欧拉函数公式及其证明
欧拉公式
欧拉公式欧拉公式是指以欧拉命名的诸多公式。
其中最著名的有，复变函数中的欧拉幅角公式，即将复数、指数函数与三角函数联系起来。
拓扑学中的欧拉多面体公式。
初等数论中的欧拉函数公式。
欧拉公式描述了简单多面体顶点数、面数、棱数特有的规律，它只适用于简单多面体。
常用的欧拉公式有复数函数e^ix=cosx+isinx，三角公式d＾2=R＾2-2Rr ，物理学公式F=fe^ka 等。
复变函数e^ix=cosx+isinx，e是自然对数的底，i是虚数单位。
它将三角函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位。
欧拉公式e^ix=cosx+isinx的证明：因为e^x=1+x/1！+x^2/2！+x^3/3!+x^4/4!+……cos x=1-x^2/2!+x^4/4!-x^6/6!……sin x=x-x^3/3!+x^5/5!-x^7/7!……在e^x的展开式中把x换成±ix.(±i)^2=-1, (±i)^3=∓i, (±i)^4=1 ……e^±ix=1±ix/1!-x^2/2!∓ix^3/3!+x^4/4!……=(1-x^2/2!+……)±i(x-x^3/3!……)所以e^±ix=cosx±isinx将公式里的x换成-x，得到：e^-ix=cosx-isinx，然后采用两式相加减的方法得到：sinx=(e^ix-e^-ix)/(2i)，cosx=(e^ix+e^-ix)/2.这两个也叫做欧拉公式。
将e^ix=cosx+isinx中的x 取作π就得到：恒等式e^iπ+1=0.这个恒等式也叫做欧拉公式，它是数学里最令人着迷的一个公式，它将数学里最重要的几个数字联系到了一起：两个超越数：自然对数的底e，圆周率π，两个单位：虚数单位i和自然数的单位1，以及被称为人类伟大发现之一的0。
数学家们评价它是“上帝创造的公式”那么这个公式的证明就很简单了，利用上面的e^±ix=cosx±isinx。
初数数学中的数论公式解析
初数数学中的数论公式解析数论作为数学的一个重要分支，研究整数的性质和相互关系。
在初等数论中，有许多重要的数论公式，它们能够帮助我们解决一些关于整数的问题。
本文将对一些常见的数论公式进行解析，帮助读者更好地理解和掌握数论知识。
一、欧拉函数公式欧拉函数是一个十分重要的数论函数，通常表示为φ(n)，表示小于等于n且与n互质的正整数的个数。
欧拉函数有一个重要的性质，即对于任意的正整数n，都有以下公式成立：φ(n) = n × (1 - 1/p₁) × (1 - 1/p₂) × ... × (1 - 1/pₙ)其中p₁, p₂, ..., pₙ是n的所有不同的素因子。
这个公式的解析非常简单明了：首先我们将n进行素因数分解，得到n的所有不同的素因子。
然后，对于每个素因子p，将1减去1/p的值，再将这些结果相乘，最后再乘以n，即可得到欧拉函数的值φ(n)。
二、费马小定理费马小定理是一个重要的数论定理，它表明如果p是一个素数，a 是一个整数且不被p整除，那么a的p-1次方除以p的余数等于1：a^(p-1) ≡ 1 (mod p)这个公式的解析也比较简单：根据费马小定理，我们可以利用这个公式来进行模幂运算。
首先，将指数p-1进行二进制拆分，然后利用模运算的性质求取每一位的幂运算结果，最后再将这些结果相乘，再进行一次模运算，即可得到最终结果。
三、威尔逊定理威尔逊定理是另一个与素数相关的重要数论定理，它表明如果p是一个素数，那么(p-1)!除以p的余数等于p-1：(p-1)! ≡ -1 (mod p)这个公式的解析稍微复杂一些。
首先，我们可以利用质数的定义以及基本的数论知识来证明威尔逊定理。
然后，我们可以通过数学归纳法来证明(p-1)! ≡ -1 (mod p)成立。
最后，利用模运算的性质，我们可以证明(p-1)!除以p的余数等于p-1。
四、高斯二项式定理高斯二项式定理是一个经典的数论定理，它可以用于计算组合数的模运算结果。
欧拉函数证明过程
欧拉函数证明过程
欧拉函数是一个重要的数论函数,用来计算小于或等于某个正整数n 的所有与n互质的正整数的个数。
欧拉函数记作φ(n),其定义为:
φ(n) = |{k∈N|1≤k≤n且gcd(k,n)=1}|
其中,gcd(k,n)表示k和n的最大公约数。
欧拉函数的证明过程如下:
1. 先证明当n是质数时,φ(n)=n-1。
证明:对于任意一个质数n,小于或等于n的正整数中,只有1和n本身与n不互质。
其余的n-1个数(2,3,...,n-1)都与n互质。
因此,φ(n)=n-1。
2. 再证明当n=p^k(p为质数,k为正整数)时,φ(n)=p^k-p^(k-1)。
