圆有关定理
圆的性质与定理
圆的性质与定理圆是几何学中的重要概念之一，具有许多独特的性质与定理。
本文将探讨圆的性质与定理，帮助读者更好地理解和应用圆的相关知识。
一、圆的定义圆是由平面上所有到一个固定点距离相等的点构成的集合。
这个固定点称为圆心，到圆心距离相等的线段称为半径。
用符号"O"表示圆心，符号"r"表示半径，圆的表示方法为“⭕O(r)”。
二、圆的基本性质1. 圆的任意两点与圆心的距离相等。
2. 圆的半径是其上任意一条线段的长度。
三、圆的定理1. 切线定理在圆上，从圆外一点引一条切线，切点与切线上这个点连线构成的角为直角。
2. 弧与角定理圆上的弧都对应着一定的角度，且弧度与弧长之间存在以下关系：弧长 = 半径 ×弧度。
3. 弧的夹角定理两条弧的夹角等于它们所对应的圆心角的一半。
4. 弧的角度定理圆的一周对应的弧长为360度。
5. 弦定理在圆上，连接两点形成的线段叫做弦。
当两条弦的交点在圆内时，交点两侧弦的长度之积等于交点所在的直径的长度之积。
6. 弧的角平分线定理一条弧的角平分线等于它所对应的圆心角的一半。
7. 弦切定理在圆上，连接圆内一点与该点和圆心之间交点形成的弦，与从该点引出的切线垂直。
8. 弧切定理在圆上，连接圆内一点与该点所在的弧上两点形成的弦，与从该点引出的切线垂直。
9. 弧线辅助角定理圆上两点和圆心连线形成的角等于这两点所对应的圆弧的一半。
10. 垂径定理在圆上，从圆心引一条与弦垂直的线段，该线段叫做垂径。
垂径恰好平分弦。
11. 弦心角定理弦心角等于它所对应的弧的一半。
12. 圆的对称性圆具有无穷多个对称轴，其中最重要的是直径，即通过圆心且与圆上两点相连形成的线段。
综上所述，圆是由所有到圆心距离相等的点构成的集合，它具有许多独特的性质与定理。
通过了解和应用这些性质与定理，我们可以更好地理解圆的特点，解决与圆相关的几何问题。
无论是平面几何还是立体几何等领域，圆的性质与定理都是基础且重要的知识点。
圆公共弦定理证明
圆公共弦定理证明圆的十八个定理1、圆心角定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等。
推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两弦的弦心距中有一组量相等那么它们所对应的其余各组量都相等2、圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。
推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所推论3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形3、垂径定理：垂直弦的直径平分该弦，并且平分这条弦所对的两条弧。
推论1：①平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧②弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等4、切线之判定定理：经过半径的外端并且垂直于该半径的直线是圆的切线。
5、切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，他们的切线长相等，这一点与圆心的连线平分这两条切线的夹角。
6、公切线长定理：如果两圆有两条外公切线或两条内公切线，那么这两条外公切线长相等，两条内公切线长也相等。
如果他们相交，那么交点一定在两圆的连心线上。
7、相交弦定理：圆内两条弦相交，被交点分成的两条线段长的乘积相等。
8、切割线定理：从圆外一点向圆引一条切线和一条割线，则切线长是这点到割线与圆的两个交点的两条线段长的比例中项。
9、割线长定理：从圆外一点向圆引两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等。
