2021高考数学模拟试题荟萃含答案及解析
2021届新高考数学模拟试卷及答案解析(4)
2021届新高考数学模拟试题（4）一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．若集合{2A =-，1-，0，1，2}，2{|1}B x x =>，则(A B = )A ．{|1x x <-或1}x >B ．{2-，2}C ．{2}D ．{0}2．已知复数z 满足31(z i i -=-为虚数单位），则复数z 的模为( ) A ．2B ．2C ．5D ．53．如图，《九章算术》中记载了一个“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？意思是：有一根竹子，原高一丈(1丈10=尺），现被风折断，尖端落在地上，竹尖与竹根的距离三尺，问折断处离地面的高为( )尺．A ．5.45B ．4.55C ．4.2D ．5.84．函数31()()2x f x x =-的零点所在区间为( )A ．(1,0)-B ．1(0,)2C ．1(,1)2D ．(1,2)5．三个数0.87，70.8，0.8log 7的大小顺序是( ) A ．70.80.8log 70.87<< B ．0.870.8log 770.8<<C ．70.80.80.87log 7<<D ．0.870.870.8log 7<<6．两个实习生每人加工一个零件．加工为一等品的概率分别为56和34，两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为( ) A ．12B ．13C ．512D ．167．设,a b 是非零向量，则2a b =是||||a b a b =成立的( )A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分又不必要条件8．已知四棱锥P ABCD -的体积是363，底面ABCD 是正方形，PAB ∆是等边三角形，平面PAB ⊥平面ABCD ，则四棱锥P ABCD -外接球体积为( ) A ．2821πB ．99112π C ．6372π D ．1083π二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分.9．在平面直角坐标系xOy 中，角α以Ox 为始边，终边经过点(1P ，)(0)m m <，则下列各式一定为正的是( ) A ．sin cos αα+B ．cos sin αα-C ．sin cos ααD ．sin tan αα10．某大学进行自主招生测试，需要对逻辑思维和阅读表达进行能力测试．学校对参加测试的200名学生的逻辑思维成绩、阅读表达成绩以及这两项的总成绩进行了排名．其中甲、乙、丙三位同学的排名情况如图所示，下列叙述正确的是( )A ．甲同学的逻辑思维成绩排名比他的阅读表达成绩排名更靠前B ．乙同学的逻辑思维成绩排名比他的阅读表达成绩排名更靠前C ．甲、乙、丙三位同学的逻辑思维成绩排名中，甲同学更靠前D ．甲同学的总成绩排名比丙同学的总成绩排名更靠前11．已知定义在R 上的函数()y f x =满足条件(2)()f x f x +=-，且函数(1)y f x =-为奇函数，则( ) A ．函数()y f x =是周期函数B ．函数()y f x =的图象关于点(1,0)-对称C ．函数()y f x =为R 上的偶函数D ．函数()y f x =为R 上的单调函数12．过抛物线24y x =的焦点F 作直线交抛物线于A ，B 两点，M 为线段AB 的中点，则( ) A ．以线段AB 为直径的圆与直线32x =-相离B ．以线段BM 为直径的圆与y 轴相切C ．当2AF FB =时，9||2AB =D ．||AB 的最小值为4三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13．已知tan 3α=，则sin cos sin cos αααα-+的值为 ．14．二项式261(2)x x-的展开式中的常数项是 ．（用数字作答）15．已知椭圆2222:1(0)x y M a b a b +=>>，双曲线2222:1x y N m n-=．若双曲线N 的两条渐近线与椭圆M 的四个交点及椭圆M 的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M 的离心率为 ；双曲线N 的离心率为 ．16．已知函数()9sin(2)6f x x π=-，当[0x ∈，10]π时，把函数()()6F x f x =-的所有零点依次记为1x ，2x ，3x ，⋯，n x ，且123n x x x x <<<⋯<，记数列{}n x 的前n 项和为n S ，则12()n n S x x -+= ．四、解答题：本大题共6大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（12分）在①ABC ∆面积2ABC S ∆=，②6ADC π∠=这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，求AC ．如图，在平面四边形ABCD 中，34ABC π∠=，BAC DAC ∠=∠， ，24CD AB ==，求AC ． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．18．（12分）已知数列{}n a 满足1*3212122()222n n n a a a a n N +-+++⋯+=-∈，4log n n b a =． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）求数列11n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T ．19．（12分）如图，四棱锥P ABCD -中，侧面PAD 为等边三角形且垂直于底面ABCD ，22AD BC ==，90BAD ABC ∠=∠=︒．（1）证明：PC BC ⊥；（2）若直线PC 与平面PAD 所成角为30︒，求二面角B PC D --的余弦值．20．（12分）某学校共有1000名学生，其中男生400人，为了解该校学生在学校的月消费情况，采取分层抽样随机抽取了100名学生进行调查，月消费金额分布在450~950之间．根据调查的结果绘制的学生在校月消费金额的频率分布直方图如图所示：将月消费金额不低于750元的学生称为“高消费群”．（Ⅰ）求a 的值，并估计该校学生月消费金额的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（Ⅱ）现采用分层抽样的方式从月消费金额落在[550，650)，[750，850)内的两组学生中抽取10人，再从这10人中随机抽取3人，记被抽取的3名学生中属于“高消费群”的学生人数为随机变量X ，求X 的分布列及数学期望；（Ⅲ）若样本中属于“高消费群”的女生有10人，完成下列22⨯列联表，并判断是否有97.5%的把握认为该校学生属于“高消费群”与“性别”有关？属于“高消费群” 不属于“高消费群”合计 男 女 合计（参考公式：2()()()()K a b c d a c b d =++++，其中)n a b c d =+++2()P K k0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.82821．（12分）已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的右焦点F 与抛物线28y x =焦点重合，且椭圆的离心率为6，过x 轴正半轴一点(,0)m 且斜率为3-的直线l 交椭圆于A ，B 两点． （1）求椭圆的标准方程；（2）是否存在实数m 使以线段AB 为直径的圆经过点F ，若存在，求出实数m 的值；若不存在说明理由．22．（12分）已知函数1()1()2m f x lnx m R x =+-∈的两个零点为1x ，212()x x x <． （1）求实数m 的取值范围； （2）求证：12112x x e+>．2020届新高考数学模拟试题（4）答案解析一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．若集合{2A =-，1-，0，1，2}，2{|1}B x x =>，则(A B = )A ．{|1x x <-或1}x >B ．{2-，2}C ．{2}D ．{0}【解析】由B 中不等式解得：1x >或1x <-，即{|1B x x =>或1}x <-， {2A =-，1-，0，1，2}， {2AB ∴=-，2}，故选：B ．2．已知复数z 满足31(z i i -=-为虚数单位），则复数z 的模为( ) A ．2B ．2C ．5D ．5【解析】31z i -=-，312z i i ∴=-+=+，∴||5z =．故选：D ．3．如图，《九章算术》中记载了一个“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？意思是：有一根竹子，原高一丈(1丈10=尺），现被风折断，尖端落在地上，竹尖与竹根的距离三尺，问折断处离地面的高为( )尺．A ．5.45B ．4.55C ．4.2D ．5.8【解析】如图，已知10AC AB +=（尺)，3BC =（尺)，2229AB AC BC -==， 所以()()9AB AC AB AC +-=，解得0.9AB AC -=，因此100.9AB AC AB AC +=⎧⎨-=⎩，解得 5.454.55AB AC =⎧⎨=⎩，故折断后的竹干高为4.55尺， 故选：B ．4．函数31()()2x f x x =-的零点所在区间为( )A ．(1,0)-B ．1(0,)2C ．1(,1)2D ．(1,2)【解析】函数31()()2x f x x =-是增函数并且是连续函数，可得111()0282f =-<，f （1）1102=->．1()2f f ∴（1）0<，所以函数的零点在1(2，1)．故选：C ．5．三个数0.87，70.8，0.8log 7的大小顺序是( ) A ．70.80.8log 70.87<< B ．0.870.8log 770.8<<C ．70.80.80.87log 7<<D ．0.870.870.8log 7<<【解析】0.80771>=，700.81<<，0.80.8log 7log 10<=，∴70.80.87087log <<．故选：A ．6．两个实习生每人加工一个零件．加工为一等品的概率分别为56和34，两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为( ) A ．12B ．13C ．512D ．16【解析】由于两个零件是否加工为一等品相互独立，所以两个零件中恰有一个一等品为：两人一个为一个为一个一等品，另一个不为一等品． 53531(1)(1)64643P ∴=-+-=，故选：B ．7．设,a b 是非零向量，则2a b =是||||a ba b =成立的( ) A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件D ．既不充分又不必要条件【解析】对于非零向量,a b ，由2a b =，得,a b 共线同向，则||||a b a b =； 反之，由||||a b a b =，可得,a b 共线同向，但不一定是2a b =． ∴2a b =是||||a b a b =成立的充分不必要条件． 故选：B ．8．已知四棱锥P ABCD -的体积是363，底面ABCD 是正方形，PAB ∆是等边三角形，平面PAB ⊥平面ABCD ，则四棱锥P ABCD -外接球体积为( ) A ．2821πB ．99112π C ．6372π D ．1083π【解析】四棱锥P ABCD -的体积是363，底面ABCD 是正方形， 如图所示：则：设正方形ABCD 的边长为2x ，在等边三角形PAB 中，过P 点作PE AB ⊥， 由于平面PAB ⊥平面ABCD ， 所以PE ⊥平面ABCD ．由于PAB ∆是等边三角形，解得3PE x =所以12233633V x x x ==， 解得3x =．设外接球的半径为R ， 所以22(32)(3)21R =+=所以348421(21)28213V πππ===．故选：A ．二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分.9．在平面直角坐标系xOy 中，角α以Ox 为始边，终边经过点(1P ，)(0)m m <，则下列各式一定为正的是( ) A ．sin cos αα+B ．cos sin αα-C ．sin cos ααD ．sin tan αα【解析】角α以Ox 为始边，终边经过点(1P ，)(0)m m <，α∴是第四象限角， sin 0α∴<，cos 0α>，cos sin αα∴+不一定是正数，故排除A ； cos sin 0αα∴->，故B 正确； cos sin 0αα∴<，故C 一定错误；∴sin cos 0tan ααα=>，故D 正确， 故选：BD ．10．某大学进行自主招生测试，需要对逻辑思维和阅读表达进行能力测试．学校对参加测试的200名学生的逻辑思维成绩、阅读表达成绩以及这两项的总成绩进行了排名．其中甲、乙、丙三位同学的排名情况如图所示，下列叙述正确的是( )A ．甲同学的逻辑思维成绩排名比他的阅读表达成绩排名更靠前B ．乙同学的逻辑思维成绩排名比他的阅读表达成绩排名更靠前C ．甲、乙、丙三位同学的逻辑思维成绩排名中，甲同学更靠前D ．甲同学的总成绩排名比丙同学的总成绩排名更靠前【解析】根据图示，对于A ，可得甲、乙、丙三位同学的逻辑思维成绩排名中，甲同学更靠前，故A 正确； 对于B ，乙同学的总排名比较靠前，但是他的逻辑思维排名比较靠后，说明他的阅读表达排名比逻辑排名成绩更靠前，故B 错误．对于C ，甲乙丙三位同学的逻辑思维排名顺序是甲，丙乙并列，故甲同学最靠前．故C 正确．对于D ，甲同学的逻辑思维成绩排名更靠前，总成绩排名靠后，即有阅读表达成绩排名比他的逻辑思维成绩排名更靠后，故D 错误． 故选：AC ．11．已知定义在R 上的函数()y f x =满足条件(2)()f x f x +=-，且函数(1)y f x =-为奇函数，则( ) A ．函数()y f x =是周期函数B ．函数()y f x =的图象关于点(1,0)-对称C ．函数()y f x =为R 上的偶函数D ．函数()y f x =为R 上的单调函数 【解析】根据题意，依次分析选项：对于A ，函数()y f x =满足(2)()f x f x +=-，则(4)(2)()f x f x f x +=-+=，即函数()f x 是周期为4的周期函数，A 正确；对于B ，(1)y f x =-是奇函数，则(1)f x -的图象关于原点对称，又由函数()f x 的图象是由(1)y f x =-向左平移1个单位长度得到，故函数()f x 的图象关于点(1,0)-对称，B 正确；对于C ，由B 可得：对于任意的x R ∈，都有(1)(1)f x f x --=--+，即(1)(1)0f x f x --+-+=，变形可得(2)()0f x f x --+=，则有(2)()(2)f x f x f x --=-=+对于任意的x R ∈都成立，令2t x =+，则()()f t f t -=，即函数()f x 是偶函数，C 正确；对于D ，()f x 为偶函数，则其图象关于y 轴对称，()f x 在R 上不是单调函数，D 错误； 故选：ABC ．12．过抛物线24y x =的焦点F 作直线交抛物线于A ，B 两点，M 为线段AB 的中点，则( ) A ．以线段AB 为直径的圆与直线32x =-相离B ．以线段BM 为直径的圆与y 轴相切C ．当2AF FB =时，9||2AB =D ．||AB 的最小值为4【解析】24y x =的焦点(1,0)F ，准线方程为1x =-， 设A ，B ，M 在准线上的射影为A '，B '，M '，由||||AF AA '=，||||BF BB '=，111||(||||)(||||)||222MM AA BB AF FB AB '''=+=+=，可得线段AB 为直径的圆与准线相切，与直线y 轴相交，故A 对； 当直线AB 的斜率不存在时，显然以线段BM 为直径的圆与y 轴相切；当直线AB 的斜率存在且不为0，可设直线AB 的方程为y kx k =-，联立24y x =，可得2222(24)0k x k x k -++=， 设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ， 可得12242x x k+=+，121x x =，设1322x =+，2322x =-， 可得M 的横坐标为221k +，MB 的中点的横坐标为2212(1)2x k ++，2222||1|1|BM k x k =+--， 当1k =时，MB 的中点的横坐标为522-，1||22MB =，显然以线段BM 为直径的圆与y 轴相交，故B 错；以F 为极点，x 轴的正半轴为极轴的抛物线的极坐标方程为21cos ρθ=-，设1(A ρ，)θ，2(B ρ，)πθ+，可得121cos ρθ=-，2221cos()1cos ρπθθ==-++， 可得111cos 1cos 1||||22AF BF θθ-++=+=，又||2||AF FB =，可得||3AF =，3||2FB =，则9||||||2AB AF FB =+=，故C 正确；显然当直线AB 垂直于x 轴，可得||AB 取得最小值4，故D 正确． 故选：ACD ．三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13．已知tan 3α=，则sin cos sin cos αααα-+的值为 12．【解析】tan 3α=，∴sin cos tan 1311sin cos tan 1312αααααα---===+++．故答案为：12． 14．二项式261(2)x x -的展开式中的常数项是 60 ．（用数字作答）【解析】261(2)x x-的展开式的通项公式为612316(1)2r r r r r T C x --+=-，令1230r -=，求得4r =，∴展开式中的常数项是426260C =， 故答案为：60．15．已知椭圆2222:1(0)x y M a b a b +=>>，双曲线2222:1x y N m n-=．若双曲线N 的两条渐近线与椭圆M 的四个交点及椭圆M 的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M1- ；双曲线N 的离心率为 ．【解析】椭圆2222:1(0)x y M a b a b +=>>，双曲线2222:1x y N m n-=．若双曲线N 的两条渐近线与椭圆M 的四个交点及椭圆M 的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，可得椭圆的焦点坐标(,0)c ，正六边形的一个顶点(2c，可得：22223144c c a b +=，可得22131144(1)e e+=-，可得42840e e -+=，(0,1)e ∈，解得1e =-．nm= 可得：223n m =，即2224m n m+=，可得双曲线的离心率为2e =． 1；2．16．已知函数()9sin(2)6f x x π=-，当[0x ∈，10]π时，把函数()()6F x f x =-的所有零点依次记为1x ，2x ，3x ，⋯，n x ，且123n x x x x <<<⋯<，记数列{}n x 的前n 项和为n S ，则12()n n S x x -+=5513π． 