七下数学《二元一次方程组》培优训练题

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初一数学下册二元一次方程组试卷培优试卷

一、选择题1．已知方程组5354x y ax y +=⎧⎨+=⎩和2551x y x by -=⎧⎨+=⎩有相同的解，则2a b -的值为（）A ．15B ．14C ．10D ．8 2．已知x ＝2，y ＝1是方程ax ﹣y ＝7的一个解，那么a 的值为（）A ．﹣2B ．2C ．3D ．43．已知关于x ，y 的方程组25241x y a x y a +=-⎧⎨-=-⎩给出下列结论：①当1a =时，方程组的解也是21x y a +=+的解； ②无论a 取何值，x ，y 的值不可能是互为相反数； ③x ，y 都为自然数的解有4对．正确的有几个（） A ．1B ．2C ．3D ．44．小亮去文化用品商店购买笔和本，已知本每个3元，笔每支5元，购买笔和本共花费48元，并且本的数量不少于笔的数量，则小亮的购买方案共有 ( ) A ．1种B ．2种C ．3种D ．4种5．已知方程组46ax by ax by -=⎧⎨+=⎩与方程组35471x y x y -=⎧⎨-=⎩的解相同，则a ，b 的值分别为（）A ．521a b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩B ．521a b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩C ．521a b ⎧=⎪⎨⎪=⎩D ．521a b ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩6．已知关于x ，y 的方程组34,53,x y a x y a +=-⎧⎨-=⎩给出下列结论：①4,1x y =⎧⎨=-⎩是方程组的解；②无论a 取何值，x ，y 的值都不可能互为相反数；③当1a =时，方程组的解也是方程4x y a +=-的解；④x ，y 的都为自然数的解有4对．其中正确的是（） A ．②③B ．③④C ．①②D ．①②③④7．若关于x ，y 的二元一次方程组89mx ny mx ny -=⎧⎨+=⎩的解是79x y =⎧⎨=⎩，则关于a ，b 的二元一次方程组()()538539m a b nb m a b nb ⎧--=⎪⎨-+=⎪⎩的解是（）A ．23a b =⎧⎨=⎩B ．32a b =⎧⎨=⎩C ．42a b =⎧⎨=⎩D ．53a b =⎧⎨=⎩8．已知关于x ，y 的方程组35225x y ax y a -=⎧⎨-=-⎩，则下列结论中正确的有（）个①当5a =时，方程组的解是1020x y =⎧⎨=⎩；②当x ，y 的值互为相反数时，20a =③不存在一个实数a 使得x y =； ④若23722a y -=，则2a =． A ．1B ．2C ．3D ．49．甲、乙两人在解方程组51542ax y x by +=⎧⎨=-⎩①②时，甲看错了方程①中的a ，解得21x y =⎧⎨=⎩，乙看错了方程②中的b ，解得54x y =⎧⎨=⎩，则2020201910b a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭的值为（）A ．2B ．－2C ．0D ．－310．已知关于x ，y 的方程组135x y a x y a +=-+⎧⎨-=+⎩，给出下列说法：①当0a =时，方程组的解也是方程24x y +=的一个解；②当27x y ->时，0a >；③不论a 取什么实数，2x y +的值始终不变；④若1a =，则240x y +=以上四种说法中正确的有（）个 A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题11．三位先生A 、B 、C 带着他们的妻子a 、b 、c 到超市购物，至于谁是谁的妻子现在只能从下列条件来推测：他们6人，每人花在买商品的钱数（单位：元）正好等于商品数量的平方，而且每位先生都比自己的妻子多花48元钱，又知先生A 比b 多买9件商品，先生B 比a 多买7件商品．则先生A 的妻子是__________．12．在某一个学校的运动俱乐部里面有三大筐数量相同的球，甲每次从第一个大筐中取出9个球；乙每次从第二个大筐中取出7个球；丙则是每次从第三个大筐中取出5个球.到后来甲、乙、丙三人都记不清各自取过多少次球了，于是管理人员查看发现第一个大筐中还剩下7个球，第二个大筐还剩下4个球，第三个大筐还剩下2个球，那么根据上述情况可以推知甲至少取了______次.13．甲、乙两人玩摸球游戏，从放有足够多球的箱子中摸球，规定每人最多两种取法，甲每次摸4个或（3－k ）个，乙每次摸5个或（5－k ）个(k 是常数，且0＜k ＜3)；经统计，甲共摸了16次，乙共摸了17次，并且乙至少摸了两次5个球，最终两人所摸出的球的总个数恰好相等，那么箱子中至少有球__________个.14．若方程组1122a x y c a x y c +=⎧⎨+=⎩的解是12x y =⎧⎨=⎩，则方程组111222a x y c a a x y c a +=-⎧⎨+=-⎩的解是______．15．若x ＝2，y ＝﹣1是关于x ，y 的二元一次方程2mx +4ny ﹣9＝3的一个解，则m ﹣n 的值为__．16．在平面直角坐标系中，将点P 向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到P '(﹣1，3)，则点P 坐标为___．17．对于有理数，规定新运算：x ※y ＝ax ＋by ，其中a 、b 是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算．若2※1＝5，1※（﹣1）＝1，则ab ＝___．18．已知a ，b 满足方程组2224a b a b +=⎧⎨+=⎩，则a -b 的值为________．19．已知关于x ，y 的二元一次方程()()12120m x my m +++=﹣﹣，无论实数m 取何值，此二元一次方程都有一个相同的解，则这个相同的解是______．20．若2a m +2n b 7+a 5b n ﹣2m +2的运算结果是3a 5b 7，则2m 2+3mn +n 2的值是 ___．三、解答题21．阅读感悟：有些关于方程组的问题，要求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的代数式的值，如以下问题：已知实数x 、y 满足35x y -=①，237x y +=②，求4x y -和75x y +的值．本题常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得x 、y 的值再代入欲求值的代数式得到答案，常规思路运算量比较大.其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由①－②可得42x y -=-，由①+②×2可得7519x y +=．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”．解决问题：（1）已知二元一次方程组2728x y x y +=⎧⎨+=⎩，则x y -=_______，x y +=_______；（2）某班级组织活动购买小奖品，买20支水笔、3块橡皮、2本记事本共需35元，买39支水笔、5块橡皮、3本记事本工序62元，则购买6支水笔、6块橡皮、6本记事本共需多少元？（3）对于实数x 、y ，定义新运算：*x y ax by c =++，其中a 、b 、c 是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算．已知3*515=，4*728=，那么1*1=_______．22．已知，在平面直角坐标系中，三角形ABC 三个顶点的坐标分别为(),0A a ，(),4B b ，()2,C c ，//BC x 轴，且a 、b 满足12100a b a b +-+-+=．（1）则a =______；b =______；c =______；（2）如图1，在y 轴上是否存在点D ，使三角形ABD 的面积等于三角形ABC 的面积？若存在，请求出点D 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）如图2，连接OC 交AB 于点M ，点(),0N n 在x 轴上，若三角形BCM 的面积小于三角形BMN 的面积，直接写出n 的取值范围是______．23．在平面直角坐标系中，点A ，B 的坐标分别为A(a ，0)，B(b ，0)，且a ，b 满足|a ＋b ﹣2|25a b -+0，现同时将点A ，B 分别向右平移1个单位，再向上平移2个单位，分别得到点A ，B 的对应点为C ，D ．（1）请直接写出A 、B 、C 、D 四点的坐标．（2）点E 在坐标轴上，且S △BCE ＝S 四边形ABDC ，求满足条件的点E 的坐标．（3）点P 是线段BD 上的一个动点，连接PC ，PO ，当点P 在线段BD 上移动时（不与B ，D 重合）求：DCP BOPCPO∠+∠∠的值．24．阅读下面资料：小明遇到这样一个问题：如图1，对面积为a 的△ABC 逐次进行以下操作：分别延长AB 、BC 、CA 至A 1、B 1、C1，使得A 1B =2AB ，B 1C =2BC ，C1A =2CA ，顺次连接A 1、B 1、C 1，得到△A 1B 1C 1，记其面积为S 1，求S 1的值.小明是这样思考和解决这个问题的：如图2，连接A 1C 、B 1A 、C 1B ，因为A 1B =2AB ，B 1C =2BC ，C 1A =2CA ，根据等高两三角形的面积比等于底之比，所以11∆∆=A BC B CA S S =11∆∆=A BC C AB S S =2S △ABC =2a ，由此继续推理，从而解决了这个问题.（1）直接写出S 1= （用含字母a 的式子表示）. 请参考小明同学思考问题的方法，解决下列问题：（2）如图3，P 为△ABC 内一点，连接AP 、BP 、CP 并延长分别交边BC 、AC 、AB 于点D 、E 、F ，则把△ABC 分成六个小三角形，其中四个小三角形面积已在图上标明，求△ABC 的面积.（3）如图4，若点P 为△ABC 的边AB 上的中线CF 的中点，求S △APE 与S △BPF 的比值. 25．每年的6月5日为世界环保日，为提倡低碳环保，某公司决定购买10台节省能源的新机器，现有甲、乙两种型号的机器可选，其中每台的价格、产量如下表：经调查：购买一台甲型机器比购买一台乙型机器多12万元，购买2台甲型机器比购买3台乙型机器多6万元．（1）求a 、b 的值；（2）若该公司购买新机器的资金不超过216万元，请问该公司有哪几种购买方案？（3）在（2）的条件下，若公司要求每月的产量不低于1890吨，请你为该公司设计一种最省钱的购买方案．26．已知：用3辆A 型车和2辆B 型车载满货物一次可运货17吨；用2辆A 型车和3辆B 型车载满货物一次可运货l8吨，某物流公刊现有35吨货物，计划同时租用A 型车a 辆，B 型车b 辆，一次运完，且恰好每辆车都载满货物. 根据以上信息，解答下列问题：(1)l 辆A 型车和l 辆B 型车都载满货物一次可分别运货多少吨？ (2)请你帮该物流公司设计租车方案；(3)若A 型车每辆需租金200元／次，B 型车每辆需租金240元／次，请选出最省钱的租车方案，并求出最少租车费． 27．先阅读下面材料，再完成任务：有些关于方程组的问题，欲求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的代数式的值，如以下问题：已知实数x ，y 满足35x y -=，……①，237x y +=，……②，求4x y -和75x y +的值．本题常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得x ，y 的值再代入欲求值的代数式得到答案，常规思路运算量比较大．其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由①－②可得42x y -=-，由①＋②×2可得7519x y +=，这样的解题思想就是通常所说的“整体思想” 解决问题：（1）已知二元一次方程组322233x y x y -=-⎧⎨-=-⎩，则x y -=______，x y +=______；（2）某班级组织活动购买小奖品，买20支铅笔、3块橡皮、2本日记本共需32元，买39支铅笔、5块橡皮、3本日记木共需58元，则购买5支铅笔、5块橡皮、5本日记本共需多少元？（3）对于实数x ，y ，定义新运算：x y ax by c *=++，其中a ，b ，c 是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算．已知3515*=，4728*=，那么11*=______．28．学校将20××年入学的学生按入学年份、年级、班级、班内序号的顺序给每一位学生编号，如2015年入学的8年级3班的46号学生的编号为15080346．张山同学模仿二维码的方式给学生编号设计了一套身份识别系统，在5×5的正方形风格中，黑色正方形表示数字1，白色正方形表示数字0．我们把从上往下数第i 行、从左往右数第j 列表示的数记为a ij ，（其中，i 、j ＝1，2，3，4，5），规定A i ＝16a i 1＋8a i 2＋4a i 3＋2a i 4＋a i 5．（1）若A 1表示入学年份，A 2表示所在年级，A 3表示所在班级，A 4表示编号的十位数字，A 5表示编号的个位数字．①图1是张山同学的身份识别图案，请直接写出张山同学的编号； ②请在图2中画出2018年入学的9年级5班的39号同学的身份识别图案；（2）张山同学又设计了一套信息加密系统，其中A 1表示入学年份加8，A 2表示所在年级的数减6再加上所在班级的数，A 3表示所在年级的数乘2后减3再减所在班级的数，将编号（班内序号）的末两位单列出来，作为一个两位数，个位与十位数字对换后再加2，所得结果的十位数字用A 4表示、个位数字用A 5表示．例如：2018年9年级5班的39号同学，其加密后的身份识别图案中，A 1＝18＋8＝26，A 2＝9－6＋5＝8，A 3＝9×2－3－5＝10，93＋2＝95，所以A 4＝9，A 5＝5，所以其加密后的身份识别（26081095）图案如图3所示．图4是李思同学加密后的身份识别图案，请求出李思同学的编号．29．我区防汛指挥部在一河道的危险地带两岸各安置一探照灯，便于夜间查看江水及两岸河堤的情况．如图1，灯A 光射线自AM 顺时针旋转至AN 便立即逆时针旋转至AM ，如此循环灯B 光射线自BP 顺时针旋转至BQ 便立即逆时针旋转至BP ，如此循环．两灯交叉照射且不间断巡视．若灯A 转动的速度是a 度/秒，灯B 转动的速度是b 度/秒，且a ，b 满足22(4)(5)0a b a b -++-=．若这一带江水两岸河堤相互平行，即//PQ MN ，且60BAN ∠=︒．根据相关信息，解答下列问题．（1）a =__________，b =__________．（2）若灯B 的光射线先转动24秒，灯A 的光射线才开始转动，在灯B 的光射线到达BQ 之前，灯A 转动几秒，两灯的光射线互相平行？（3）如图2，若两灯同时开始转动照射，在灯A 的光射线到达AN 之前，若两灯射出的光射线交于点C ，过点C 作CD AC ⊥交PQ 于点D ，则在转动的过程中，BAC ∠与BCD ∠间的数量关系是否发生变化？若不变，请求出这两角间的数量关系；若改变，请求出各角的取值范围．30．某生态柑橘园现有柑橘21吨，计划租用A ，B 两种型号的货车将柑橘运往外地销售．已知满载时，用2辆A 型车和3辆B 型车一次可运柑橘12吨；用3辆A 型车和4辆B 型车一次可运柑橘17吨．（1）1辆A 型车和1辆B 型车满载时一次分别运柑橘多少吨？（2）若计划租用A 型货车m 辆，B 型货车n 辆，一次运完全部柑橘，且每辆车均为满载．①请帮柑橘园设计租车方案；②若A 型车每辆需租金120元/次，B 型车每辆需租金100元/次．请选出最省钱的租车方案，并求出最少租车费．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】联立不含a 与b 的方程组成方程组，求出方程组的解得到x 与y 的值，进而求出a 与b 的值，代入原式计算即可求出值．【详解】解：根据题意，则5325x y x y +=⎧⎨-=⎩①②，由①×2+②得：11x =11，解得：x =1，把x =1代入①得：5+y =3，解得：y =-2；把x =1，y =-2代入5451ax y x by +=⎧⎨+=⎩，则104521a b -=⎧⎨-=⎩，解得：142a b =⎧⎨=⎩，∴2142210a b -=-⨯=．故选：C ．【点睛】此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程都成立的未知数的值．2．D解析：D 【分析】把x ＝2，y ＝1代入方程ax ﹣y ＝7，得出方程2a ﹣1＝7，再求出方程的解即可得到答案．【详解】∵x ＝2，y ＝1是方程ax ﹣y ＝7的一个解 ∴2a ﹣1＝7 解得：a ＝4，故选：D ．【点睛】本题考查了二元一次方程、一元一次方程的知识；解题的关键是熟练掌握二元一次方程、一元一次方程的性质，从而完成求解．3．C解析：C 【分析】①根据消元法解二元一次方程组，然后将解代入方程x +y =2a +1即可求解；②根据消元法解二元一次方程组，用含有字母的式子表示x 、y ，再根据互为相反数的两个数相加为0即可求解；③根据试值法求二元一次方程x +y =3的自然数解即可得结论．【详解】解：①将a =1代入原方程组，得233x y x y +=⎧⎨-=⎩ 解得30x y =⎧⎨=⎩，将x =3，y =0，a =1代入方程x +y =2a +1的左右两边，左边x +y =3，右边2a +1=3，当a =1时，方程组的解也是x +y =2a +1的解；故①正确；②解原方程组，得2122x a y a =+⎧⎨=-⎩，若x ，y 是互为相反数，则x +y =0，即2a +1+2-2a =0，方程无解．无论a 取何值，x ，y 的值不可能是互为相反数；故②正确； ③∵x +y =2a +1+2-2a =3，∴x 、y 为自然数的解有03x y =⎧⎨=⎩，12x y =⎧⎨=⎩，21x y =⎧⎨=⎩，30x y =⎧⎨=⎩．∴x 、y 为自然数的解有4对，故③正确；故选：C ．【点睛】本题考查了消元法解二元一次方程组，确定二元一次方程的自然数解，解题关键是用含字母的式子表示方程组的解．4．B解析：B 【分析】设买了x 个本子，y 支笔，依题意得：3x ＋5y ＝48，根据本的数量不少于笔的数量，计算出可实行的方案．【详解】解：设买了x 个本子，y 支笔，依题意得：3x ＋5y ＝48 则4853yx -=， ∵x ，y 为正整数，且4853yx -=≥0且48－5y 是3的倍数， ∵本的数量不少于笔的数量，即x ≥ y 即y≤6，当x =6时，y =6；当x =11时，y =3；故选：B ．【点睛】本题考查二元一次方程的应用，解题的关键是熟练掌握正确理解题意，设出未知数，列出等量关系，根据时间情况得出方案．5．