10、切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心11、弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧对的圆周角推论：如果两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角也相等12、定理：相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦13、定理：把圆分成n（n≥3）：（1）依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正n边形2）经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形14、定理：任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆15、定理：任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆16、定理：正n边形的半径和边心距把正n边形分成2n个全等的直角三角形17、定理：圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角。
圆的相关定理
圆幂定理定义圆幂=PO^2-R^2（该结论为欧拉公式）所以圆内的点的幂为负数，圆外的点的幂为正数，圆上的点的幂为零。
相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。
切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。
割线定理：从圆外一点P引两条割线与圆分别交于A、B；C、D，则有PA·PB=PC·PD。
统一归纳：过任意不在圆上的一点P引两条直线L1、L2，L1与圆交于A、B（可重合，即切线），L2与圆交于C、D（可重合），则有PA·PB=PC·PD。
相交弦定理圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。
（经过圆内一点引两条弦，各弦被这点所分成的两段的积相等）相交弦说明几何语言：若弦AB、CD交于点P则PA·PB=PC·PD（相交弦定理）推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的例中项几何语言：若AB是直径，CD垂直AB于点P，则PC^2=PA·PB（相交弦定理推论）切割线定理定义从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。
是圆幂定理的一种。
几何语言：∵PT切⊙O于点T，PBA是⊙O的割线∴PT的平方=PA·PB（切割线定理）推论：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等几何语言：∵PT是⊙O切线，PBA，PDC是⊙O的割线∴PD·PC=PA·PB（切割线定理推论）(割线定理）由上可知:PT∧2（平方）=PA·PB=PC·PD证明切割线定理证明:设ABP是⊙O的一条割线，PT是⊙O的一条切线，切点为T，则PT^2=PA·PB证明：连接AT, BT∵∠PTB=∠PAT(弦切角定理)∠P=∠P(公共角)∴△PBT∽△PTA(两角对应相等,两三角形相似)则PB：PT=PT：AP即：PT^2=PB·PA割线定理定义从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆交点的距离的积相等。
与圆相关的定理
与圆相关的定理就说圆周角定理吧。
圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半。
想象一下，圆就像一个大舞台，圆心角在舞台中央大大咧咧地站着，而圆周角呢，在边上小心翼翼地瞅着圆心角。
这个定理就像是它们之间的小秘密，不管这个圆是大是小，这个秘密都不会变哦。
这就好像是无论在大公司还是小团队里，一些基本的规则就是规则，不会因为规模而改变呢。
还有切线长定理。
从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等。