证明:根据算术基本定理,n=p^k可以唯一分解为p的k次幂的形式。
那么小于或等于n的正整数中,与n不互质的数就是p的所有非零次幂,共有p^(k-1)个。
其余的p^k-p^(k-1)个数都与n互质。
因此,φ(n)=p^k-p^(k-1)。
3. 对于一般的正整数n,利用算术基本定理,将n分解为不同质数的幂的乘积:n=p_1^(k_1)*p_2^(k_2)*...*p_r^(k_r)。
根据乘法函数的性质,有:
φ(n)=φ(p_1^(k_1))*φ(p_2^(k_2))*...*φ(p_r^(k_r))
=(p_1^(k_1)-p_1^(k_1-1))*(p_2^(k_2)-p_2^(k_2-1))*...*(p_r^(k_r)-p_r^(k_r-1))
这就是著名的欧拉函数计算公式。
通过上述三步,我们就完整地证明了欧拉函数的计算方法。
欧拉公式的证明及应用举例
高中数学120·同步辅导·选修2-2高中数学·北师大版2016年11月1欧拉公式的证明与应用【欧拉公式】公式：简单多面体的顶点数V 、面数F 及棱数E 之间有关系：2=-+E F V 。
【欧拉公式的证明】方法1：（利用几何画板）逐步减少多面体的棱数，分析E F V -+先以简单的四面体ABCD 为例：（分析法）去掉一个面，使它变为平面图形，四面体顶点数V 、棱数E 与剩下的面数1F 变形后都没有变。
因此，要研究2=-+E F V ，只需去掉一个面变为平面图形，证11=-+E F V ；（1）去掉一条棱，就减少一个面，E F V -+1不变。
依次去掉所有的面，变为“树枝形”。
（2）从剩下的树枝形中，每去掉一条棱，就减少一个顶点，E F V -+1不变，直至只剩下一条棱。
以上过程E F V -+1不变，则11=-+E F V ，所以加上去掉的一个面，2=-+E F V 。
对任意的简单多面体，运用这样的方法，都是只剩下一条线段。
因此公式对任意简单多面体都是正确的。
方法2：计算多面体各面内角和设多面体顶点数V ，面数F ，棱数E 。
剪掉一个面，使它变为平面图形（拉开图）,求所有面内角总和α∑；一方面，在原图中利用各面求内角总和。
设有F 个面，各面的边数为1n ,2n ，…，F n ，各面内角总和为：]180)2(180)2(180)2[(21︒⋅-++︒⋅-+︒⋅-=∑F n n n α︒⋅-+++=180)2(21F n n n F ︒⋅-=︒⋅-=360)(180)22(F E F E （1）另一方面，在拉开图中利用顶点求内角总和。
设剪去的一个面为n 边形，其内角和为︒⋅-180)2(n ，则所有V 个顶点中，有n 个顶点在边上，n V -个顶点在中间。
中间n V -个顶点处内角和为︒⋅-360)(n V ，边上的n 个顶点处的内角和︒⋅-180)2(n 。
则多面体各面的内角总和：︒⋅-=︒⋅-+︒⋅-+︒⋅-=∑360)2(180)2(180)2(360)(V n n n V α（2）由(1)(2)得：︒⋅-=︒⋅-360)2(360)(V F E ，所以2=-+E F V .【欧拉公式的意义】（1）数学规律：公式描述了简单多面体中顶点数、面数、棱数之间特有的规律；（2）思想方法创新：定理发现证明过程中，观念上，假设它的表面是橡皮薄膜制成的，可随意拉伸；方法上将底面剪掉，化为平面图形（立体图→平面拉开图）。
欧拉公式简介
欧拉公式e^ix=cosx+isinx，e是自然对数的底，i是虚数单位。
它将三角函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位。
e^ix=cosx+isinx的证明：因为e^x=1+x/1！+x^2/2！+x^3/3!+x^4/4!+……cos x=1-x^2/2!+x^4/4!-x^6/6!……sin x=x-x^3/3!+x^5/5!-x^7/7!……在e^x的展开式中把x换成±ix.(±i)^2=-1, (±i)^3=∓i, (±i)^4=1 ……e^±ix=1±ix/1!-x^2/2!∓ix^3/3!+x^4/4!……=(1-x^2/2!+……)±i(x-x^3/3!……)所以e^±ix=cosx±isinx将公式里的x换成-x，得到：e^-ix=cosx-isinx，然后采用两式相加减的方法得到：sinx=(e^ix-e^-ix)/(2i)，cosx=(e^ix+e^-ix)/2.这两个也叫做欧拉公式。
将e^ix=cosx+isinx中的x取作π就得到：e^iπ+1=0.这个恒等式也叫做欧拉公式，它是数学里最令人着迷的一个公式，它将数学里最重要的几个数字联系到了一起：两个超越数：自然对数的底e，圆周率π，两个单位：虚数单位i和自然数的单位1，以及被称为人类伟大发现之一的0。