C解析：C 【分析】先求出第二个方程组的解为21x y =⎧⎨=⎩，再代入方程组46ax by ax by -=⎧⎨+=⎩得出2426a b a b -=⎧⎨+=⎩，再求出方程组的解即可．【详解】解：解方程组35471x y x y -=⎧⎨-=⎩得：21x y =⎧⎨=⎩，∵方程组46ax by ax by -=⎧⎨+=⎩与方程组35471x y x y -=⎧⎨-=⎩的解相同，∴把21x y =⎧⎨=⎩代入方程组46ax by ax by -=⎧⎨+=⎩得：2426a b a b -=⎧⎨+=⎩，解得：521a b ⎧=⎪⎨⎪=⎩，故选：C 【点睛】本题考查了方程组的解的定义和解二元一次方程组，理解方程组的解的意义并正确解二元一次方程组是解题关键．6．D解析：D 【分析】①将x =4，y =-1代入检验即可做出判断；②将x 和y 分别用a 表示出来，然后求出x +y =3来判断； ③将a =1代入方程组求出方程组的解，代入方程中检验即可； ④有x +y =3得到x 、y 都为自然数的解有4对．【详解】解：①将4,1x y =⎧⎨=-⎩代入34,53,x y a x y a +=-⎧⎨-=⎩，解得3a =；且满足题意，故①正确；②解方程3453x y a x y a +=-⎧⎨-=⎩①② -①②得：8y =4-4a解得：12ay -=，将y 的值代入①得：52a x +=，所以x +y =3，故无论a 取何值，x 、y 的值都不可能互为相反数，故②正确． ③将a =1代入方程组得：3353x y x y +=⎧⎨-=⎩，解此方程得：30x y =⎧⎨=⎩，将x =3，y =0代入方程x +y =3，方程左边=3=右边，是方程的解，故③正确． ④因为x +y =3，所以x 、y 都为自然数的解有30x y =⎧⎨=⎩，21x y =⎧⎨=⎩，12x y =⎧⎨=⎩，03x y =⎧⎨=⎩．故④正确．则正确的选项有①②③④．故选：D ．【点睛】此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值．7．A解析：A 【分析】先求出m ，n 的值，再代入新的二元一次方程组即可得出答案．【详解】解：关于x ，y 的二元一次方程组89mx ny mx ny -=⎧⎨+=⎩的解是79x y =⎧⎨=⎩，2717m ∴⨯=，1714m ∴=， 291n ∴⨯=，118n ∴=，关于a ，b 的二元一次方程组是(5)38(5)39m a b nb m a b nb --=⎧⎨-+=⎩， 61nb ∴=， ∴113b =， 3b ∴=，172(5)1714a b ∴⨯⨯-=， 57a b ∴-=，2a ∴=，∴关于a ，b 的二元一次方程组(5)38(5)39m a b nb m a b nb --=⎧⎨-+=⎩的解为：23a b =⎧⎨=⎩．故选：A ．【点睛】本题考查了解二元一次方程组，本题的解题关键是先求出m ，n 的值，再代入新的二元一次方程组即可得出答案．8．B解析：B【分析】①把a ＝5代入方程组求出解，即可作出判断；②由题意得x +y ＝0，变形后代入方程组求出a 的值，即可作出判断；③若x ＝y ，代入方程组，变形得关于a 的方程，即可作出判断；④根据题中等式得2a ﹣3y ＝7，代入方程组求出a 的值，即可作出判断．【详解】解：①把a ＝5代入方程组得：3510(1)20(2)x y x y -=⎧⎨-=⎩，由（2）得x ＝2y ，将x ＝2y 代入（1）得：y ＝10，将y ＝10代入x ＝2y 得：x ＝20，解得：2010x y =⎧⎨=⎩，故①错误； ②当x ，y 的值互为相反数时，x +y ＝0，即：y ＝﹣x代入方程组得：35225x x a x x a +=⎧⎨+=-⎩，整理，得82(3)35(4)x a x a =⎧⎨=-⎩，由（3）得：14x a =，将14x a =代入（4），得：354a a =-，解得：a ＝20，故②正确；③若x ＝y ，则有225x a x a -=⎧⎨-=-⎩，可得：a ＝a ﹣5，矛盾，∴不存在一个实数a 使得x ＝y ，故③正确；④352(5)25(6)x y a x y a -=⎧⎨-=-⎩，（5）－（6）×3，得：15y a =-，将15y a =-代入（6），得：25x a =-，∴原方程组的解为2515x a y a =-⎧⎨=-⎩， ∵23722a y -=，∴2a ﹣3y ＝7，把y ＝15﹣a 代入得：2a ﹣45+3a ＝7，解得：a ＝525，故④错误； ∴正确的选项有②③两个．故选：B ．【点睛】此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程都成立的未知数的值．本题属于基础题型，难度不大．9．B解析：B【分析】根据题意，方程②的一个解为21x y =⎧⎨=⎩，代入方程②，求得b ；方程①的一个解为54x y =⎧⎨=⎩，代入求得a ，再代入代数式即可求解．【详解】解：根据题意，方程②的一个解为21x y =⎧⎨=⎩，代入方程②，求得=10b方程①的一个解为54x y =⎧⎨=⎩，代入方程①，求得=-1a 将=-1a ，=10b 代入代数式得202020192019202010=(-1)()1121010b a ⎛⎫----=--=- ⎪⎝⎭ 故答案为B ．【点睛】此题主要考查了二元一次方程组的有关知识，解题的关键是通过已知条件列出式子求得a ，b ．10．D解析：D【分析】利用二元一次方程的解及方程组的解定义判断即可．【详解】解：①当0a =时，方程组的解为：32x y =⎧⎨=-⎩，也是方程24x y +=的一个解，符合题意；②关于x ，y 的方程组135x y a x y a +=-+⎧⎨-=+⎩的解为：322x a y a =+⎧⎨=--⎩，当23447x y a a -=+++>时，0a >，符合题意；③不论a 取什么实数，22(3)(22)4x y a a +=++--=的值始终不变，符合题意；④当1a =时，方程组的解为：44x y =⎧⎨=-⎩，则240x y +=，符合题意．所以以上四种说法中正确的有4个．故选：D ．【点睛】本题考查了二元一次方程组的解，解题的关键是掌握方程组的解即为能使方程组中两方程都成立的未知数的值．二、填空题11．【分析】设一对夫妻，丈夫买了x 件商品，妻子买了y 件商品，列出关于x 、y 的二元二次方程，再根据x 、y 都是正整数，且与有相同的奇偶性，即可得出关于x 、y 的二元一次方程组，求出x 、y 的值，再找出符合和解析：c【分析】设一对夫妻，丈夫买了x 件商品，妻子买了y 件商品，列出关于x 、y 的二元二次方程，再根据x 、y 都是正整数，且x y +与x y -有相同的奇偶性，即可得出关于x 、y 的二元一次方程组，求出x 、y 的值，再找出符合9x y -=和7x y -=的情况即可进行解答．【详解】设一对夫妻，丈夫买了x 件商品，则钱数为2x ，妻子买了y 件商品，则钱数为2y ，依题意有x 2-y 2=48，即()()48x y x y +-=，∵x 、y 都是正整数，且x y +与x y -有相同的奇偶性，又∵x y x y +>-，48=24×2=12×4=8×6，∴242x y x y +=⎧⎨-=⎩或124x y x y +=⎧⎨-=⎩或86x y x y +=⎧⎨-=⎩，解得13x =，11y =或8x =，4y =或7x =，1y =，符合9x y -=的只有一种，可见A 买了13件商品，b 买了4件，同时符合7x y -=的也只有一种，可知B 买了8件，a 买了1件，∴C 买了7件，c 买了11件．由此可知三对夫妻的组合是：A 、c ；B 、b ；C 、a ．故答案为：c ．【点睛】本题考查了不定方程组的解及数的奇偶性，根据题意列出关于x 、y 的不定方程是解答此题的关键．12．30【分析】设每框球的总数为k ，甲取了a 次，乙取了b 次，丙取了c 次．根据题意得可列方程k=9a+7=7b+4=5c+2(k ，a ，b ，c 都是正整数)，然后根据整除的性质解答即可．【详解】设每框解析：30【分析】设每框球的总数为k ，甲取了a 次，乙取了b 次，丙取了c 次．根据题意得可列方程k =9a +7=7b +4=5c +2(k ，a ，b ，c 都是正整数)，然后根据整除的性质解答即可．【详解】设每框球的总数为k ，甲取了a 次，乙取了b 次，丙取了c 次．根据题意得：k =9a +7=7b +4=5c +2(k ，a ，b ，c 都是正整数)∴9a +7=5c +2，∴9a =5(c -1)，∴a 是5的倍数．不妨设a =5m (m 为正整数)，∴k =45m +7=7b +4，∴b =4533(1)677m m m ++=+， ∵b 和m 都是正整数，∴m 的最小值为6．∴a =5m =30．故答案为：30．【点睛】本题考查了三元一次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的者方程，会根据整除性进一步设未知数．13．110【详解】设甲取了x 次4个球，取了（16-x ）次（3-k ）个球，乙取了y 次5个球，取了（17-y ）次（5-k ）个球，依题意k=1，2，当k=1时，甲总共取球的个数为4x+2（16-x ）=2解析：110【详解】设甲取了x 次4个球，取了（16-x ）次（3-k ）个球，乙取了y 次5个球，取了（17-y ）次（5-k ）个球，依题意k =1，2，当k =1时，甲总共取球的个数为4x +2（16-x ）=2x +32，乙总共取球的个数为5y +4（17-y ）=y +68，当k =2时，甲总共取球的个数为4x +（16-x ）=3x +16，乙总共取球的个数为5y +3（17-y ）=2y +51，根据最终两人所摸出的球的总个数恰好相等可得：①2x +32=y +68，即y =2x -34，由x ≤16，2≤y ≤17且x 、y 为正整数，不合题意，舍去； ②2x +32=2y +51，即2x +2y =19，因x ≤16，2≤y ≤17且x 、y 为正整数，不合题意，舍去；③3x +16=y +68，即y =3x -52，因x ≤16，2≤y ≤17且x 、y 为正整数，不合题意，舍去； ④3x +16=2y +51，即2353y x += ，因x ≤16，2≤y ≤17且x 、y 为正整数，可得x =13，y =2或x =15，y =5；所以当x =13，y =2，球的个数为3×13+16+2×2+51=110个；当x =15，y =5，球的个数为3×15+16+2×5+51=122个，所以箱子中至少有球110个.【点睛】本题主要考查了二元一次方程的整数解，解题时根据实际情况先确定k 的值，然后表示出甲取得球的数目和乙取得球的数目，根据最终两人所摸出的球的总个数恰好相等列出二元一次方程，求整数解即可，注意分4种情况.14．【分析】先将方程组的解代入方程组得到c1−a1＝2，c2−a2＝2，再将所求方程组用加减消元法求解即可．【详解】解：∵方程组的解是，∴，∴c1−a1＝2，c2−a2＝2，∴可化为，①解析：02x y =⎧⎨=⎩ 【分析】先将方程组的解代入方程组得到c 1−a 1＝2，c 2−a 2＝2，再将所求方程组用加减消元法求解即可．【详解】解：∵方程组1122a x y c a x y c +=⎧⎨+=⎩的解是12x y =⎧⎨=⎩， ∴112222a c a c +=⎧⎨+=⎩， ∴c 1−a 1＝2，c 2−a 2＝2，∴111222a x y c a a x y c a +=-⎧⎨+=-⎩可化为1222a x y a x y +=⎧⎨+=⎩①②， ①−②，得（a 1−a 2）x ＝0，∴x ＝0，将x ＝0代入①中，得y ＝2，∴方程组的解为02x y =⎧⎨=⎩，故答案为02x y =⎧⎨=⎩．【点睛】本题考查二元一次方程组的解，会用加减消元法解方程组，并能灵活将方程组变形是解题的关键．15．3【分析】将x ＝2，y ＝﹣1代入方程2mx+4ny ﹣9＝3即可得到m ﹣n ＝3．【详解】∵x ＝2，y ＝﹣1是方程2mx+4ny ﹣9＝3的一个解，∴4m ﹣4n ﹣9＝3，∴m ﹣n ＝3，故答案解析：3【分析】将x ＝2，y ＝﹣1代入方程2mx +4ny ﹣9＝3即可得到m ﹣n ＝3．【详解】∵x ＝2，y ＝﹣1是方程2mx +4ny ﹣9＝3的一个解，∴4m ﹣4n ﹣9＝3，∴m ﹣n ＝3，故答案为：3【点睛】本题考查二元一次方程的解．方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．熟练掌握定义是解题关键．16．(1，0)【分析】根据向左平移，横坐标减，向上平移，纵坐标加的性质进行分析，通过列二元一次方程组并求解，即可得到答案．【详解】设点P 坐标为（x ，y ）．将点P 向左平移2个单位长度，再解析：(1，0)【分析】根据向左平移，横坐标减，向上平移，纵坐标加的性质进行分析，通过列二元一次方程组并求解，即可得到答案．【详解】设点P 坐标为（x ，y ）．将点P 向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，得：()2,3x y -+∴2133x y -=-⎧⎨+=⎩ ∴10x y =⎧⎨=⎩∴点P 坐标为（1，0）．故答案为：（1，0）．【点睛】本题考查了坐标、平移、二元一次方程组的知识；解题的关键是熟练掌握坐标、平移的性质，从而完成求解．17．2【分析】依据新运算的规定，将2※1＝5，1※(﹣1)＝1转化为二元一次方程，解这两个方程组成的方程组可求出a ，b ，再计算ab ．【详解】解：∵x ※y ＝ax ＋by ，∴2※1＝5可转化为：2a解析：2【分析】依据新运算的规定，将2※1＝5，1※(﹣1)＝1转化为二元一次方程，解这两个方程组成的方程组可求出a ，b ，再计算ab ．【详解】解：∵x ※y ＝ax ＋by ，∴2※1＝5可转化为：2a ＋b ＝5，1※(﹣1)＝1可转化为：a ﹣b ＝1.将这两个方程组成方程组：251a b a b +=⎧⎨-=⎩，解得21a b =⎧⎨=⎩， ∴ab ＝2×1＝2.故答案为：2．【点睛】本题考查了新定义，以及二元一次方程组的解法，根据新定义列出二元一次方程组是解答本题的关键．18．-2【分析】把方程组中的两个方程相减即可得解；【详解】∵，∴①-②得：；故答案是：．【点睛】本题主要考查了解二元一次方程组，准确计算是解题的关键．解析：-2【分析】把方程组中的两个方程相减即可得解；【详解】∵2224a b a b +=⎧⎨+=⎩①②， ∴①-②得：2a b -=-；故答案是：2-．【点睛】本题主要考查了解二元一次方程组，准确计算是解题的关键．19．【分析】将方程整理成关于m的一元一次方程，若无论实数m取何值，此二元一次方程都有一个相同的解，则与m无关，从而令m的系数为0，从而得关于x和y 的二元一次方程组，求解即可．【详解】将（m+1）解析：11 xy=-⎧⎨=⎩【分析】将方程整理成关于m的一元一次方程，若无论实数m取何值，此二元一次方程都有一个相同的解，则与m无关，从而令m的系数为0，从而得关于x和y的二元一次方程组，求解即可．【详解】将（m+1）x+（2m-1）y+2-m=0整理得：mx+x+2my-y+2-m=0，即m（x+2y-1）+x-y+2=0，因为无论实数m取何值，此二元一次方程都有一个相同的解，所以21020x yx y+-=⎧⎨-+=⎩，解得：11xy=-⎧⎨=⎩．故答案为：11xy=-⎧⎨=⎩．【点睛】考查了含参数的二元一次方程有相同解问题，解题关键是利用转化思想．20．2【分析】根据同类项的定义可得关于m、n的二元一次方程组，解方程组求得m、n的值，继而代入代数式即可求解．【详解】∵的运算结果是，∴解得：∴故答案为：2．【点睛】本题考查合并同解析：2【分析】根据同类项的定义可得关于m 、n 的二元一次方程组，解方程组求得m 、n 的值，继而代入代数式即可求解．【详解】∵275222m n n m a b a b +-++的运算结果是573a b ，∴25227m n n m +=⎧⎨-+=⎩解得：13m n =-⎧⎨=⎩ ∴2223m mn n ++()()22213133=⨯-+⨯-⨯+299=-+2=故答案为：2．【点睛】本题考查合并同类项，涉及到解二元一次方程组，解题的关键是根据同类项的定义求得m 、n 的值．三、解答题21．（1）1-；5；（2）购买6支水笔、6块橡皮、6本记事本共需48元；（3）11-．【分析】（1）利用①−②可得x －y 的值，利用()13+①②可得出x +y 的值；（2）设铅笔的单价为m 元，橡皮的单价为n 元，记事本的单价为p 元，根据“买20支水笔、3块橡皮、2本记事本共需35元，买39支水笔、5块橡皮、3本记事本工序62元”，即可得出关于m ，n ，p 的三元一次方程组，由2×①-②可得m n p ++的值，再乘5即可求得结果；（3）根据新运算的定义可得出关于a ，b ，c 的三元一次方程组，由3×①−2×②可得出a b c ++的值，从而可求得结果．【详解】（1）2728x y x y +=⎧⎨+=⎩①② 由①−②可得：x －y ＝－1，由()13⨯+①②可得x +y ＝5 故答案为：1-；5．（2）设水笔的单价为m 元，橡皮的单价为n 元，记事本的单价为p 元，依题意，得：203235395362m n p m n p ++=⎧⎨++=⎩①②，由2⨯-①②可得8m n p ++=，6666848m n p ∴++=⨯=．故购买6支水笔、6块橡皮、6本记事本共需48元．（3）依题意得：35154728a b c a b c ++=⎧⎨++=⎩①② 由3×①−2×②可得：11a b c ++＝－即1*111=－故答案为：11-．【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用及三元一次方程组的应用，解题的关键是：（1）运用“整体思想”求出x -y ，x +y 的值；（2）（3）找出等量关系，正确列出三元一次方程组． 22．（1）−3，4，4；（2）（0，207）或（0，47）；（3）n ＜−5或n ＞−1 【分析】（1）根据非负数的性质构建方程组，求出a 和b ，再根据BC ∥x 轴，可得c 的值；（2）当点D 在直线AB 的下方时，如图1−1中，延长BC 交y 轴于E （0，4），连接AE ．设D （0，m ）．当点D 在直线AB 的上方时，如图1−2中，连接OB ，设D （0，m ）．分别构建方程，可得结论．（3）如图2中，当点N 在点A 的右侧时，连接MN ，OB ，设M （a ，b ），利用面积法求出b 的值，再求出S △BNM ＝S △BCM 时，n 的值，同法求出当点N 在点的左侧时，且S △BNM ＝S △BCM 时，n 的值，结合图象可得结论．【详解】解：（1）∵12100a b a b +-+-+=，又∵1a b +-≥0，|2a −b ＋10|≥0，∴a ＋b −1＝0且2a −b ＋10＝0，∴a ＝−3，b ＝4，∵BC ∥x 轴，∴c ＝4，∴a ＝−3，b ＝4，c ＝4，故答案为：−3，4，4；（2）当点D 在直线AB 的下方时，如图1−1中，延长BC 交y 轴于E （0，4），连接AE ．设D （0，m ）．∵S △ABD ＝S △AED ＋S △BDE −S △ABE ＝S △ABC ，∴12×（4−m ）×3＋12×（4−m ）×4−12×4×4＝12×2×4，。