【解析】()()6F x f x =-的零点即()6f x =，即2sin(2)63x π-=，由2262x k πππ-=+，k Z ∈，解得12(2)23x k ππ=+，0k =，1，⋯，9，即为sin(2)6y x π=-的图象的对称轴方程，则1223x x π+=，3483x x π+=，⋯，1920563x x π+=， 可得1256290()102333n S πππ=+⨯=，112229(arcsin 18arcsin )263363n x x πππππ+=+++-+=， 则1580295512()333n n S x x πππ-+=-=， 故答案为：5513π． 四、解答题：本大题共6大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（12分）在①ABC ∆面积2ABC S ∆=，②6ADC π∠=这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，求AC ．如图，在平面四边形ABCD 中，34ABC π∠=，BAC DAC ∠=∠， ①ABC ∆面积2ABC S ∆= ，24CD AB ==，求AC ． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．【解析】选择①ABC ∆面积2ABC S ∆=，24CD AB ==，34ABC π∠=， 所以2AB =．故13sin 224AB BC π⨯⨯⨯=，解得22BC =则：22232cos 4AC BC AB BC AB π=+-， 解得：25AC =故答案为：①ABC ∆面积2ABC S ∆=．25AC = 选择②设BAC CAD θ∠=∠=，则04πθ<<，4BCA πθ∠=-，在ABC ∆中sin sin AC ABABC BCA =∠∠，即23sin sin()44AC ππθ=-，所以2sin()4AC πθ=- 在ACD ∆中，sin sin AC CD ADC CAD =∠∠，即4sin sin 6AC πθ=，所以2sin AC θ=．所以2sin sin()4πθθ=-，解得2sin cos θθ=， 又04πθ<<，所以sin θ=2sin AC θ== 18．（12分）已知数列{}n a 满足1*3212122()222n n n a a aa n N +-+++⋯+=-∈，4log n nb a =． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）求数列11n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T ．【解析】（Ⅰ）当1n =时，12a = 当2n 时由13212122222n n n a a a a +-+++⋯+=-，31212222222n n n a a a a --+++⋯+=-， 两式相减得122nn n a -=， 即212n n a -=，且上式对于1n =时也成立， 所以数列{}n a 的通项公式212n n a -=． （Ⅱ）因为21421log 22n n n b --==， 114112()(21)(21)2121n n b b n n n n +==--+-+． 所以12231111n n n T b b b b b b +=++⋯+， 111112[(1)()()]3352121n n =-+-+⋯+--+，12(1)21n =-+， 421nn =+． 19．（12分）如图，四棱锥P ABCD -中，侧面PAD 为等边三角形且垂直于底面ABCD ，22AD BC ==，90BAD ABC ∠=∠=︒．（1）证明：PC BC ⊥；（2）若直线PC 与平面PAD 所成角为30︒，求二面角B PC D --的余弦值．【解析】（1）取AD 的中点为O ，连接PO ，CO ，PAD ∆为等边三角形，PO AD ∴⊥．底面ABCD 中，可得四边形ABCO 为矩形，CO AD ∴⊥， POCO O =，AD ∴⊥平面POC ，PC ⊂平面POC ，AD PC ⊥．又//AD BC ，所以PC BC ⊥⋯（6分）（2）由面PAD ⊥面ABCD ，PO AD ⊥知，PO ∴⊥平面ABCD ，OP ，OD ，OC 两两垂直， 直线PC 与平面PAD 所成角为30︒，即30CPO ∠=︒，由2AD =，知3PO =，得1CO =． 分别以,,OC OD OP 的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系O xyz -，则(0,0,3)P ，(0D ，1，0)，(1C ，0，0)，(1B ，1-，0)，(0,1,0)BC =，(1,0,3),(1,1,0)PC CD =-=-， 设平面PBC 的法向量为(,,)n x y z =，∴030y x z =⎧⎪⎨-=⎪⎩，则(3,0,1)n =⋯（8分）设平面PDC 的法向量为(,,)m x y z =，∴030x y x z -=⎧⎪⎨-=⎪⎩，则(3,3,1)m =⋯（10分）．27|cos ,|||||27m n m n m n 〈〉===，∴二面角B PC D --的余弦值为27-⋯（12分）20．（12分）某学校共有1000名学生，其中男生400人，为了解该校学生在学校的月消费情况，采取分层抽样随机抽取了100名学生进行调查，月消费金额分布在450~950之间．根据调查的结果绘制的学生在校月消费金额的频率分布直方图如图所示：将月消费金额不低于750元的学生称为“高消费群”．（Ⅰ）求a 的值，并估计该校学生月消费金额的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（Ⅱ）现采用分层抽样的方式从月消费金额落在[550，650)，[750，850)内的两组学生中抽取10人，再从这10人中随机抽取3人，记被抽取的3名学生中属于“高消费群”的学生人数为随机变量X ，求X 的分布列及数学期望；（Ⅲ）若样本中属于“高消费群”的女生有10人，完成下列22⨯列联表，并判断是否有97.5%的把握认为该校学生属于“高消费群”与“性别”有关？属于“高消费群” 不属于“高消费群”合计 男 女 合计（参考公式：2K =，其中)n a b c d =+++2()P K k0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828【解析】（Ⅰ）由题意知100(0.00150.00250.00150.001)1a ⨯++++=，解得0.0035a =， 样本平均数为5000.156000.357000.258000.159000.10670x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=元． （Ⅱ）由题意，从[550，650)中抽取7人，从[750，850)中抽取3人， 随机变量X 的所有可能取值有0，1，2，3．337310()(0k kC C P X k k C -===，1，2，3)所以随机变量X 的分布列为： P 0 1 2 3 X3512063120211201120随机变量X 的数学期望632119()2312012012010E X =+⨯+⨯=． （Ⅲ）由题可知，样本中男生40人，女生60人属于“高消费群”的25人，其中女生10人；得出以下22⨯列联表：属于“高消费群” 不属于“高消费群”合计 男生 15 25 40 女生 10 50 60 合计257510025.024()()()()257540609K a b c d a c b d ===≈++++⨯⨯⨯，所以有97.5%的把握认为概型学生属于“高消费群”与性别有关．21．（12分）已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的右焦点F 与抛物线28y x =焦点重合，且椭圆的离心率为6，过x 轴正半轴一点(,0)m 且斜率为3-的直线l 交椭圆于A ，B 两点． （1）求椭圆的标准方程；（2）是否存在实数m 使以线段AB 为直径的圆经过点F ，若存在，求出实数m 的值；若不存在说明理由．【解析】（1）抛物线28y x =的焦点是(2,0)， (2,0)F ∴，2c ∴=，又66c a = ∴26,6a a ==，则2222b a c =-=故椭圆的方程为22162x y +=；⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（4分）（2）由题意得直线l 的方程为3)(0)y x m m =->，由22162)x y y x m ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，消去y 得222260x mx m -+-=， 由△2248(6)0m m =-->，解得m -<< 又0m >，∴0m <<设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，则12x x m +=，21262m x x -=．∴212121212331[()][()]()333m m y y x m x m x x x x =----=-++．⋯⋯⋯（6分）11(2,)FA x y =-，22(2,)FB x y =-，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（7分）∴212121212462(3)(2)(2)()43333m m m m FA FB x x y y x x x x +-=--+=-+++=．⋯⋯⋯⋯⋯⋯（10分） 若存在m 使以线段AB 为直径的圆经过点F ，则必有0FA FB=， 即2(3)03m m -=，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（11分） 解得0m =或3m =．又0m <<3m ∴=．即存在3m =使以线段AB 为直径的圆经过点F ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（12分） 22．（12分）已知函数1()1()2m f x lnx m R x =+-∈的两个零点为1x ，212()x x x <． （1）求实数m 的取值范围； （2）求证：12112x x e+>． 【解答】（1）解：22()2x mf x x -'=． ①0m ，()0f x '>，()f x 在(0,)+∞上单调递增，不可能有两个零点； ②0m >，()0f x '>可解得2x m >，()0f x '<可解得02x m <<， ()f x ∴在(0,2)m 上单调递减，在(2,)m +∞上单调递增， 11()(2)222min f x f m ln m ∴==-，由题意，112022ln m -<，02e m ∴<<； （2）证明：令1t x=，11()102f mt lnt x =--=，由题意方程22lnt m t+=有两个根为1t ，2t ，不妨设111t x =，221t x =．令2()2lnt h t t +=，则21()2lnt h t t +'=-， 令()0h t '>，可得10t e <<，函数单调递增；()0h t '<，可得1t e >，函数单调递减．由题意，1210t t e >>>， 要证明12112x x e +>，即证明122t t e +>，即证明122()()h t h t e<-．令2()()()x h x h x eϕ=--，下面证明()0x ϕ<对任意1(0,)x e∈恒成立，222()11()222()ln x lnx e x x x eϕ-----'=+-， 1(0,)x e ∈，10lnx ∴-->，222()x x e <-，22()2()022()lnx x e x x e ϕ--+-∴'>>-， ()x ϕ∴在1(0,)e 上是增函数，1()()0x eϕϕ∴<=，∴原不等式成立．关注《品数学》，获取更多精品资料。
数学模拟试题二含解析
A. 线段 上存在点E、F使得 B. 平面ABCD
C. 的面积与 的面积相等D. 三棱锥A-BEF的体积为定值
【答案】BD
【解析】
【分析】
根据异面直线的定义可判断A；根据线面平行的判定定理可判断B；根据三角形的面积公式可判断C；利用直线平行平面，直线上的点到面的距离相等以及椎体的体积公式可判断D。
【详解】若甲走的红门盘道徒步线路，则乙,丙描述中的甲的去向均错误，又三人的陈述都只对一半,则乙丙的另外两句话“丙走红门盘道徒步线路",“乙走红门盘道徒步线路”正确，与“三人走的线路均不同”矛盾.
故甲的另一句“乙走桃花峪登山线路"正确，故丙的“乙走红门盘道徒步线路”错误，“甲走天烛峰登山线路”正确.乙的话中“甲走桃花峪登山线路”错误,“丙走红门盘道徒步线路”正确.
A。 B。 C。 D.
【答案】D
【解析】
分析：根据直线的垂直,即可求出tanα=3,再根据二倍角公式即可求出．
详解：因为l1⊥l2,所以sinα﹣3cosα=0，
所以tanα=3，
所以sin2α=2sinαcosα=
故选D．
点睛：本题考查了两直线的垂直，以及二倍角公式,本题利用了sin2θ+cos2θ=1巧妙的完成弦切互化．常用的还有三姐妹的应用，一般 ， ,这三者我们成为三姐妹，结合 ，可以知一求三.
15. 函数 的部分图象如图所示，则 __;将函数 的图象沿x轴向右平移 个单位后，得到一个偶函数的图象，则 ____.
【答案】 （1）. （2）。
【解析】
【分析】
根据图象求得周期，利用周期计算公式求得 ；根据 ,即可求得 ;再求得平移后的函数解析式,根据奇偶性，列出等式,则 可得.
2021年高考数学真题模拟试题专项汇编之立体几何(文)(Word版,含解析)
（8）立体几何（文）——2021年高考数学真题模拟试题专项汇编1.【2021年新高考Ⅰ卷，3】已知圆锥的底面半径为2，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为( ) A.2B.22C.4D.422.【2021年新高考Ⅱ卷，4】卫星导航系统中，地球静止同步轨道卫星的轨道位于地球赤道所在平面，轨道高度为36000km （轨道高度指卫星到地球表面的最短距离）.把地球看成一个球心为O ，半径为6400km 的球，其上点A 的纬度是指OA 与赤道所在平面所成角的度数，地球表面能直接观测到的一颗地球静止同步轨道卫星的点的纬度的最大值记为α.该卫星信号覆盖的地球表面面积22π(1cos )S r α=-（单位：2km ），则S 占地球表面积的百分比为( ) A.26%B.34%C.42%D.50%3.【2021年北京卷，4】某四面体的三视图如图所示，该四面体的表面积为( )33+ B.1213+3 4.【2021年浙江卷，4】某几何体的三视图如图所示(单位：cm )，则该几何体的体积(单位：3cm )是( )A.32B.3C.322D.325.【2021年新高考Ⅱ卷，5】正四棱台的上、下底面的边长分别为2，4，侧棱长为2，则四棱台的体积为( ) A.5623B.562C.282D.28236.【2021年浙江卷，6】如图，已知正方体1111ABCD A B C D -，,M N 分别是1A D ，1D B 的中点，则( )A.直线1A D 与直线1D B 垂直，直线//MN 平面ABCDB.直线1A D 与直线1D B 平行，直线MN ⊥平面11BDD BC.直线1A D 与直线1D B 相交，直线//MN 平面ABCDD.直线1A D 与直线1D B 异面，直线MN ⊥平面11BDD B7.【2021年北京卷，8】定义：24小时内降水在平地上积水厚度（mm ）来判断降雨程度.其中小雨（10<mm ），中雨（10mm —25mm ），大雨（25mm —50mm ），暴雨（50mm —100mm ），小明用一个圆锥形容器接了24小时的雨水，如图，则这天降雨属于哪个等级( )A.小雨B.中雨C.大雨D.暴雨8.【2021年全国乙卷(文)，10】在正方体1111ABCD A B C D -中，P 为11B D 的中点，则直线PB 与1AD 所成的角为( ) A.π2B.π3C.π4D.π69.【2021年全国甲卷(文)，14】已知一个圆锥的底面半径为6，其体积为30π，则该圆锥的侧面积为__________.10.【2021年上海卷，9】已知圆柱的底面半径为1，高为2，AB 为上底面圆的一条直径，点C 为下底底面圆周上的一个动点，点C 绕着下底底面旋转一周，则ABC △面积的取值范围为____________.11.【2021年全国乙卷(文)，16】以图①为正视图，在图②③④③中选两个分别作为侧视图和俯视图，组成某个三棱锥的三视图，则所选侧视图和俯视图的编号依次为___________（写出符合要求的一组答案即可）.12.【2021年全国乙卷(文)，18】如图，四棱锥P ABCD -的底面是矩形，PD ⊥底面ABCD ，M 为BC 的中点，且PB AM ⊥.（1）证明：平面PAM ⊥平面PBD ；（2）若1PD DC ==，求四棱锥P ABCD -的体积.13.【2021年安徽怀宁模拟，18】如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧面11AAC C ⊥底面11,2,ABC AA AC AC AB BC ====，且AB BC ⊥，O 为AC 的中点.（1）求证：平面11A B O ⊥平面1BCA ；（2）若点E 在1BC 上，且//OE 平面1A AB ，求三棱锥1E A BC -的体积.14.【2021年广西桂林模拟(文)，18】如图所示，在三棱锥A BCD -中，侧棱AB ⊥平面BCD ，F 为线段BD 中点，Q 为线段AB 中点，2π3BCD ∠=，3AB =，2BC CD ==.证明：（1）CF ⊥平面ABD ； （2）求点D 到平面QCF 的距离.15.【2021年全国甲卷(文)，19】已知直三棱柱111ABC A B C -中，侧面11AA B B 为正方形.2AB BC ==，E ，F 分别为AC 和1CC 的中点，11BF A B ⊥，（1）求三棱锥F EBC -的体积；（2）已知D 为棱11A B 上的点，证明：BF DE ⊥.答案以及解析1.答案：B解析：本题考查圆锥的侧面展开图.设圆锥的底面半径为r ，母线长为l .由题意可得2ππr l =，所以222l r ==. 2.答案：C解析：由题意可知，6400cos 0.1536000640036000r r α==≈++，所以从同步卫星上可望见的地球的表面积222π(1cos )2π(10.15)S r r α=-≈-，此面积与地球表面积之比约为222π(10.15)100%42%4πr r -⨯≈.3.答案：A解析：画正方体，删点，剩下的4个点就是三棱锥的顶点，如图：1333311(11)2S +=⨯⨯⨯+=表. 4.答案：A解析：本题考查几何体的三视图.该几何体是高为1的四棱柱，其底面为三个全等的直角边为1的等腰直角三角形拼成的梯形，面积为32，故其体积是32. 5.答案：D解析：本题考查棱台的体积.将正四棱台1111A B C D ABCD -补成四棱锥P ABCD -，作PO ⊥底面ABCD 于点O ，交平面1111A B C D 于点1O ，则棱台1111A B C D ABCD -的体积1111P ABCD P A B C D V V V --=-.由题意，11112142PA PO A B PA PO AB ====，易知，4PA =，22AO =22224(22)22PO PA AO --=，所以12PO =，则1322(44)223P ABCD V -=⨯⨯⨯，1111142(22)23P A B C D V -=⨯⨯，所以棱台1111A B C D ABCD -的体积111132242282P ABCD P A B C D V V V --=-==.6.答案：A解析：本题考查空间的线线关系与线面关系.易知1A D ⊥平面1ABD ，故11A D D B ⊥，排除B ，C 项；连接1AD ，可知//MN AB ，所以//MN 平面ABCD ，A 项正确；因为AB 不垂直于平面11BDD B ，//MN AB ，所以直线MN 不垂直于平面11BDD B ，D 项错误.7.