数学家们评价它是“上帝创造的公式”那么这个公式的证明就很简单了，利用上面的e^±ix=cosx±isinx。
那么这里的π就是x，那么e^iπ=cosπ+isinπ=-1那么e^iπ+1=0这个公式实际上是前面公式的一个应用[1]欧拉公式欧拉公式有4条（1）分式：a^r/(a-b)(a-c)+b^r/(b-c)(b-a)+c^r/(c-a)(c-b)当r=0,1时式子的值为0当r=2时值为1当r=3时值为a+b+c（2）复数由e^iθ=cosθ+isinθ,得到：sinθ=（e^iθ-e^-iθ）/2icosθ=（e^iθ+e^-iθ）/2此函数将两种截然不同的函数---指数函数与三角函数联系起来，被誉为数学中的“天桥”。
欧拉函数及其证明
欧拉函数及其证明欧拉函数定义：phi(n) = 1到n中与n互质的数的个数 有公式： phi(n) = n* ∏ ( 1 - 1/pi ) 其中p为n的所有质因⼦,每个质因⼦只算⼀次下⾯是证明：1. 当n为质数，显然phi(n) = n-12. 当n=p^k ，其中p为素数 与n不互质的数必定有p因⼦，把p提出来 于是不互质的数有{ p*1, p*2, p*3, ......, p*p^(k-1) } 于是互质的数即phi(n) = p^k - p^(k-1) = p^k * ( 1 - 1/p )3. 当n= (x^a)*(y^a), 其中x和y为不相同的素数 有phi(n*m)=phi(m)*phi(n) , 当m和n互质 证明这个之前先证明 ( {1, 2, 3, 4, ....n } , {1, 2, 3, 4, ...... m }) 与 {1, 2, 3, 4, ...... m*n } ⼀⼀对应 (m,n互质) ①从m*n到（m,n）的唯⼀性 m*n中的x， x%m和x%n有唯⼀值 ②从(m,n)到 m*n的唯⼀性 设从m中取x，x%m=r 则x对应m*n中的f可能值为 {r, m+r, 2m+r, 3m+r, .... (n-1)*m+r } 这n个数组成了n的完全剩余系 因为这n个数两两之间的差值可表⽰为 k* m (k<n) 则（k*m）%n=0不成⽴（ k<n , ⽽gcd(m,n)=1 即 m不提供n的因⼦） 即每个数对n取模两两不同，则组成n的完全剩余系 因此假设再从n中取y，（x，y）可唯⼀确定⼀个m*n中的值 （似乎适⽤于中国剩余定理）可拓展到多维，即多个互质量 再看，（当m和n互质）只要x与m互质且x与n互质则x与m*n互质 任何与m互质的数x除以m的余数即（x%m）也必然与m互质，反之也如此 所以从（1...n）和（1...m）分别取x与n互质，y与m互质，则会唯⼀对应⼀个m*n中的值f 与m*n互质 ⽽每个与（1...m*n）互质的值 f 都会唯⼀对应⼀个（1...n）中与n互质的x和⼀个（1...m）中与m互质的y 所以phi(m*n) = phi(m) * phi(n) ， (m，n互质) 证明完毕那么这样，对于要求欧拉值的n，将他因数分解成 pi^ai, ⽽ phi(pi^ai )= pi^ai ( 1 - 1/pi )再将pi相乘得到n，就可以得出公式 phi(n) = n* ∏ ( 1 - 1/pi )代码：long long eular(long long n) {long long ans = n;for(int i = 2; i*i <= n; i++) {if(n % i == 0) {ans −= ans/i;while(n % i == 0)n /= i;}}if(n > 1)ans −= ans/n;return ans;}从证明可以看出，欧拉函数是⾮完全积性函数所以可以⽤线性筛来O(n) 预处理值bool check[maxn];int phi[maxn];int prime[maxn];int tot;//素数的个数void phi_and_prime_table(int n) {memset(check,false,sizeof(check));phi[1] = 1;tot = 0;for(int i = 2; i <= n; i++) {if( !check[i] ) {prime[tot++] = i;phi[i] = i-1;}for(int j = 0; j < tot; j++) {if(i * prime[j] > n)break;check[i * prime[j]] = true;if( i % prime[j] == 0) {phi[i * prime[j]] = phi[i] * prime[j];break;} else {phi[i * prime[j]] = phi[i] * (prime[j] - 1);}}}}性质：考虑gcd，假设i与n的gcd为g，那么有g|n , gcd(n/g,i/g)=1。