(word完整版)《二元一次方程组》培优学生版附答案

《二元一次方程组》提升练习（一)填空题(每空2分，共28分):1．已知(a －2）x －by ｜a ｜－1＝5是关于x 、y 的二元一次方程，则a ＝______，b ＝_____．2．若｜2a ＋3b －7|与(2a ＋5b －1)2互为相反数，则a ＝______，b ＝______． 3．二元一次方程3x ＋2y ＝15的正整数解为_______________． 4．2x －3y ＝4x －y ＝5的解为_______________．5．已知⎩⎨⎧==12y x －是方程组⎩⎨⎧=++=-274123ny x y mx 的解，则m 2－n 2的值为_________． 6．若满足方程组⎩⎨⎧=-+=-6)12(423y k kx y x 的x 、y 的值相等，则k ＝_______．7．已知2a ＝3b ＝4c ，且a ＋b －c ＝121,则a ＝_______，b ＝_______，c ＝_______．8．解方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=+634323x z z y y x ,得x ＝______,y ＝______，z ＝______．（二）选择题（每小题2分,共16分）：9．若方程组⎩⎨⎧=++=-10)1(232y k kx y x 的解互为相反数，则k 的值为…………………（）（A)8 （B ）9 （C)10 （D ）1110．若⎩⎨⎧-==20y x ，⎪⎩⎪⎨⎧==311y x 都是关于x 、y 的方程|a |x ＋by ＝6的解，则a ＋b 的值为（）（A ）4 （B ）－10 （C ）4或－10 （D ）－4或1011．关于x ,y 的二元一次方程ax ＋b ＝y 的两个解是⎩⎨⎧-==11y x ，⎩⎨⎧==12y x ，则这个二元一次方程是……………………( )（A ）y ＝2x ＋3 （B ）y ＝2x －3 （C)y ＝2x ＋1 （D ）y ＝－2x ＋1 12．由方程组⎩⎨⎧=+-=+-0432032z y x z y x 可得，x ∶y ∶z 是………………………………（）（A ）1∶2∶1 （B ）1∶（－2）∶（－1) （C ）1∶（－2）∶1 （D ）1∶2∶（－1) 13．如果⎩⎨⎧=-=21y x 是方程组⎩⎨⎧=-=+1cy bx by ax 的解，那么，下列各式中成立的是…（ )（A ）a ＋4c ＝2 （B ）4a ＋c ＝2 （C ）a ＋4c ＋2＝0 （D ）4a ＋c ＋2＝0 14．关于x 、y 的二元一次方程组⎩⎨⎧=+=-2312y mx y x 没有解时,m 的值是…………（ )（A ）－6 (B ）－6 （C ）1 (D ）015．若方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=+52243y bax y x 与⎪⎩⎪⎨⎧=-=-5243y x by x a 有相同的解，则a 、b 的值为（）（A ）2，3 (B ）3，2 （C ）2，－1 （D ）－1，216．若2a ＋5b ＋4z ＝0，3a ＋b －7z ＝0,则a ＋b －c 的值是……………………（）（A ）0 (B ）1 （C)2 （D ）－1（三）解方程组（每小题4分,共16分):17．⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=-+．022325232y x y y x18．⎪⎩⎪⎨⎧⨯=++=-8001005.8%60%10)503(5)150(2y x y x 19．⎪⎩⎪⎨⎧=++-=+--．6)(2)(3152y x y x yx y x 20．⎪⎩⎪⎨⎧=---=+-=+-．441454y x z x z y z y x (四）解答题（每小题5分，共20分）：21．已知⎩⎨⎧=+-=-+0254034z y x z y x ，xyz ≠0，求222223y x z xy x +++的值． 22．甲、乙两人解方程组⎩⎨⎧=+-=-514by ax by x ，甲因看错a ，解得⎩⎨⎧==32y x ,乙将其中一个方程的b 写成了它的相反数，解得⎩⎨⎧-=-=21y x ，求a 、b 的值．23．已知满足方程2 x －3 y ＝m －4与3 x ＋4 y ＝m ＋5的x ，y 也满足方程2x ＋3y ＝3m －8，求m 的值．24．当x ＝1，3，－2时，代数式ax 2＋bx ＋c 的值分别为2，0,20,求：（1）a 、b 、c 的值；（2）当x ＝－2时，ax 2＋bx ＋c 的值．（五）列方程组解应用题（第1题6分,其余各7分，共20分）:25．有一个三位整数，将左边的数字移到右边，则比原来的数小45；又知百位上的数的9倍比由十位上的数与个位上的数组成的两位数小3．求原来的数．26．某人买了4 000元融资券，一种是一年期，年利率为9％，另一种是两年期，年利率是12％，分别在一年和两年到期时取出，共得利息780元．两种融资券各买了多少?27．汽车从A 地开往B 地，如果在原计划时间的前一半时间每小时驶40千米，而后一半时间由每小时行驶50千米，可按时到达．但汽车以每小时40千米的速度行至离AB 中点还差40千米时发生故障,停车半小时后，又以每小时55千米的速度前进，结果仍按时到达B 地．求AB 两地的距离及原计划行驶的时间．《二元一次方程组》提升练习（一）填空题(每空2分，共28分）：1．已知（a －2）x －by ｜a |－1＝5是关于x 、y 的二元一次方程，则a ＝______，b ＝_____．【提示】要满足“二元”“一次"两个条件，必须a －2≠0,且b ≠0，及｜ a ｜－1＝1．【答案】a ＝－2，b ≠0．2．若｜2a ＋3b －7|与（2a ＋5b －1）2互为相反数，则a ＝______，b ＝______．【提示】由“互为相反数”，得|2a ＋3 b －7｜＋(2a ＋5b －1）2＝0，再解方程组⎩⎨⎧=-+=-+01520732b a b a 【答案】a ＝8,b ＝－3．3．二元一次方程3x ＋2y ＝15的正整数解为_______________．【提示】将方程化为y ＝2315x-，由y ＞0、x ＞0易知x 比0大但比5小，且x 、y 均为整数．【答案】⎩⎨⎧==61y x ，⎩⎨⎧==．33y x 4．2x －3y ＝4x －y ＝5的解为_______________．【提示】解方程组⎩⎨⎧=-=-54532y x y x ．【答案】⎩⎨⎧-==．11y x 5．已知⎩⎨⎧==12y x －是方程组⎩⎨⎧=++=-274123ny x y mx 的解，则m 2－n 2的值为_________．【提示】把⎩⎨⎧==12y x －代入方程组，求m ，n 的值．【答案】－438．6．若满足方程组⎩⎨⎧=-+=-6)12(423y k kx y x 的x 、y 的值相等,则k ＝_______．【提示】作y ＝x 的代换，先求出x 、y 的值．【答案】k ＝65．7．已知2a＝3b ＝4c ，且a ＋b －c ＝121,则a ＝_______,b ＝_______，c ＝_______．【提示】即作方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+==121432c b a c b a ，故可设a ＝2 k ，b ＝3 k ，c ＝ 4 k ，代入另一个方程求k的值．【答案】a ＝61，b ＝41，c ＝31．【点评】设“比例系数"是解有关数量比的问题的常用方法．8．解方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=+634323x z z y y x ，得x ＝______，y ＝______，z ＝______．【提示】根据方程组的特征，可将三个方程左、右两边分别相加，得2 x ＋3 y ＋z ＝6,再与3 y ＋z ＝4相减，可得x ．【答案】x ＝1，y ＝31，z ＝3．(二）选择题（每小题2分，共16分）:9．若方程组⎩⎨⎧=++=-10)1(232y k kx y x 的解互为相反数，则k 的值为…………………（）（A ）8 （B ）9 （C ）10 （D)11 【提示】将y ＝－x 代入方程2 x －y ＝3，得x ＝1，y ＝－1，再代入含字母k 的方程求解．【答案】D ．10．若⎩⎨⎧-==20y x ,⎪⎩⎪⎨⎧==311y x 都是关于x 、y 的方程｜a |x ＋by ＝6的解，则a ＋b 的值为（）(A ）4 （B ）－10 （C ）4或－10 (D)－4或10【提示】将x 、y 对应值代入,得关于| a |，b 的方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=-．631||62b a b 【答案】C ．【点评】解有关绝对值的方程,要分类讨论．11．关于x ，y 的二元一次方程ax ＋b ＝y 的两个解是⎩⎨⎧-==11y x ，⎩⎨⎧==12y x ，则这个二元一次方程是……………………（）（A)y ＝2x ＋3 （B ）y ＝2x －3 （C)y ＝2x ＋1 （D ）y ＝－2x ＋1【提示】将x 、y 的两对数值代入ax ＋b ＝y ，求得关于a 、b 的方程组,求得a 、b 再代入已知方程．【答案】B ．【点评】通过列方程组求待定字母系数是常用的解题方法． 12．由方程组⎩⎨⎧=+-=+-0432032z y x z y x 可得，x ∶y ∶z 是………………………………( ）（A)1∶2∶1 （B)1∶(－2）∶(－1）（C ）1∶（－2）∶1 (D ）1∶2∶(－1)【提示】解方程组时,可用一个未知数的代数式表示另外两个未知数,再根据比例的性质求解．【答案】A ．【点评】当方程组未知数的个数多于方程的个数时,把其中一个未知数看作已知常数来解方程组，是可行的方法．13．如果⎩⎨⎧=-=21y x 是方程组⎩⎨⎧=-=+10cy bx by ax 的解，那么，下列各式中成立的是…（）(A)a ＋4c ＝2 （B)4a ＋c ＝2 (C)a ＋4c ＋2＝0 (D ）4a ＋c ＋2＝0【提示】将⎩⎨⎧=-=21y x 代入方程组，消去b ，可得关于a 、c 的等式．【答案】C ．14．关于x 、y 的二元一次方程组⎩⎨⎧=+=-2312y mx y x 没有解时，m 的值是…………（ )（A ）－6 (B ）－6 （C ）1 (D ）0【提示】只要满足m ∶2＝3∶(－1）的条件，求m 的值．【答案】B ．【点评】对于方程组⎩⎨⎧=+=+222111c y b x a c y b x a ,仅当21a a ＝21b b ≠21c c时方程组无解．15．若方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=+52243y bax y x 与⎪⎩⎪⎨⎧=-=-5243y x by x a 有相同的解，则a 、b 的值为（）（A ）2，3 （B)3，2 (C ）2，－1 (D ）－1，2【提示】由题意，有“相同的解”，可得方程组⎩⎨⎧=-=+52243y x y x ，解之并代入方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=-4352by x a y b ax ，求a 、b ．【答案】B ．【点评】对方程组“解”的含义的正确理解是建立可解方程组的关键．16．若2a ＋5b ＋4z ＝0，3a ＋b －7z ＝0，则a ＋b －c 的值是……………………( ）（A ）0 (B)1 （C)2 (D)－1【提示】把c 看作已知数，解方程组⎩⎨⎧=-+=++0730452c b a c b a 用关于c 的代数式表示a 、b ，再代入a＋b －c ．【答案】A ．【点评】本题还可采用整体代换(即把a ＋b －c 看作一个整体)的求解方法．（三)解方程组（每小题4分，共16分）:17．⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=-+．022325232y x y y x【提示】将方程组化为一般形式，再求解．【答案】⎪⎩⎪⎨⎧-==．232y x18．⎪⎩⎪⎨⎧⨯=++=-8001005.8%60%10)503(5)150(2y x y x 【提示】将方程组化为整系数方程的一般形式，再用加减法消元．【答案】⎩⎨⎧==．30500y x19．⎪⎩⎪⎨⎧=++-=+--．6)(2)(3152y x y x yx y x【提示】用换元法，设x －y ＝A ，x ＋y ＝B ，解关于A 、B 的方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=-623152B A B A ,进而求得x ，y ．【答案】⎩⎨⎧-==．11y x 20．⎪⎩⎪⎨⎧=---=+-=+-．441454y x z x z y z y x 【提示】将三个方程左，右两边分别相加,得4x －4y ＋4z ＝8，故 x －y ＋z ＝2 ④,把④分别与第一、二个方程联立，然后用加、减消元法即可求得x 、z 的值．【答案】⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-==．15451z y x (四）解答题（每小题5分，共20分）：21．已知⎩⎨⎧=+-=-+0254034z y x z y x ，xyz ≠0，求222223y x z xy x +++的值．【提示】把z 看作已知数,用z 的代数式表示x 、y ，可求得x ∶y ∶z ＝1∶2∶3．设x ＝k ，y ＝2 k ，z ＝3 k ，代入代数式．【答案】516．【点评】本题考查了方程组解法的灵活运用及比例的性质．若采用分别消去三个元可得方程21 y －14 z ＝0,21 x －7 z ＝0，14 x －7 y ＝0，仍不能由此求得x 、y 、z 的确定解，因为这三个方程不是互相独立的． 22．甲、乙两人解方程组⎩⎨⎧=+-=-514by ax by x ，甲因看错a ，解得⎩⎨⎧==32y x ，乙将其中一个方程的b 写成了它的相反数,解得⎩⎨⎧-=-=21y x ，求a 、b 的值．【提示】可从题意的反面入手，即没看错什么入手．如甲看错a ，即没看错b ，所求得的解应满足4 x －by ＝－1;而乙写错了一个方程中的b ,则要分析才能确定,经判断是将第二方程中的b 写错．【答案】a ＝1，b ＝3．23．已知满足方程2 x －3 y ＝m －4与3 x ＋4 y ＝m ＋5的x ，y 也满足方程2x ＋3y ＝3m －8，求m 的值．【提示】由题意可先解方程组⎩⎨⎧-=+-=-8332432m y x m y x 用m 的代数式表示x ，y再代入3 x ＋4 y ＝m ＋5．【答案】m ＝5．24．当x ＝1，3,－2时，代数式ax 2＋bx ＋c 的值分别为2，0，20，求：（1)a 、b 、c 的值；（2）当x ＝－2时，ax 2＋bx ＋c 的值．【提示】由题得关于a 、b 、c 的三元一次方程组，求出a 、b 、c 再代入这个代数式．【答案】a ＝1，b ＝－5，c ＝6；20．【点评】本例若不设第一问，原则上也应在求出a 、b 、c 后先写出这个代数式，再利用它求值．用待定系数法求a 、b 、c ,是解这类问题常用的方法．（五）列方程组解应用题（第1题6分，其余各7分，共20分）:25．有一个三位整数,将左边的数字移到右边，则比原来的数小45；又知百位上的数的9倍比由十位上的数与个位上的数组成的两位数小3．求原来的数．【提示】设百位上的数为x ，由十位上的数与个位上的数组成的两位数为y ，根据题意,得⎩⎨⎧=++=-+．y x xy y x 391045100 【答案】x ＝4,y ＝39，三位数是439．【点评】本例分别设十位上的数和个位上的数为不同的未知数,无论从列方程组还是解方程组都更加简捷易行． 26．某人买了4 000元融资券,一种是一年期，年利率为9％,另一种是两年期,年利率是12%,分别在一年和两年到期时取出，共得利息780元．两种融资券各买了多少? 【提示】若设一年期、二年期的融资券各买x 元，y 元，由题意，得⎪⎩⎪⎨⎧=⋅+=+78010012210090004y x y x 【答案】x ＝1 200，y ＝2 800．【点评】本题列方程组时，易将二年期的融资券的利息误认为是10012y 元，应弄清题设给出的是年利率,故几年到期的利息应该乘几．27．汽车从A 地开往B 地，如果在原计划时间的前一半时间每小时驶40千米，而后一半时间由每小时行驶50千米，可按时到达．但汽车以每小时40千米的速度行至离AB 中点还差40千米时发生故障，停车半小时后，又以每小时55千米的速度前进，结果仍按时到达B 地．求AB 两地的距离及原计划行驶的时间．【提示】设原计划用x 小时，AB 两地距离的一半为y 千米，根据题意,得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=++-=⋅+⋅21554040402250240x y y y x x 【答案】x ＝8，2y ＝360．【点评】与本例中设AB 两地距离的一半为y 千米一样，也可设原计划的一半时间为x 小时．恰当地设未知数，可以使列方程组和解方程组都更加简便．。

《二元一次方程组》培优训练(含答案)