答案：B解析：由相似的性质可得，小圆锥的底面半径2002502r ==，故231π5015050π3V =⨯⨯⨯=⋅小圆锥，积水厚度3250π12.5π100V h S ⋅===⋅大小圆锥圆，属于中雨，故选B. 8.答案：D解析：本题考查立体几何中的线面关系及解三角形的应用.如图，记正方体的棱长为a ，则1111112AD C B A C B D a ====，所以1122B P PC a ==，221162BP B P B B a =+=.在1BC P 中，由余弦定理得22211113cos 22PB C B PC PBC PB C B +-∠==⋅，所以1π6PBC ∠=.又因为11//AD BC ，所以1PBC ∠即为直线PB 与1AD 所成的角，所以直线PB 与1AD 所成的角为π6.9.答案：39π解析：本题考查圆锥的体积与侧面积.由题可得圆锥的体积21π12π30π3V r h h ===，可得52h =，故圆锥的母线22132l r h +，所以圆锥的侧面积π39πS rl ==. 10.答案：5]解析：本题主要考查空间几何体.上顶面圆心记为O ，下底面圆心记为O '，连接OC ，过点C 作CM AB ⊥，垂足为点M ，则12ABCSAB CM =⨯⨯，根据题意，AB 为定值2，所以ABCS 的大小随着CM 长短的变化而变化.当点M 与点O 重合时，22125CM OC ==+=，取得最大值，此时12552ABCS =⨯⨯=.当点M 与点B 重合时，CM 取最小值2，此时12222ABCS=⨯⨯=.综上所述，ABCS 的取值范围为[2,5].11.答案：②⑤或③④解析：本题考查几何体的三视图.由高度可知，侧视图只能为②或③.当侧视图为②时，则该三棱锥的直观图如图1，平面PAC ⊥平面ABC ，2PA PC ==，5BA BC =2AC =，此时俯视图为⑤；当侧视图为③时，则该三棱锥的直观图如图2，PA ⊥平面ABC ，1PA =，5AC AB ==2BC =，此时俯视图为④.12.答案：（1）因为PD ⊥底面ABCD ，AM ⊂底面ABCD ， 所以PD AM ⊥.又因为PB AM ⊥，PD PB P ⋂=，PB ，PD ⊂平面PBD ， 所以AM ⊥平面PBD .因为AM ⊂平面PAM ，所以平面PAM ⊥平面PBD .（2）由PD ⊥底面ABCD ，所以PD 即为四棱锥P ABCD -的高，DPB 是直角三角形. 由题可知底面ABCD 是矩形，1PD DC ==，M 为BC 的中点，且PB AM ⊥.设2AD BC a ==，取CD 的中点为E ，CP 的中点为F ，连接MF ，AF ， EF ，AE ，可得//MF PB ，//EF DP ，那么AM M F ⊥，AM F 为直角三角形，且12EF =，2144AE a =+，21AM a =+，222142AF EF AE a =++因为DPB 是直角三角形，所以根据勾股定理得224BP a =+，则2242a MF +=.由AM F 是直角三角形，可得222AM MF AF +=，解得22a =， 所以底面ABCD 的面积22S a ==，则四棱锥P ABCD -的体积11221333V S h =⋅⋅=⨯⨯-.13.答案：（1）1111,//,AB BC AB A B BC A B ⊥∴⊥，在1A AC 中，112AA AC AC ===，O 是AC 的中点，1AO AC ∴⊥，又平面11AAC C ⊥平面ABC ，平面11AAC C平面ABC AC =，1A O ∴⊥平面ABC .BC ⊂平面1,ABC AO BC ∴⊥. 111,A B AO ⊂平面111111,A B O A B AO A =，BC ∴⊥平面11A B O ， 又BC ⊂平面1BCA ，∴平面1BCA ⊥平面11A B O .（2）如图，连接1B C ，设1B C 与1BC 交于点E ，连接1,OE AB ， 易得1//OE AB ，1AB ⊂平面11,ABB A OE ⊄平面11ABB A ，//OE ∴平面11ABB A ，∴满足条件的E 为1BC 的中点.11111 1122E A BCC A BC B A CC V V V ---==三棱锥三棱锥三棱锥21133212346=⨯⨯⨯⨯=， 故三棱锥1E A BC -的体积为36.14.答案：（1）AB ⊥平面BCD ，CF ，BD ⊂平面BCD ，AB CF ∴⊥，AB BD ⊥.2BC CD ==，F 为BD 中点，CF BD ∴⊥.又CF AB ⊥，AB BD B =，AB ，BD ⊂平面ABD ，CF ∴⊥平面ABD .（2）在三棱锥Q DCF -中，设D 到平面QFC 距离为d . Q DCF D QCF V V --=，1133DCFQCFQB Sd S ∴⋅⋅=⋅⋅，DCFQCFQB S d S ⋅∴=.1112π322sin 2223DCFDCBSS ==⨯⨯⨯⨯=，2π44222cos 233BD =+-⨯⨯⨯.AB BD ⊥，3AB =，Q ，F 分别为AB ，BD 的中点.22912212ADAB BD QF ++∴====.QCF 中，π2cos 13CF ==，235422CQ ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，21QF =. 25211244cos 55212QCF +-∴∠==⨯⨯，21sin QCF ∴∠=. 152121122QCFS∴=⨯⨯=. 33372221d ∴==.15.答案：（1）如图，取BC 的中点为M ，连接EM .由已知易得//EM AB ，2AB BC ==，1CF =，112EM AB ==，11//AB A B ， 由11BF A B ⊥得EM BF ⊥，又易得EM CF ⊥，BF CF F ⋂=，所以EM ⊥平面BCF ， 故1111121132323F EBC E FBC V V BC CF EM --==⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=三棱锥三棱锥.（2）连接1A E ，1B M ，由（1）知11//EM A B ， 所以ED 在平面11EMB A 内.在正方形11CC B B 中，由于F ，M 分别是1CC ，BC 的中点，所以1tan 2CF CBF BC ∠==，111tan 2BM BB M BB ∠==， 且这两个角都是锐角，所以1CBF BB M ∠=∠， 所以111190BHB BMB CBF BMB BB M ∠=∠+∠=∠+∠=︒， 所以1BF B M ⊥，又11BF A B ⊥，1111B M A B B ⋂=，所以BF ⊥平面11EMB A ， 又DE ⊂平面11EMB A ，所以BF DE ⊥.。
2021年全国卷Ⅰ高考理科数学模拟试题含答案解析 (10)
2021年全国卷Ⅰ高考理科数学模拟试题10学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明一、选择题(共12题，每题5分，共60分)1．已知集合A ={x |-1<x <2},B ={x |2x -1≥0},则A ∩B =A.(1,+∞)B.[12,1) C.(12,2) D.[12,2) 2．若复数1-bi 2+i(b ∈R )的实部与虚部相等,则b 的值为A.-6B.-3C.3D.6 3．函数f (x )=2x2+1，x ∈[−1, √2]的值域为A.[2, 8]B.[4, 8]C.[1, 3]D.[2, 3]4．设△ABC,P 0是边AB 上一定点,满足P 0B=14AB,且对于边AB 上任一点P,恒有PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·PC ⃗⃗⃗⃗⃗ ≥P 0⃗⃗⃗⃗ ·P 0⃗⃗⃗⃗ ,则A.∠ABC=90°B.∠BAC=90°C.AB=ACD.AC=BC5．定义在R 上的奇函数f (x )连续且可导,若f (x )-f'(x )<x -1恒成立(其中f'(x )为f (x )的导函数),则A.f'(0)<1B.f (-1)+f'(-1)<0C.f (1)<f (0)<f (-1)D.f (-1)<f (0)<f (1)6．在2019年亚洲杯前,某商家为了鼓励中国球迷组团到阿联酋支持中国队,制作了3种不同的精美海报,每份“中国队球迷礼包”中随机装入一份海报,集齐3种不同的海报就可获得中国队在亚洲杯上所有比赛的门票.现有4个球迷组成的球迷团(每人各买一份球迷礼包),则他们能获得该门票的概率为A.1027B.49C.59D.17277．已知m ,n 是两条不同的直线,α,β,γ是三个不同的平面,则下列命题中正确的是A.若α⊥γ,β⊥γ,则α∥βB.若m ∥α,n ∥α,则m ∥nC.若m ⊥α,n ⊥α,则m ∥nD.若m ∥α,m ∥β,则α∥β8．若执行如图的程序框图,则输出i 的值等于A.2B.3C.4D.59．在等差数列{a n }中,若a 1+a 2+a 3=36,a 11+a 12+a 13=84,则a 5+a 9=A.30B.35C.40D.4510．已知椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0),以原点O 为圆心的圆(圆的半径小于b )的面积为4π,且经过椭圆的焦点,P 为椭圆上任意一点,Q 为圆上任意一点,若P ,Q 两点间的距离的最小值为1,则椭圆的离心率为A.2√1313 B.√1313C.√32 D.12 11．下列区间中,函数f (x )=7sin(x -π6)单调递增的区间是A.(0,π2)B.(π2,π)C.(π,3π2)D.(3π2,2π)12．如图,已知圆柱OO 1的轴截面是边长为2的正方形,A 1,B 1,C 1是圆O 1的三等分点,BB 1∥AA 1∥OO 1,那么异面直线AC 1与OB 所成角的大小为A.30°B.45°C.60°D.90°第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明二、填空题(共4题，每题5分，共20分)13．曲线f (x )=e x 2-e x (e 是自然对数的底数)在x =1处的切线方程为 . 14．已知数列{a n }与{b n }满足a n =2b n +3(n ∈N ∗),若{b n }的前n 项和为S n =32(3n −1)且λa n >b n +36(n −3)+3λ对一切n ∈N ∗恒成立,则实数λ的取值范围是 . 15．某公司为确定明年投入某产品的广告支出,对近5年的年广告支出m 与年销售额t (单位:百万元) 进行了初步统计,得到下列表格中的数据:经测算,年广告支出m 与年销售额t 满足线性回归方程t ＾=6.5m +17.5,则p = .16．已知某双曲线的渐近线方程为3x ±2y =0,且该双曲线经过点(2,-3√2),则该双曲线的实轴长为 .三、解答题(共7题，共70分)17．(本题12分)在△ABC 中,∠A ,∠B ,∠C 的对边分别为a ,b ,c ,已知向量m =(cos∠B ,2cos 2∠C 2-1),n =(c ,b -2a ),且m ·n =0.(1)求∠C 的大小;(2)若点D 为边AB 上一点,且满足AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =DB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,|CD ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√7,c =2√3,求△ABC 的面积. 18．(本题12分)如图,棱柱ABCD −A 1B 1C 1D 1的底面是菱形.侧棱长为5,平面ABCD ⊥平面A 1ACC 1,AB =3√3,∠BAD =60°,点E 是ΔABD 的重心,且A 1E =4.(1)求证:平面A 1DC 1∥平面AB 1C ; (2)求棱柱ABCD −A 1B 1C 1D 1的体积.19．(本题12分)某省在高考改革试点方案中规定:从2017年秋季高中入学的新生开始,不分文理科;从2020年开始,高考总成绩由语、数、外三门统考科目和物理、化学等六门选考科目构成.将每门选考科目考生的原始成绩从高到低依次划分为A,B+,B,C+,C,D+,D,E 共8个等级,参照正态分布的原则,确定各等级人数所占比例分别为3%,7%,16%,24%,24%,16%,7%,3%.选考科目成绩计入考生总成绩时,将A 至E 等级内的考生原始成绩,依照等比例转换法则,分别转换到[91,100],[81,90],[71,80],[61,70],[51,60],[41,50],[31,40],[21,30]八个分数区间,得到考生的等级成绩.某校高一年级共2 000人,为给高一学生合理选科提供依据,对六门选考科目进行测试,其中物理考试原始成绩基本服从正态分布N (60,132). (1)求该校高一年级学生的物理原始成绩在区间(47,86)的人数;(2)按高考改革方案,若从全省考生中随机抽取3人,X 表示这3人中某门选考科目的等级成绩在区间[61,80]的人数,求X 的分布列和数学期望.附:若随机变量ξ~N (μ,σ2),则P (μ-σ<ξ≤μ+σ)≈0.682 7,P (μ-2σ<ξ≤μ+2σ)≈0.954 5,P (μ-3σ<ξ≤μ+3σ)≈0.997 3.20．(本题12分)已知以F 为焦点的抛物线C :y 2=2px (p >0)过点P (1,-2),直线l 与C 交于A ,B 两点,M 为AB 的中点,O 为坐标原点,且OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λOF⃗⃗⃗⃗⃗ . (1)当λ=3时,求点M 的坐标; (2)当OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =12时,求直线l 的方程.21．(本题12分)已知函数f (x )=(x −1)e x +ax 2,e 为自然对数的底数.(1)若函数f (x )在(1,f(1))处的切线方程为y =−ex +a +e ,求实数a 的值; (2)讨论f (x )的单调性.请考生在第 22、23 三题中任选二道做答，注意：只能做所选定的题目。
2021高考数学 高考模拟卷含答案
3Z22021 高考模拟卷数学本卷满分150 分，考试时间120 分钟一、单项选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1．已知复数z 满足(2 + i)z =1- 2i ，其中i 为虚数单位，则z =（）A．1 B．-1 C．i D．-i2．设集合A ={x ∈Z x2 -3x - 4 > 0}，B ={x | e x-2 <1}，则以下集合P 中，满足P ⊆ (C A) B 的是（）A．{-1, 0,1, 2}B．{1, 2} C．{1} D．{2}3.已知非零向量a 、b ，若a = b ，a ⊥(a - 2b)，则a 与b 的夹角是（）πA.6π2πB.C．3 35πD．64.为响应国家“节约粮食”的号召，某同学决定在某食堂提供的2 种主食、3 种素菜、2 种大荤、4 种小荤中选取一种主食、一种素菜、一种荤菜作为今日伙食，并在用餐时积极践行“光盘行动”，则不同的选取方法有（）A．48 种B．36 种C．24 种D．12 种5.已知函数y = f (x) 的图象如图所示，则此函数可能是（）A. f (x) =sin 6x2-x - 2xB. f (x) =sin 6x2x - 2-xC. f (x) =cos 6x2-x - 2xD. f (x) =cos 6x2x - 2-x6.已知函数f (x) =x2 +a ln x ，a > 0 ，若曲线y =最小的，则a =（）f (x) 在点(1,1) 处的切线是曲线y = f (x) 的所有切线中斜率A．12B．1 C．D．27.若双曲线C ：y2-x2=1与双曲线C ：x2-y2=的渐近线相同，则双曲线C 的离心率为（）1 3 a 6 9 1 122a 5 9 A.10 2B. 15 3C.5 2D.3 38. 对 n ∈ N * ，设 x n 是关于 x 的方程 nx 3 + 2x - n = 0 的实数根，a n = [(n +1)x n ](n = 2, 3,...) ，其中符号[x ] 表示不超过x 的最大整数，则 a 2 + a 3 +a 2020= （ ）2019A ．1011B ．1012C ．2019D ．2020二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得 5 分，部分选对的得 3 分，有选错的得 0 分．9. 某人退休前后各类支出情况如下，已知退休前工资收入为 8000 元月，退休后每月储蓄的金额比退休前每月储蓄的金额少 1500 元，则下面结论中正确的是（ ）A. 该教师退休前每月储蓄支出 2400 元B. 该教师退休后的旅行支出是退休前旅行支出的 3 倍C. 该教师退休工资收入为 6000 元月D. 该教师退休后的其他支出比退休前的其他支出少10．已知 a > 0 ， b > 0 ，且 a 2 + b 2 = 1 ，则（ ）A ． a + b ≤B ． 1< 2a -b< 22C ．log 2 + log 2 ≥ - 12D ． a 2 - b 2 > -111. 北斗卫星导航系统是中国自行研制的全球卫星导航系统，可在全球范围内为各类用户提供全天候、全天时、高 精度、高定位、导航、授时服务，2020 年 7 月 31 日上午，北斗三号全球卫星导航系统正式开通，北斗导航能实现“天地互通”的关键是信号处理，其中某语言通讯的传递可以用函数 f ( x ) = cos x + cos 5x + cos 9x 近似模拟其信号， 则下列结论中正确的是（）A ．函数 f ( x ) 的最小正周期为πB ．函数 f ( x ) 的图象关于点⎛ - π , 0 ⎫对称2 ⎪ ⎝ ⎭b0 0 C. 对任意 x ∈ R ，都有 f '(π - x ) = f '(x ) D. 函数 f '( x ) 的最小值为-312.如图，在长方体 ABCD - A 1B 1C 1D 1 中， AA 1 = AB = 4 ， BC = 2 ，M 、N 分别为棱C 1D 1 ，CC 1 的中点，则下列说法正确的是（）A ．A 、M 、N 、B 四点共面B ．平面 ADM ⊥ 平面CDD 1C 1C ． B 1M 与 BN 所成角60︒D ． BN / / 平面ADM三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．13.已知幂函数 y = f (x )的图象过点⎛ 2,1 ⎫，则曲线 y = f (x )在点(1,1) 处的切线方程为4 ⎪ ⎝ ⎭ r r r r14.平面内，不共线的向量 a , b 满足| a + b |=| 2a - b |，且| a |=| a - 2b | ，则 a , b 的夹角的余弦值为.15.某校进行体育抽测，小明与小华都要在50m 跑、跳高、跳远、铅球、标枪、三级跳远这 6 项运动中选出 3 项进行测试，假设他们对这 6 项运动没有偏好，则他们选择的结果至少有 2 项相同的概率为. 16．已知圆 M :( x - x )2 + ( y - y )2 = 8 ，点T (-2,4) ，从坐标原点O 向圆 M 作两条切线OP ， OQ ，切点分别为 P ， Q ，若切线OP ， OQ 的斜率分别为 k 1 ， k 2 ， k 1k 2 = -1，则 OM 为定值 ，TM 的取值范围为.四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（本小题 10 分）在① bc = 4 ，② a cos B = 1 ，③ sin A = 2sin B 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求C 的值；若问题中的三角形不存在，说明理由. 