这就好比是两个小伙伴，从圆外面的同一个地方出发，朝着圆冲过去，想要紧紧抱住圆，结果它们抱住圆的那一小段长度居然是一样的。
是不是很神奇呀？就像两个人同时去争取一个东西，最后得到的成果居然是一样公平的，圆可真是个公正的裁判呢。
圆幂定理也很有意思。
相交弦定理、切割线定理、割线定理都是它的组成部分。
相交弦定理就像是两个好朋友在圆里面交叉握手，它们各自线段长度的乘积是相等的。
这就好像两个人互相分享东西，虽然东西的形式不同，但价值是一样的。
切割线定理呢，就像是一个勇敢的小线段，从圆外冲向圆，它和圆外部分与圆内部分的关系也有着固定的规律。
这就好比我们在生活中，当我们朝着一个目标前进的时候，我们和目标之间的关系也是有着某种规律的，只要我们努力去发现。
在我们的生活中，圆到处都是。
车轮是圆的，因为圆的这个特性，车子才能平稳地跑起来。
盘子、碗好多也是圆的。
这些圆的东西就在我们身边，它们身上的定理也像是隐藏的小魔法一样。
我们学习这些定理的时候，就像是在探索圆的小世界里的宝藏。
有时候可能会觉得有点难，就像在迷宫里找路一样，但是一旦找到了，就会特别有成就感。
圆的定理不仅仅是数学知识，更像是一个个有趣的小故事，在等着我们去讲述、去分享呢。
圆的十大定理
圆的十大定理一、圆上三点确定一个圆的定理一个圆的确定需要三个不共线的点。
这三个点可以用来确定圆心和半径，从而确定一个唯一的圆。
二、垂径定理如果一条直线通过圆心，则该直线将圆分成两个相等的部分，且该直线与圆的两部分都垂直。
这个定理是圆的几何性质中的基本定理之一。
三、圆心角定理在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，反之亦然。
这个定理是圆的基本性质之一，是几何学中重要的定理之一。
四、圆周角定理一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。
这个定理在几何学中非常重要，是解决许多与圆相关的问题的基础。
五、直径所对的圆周角为直角定理直径所对的圆周角是直角。
这个定理是基本的几何性质之一，也是解决许多问题的基础。
六、圆内接四边形的对角互补定理圆内接四边形的对角互补，即一个内角等于它的对角的补角。
这个定理是解决与圆相关的四边形问题的关键之一。
七、切割线定理从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。
这个定理在解决与圆相关的比例问题中非常有用。
八、相交弦定理若两弦交替相交于圆内，则这两弦与圆的交点所形成的线段长度的乘积等于这两弦长的乘积的一半。
这个定理在解决与弦和交点相关的问题中非常有用。
九、弦切角定理弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角的一半。
这个定理在研究弦、切线和角度之间的关系时非常有用。
十、两圆连心线段垂直平分两圆公共弦定理两个相交圆的连心线垂直平分两圆的公共弦。
这个定理是解决与两个相交圆的公共部分相关的问题的基础。
与圆有关的定理
与圆有关的定理
圆的定理：1、垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的2条弧。
2、垂径定理：垂直弦的直径平分该弦，并且平分这条弦所对的两条弧。
3、切线定理：垂直
于过切点的半径；经过半径的外端点，并且垂直于这条半径的直线，是这个圆的切线。
1、公切线长定理：如果两圆有两条外公切线或两条内公切线，那么这两条外公切线
长相等，两条内公切线长也相等。
如果他们相交，那么交点一定在两圆的连心线上。
2、切线短定理：从铅直一点至圆的两条切线的长成正比，那点与圆心的连线平分切
线的夹角。
4、割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆交点的距离的积
相等。
5、垂径定理：旋转轴弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧。
6、弦切角定理：弦切角等于对应的圆周角。
(弦切角就是切线与弦所夹的角）。