期末复习：《二元一次方程组》培优训练一．选择题1．方程组的解是（）A．B．C．D．2．若二元一次方程组的解为则a+b的值为（）A．0 B．1 C．2 D．44．某宾馆有单人间、双人间和三人间三种客房供游客租住，某旅行团有18人准备同时租用这三种客房共9间，且每个房间都住满，则租房方案共有（）种．A．3 B．4 C．5 D．65．我们知道方程组：的解是，则方程组的解是（）A．B．C．D．6．为了丰富学生课外小组活动，培养学生动手操作能力，王老师让学生把7m长的彩绳截成2m或1m的彩绳，用来做手工编织，在不造成浪费的前提下，你有几种不同的截法（）A．1 B．2 C．3 D．47．如果关于x，y的二元一次方程组的解为，则方程组的解为（）A．B．C．D．8．关于x，y的方程组的解满足x＝y，则k的值是（）A．﹣1 B．0 C．1 D．2二．填空题11．若a+2b＝8，3a+4b＝18，则a+b的值为．12．一张试卷只有25道选择题，答对一题得4分，答错倒扣1分，某学生解答了全部试题共得70分，他答对了道题．13．用1块A型钢板可制成4件甲种产品和1件乙种产品；用1块B型钢板可制成3件甲种产品和2件乙种产品；要生产甲种产品37件，乙种产品18件，则恰好需用A、B两种型号的钢板共块．14．若二元一次方程组的解为，则m+n＝15．有大小两种货车，1辆大货车与3辆小货车额定载重量的总和为23吨，2辆大货车与5辆小货车额定载重量的总和为41吨.1辆大货车、1辆小货车的额定载重量分别为多少吨？设1辆大货车的额定载重量为x吨，1辆小货车的额定载重量为y吨，依题意，可以列方程组为．三．解答题18．解方程（1）（2）19．对于实数a、b，定义关于“⊗”的一种运算：a⊗b＝2a+b，例如3⊗4＝2×3+4＝10．（1）求4⊗（﹣3）的值；（2）若x⊗（﹣y）＝2，（2y）⊗x＝﹣1，求x+y的值．21．某厂准备生产甲、乙两种商品销往“一带一路”沿线国家和地区．已知2件甲种商品与3件乙种商品的销售收入相同，3件甲种商品比2件乙种商品的销售收入多1500元．求甲种商品与乙种商品的销售单价各是多少元？22．已知甲种物品毎个重4kg，乙种物品毎个重7kg，现有甲种物品x个，乙种物品y个，共重76kg．（1）列出关于x，y的二元一次方程；（2）若x＝12，则y＝．（3）若乙种物品有8个，则甲种物品有个．24．阅读理解：小聪在解方程组时，发现方程组中①和②之间存在一定的关系，他发现了一种“整体代换”法，具体解法如下：解：将方程②变形为：4x+10y+y＝5即2（2x+5y）+y＝5③把方程①代入方程③得：2×3+y＝5解得y＝﹣1把y＝﹣1代入方程①得x＝4∴方程组的解是（1）模仿小聪的解法，解方程组（2）已知x，y满足方程组，解答：（ⅰ）求x2+4y2的值；（ⅱ）求3xy的值．参考答案一．选择题1．解：，①+②得，x＝2，把x＝2代入①得，6+2y＝7，解得，故原方程组的解为：．故选：D．2．解：把代入方程组得：，解得：，则a+b＝2，故选：C．3．解：设小长方形的长为x，宽为y，如图可知，．故选：A．4．解：设宾馆有客房：单人间x间、二人间y间、三人间z间，根据题意可得，，解得：y+2z＝9，y＝9﹣2z，∵x，y，z都是小于9的正整数，当z＝1时，y＝7，x＝1；当z＝2时，y＝5，x＝2；当z＝3时，y＝3，x＝3当z＝4时，y＝1，x＝4当z＝5时，y＝﹣1（不合题意，舍去）∴租房方案有4种．故选：B．5．解：∵方程组：的解是，∴由方程组可得，解得．故选：C．6．解：设截成2m的彩绳x根，截成1m的彩绳y根，依题意，得：2x+y＝7，∴y＝7﹣2x．又∵x，y均为非零整数，∴或或或，∴共有4种不同的截法．故选：D．7．解：由方程组得，根据题意知，即，故选：C．8．解：解方程组得：，∵x＝y，∴＝+1，解得：k＝0．故选：B．9．解：设雉有x只，兔有y只，依题意，得：，解得：．故选：A．10．解：如图，图中的鞋子为x只，小猪玩具为y只，字母玩具为z只，依题意得：，解得，故x+yz＝5+5×2＝15．故选：B．二．填空题（共7小题）11．解：∵a+2b＝8，3a+4b＝18，则a＝8﹣2b，代入3a+4b＝18，解得：b＝3，则a＝2，故a+b＝5．故答案为：5．12．解：设他做对了x道题，则他做错了（25﹣x）道题，根据题意得：4x﹣（25﹣x）＝70，解得：x＝19．故答案为：19．13．解：设需用A型钢板x块，B型钢板y块，依题意，得：，（①+②）÷5，得：x+y＝11．故答案为：11．14．解：①+②得：5x+5y＝10∴x+y＝2方程组的解为，∴m+n＝x+y＝2．故答案为：2．15．解：由题意可得，，故答案为：．16．解：∵关于x、y的二元一次方程组的解是，∴关于a．b的二元一次方程组满足，解得．故关于a．b的二元一次方程组的解是．故答案为：．17．解：设笼中有x只雉，y只兔，根据题得，①，解得，不符合题；②，此方程组无整数解，不符合题意；③，解得，符合题意；④，解得，符合题意；故答案为：③④．三．解答题（共7小题）18．解：（1），把①代入②得：3x+10﹣4x＝4，解得：x＝6，把x＝6代入①得：y＝﹣7，则方程组的解为；（2）方程组整理得：，把②代入①得：3x+2x+6＝11，解得：x＝1，把x＝1代入①得：y＝2，则方程组的解为．19．解：（1）根据题中的新定义得：原式＝8﹣3＝5；（2）根据题中的新定义化简得：，①+②得：3x+3y＝1，则x+y＝．20．解：设合伙人为x人，羊价为y钱，依题意，得：，∴甲同学列的方程组正确，解该方程组，得：．答：合伙人为21人，羊价为150钱．21．解：设甲种商品的销售单价为x元/件，乙种商品的销售单价为y元/件，依题意，得：，解得：．答：甲种商品的销售单价为900元/件，乙种商品的销售单价为600元/件．22．解：（1）由题意知4x+7y＝76；（2）当x＝12时，48+7y＝76，解得y＝4，故答案为：4；（3）当y＝8时，4x+56＝76，解得：x＝5，即甲种物品有5个，故答案为：5．23．解：（1）4+3＝7（张），1+2＝3（张）．故答案为：7；3．（2）设可加工的竖式容器x个，横式容器y个，依题意，得：，解得：．答：可加工的竖式容器100个，横式容器539个．（3）设做长方形铁片的铁板为m块，做正方形铁片的铁板为n块，依题意，得：，解得：．∵在这35块铁板中，25块做长方形铁片可做25×3＝75（张），9块做正方形铁片可做9×4＝36（张），剩下1块可裁出1张长方形铁片和2张正方形铁片，∴共做长方形铁片75+1＝76（张），正方形铁片36+2＝38（张），∴可做铁盒76÷4＝19（个）．答：最多可以加工成19个铁盒24．解：（1）把方程②变形：3（3x﹣2y）+2y＝19 ③把①代入③得：15﹣2y＝19，得y＝2把y＝2代入①得x＝3则方程组的解为（2）（ⅰ）由①得：3（x2+4y2）＝47+2xy，即x2+4y2＝③②式整理得2（x2+4y2）+xy＝36 ④将③代入④得解得xy＝2将xy＝2代入③得x2+4y2＝17（ⅱ）由（ⅰ）知xy＝2，则3xy＝6。

二元一次方程组培优竞赛测试题(2)

二元一次方程组测试题姓名: 得分:一、选择题（每小题3分，共30分）：1、若二元一次方程组⎩⎨⎧=---=-043,1y nx y mx 的解中，y ＝0，则m ∶n 等于( )．(A)3∶4(B)－3∶4(C)－1∶4(D)－1∶122、已知x ＝3t ＋1，y ＝2t －1，用含x 的式子表示y ，其结果是( )．(A)31-=x y (B)21+=y x (C)352-=x y(D)312--=x y3、方程1132=+++--y x y x 的整数解的个数是( )． A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个4、方程组0ax by mx ny +=⎧⎨+=⎩有不等于零的解的条件是（）（A ） 0a ≠ （B ）0b ≠ （C ）am ＝bn （D ）an ＝bm5、已知方程组 ||10||12x x y y x y ++=⎧⎨+-=⎩，则x+y 的值为（）（A ）185 （B ）195 （C ）4 （D ）2156、已知：一等腰三角形的两边长x y 、满足方程组23328x y x y -=⎧⎨+=⎩，，则此等腰三角形的周长为( )A.5B.4C.3D.5或47、小龙和小刚两人玩“打弹珠”游戏，小龙对小刚说：“把你珠子的一半给我，我就有10颗珠子”.小刚却说：“只要把你的31给我，我就有10颗”，如果设小刚的弹珠数为x 颗，小龙的弹珠数为y 颗，则列出的方程组是（）A ．⎩⎨⎧=+=+303202y x y xB ．⎩⎨⎧=+=+103102y x y xC ．⎩⎨⎧=+=+103202y x y xD ．⎩⎨⎧=+=+303102y x y x8、如果⎩⎨⎧=-=21y x 是方程组⎩⎨⎧=-=+10cy bx by ax 的解，那么，下列各式中成立的是…（）（A ）a ＋4c ＝2 （B ）4a ＋c ＝2 （C ）a ＋4c ＋2＝0 （D ）4a ＋c ＋2＝09、若方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=+52243y bax y x 与⎪⎩⎪⎨⎧=-=-5243y x by x a 有相同的解，则a 、b 的值为（）（A ）2，3 （B ）3，2 （C ）2，－1 （D ）－1，210、若2a ＋5b ＋4z ＝0，3a ＋b －7z ＝0，则a ＋b －c 的值是（）（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）－1 选择题答题卡二、填空题（每小题3分，共15分）11、已知(k －2)x｜k ｜－1－2y ＝1，则k ______ 时，它是二元一次方程；k ＝______ 时，它是一元一次方程．12、已知m 为正整数，二元一次方程组210320mx y x y +=⎧⎨-=⎩有整数解，即x 、y 均为整数，则2m =______.13、如图是由9个等边三角形拼成的六边形，若已知中间的小等边三角形的边长是1，则六边形的周长是_________．14、某种商品价格为每件３３元，某人身边只带有２元和５元两种面值的人民币各若干张，买了一件这种商品. 若无需找零钱，则他的付款方式有____ 种（指付出２元和５元钱的张数）；付款方式付出的张数最少的是 ____ 张。