问题：是否存在ABC ，它的内角 A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且b cos C = 1，c sin A = 2sin C ， .注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 18．（本小题 12 分）2 3 3nn n nn已知数列{a }的各项均为正数，记数列{a }的前 n 项和为 S ，数列{a 2 } 的前 n 项和为T ，且3T = S 2 + 2S , n ∈ N * . nnn（1） 求 a 1 的值； （2） 求数列{a n }的通项公式．19．（本小题 12 分）如图，在正三棱柱 ABC - A 1B 1C 1 中， AB =， A 1 A = 2 ， D ， E ， F 分别为线段 AC ，A 1 A ， C 1B 的中点.（1） 证明： EF // 平面 ABC ；（2） 求直线C 1B 与平面 BDE 所成角的正弦值.20．（本小题 12 分）利用简单随机抽样的方法，从某校高一年级男生体验表格中抽取 20 名同学的胸围 x (cm ) 与肺活量 y (ml ) 的样本， 计算平均值 x = 80.5 ， y = 4030 ，并求出线性回归方程为 y ˆ = 32.26x + a . 高一男生胸围与肺活量样本统计表胸围70 75 80 85 82 73 77 7385 72肺活量 3700 4600 4000 4300 4400 3400 3200 38004400 3500 胸围70 83 7891 817491 76 10490肺活量 3600450037004100470037004600400047003700（1） 求 a 的值；（2） 求样本 y 与 x 的相关系数 r ，并根据相关性检验的临界值表，判断有无99% 把握认为肺活量与胸围线性关系是有意义的(精确到0.001 )；（3） 将肺活量不低于 4500ml 视为大肺活量，用样本大肺活量的频率作为全校高一男生大肺活量的概率，求从本校高一年级任意抽取4 名男同学，恰有两名是大肺活量的概率.n∑( i =1nx i- x ) ( y i- y ) 2∑2i =1n2∑( x i- x )( y i- y ) (参考公式及数据：b ˆ =i =1，r = ∑( x i- x )i =1∑( x i- x )( y i- y )i =1，≈ 38 ，≈ 2040 .)附：相关性检验的临界值表n - 2检验水平0.050.01 160.4680.59017 0.456 0.575 18 0.4440.561 19 0.433 0.549 200.4230.53721．（本小题 12 分）如图所示，已知椭圆 x a 2y 2+ = 1(a > b > 0) 的离心率为 b 22 ，一条准线为直线 x =（1）求椭圆的标准方程；（2）A 为椭圆的左顶点，P 为平面内一点（不在坐标轴上），过点 P 作不过原点的直线 l 交椭圆于 C ，D 两点（均不与点 A 重合），直线 AC ，AD 与直线 OP 分别交于 E ，F 两点，若OE = OF ，证明：点 P 在一条确定的直线上运nn∑( x i- x ) i =1202∑ 20 (y - y i )2i =12 22+ + - Z 动.22．（本小题 12 分）设函数 f (x ) = a ⋅ 2x - 2- x (a ∈ R )（1） 若函数 y = f (x ) 的图象关于原点对称，函数 g (x ) = f (x ) + 3，求满足 g (x ) = 0 的 x 的值；20 0（2） 若函数 h (x ) = f (x ) + 4x+ 2 - x 在 x ∈[0,1] 的最大值为-2 ，求实数 a 的值.一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1．已知复数z 满足(2 + i ) z = 1- 2i ，其中i 为虚数单位，则 z = （ ）A ．1B ． -1 【答案】DC ． iD ． -i【详解】解：由(2 + i ) z = 1- 2i ，得 z =1- 2i = (1- 2i)(2 - i) = -5i = - i ，2 i (2 i)(2 i) 5故选：D2．设集合 A = {x ∈ Z x 2 - 3x - 4 > 0}， B = {x | e x -2 < 1}，则以下集合 P 中，满足 P ⊆ (C A)B 的是（ ）A ．{-1, 0,1, 2}B ．{1, 2} C ．{1} D ．{2}【答案】C 【详解】集合 A = {x ∈ Z x 2- 3x - 4 > 0}，解得 A = {x ∈ Z x > 4 或 x < -1}，B = {x | e x -2 < 1}，解得 B = {x | x < 2} ，则ðZ A ={-1, 0,1, 2,3, 4} ，3 3 ( )所以(ðZ A )⋂ B = {-1, 0,1, 2, 3, 4}⋂{x | x < 2} = {-1, 0,1}， 对比四个选项可知，只有 C 符合 P ⊆ (ðZ A ) ⋂ B .3. 已知非零向量 a 、b ，若 a =b ， a ⊥ (a - 2b )，则 a 与b 的夹角是（）π A. 6π2πB.C ．335π D ． 6【答案】A【详解】设 a 与b 的夹角为θ，a =b ， a ⊥ (a - 2b )，2则 a ⋅ a - 2b = a 2 - 2a ⋅ b = a 2 - 2 a ⋅ b cos θ= 3 b - 2 2 b cos θ= 0 ，可得cos θ=，2Q 0 ≤θ≤π，∴θ= π.64. 为响应国家“节约粮食”的号召，某同学决定在某食堂提供的 2 种主食、3 种素菜、2 种大荤、4 种小荤中选取一种主食、一种素菜、一种荤菜作为今日伙食，并在用餐时积极践行“光盘行动”，则不同的选取方法有（ ）A ．48 种B ．36 种C ．24 种D ．12 种【答案】B 【详解】解：由题意可知，分三步完成：第一步，从 2 种主食中任选一种有 2 种选法；第二步，从 3 种素菜中任选一种有 3 种选法；第三步，从 6 种荤菜中任选一种有 6 种选法，根据分步计数原理，共有 2⨯ 3⨯ 6 = 36 不同的选取方法， 故选：B5. 已知函数 y =f (x ) 的图象如图所示，则此函数可能是（）3 32x ⨯ a x2a 对于 B ， - ==对于 C ， - ==对于D ， - = =A. f (x ) =sin 6x 2- x - 2x B. f (x ) = sin 6x 2x - 2- x C. f (x ) = cos 6x 2- x - 2x D. f (x ) =cos 6x2x - 2- x【答案】D【详解】由函数图象可得 y =f (x ) 是奇函数，且当 x 从右趋近于 0 时， f (x ) > 0 ，对于 A ，当 x 从右趋近于 0 时， sin 6 x > 0 ， 2- x < 2x ，故 f (x ) < 0 ，不符合题意，故 A 错误；sin (-6x ) sin 6x f ( x ) = f (x ) ，∴ f ( x ) 是偶函数，不符合题意，故 B 错误； 2- x - 2x 2x - 2- xcos (-6 x ) cos 6x f ( x ) = f (x ) ，∴ f ( x ) 是偶函数，不符合题意，故 C 错误； 2x - 2- x 2x - 2- xcos (-6 x ) cos 6x f ( x ) = - f (x ) ，∴ f ( x ) 是奇函数，当 x 从右趋近于 0 时，cos 6x > 0 ，2x > 2- x ， 2- x - 2x 2- x - 2x∴ f ( x ) > 0 ，符合题意，故 D 正确.6. 已知函数 f (x ) = x2+ a ln x ， a > 0 ，若曲线 y = 最小的，则a =（ ）f (x ) 在点(1,1) 处的切线是曲线 y =f (x ) 的所有切线中斜率A ． 12【答案】DB ．1C ．D ．2【详解】因为 f (x ) = x 2 + a ln x ，定义域为(0, +∞) ， 所以 f '(x ) = 2x + a，x由导数的几何意义可知：当 x = 1 时 f '(x ) 取得最小值，因为 a > 0 ， x > 0 ，所以 f '(x ) = 2x + a≥ 2 = 2 ，x 当且仅当 2x = a即 a = 2x 2 时 f '(x ) 取得最小值， x又因为 x = 1 时 f '(x ) 取得最小值，所以 a = 2 ⨯12 = 2 ， 7. 若双曲线C ： y 2 - x 2 = 1与双曲线C ： x 2- y2= 的渐近线相同，则双曲线C 的离心率为（ ）1 3 a 6 91 12 23 + 23 n +1 =15A.102 B.153C.52D.33【答案】B【详解】C y2 x2 3因为双曲线1 ：3-a=1的渐近线方程为y =±x ，a2双曲线C2 ：6-y29=1的渐近线方程为y =±3x ，2又这两双曲线的渐近线相同，所以3=3，解得a = 2 ，a 2所以双曲线C1 的离心率e =.38.对n ∈N * ，设x n 是关于x 的方程nx3 + 2x -n = 0 的实数根，a n = [(n +1)x n ](n = 2, 3,...) ，其中符号[x] 表示不超过x 的最大整数，则a2+a3+a2020 =（）2019A．1011 B．1012 C．2019 D．2020 【答案】A【详解】设函数f (x)=nx3 + 2x -n ，则f '(x)= 3nx2 + 2 ，当n 时正整数时，可得f '(x)> 0 ，则f (x)为增函数，因为当n ≥ 2 时，f (n) =n ⨯ (nn +1)3 + 2 ⨯ (nn +1) -n=n⋅(-n2 +n +1) < 0 ，(n+1)3且f (1)= 2 > 0 ，所以当n ≥ 2 时，方程nx3 + 2x -n = 0 有唯一的实数根x 且x ∈( n,1) ，n n n +1 所以n < (n +1)x n <n +1, a n = [(n +1)x n ] =n ，因此a2+a3+a2020 =1 (2 +3 +4 ++ 2020) =1011.2019 2019二、多项选择题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5 分，部分选对的得 3 分，有选错的得0 分．9.某人退休前后各类支出情况如下，已知退休前工资收入为8000 元月，退休后每月储蓄的金额比退休前每月储蓄的金额少1500 元，则下面结论中正确的是（）x2aA. 该教师退休前每月储蓄支出 2400 元B. 该教师退休后的旅行支出是退休前旅行支出的 3 倍C. 该教师退休工资收入为 6000 元月D. 该教师退休后的其他支出比退休前的其他支出少【答案】ACD 【详解】 解：退休前工资收入为 8000 元/ 月，每月储蓄的金额占30% ，则该教师退休前每月储蓄支出8000⨯ 30% = 2400元，故 A 正确；该教师退休后每月储蓄的金额比退休前每月储蓄的金额少 1500 元，则该教师退休后每月储蓄的金额为 900 元，设该教师退休工资收入为x 元/ 月，则 x 15% = 900 ，即 x = 6000 元/ 月，故 C 正确；该教师退休前的旅行支出为8000 ⨯ 5% = 400 元，退休后的旅行支出为6000⨯15% = 900 元，∴该教师退休后的旅行支出是退休前旅行支出的 2.25 倍，故 B 错误；该教师退休前的其他支出为8000 ⨯ 20% = 1600 元，退休后的其他支出为6000 ⨯ 25% = 1500 元，∴该教师退休后的其他支出比退休前的其他支出少，故 D 正确． 故选：ACD ．10．已知 a > 0 ， b > 0 ，且 a 2 + b 2 = 1 ，则（ ）A ． a + b ≤B ． 1< 2a -b< 22C ．log 2 + log 2 ≥ - 12D ． a 2 - b 2 > -1【答案】ABD 【详解】a 2 +b 2 ≥ 2ab ,∴2(a 2 + b 2 )≥ (a + b )2,∴(a + b )2≤ 2 ，又a > 0,b > 0,∴ a + b ≤ 2, 故A 正确；bab 5 9 a > 0 ， b > 0 ，且 a 2 + b 2 = 1 ，∴0 < a < 1, 0 < b < 1,∴ -1 < a - b < 1,∴ 1< 2a -b < 2 ，故B 正确；2 a 2 - b 2 > -b 2 > -1,故D 正确；C 等价于log ≥ - 1 ，即 1 log ab ≥ - 1 , log ab ≥ -1， 2 2 2 2 22等价于 ab ≥ 1 ,但当 a = 3 , b = 4 时，满足条件 a > 0 ， b > 0 ，且 a 2 + b 2 = 1 ， ab = 12 < 1,故 C 错误；2 5 5 25 211. 北斗卫星导航系统是中国自行研制的全球卫星导航系统，可在全球范围内为各类用户提供全天候、全天时、高 精度、高定位、导航、授时服务，2020 年 7 月 31 日上午，北斗三号全球卫星导航系统正式开通，北斗导航能实现“天地互通”的关键是信号处理，其中某语言通讯的传递可以用函数 f ( x ) = cos x + cos 5x + cos 9x 近似模拟其信号， 则下列结论中正确的是（）A ．函数 f ( x ) 的最小正周期为πB ．函数 f ( x ) 的图象关于点⎛ - π , 0 ⎫对称2 ⎪C. 对任意 x ∈ R ，都有 f '(π - x ) = f '(x ) ⎝ ⎭D. 函数 f '( x ) 的最小值为-3【答案】BCD 【详解】A. 因为 y = cos x , y =cos 5x , y = cos 9x 的周期分别是 2π, 2π, 2π ，其最小公倍数为2π，所以函数函数 f (x ) 的最小 5 9 5 9正周期为2π，故错误；cos (- 5π)cos (- 9π)B. 因为 f (- π) = cos (-π)+ 2 + 2 = 0 ，故正确；2 2 5 9C. f '(x ) = -sin x - sin 5 x -sin 9x = f '(π-x ) ，故正确；D. f '(π)= -sin π- sin 5π- sin 9π = -3 ,故正确； 2 2 2 212.如图，在长方体 ABCD - A 1B 1C 1D 1 中， AA 1 = AB = 4 ， BC = 2 ，M 、N 分别为棱C 1D 1 ，CC 1 的中点，则下列说法正确的是（）A ．A 、M 、N 、B 四点共面B ．平面 ADM ⊥ 平面CDD 1C 1C ． B 1M 与 BN 所成角60︒D ． BN / / 平面ADM 【答案】BC 【详解】对于 A ，由图显然 AM 、BN 是异面直线，故 A 、M 、N 、B 四点不共面，故 A 错误；对于 B ，由题意 AD ⊥ 平面CDD 1C 1 ， AD ⊂平面 ADM ，故平面 ADM ⊥ 平面CDD 1C 1 ，故 B 正确； 对于 C ，取 CD 的中点 O ，连接 BO 、ON ，可知△BON 为等边三角形，且四边形 BB 1MO 为矩形，BO / / B 1M 所以 B 1M 与 BN 所成角60︒ ，故 C 正确；对于 D ， BN / / 平面 AA 1D 1D ，显然 BN 与平面 ADM 不平行，故 D 错误；三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．13.已知幂函数 y = f (x )的图象过点⎛ 2,1 ⎫，则曲线 y = f (x )在点(1,1) 处的切线方程为4 ⎪ ⎝ ⎭【答案】 2x + y - 3 = 0【详解】设 f ( x ) = x α，将⎛ 2,1 ⎫代入， 2α= 1，解得α= -2 ，4 ⎪ 4⎝ ⎭∴ f ( x ) = x -2 ，则 f '( x ) = -2x -3 ，∴ f '(1) = -2 ， 则切线方程为 y -1 = -2(x -1) ，即 2x + y - 3 = 0 . r r r r14.平面内，不共线的向量 a , b 满足| a + b |=| 2a - b |，且| a |=| a - 2b | ，则 a , b 的夹角的余弦值为.【答案】222 2b 2 2 55 k 1x 0 - y 01 + k 21 k2 x 0 - y 01 + k 222 6 6 6 6 43 C C 3 3 0 0 2 0 2 0 0 0 【详解】r r r r r r r r r r r 2解：由| a + b |=| 2a - b | 得| a + b |2 =| 2a - b |2 ⇒ 2a ⋅b = a ，2 由| a |=| a - 2b | ，故| a |2 =| a - 2b |2⇒ a ⋅b = b ，2 2所 以 a = 2b ⇒ a = b ，cos < 2 a ⋅b b 所以 a ,b >= = = = ， 2 a b a b 2 b15.某校进行体育抽测，小明与小华都要在50m 跑、跳高、跳远、铅球、标枪、三级跳远这 6 项运动中选出 3 项进行测试，假设他们对这 6 项运动没有偏好，则他们选择的结果至少有 2 项相同的概率为.1【答案】2【详解】由题意，两人在 6 项运动任选 3 项的选法： C 3C 3= 400种，小明与小华选出 3 项中有 2 项相同的选法： C 2C 1C 1= 180 种， 小明与小华选出 3 项中有 3 项相同的选法： C 3= 20 种，C 2C 1C 1 + C 3 ∴他们选择的结果至少有 2 项相同的概率为 P = 6 4 3 6 6 6= 1， 216.已知圆 M : ( x - x )2+ ( y - y )2= 8，点T (-2, 4) ，从坐标原点O 向圆 M 作两条切线OP ， OQ ，切点分别为 P ， Q ，若切线OP ， OQ 的斜率分别为 k 1 ， k 2 ， k 1k 2 = -1，则 OM 为定值 ，TM 的取值范围为.【答案】4 ⎡2 - 4, 2 + 4⎤⎣ ⎦ 【详解】由题意可知，直线OP : y = k 1 x ， OQ : y = k 2 x ， 因为直线OP ， OQ 与圆 M 相切， 所以= 2 2 ， = 2 ，两边同时平方整理可得 k2 (8 - x 2) + 2k x y + 8 - y 2= 0 ，11 0 0k 2 (8 - x 2 ) + 2k x y + 8 - y 2 = 0 ，5 5 0 00 0 01 20 0nn n nn所以 k ， k 是方程k 2(8 - x 2) + 2kx y + 8 - y2 = 0(k ≠ 0) 的两个不相等的实数根，所以 k 1k 2 8 - y 2= 0 8 - x 2．又 k 1k 2 = -1，8 - y 2所以8 - x 2= -1 ，即 x 2+ y 2= 16 ，则 OM = 4 ；又 TO = = 2 ，根据圆的性质可得，所以 TO - 4 ≤ TM ≤ TO + 4 ，即 2 - 4 ≤ TM ≤ 2 5 + 4 ．四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.在① bc = 4 ，② a cos B = 1 ，③ sin A = 2sin B 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求C 的值；若问题中的三角形不存在，说明理由. 问题：是否存在ABC ，它的内角 A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且b cos C = 1，c sin A = 2sin C ， .