7、圆心角定理：在同圆或等圆中，成正比的圆心角所对弧成正比，面元的弦成正比，面元的弦的弦心距成正比。
8、圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。
9、平行弦定理：圆内两条弦平行，被交点分为的两条线段长的乘积成正比。
10、定理：任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆。
11、定理：任何正多边形都存有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆就是同心圆。
12、定理：相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦。
13、定理：把圆分为n(n≥3)：。
圆的性质及相关定理
圆的性质及相关定理圆是几何学中的一个基本概念，是由平面上所有距离等于定值的点构成的图形。
在这篇文章中，我们将探讨圆的性质及相关定理，帮助读者更好地理解和应用圆的知识。
一、圆的基本性质1. 圆心和半径：每个圆都有一个圆心和一个半径。
圆心是圆上所有点的中心位置，通常用字母O表示。
半径是从圆心到圆上的任意点的距离，通常用字母r表示。
2. 直径：直径是通过圆心的任意两点间的线段。
直径的长度等于半径的两倍。
3. 弧：圆上两点之间的弧是连接这两点的圆上的一部分。
圆上的弧可以根据其长度分为弧长和弧度。
4. 弦：弦是连接圆上任意两点的线段。
直径是最长的弦。
5. 弧度和角度：弧度是一个与圆的半径相关的度量单位，用符号rad表示。
角度是以度为单位的度量，用符号°表示。
二、圆的定理1. 切线定理：从圆外一点引一条切线，切线与半径的连线垂直。
2. 切线与弦定理：切线和弦的交点处的角等于从该点到弦的两个割线所夹的弧对应的角。
3. 弧中角定理：在同一个圆上，弧所对的圆心角相等，而弧所对的弦所夹的角则相等。
4. 圆心角定理：在同一个圆上，圆心角是其所对弧的两倍。
5. 弧长定理：同样大小的圆心角所对应的弧长相等。
6. 切割圆定理：如果有两个弧相交于圆心，它们所对的圆心角互补（和为180°）。
三、应用示例1. 计算圆的面积：圆的面积公式为A = πr²，其中A表示面积，π是一个近似值，约等于3.14，r为半径。
2. 计算圆的周长：圆的周长公式为C = 2πr，其中C表示周长，π是一个近似值，约等于3.14，r为半径。
3. 判断点是否在圆内：计算点到圆心的距离，如果小于半径，则点在圆内。
4. 判断两个圆是否相交：计算两个圆心之间的距离，如果小于两个半径之和，则两个圆相交。
总结：本文介绍了圆的基本性质和相关定理。
通过学习圆的性质，我们可以更好地理解和应用圆的知识，解决与圆相关的几何问题。
希望本文对读者有所帮助，并在几何学学习中起到指导作用。
圆的12条常用结论
圆的12条常⽤结论垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的弧；平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧。
如图，AB 是圆O 的⼀条弦，CD 是直径，如果CD ⊥AB 于点M ，则AM=BM ，AC=CB ；如果AM=BM ，则CD ⊥AB ，AC=CB。
同⼀条弧所对的圆周⾓等于它所对的圆⼼⾓的⼀半。
如图①②③，下⾯仅证明图③⼀种情况。
已知：如图，∠BAC 是弧BC 所对的圆周⾓，∠BOC 是弧BC 所对的圆⼼⾓求证：∠BAC=1/2∠BOC01垂径定理02圆周⾓与圆⼼⾓关系证明：连接O 、A 与B 、C ，则△OAC 为等腰三⾓形则∠COA=180°-2∠OAC=180°-2（∠BAC+∠BAO ）⼜因为均为等腰三⾓形所以∠BOA+2∠BAO=180°即（∠BOC+∠COA ）+2∠BAO=180°即[∠BOC+180°-2（∠BAC+∠BAO ）]+2∠BAO=180°化简得∠BAC=1/2∠BOC同圆或等圆中，如果两个圆周⾓、两个圆⼼⾓、两条弧、两条弦、两条弦⼼距这五个量中只要有⼀组量相等，那么它们所对的其余各组量也分别相等。