(完整版)初一数学下册二元一次方程组试卷(含答案) 培优试题

一、选择题1．已知方程组5354x yax y+=⎧⎨+=⎩和2551x yx by-=⎧⎨+=⎩有相同的解，则2a b-的值为（）A．15B．14C．10D．82．已知关于x，y的方程组451x yax by-=-⎧⎨+=-⎩和393418x yax by+=-⎧⎨+=⎩有相同的解，那么a b+的算术平方根是（）A．0 B．2±C．2D．2 3．下列方程组中，是二元一次方程组的是（）A．2xy=⎧⎨=⎩B．28x yy z+=⎧⎨+=⎩C．21xyy=⎧⎨=⎩D．2103xx y⎧-=⎨+=⎩4．已知方程组321x y nx y n+=⎧⎨+=+⎩，若x，y的值相等，则n=（）A．1-B．4-C．2 D．2-5．已知x＝2，y＝1是方程ax﹣y＝7的一个解，那么a的值为（）A．﹣2 B．2 C．3 D．46．如图，周长为34的矩形ABCD被分成7个全等的矩形，则矩形ABCD的面积为（）A．60 B．52 C．70 D．667．已知方程组46ax byax by-=⎧⎨+=⎩与方程组35471x yx y-=⎧⎨-=⎩的解相同，则a，b的值分别为（）A．521ab⎧=-⎪⎨⎪=⎩B．521ab⎧=⎪⎨⎪=-⎩C．521ab⎧=⎪⎨⎪=⎩D．521ab⎧=-⎪⎨⎪=-⎩8．若关于x、y的方程组2335x yax by+=⎧⎨-=-⎩和32111x ybx ay-=⎧⎨-=⎩有相同的解，则2021()a b+的值为（）A．1-B．0 C．1 D．20219．利用两块完全一样的长方体木块测量一张桌子的高度，首先按图①所示的方式放置，再交换两木块的位置，按图②所示的方式放置．测量的数据如图，则桌子的高度等于（）A．60cm B．65cm C．70cm D．75cm10．已知11xy=⎧⎨=-⎩是二元一次方程组2123ax byax by+=⎧⎨-=⎩的解，则3a b-的值为（）A．－2 B．2 C．－4 D．4二、填空题11．为了改善城市绿化，南川区政府决定圈出一块地打造一片花园，花园中种植牡丹花、樱花、梅花供市民欣赏，经过一段时间，花园中已种植的牡丹花、樱花、梅花的面积之比为5：4：6，根据市民喜爱程度，将在花园余下空地继续种植这三种花，经过测算，需将余下空地面积的815种植梅花，则梅花种植的总面积将达到这三种花种植总面积的2345，为了使牡丹花种植总面积与樱花种植总面积之比达到4：5，则花园内种植樱花的总面积与种植梅花的总面积之比 ________．12．小红买了80分、120分的两种邮票，共花掉16元钱（两种邮票都买），则购买方案共有种．13．商场购进A、B、C 三种商品各100件、112件、60 件，分别按照25%、40%、60%的利润进行标价,其中商品C的标价为80元,为了促销,商场举行优惠活动:如果同时购买A、B 商品各两件,就免费获赠三件C商品.这个优惠活动实际上相当于这七件商品一起打了七五折.那么，商场购进这三种商品一共花了______元．.14．三位先生A、B、C带着他们的妻子a、b、c到超市购物，至于谁是谁的妻子现在只能从下列条件来推测：他们6人，每人花在买商品的钱数（单位：元）正好等于商品数量的平方，而且每位先生都比自己的妻子多花48元钱，又知先生A比b多买9件商品，先生B 比a多买7件商品．则先生A的妻子是__________．15．在“实践与探究”的数学活动中，让一组和二组分别用8个一样大小的长方形纸片进行拼图．一组拼成一个如图1所示的大长方形：二组拼成一个如图2所示的正方形，但中间留下一个边长为3cm的小正方形，据此计算出每个小长方形的面积是______2cm16．若关于x 、y 的二元一次方程组111222,a x b y c a x b y c +=⎧⎨+=⎩的解为3,2x y =⎧⎨=⎩，则关于x 、y 的二元一次方程组111222(1)2,(1)2a x b y c a x b y c ++=⎧⎨++=⎩的解为________．17．已知x ＝4，y ＝1和x ＝2，y ＝﹣1都是方程mx +ny ＝6的解，则m +n 的值为 ___． 18．某地下停车场有5个出入口，每天早晨6点开始对外停车且此时车位空置率为75%，在每个出入口的车辆数均是匀速出入的情况下，如果开放2个进口和3个出口，8小时车库恰好停满；如果开放3个进口和2个出口，2小时车库恰好停满．今年元旦节，由于商场人数增多，早晨6点时的车位空置率变为60%，又因为车库改造，只能开放2个进口和1个出口，则从早晨6点开始经过__________小时车库恰好停满．19．已知关于x ，y 的二元一次方程()()12120m x my m +++=﹣﹣，无论实数m 取何值，此二元一次方程都有一个相同的解，则这个相同的解是______． 20．某出租车起步价所包含的路程为02km ，超过2km 的部分按每千米另收费．小江乘坐这种出租车走了7km ，付了16元；小北乘坐这种出租车走了13km ，付了28元．设这种出租车的起步价为x 元，超过2km 后每千米收费y 元．根据题意，可列方程组为_________．三、解答题21．在平面直角坐标系中，若点P （x ，y ）的坐标满足x ﹣2y +3＝0，则我们称点P 为“健康点”：若点Q （x ，y ）的坐标满足x +y ﹣6＝0，则我们称点Q 为“快乐点”．（1）若点A 既是“健康点”又是“快乐点”，则点A 的坐标为；（2）在（1）的条件下，若B 是x 轴上的“健康点”，C 是y 轴上的“快乐点”，求△ABC 的面积；（3）在（2）的条件下，若P 为x 轴上一点，且△BPC 与△ABC 面积相等，直接写出点P 的坐标．22．如果3个数位相同的自然数m ，n ，k 满足：m +n ＝k ，且k 各数位上的数字全部相同，则称数m 和数n 是一对“黄金搭档数”．例如：因为25，63，88都是两位数，且25+63＝88，则25和63是一对“黄金搭档数”．再如：因为152，514，666都是三位数，且152+514＝666，则152和514是一对“黄金搭档数”．（1）分别判断87和12，62和49是否是一对“黄金搭档数”，并说明理由；（2）已知两位数s和两位数t的十位数字相同，若s和t是一对“黄金搭档数”，并且s与t 的和能被7整除，求出满足题意的s．23．阅读下列文字，请仔细体会其中的数学思想．（1）解方程组321327x yx y-=-⎧⎨+=⎩，我们利用加减消元法，很快可以求得此方程组的解为；（2）如何解方程组()()()()3523135237m nm n⎧+-+=-⎪⎨+++=⎪⎩呢？我们可以把m+5，n+3看成一个整体，设m+5＝x，n+3＝y，很快可以求出原方程组的解为；（3）由此请你解决下列问题：若关于m，n的方程组722am bnm bn+=⎧⎨-=-⎩与351m nam bn+=⎧⎨-=-⎩有相同的解，求a、b的值．24．如图，已知∠a和β∠的度数满足方程组223080αββα︒︒⎧∠+∠=⎨∠-∠=⎩，且CD//EF,AC AE⊥.(1)分别求∠a和β∠的度数；(2)请判断AB与CD的位置关系，并说明理由；(3)求C∠的度数．25．（1）阅读下列材料并填空：对于二元一次方程组4354{336x yx y+=+=，我们可以将x，y的系数和相应的常数项排成一个数表4354 () 1336，求得的一次方程组的解{x ay b==，用数表可表示为10)01ab（．用数表可以简化表达解一次方程组的过程如下，请补全其中的空白：从而得到该方程组的解为x=，y=．（2）仿照（1）中数表的书写格式写出解方程组236{2x yx y+=+=的过程．26．某工厂接受了20天内生产1200台GH型电子产品的总任务．已知每台GH型产品由4个G型装置和3个H型装置配套组成．工厂现有80名工人，每个工人每天能加工6个G 型装置或3个H型装置．工厂将所有工人分成两组同时开始加工，每组分别加工一种装置，并要求每天加工的G、H型装置数量正好全部配套组成GH型产品．（1）按照这样的生产方式，工厂每天能配套组成多少套GH型电子产品？请列出二元一次方程组解答此问题．（2）为了在规定期限内完成总任务，工厂决定补充一些新工人，这些新工人只能独立进行G型装置的加工，且每人每天只能加工4个G型装置．设原来每天安排x名工人生产G型装置，后来补充m名新工人，求x的值（用含m的代数式表示）27．一列快车长70米，慢车长80米，若两车同向而行，快车从追上慢车到完全离开慢车，所用时间为20秒．若两车相向而行，则两车从相遇到离开时间为4秒，求两车每秒钟各行多少米？28．我国传统数学名著《九章算术》记载：“今有牛五、羊二，直金十九两；牛二、羊五，直金十六两．问牛、羊各直金几何？”译文：“假设有5头牛、2只羊，值19两银子；2头牛、5只羊，值16两银子．问每头牛、每只羊分别值银子多少两？”根据以上译文，提出以下两个问题：（1）求每头牛、每只羊各值多少两银子？（2）若某商人准备用20两银子买牛和羊（要求既有牛也有羊，且银两须全部用完），请问商人有几种购买方法？列出所有的可能．29．题目：满足方程组3512332x y kx y k+=+⎧⎨+=-⎩的x与y的值的和是2，求k的值．按照常规方法，顺着题目思路解关于x，y的二元一次方程组，分别求出xy的值（含有字母k），再由x＋y＝2，构造关于k的方程求解，从而得出k值．（1）某数学兴趣小组对本题的解法又进行了探究利用整体思想，对于方程组中每个方程变形得到“x＋y”这个整体，或者对方程组的两个方程进行加减变形得到“x＋y”整体值，从而求出k值请你运用这种整体思想的方法，完成题目的解答过程．（2）小勇同学的解答是：观察方程①，令3x＝k，5y＝1解得y ＝15，3x ＋y ＝2，∴x ＝95∴k ＝3×95＝275把x ＝95，y ＝15代入方程②得k ＝﹣35所以k 的值为275或﹣35．请诊断分析并评价“小勇同学的解答”．30．数学活动课上，小新和小葵各自拿着不同的长方形纸片在做数学问题探究．（1）小新经过测量和计算得到长方形纸片的长宽之比为3：2，面积为30，请求出该长方形纸片的长和宽；（2）小葵在长方形内画出边长为a ，b 的两个正方形（如图所示），其中小正方形的一条边在大正方形的一条边上，她经过测量和计算得到长方形纸片的周长为50，阴影部分两个长方形的周长之和为30，由此她判断大正方形的面积为100，间小葵的判断正确吗？请说明理由．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】联立不含a 与b 的方程组成方程组，求出方程组的解得到x 与y 的值，进而求出a 与b 的值，代入原式计算即可求出值．【详解】解：根据题意，则5325x y x y +=⎧⎨-=⎩①②，由①×2+②得：11x =11，解得：x =1，把x =1代入①得：5+y =3，解得：y =-2；把x =1，y =-2代入5451ax y x by +=⎧⎨+=⎩，则104521a b -=⎧⎨-=⎩，解得：142a b =⎧⎨=⎩，∴2142210a b -=-⨯=．故选：C ．【点睛】此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程都成立的未知数的值．2．C解析：C 【分析】根据求解二元一次方程组求出a ，b ，求出a b +计算即可；【详解】解：由题意可知：4539x y x y -=-⎧⎨+=-⎩和13418ax by ax by +=-⎧⎨+=⎩有相同的解，在4539x y x y -=-⎧⎨+=-⎩①②中， ①+②得：2x =-，将2x =-代入①得：3y =-，∴方程组的解为23x y =-⎧⎨=-⎩，在13418ax by ax by +=-⎧⎨+=⎩①②中， ①×3得：333ax by +=-③， ②－③得：21by =， ∴7b =-， ∴11a =， ∴4a b +=， ∴2=，∴故选：C ．【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的求解、算术平方根的计算，准确计算是解题的关键．3．A解析：A 【分析】组成二元一次方程组的两个方程应共含有两个未知数，且未知数的项最高次数都应是一次的整式方程，据此逐一判断即可得答案．【详解】A 、符合二元一次方程组的定义，故本选项正确；B 、本方程组中含有3个未知数，故本选项错误；C 、第一个方程式的xy 是二次的，故本选项错误；D 、x 2是二次的，故本选项错误．故选：A ．【点睛】本题考查的是二元一次方程组的定义，掌握定义判断方程组是否是二元一次方程组是解题的关键.4．B解析：B 【分析】先根据方程组中x 、y 相等用y 表示出x 把原方程组化为关于y 、n 的二元一次方程组，再用n 表示出y 的值，代入方程组中另一方程求出n 的值即可．【详解】解：∵方程组321x y nx y n +=⎧⎨+=+⎩中的x ，y 相等，∴原方程组可化为：4?31?y n y n =⎧⎨=+⎩①②，由①得，4n y =，代入②得，314nn =+，解得n =-4，故选择：B ．【点睛】本题考查的是解二元一次方程组，熟知解二元一次方程组的代入消元法是解答此题的关键．5．D解析：D 【分析】把x ＝2，y ＝1代入方程ax ﹣y ＝7，得出方程2a ﹣1＝7，再求出方程的解即可得到答案．【详解】∵x ＝2，y ＝1是方程ax ﹣y ＝7的一个解 ∴2a ﹣1＝7 解得：a ＝4，故选：D ．【点睛】本题考查了二元一次方程、一元一次方程的知识；解题的关键是熟练掌握二元一次方程、一元一次方程的性质，从而完成求解．6．C解析：C 【分析】设小长方形的长、宽分别为x 、y ，根据周长为34的矩形ABCD ，可以列出方程3x ＋y ＝17；根据图示可以列出方程2x ＝5y ，联立两个方程组成方程组，解方程组就可以求出矩形ABCD 的面积．【详解】解：设小长方形的长、宽分别为x 、y ，依题意得： 25317x yx y =⎧⎨+=⎩ ，解得：52x y =⎧⎨=⎩，则矩形ABCD 的面积为7×2×5＝70．故选：C ．【点睛】考查了二元一次方程组的应用，此题是一个信息题目，首先会根据图示找到所需要的数量关系，然后利用这些关系列出方程组解决问题．7．C解析：C 【分析】先求出第二个方程组的解为21x y =⎧⎨=⎩，再代入方程组46ax by ax by -=⎧⎨+=⎩得出2426a b a b -=⎧⎨+=⎩，再求出方程组的解即可．【详解】解：解方程组35471x y x y -=⎧⎨-=⎩得：21x y =⎧⎨=⎩，∵方程组46ax by ax by -=⎧⎨+=⎩与方程组35471x y x y -=⎧⎨-=⎩的解相同，∴把21x y =⎧⎨=⎩代入方程组46ax by ax by -=⎧⎨+=⎩得：2426a b a b -=⎧⎨+=⎩，解得：521a b ⎧=⎪⎨⎪=⎩，故选：C 【点睛】本题考查了方程组的解的定义和解二元一次方程组，理解方程组的解的意义并正确解二元一次方程组是解题关键．8．A解析：A 【分析】将方程组中不含,a b 的两个方程联立，求得,x y 的值，代入，含有,a b 的两个方程中联立求得,a b 的值，再代入代数式中求解即可．【详解】根据题意2333211x y x y +=⎧⎨-=⎩①②①⨯2+②⨯3得：3x = 将3x =代入①得：1y =-将31x y =⎧⎨=-⎩代入51ax by bx ay -=-⎧⎨-=⎩得：3531a b b a +=-⎧⎨+=⎩③④ ③-④⨯3得：1b = 将1b =代入④得：2a =- 当21a b =-=，时， 20212021(()1)1a b +=-=-故选A ．【点睛】本题考查了解二元一次方程组，乘方运算，理解题意中方程组有相同解的意义是解题的关键．9．D解析：D 【分析】设长方体木块长xcm ，宽ycm ，桌子的高为acm ，由题意列出方程组求出解即可得出结果．【详解】解：设长方体木块长xcm ，宽ycm ，桌子的高为acm ，由题意，得9060a x y a y x +-=⎧⎨+-=⎩，两式相加，得 2a =150，解得 a =75，【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用．解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程中求解．10．A解析：A【分析】把11x y =⎧⎨=-⎩代入二元一次方程组2123ax by ax by +=⎧⎨-=⎩并解方程组，再把a,b 代入3a b -．【详解】把11x y =⎧⎨=-⎩代入二元一次方程组2123ax by ax by +=⎧⎨-=⎩，得 2123a b a b -=⎧⎨+=⎩ 解得11a b =⎧⎨=⎩所以3a b -＝-2故选：A【点睛】本题考查了二元一次方程组的解，以及二元一次方程组的解法，其基本思路是消元，消元的方法有：加减消元法和代入消元法两种，灵活选择合适的方法是解答本题的关键．二、填空题11．110：207【分析】设该村已种花面积x ，余下土地面积为y ，还需种植樱花的面积为z ，则总面积为（x+y ），桃花已种植面积、樱花已种植面积，梅花已种植面积，依题意列出方程组，用y 的代数式分别表示x解析：110：207【分析】设该村已种花面积x ，余下土地面积为y ，还需种植樱花的面积为z ，则总面积为（x +y ），桃花已种植面积515x 、樱花已种植面积415x ，梅花已种植面积615x ，依题意列出方程组，用y 的代数式分别表示x 、z ，然后进行计算即可．【详解】解：设该村已种花面积x ，余下土地面积为y ，还需种植樱花的面积为z ，则总面积为()x y +，牡丹花已种植面积515x 、樱花已种植面积415x ，梅花已种植面积615x ，6823()15154558()415154515x y x y x y y z x z ⎧+=+⎪⎪⎪⎨+--⎪=⎪+⎪⎩，解得：5184675y x y z ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， ∴花园内种植樱花的面积是：41844184441567575675135y y y y x +=+=，花园内种植梅花的面积是：5686846151575157y y y y x +=+=， ∴花园内种植樱花的总面积与种植梅花的总面积之比是：744110135467520yy =，故答案为110：207．【点睛】本题考查了三元一次方程组，正确找出等量关系并列出方程是解题的关键．12．6【分析】设80分的邮票购买x 张，120分的邮票购买y 张，根据题意列方程0.8x+1.2y=16，用含y 的代数式表示x 得，根据x 、y 都是整数取出x 与y 的对应值，得到购买方案.【详解】解：设8解析：6【分析】设80分的邮票购买x 张，120分的邮票购买y 张，根据题意列方程0.8x+1.2y=16，用含y 的代数式表示x 得3202x y =-，根据x 、y 都是整数取出x 与y 的对应值，得到购买方案. 【详解】解：设80分的邮票购买x 张，120分的邮票购买y 张，0.8x+1.2y=16，解得3202x y =-， ∵x 、y 都是正整数，∴当y=2、4、6、8、10、12时，x=17、14、11、8、5、2，∴共有6种购买方案，故答案为：6.【点睛】此题考查一元二次方程的实际应用，根据题意只得到一个方程时，可将方程变形为用一个未知数表示另一个未知数的形式，然后根据未知数的要求得到对应值即可解决实际问题. 13．31800【分析】先求出商品的进价为50元．再设商品、的进价分别为元，元，表示出商品的标价为，商品的标价为元，根据“如果同时购买、商品各两件，就免费获赠三件商品．这个优惠活动，实际上相当于把这五解析：31800【分析】先求出商品C 的进价为50元．再设商品A 、B 的进价分别为x 元，y 元，表示出商品A 的标价为54x ，商品B 的标价为75y 元，根据“如果同时购买A 、B 商品各两件，就免费获赠三件C 商品．这个优惠活动，实际上相当于把这五件商品各打七五折”列出方程，进而求出1001126050x y ++⨯的值．【详解】解：由题意，可得商品C 的进价为：80(160%)50÷+=（元)．设商品A 、B 的进价分别为x 元，y 元，则商品A 的标价为5(125%)4x x +=（元)，商品B 的标价为7(140%)5y y +=（元)，由题意，得57572()[2()380]0.754545x y x y +=++⨯⨯， ∴5736045x y +=，5710011280()803602880045x y x y ∴+=+=⨯=， 100112605031800x y ∴++⨯=（元)．答：商场购进这三种商品一共花了31800元．故答案为：31800．【点睛】本题考查了二元一次方程的应用，设商品A 、B 的进价分别为x 元，y 元，分别表示出商品A 与商品B 的标价，找到等量关系列出方程是解题的关键．本题虽然设了两个未知数，但是题目只有一个等量关系，根据问题可知不需要求出x 与y 的具体值，这是本题的难点．14．【分析】设一对夫妻，丈夫买了x 件商品，妻子买了y 件商品，列出关于x 、y 的二元二次方程，再根据x 、y 都是正整数，且与有相同的奇偶性，即可得出关于x 、y的二元一次方程组，求出x 、y 的值，再找出符合和解析：c【分析】设一对夫妻，丈夫买了x 件商品，妻子买了y 件商品，列出关于x 、y 的二元二次方程，再根据x 、y 都是正整数，且x y +与x y -有相同的奇偶性，即可得出关于x 、y 的二元一次方程组，求出x 、y 的值，再找出符合9x y -=和7x y -=的情况即可进行解答．【详解】设一对夫妻，丈夫买了x 件商品，则钱数为2x ，妻子买了y 件商品，则钱数为2y ，依题意有x 2-y 2=48，即()()48x y x y +-=，∵x 、y 都是正整数，且x y +与x y -有相同的奇偶性，又∵x y x y +>-，48=24×2=12×4=8×6，∴242x y x y +=⎧⎨-=⎩或124x y x y +=⎧⎨-=⎩或86x y x y +=⎧⎨-=⎩，解得13x =，11y =或8x =，4y =或7x =，1y =，符合9x y -=的只有一种，可见A 买了13件商品，b 买了4件，同时符合7x y -=的也只有一种，可知B 买了8件，a 买了1件，∴C 买了7件，c 买了11件．由此可知三对夫妻的组合是：A 、c ；B 、b ；C 、a ．故答案为：c ．【点睛】本题考查了不定方程组的解及数的奇偶性，根据题意列出关于x 、y 的不定方程是解答此题的关键．15．135【分析】要求每个长方形的面积，就要先求出它们的长和宽，再利用面积公式计算．所以首先要设每个长方形的宽为，长为，根据题中的等量关系：①5个长方形的宽个长方形的长，②大矩形面积大正方形的面积，解析：135【分析】要求每个长方形的面积，就要先求出它们的长和宽，再利用面积公式计算．所以首先要设每个长方形的宽为xcm ，长为ycm ，根据题中的等量关系：①5个长方形的宽3=个长方形的长，②大矩形面积9+=大正方形的面积，列方程求解．【详解】解：设每个长方形的宽为xcm ，长为ycm ，那么可列出方程组为：5323x y x y =⎧⎨-=⎩，解得：9{15x y ==．所以每个长方形的面积为()2·915135x y cm =⨯=．故答案是：135．【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是注意图片给出的等量关系即，①5个长方形的宽3=个长方形的长，②大矩形面积9+=大正方形的面积，以此可得出答案． 16．【分析】把代入，结合所求的方程组即可得到关于，的方程，求解即可．【详解】解：把代入得：又∵∴故答案为：【点睛】本题主要考查了二元一次方程的解，结合两个方程组得到关于，的方程是解题的解析：21x y =⎧⎨=⎩ 【分析】把32x y =⎧⎨=⎩代入111222a xb yc a x b y c +=⎧⎨+=⎩，结合所求的方程组即可得到关于x ，y 的方程，求解即可．【详解】解：把32x y =⎧⎨=⎩代入111222a x b y c a x b y c +=⎧⎨+=⎩得：1112223232a b c a b c +=⎧⎨+=⎩ 又∵111222(1)2,(1)2a x b y c a x b y c ++=⎧⎨++=⎩ ∴1322x y +=⎧⎨=⎩⇒21x y =⎧⎨=⎩故答案为：21x y =⎧⎨=⎩ 【点睛】本题主要考查了二元一次方程的解，结合两个方程组得到关于x ，y 的方程是解题的关键．17．0【分析】把x 、y 的值代入mx+ny ＝6，得出关于m 、n 的方程组，再求出方程组的解，最后求出m+n 即可得到答案．【详解】∵x ＝4，y ＝1和x ＝2，y ＝﹣1都是方程mx+ny ＝6的解，∴解析：0【分析】把x 、y 的值代入mx +ny ＝6，得出关于m 、n 的方程组，再求出方程组的解，最后求出m +n 即可得到答案．【详解】∵x ＝4，y ＝1和x ＝2，y ＝﹣1都是方程mx +ny ＝6的解，∴4626m n m n +=⎧⎨-=⎩①② ①+②，得6m ＝12解得：m ＝2，把m ＝2代入①，得8+n ＝6，解得：n ＝﹣2，∴m +n ＝2+（﹣2）＝0，故答案为：0．【点睛】本题考查了二元一次方程及二元一次方程组的知识；解题的关键是熟练掌握二元一次方程组的性质，从而完成求解．18．【分析】设1个进口1小时开进x 辆车，1个出口1小时开出y 辆，根据题意：如果开放2个进口和3个出口，8小时车库恰好停满；如果开放3个进口和2个出口，2小时车库恰好停满．列出方程组求得x 、y ，进一步解析：3215【分析】设1个进口1小时开进x 辆车，1个出口1小时开出y 辆，根据题意：如果开放2个进口和3个出口，8小时车库恰好停满；如果开放3个进口和2个出口，2小时车库恰好停满．列出方程组求得x 、y ，进一步代入求得答案即可．【详解】解：设1个进口1小时开进x 辆车，1个出口1小时开出y 辆，车位总数为a ，由题意得：8(23)75%2(32)75%x y a x y a-=⎧⎨-=⎩，解得：316332x a y a ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，早晨6点时的车位空置率变为60%，333260%(2)163215a a a ∴÷⨯-=（小时），答：从早晨6点开始经过3215小时车库恰好停满．故答案为：3215．【点睛】此题考查二元一次方程组的实际运用，找出题目蕴含的等量关系关系，列出方程组是解决问题的关键． 19．【分析】将方程整理成关于m 的一元一次方程，若无论实数m 取何值，此二元一次方程都有一个相同的解，则与m 无关，从而令m 的系数为0，从而得关于x 和y 的二元一次方程组，求解即可．【详解】将（m+1）解析：11x y =-⎧⎨=⎩ 【分析】将方程整理成关于m 的一元一次方程，若无论实数m 取何值，此二元一次方程都有一个相同的解，则与m 无关，从而令m 的系数为0，从而得关于x 和y 的二元一次方程组，求解即可．【详解】将（m+1）x+（2m-1）y+2-m=0整理得：mx+x+2my-y+2-m=0，即m （x+2y-1）+x-y+2=0，因为无论实数m 取何值，此二元一次方程都有一个相同的解，所以21020x y x y +-=⎧⎨-+=⎩，解得：11x y =-⎧⎨=⎩．故答案为：11x y =-⎧⎨=⎩．【点睛】考查了含参数的二元一次方程有相同解问题，解题关键是利用转化思想．20．【分析】根据小江乘坐这种出租车走了，付了16元；小北乘坐这种出租车走了，付了28元，由车费是起步价与超过2km 部分收费之和，可列方程组．【详解】解：设这种出租车的起步价为元，超过后每千米收费解析：(72)16(132)28x y x y +-=⎧⎨+-=⎩【分析】根据小江乘坐这种出租车走了7km ，付了16元；小北乘坐这种出租车走了13km ，付了28元，由车费是起步价与超过2km 部分收费之和，可列方程组．【详解】解：设这种出租车的起步价为x 元，超过2km 后每千米收费y 元，由题意得：(72)16(132)28x y x y +-=⎧⎨+-=⎩，故填：(72)16(132)28x y x y +-=⎧⎨+-=⎩．【点睛】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解题关键是理解题意，找到题目中的等量关系．三、解答题21．（1）（3，3）；（2）272；（3）（32，0）或（152-，0）【分析】（1）点A 既是“健康点”又是“快乐点”，则A 坐标应该满足x -2y +3=0和x +y -6=0，解23060x y x y -+=⎧⎨+-=⎩即可得答案；（2）设直线AB 交y 轴于D ，求出B 、C 、D 的坐标，根据S △ABC =S △BCD +S △ACD 即可求出答案；（3）设点P 的坐标为（n ，0），根据△PBC 的面积等于△ABC 的面积，即272，列出方程，解之即可．【详解】解：（1）点A 既是“健康点”又是“快乐点”，则A 坐标应该满足x -2y +3=0和x +y -6=0，解23060x y x y -+=⎧⎨+-=⎩得：33x y =⎧⎨=⎩， ∴A 的坐标为（3，3）；故答案为：（3，3）；（2）设直线AB 交y 轴于D ，如图：∵B 是x 轴上的“健康点”，在x -2y +3=0中，令y =0得x =-3，∴B （-3，0），∵C 是y 轴上的“快乐点”，在x +y -6=0中，令x =0得y =6，∴C （0，6），在x -2y +3=0中，令x =0得y =32， ∴D （0，32）， ∴CD =92， ∴S △ABC =S △BCD +S △ACD =12CD •|x B |+12CD •|x A | =1919332222⨯⨯+⨯⨯ =272；（3）设点P 的坐标为（n ，0），则BP =3n +，∵△BPC 与△ABC 面积相等，∴S △BPC =1362n ⨯+⨯=272， ∴932n +=， ∴32n =或152-， ∴点P 的坐标为（32，0）或（152-，0）．【点睛】本题考查三角形面积，涉及新定义、坐标轴上点坐标特征等知识，解题的关键是理解“健康点”、“快乐点”含义．22．（1）87和12是“黄金搭档数”，62和49不是“黄金搭档数”，理由见解析；（2）39或38【分析】（1）根据“黄金搭档数”的定义分别判断即可；（2）由已知设10,19,09,s x y x y =+≤≤≤≤x ，y 为整数，10,19,09,t x z x z =+≤≤≤≤ x ，z 为整数，表示出s t +，由s 和t 是一对“黄金搭档数”，并且s 与t 的和能被7整除，综合分析，列出方程组求解即可．【详解】（1）解：∵871299,+=∴87和12是一对“黄金搭档数”；∵6249111,+=∴111与62，49数位不相同，∴62和49不是一对“黄金搭档数”；故87和12是一对“黄金搭档数”，62和49不是一对“黄金搭档数”；（2）∵两位数s 和两位数t 的十位数字相同，∴设10,19,09,s x y x y =+≤≤≤≤x ，y 为整数，10,19,09,t x z x z =+≤≤≤≤ x ，z 为整数，∴20,s t x y z +=++∵s 和t 是一对“黄金搭档数”，∴s t +是一个两位数，且各个数位上的数相同，又∵s 与t 的和能被7整除，∴77s t +=，共有两种情况：①20707x y z =⎧⎨+=⎩，解得 3.5x =，∵x 为整数，∴不合题意，舍去；②206017x y z =⎧⎨+=⎩， ∵,,x y z 都是整数，且19,09,09,x y z ≤≤≤≤≤≤∴解得398x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩或389x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩，故s 为39或38．【点睛】本题考查三元一次方程组的整数解，解题关键是理解题目中的定义，根据已知条件列出方程组．23．（1）12x y =⎧⎨=⎩；（2）41m n =-⎧⎨=-⎩；（3）a ＝3，b ＝2．【分析】（1）利用加减消元法，可以求得；（2）利用换元法，设m+5=x ，n+3=y ，则方程组化为（1）中的方程组，可求得x ，y 的值进一步可求出原方程组的解；（3）把am 和bn 当成一个整体利用已知条件可求出am 和bn ，再把bn 代入2m-bn=-2中求出m 的值，然后把m 的值代入3m+n=5可求出n 的值，继而可求出a 、b 的值．【详解】解：（1）两个方程相加得66x =，∴1x =，把1x =代入321x y -=-得2y =，∴方程组的解为：12x y =⎧⎨=⎩；故答案是：12x y =⎧⎨=⎩；（2）设m +5＝x ，n +3＝y ，则原方程组可化为321327x y x y -=-⎧⎨+=⎩，由（1）可得：12x y =⎧⎨=⎩， ∴m+5＝1，n+3＝2，∴m ＝-4，n ＝-1，∴41m n =-⎧⎨=-⎩，故答案是：41m n =-⎧⎨=-⎩； (3)由方程组722am bn m bn +=⎧⎨-=-⎩与351m n am bn +=⎧⎨-=-⎩有相同的解可得方程组71am bn am bn +=⎧⎨-=-⎩，解得34am bn =⎧⎨=⎩，把bn ＝4代入方程2m ﹣bn ＝﹣2得2m ＝2，解得m ＝1，再把m ＝1代入3m +n ＝5得3+n ＝5，解得n ＝2，把m ＝1代入am ＝3得：a ＝3，把n ＝2代入bn ＝4得：b ＝2，所以a ＝3，b ＝2．【点睛】本题主要考查二元一次方程组的解法，重点是考查整体思想及换元法的应用，解题的关键是理解好整体思想．24．（1）50130αβ︒︒⎧∠=⎨∠=⎩；（2）//AB CD ，理由详见解析；（3）40° 【分析】（1）利用加减消元法，通过解二元一次方程组可求出∠a 和β∠的度数；（2）利用求得的∠a 和β∠的度数可得到180αβ∠+∠=︒，于是根据平行线的判定可判断AB ∥EF ，然后利用平行的传递性可得到AB ∥CD ；（3）先根据垂直的定义得到90CAE ∠=︒，再根据平行线的性质计算C ∠的度数.【详解】解（1）解方程组223080αββα︒︒⎧+=⎨∠-∠=⎩①②， ①-②得：3150α∠=︒ ，解得：50α∠=︒把50α∠=︒代入②得：5080β∠-︒=︒解得：130β∠=︒；（2）//AB CD ，理由：∵50α∠=︒，130β∠=︒，180αβ︒∴∠+∠=，//AB EF ∴(同旁内角互补，两直线平行)，又 CD//EF ，//AB CD ∴；（3）AC AE ⊥，90CAE ︒∴∠=//AB CD180C CAB ︒∴∠+∠=180905040C ︒∴∠=︒-︒-︒=.【点睛】本题考查了平行线的性质与判定、解二元一次方程组，熟练掌握平行线的性质和判定定理是解题关键.25．(1) 6，10；(2)02x y =⎧⎨=⎩。

