12．若数列{an}是等差数列，则 Sn，S2n，S3n 也成等差数列．
(× )
[提示] Sn，S2n－Sn，S3n－S2n 成等差数列．
13
．
在
数
列
中
，
若
an＋1 an
是
i＝1
i＝1
i＝1
i＝1
＝2n×4＋2n22n－1×3＋i＝n1 (9×4n－1)
＝(3×22n－1＋5×2n－1)＋9×411－－44n－n ＝27×22n－1＋5×2n－1－n－12(n∈N*)．
①当 x∈17，＋∞时， 1＋1x≤2 2，则 g(t)≥g(2 2)＝8 x－4 2 1＋x－2ln x.
[解] (1)当 a＝－34时，f (x)＝－34ln x＋ 1＋x，x＞0. f ′(x)＝－43x＋2 11＋x＝ 1＋x－4x212＋1x＋x＋1， 所以，函数 f (x)的单调递减区间为(0，3)，单调递增区间为(3， ＋∞)．
第章 章末综合提升-【新教材】人教A版()高中数学必修第二册优秀课件
2)，C(
2，0)，设 P(0，t)(0≤t≤
2)，
培
合
∴P→D＝( 2， 2－t)，P→C＝( 2，－t)，∴P→D·P→C
·
优 层
素
提 升 层
＝t2－
2t＋2＝t－
222＋32，∴当
t＝0
或
2时，
养 升 华
题
型 探 究
(P→D·P→C)max＝2，故选 C．]
·
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20
·
巩 固
平面向量的坐标运算
第 6章章章章末末综综合合提提升升--【【新新教教材材】】人人教教AA版版（（）2高0 1中9）数高学中必数修学第必二修册第优二秀册p课pt 件课件
15
·
巩
固
层
知
向量数量积的求解策略
识
整 合
1利用数量积的定义、运算律求解.,在数量积运算律中，有两个
培 优
层
·
形似实数的完全平方公式在解题中的应用较为广泛，即a＋b2＝a2 素
层
知
识 整
【例 3】 (1)设向量 a＝(1,0)，b＝(－1，m)，若 a⊥(ma－b)， 培
合
优
则 m＝________.
层
·
素
提
(2)设 a＝(2,0)，b＝(1， 3)．
升
养 升
层
华
题
①若(λa－b)⊥b，求 λ 的值；
型
探 究
②若 m＝λa＋μb，且|m|＝2 3，〈m，b〉＝π6，求 λ，μ 的值．
型
探
究
·
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18
·
巩 固 层
知 识
3．已知正方形 ABCD 的面积为 2，点 P 在边 AB 上，则P→D·P→C的
人教A版高中数学选择性必修第二册【整合课件】5.3.2函数的极值课件
－∞，23 ＋
g(x)
↗
2 3
0
极大值
23，4 － ↘
4 (4，＋∞)
0
＋
极小值
↗
则函数 g(x)的极大值为 g23＝6287－m，极小值为 g(4)＝－16－m.由 y＝f(x) 的图象与 y＝13 f′(x)＋5x＋m 的图象有三个不同交点，
得g32＝6287－m>0， g4＝－16－m<0，
令f′(x)＝0，得x＝2或x＝－2. 当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
(－∞，－2) －2
(－2,2)
2
(2，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
↗
极大值
↘
极小值
↗
∴当 x＝－2 时，函数取得极大值 f(－2)＝238； 当 x＝2 时，函数取得极小值 f(2)＝－43. 且f(x)在(－∞，－2)上单调递增，在(－2,2)上单 调递减，在(2，＋∞)上单调递增. 根据函数单调性、极值情况，它的图象大致如 图所示， 结合图象知－43<a<238.
跟踪训练 1
已知函数
1＋ln f(x)＝ x
x，若函数在区间a，a＋12(其中
a>0)
上存在极值，求实数 a 的取值范围.
解
∵f(x)＝1＋xln
x ，x>0，则
f′(x)＝－lnx2x.
当0<x<1时，f′(x)>0，当x>1时，f′(x)<0.