注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 【详解】若选①，bc ＝4，由于 c sin A ＝2sin C ，利用正弦定理可得 ac ＝2c ，可得 a ＝2，因为 b cos C ＝1，1 可得 cos C ＝ ba 2 +b 2 -c 2＝2abπ，整理可得 2a ＝a 2+b 2﹣c 2，解得 b ＝c ＝2，所以 C ＝ ．3若选②，a cos B ＝1，因为 c sin A ＝2sin C ，由正弦定理可得 ca ＝2c ，解得 a ＝2，1 π 所以 cos B ＝2 ，由 B ∈（0，π），可得 B ＝ 3，又 b cos C ＝1，可得 a cos B ＝b cos C ，由余弦定理可得 a •a 2 + c 2 -b 2 2ac ＝b • a 2 + b 2 - c 2 2abπ ，整理可得b ＝c ，所以 C ＝B ＝ ． 3若选③，sin A ＝2sin B ，由正弦定理可得 a ＝2b ，又 c sin A ＝2sin C ，由正弦定理可得 ca ＝2c ，可得 a ＝2，所以 b ＝1， 又因为 b cos C ＝1，可得 cos C ＝1，又 C ∈（0，π）， 所以这样的 C 不存在，即问题中的三角形不存在．18.已知数列{a }的各项均为正数，记数列{a }的前 n 项和为 S ，数列{a 2 } 的前 n 项和为T ，且3T = S 2 + 2S , n ∈ N *.nnn（1） 求 a 1 的值；x 2+ y 2 0 0 4 + 162 3 3n ＋n+n+n n a （2） 求数列{a n }的通项公式．【详解】（1）由 3T 1＝ S 2＋2S 1，得 3 a 2＝ a 2＋2a 1，即 a 2－a 1＝0.因为 a > 0 ，所以 a = 1 ；11111 1（2）因为 3T n ＝ S 2＋2S n ，① 所以 3T n 1＝ S2＋2S n 1, ② ②－①，得 3 a 2＝ S2－ S 2＋2a n 1，即 3 a 2＝(S n ＋a n 1)2－ S 2 ＋2a n 1.因为a > 0 ， 所以 a n ＋1＝S n ＋1, ③ 所以 a n ＋2＝S n ＋1＋1, ④④－③，得 a n ＋2－a n ＋1＝a n ＋1，即 a n ＋2＝2a n ＋1，所以当 n ≥2 时，a n +1a n＝2，又由3T = S 2 + 2S ，得 3(1＋ a 2 )＝(1＋a 2)2＋2(1＋a 2)，即 a 2- 2a = 0 ，2222 22因为 a > 0 ，所以 a = 2 ，所以 a 2＝2，所以对任意的 n ∈N *，都有a n +1= 2 成立， 22 1 n所以数列{a }的通项公式为 a = 2n -1.19.如图，在正三棱柱 ABC - A 1B 1C 1 中， AB =， A 1 A = 2， D ， E ， F 分别为线段 AC ， A 1 A ，C 1B 的中点.（1） 证明： EF // 平面 ABC ；（2） 求直线C 1B 与平面 BDE 所成角的正弦值.【详解】（1） 如图，取 BC 的中点G ，连结 AG ， FG .a2 333 3在BCC 1 中，因为 F 为C 1B 的中点，所以 FG //C C ， FG = 1C C .12 1在三棱柱 ABC - A 1B 1C 1 中， A 1 A //C 1C ， A 1 A = C 1C ，且 E 为 A 1 A 的中点， 所以 FG //EA ， FG = EA . 所以四边形 AEFG 是平行四边形. 所以 EF //AG .因为 EF ⊄ 平面 ABC ， AG ⊂平面 ABC ， 所以 EF // 平面 ABC .（2） 以 D 为坐标原点，如图所示建立空间直角坐标系，因为 AB =，所以 BD = 1,所以 D (0, 0, 0) ， B (0,1, 0) ， C ⎛ 3 , 0, 2 ⎫ ， E ⎛ - 3 , 0,1⎫,1 3 ⎪ 3 ⎪ ⎝ ⎭ ⎝ ⎭⎛ ⎫ ⎛ ⎫所以 BC 1 = 3 , -1, 2 ⎪ ， DB = (0,1, 0) ， DE = - 3 , 0,1⎪ ， ⎝ ⎭ ⎝ ⎭设平面 BDE 的一个法向量为n = (a , b , c ) ，3 3 3 3 n∑( i =1nx i- x ) ( y i- y ) 2∑2i =1n2⎧DB ⋅ ⎧b = 0 则⎨ n = 0 ⎪ ，即, ⎩DE ⋅ = 0 ⎨- 3 a + c = 0 n ⎪⎩ 3取 a = 3 ，则c = 1，所以 n = ( 3, 0,1) ，n ⋅ BC 11 + 2所以cos < n , B C 1 >== = 8 ， | n | | BC 1 | 4 ⋅16 3直线C 1B 与平面 BDE 所成角为θ，则θ与< n , BC 1 > 或它的补角互余，所以sin θ= cos < n , BC 1 > =n ⋅ BC 1= . n ⋅ BC 18 20.利用简单随机抽样的方法，从某校高一年级男生体验表格中抽取 20 名同学的胸围 x (cm ) 与肺活量 y (ml ) 的样本，计算平均值 x = 80.5 ， y = 4030 ，并求出线性回归方程为 yˆ = 32.26x + a . 高一男生胸围与肺活量样本统计表胸围70 75 80 85 82 73 77 7385 72肺活量 3700 4600 4000 4300 4400 3400 3200 38004400 3500 胸围70 83 7891 817491 76 10490肺活量 3600450037004100470037004600400047003700（1） 求 a 的值；（2） 求样本 y 与 x 的相关系数 r ，并根据相关性检验的临界值表，判断有无99% 把握认为肺活量与胸围线性关系是有意义的(精确到0.001 )；（3） 将肺活量不低于 4500ml 视为大肺活量，用样本大肺活量的频率作为全校高一男生大肺活量的概率，求从本校高一年级任意抽取4 名男同学，恰有两名是大肺活量的概率.∑( x i- x )( y i- y ) (参考公式及数据：b ˆ =i =1，r = ∑( x i- x )i =1∑( x i- x )( y i- y )i =1，≈ 38 ，≈ 2040 .)附：相关性检验的临界值表nn∑( x i - x )i =1202∑ 20 (y - y i )2i =14 44n - 2检验水平0.050.01 160.4680.59017 0.456 0.575 18 0.4440.561 19 0.433 0.549 200.4230.537【详解】（ 1）由于回归直线： yˆ =32.26x +a 过点(80.5，4030)， 所以 a =4030-32.26x 80.5=1433.07.（ 2）假设 H 0：变量 x ，y 不具有线性相关关系， 38所以 r =2040⨯ 32.26≈0.601，由相关性检验临界值表知：r 001=0.561，r =0.601>0.561，所以有 99%的把握认为肺活量的大小与胸围具有线性相关关系.（ 3）从统计表中可知，20 个样本中不低于 4500m /有 5 个，所以全校高一男生大肺活量的概率为 5 = 120 4设从高一年级任取 4 名男同学，恰有两名男生是大肺活量的概率为ρ，⎛ 1 ⎫2 ⎛ 3 ⎫227 则 p = C 2=. ⎪ ⎪ ⎝ ⎭ ⎝ ⎭128 27所以从高一年级任取 4 名男同学，恰有两名男生是大肺活量的概率为.12821．如图所示，已知椭圆 x a 2 y 2+ = 1(a > b > 0) 的离心率为 b 22 ，一条准线为直线 x = 2 2222 2 2（1）求椭圆的标准方程；（2）A 为椭圆的左顶点，P 为平面内一点（不在坐标轴上），过点 P 作不过原点的直线 l 交椭圆于 C ，D 两点（均不与点 A 重合），直线 AC ，AD 与直线 OP 分别交于 E ，F 两点，若OE = OF ，证明：点 P 在一条确定的直线上运动. 【详解】（1） 设圆的焦距为 2c .因为椭圆的离心率为 2，一条准线为直线 x = ， 2所以e = c = ， a= ，a 2 c从而 a 2 = 1， c 2= 1 ，从而b 2 = a 2 - c 2= 1.22所以椭圆的标准方程为 x 2 + 2 y 2 = 1 .（2） 因为点 P 不在坐标轴上，所以直线 OP 的斜率存在且不为 0.设直线 CD 的方程为 y = mx + n ，直线 EF 的方程为 y = kx ，设点C (x 1 , mx 1 + n ) ，点 D ( x 2 , mx 2 + n ) ，点 P ( x 0 , y 0 )， 由题设知 A (-1, 0) .因为点 A 、C 不重合，所以直线 AC 的方程为y = mx 1 + n(x +1) . x 1 +1⎧ y = mx 1 + n (x + 1)mx + n 联立⎪ x +1 ，可得点 E 的横坐标 x = 1 . ⎨ 1 ⎪⎩y = kx (k - m )x 1 + k - nE⎩ ⎩ n同理可得点 F 的横坐标 x =mx 2 + n.(k - m )x 2 + k - n因为OE = OF ，所以 x E + x F = 0 ，整理得2m (k - m ) x 1 x 2 + (mk + nk - 2mn ) ( x 1 + x 2 ) + 2n (k - n ) = 0 （*）⎧ y = mx + n 联立⎨x 2 + 2 y 2= 1，可得(2m 2+1) x 2 + 4mnx + 2n 2 -1 = 0 .所以∆ = 4(2m 2 - 2n 2+1)> 0 ， x + x = -4mn ， x x 2n 2-1 = - ，1 2 2m 2 +11 22m 2+1代入（*）式，有 2m (k - m ) (2n 2-1) - (mk + nk - 2mn ) ⋅ 4mn + 2n (2m 2+1)(k - n ) = 0 ，整理得(n - m )(n + m - k ) = 0 .因为直线 CD 不过点 A ，所以 n - m ≠ 0 ，因而 n + m - k = 0 .联立⎧ y = mx + n ，可得(k - m )x = n .⎨y = kx因为直线 CD 不过原点，所以 n ≠ 0 ，因而 k - m ≠ 0 .所以 x 0 =k - m= 1 ，因而点 P 在直线 x = 1 上运动22．设函数 f (x ) = a ⋅ 2x - 2- x (a ∈ R )（1） 若函数 y = f (x ) 的图象关于原点对称，函数 g (x ) = f (x ) + 3，求满足 g (x ) = 0 的 x 的值；20 0（2） 若函数 h (x ) = f (x ) + 4x+ 2 - x 在 x ∈[0,1] 的最大值为-2 ，求实数 a 的值.【详解】（1）∵ f (x ) 的图象关于原点对称，∴ f (-x ) + f (x ) = 0 ，∴ a ⋅ 2- x - 2- x + a ⋅ 2x - 2x = 0 ，即(a - 1) ⋅ (2- x + 2x )= 0 ，所以 a = 1 ；令 g (x ) = 2x - 2- x+ 3= 0 ，2则 2 ⋅ (2x)2+ 3⋅ (2x )- 2 = 0 ，∴ (2x+ 2)⋅(2 ⋅ 2x-1)= 0 ，又 2x > 0 ，∴ x = -1 ，F所以满足g (x0 )= 0 的x0 的值为x0 =-1 .（2）h(x) =a ⋅ 2x - 2-x + 4x + 2-x ，x ∈[0,1]，令2x =t ∈[1, 2] ，h(x) =H (t) =t2+at, t ∈[1, 2] ，对称轴t =-a ，0 2①当1 -a≤3，即a ≥-3 时，2 2Hmax(t) =H (2) = 4 + 2a =-2 ，∴a =-3；②当-a>3，即a <-3 时，2 2Hmax(t) =H (1) = 1+a =-2 ，∴a=-3（舍）；综上：实数a 的值为-3 .高考试题年年在变，但考查的内容和知识点是相对稳定的，解答题的考查内容基本是固定的，取得高分一定有规律可找，基础知识+二级结论+ 技巧模板是实现高分的必经途径，这是众多优秀学生检验了无数遍的真理，抓住核心题型集中归类突破，就能举一反三，不必题海战术.学会对题型的总结反思与解题方法的优化，就会突破瓶颈。
2021年高考数学真题和模拟题分类汇编专题13排列组合与二项式定理含解析
主席派人来》4 首独唱歌曲和《没有共产党就没有新中国》《我和我的祖国》2 首合唱歌曲
中共选出 4 首歌曲安排演出，要求最后一首歌曲必须是合唱，则不同的安排方法共有（
A．14
B．48
C．72
）
D．120
【答案】D．
【解析】根据题意，在 2 首合唱歌曲中任选 1 首，安排在最后，有 2 种安排方法，
专题 13 排列组合与二项式定理
一、选择题部分
1.(2021•河南开封三模•理 T11)某校组织甲、乙两个班的学生到“农耕村”参加社会实践活动，
某天安排有酿酒、油坊、陶艺、打铁、纺织、竹编制作共六项活动可供选择，每个班上午、
下午各安排一项活动（不重复），且同一时间内每项活动都只允许一个班参加，则活动安
令 x＝﹣1，则 f（﹣1）＝a0﹣a1+a2﹣a3+a4﹣a5+a6﹣a7＝（a﹣1）（﹣1﹣1）5＝0；②
①﹣②得，2（a1+a3+a5+a7）＝64（a﹣1），∴a1+a3+a5+a7＝32（a﹣1）＝64，
解得 a＝3．
3.(2021•河南焦作三模•理 T7)为了加强新型冠状病毒疫情防控，某社区派遣甲、乙、丙、丁、
排方案的种数为（
A．126
）
B．360
C．600
D．630
【答案】D．
【解析】第一类，上下午共安排 4 个活动（上午 2 个，下午 2 个）分配给甲，乙，故有 A62A42
＝360 种，
第二类，上下午共安排 3 个活动，（上午 2 个下午 1 个，或上午 1 个下午 2 个）分配给甲，
2021年高考数学模拟试卷(带解析)
2021年高考数学模拟联考试卷一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．）)1. 设集合A＝{x|x2+x−2<0}，B＝{x|0<x<3}，则A∪B＝（）A.{x|−2<x<3}B.{x|0<x<1}C.{x|−1<x<3}D.{x|0<x<2}2. 已知i是虚数单位，z是复数，若(1+3i)z＝2−i，则复数z的虚部为（）A. B. C. D.3. 在△ABC中，“sin A＝cos B”是“C＝”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4. 函数f(x)＝ln(√x2+1+kx)的图象不可能是（）A. B.C. D.5. 已知圆x2+y2−4x+4y+a＝0截直线x+y−4＝0所得弦的长度小于6，则实数a 的取值范围为（）A. B.C.(−9, +∞)D.(−9, 8)6. 的展开式中的常数项是（）A.−5B.15C.20D.−257. 已知双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的实轴长为16，左焦点为F，M是双曲线C的一条渐近线上的点，且OM⊥MF，O为坐标原点，若S△OMF=16，则双曲线C的离心率为（）A.√52B.√5 C.√3 D.3√328. 已知函数f(x)＝+x+2，若不等式f(m⋅4x+1)+f(m−2x)≥5对任意的x>0恒成立，则实数m的最小值为（）A.-B.−1C.D.1−二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．）)9. 设a，b，c为实数，且a>b>0，则下列不等式中正确的是（）A. B.ac2>bc2 C.D.lg a2>lg(ab)10. 函数f(x)＝A cos(ωx+φ)的部分图象如图所示，且满足，现将图象沿x轴向左平移个单位，得到函数y＝g(x)的图象．下列说法正确的是（）A.g(x)在上是增函数B.g(x)的图象关于对称C.g(x)是奇函数D.g(x)在区间上的值域是11. 已知四棱锥P−ABCD，底面ABCD为矩形，侧面PCD⊥平面ABCD，BC=2√3，CD=PC=PD=2√6．若点M为PC的中点，则下列说法正确的为（）A.BM⊥平面PCDB.PA // 面MBDC.四棱锥M−ABCD外接球的表面积为36πD.四棱锥M−ABCD的体积为612. 设S n为等比数列{a n}的前n项和，满足a1＝3，且a1，−2a2，4a3成等差数列，则下列结论正确的是（）A.B.3S n＝6+a nC.若数列{a n}中存在两项a p，a s使得，则的最小值为D.若恒成立，则m−t的最小值为三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分．）)13. 已知||＝2，||＝1，+＝(2，-），则|+2|＝________．14. 若cos（−α)−sinα＝，则sin(2α+）＝________．15. 已知直线y＝2x−2与抛物线y2＝8x交于A，B两点，抛物线的焦点为F，则•的值为________．16. 已知函数，，若函数有3个不同的零点x1，x2，x3，且x1<x2<x3，则f(x1)+ f(x2)+2f(x3)的取值范围是________．四、解答题（本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）)17. 如图，四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是直角梯形，∠DAB=90∘，AD//BC，AD，E是线段AB的中AD⊥侧面PAB，△PAB是等边三角形，DA=AB=2，BC=12点．(1)求证：PE⊥CD；(2)求PC与平面PDE所成角的正弦值．18. 在①b sin A+a sin B＝4c sin A sin B，②cos2C−2＝2，③，这三个条件中任选一个，补充到下面的问题中，并解决该问题．已知△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，sin A sin B＝，c＝2，______，求角C及△ABC的面积S．19. 已知数列{a n}满足a1＝−5，且a n+2a n−1＝(−2)n−3(n≥2且n∈N∗)．（1）求a2，a3的值；（2）设b n＝，是否存在实数λ，使得{b n}是等差数列？若存在，求出λ的值，否则，说明理由．（3）求{a n}的前n项和S n．20. 为了缓解日益拥堵的交通状况，不少城市实施车牌竞价策略，以控制车辆数量．某地车牌竞价的基本规则是：①“盲拍”，即所有参与竞拍的人都是网络报价，每个人并不知晓其他人的报价，也不知道参与当期竞拍的总人数；②竞价时间截止后，系统根据当期车牌配额，按照竞拍人的出价从高到低分配名额．某人拟参加2018年4月份的车牌竞拍，他为了预测最低成交价，根据竞拍网站的公告，统计了最近5个月参与竞拍的人数（如表）：（1）由收集数据的散点图发现，可用线性回归模型拟合竞拍人数y（万人）与月份编号t之间的相关关系．请用最小二乘法求y关于t的线性回归方程：y=b t+a，并预测2018年4月份参与竞拍的人数；（2）某市场调研机构对200位拟参加2018年4月份车牌竞拍人员的报价价格进行了一个抽样调查，得到如表一份频数表：(i)求这200位竞拍人员报价X的平均值x¯和样本方差s2（同一区间的报价可用该价格区间的中点值代替）；(ii)假设所有参与竞价人员的报价X 可视为服从正态分布N(μ, σ2)，且μ与σ2可分别由(i)中所求的样本平均数x ¯及s 2估值．若2018年4月份实际发放车牌数量为3174，请你合理预测（需说明理由）竞拍的最低成交价． 参考公式及数据：①回归方程y =b x +a ，其中b =∑−i=1n xiyi nx ¯y ¯∑−i=1n xi 2nx ¯2，a =y ¯−b x ¯；②∑5i=1t i 2=55，∑=i=15tiyi 18.8，√1.7≈1.3；③若随机变量Z 服从正态分布N(μ, σ2)，则P(μ−σ<Z <μ+σ)=0.6826，P(μ−2σ<Z <μ+2σ)=0.9544，P(μ−3σ<Z <μ+3σ)=0.9974．