初中七年级下册二元一次方程组数学附答案培优试题

一、选择题1．七（1）班全体同学进行了一次转盘得分活动．如图，将转盘等分成8格，每人转动一次，指针指向的数字就是获得的得分，指针落在边界则重新转动一次．根据小红、小明两位同学的对话，可得七（1）班共有学生（）人．A．38 B．40 C．42 D．452．甲、乙两地相距360千米，一轮船往返于甲、乙两地之间，顺水行船用18小时，逆水行船用24小时，若设船在静水中的速度为x千米/时，水流速度为y千米/时，则下列方程组中正确的是()A．()()1836024360x yx y⎧+=⎪⎨-=⎪⎩B．()()1836024360x yx y⎧+=⎪⎨+=⎪⎩C．()()1836024360x yx y⎧-=⎪⎨-=⎪⎩D．()()1836024360x yx y⎧-=⎪⎨+=⎪⎩3．小敏和小捷两人玩“打弹珠”游戏，小敏对小捷说：“把你珠子的一半给我，我就有 30颗珠子”．小捷却说：“只要把你的12给我，我就有 30 颗”，如果设小捷的弹珠数为 x 颗，小敏的弹珠数为 y 颗，则列出的方程组正确的是( )A．230260x yx y+=⎧⎨+=⎩B．230230x yx y+=⎧⎨+=⎩C．260230x yx y+=⎧⎨+=⎩D．260260x yx y+=⎧⎨+=⎩4．某工厂有工人35人，生产某种由一个螺栓套两个螺母的配套产品，每人每天生产螺栓16个或螺母24个，应分配多少人生产螺栓，多少人生产螺母，才能使生产出的螺栓和螺母刚好配套？设生产螺栓的有x人，生产螺母的有y人，则可以列方程组( )A．351624x yx y+=⎧⎨=⎩B．352416x yx y+=⎧⎨=⎩C．3516224x yx y+=⎧⎨=⨯⎩D．3521624x yx y+=⎧⎨⨯=⎩5．巴广高速公路在5月10日正式通车，从巴中到广元全长约为126km．一辆小汽车，一辆货车同时从巴中，广元两地相向开出，经过45分钟相遇，相遇时小汽车比货车多行6km，设小汽车和货车的速度分别为xkm/h，ykm/h，则下列方程组正确的是（）A．()()45126456x yx y⎧+=⎪⎨-=⎪⎩B．()312646x yx y⎧+=⎪⎨⎪-=⎩C ．()()31264456x y x y ⎧+=⎪⎨⎪-=⎩D ．()()31264364x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩6．已知方程组321x y nx y n +=⎧⎨+=+⎩，若x ，y 的值相等，则n =（）A ．1-B ．4-C ．2D ．2-7．如图，周长为34的矩形ABCD 被分成7个全等的矩形，则矩形ABCD 的面积为（）A ．60B ．52C ．70D ．668．已知方程组46ax by ax by -=⎧⎨+=⎩与方程组35471x y x y -=⎧⎨-=⎩的解相同，则a ，b 的值分别为（）A ．521a b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩B ．521a b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩C ．521a b ⎧=⎪⎨⎪=⎩D ．521a b ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩9．已知关于x ，y 的方程组35225x y ax y a -=⎧⎨-=-⎩，则下列结论中正确的有（）个①当5a =时，方程组的解是1020x y =⎧⎨=⎩；②当x ，y 的值互为相反数时，20a =③不存在一个实数a 使得x y =； ④若23722a y -=，则2a =． A ．1B ．2C ．3D ．410．《九章算术》是我国东汉初年编订的一部数学经典著作。