∴f(x)在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，
5.3.2 函数的极值与导数(二)
学习目标
人教A版高中数学选择性必修第二册【整合课件】4.3.1_等比数列的概念1
推
=⋯
导
= 1 + − 1 .
等比数列
根据等比数列的定义，
= −
= − ×
= −
= − ×
= − −
=⋯
= − .
新知探究
（二）等比数列的通项公式
等差数列
通
项
公
式
的
推
导
通
项
公
式
公
差
等比数列
= 1 + − 1
【解题反思】在等比数列{an}中，如何求解a1，q，n，an中的量？
答：在上述四个量中，至少要知道其中的三个量，才能求其他
的量，而且求解时常常利用方程思想，通过方程组解得．
典例突破
（三）等差数列的项
变式3. 在等比数列{an}中，已知a2＋a5＝18，a3＋a6＝9，求an.
2 + 5 = 1 + 1 4 = 18
新知探究
（二）等比数列的通项公式
等差数列
等比数列
根据等差数列的定义， −
根据等比数列的定义，
= ，
通
−
−1 = ，−1 − −2 = ，
项
−2 − −3 = ，…，2 − 1 − = ，− = ，…， = .
−
−
(放射性物质衰变到原来的一半所需时间称为这种物质的半衰期)
【解析】设这种物质最初的质量是1，经过n年，剩留量是an.
由条件可得数列{an}是一个等比数列．其中a1＝0.84，q＝0.84.
设an＝0.5，则0.84n＝0.5. 两边取对数，得nlg 0.84＝lg 0.5，用计
算器算得n≈4.
∴ 这种物质的半衰期大约为4年．
=⋯
导
= 1 + − 1 .
等比数列
根据等比数列的定义，
= −
= − ×
= −
= − ×
= − −
=⋯
= − .
新知探究
（二）等比数列的通项公式
等差数列
通
项
公
式
的
推
导
通
项
公
式
公
差
等比数列
= 1 + − 1
【解题反思】在等比数列{an}中，如何求解a1，q，n，an中的量？
答：在上述四个量中，至少要知道其中的三个量，才能求其他
的量，而且求解时常常利用方程思想，通过方程组解得．
典例突破
（三）等差数列的项
变式3. 在等比数列{an}中，已知a2＋a5＝18，a3＋a6＝9，求an.
2 + 5 = 1 + 1 4 = 18
新知探究
（二）等比数列的通项公式
等差数列
等比数列
根据等差数列的定义， −
根据等比数列的定义，
= ，
通
−
−1 = ，−1 − −2 = ，
项
−2 − −3 = ，…，2 − 1 − = ，− = ，…， = .
−
−
(放射性物质衰变到原来的一半所需时间称为这种物质的半衰期)
【解析】设这种物质最初的质量是1，经过n年，剩留量是an.
由条件可得数列{an}是一个等比数列．其中a1＝0.84，q＝0.84.
设an＝0.5，则0.84n＝0.5. 两边取对数，得nlg 0.84＝lg 0.5，用计
算器算得n≈4.
∴ 这种物质的半衰期大约为4年．
【课件】第5章 章末综合提升-【新教材】人教A版(2019)选择性必修第二册课件(共66张PPT)
22
利用导数确定参数的取值范围时，要充分利用 fx与其导数 f′x 之间的对应关系，然后结合函数的单调性等知识求解.
求解参数范围的步骤为： 1对含参数的函数 fx求导，得到 f′x；
23
2若函数 fx在a，b上单调递增，则 f′x≥0 恒成立；若函数 fx在a，b上单调递减，则 f′x≤0 恒成立，得到关于参数的不等式， 解出参数范围；
14
∵切线在 y 轴上的截距为 2，∴a－1＝2，∴a＝3. 又切线在 x 轴上的截距为－2， ∴2＋1－b－a a＝－2，∴b＝2.