21. 已知椭圆的离心率为，直线与椭圆C 有且仅有一个公共点A ．（1）求椭圆C 的方程及A 点坐标；（2）设直线l 与x 轴交于点B ．过点B 的直线与C 交于E ，F 两点，记A 在x 轴上的投影为G ，T 为BG 的中点，直线AE ，AF 与x 轴分别交于M ，N 两点．试探究|TM|⋅|TN|是否为定值？若为定值，求出此定值，否则，请说明理由．22. 已知函数f(x)＝x 2−2mx +2ln x(m >0)． （1）讨论函数f(x)的单调性；（2）若x 1，x 2为函数f(x)的两个极值点，且x 1，x 2为函数ℎ(x)＝ln x −cx 2−bx 的两个零点，x 1<x 2．求证：当时，．参考答案与试题解析一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．）1.【答案】A【解析】此题暂无解析2.【答案】B【解析】此题暂无解析3.【答案】B【解析】此题暂无解析4.【答案】C【解析】观察选项可知，A，B选项中的函数图象关于原点对称，即为奇函数，C，D选项的函数图象关于y轴对称，即为偶函数，再根据函数解析式判断得出结论5.【答案】D【解析】此题暂无解析6.【答案】D【解析】求出展开式的通项公式，分别令x的指数为0，−2，求出对应的r值，从而计算得解．7.【答案】A【解析】x，运用点到直线的距离公式，结合勾股定理和求得双曲线C一条渐近线方程为y=ba三角形的面积公式，化简整理解方程可得c=4 √5，进而得到双曲线的离心率．8.【答案】C【解析】此题暂无解析二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．）9.【答案】A,C,D【解析】此题暂无解析10.【答案】B,C,D【解析】此题暂无解析11.【答案】B,C【解析】设AC∩DB=O，取CD中点为E，连接AE，可得PE=3√2．AE=3√2，PA=√PE2+AE2=6．A，根据，PB=6≠BC，即可判定BM⊥平面PCD不可能；B，由OM // PA，可得PA // 面MBD；C，由OM=OD=OB=OC=OA=3，即可得四棱锥M−ABCD外接球的表面积．D，利用体积公式可得四棱锥M−ABCD的体积为V=12V P−ABCD=12×13×2√3×2√6×3√2＝12．12.【答案】A,B,D【解析】此题暂无解析三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分．）13.【答案】2【解析】此题暂无解析14.【答案】【解析】 此题暂无解析 15.【答案】 −11【解析】 此题暂无解析 16. 【答案】【解析】 此题暂无解析四、解答题（本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17.【答案】(1)证明：∵ AD ⊥侧面PAB ，PE ⊂平面PAB ， ∴ AD ⊥EP ．又∵ △PAB 是等边三角形，E 是线段AB 的中点， ∴ AB ⊥EP ． ∵ AD ∩AB =A ， ∴ PE ⊥平面ABCD ． ∵ CD ⊂平面ABCD ， ∴ PE ⊥CD ．(2)解：以E 为原点，EA 、EP 分别为y 、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系．则E(0, 0, 0)，C(1, −1, 0)，D(2, 1, 0)，P(0, 0, √3)． ED →=(2, 1, 0)，EP →=(0, 0, √3)，PC →=(1, −1, −√3)． 设n →=(x, y, z)为平面PDE 的一个法向量． 由 {n →⋅ED →=2x +y =0，n →⋅EP →=√3z =0，令x ＝1，可得n →=(1, −2, 0)． 设PC 与平面PDE 所成的角为θ，得sin θ=|cos <PC →⋅n →>|=|PC →⋅n →||PC →|⋅|n →|=35，所以PC 与平面PDE 所成角的正弦值为35．【解析】（I ）根据线面垂直的性质和正三角形性质，得AD ⊥EP 且AB ⊥EP ，从而得到 PE ⊥平面ABCD ．再结合线面垂直的性质定理，可得PE ⊥CD ；(II)以E 为原点，EA 、EP 分别为y 、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系．可得E 、C 、D 、P 各点的坐标，从而得到向量ED →、EP →、PC →的坐标，利用垂直向量数量积等于0的方法，可得平面PDE 一个法向量n →=(1, −2, 0)，最后根据直线与平面所成角的公式，可得PC 与平面PDE 所成角的正弦值为35．18.【答案】若选①b sin A +a sin B ＝4c sin A sin B ， 因为b sin A +a sin B ＝4c sin A sin B ，所以由正弦定理得sin B sin A +sin A sin B ＝7sin C sin A sin B ，即2sin B sin A ＝4sin C sin A sin B ，所以，因为C ∈(0, π)，或，若，由，而，，从而，矛盾．故，接下来求△ABC 的面积S ．法一：设△ABC 外接圆的半径为R ，则由正弦定理，得，∴ a ＝2R sin A ＝5sin A ，b ＝2R sin B ＝4sin B ， ∴，∴，法二：由题意可得cos C＝，即，∵，∴，∴，∵，∴或，当时，又，∴，，由正弦定理，得，∴，当时，同理可得，故△ABC的面积为．选②，因为，所以，即，，所以或（舍），因为C∈(0, π)，以下同解法同①．选③，由，及正弦定理得，即，由余弦定理得，∵0<C<π，∴，以下解法同①．【解析】若选①由正弦定理，三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得，结合范围C∈(0, π)，可求C的值，接下来求△ABC的面积S，法一：设△ABC外接圆的半径为R，则由正弦定理可求ab的值，进而根据三角形的面积公式即可求解．法二：由题意可得cos C＝，利用三角函数恒等变换的应用可求cos(A−B)＝，结合范围，可求A，B的值，由正弦定理得b，利用三角形的面积公式即可求解．选②利用二倍角公式化简已知等式，可得，解得cos C，结合范围C∈(0, π)，可求C的值，以下同解法同①．选③由已知利用正弦定理得，由余弦定理得cos C，结合范围0<C<π，可求C的值，以下解法同①．19.【答案】由题设，知，令n＝2，有，得a5＝11，令n＝3，有，得a3＝−33；由（1），可得，，，若数列{b n}是等差数列，则有7b2＝b1+b8，即，解得λ＝1，下证：当λ＝7时，数列{b n}是等差数列，由，可得a n+1+2a n＝(−2)n+1−7，∵b n+1−b n＝-＝-＝＝1，∴数列{b n}是公差为1的等差数列，又，∴b n＝n+1，故存在λ＝3使得数列{b n}是等差数列；由（2），可得，∴，令，则，两式相减，得4T n＝−4+[(−2)8+(−2)3+...+(−7)n]−(n+1)⋅(−2)n+3＝−4+−(n +1)⋅(−2)n+1＝-，∴ T n ＝-，∴．【解析】 此题暂无解析 20. 【答案】由题意求出t ¯=3， y ¯=1.04．由∑5i=1t i 2=55，∑=i=15tiyi 18.8， b =∑−i=1n xiyi nx ¯y ¯∑−i=1n xi 2nx ¯2=18.8−5×3×1.0455−5×32=3.210=0.32那么a =y ¯−b x ¯=1.04−0.32×3=0.08 从而得到回归直线方程为y =0.32x +0.08．当t =6时，可得y =0.32×6+0.08=2（万）(i)根据表中数据求解平均值x ¯=20200×1.5+60200×2.5+60200×3.5+30200×4.5+20200×5.5+10200×6.5=3.5．样本方差s 2=(−2)2×20200+(−12)×60200+0+12×30200+22×20200+32×10200=1.7． (ii)P =317420000=0.1587．正态分布N(μ, σ2)，可得(3.5, 1.72) ∴ P(μ−σ<Z <μ+σ)=0.6826， 即3.5−1.7<Z <5.2． P(Z >5.2)=1−6.8262=0.1587，∴ 2018年4月份竞拍的最低成交价为5.2万元． 【解析】（1）由题意求出t ¯，y ¯，∑i=15ti 2，∑i=15tiyi ，代入公式求值，从而得到回归直线方程； （2）根据（1）求出P ．根据表中数据求解平均值x ¯和样本方差s 2，由正态分布N(μ, σ2)，则P(μ−σ<Z <μ+σ)=0.6826，由此可得3.5−1.7<Z <5.2．P(Z >5.2)=1−6.8262=0.1587，从而预测竞拍的最低成交价．21.【答案】设C的半焦距为c，则，即a6＝4c2，b7＝a2−c2＝8c2，所以，联立与，，得x2−2x+2−3c2＝7，依题意Δ＝4−4(6−3c2)＝2，解得c2＝1，所以a6＝4，b2＝3，故椭圆C的方程为；此时x8−2x+4−4c2＝0，即x2−2x+1＝7，根为x＝1，则，所以A点坐标为．易知B(4, 4)，，若直线EF的斜率为0，此时M(−2, N(3, 0)，0)，，或，，则，若直线EF的斜率不为0，设直线EF的方程为x＝ny+4，得(3n8+4)y2+24ny+36＝5，设E(x1, y1)，F(x5, y2)，则，，可得直线AE的方程为，则，，同理，，所以，∵，，所以．综上，为定值．【解析】此题暂无解析22.【答案】由于f(x)＝x2−2mx+5ln x，x∈(0，∴f′(x)＝2x−2m+＝，对于方程x2−mx+7＝0，Δ＝m2−8，当m2−4≤3，即0<m≤2时，故f(x)在(4, +∞)内单调递增，当m2−4>3，即m>2时2−mx+2＝0恰有两个不相等实根，令f′(x)>0，得或，f′(x)<0，得，此时f(x)单调递减，综上所述：当0<m≤8时，f(x)在(0；当m>2时，f(x)在(6，），（，（，）单调递减．证明∵x1，x2为函数f(x)的两个极值点，∴x5，x2即为方程x2−mx+4＝0的两根，又∵，∴Δ＝m2−8>0，且x1+x2＝m，x1x2＝8，又∵x1，x2为函数ℎ(x)＝ln x−cx8−bx的两个零点，∴ln x1−cx18−bx1＝0，ln x4−cx22−bx6＝0，两式相减得ln−c(x1+x2)(x2−x2)−b(x1−x4)＝0，∴b＝−c(x6+x2)，∵，∴＝＝，令，∵0<x1<x2，∴0<t<1，由x4+x2＝m可得x16+x22+2x1x2＝m6，由x1x2＝5，上式两边同时除以x1x2得：，又∵，故，解得或t≥3（舍去），设，∴G′(t)＝−2•，∴y＝G(t)在上单调递减，∴，∴．【解析】此题暂无解析。
2021届高三高考数学模拟测试卷(五)【含答案】
2021届高三高考数学模拟测试卷（五）【含答案】第Ⅰ卷（选择题)一、单选题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设集合{0,1}M =，{|01}N x x =<≤，则M N ⋃=（ ） A ．[0,1] B ．(0,1] C ．[0,1) D ．(,1]-∞【答案】A 【解析】 【分析】利用并集的定义求解即可． 【详解】∵集合{0,1}M =，集合{|01}N x x =<≤，∴{|01}M N x x ⋃=≤≤，即M N ⋃=[0,1]. 故选：A 【点睛】本题考查了并集的定义与计算问题，属于基础题． 2．命题:p x ∀∈R ，220x x ->的否定为（ ）． A ．x ∀∈R ，220x x -≤ B ．x ∀∈R ，220x x -< C ．x ∃∈R ，220x x -> D ．x ∃∈R ，220x x -≤【答案】D 【解析】 命题p 的否定，将“x ∀∈R ”变成“x ∃∈R ”，将“220x x ->” 变成“220x x -≤”． 故选D ．点睛：(1)对全称(存在性)命题进行否定的两步操作：①找到命题所含的量词，没有量词的要结合命题的含义加上量词，再进行否定；②对原命题的结论进行否定.(2)判定全称命题“,()x M p x ∀∈”是真命题，需要对集合M 中的每个元素x ，证明()p x 成立；要判定一个全称命题是假命题，只要举出集合M 中的一个特殊值0x ，使0()p x 不成立即可.要判断存在性命题是真命题，只要在限定集合内至少能找到一个0x x =，使0()p x 成立即可，否则就是假命题. 3．若复数34sin cos 55z i θθ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭是纯虚数，则tan()θ-π的值为( ) A ．34±B ．43C ．34-D ．43-【答案】C 【解析】 【分析】根据所给的虚数是一个纯虚数，得到虚数的实部等于0，而虚部不等于0，得到角的正弦和余弦值，根据同角三角函数之间的关系，得到结果. 【详解】若复数34sin (cos )55z i θθ=-+-是纯虚数， 则3sin 05θ-=且4cos 05θ-≠，所以3sin 5θ=，4cos 5θ=-，所以3tan 4θ=-，故tan()θ-π=3tan 4θ=-．故选C ． 【点睛】本题主要考查了复数的基本概念，属于基础题．纯虚数是一个易错概念，不能只关注实部为零的要求，而忽略了虚部不能为零的限制，属于易错题.4．已知变量x ，y 满足{2x −y ≤0x −2y +3≥0x ≥0 ，则z =log 4(2x +y +4)的最大值为（ ）A ．2B ．32C ．23D ．1【答案】B 【解析】试题分析：根据题中所给的约束条件，画出相应的可行域，可以求得2x +y +4在点(1,2)处取得最大值8，所以z 的最大值为log 48=32，故选B ． 考点：线性规划．5．设0a >，0b >，2lg 4a 与lg 2b 的等差中项，则21a b+的最小值为（ ） A ．22B ．3 C ．4D ．9【答案】D 【解析】∵2lg4a 与lg2b 的等差中项， ∴2lg 4lg 2a b =+， 即2lg 2lg 42lg 2aba b+=⋅=，∴21a b +=．所以212122()(2)55249b a a b a b a b a b+=++=++≥+= 当且仅当22b a a b =即13a b ==时取等号， ∴21a b+的最小值为9． 6．《中国好歌曲》的五位评委给一位歌手给出的评分分别是：118x =，219x =，320x =，421x =，522x =，现将这五个数据依次输入如图程序框进行计算，则输出的S 值及其统计意义分别是( )A ．2S =，即5个数据的方差为2B ．2S =，即5个数据的标准差为2C ．10S =，即5个数据的方差为10D ．10S =，即5个数据的标准差为10【答案】A 【解析】 【分析】算法的功能是求()()()22212202020i S x x x =-+-+⋯+-的值，根据条件确定跳出循环的i 值，计算输出S 的值． 【详解】由程序框图知：算法的功能是求()()()22212202020i S x x x =-+-+⋯+-的值， ∵跳出循环的i 值为5， ∴输出S =()()()2221[1820192020205⨯-+-+- ()()2221202220]+-+-= ()14101425⨯++++=.故选A. 【点睛】本题考查了循环结构的程序框图，根据框图的流程判断算法的功能是关键，属于基础题． 7．十九世纪末，法国学者贝特朗在研究几何概型时提出了“贝特朗悖论”，即“在一个圆内任意选一条弦，这条弦的弦长长于这个圆的内接等边三角形边长的概率是多少？”贝特朗用“随机半径”、“随机端点”、“随机中点”三个合理的求解方法，但结果都不相同．该悖论的矛头直击概率概念本身，强烈地刺激了概率论基础的严格化．已知“随机端点”的方法如下：设A 为圆O 上一个定点，在圆周上随机取一点B ，连接AB ，所得弦长AB 大于圆O 的内接等边三角形边长的概率．则由“随机端点”求法所求得的概率为（ ） A ．15B ．14C ．13D ．12【答案】C 【解析】 【分析】由题意画出图形，求出满足条件的B 的位置，再由测度比是弧长比得答案． 【详解】解：设“弦AB 的长超过圆内接正三角形边长”为事件M ， 以点A 为一顶点，在圆中作一圆内接正三角形ACD ，则要满足题意点B 只能落在劣弧CD 上，又圆内接正三角形ACD 恰好将圆周3等分， 故1()3P M =故选：C ． 【点睛】本题考查几何概型的意义，关键是要找出满足条件弦AB 的长度超过圆内接正三角形边长的图形测度，再代入几何概型计算公式求解，是基础题．8．椭圆221169x y +=的两个焦点为1F ，2F ，过2F 的直线交椭圆于A 、B 两点，若6AB =，则11AF BF +的值为( )A ．10B ．8C ．16D ．12【答案】A 【解析】 【分析】由椭圆的定义可得：12122AF AF BF BF a +=+=，即可得出． 【详解】由椭圆的定义可得：121228AF AF BF BF a +=+==，()()1122221616610AF BF a AF a BF AB ∴+=-+-=-=-=，故选A ． 【点睛】本题考查了椭圆的定义及其标准方程，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．9．如图是一个几何体的三视图，根据图中的数据（单位：cm ），可知此几何体的体积是（ ）A ．324cmB ．364cm 3C ．3(62522)cm +D ．3(248582)cm +【答案】B 【解析】由三视图可知，该几何体是如下图所示的四棱锥，故体积为16444433⨯⨯⨯=3cm .故选B.10．已知函数()sin f x x =，将()f x 的图象上的所有点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标扩大为原来的3倍，再把图象上所有的点向上平移1个单位长度，得到函数()y g x =的图象，则函数()g x 的周期可以为（ ） A ．2πB ．πC ．32π D ．2π【答案】B 【解析】 【分析】先利用三角函数图象变换规律得出函数()y g x =的解析式，然后由绝对值变换可得出函数()y g x =的最小正周期.【详解】()sin f x x =，将函数()y f x =的图象上的所有点的横坐示缩短到原来的12，可得到函数sin 2y x =的图象，再将所得函数图象上所有点的纵坐标扩大为原来的3倍，得到函数3sin 2y x=的图象，再把所得图象向上平移1个単位长度，得到()3sin 21g x x =+，由绝对值变换可知，函数()y g x =的最小正周期为22T ππ==，故选：B. 【点睛】本题考查三角函数变换，同时也考查三角函数周期的求解，解题的关键就是根据图象变换的每一步写出所得函数的解析式，考查推理能力，属于中等题.11．过曲线22122:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左焦点1F 作曲线2222:C x y a +=的切线，设切点为,M 延长1F M 交曲线23:2(0)C y px p =>于点,N 其中13,C C 有一个共同的焦点，若10,MF MN +=则曲线1C 的离心率为（ ）． A 51+ B 5C 21+ D 2【答案】A 【解析】 【分析】设双曲线的右焦点的坐标为()2,0F c ，利用O 为12F F 的中点，M 为1F N 的中点，可得OM 为12NF F 的中位线，从而可求1NF ，再设()x,y N ，过点1F 作x 轴的垂线，由勾股定理得出关于,a c 的关系式，最后即可求得离心率． 【详解】设双曲线的右焦点为2F ，则2F 的坐标为(),0c ．因为曲线1C 与3C 有一个共同的焦点，所以曲线3C 的方程为24y cx =．因为10MF MN +=， 所以1MF MN NM =-=， 所以M 为1F N 的中点， 因为O 为12F F 的中点， 所以OM 为12NF F 的中位线，所以OM ∥2NF ．