七年级初一数学数学第八章二元一次方程组的专项培优练习题(含答案

七年级初一数学数学第八章二元一次方程组的专项培优练习题(含答案一、选择题1．用加减法将方程组2311255x y x y -=⎧⎨+=-⎩中的未知数x 消去后，得到的方程是（）．A ．26y =B ．816y =C ．26y -=D ．816y -=2．方程组3453572x y x y +=⎧⎪⎨-+=-⎪⎩的解是（）A ．20.25x y =⎧⎨=-⎩B ． 4.53x y =-⎧⎨=⎩C ．10.5x y =-⎧⎨=-⎩D ．10.5x y =⎧⎨=⎩3．《九章算术》中有一道“盈不足术”的问题，原文为：今有人共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数，物价各几何？意思是：“现有几个人共同购买一件物品，每人出8钱，则多3钱；每人出7钱，则差4钱，求物品的价格和共同购买该物品的人数．设该物品的价格是x 钱，共同购买该物品的有y 人，则根据题意，列出的方程组是（） A ．8374y x y x -=⎧⎨-=⎩B ．8374y x y x -=⎧⎨-=-⎩C ．8374y x y x -=-⎧⎨-=-⎩D ．8374y x y x -=⎧⎨-=⎩4．在关于x 、y 的二元一次方程组321x y ax y +=⎧⎨-=⎩中，若232x y +=，则a 的值为（）A ．1B ．-3C ．3D ．4 5．已知10a b +=，6a b -=，则22a b -的值是（）A ．12B ．60C ．60-D ．12-6．某木工厂有22人，一个工人每天可加工3张桌子或10只椅子，1张桌子与4只椅子配套，现要求工人每天做的桌子和椅子完整配套而没有剩余，若设安排x 个工人加工桌子，y 个工人加工椅子，则列出正确的二元一次方程组为（） A ．2212100x y x y +=⎧⎨-=⎩B ．226100x y x y +=⎧⎨-=⎩C ．2224100x y x y +=⎧⎨-=⎩D ．2212200x y x y +=⎧⎨-=⎩7．甲、乙两地相距360千米，一轮船往返于甲、乙两地之间，顺水行船用18小时，逆水行船用24小时，若设船在静水中的速度为x 千米/时，水流速度为y 千米/时，则下列方程组中正确的是( )A ．()()1836024360x y x y ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩B ．()()1836024360x y x y ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩C ．()()1836024360x y x y ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩D ．()()1836024360x y x y ⎧-=⎪⎨+=⎪⎩8．如图，8块相同的小长方形地砖拼成一个长方形，其中每一个小长方形的面积为（）A ．400cm 2B ．500cm 2C ．600cm 2D ．675cm 29．由方程组可得出x 与y 的关系式是（）A ．x+y=9B ．x+y=3C ．x+y=－3D ．x+y=－910．某工厂现有95个工人，一个工人每天可做8个螺杆或22个螺母，两个螺母和一个螺杆为一套，现在要求工人每天做的螺杆和螺母完整配套而没有剩余，若设安排x 个工人做螺杆，y 个工人做螺母，则列出正确的二元一次方程组为（） A ．； B ．； C ．； D ．二、填空题11．已知关于x ，y 的二元一次方程()()12120m x my m +++=﹣﹣，无论实数m 取何值，此二元一次方程都有一个相同的解，则这个相同的解是______．12．三位先生A 、B 、C 带着他们的妻子a 、b 、c 到超市购物，至于谁是谁的妻子现在只能从下列条件来推测：他们6人，每人花在买商品的钱数（单位：元）正好等于商品数量的平方，而且每位先生都比自己的妻子多花48元钱，又知先生A 比b 多买9件商品，先生B 比a 多买7件商品．则先生C 购买的商品数量是________．13．若关于x ，y 的方程组111222a x b y c a x b y c +=⎧⎨+=⎩的解为32x y =⎧⎨=⎩，则方程组11122252605260a xb yc a x b y c +-=⎧⎨+-=⎩的解为__________． 14．小明今年五一节去三峡广场逛水果超市，他分两次购进了A 、B 两种不同单价的水果．第一次购买A 种水果的数量比B 种水果的数量多50%，第二次购买A 种水果的数量比第一次购买A 种水果的数量少60%，结果第二次购买水果的总数量比第一次购买水果的总数量多20%，且第二次购买A 、B 水果的总费用比第一次购买A 、B 水果的总费用少10%（两次购买中A 、B 两种水果的单价不变），则B 种水果的单价与A 种水果的单价的比值是______．15．新学期伊始，西大附中的学子们积极响应学校的“书香校园”活动，踊跃捐出自己喜爱的书籍，互相分享，让阅读成为一种习惯．据调查，某年级甲班、乙班共80人捐书，丙班有40人捐书，已知乙班人均捐书数量比甲班人均捐书数量多5本，而丙班的人均捐书数量是甲班人均捐书数量的一半，若该年级甲、乙、丙三班的人均捐书数量恰好是乙班人均捐书数量的35，且各班人均捐书数量均为正整数，则甲、乙、丙三班共捐书_____本．16．已知点 C 、D 是线段AB 上两点（不与端点A 、B 重合），点A 、B 、C 、D 四点组成的所有线段的长度都是正整数，且总和为29，则线段AB 的长度为__________________ . 17．在平面直角坐标系中，当点M （x,y ）不在坐标轴上时，定义点M 的影子点为M /(,)y x x y -.已知点P 的坐标为（a,b ），且a 、b 满足方程组3401416a cbc ⎧++-=⎪⎨-=-⎪⎩（c 为常数）.若点P 的影子点是点P /，则点P /的坐标为___. 18．解三元一次方程组经过①－③和③×4＋②消去未知数z 后，得到的二元一次方程组是________．19．已知|x ﹣z+4|+|z ﹣2y+1|+|x+y ﹣z+1|=0，则x+y+z=________．20．如图，三个全等的小矩形沿“横﹣竖﹣横”排列在一个边长分别为5.7，4.5的大矩形中，图中一个小矩形的周长等于_____．三、解答题21．如图，在四边形ABCD 中，已知AB CD ∥，AD BC ∥，且AB BC ⊥．（1）填空：A ∠=_____，C ∠=______，D ∠=_______；（2）点E 为射线BC 上一任意一点，连接AE ，作DAE ∠的平分线AF ，交射线BC 于点F ，作AEC ∠的平分线EG ，交直线AD 于点G ，请探究射线AF 与EG 之间的位置关系，并加以证明；（3）连接AC ，若AC 恰好平分BAD ∠，则在（2）问的条件下，是否存在角度x ︒，使得当BAE x ∠=︒时，有GEF k DAF ∠=∠（其中k 为不超过10的正整数）？若存在，求出x 的值；若不存在，请说明理由．22．阅读材料：我们把多元方程（组）的正整数解叫做这个方程（组）的“好解”例如：18x y =⎧⎨=⎩就是方程3x+y=11的一组“好解”；123x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩是方程组3206x y z x y z ++=⎧⎨++=⎩的一组“好解”.（1）请直接写出方程x+2y=7的所有“好解”；（2）关于x，y，k的方程组1551070x y kx y k++=⎧⎨++=⎩有“好解“吗？若有，请求出对应的“好解”；若没有，请说明理由；（3）已知x，y为方程33x+23y=2019的“好解”，且x+y=m，求所有m的值.23．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为（a,a），点B的坐标（b,c），且a、b、c满足34624 a b ca b c+-=⎧⎨-+=-⎩.(1)若a没有平方根，判断点A在第几象限并说明理由.(2)连AB、OA、OB，若△OAB的面积大于5而小于8，求a的取值范围；(3)若两个动点M（2m,3m-5），N(n-1,-2n-3)，请你探索是否存在以两个动点M、N为端点的线段MN∥AB，且MN=AB．若存在，求出M、N两点的坐标；若不存在，请说明理由. 24．小红用110根长短相同的小木棍按照如图所示的方式,连续摆正方形或六边形,要求相邻的图形只有一条公共边.(1)小红首先用m根小木棍摆出了p个小正方形,请你用等式表示,m p之间的关系：；(2)小红用剩下的小木棍摆出了一些六边形,且没有木棍剩余.已知他摆出的正方形比六边形多4个,请你求出摆放的正方形和六边形各多少个?(3)小红重新用50根小木棍,摆出了s排,共t个小正方形.其中每排至少含有1个小正方形,每排含有的小正方形的个数可以不同.请你用等式表示,s t之间的关系,并写出所有,s t可能的取值.25．为了鼓励市民节约用水，某市居民生活用水按阶梯式水价计费．如表是该市居民“一户一表”生活用水及提示计费价格表的部分信息：（说明：①每户产生的污水量等于该户自来水用水量；②水费=自来水费用+污水处理费用）已知小王家2012年4月份用水20吨，交水费66元；5月份用水25吨，交水费91元．（1）求 a 、 b 的值；（2）随着夏天的到来，用水量将增加．为了节省开支，小王计划把6月份的水费控制在不超过家庭月收入的2%．若小王家的月收入为9200元，则小王家6月份最多能用水多少吨？自来水销售价格污水处理价格每户每月用水量单价：元/吨单价：元/吨17吨以下a0.80超过17吨但不超过30吨部分b0.8026．问题：有甲、乙、丙三种商品，①购甲3件、乙5件、丙7件共需490元钱；②购甲4件、乙7件、丙10件共需690元钱；③购甲2件，乙3件，丙1件共需170元钱. 求购甲、乙、丙三种商品各一件共需多少元？小明说：“可以根据3个条件列出三元一次方程组，分别求出购甲、乙、丙一件需多少钱，再相加即可求得答案.”小丽经过一番思考后，说：“本题可以去掉条件③，只用①②两个条件，仍能求出答案.” 针对小丽的发言，同学们进行了热烈地讨论.（1）请你按小明的思路解决问题.（2）小丽的说法正确吗？如果正确，请完成解答过程；如果不正确，请说明理由.（3）请根据上述解决问题中积累的经验，解决下面的问题：学校购买四种教学用具A、B、C、D，第一次购A教具1件、B教具3件、 C教具4件、D教具5件共花2018元；第二次购A教具1件、B教具5件、 C教具7件、D教具9件共花3036元. 求购A教具5件、B教具3件、 C教具2件、D教具1件共需多少元？【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．D解析：D【分析】方程组两方程相减消去x即可得到结果．【详解】解：2311? 255?x yx y-=⎧⎨+=-⎩①②②-①得：8y=-16，即-8y=16，故选D．【点睛】本题考查解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．2．D解析：D【分析】整理后①×7+②×2得出41x=41，求出x，把x的值代入①求出y即可．解：整理得：345 10143x yx y+=⎧⎨-=⎩①②，①×7+②×2得：41x=41，∴x=1，把x=1代入①得：3+4y=5，∴y=0.5，∴方程组的解是：10.5 xy=⎧⎨=⎩，故选D．【点睛】本题考查了解二元一次方程组，关键是把二元一次方程组转化成一元一次方程，解题时要根据方程组的特点进行有针对性的计算．3．B解析：B【分析】设该物品的价格是x钱，共同购买该商品的由y人，根据题意每人出8钱，则多3钱；每人出7钱，则差4钱列出二元一次方程组.【详解】设该物品的价格是x钱，共同购买该商品的由y人，依题意可得83 74y xy x-=⎧⎨-=-⎩故选：B【点睛】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组以及数学常识，找准等量关系，正确列出二元一次方程组.4．C解析：C【解析】分析：上面方程减去下面方程得到2x+3y=a﹣1，由2x+3y=2得出a﹣1=2，即a=3．详解：3{21x y ax y+=-=①②，①﹣②，得：2x+3y=a﹣1．∵2x+3y=2，∴a﹣1=2，解得：a=3．故选C．点睛：本题主要考查解二元一次方程组，观察到两方程的系数特点和等式的基本性质是解题的关键．5．B解析：B先利用加减消元法解方程组106a b a b +=⎧⎨-=⎩可得a 、b 的值，再代入求值即可得．【详解】由题意得：106a b a b +=⎧⎨-=⎩，解得82a b =⎧⎨=⎩，则22222864460a b -==-=-，故选：B ．【点睛】本题考查了解二元一次方程组、有理数的乘方和减法运算，掌握方程组的解法是解题关键．6．A解析：A 【分析】设安排x 个工人加工桌子，y 个工人加工椅子，根据共有22人，一张桌子与4只椅子配套，列方程组即可．【详解】解：设安排x 个工人加工桌子，y 个工人加工椅子，由题意得：2212100x y x y +=⎧⎨-=⎩故选A ．【点睛】本题考查了根据实际问题抽象二元一次方程组的知识，解答本题的关键是挖掘隐含条件：一张课桌需要配四把椅子．7．A解析：A 【详解】根据题意可得，顺水速度为：x y +，逆水速度为：x y -，所以根据所走的路程可列方程组为()()1836024360x y x y ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩，故选A ．8．D解析：D 【解析】试题分析：设小长方形的宽为xcm ，则长为3xcm ，根据图示列式为x+3x=60cm ，解得x=15cm ，因此小长方形的面积为15×15×3=675cm 2.点睛：此题主要考查了读图识图能力的，解题时要认真读图，从中发现小长方形的长和宽的关系，然后根据关系列方程解答即可.9．A解析：A【解析】分析：由①得m=6-x，代入方程②，即可消去m得到关于x，y的关系式．解答：解：由①得：m=6-x∴6-x=y-3∴x+y=9．故选A．10．C解析：C【解析】试题分析：设安排x个工人做螺杆，y个工人做螺母，根据“工厂现有95个工人”和“一个工人每天可做8个螺杆或22个螺母，两个螺母和一个螺杆为一套”列出方程组即可得到95{16220x yx y+=-=．故选：C点睛：此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，关键是弄清题意，找出合适的等量关系，列出方程组．二、填空题11．【分析】将方程整理成关于m的一元一次方程，若无论实数m取何值，此二元一次方程都有一个相同的解，则与m无关，从而令m的系数为0，从而得关于x和y的二元一次方程组，求解即可．【详解】将（m+1）解析：11 xy=-⎧⎨=⎩【分析】将方程整理成关于m的一元一次方程，若无论实数m取何值，此二元一次方程都有一个相同的解，则与m无关，从而令m的系数为0，从而得关于x和y的二元一次方程组，求解即可．【详解】将（m+1）x+（2m-1）y+2-m=0整理得：mx+x+2my-y+2-m=0，即m（x+2y-1）+x-y+2=0，因为无论实数m取何值，此二元一次方程都有一个相同的解，所以21020x yx y+-=⎧⎨-+=⎩，解得：11xy=-⎧⎨=⎩．故答案为：11xy=-⎧⎨=⎩．【点睛】考查了含参数的二元一次方程有相同解问题，解题关键是利用转化思想．12．7件．【分析】设一对夫妻，丈夫买了x件商品，妻子买了y件商品，列出关于x、y的二元二次方程，再根据x、y都是正整数，且x+y与x-y有相同的奇偶性，即可得出关于x、y的二元一次方程组，求出x、y解析：7件．【分析】设一对夫妻，丈夫买了x件商品，妻子买了y件商品，列出关于x、y的二元二次方程，再根据x、y都是正整数，且x+y与x-y有相同的奇偶性，即可得出关于x、y的二元一次方程组，求出x、y的值，再找出符合x-y=9和x-y=7的情况即可进行解答．【详解】解：设一对夫妻，丈夫买了x件商品，妻子买了y件商品．则有x2-y2=48，即（x十y）（x-y）=48．∵x、y都是正整数，且x+y与x-y有相同的奇偶性，又∵x+y＞x-y，48=24×2=12×4=8×6，∴242x yx y+⎧⎨-⎩＝＝或124x yx y+⎧⎨-⎩＝＝或86x yx y+⎧⎨-⎩＝＝．解得x=13，y=11或x=8，y=4或x=7，y=1．符合x-y=9的只有一种，可见A买了13件商品，b买了4件．同时符合x-y=7的也只有一种，可知B买了8件，a买了1件．∴C买了7件，c买了11件．故答案为：7件．【点睛】此题考查了非一次不定方程的性质．解题的关键是理解题意，根据题意列方程，还要注意分类讨论思想的应用．13．【分析】将解方程组变形为，依据题意得，求解即可．【详解】∵关于，的方程组的解为，将解方程组变形为， ∴关于，的方程组的解为，解得，故答案为：．【点睛】本题考查了二元一次方程组的解法解析：1856x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩ 【分析】将解方程组变形为11122251635163a x b y c a x b y c ⎧⋅+⋅=⎪⎪⎨⎪⋅+⋅=⎪⎩，依据题意得536123x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，求解即可．【详解】∵关于x ，y 的方程组111222a x b y c a x b y c +=⎧⎨+=⎩的解为32x y =⎧⎨=⎩，将解方程组11122252605260a x b y c a x b y c +-=⎧⎨+-=⎩变形为11122251635163a x b y c a x b y c ⎧⋅+⋅=⎪⎪⎨⎪⋅+⋅=⎪⎩，∴关于x ，y 的方程组11122251635163a x b y c a x b y c ⎧⋅+⋅=⎪⎪⎨⎪⋅+⋅=⎪⎩的解为536123x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得1856x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩，故答案为：1856x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩．【点睛】本题考查了二元一次方程组的解法，用到了换元法，体现了整体思想．14．【分析】根据水果数量的等量关系，可设第一次购买种水果数量为个，用分别表示第一次购买种水果的数量和第二次购买两种水果的数量．再分别设两种水果的单价为元和元，根据两次购买价钱的等量关系列方程，所列方解析：12【分析】根据水果数量的等量关系，可设第一次购买B 种水果数量为x 个，用x 分别表示第一次购买A 种水果的数量和第二次购买两种水果的数量．再分别设两种水果的单价为a 元和b 元，根据两次购买价钱的等量关系列方程，所列方程中x 是可以约去的，化简即得到a 与b 的数量关系．【详解】解：设第一次购买B 种水果数量为x ，∴第一次购买A 种水果的数量为：3(150%)2x x +=， ∴第二次购买A 种水果数量为：3323(160%)2255x xx -==， ∴第二次购买水果的总数量为：356()(120%)3225x x xx ++==， ∴第二次购买B 种水果个数为：312355x x x -=，设A 种水果单价为a 元，B 种水果单价为b 元，依题意得：3312()(110%)255ax bx a x b x +-=+，化简得：2a b =∴12b a =， B ∴水果的单价与A 水果的单价的比值是12，故答案为：12．【点睛】本题考查了一次方程的应用，在缺少确切数值的情况下，可先假设等量关系中的关键量为未知数，再列方程化简求值．15．【分析】根据设间接未知数列二元一次方程求各班人均捐书数，然后再求三个班共捐书即可解答．【详解】设甲班的人均捐书数量为x 本，乙班的人均捐书数量为（x+5）本，丙班的人均捐书数量为本，设甲班解析：【分析】根据设间接未知数列二元一次方程求各班人均捐书数，然后再求三个班共捐书即可解答．【详解】设甲班的人均捐书数量为x 本，乙班的人均捐书数量为（x +5）本，丙班的人均捐书数量为2x本，设甲班有y 人，乙班有（80﹣y ）人．根据题意，得 xy +（x +5）（80﹣y ）+2x •40＝3(5)1205x +⨯ 解得：y =284035855x x x +=++，可知x 为2且5的倍数，故x ＝10，y ＝64，共捐书10×64+15×16+5×40＝1080．答：甲、乙、丙三班共捐书1080本．故答案为1080．【点睛】此题考查二元一次方程的实际应用，题中有三个量待求，但是只有一个等量关系，因此只能设出两个未知数，用一个未知数表示另一个未知数，根据数量的要求及代数式的形式确定未知数的值，这是此题的难点.16．8或9 【分析】根据题意画出图形，可得图中共有线段6条，分别为AC 、CD 、DB ，AD 、BC 、AB ，然后根据所有线段的和为29可得关于AB 、CD 的等式，继而根据所有线段的长都是正整数以及AB>CD 利解析：8或9 【分析】根据题意画出图形，可得图中共有线段6条，分别为AC 、CD 、DB ，AD 、BC 、AB ，然后根据所有线段的和为29可得关于AB 、CD 的等式，继而根据所有线段的长都是正整数以及AB>CD 利用二元一次方程的解的概念进行求解即可. 【详解】如图，图中共有线段6条，分别为AC 、CD 、DB ，AD 、BC 、AB ，由题意得：AC+CD+DB+AD+BC+AB=29， ∵AC+CD+DB=AB ，AD=AC+CD ，BC=CD+DB ， ∴3AB+CD=29，又∵所有线段的长度都是正整数，AB>CD ， ∴AB=8，CD=5或AB=9，CD=2，即AB 的长度为8或9，故答案为：8或9. 【点睛】本题考查了线段的和差，二元一次方程的正整数解等知识，正确画出图形，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键.17．（）【解析】【分析】由方程组变形可得，由非负数性质可求c=4，a=-3，b=1，再依据影子点定义即可求出点P/的坐标. 【详解】解：∵方程组（c 为常数）， ∴， ∵，， ∴， ∴c=4， ∴解析：（1,33-）【解析】【分析】由方程组变形可得3=-(4)4(4)a c c ⎧+-⎪=-，由非负数性质可求c =4，a =-3，b =1，再依据影子点定义即可求出点P /的坐标. 【详解】解：∵方程组340416a c c ⎧++-=⎪=-（c 为常数），∴3=-(4)4(4)a c c ⎧+-⎪=-，∵30a +≥0， ∴-(4)04(4)0c c -≥⎧⎨-≥⎩，∴c =4，∴31a b =-⎧⎨=⎩，∴P 坐标为（-3，1），根据定义可知点P的影子点P/为（13(,)31---，即为P/（1,33-）.故答案为（1,33 -）.【点睛】本题考查了非负数性质和新定义运算.解题关键是利用方程变形和非负数性质得出c-4=0. 18．4x+3y=27x+5y=3.【解析】【分析】根据加减消元的方法即可进行求解.【详解】解：①－③得4x+3y=2,③×4＋②得7x+5y=3,∴消去未知数z后，得到的二元一次方程组是4解析：.【解析】【分析】根据加减消元的方法即可进行求解.【详解】解：①－③得4x+3y=2,③×4＋②得7x+5y=3,∴消去未知数z后，得到的二元一次方程组是.【点睛】本题考查了三元一次方程组的求解,中等难度,熟悉加减消元的方法是解题关键.19．9【解析】由题意得,解得,所以x+y+z=9.解析：9【解析】由题意得4021010x zz yx y z-+=⎧⎪-+=⎨⎪+-+=⎩,解得135xyz=⎧⎪=⎨⎪=⎩,所以x+y+z=9. 20．8 【解析】试题分析：设小矩形的长为x ，宽为y ，则，两方程相加，解得x+y=3.4，因此小矩形的周长为2（x+y ）=6.8.解析：8 【解析】试题分析：设小矩形的长为x ，宽为y ，则2 5.7{2 4.5x y x y +=+=，两方程相加，解得x+y=3.4，因此小矩形的周长为2（x+y ）=6.8.三、解答题21．（1）90︒；90︒；90︒（2）AF //EG ；证明见详解（3）存在；50x =︒、54x =︒或35711x ⎛⎫=︒ ⎪⎝⎭【分析】（1）根据垂直的定义、平行线的性质、四边形的内角和即可得解；（2）按照题目要求画出图形后，根据已知条件、角平分线的性质、平行线的性质和判定即可得到结论并证明；（3）结合图形根据平行线的性质、角平分线的性质、角的和差可列出360901x k ︒︒=︒-+，再由x 、k 的取值范围即可求得结论．【详解】解：（1）∵AB BC ⊥ ∴90B ∠=︒ ∵//AB CD∴18090C B ∠=︒-∠=︒ ∵//AD BC∴18090D C ∠=︒-∠=︒∴36090A B C D ∠=︒-∠-∠-∠=︒；（2）按照题目要求作图：猜想：射线AF 与EG 的位置关系是：AF //EG 证明： ∵AF 平分DAE ∠，EG 平分BEA ∠ ∴12EAF DAE ∠=∠，12AEG BEA ∠=∠ ∵//DG BF ∴DAE BEA ∠=∠∴EAF AEG ∠=∠ ∴AF //EG ；（3）在（2）问的条件下，连接AC ，如图：∵AF //EG ，//DG BF∴180AFB GEF ∠+∠=︒，DAF AFB ∠=∠ ∴180GEF DAF ∠+∠=︒ ∵GEF k DAF ∠=∠ ∴1801DAF EAF k ︒∠=∠=+ ∵BAE x ∠=︒ ∴1801809011x k k ︒︒︒++=︒++ ∴360901x k ︒︒=︒-+ ∵AC 恰好平分BAD ∠，由（1）可知90BAD ∠=︒ ∴1452BAC DAC BAD ∠=∠=∠=︒ ∵E 为射线BC 上一任意一点 ∴45BAE x ∠=︒>︒ ∵k 为不超过10的正整数 ∴当8k时，50BAE x ∠=︒=︒；当9k =时，54BAE x ∠=︒=︒；当10k =时，35711BAE x ⎛⎫∠=︒=︒ ⎪⎝⎭∴存在角度x ︒，使得当BAE x ∠=︒时，有GEF k DAF ∠=∠（其中k 为不超过10的正整数）；50x =︒、54x =︒或35711x ⎛⎫=︒ ⎪⎝⎭．【点睛】本题考查了垂直的定义、平行线的判定和性质、四边形的内角和、角的和差、根据要求画图、代入消元法、根据参数的取值范围求角的度数等知识点，熟练掌握相关知识点世界解决问题的关键．22．(1)x 1 y 3=⎧⎨=⎩，x 3y 2=⎧⎨=⎩，x 5y 1=⎧⎨=⎩；(2)x 3 y 7=⎧⎨=⎩；(3)63，73，83 【分析】（1）根据“好解”的定义，求方程的正整数解，先把方程做适当的变形，再列举正整数代入求解；（2）解方程组求得554{5594kxky+=-=，，根据“好解”的定义得5519k-<<，在范围内列举正整数代入求解；（3）根据题意，联立方程组，求出方程组的解，根据“好解”的定义得到k的取值范围，在范围内列举正整数代入求解．【详解】解：（1）由x+2y=7，得y=7x2-（x.y为正整数）.∵x0{7x2-＞＞，即0＜x＜7，∴当x=1时，y=3；当x=3时，y=2；当x=5时，y=1；∴方程x+2y=7的“好解”有x1{y3==，x3{y2==，x5{y1==；（2）由x y k15{x5y10k70++=++=，解得554{5594kxky+=-=，∵55k4{559k4+-＞＞，即-1＜k＜559，∴当k=3时，x=5，y=7，∴方程组x y k15{x5y10k70++=++=有“好解“，∴“好解”为x3 {y7==；（3）由33x23y2019{x y m+=+=，解得201923mx10{33m2019y10-=-=，∵201923m10{33m201910--＞＞，即201933＜m＜201923，∴当m=63时，x=57，y=6；m=73时，x=38，y=39； m=83时，x=11，y=72； ∴所有m 的值为63，73，83. 【点睛】本题考查了三元一次方程组的应用，解题关键是要理解方程（组）的“好解”条件，根据条件求解．23．（1）第三象限；（2）见解析；（3）见解析【解析】【分析】（1）根据平方根的意义得到a ＜0，然后根据各象限点的坐标点的特征可判断点A 在第三象限；（2）先利用方程组34624a b c a b c +-=⎧⎨-+=-⎩，用a 表示b 、c ，得b=2+a.c=a, 则B 点的坐标为（2+a ，a ）,故AB //x 轴，AB=|2+a-a|=2，故11|y |2||||22OABB SAB a a =⨯⨯=⨯⨯= 由若△OAB 的面积大于5而小于8，可得5||8a <<计算即可得a 的取值范围；（3）由AB //x 轴即MN ∥AB 可得MN ∥x 轴，则M 、N 的y 坐标，以及MN=AB =2，可得方程组解得m 、n 的值，即可得出结论；【详解】（1）∵a 没有平方根， ∴a ＜0，∴点A 在第三象限；（2）解方程组34624a b c a b c +-=⎧⎨-+=-⎩用a 表示b 、c ，得2b ac a=+⎧⎨=⎩∵点B 坐标为（b ，c ） ∴点B 坐标为（2+a ，a ） ∵点A 的坐标为（a ，a ） ∴AB =|2+a-a|=2，AB 与x 轴平行∴11|y |2||||22OAB B SAB a a =⨯⨯=⨯⨯= ∵△OAB 的面积大于5而小于8， ∴5||8a <<解得：58a <<或85a -<<- (3) ∵AB ∥x 轴又∵MN ∥AB ∴MN ∥x 轴∵M(2m, 3m-5) N(n-1, -2n-3), MN=AB=2∴3523122m n n m -=--⎧⎨--=⎩∴3523122m n n m -=--⎧⎨--=⎩ 3523122m n n m -=--⎧⎨--=-⎩∴47137m n ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ 或4717m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴847647,,7774M N ⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭、或823623,,7777M N ⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭、【点睛】本题考查了坐标与图形的性质，平方根，解三元一次方程组，三角形的面积，解不等式，审清题意，能灵活运用各个知识点之间的联系是解决的关键.24．（1）31p m +=；（2）正方形有16个，六边形有12个；（3）216s t =⎧⎨=⎩，515s t =⎧⎨=⎩，814s t =⎧⎨=⎩或1113s t =⎧⎨=⎩【解析】【分析】(1)摆1个正方形需要4根小木棍，摆2个正方形需要7根小木棍，摆3个正方形需要10根小木棍…每多一个正方形就多3根小木棍，则摆p 个正方形需要4+3(p-1)=3p+1根小木棍，由此求得答案即可；(2)设连续摆放了六边形x 个，正方形y 个，则连续摆放正方形共用小木棍(3y+1)根，六方形共用小木棍(5x+1)根，由题意列出方程组解决问题即可；(3)由(1)可知每排用的小木棍数比这排小正方形个数的3倍多1根，由此可得s 、t 间的关系，再根据s 、t 均为正整数进行讨论即可求得所有可能的取值. 【详解】(1)摆1个正方形需要4根小木棍，4=4+3×(1-1)，摆2个正方形需要7根小木棍，4=4+3×(2-1)，摆3个正方形需要10根小木棍，10=4+3×(3-1)， ……，摆p 个正方形需要m=4+3×(p-1)=3p+1根木棍，故答案为：31p m +=；(2)设六边形有x 个，正方形有y 个，则51311104x y x y+++=⎧⎨+=⎩，解得1216x y =⎧⎨=⎩，所以正方形有16个，六边形有12个； (3)据题意，350t s +=，据题意，t s ≥，且,s t 均为整数，因此,s t 可能的取值为：216s t =⎧⎨=⎩，515s t =⎧⎨=⎩，814s t =⎧⎨=⎩或1113s t =⎧⎨=⎩. 【点睛】本题考查二元一次方程组的实际运用，找出连续摆放正方形共用小木棍的根数，六方形共用小木棍的根数是解决问题的关键．25．（1）a=2.2,b=4.2;(2) 小王家六月份最多能用水40吨【解析】分析：（1）根据等量关系：“小王家2012年4月份用水20吨，交水费66元”；“5月份用水25吨，交水费91元”可列方程组求解即可；（2）先求出小王家六月份的用水量范围，再根据6月份的水费不超过家庭月收入的2%，列出不等式求解即可. 详解：（1）由题意，得解得（2）当用水量为30吨时，水费为17×(2.2+0.8)+(30-17)×(4.2+0.8)=116（元）， 9200×2%=184（元）， ∵116＜184，∴小王家六月份的用水量可以超过30吨. 设小王家六月份的用水量为x 吨，则 17×3+13×5+6.8(x-30)≤184，解得x≤40.∴小王家六月份最多能用水40吨.点睛：本题考查了二元一次方程组及一元一次不等式的知识，解答本题的关键是仔细审题，将实际问题转化为数学模型求解．26．(1) 购甲、乙、丙三种商品各一件共需90元.(2) 小丽的说法正确. (3) 购A 教具5件、B 教具3件、 C 教具2件、D 教具1件共需3982元. 【解析】分析：（1）设购甲、乙、丙三种商品各一件分别需x 元、y 元、z 元，根据题意列三元一次方程组求解即可；（2）小丽的说法正确．设购甲、乙、丙三种商品各一件分别需x 元、y 元、z 元，根据题意列方程组，变形后用整体思想解答即可；（3）设购买教学用具A 、B 、C 、D 各一件分别需a 元、b 元、c 元、d 元，根据题意列方程组，变形后用整体思想解答即可．详解：（1）设购甲、乙、丙三种商品各一件分别需x 元、y 元、z 元，由题意得： 357490471069023170x y z x y z x y z ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩．解得： 203040x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩．∴ 90x y z ++=．答：购甲、乙、丙三种商品各一件共需90元．（2）小丽的说法正确．设购甲、乙、丙三种商品各一件分别需x 元、y 元、z 元，由题意得：3574904710690x y z x y z ++=⎧⎨++=⎩．变形得：()()()()322490432690x y z y z x y z y z ①②⎧++++=⎪⎨++++=⎪⎩解得：①×3－②×2得：∴x +y +z =90答：购甲、乙、丙三种商品各一件共需90元．（3）设购买教学用具A 、B 、C 、D 各一件分别需a 元、b 元、c 元、d 元，由题意得： 34520185793036a b c d a b c d +++=⎧⎨+++=⎩①② ①×11－②×6得：5a +3b +2c +d =3982答：购A 教具5件、B 教具3件、 C 教具2件、D 教具1件共需3982元．点睛：本题考查了二元一次方程组的应用以及利用换元法解方程组，解题的关键是：（1）用加减消元法解三元一次方程组；（2）（3）运用了整体思想解决问题．解决该题型题目时，整体替换部分是关键．。