15
函数的单调性与导数 【例 2】 (1)若函数 f (x)＝x－13sin 2x＋asin x 在(－∞，＋∞)上
单调递增，则 a 的取值范围是( )
A．[－1，1] C．－13，13
B．－1，13 D．－1，－31
16
(2)设函数 f ′(x)是奇函数 f (x)(x∈R)的导函数，f (－1)＝0，当 x>0
时，xf ′(x)－f (x)<0，则使得 f (x)>0 成立的 x 的取值范围是( )
A．(－∞，－1)∪(0，1)
B．(－1，0)∪(1，＋∞)
C．(－∞，－1)∪(－1，0)
40
(2)因为 f (x)＜0 恒成立，所以 f (x)max＜0， f ′(x)＝ax2－2x＋a＝－2x2＋xax＋a2＝2x＋ax－x＋a. ①当 a＞0 时，令 f ′(x)＝0，则 x＝a， 当 0＜x＜a 时，f ′(x)＞0，此时，函数 y＝f (x)单调递增； 当 x＞a 时，f ′(x)＜0，此时，函数 y＝f (x)单调递减． ∴f (x)max＝f (a)＝a2ln a－a2＋a2＝a2ln a＜0，∴0＜a＜1；
新教材人教A版高中数学选择性必修第二册全册精品教学课件
都可确定 一个数列，
可根据第一项(或前几项)的值，通过 也 都 可 求
一次(或多次)赋值，逐项求出数列的 出 数 列 的
项，直至求出所需的an，也可通过变 任意一项
形转化，直接求出an
[小题查验基础]
一、判断题(对的打“√”，错的打“×”) (1)相同的一组数按不同顺序排列时都表示同一个数列．( × )
___3_____.
－1n an－1
(n≥2)，则a5＝
解析：a1＝1，a2＝1＋a11＝2，a3＝1－a12＝12， a4＝1＋a13＝3，a5＝1－a14＝23. 5．已知数列{an}的前n项和Sn＝2n2＋n，则an＝__4_n_－__1__. 解析：当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n2＋n－2(n－1)2－(n－1) ＝4n－1. 当n＝1时，a1＝S1＝3＝4×1－1，故an＝4n－1.
首项，
1 2
为公差的等差数列．所以
1 an
＝
1 a1
＋(n－1)×
1 2
＝
n 2
＋
1 2
.
所以an＝n＋2 1.
形如an＋1＝
Aan Ban＋C
A，B，C为常数的数列，将其变形
为
1 an＋1
＝
C A
1 ·an
＋
B A
.①若A＝C，则
1 an
是等差数列，且公差为
B A
，可直接用公式求通项；②若A≠C，则采用待定系数法，
(2)递推公式：如果已知数列{an}的第1项(或前几项)，且从第 二项(或某一项)开始的任一项an与它的前一项an－1(或前几项) 间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个
数列的递推公式.
第6章 章末综合提升-【新教材】人教A版(2019)高中数学必修第二册课件
3，
·
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25
·
巩 固 层
知
识
整
培
合
λ2＋λμ＋μ2＝3，
λ＝1， λ＝－1，
优
即λ＋2μ＝3.
解得μ＝1， 或μ＝2，
·
层 素
提
养
升 层
所以 λ＝1，μ＝1 或 λ＝－1，μ＝2.
升 华
题 型 探 究
·
返 首 页
26
·
巩
固
层
知
向量的坐标运算
识
整 合
若 a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，则
整
培
合
A．4
B．3
优 层
·
素
提
C．2
D．0
养
升
升
层
华
题
B [a·(2a－b)＝2a2－a·b＝2－(－1)＝3，故选 B．]
型
探
究
·
返 首 页
18
·
巩 固 层
知 识
3．已知正方形 ABCD 的面积为 2，点 P 在边 AB 上，则P→D·P→C的
整
培
合 最大值为( )
优 层
·
素
提 升 层
A．
6 2
培 优
层
①a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2)；
·
素
提
养
升 层
②a－b＝(a1－b1，a2－b2)；
升 华
题 型
③λa＝(λa1，λa2)；
探
究
④a·b＝a1b1＋a2b2；
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27
·
巩
固
层
知 识
人教A版高中数学选择性必修第二册《等比数列---概念和通项公式》名师课件
+
当＝时,
=
=
−
=
= ；
.
+
故当＝ − 时,数列{}成等比数列,
其首项为,公比为 ；
当 ≠ −时,数列{}不是等比数列.