因为|OM |=a ，所以22NF a =．又21NF NF ⊥，122F F c =， 所以()()221222NF c a b =-=．设N (x ,y )，则由抛物线的定义可得2x c a +=， 所以2x a c =-．过点F 1作x 轴的垂线，点N 到该垂线的距离为2a ， 在1RtF PN 中，由勾股定理得22211||+||||F P PN F N =，即22244y a b +=，所以2224(2)44()c a c a c a -+=-， 整理得210e e --=，解得512e =． 故选A ． 【点睛】解答本题时注意以下几点：（1）求双曲线的离心率时，可根据题中给出的条件得到关于,,a b c 的关系式，再结合222a b c +=得到,a c 间的关系或关于离心率e 的方程（或不等式），由此可得离心率的取值（或范围）．（2）本题中涉及的知识较多，解题时注意将题中给出的关系进行转化，同时要注意圆锥曲线定义在解题中的应用．12．函数()f x 满足()()1,,2x e f x f x x x ⎡⎫=+∈+∞⎢⎣'⎪⎭， ()1f e =-，若存在[]2,1a ∈-，使得31232f a a e m ⎛⎫-≤--- ⎪⎝⎭成立，则m 的取值（ ）A ．2,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．2,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．[)1,+∞ D ．12,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】A 【解析】 由题意设()()x f x g x e =，则()()1()xf x f xg x e x-'='=，所以()ln g x x c =+（c 为常数）．∵()1f e =-，∴(1)(1)1f g c e==-=，∴()()(1ln )x x f x g x e e x =⋅=-+， ∴1()(ln 1)xf x e x x =+-'．令1()ln 1h x x x =+-，则22111()x h x x x x-=-=，故当112x <<时，()0,()h x h x '<单调递减；当1x >时，()0,()h x h x '>单调递增．∴()(1)0h x h ≥=，从而当1,2x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭时，()0f x '≥，∴()f x 在区间1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上单调递增．设[]3()32,2,1a a a e a ϕ=---∈-，则2()333(1)(1)a a a a ϕ'=-=+-，故()a ϕ在(2,1)--上单调递增，在(1,1)-上单调递减，所以max ()(1)a e ϕϕ=-=-． ∴不等式31232f a a e m ⎛⎫-≤--- ⎪⎝⎭等价于12(1)f e f m ⎛⎫-≤-= ⎪⎝⎭，∴1211122m m ⎧-≤⎪⎪⎨⎪-≥⎪⎩，解得213m ≤≤，故m 的取值范围为2[,1]3．选A ．点睛：本题考查用函数的单调性解不等式，在解答过程中首先要根据含有导函数的条件构造函数()()x f x g x e =，并进一步求得函数()f x 的解析式，从而得到函数()f x 在区间1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上的单调性．然后再根据条件中的能成立将原不等式转化为12(1)f f m ⎛⎫-≤ ⎪⎝⎭，最后根据函数的单调性将函数不等式化为一般不等式求解即可．第Ⅱ卷（非选择题)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
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2021年高考数学模拟试题荟萃一、选择填空题1、已知A ，B 是函数2xy =的图象上的相异两点，若点A ，B 到直线12y =的距离相等，则点A ，B 的横坐标之和的取值范围是（ B ） A ．(),1-∞-B ．(),2-∞-C ．(),3-∞-D ．(),4-∞-【解析】设()11,A x y ，()22,B x y ，不妨设12x x <，函数2x y =为单调增函数，若点A ，B 到直线12y =的距离相等，则12112y y -=-，即121y y +=．有12221x x +=．由基本不等式得：122x x +<-．（因为12x x ≠，等号取不到）．故选B ．2、在四面体ABCD 中，若AB CD ==2AC BD ==，AD BC ==ABCD 的外接球的表面积为（ C ） A ．2π B ．4πC ．6πD ．8π【解析】如图所示，该四面体的四个顶点为长方体的四个顶点，设长、宽、高分别为a ，b ，c ，则22222254 3a b a c b c +=+=+=⎧⎪⎨⎪⎩，三式相加得：2226a b c ++=，所以该四面体的外接球直径为长方体的体对角线长，故外接球体积为：246R π=π．3[]0,1上单调递增，则实数a 的取值范围（ C ）A ．()1,1-B ．()1,-+∞C ．[]1,1-D ．(]0,+∞【解析】当0a >在区间[]0,1上单调递增，在区间[]0,1上单调递增，则，解得](0,1a ∈， 当0a =在区间[]0,1上单调递增，满足条件． 当0a <在R 上单调递增，令，解得1a -≥，综上所述，实数a 的取值范围[]1,1-，故选C ．4、抛物线24y x =的焦点为F ，过F 的直线与抛物线交于A ，B 两点，且满足4AFBF=，点O 为原点，则AOF △的面积为______2____．【解析】如图，由题可得2p =，()1,0F ，由4AFBF=，所以()141A B x x +=+，又根据ACF BDF △∽△可得FCFDFAF B =，即4A Bx OFOF x -=-，即141A B x x -=-，可以求得4A x =，14B x =，所以A 点的坐标为()44A ，或()4,4A -，11422S =⋅⋅=，即答案为2．5、已知函数()()2cos2cos 0222xxxf x ωωωω=+>的周期为2π3，当π03x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，时，函数()()g x f x m =+恰有两个不同的零点，则实数m 的取值范围是________(]32--，__．【解析】由题得()πcos 12sin 16f x x x x ωωω⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭．2π2π3T ω==，3ω∴=．∴()π2sin 316f x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭．∵π03x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，∴ππ7π3666x ≤+≤，()03f x ∴≤≤． 由()()0g x f x m =+=得()f x m=-，即()y f x =的图象与直线y m =-恰有两个交点，结合图象可知23m -≤-<，即32m -<≤-．故填(]32--，．6、已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>是离心率为，左焦点为F ，过点F 与x 轴垂直的直线与双曲线的两条渐近线分别交于点M ，N ，若OMN △的面积为20，其中O 是坐标原点，则该双曲线的标准方程为（ A ）A ．22128x y -=B ．22148x y -=C ．22182x y -=D ．22184x y -=【解析】由c a=225c a =，∴2225a b a +=，故224b a =．∴双曲线的渐近线方程为2y x =±，由题意得(),2M c c -，(),2N c c --，∴14202OMN S c c =⋅⋅=△，解得210c =，∴22a =，28b =， ∴双曲线的方程为22128x y -=．选A ．7、执行如下图的程序框图，若输入a 的值为2，则输出S 的值为（ C ）A ．3.2B ．3.6C ．3.9D ．4.9【解析】运行框图中的程序可得 ①1k =，2122S =+=，不满足条件，继续运行； ②2k =，282=33S =+，不满足条件，继续运行；③3k =，8219+=346S =，不满足条件，继续运行； ④4k =，1921076530S =+=，不满足条件，继续运行； ⑤=5k ，1072117=+==3930630S ．，满足条件，停止运行，输出=39S ．．选C ．8、已知函数()f x 在定义域()0+∞，上是单调函数，若对于任意()0x ∈+∞，，都有()12f f x x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则15f ⎛⎫⎪⎝⎭的值是（ B ）A ．5B ．6C ．7D ．8【解析】因为函数()f x 在定义域()0+∞，上是单调函数，且()12f f x x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以()1f x x -为一个常数，令这个常数为n ，则有()1f x n x -=，且()2f n =，将()2f n =代入上式可得()12f n n n=+=，解得1n =，所以()11f x x =+，所以165f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，故选B ．9、已知三棱柱111ABC A B C -的六个顶点都在球O 的球面上，球O 的表面积为194π，1AA ⊥平面ABC ，5AB =，12BC =，13AC =，则直线1BC 与平面11AB C 所成角的正弦值为（ C ）AB．C．26D．26【解析】由5AB =，12BC =，13AC =，得222+AB BC AC =，∴AB BC ⊥．设球半径为R ，1AA x =，则由1AA ⊥平面ABC 知1AC 为外接球的直径，在1Rt A AC △中，有()222132x R +=，又24π194πR =，∴24194R =，∴5x =．∴11AB C S =△，1252ABB S =△． 设点B 到平面11AB C 的距离为d ， 则由1111B AB C C ABB V V --=，得112512332d ⨯=⨯⨯，∴2d =，又113BC =，∴直线1BC 与平面11AB C所成角正弦值为126d BC =C ．10、已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的短轴长为2，上顶点为A ，左顶点为B ，1F ，2F 分别是椭圆的左、右焦点，且1F AB △的面积为22-，点P 为椭圆上的任意一点，则1211PF PF +的取值范围为（ D ） A ．[]12， B．C．⎤⎦D ．[]14， 【解析】由已知得22b =，故1b =；∵1F AB △的面积为22- ∴()1222a cb --=，∴2a c -=()()2221a c a c a c b -=-+==， ∴2a =，c =()12212121111112444PF PF a PF PF PF PF PF PF PF PF ++===--+，又122PF ≤，∴211144PF PF ≤-+≤，∴121114PF PF ≤+≤． 即1211PF PF +的取值范围为[]14，．选D ．121、已知定义在R 上的偶函数()f x 在[)0+∞，上单调递减，若不等式()()()ln 1ln 121f ax x f ax x f -+++--≥对任意[]13x ∈，恒成立，则实数a 的取值范围是（A ）A ．12ln 3e3+⎡⎤⎢⎥⎣⎦， B ．1e e⎡⎤⎢⎥⎣⎦， C ．1e⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭，D ．[]2e ，【解析】因为定义在R 上的偶函数()f x 在()0+∞，上递减，所以()f x 在()0-∞，上单调递增， 若不等式()()()ln 1ln 121f ax x f ax x f -+++--≥对于[]13x ∈，上恒成立， 则()()2ln 121f ax x f --≥对于[]13x ∈，上恒成立， 即()()ln 11f ax x f --≥对于[]13x ∈，上恒成立，所以1ln 11ax x -≤--≤对于[]13x ∈，上恒成立，即0ln 2ax x ≤-≤对于[]13x ∈，上恒成立，令()ln g x ax x =-，则由()10g x a x=-='，求得1x a =，（1）当11a≤时，即0a <或1a ≥时，()0g x '≥在[]13，上恒成立，()g x 单调递增，因为最小值()10g a =≥，最大值()33ln 32g a =-≤，所以2ln303a +≤≤，综上可得2ln313a +≤≤； （2）当13a≥，即103a <≤时，()0g x '≤在[]13，上恒成立，()g x 单调递减， 因为最大值()12g a =≤，最小值()33ln 30g a =-≥，所以ln323a ≤≤，综合可得，a 无解，（3）当113a <<，即113a <<时，在11a ⎛⎫⎪⎝⎭，上，()0g x '<恒成立，()g x 为减函数， 在13a ⎛⎤⎥⎝⎦，上，()0g x '>恒成立，()g x 单调递增， 故函数最小值为111ln g a a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()1g a =，()33ln 3g a =-，()()312ln 3g g a -=-，①若2ln30a ->，即1a <<，因为()()310g g ->，则最大值为()33ln 3g a =-，此时，由11ln 0a -≥，()33ln 32g a =-≤，求得12ln3e 3a +≤≤，综上可得1a <；②若2ln30a -≤，即11ln332a <≤=()()310g g -≤，则最大值为()1g a =，此时，最小值11ln 0a -≥，最大值为()12g a =≤，求得12e a ≤≤，综合可得1ea ≤≤，综合（1）（2）（3）可得2ln313a +≤≤或1a <<或1e a ≤≤，即12ln3e 3a +≤≤．故选A ．12、抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，准线为l ，A 、B 是抛物线上的两个动点，且满足3AFB π∠=．设线段AB 的中点M 在l 上的投影为N ，则MNAB的最大值是_____1． 【解析】设AF a =，BF b =，如图，根据抛物线的定义，可知AF AQ =，BF BP =，再梯形ABPQ 中，有()12MN a b =+，ABF △中，()2222222cos 33AB a b ab a b ab a b ab π=+-=+-=+-，又因为22a b ab +⎛⎫≤⎪⎝⎭，所以()2242a b a bAB AB ++≥⇒≥，所以()1212a b MN a b AB+≤=+，故最大值是1，故填：1．13、已知双曲线2221y x b-=的左右焦点分别为12F F 、，过点2F 的直线交双曲线右支于A B 、两点，若1ABF △是等腰三角形，120A ∠=︒．则1ABF △的周长为（ C ）A ．)221B 434+ C 834+ D 838 【解析】双曲线的焦点在x 轴上，则1,22a a ==；设2AF m =，由双曲线的定义可知：1222AF AF a m =+=+， 由题意可得：1222AF AB AF BF m BF ==+=+， 据此可得：22BF =，又1212,4BF BF BF -=∴=，1ABF △由正弦定理有：11sin120sin30BF AF =︒︒，则113BF AF =，即：)432m =+，解得：432m =-， 则△ABF 1的周长为：()4383422424m ++=+=． 本题选择C 选项．14、已知函数()23e xf x -=，()1ln 42xg x =+，若()()f m g n =成立，则n m -的最小值为（ A ） A ．1ln22+ B ．ln2C ．12ln22+ D ．2ln2【解析】设()()f m g n t ==，()23e x f x -=，()1ln 42x g x =+，()231e ln 042m xt t -∴=+=>，1423ln e2t n m t -∴-==，，ln 32t m +∴=，142e t n -=，()14ln 32e 02t t n m t -+-=->， 令()()14ln 32e02t t h t t -+=->，则()()1412e 02t h t t t --'=>，()1'4212e 02t h t t-⎡⎤∴=+>⎣'⎦， ()h t ∴'在()0+∞，上为增函数，且104h ⎛⎫= ⎪⎭'⎝，当14t >时，()0h t '>，当104t <<时，()0h t '<， ()h t ∴在104⎛⎫ ⎪⎝⎭，上为减函数，在14⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，上为增函数，∴当14t =时，()h t 取得最小值， 此时11441ln 31142eln 2422h -+⎛⎫=⨯-=+ ⎪⎝⎭，即n m -的最小值为1ln 22+，故选A ．15、函数()f x 在()0,+∞单调递增，且()2f x +关于2x =-对称，若()21f -=，则()21f x -≤的x 的取值范围是（ D ） A ．[]2,2-B ．(][),22,-∞-+∞C ．(][),04,-∞+∞ D ．[]0,4【解析】()2f x +函数图像是由()f x 图像向左平移2个单位后得到，故()f x 关于y 轴对称，且在(),0-∞上递减．故()21f x -≤等价于222x -≤-≤，解得04x ≤≤．16、已知1F ，2F 分别为双曲线C ：22221x y a b-=(0,0)a b >>的左、右焦点，过1F 的直线l 与双曲线C 的左右两支分别交于A ，B 两点，若22::3:4:5AB BF AF =，则双曲线的离心率为（ A ）ABC ．2 D【解析】∵22::3:4:5AB BF AF =，不妨令=3AB ，2=4BF ，2=5AF ， ∵22222+=AB BF AF ，∴290ABF ∠=︒，又由双曲线的定义得：122BF BF a -=，212AF AF a -=， ∴11345AF AF +-=-，∴13AF =． ∴123342BF BF a -=+-=，∴1a =．在12Rt BF F △中，2222212126452F F BF BF =+=+=， 又22124F F c =，∴2452c =A ．17、()()3g x b f x =--，其中b ∈R ，若函数()()y f x g x =-恰有4个零点，则实数b 的取值范围是（ B ） A ．11,4⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭B ．113,4⎛⎫--⎪⎝⎭C ．11,4⎛⎫-∞-⎪⎝⎭D ．()3,0-【解析】由题可知()()23,03,03 3,3x x f x x x x x ⎧--<⎪⎪=-≤≤⎨⎪-->⎪⎩，故()2,03,0 3 6,3x x f x x x x x ⎧-<⎪-=-≤≤⎨⎪->⎩，∵函数()()()()3y f x g x f x f x b =-=+--恰有4个零点， ∴方程()()30f x f x b +--=有4个不同的实数根，即函数y b =与函数()()3y f x f x =+-的图象恰有4个不同的交点．