人教版七年级下册：第8章《二元一次方程组》培优拔尖习题训练( 附解析)

第8章《二元一次方程组》培优拔尖习题训练一．选择题（共8小题）1．方程x+4y＝20的非负整数解有（）A．4组B．5组C．6组D．无数组2．已知是方程组的解，则a﹣b的值是（）A．﹣1B．1C．﹣5D．53．如果是方程2x+y＝0的一个解（m≠0），那么（）A．m≠0，n＝0B．m，n异号C．m，n同号D．m，n可能同号，也可能异号4．解方程组时，一学生把c看错得，已知方程组的正确解是，则a，b，c的值是（）A．a，b不能确定，c＝﹣2B．a＝4，b＝5，c＝﹣2C．a＝4，b＝7，c＝﹣2D．a，b，c都不能确定5．已知是二元一次方程组的解，则的算术平方根为（）A．±3B．3C．D．6．方程组的解的个数为（）A．1B．2C．3D．47．若2x+5y+4z＝0，3x+y﹣7z＝0，则x+y﹣z的值等于（）A．0B．1C．2D．不能求出8．太原市城乡居民用电价格按用电需求分为三个档次，电价分档递增：第一档电量为170千瓦时及以下，第二档电量为171千瓦时至260千瓦时，第三档电量为261千瓦时及以上，小颖家7月用电量为210千瓦时，交电费102.17元；8月用电量为180千瓦时，交电费86.36元．若第一档电价为x元/千瓦时，第二档电价为y元/千瓦时，则可得方程（）A．B．C．D．二．填空题（共6小题）9．点A是第二象限内一点，且A的坐标（x，y）是二元一次方程2x+y＝3的一组解，请你写出满足条件的点A坐标（写出一个即可）．10．已知方程组与有相同的解，则m+n＝．11．以方程组的解为坐标的点（y，x）在第象限．12．用“代入消元法”解方程组时，可先将第方程（填序号即可）变形为，然后再代入．13．体育馆的环形跑道长400米，甲、乙分别以一定的速度练习长跑和骑自行车．如果同向而行80秒乙追上甲一次；如果反向而行，他们每隔30秒相遇一次；求甲、乙的速度分别是多少？如果设甲的速度是x米/秒，乙的速度是y米/秒，所列方程组是14．如果方程组的解为那么被“*”“△”遮住的两个数分别是．三．解答题（共7小题）15．解下列方程组（1）．（2）．16．小萌知道和都是二元一次方程ax+by+4＝0的解，请你帮她求出a3b的立方根．17．若方程组的解x，y的和为6，求代数式3k+2000的值．18．为了积极推进轨道交通建设，某城市计划修建总长度36千米的有轨电车．该任务由甲、乙两工程队先后接力完成甲工程队每天修建0.06千米，乙工程队每天修建0.08千米，两工程队共需修建500天．根据题意，小明和小华两名同学分别列出尚不完整的方程组如下：小明：小华：（1）根据两名同学所列的方程组，请你分别指出未知数x表示的意义小明：x表示；小华：x表示．（2）求甲、乙两工程队分别修建有轨电车多少千米？19．随着中国传统节日“端午节”的临近，永旺超市决定开展“欢度端午，回馈顾客”的让利促销活动，对部分品牌粽子进行打折销售，其中甲品牌粽子打八折，乙品牌粽子打七五折．已知打折前，买1盒甲品牌粽子和2盒乙品牌粽子需230元；打折后，买50盒甲品牌粽子和40盒乙品牌粽子需要5200元．（1）打折前甲、乙两种品牌粽子每盒分别为多少元？（2）阳光敬老院需购买甲品牌粽子80盒，乙品牌粽子100盒，问打折后购买这批粽子比不打折节省了多少钱？20．如图，数轴上A、B两点表示的数分别为a、b，且a、b满足（1）求a和b的值；（2）在数轴上有一动点P从A点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴正方向向终点B运动，同时另一动点Q从点B出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴负方向向终点A运动，当一个动点到达终点时，另一个动点继续运动若点M为线段PQ的中点，设点P的运动时间为t秒，请用含t的整式表示点M所表示的数；（3）在（2）的条件下，当BQ﹣OP＝90时，求点M所表示的数．21．某铁件加工厂用如图1的长方形和正方形铁片（长方形的宽与正方形的边长相等）加工成如图2的竖式与横式两种无盖的长方体铁容器．（加工时接缝材料不计）（1）如果加工竖式铁容器与横式铁容器各1个，则共需要长方形铁片张，正方形铁片张；（2）现有长方形铁片2014张，正方形铁片1176张，如果加工成这两种铁容器，刚好铁片全部用完，那加工的竖式铁容器、横式铁容器各有多少个？（3）把长方体铁容器加盖可以加工成为铁盒．现用35张铁板做成长方形铁片和正方形铁片，已知每张铁板可做成3个长方形铁片或4个正方形铁片，也可以将一张铁板裁出1个长方形铁片和2个正方形铁片．该如何充分利用这些铁板加工成铁盒，最多可以加工成多少个铁盒？参考答案一．选择题（共8小题）1．【解答】解：二元一次方程x+4y＝20的所有正整数解有：x＝4，y＝4；x＝8，y＝3；x＝12，y＝2；x＝16，y＝1．x＝0，y＝5；x＝20，y＝0．故选：C．2．【解答】解：∵是方程组的解，∴，两个方程相减，得5a﹣5b＝5，∴a﹣b＝1，故选：B．3．【解答】解：把代入方程，得2m+n＝0，即2m＝﹣n，又m≠0，所以m，n为异号．故选：B．4．【解答】解：把代入ax+by＝2，得﹣2a+2b＝2①，把代入方程组，得，则①+②，得a＝4．把a＝4代入①，得﹣2×4+2b＝2，解得b＝5．解③得c＝﹣2．故a＝4，b＝5，c＝﹣2．故选：B．5．【解答】解：将x＝2，y＝1代入方程组得：，①+②×2得：5n＝10，即n＝2，将n＝2代入②得：4﹣m＝1，即m＝3，∴m+3n＝3+6＝9，则＝3，3的算术平方根为．故选：C．6．【解答】解：当x≥0，y≤0时，原方程组可化为：，解得；由于y≤0，所以此种情况不成立．当x≤0，y≥0时，原方程组可化为：，解得．当x≥0，y≥0时，，无解；当x≤0，y≤0时，，无解；因此原方程组的解为：．故选：A．7．【解答】解：根据题意得：，把（2）变形为：y＝7z﹣3x，代入（1）得：x＝3z，代入（2）得：y＝﹣2z，则x+y﹣z＝3z﹣2z﹣z＝0．故选：A．8．【解答】解：小颖家7月电费：170x+（210﹣170）y＝102.17，①小颖家8月电费：170x+（180﹣170）y＝86.36，②①和②联立可得方程组．故选：C．二．填空题（共6小题）9．【解答】解：令x＝﹣1，得﹣2+y＝3，即y＝5，则A的坐标为（﹣1，5）（答案不唯一），故答案为：（﹣1，5）（答案不唯一），10．【解答】解：∵与有相同的解，∴解方程组得，∴解m、n的方程组得∴m+n＝4﹣1＝3．故答案为：3．11．【解答】解：，②﹣①得：3x+3＝0，解得：x＝﹣1，把x＝﹣1代入②得：y＝5﹣1＝4，则（4，﹣1）在第四象限，故答案为：四．12．【解答】解：可将方程②变形为y＝或x＝代入方程①，故答案为：②，y＝（或x＝）．13．【解答】解：根据题意，得．故答案为：．14．【解答】解：把x＝6代入2x+y＝16得：y＝4，把x＝6，y＝4代入得：x+y＝6+4＝10，则被“☆”、“□”遮住的两个数分别是10，4，故答案为：10和4．三．解答题（共7小题）15．【解答】解：（1）．原方程组可化为由①×2﹣②×3，可得4y﹣（﹣9y）＝39，解得y＝3，把y＝3代入①，可得3x+6＝12，解得x＝2，∴方程组的解为；（2）由①+②，可得3x+4y＝18，④由②+③，可得5x+2y＝16，即10x+4y＝32，⑤由⑤﹣④，可得7x＝14，解得x＝2，把x＝2代入④，可得6+4y＝18，∴y＝3，把x＝2，y＝3代入①，可得2+3+z＝6，∴z＝1，∴方程组的解为．16．【解答】解：把和代入二元一次方程ax+by+4＝0得：得：，解得：，则a3b＝（﹣3）3×1＝﹣27，因此，a3b的立方根是﹣3．17．【解答】解：∵x，y的和为6，∴x+y＝6，∴解得：∴3k+2000＝2015．18．【解答】解：（1）小明：x表示甲工程队修建的天数；小华：x表示甲工程队修建的长度．故答案为：甲工程队修建的天数；甲工程队修建的长度．（2）设甲工程队修建x千米，乙工程队修建y千米，由题意得：解得答：甲工程队修建12千米，乙工程队修建24千米．19．【解答】解：（1）设打折前甲品牌粽子每盒x元，乙品牌粽子每盒y元，根据题意得：解得：答：打折前甲品牌粽子每盒70元，乙品牌粽子每盒80元．（2）80×70×（1﹣80%）+100×80×（1﹣75%）＝3120（元）．答：打折后购买这批粽子比不打折节省了3120元．20．【解答】解：（1），①×2﹣②得，a＝﹣50，把a＝﹣50代入①得，﹣100+b＝﹣10，∴b＝90；∴a＝﹣50，b＝90．（2）∵P A＝2t，QB＝5t，∴PQ＝90﹣（﹣50）﹣（2t+5t），或PQ＝（2t+5t）﹣[90﹣（﹣50）]，∵点M为线段PQ的中点，∴点M所表示的数为[90﹣（﹣50）﹣（2t+5t）]或{（2t+5t）﹣[90﹣（﹣50）]}，即点M所表示的数为70﹣t或t﹣70；（3）由题意可知OP＝50﹣2t或OP＝2t﹣50当OP＝50﹣2t，且BQ﹣OP＝90时，有：5t﹣（50﹣2t）＝90∴t＝20此时AP＝2×20＝40，BQ＝20×5＝100﹣50+40＝﹣10，90﹣100＝﹣10∴P、Q重合∴点M表示的数为﹣10当OP＝2t﹣50，且BQ﹣OP＝90时，有：5t﹣（2t﹣50）＝90∴t＝此时AP＝2×＝，BQ＝5×＝﹣50+＝﹣，90﹣＝∴点M表示的数为0．综上，点M所表示的数为﹣10或0．21．【解答】解：（1）如果加工竖式铁容器与横式铁容器各1个，则共需要长方形铁片7张，正方形铁片3张；（2）设加工的竖式铁容器有x个，横式铁容器有y个，根据题意得，解得答：竖式铁容器加工100个，横式铁容器加工538个；（3）设做长方形铁片的铁板m张，做正方形铁片的铁板n张，根据题意得，解得，∵在这35张铁板中，25张做长方形铁片可做25×3＝75（片），9张做正方形铁片可做9×4＝36（片），剩1张可裁出1个长方形铁片和2个正方形铁片，共可做长方形铁片75+1＝76（片），正方形铁片36+2＝38（片），∴可做铁盒76÷4＝19（个）答：最多可加工成铁盒19个．。

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七上数学《二元一次方程组》培优训练题一、用换元法解下列方程组：
（1）
5
34
11
34
x y x y
x y x y
+-
⎧
-=
⎪⎪
⎨
+-
⎪+=
⎪⎩
（2）
⎩
⎨
⎧
=
-
+
-
-
=
-
5
)1
(
)2
(2
)1
(2
2
y
x
y
x
（3）
⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
=
-
+
+
=
-
+
+
1
2
1
3
2
2
2
1
3
2
y
x
y
x
（4）
2332
2
25
3(23)2(32)25
236
x y x y
x y x y
++
⎧
=+
⎪⎪
⎨
++
⎪=+
⎪⎩
（5）
43
10
3225
52
1
3225
x y x y
x y x y
⎧
+=
⎪--
⎪
⎨
⎪-=
⎪--
⎩
（6）
4
239
x y x
x y x
⎧++=
⎪
⎨
++=
⎪⎩
二、用倒数法解下列问题：例：解方程组：13281
237
xy x y xy x y ⎧=⎪+⎪⎨⎪=⎪+⎩
练习：已知115ab a b =+，117bc b c =+，116ca c a =+，求abc ab bc ca
++的值.
三、二元一次方程组解的讨论
二元一次方程组⎩⎨⎧=+=+222
111c y b x a c y b x a 的解的情况有以下三种： ①当212121c c b b a a ==时，方程组有无数多解（两个方程等效）；②当2
12121c c b b a a ≠=时，方程组无解（两个方程是矛盾的）；③当2121b b a a ≠（即a 1b 2－a 2b 1≠0）时，方程组有唯一的解：⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧--=--=12212
11212211221b a b a a c a c y b a b a b c b c x （这个解可用加减消元法求得）
例.选择一组a 、c 值，使方程组⎩
⎨⎧=+=+c y ax y x 275：①有无数多解；②无解；③有唯一的解.
练习：1.不解方程组，判定下列方程组解的情况：
①⎩⎨⎧=-=-96332y x y x ； ②⎩⎨⎧=-=-32432y x y x ； ③⎩
⎨⎧=-=+153153y x y x
2.k 、b 为何值时，方程组(31)2
y kx b y k x =+⎧⎨=-+⎩：①有无数多解；②无解；③有唯一的解.
四、一次不定方程的解法
例.小张带了5角钱去买橡皮和铅笔，橡皮每块3分，铅笔每支1角1分，问5角钱刚好买几块橡皮和几支铅笔？
练习：求不定方程x -y=2的正整数解．
总结：定理如果a ，b 是互质的正整数，c 是整数，且方程ax+by=c ①有一组整数解x 0，y 0则此方程的一
切整数解可以表示为00x x bt y y at =-⎧⎨=+⎩
（其中t=0，±1，±2，±3，…）证明：因为x 0，y 0是方程①的整数解，当然满足ax 0+by 0=c ， ②
因此a(x 0-bt)+b(y 0+at)=ax 0+by 0=c ．
这表明x=x 0-bt ，y=y 0+at 也是方程①的解．
设x ＇，y ＇是方程①的任一整数解，则有：ax ＇+bx ＇=c. ③
③-②得：a(x ＇-x 0)=b ＇(y ＇-y 0)． ④
由于(a ，b)=1，所以a ｜y ＇-y 0，即y ＇=y 0+at ，其中t 是整数．将y ＇=y 0+at 代入④，即得x ＇=x 0-bt ．因此x ＇， y ＇可以表示成x=x 0-bt ，y=y 0+at 的形式，所以x=x 0-bt ，y=y 0+at 表示方程①的一切整数解，命题得证．
练习：1.求11x+15y=7的整数解．
2.求方程6x+22y=90的非负整数解．
3.某国硬币有5分和7分两种，问用这两种硬币支付142分货款，有多少种不同的方法？。