典例变型
1.(变条件,变结论)将例题中的条件“＝＋”变为“ = ,
∗
＋ = －＋, ( ∈ )”.
这种细菌从第1次分裂开始,各次分裂产生的后代个数依次是
2 , 4 , 8 , 16 , 32 , 64 , 128 , ⋯.⑤
4.某人存入银行元,存期为5年,年利率为,那么按照复利,他5年内每年末得到的本利
和分别是
+ , + , + , + , + .⑥
, , …;
（2） 2 , 4 , 8 , 32 , 64 , 128 ;
1
1
= , =
不是等比数列
（3） , − , , − , … ;
= , = −
（4） 4 , 00 , 4 , 00 , ….
不是等比数列
思考：有既是等差数列又是等比数列的数列吗？
学科核心素养：
1.通过等比数列的通项公式及等比中项的学习及应用,体现了数学运算素养.
2.借助等比数列的判定与证明,培养逻辑推理素养.
探究新知
1.两河流域发掘的古巴比伦时期的泥版上记录了下面的数列：
, , , ⋯ , ;
①
, , , ⋯ , ； ②
∴ − ＝, ＝.
(2)∵ ＝ · − ＝, ＝, ＝,
新教材2023年高中数学第四章数列章末整合提升课件新人教A版选择性必修第二册
[解析] Sn＝1＋2x＋3x2＋4x3＋…＋nxn－1，① xSn＝x＋2x2＋3x3＋…＋(n－1)xn－1＋nxn，② 由①－②，得(1－x)Sn＝1＋x＋x2＋…＋xn－1－nxn，
当 x≠1 时，(1－x)Sn＝11－－xxn－nxn ＝1－xn－1n－xnx＋nxn＋1＝1－（1＋1n－）xxn＋nxn＋1， ∴Sn＝1－（1（＋1n－）x）xn＋2 nxn＋1；
∴bn＝32＋(n－1)×12＝1＋n2， Sn＝2b2nb－n 1＝21＋ ＋nn， 当 n＝1 时，a1＝S1＝32，
当 n≥2 时，an＝Sn－Sn－1＝21＋＋nn－1＋n n＝－n（n1＋1），显然对于 n ＝1 不成立，
∴an＝2－3，n（n＝n1＋1 1），n≥2.
[规律方法] 已知某条件式，证明关于an(或Sn)的某个表达式成等差 (或等比)数列，问题本身就给出了条件式的变形方向，可依据等差(等比) 数列定义，结合an＝Sn－Sn－1(n≥2)对条件式变形构造新数列求解．
典例1 已知数列{an}中，a1＝1，且an＋1－an＝3n－n，求数列 {an}的通项公式．
[解析] 由an＋1－an＝3n－n， 得an－an－1＝3n－1－(n－1)， an－1－an－2＝3n－2－(n－2)， ……
a3－a2＝32－2，a2－a1＝3－1.
当 n≥2 时，以上 n－1 个等式两端分别相加，得(an－an－1)＋(an－1－ an－2)＋…＋(a2－a1)
典例7 求数列 214，418，6116，…，2n＋2n1＋1，…的前 n 项和 Sn. [分析] 此数列的通项公式为 an＝2n＋2n1＋1，而数列{2n}是一个等差 数列，数列2n1＋1是一个等比数列，故采用分组求和法．
[解析] Sn＝214＋418＋6116＋…＋2n＋2n1＋1
当 x≠1 时，(1－x)Sn＝11－－xxn－nxn ＝1－xn－1n－xnx＋nxn＋1＝1－（1＋1n－）xxn＋nxn＋1， ∴Sn＝1－（1（＋1n－）x）xn＋2 nxn＋1；
∴bn＝32＋(n－1)×12＝1＋n2， Sn＝2b2nb－n 1＝21＋ ＋nn， 当 n＝1 时，a1＝S1＝32，
当 n≥2 时，an＝Sn－Sn－1＝21＋＋nn－1＋n n＝－n（n1＋1），显然对于 n ＝1 不成立，
∴an＝2－3，n（n＝n1＋1 1），n≥2.