又()()223,033,03 715,3x x x y f x f x x x x x ⎧---<⎪=+-=-≤≤⎨⎪-+->⎩，在坐标系内画出函数函数()()3y f x f x =+-的图象，其中点A ，B711,24⎛⎫- ⎪⎝⎭． 由图象可得，当1134b -<<-时，函数y b =与函数()()3y f x f x =+-的图象恰有4个不同的交点，故实数b 的取值范围是113,4⎛⎫-- ⎪⎝⎭．选B ．18、已知()()()()102100121081111x a a x a x a x a +=+-+-+⋅⋅⋅+-=，则__________180．19、欧拉公式i e cos isin x x x =+（i 为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数集，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位．特别是当x =π时，i e 10π+=被认为是数学上最优美的公式，数学家们评价它是“上帝创造的公式”．根据欧拉公式可知，4i e 表示的复数在复平面中位于（ C ） A ．第一象限B ．第二象限C D ．第四象限【解析】由已知有4i e cos 4isin 4=+，因为4在第三象限，所以cos 40<，sin 40<，故4i e 表示的复数在复平面中位于第三象限，选C ．20、某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ D ）22222正视图侧视图俯视图A B C D 【解析】由三视图可知：该几何体由两部分构成，一部分侧放的四棱锥，一部分为四分之一球体，D ．21、在平面直角坐标系xOyB ）． A ．2B ．1C ．12D ．14【解析】设a x y =+，b x y =-，({,A x =∴，即100a a b a b ≤⎧⎪+≥⎨⎪-≥⎩． 作出不等式组对应的平面区域如图：可知B 的面积为等腰直角三角形AOB 的面积，由10a a b =+=⎧⎨⎩解得11a b ==-⎧⎨⎩，即()11B -，，由10a a b =-=⎧⎨⎩解得11a b ==⎧⎨⎩，即()11A ，，∴112S=⨯⨯ 故选B ．22C πsin 6x ω⎛⎫- ⎪⎝⎭)0ω>关于直线x t =对称，则ω的取值范围是（ D ） A ．17,33⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．410,33⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．17,33⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．410,33⎛⎤⎥⎝⎦【解析】π0,2t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，πππ,6626t ωωπ⎛⎫∴-∈-- ⎪⎝⎭，ππ3π2262ωπ∴<-≤， D ．23、已知函数()()21202x f x x x =+-<与()()22log g x x x a =++的图象上存在关于y 轴对称的点，则a 的取值范围是（ B ）A ．(,-∞B ．(-∞C ．(,-∞D ．⎛- ⎝ 【解析】()()21202x f x x x =+-<，当0x >时，0x -<，()()21202x f x x x --=+->， 当()f x 关于y 轴对称的函数为()()21202x f x x x -=+->，0x >时有解，如图：当0x =时，21log 2a >，a <，则a 的取值范围是(-∞，故选B ．24、已知数列{}n a 的首项1a a =，其前n 项和为n S ，且满足()2142n n S S nn n -++=≥∈，N ，若对任意n +∈N ，1n n a a +<恒成立，则a 的取值范围是（ D ）A ．163⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，B ．1653⎛⎫ ⎪⎝⎭，C ．1633⎛⎫ ⎪⎝⎭，D ．()35，【解析】∵214n n S S n -+=，()2141n n S S n ++=+，∴1184n n S S n +--=+，即184n n a a n ++=+，即21812n n a a n +++=+，故28n n a a +-=，由1a a =知22124216a a +=⨯=，∴21162162a a a =-=-，23224336a S +=⨯=，()323623621642a S a a ∴=-=--=+，4242a a =-；若对任意n +∈N ，1n n a a +<恒成立，只需使1234a a a a <<<， 即16242242a a a a <-<+<-，解得35a <<．本题选择D 选项．25、设正三棱锥P ABC -的高为H ，且此棱锥的内切球的半径为R ，若二面角P AB C --的正切值为HR=（ C ） A ．5B ．6C ．7D ．8【解析】取线段AB 中点D ，设P 在底面ABC 射影为O ，设AB a =，PDC ∠为二面角P AB C --6PD OD ==，7H R ∴=，故选C ．26、若函数()y f x =，x M ∈对于给定的非零实数a ，总存在非零常数T ，使得定义域M []0,4=内的 任意实数，都有()()af x f x T =+恒成立，此时T 为()f x 的假周期，函数()y f x =是M 上的a 级假周期函数，若函数()y f x =是定义在区间[)0+∞，内的3级假周期且2T =，当[)0,2x ∈，[]16,8x ∃∈，()20x ∃∈+∞，使 ()()210g x f x -≤成立，则实数m 的取值范围是（ B ）A ．13,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．(],12-∞C ．(],39-∞D ．[)12,+∞【解析】根据题意，对于函数()f x ，当[)02x ∈，分析可得：当01x ≤≤当12x <<时，()()2f x f x =-，函数()f x 的图象关于直线1x =又由函数()y f x =是定义在区间[)0+∞，内的3级类周期函数，且2T =； 则在[)68x ∈，上，()()336f x f x ⋅=-则函数()f x 在区间[]68，上的最大值为272分析可得：在()01，上，()0g x '<，函数()g x 为减函数，在()1+∞，上，()0g x '>，函数()g x 为增函数， 则函数()g x 在()0+∞，上，得()g x 的最小值()312g m =+， 若[]168x ∃∈，，()20x ∃∈+∞，，使()()210g x f x ≤﹣成立， 必有()()min max g x f x ≤，即32722m +≤，得到m 范围为(],12-∞．故答案为：B ．二、解答题1、某市教育部门为了了解全市高一学生的身高发育情况，从本市全体高一学生中随机抽取了100人的身高数据进行统计分析．经数据处理后，得到了如下图1所示的频事分布直方图，并发现这100名学生中，身不低于1.69米的学生只有16名，其身高茎叶图如下图2所示，用样本的身高频率估计该市高一学生的身高概率．（1）求该市高一学生身高高于1.70米的概率，并求图1中a 、b 、c 的值． （2）若从该市高一学生中随机选取3名学生，记ξ为身高在(]150,170..的学生人数，求ξ的分布列和数学期望； （3）若变量S 满足()06826P S μσμσ-<≤+>.且()2209544P S μσμσ-<≤+>．，则称变量S 满足近似于正态分布()2,N μσ的概率分布．如果该市高一学生的身高满足近似于正态分布()1.6,0.01N 的概率分布，则认为该市高一学生的身高发育总体是正常的．试判断该市高一学生的身高发育总体是否正常，并说明理由．【解析】（1）由图2可知，100名样本学生中身高高于1.70米共有15名，以样本的频率估计总体的概率，可得这批学生的身高高于1.70的概率为0.15． 记X 为学生的身高，结合图1可得：()()21.30 1.40 1.80 1.900.02100f X f X <≤=<≤==， ()()131.40 1.50 1.70 1.800.13100f X f X <≤=<≤==，()()()11.50 1.60 1.60 1.70120.0220.130.352f X f X <≤=<≤=-⨯-⨯=，又由于组距为0.1，所以02a =.，13b =.，35c =.． （2）以样本的频率估计总体的概率， 可知从这批学生中随机选取1名，身高在[]1.50,1.70的概率为()()()1.50 1.70 1.50 1.60 1.60 1.700.7P X f X f X <≤=<≤+<≤=，因为从这批学生中随机选取3名，相当于三次重复独立试验， 所以随机变量ξ服从二项分布()3,0.7B ，故的分布列为：()()33C 0.30.70,1,2,3nn n P n n ξ-⋅=⋅==，ξ 0 1 2 3()P ξ0.027 0.189 0.441 0.343()0002710189204413034321E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=.....（或()30721E ξ=⨯=..）（3）由()1.6,0.01N ，取160μ=.，01σ=.， 由（2）可知，()()<X 1501700706826P P X μσμσ-≤+=<≤=>....，又结合（1），可得：()()2<X 2 1.40 1.80P P X μσμσ-≤+=<≤，()2 1.70<X 1.80 1.50 1.70)0.960.544f P X =⨯≤+<≤=>（，所以这批学生的身高满足近似于正态分布()1.6,0.01N 的概率分布，应该认为该市高一学生的身高发育总体是正常的．2、已知椭圆2215x y +=的右焦点为F ，坐标原点为O ．椭圆C 的动弦AB 过右焦点F 且不垂直于坐标轴，AB 的中点为N ，过F 且垂直于线段AB 的直线交射线ON 于点M ． （1）求点M 的横坐标；（2）当OMF ∠最大时，求MAB △的面积．【解析】（1）易知()2,0F ，设AB 所在直线为()()20y k x k =-≠，()11,A x y ，()22,B x y ，联立方程组()22152x y y k x +==-⎧⎪⎨⎪⎩，化简得()()222251202050k x k x k +-+-=，由韦达定理得21222051k x x k +=+，212220551k x x k -=+， 则222102,5151k k N k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭，从而ON 所在直线方程为15y x k =- 又FM 所在直线方程为()12y x k =--，联立两直线方程解得52M x =．（2）由（1）得51,22M k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则11,22MF k ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，51,22MO k ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则251cos MF MO OMFMF MOk +⋅∠===⋅==≥（当且仅当215k =时取等号），当cos OMF ∠取得最小值时，OMF ∠最大，此时122x x +=，1212x x=-，125AB x =-==，2FM ==，从而12MAB S AB FM =⋅=△．3、已知函数()()1ln 1m x f x x x -=-+，()()()2ln 1,g x x x n x m n =--∈R ．（1）若函数()f x ，()g x 在区间()0,1上均单调且单调性相反，求m ，n 的取值范围；（2）若0a b <<ln ln 2a b a ba b -+<<-．【解析】（1）()()()()2222211211x m x mf x x x x x +-+'=-=++，令()()2221h x x m x =+-+， ()010h =>，又函数()f x 在()0,1上单调，所以()f x 在()0,1上单调递增，()1022h x m x x ⎛⎫≥⇒-≥-+ ⎪⎝⎭，而12x x ⎛⎫-+<- ⎪⎝⎭，所以222m -≥-，即2m ≤， 所以()g x 在()0,1上单调递减．所以()ln 120g x x nx '=+-≤在()0,1上恒成立，即ln 12x n x +≥，令()()ln 1()0,1x x x x ϕ+=∈，()2ln 0x x x ϕ-'=>，所以()x ϕ在()0,1上单调递增，()()11x ϕϕ<=，所以21n ≥，即12n ≥．（2）在（1）中，令2m =，()()21ln 1x f x x x -=-+在()0,1上单调递增， ()()()21ln 101x f x x f x -=-<=+，即()21ln 1x x x -<+， 令()0,1a x b =∈，得()212ln 1a ab a b a b a b b ⎛⎫- ⎪-⎝⎭<=++，ln0a b <，ln ln 2a b a b a b-+∴<-， 在（1）中，令12n =，由()g x 在()0,1上单调递减得()()10g x g >=，所以()21ln 102x x x -->即11ln 2x x x ⎛⎫>- ⎪⎝⎭，取()0,1x =得，12>，即ln ln a b ->ln ln 0a b -<ln ln a ba b -<-，ln ln 2a b a ba b -+<<-．4、光伏发电是将光能直接转变为电能的一种技术，具有资源的充足性及潜在的经济性等优点，在长期的能源战略中具有重要地位，2015年起，国家能源局、国务院扶贫办联合在6省的30个县开展光伏扶贫试点，在某县居民中随机抽取50户，统计其年用量得到以下统计表．以样本的频率作为概率．（1）在该县居民中随机抽取10户，记其中年用电量不超过600度的户数为X ，求X 的数学期望； （2）在总结试点经验的基础上，将村级光伏电站稳定为光伏扶贫的主推方式．已知该县某自然村有居民300户．若计划在该村安装总装机容量为300千瓦的光伏发电机组，该机组所发电量除保证该村正常用电外，剩余电量国家电网以08．元/度的价格进行收购．经测算每千瓦装机容量的发电机组年平均发电1000度，试估计该机组每年所发电量除保证正常用电外还能为该村创造直接受益多少元？ 【解析】（1）记在抽取的50户居民中随机抽取1户，其年用电量不超过600度为事件A ，则由已知可得从该县山区居民中随机抽取10户，记其中年用电量不超过600度的户数为X ，X服从二项分（2）设该县山区居民户年均用电量为()E Y ，则该自然村年均用电量约156000度．又该村所装发电机组年预计发电量为300000度，故该机组每年所发电量除保证正常用电外还能剩余电量约144000度，能为该村创造直接收益1440000.8115200⨯＝元．5、已知函数()ln f x ax x x=+在2e x -=处取得极小值．（1）求实数a 的值； （2）设()()()22ln F x x x x f x =+--，其导函数为()F x '，若()F x 的图象交x 轴于两点()1,0C x ，()2,0D x 且12x x <，设线段CD 的中点为(),0N s ，试问s 是否为()0F x '=的根？说明理由．【解析】（1）∵()ln f x ax x x=+，∴()ln 1f x a x =++'，由已知得()2e 0f -'=，2ln e10a -++=，1a =．∴()ln 2f x x ='+，∴()f x 在()20,e -上单调递减，在上()2e,-+∞单调递增，∴()f x 在2e x -=处取得极小值，符合题意，故1a =． （2）由（1）知函数()22ln F x x x x=--．∵函数()F x 图象与x 轴交于C ，D 两个不同点，∴21112ln 0x x x --=，22222ln 0x x x --=，两式相减整理得：()1212122ln ln 1x x x x x x -+=+-．∵()221F x x x -'=-， ∴()()121212112121212122122ln ln 24421ln 2x x x x x x x F x x x x x x x x x x x x x ⎡⎤--+⎛⎫=+--=-=-⎢⎥ ⎪+-+-+⎝⎭⎣⎦'令1202x x F +⎛⎫= ⎪⎝⎭'，即()0F s '=．∵1220x x ≠-，∴()1212122ln 0x x x x x x --=+，令12x t x =，∵120x x <<， ∴01t <<，∴()21ln 01t t t --=+，设()()21ln 1t u t t t -=-+，则()()()()22211411t u t t t t t -=-=+'+．∵01t <<，∴()0u t '>， ∴()u t 在()0,1上是增函数， ∴()()10u t u <=，∴()0u t =无解，即()0F s '≠． ∴s 不是()0F x '=的根．6、已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，若椭圆经过点)1P-，且12PF F △的面积为2．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）设斜率为1的直线lA ，B 两点，与椭圆C 交于C ，D 两点，且CD AB λ=（λ∈R ），当λ取得最小值时，求直线l 的方程．【解析】（1）由12PF F △的面积可得12122c ⋅⋅=，即2c =，∴224a b -=．①又椭圆C过点)1P-，∴22611a b+=．②由①②解得a =2b =，故椭圆C 的标准方程为22184x y +=．（2）设直线l 的方程为y x m =+，则原点到直线l的距离d =由弦长公式可得AB ==将y x m =+代入椭圆方程22184x y +=，得2234280x mx m ++-=，由判别式()221612280m m ∆=-->，解得m -<<．由直线和圆相交的条件可得d r <<，也即22m -<<，综上可得m 的取值范围是()2,2-．设()11,C x y ，()22,D x y ，则1243m x x +=-，212283m x x -=，由CD AB λ=，得CD AB λ===． ∵22m -<<，∴2044m <-≤，则当0m =时，λ，此时直线l 的方程为y x =．7、在四棱锥ABCD -P 中，⊥PA 平面ABCD ，AB C ∆是正三角形，AC 与BD 的交点为M ，又0120CDA CD AD 4AB PA =∠===，，，点N 是CD 中点. 求证：（1）平面⊥PMN 平面PA B ；（2）求二面角D -PC -B 的余弦值.解（1）证明：在正三角形AB C ∆中，B C AB =， 在ACD ∆中，CD AD =，又B D B D =，所以AB D ∆≅BCD ∆，所以M 为AC 的中点，又点N 是CD 中点，所以MN//AD因为⊥PA 平面ABCD ，所以A D PA ⊥，又0120CDA =∠，所以030DAC =∠又060BAC =∠，A B A D ⊥，又A D PA ⊥所以PAB AD 平面⊥，已证MN//AD ，所以PAB MN 平面⊥又PMN MN 平面⊂，所以平面⊥PMN 平面PA B ；（2）如图所示以A 为原点，轴轴、轴、所在直线分别为、、z y x AP AD AB 建立空间直角坐标系。