直径（或半圆）所对的圆周⾓是直⾓；90°的圆周⾓所对的弦是直径。
如图，圆O 的两条弦AB 、CD 相交与点E ，则AE·EB=CE·ED圆的切线垂直于过其切点的半径；经过半径的⾮圆⼼⼀端，并且垂直于这条半径的直线，就是这个圆的⼀条切线。
切线与弦所夹的⾓等于它们所夹的弧所对的圆周⾓。
如图，AB 切O 于点A ，AC 是O 的⼀条弦，D 为圆上⼀点，则∠BAC=∠ADC03五等关系04直径（或半圆）所对的圆周⾓是直⾓05相交弦定理06切线垂直于过切点的半径07弦切⾓定理证明：连接OA 、OC ，则OA ⊥AB ，即∠BAC+∠OAC ＝90°⼜因为在等腰△OAC 中，∠OAC=1/2（180°-∠AOC ）=90°-1/2∠AOC所以∠BAC+90°-1/2∠AOC=90°即∠BAC=1/2∠AOC所以∠BAC=∠ADC如图，AB 切O 于点B ，过A 点的割线分别交O 于点C 、D ，则AB²=AC·AD 证明：连接BC 、BD ，由弦切⾓定理可知∠ABC=∠BDA⼜因为 ∠A=∠A所以△ABC ∽△ADB所以AB/AD=AC/AB 即AB²=AC·AD08切割线定理如图，AB 、AC 均是O 的切线，则AB=AC 如图，AB ∥CD ，则AC=BD共斜边的两直⾓三⾓形共圆，如图①②对⾓互补的四边形四个顶点共圆。
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切线长定理、弦切角定理、切割线定理、相交弦定理
以及与圆有关的比例线段
１．切线长概念
切线长是在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长度，“切线长”是切线上一条线段的长,具有数量的特征，而“切线”是一条直线，它不可以度量长度。
2.切线长定理
如图1对于切线长定理，应明确(1)若已知圆的两条切线相交，则切线长相等；（2)若已知两条切线平行，则圆上两个切点的连线为直径；（３）经过圆外一点引圆的两条切线，连结两个切点可得到一个等腰三角形;(4）经过圆外一点引圆的两条切线，切线的夹角与过切点的两个半径的夹角互补；(5）圆外一点与圆心的连线,平分过这点向圆引的两条切线所夹的角。
３．弦切角(如图2)：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角。
直线AＢ切⊙O于P，PC、ＰＤ为弦，图中几个弦切角呢?(四个)∠APC,∠APD,∠ＢＰＤ,∠BPC
4.弦切角定理：弦切角等于其所夹的弧所对的圆周角。
即如上图中∠APC=∠CＤP等
证明:如图2，连接CD、OC、OP,因为∠CPＯ=∠PCO,所以∠COP=180︒-2∠CPO而∠ＣPO＝9０︒－∠APC,故∠COP=2∠5.弄清和圆有关的角：圆周角，圆心角，弦切角,圆内角，圆外角。
6．遇到圆的切线，可联想“角”弦切角，“线”切线的性质定理及切线长定理。
7．与圆有关的比例线段
定理图形已知结论证法
相交
弦定
理
⊙O
中,AB、
ＣＤ为
弦,交于
P．
PA·ＰB=PＣ·PD
连结AC、ＢD,∠C＝∠B,∠A=∠D,
所以△APC∽△DPB
相交
弦定
理的
推论
⊙O中，
AB为直
径，Ｃ
D⊥ＡＢ
于P．
PC2=PA·PB
用相交弦定理．
切割
线定
理
⊙O
中,PT切
⊙O于T,
割线PB
交⊙O于
A
PT2=ＰA·PＢ
连结TＡ、TB,则∠PTA=∠B(弦
切角等于同弧圆周角）所以
△PTA∽△PBＴ，所以
PT2=PＡ·PB
图1 图2
切割
线定
理推
论
PB、PD
为⊙O的
两条割
线,交⊙
Ｏ于Ａ、
C
PA·PＢ＝PC·ＰD
过P作PT切⊙O于T,用两次切割
线定理
圆幂
定理
⊙O中，
割线ＰＢ
交⊙O于
Ａ，CD
为弦
Ｐ'C·P'D=r2-OP＇２
PA·ＰB=OP２－r2
ｒ为⊙O的半径
延长P＇O交⊙O于M,延长OＰ'
交⊙O于N，用相交弦定理证;过
P作切线用切割线定理勾股定理
证
8.圆幂定理:过一定点Ｐ向⊙O作任一直线，交⊙O于两点,则自定点P到两交点的两条线段之积为常数||(R 为圆半径）,因为叫做点对于⊙O的幂，所以将上述定理统称为圆幂定理。
例1.如图1,正方形ABCD的边长为1，以BC为直径。