[规律方法] 已知某条件式，证明关于an(或Sn)的某个表达式成等差 (或等比)数列，问题本身就给出了条件式的变形方向，可依据等差(等比) 数列定义，结合an＝Sn－Sn－1(n≥2)对条件式变形构造新数列求解．
典例1 已知数列{an}中，a1＝1，且an＋1－an＝3n－n，求数列 {an}的通项公式．
[解析] 由an＋1－an＝3n－n， 得an－an－1＝3n－1－(n－1)， an－1－an－2＝3n－2－(n－2)， ……
a3－a2＝32－2，a2－a1＝3－1.
当 n≥2 时，以上 n－1 个等式两端分别相加，得(an－an－1)＋(an－1－ an－2)＋…＋(a2－a1)
典例7 求数列 214，418，6116，…，2n＋2n1＋1，…的前 n 项和 Sn. [分析] 此数列的通项公式为 an＝2n＋2n1＋1，而数列{2n}是一个等差 数列，数列2n1＋1是一个等比数列，故采用分组求和法．
[解析] Sn＝214＋418＋6116＋…＋2n＋2n1＋1
高中数学(新人教A版)选择性必修二：导数的概念及其意义【精品课件】
x 0
x
பைடு நூலகம்
0
x
0
x
x
1 x
例2
将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热.
已知在第 h时，原油的温度（单位：℃）为＝（）＝2 − 7 + 15（0 ≤ ≤ 8）.计
算第2 h与第6 h时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义.
y
所以v '(2) lim
lim t 2 2. 同理可得 ′（6）＝ − 6.
t 0 t
t 0
在第2 s与第6 s时，汽车的瞬时加速度分别是2 m/s2与−6 m/s2.说明在第2 s附近，汽车的速度
每秒大约增加2 m/s；在第6 s附近，汽车的速度每秒大约减少6 m/s.
一确定的数.这样，当变化时，＝ ′（）就是x的函数，我们称它为＝（）的导函
数（简称导数）.＝（）的导函数有时也记作′，即
f ( x x) f ( x)
f '( x) y ' lim
.
x 0
x
函数（）在＝处的导数 ′（）、导函数 ′（）之间的区别与联系：
这时，在＝0附近曲线比较平坦，几乎没有升降.
（2）当＝1时，曲线ℎ（）在＝1处的切线1的斜率ℎ′（1） < 0.
这时，在＝1附近曲线下降，即函数ℎ（）在＝1附近单调递减.
（3）当＝2时，曲线ℎ（）在＝2处的切线2的斜率ℎ′（2） < 0.
这时，在＝2附近曲线下降，即函数ℎ（）在＝2附近也单调递减.
f ( x0 x) f ( x0 )
y
lim
x 0 x
x 0
x
x
பைடு நூலகம்
0
x
0
x
x
1 x
例2
将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热.
已知在第 h时，原油的温度（单位：℃）为＝（）＝2 − 7 + 15（0 ≤ ≤ 8）.计
算第2 h与第6 h时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义.
y
所以v '(2) lim
lim t 2 2. 同理可得 ′（6）＝ − 6.
t 0 t
t 0
在第2 s与第6 s时，汽车的瞬时加速度分别是2 m/s2与−6 m/s2.说明在第2 s附近，汽车的速度
每秒大约增加2 m/s；在第6 s附近，汽车的速度每秒大约减少6 m/s.
一确定的数.这样，当变化时，＝ ′（）就是x的函数，我们称它为＝（）的导函
数（简称导数）.＝（）的导函数有时也记作′，即
f ( x x) f ( x)
f '( x) y ' lim
.
x 0
x
函数（）在＝处的导数 ′（）、导函数 ′（）之间的区别与联系：
这时，在＝0附近曲线比较平坦，几乎没有升降.
（2）当＝1时，曲线ℎ（）在＝1处的切线1的斜率ℎ′（1） < 0.
这时，在＝1附近曲线下降，即函数ℎ（）在＝1附近单调递减.
（3）当＝2时，曲线ℎ（）在＝2处的切线2的斜率ℎ′（2） < 0.
这时，在＝2附近曲线下降，即函数ℎ（）在＝2附近也单调递减.
f ( x0 x) f ( x0 )
y
lim
x 0 x
x 0
x