在正方形内作半圆O，过Ａ作半圆切线,切点为F,交ＣＤ于E,求DE：AＥ的值。
图1
例2.⊙O中的两条弦ＡＢ与CD相交于Ｅ,若AＥ=6cm，ＢE＝２cm，CD=7cｍ,求CE。
图2
例3．已知PＡ是圆的切线，PＣB是圆的割线,则:
:2
2PB
AC
AB ________。
例4.如图3，P是⊙O外一点，PＣ切⊙O于点C,PAB是⊙Ｏ的割线,交⊙Ｏ于A、B两点,如果PA:ＰB＝１：４,PC=１2ｃm,⊙Ｏ的半径为１0cｍ,则圆心O到AB的距离是___＿____＿__cm。
图3
例5．如图4,ＡB为⊙Ｏ的直径,过B点作⊙O的切线BC，OC交⊙O于点Ｅ，ＡE的延长线交BC于点Ｄ,求证：
（1)CB CD CE •=2
;(２）若A Ｂ＝ＢＣ=2厘米，求CE 、CD 的长。
图4
例6.如图5,AB 为⊙O 的直径，弦CD ∥AB ，AE 切⊙Ｏ于Ａ,交ＣD 的延长线于Ｅ。
求证:DE AB BC •=2
图5
例7.如图6,PA 、P Ｃ切⊙Ｏ于A 、Ｃ,PDB 为割线。
求证：AD·BC ＝CD·AB
图6
例8．如图7,在直角三角形ABC 中，∠A ＝90°,以AB 边为直径作⊙Ｏ，交斜边BC 于点Ｄ,过Ｄ点作⊙O 的切线交AC 于Ｅ。
求证：BC ＝２ＯE 。
图７
例９.如图8，在正方形ABCD 中，A Ｂ=１，⋂
AC 是以点Ｂ为圆心，AB 长为半径的圆的一段弧。
点Ｅ是边AD 上的任意一点（点E 与点A 、D 不重合),过E 作⋂
AC 所在圆的切线,交边D Ｃ于点F,Ｇ为切点。
当∠ＤE Ｆ＝45°时,求证:点G 为线段EF 的中点；
图8
【模拟试题】（答题时间：40分钟）
一、选择题
1.已知:PA 、PB 切⊙O 于点A 、B ，连结AB,若A Ｂ=８，弦A Ｂ的弦心距3,则PA=( ）
A ．２0／3 B.25/3 C. 5 D. ８
2.下列图形一定有内切圆的是（ ）
Ａ.平行四边形 Ｂ.矩形
Ｃ.菱形 D.梯形 3.已知：如图1直线MN 与⊙Ｏ相切于C,AB 为直径，∠CA Ｂ＝40°，则∠MCA 的度数( )
图１ Ａ． ５0° B. 40° C. 60° D ． 55° 4.圆内两弦相交,一弦长8c ｍ且被交点平分,另一弦被交点分为1:4,则另一弦长为（ )
Ａ. ８ｃm B. １0ｃm C ． １２ｃm D ． 1６cm
5.在△A ＢC 中，D 是B Ｃ边上的点,AD ＝22c ｍ，B Ｄ=３c ｍ,DC=４cm ，如果Ｅ是AD 的延长线与△AB Ｃ的外接圆的交点,那么D Ｅ长等于( ）
Ａ. 32ｃm Ｂ. 23ｃm C. 22cm D. 33ｃm 6. ＰＴ切⊙O 于T,CT 为直径,D 为OC 上一点，直线PD 交⊙O 于B 和A,Ｂ在线段P Ｄ上,若ＣD ＝2，AD ＝3，BD ＝4，则PB 等于( ）
A. ２０ B ． 10 Ｃ. 5 Ｄ.
二、填空题
7. AB 、C Ｄ是⊙O 切线,AB ∥CD,ＥF 是⊙O 的切线，它和ＡＢ、CD 分别交于E 、Ｆ,则∠ＥOF=____＿___＿__＿_度。
８.已知:⊙Ｏ和不在⊙O 上的一点P,过P 的直线交⊙O 于A 、Ｂ两点，若ＰA·PB=24,ＯP=５，则⊙O 的半径长为_＿____＿＿_＿_＿_。
9.若PA 为⊙O 的切线，Ａ为切点,PB Ｃ割线交⊙O 于B 、Ｃ,若BC ＝2０,PA=310，则PC 的长为_＿______＿＿＿＿_。
１０.正△ＡBC 内接于⊙O,Ｍ、Ｎ分别为ＡB 、AC 中点,延长MN 交⊙O 于点D,连结BD 交A Ｃ于P,则
PA
PC
=＿_＿__＿___＿_＿_。
三、解答题
11.如图2，△ＡB Ｃ中,ＡC ＝2cm,周长为８cm,F 、K 、N 是△A ＢC 与内切圆的切点，DE 切⊙O 于点M,且DE ∥ＡC,求DE 的长。
图2
１２.如图3，已知P 为⊙Ｏ的直径AB 延长线上一点,PC 切⊙O 于C,ＣD ⊥AB 于D,求证：CB 平分∠DCP 。
图3
１3．如图4，已知A Ｄ为⊙O 的直径,AB 是⊙O 的切线,过B 的割线BM Ｎ交AD 的延长线于C ，且B Ｍ＝ＭN=NC ，若AB=22cm ，求⊙O 的半径。
图４。