欧拉公式19种证明
欧拉公式19种证明欧拉公式是数学中的一个重要公式，它的表达式为e^(ix)=cos(x)+i*sin(x)，其中e表示自然对数的底数2.71828…，i表示虚数单位。
欧拉公式有多种证明方法，下面我们将介绍其中19种常见的证明方法。
1. 泰勒级数证明法：利用泰勒级数展开式展开e^(ix)和cos(x)+i*sin(x)，然后将它们相等的系数进行比较，即可得出欧拉公式。
2. 复合函数证明法：将e^(ix)看作复数函数f(x)=e^x，将cos(x)和sin(x)看作f(x)的实部和虚部，则有f(ix)=cos(x)+i*sin(x)，即e^(ix)=cos(x)+i*sin(x)。
3. 微积分证明法：将欧拉公式两边分别对x求导，得到ie^(ix)=-sin(x)+i*cos(x)，再将其两边同时乘以i，即可得到欧拉公式。
4. 积分证明法：将欧拉公式两边同时积分，得到e^(ix)/i=-sin(x)/i+cos(x)，再将其两边同时乘以i，即可得到欧拉公式。
5. 欧拉级数证明法：将e^(ix)和cos(x)+i*sin(x)的泰勒级数展开式进行对比，即可得到欧拉公式。
6. 幂级数证明法：将e^(ix)和cos(x)+i*sin(x)的幂级数展开式进行对比，即可得到欧拉公式。
7. 矩阵证明法：构造一个2x2矩阵，使其特征值为e^(ix)和e^(-ix)，然后求解该矩阵的本征向量，即可得到欧拉公式。
8. 矩阵幂证明法：将e^(ix)表示为矩阵的形式，然后对该矩阵进行幂运算，即可得到欧拉公式。
9. 极限证明法：将e^(ix)表示为极限的形式，然后通过极限的性质推导出欧拉公式。
10. 解微分方程证明法：将e^(ix)看作微分方程y'=iy的解，并利用欧拉公式将其转化为y=cos(x)+i*sin(x)，即可得到欧拉公式。
11. 解偏微分方程证明法：将e^(ix)看作偏微分方程u_t+iu_x=0的解，并利用欧拉公式将其转化为u=cos(x-t)+i*sin(x-t)，即可得到欧拉公式。
欧拉公式简介
欧拉公式e^ix=cosx+isinx，e是自然对数的底，i是虚数单位。
它将三角函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位。
e^ix=cosx+isinx的证明：因为e^x=1+x/1！+x^2/2！+x^3/3!+x^4/4!+……cos x=1-x^2/2!+x^4/4!-x^6/6!……sin x=x-x^3/3!+x^5/5!-x^7/7!……在e^x的展开式中把x换成±ix.(±i)^2=-1, (±i)^3=∓i, (±i)^4=1 ……e^±ix=1±ix/1!-x^2/2!∓ix^3/3!+x^4/4!……=(1-x^2/2!+……)±i(x-x^3/3!……)所以e^±ix=cosx±isinx将公式里的x换成-x，得到：e^-ix=cosx-isinx，然后采用两式相加减的方法得到：sinx=(e^ix-e^-ix)/(2i)，cosx=(e^ix+e^-ix)/2.这两个也叫做欧拉公式。
将e^ix=cosx+isinx中的x取作π就得到：e^iπ+1=0.这个恒等式也叫做欧拉公式，它是数学里最令人着迷的一个公式，它将数学里最重要的几个数字联系到了一起：两个超越数：自然对数的底e，圆周率π，两个单位：虚数单位i和自然数的单位1，以及被称为人类伟大发现之一的0。
数学家们评价它是“上帝创造的公式”那么这个公式的证明就很简单了，利用上面的e^±ix=cosx±isinx。
那么这里的π就是x，那么e^iπ=cosπ+isinπ=-1那么e^iπ+1=0这个公式实际上是前面公式的一个应用[1]欧拉公式欧拉公式有4条（1）分式：a^r/(a-b)(a-c)+b^r/(b-c)(b-a)+c^r/(c-a)(c-b)当r=0,1时式子的值为0当r=2时值为1当r=3时值为a+b+c（2）复数由e^iθ=cosθ+isinθ,得到：sinθ=（e^iθ-e^-iθ）/2icosθ=（e^iθ+e^-iθ）/2此函数将两种截然不同的函数---指数函数与三角函数联系起来，被誉为数学中的“天桥”。
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欧拉函数公式及其证明 Prepared on 22 November 2020
欧拉函数：
欧拉函数是数论中很重要的一个函数，欧拉函数是指：对于一个正整数n，小于n且和n互质的正整数（包括1）的个数，记作φ(n)。
完全余数集合：
定义小于n且和n互质的数构成的集合为Zn，称呼这个集合为n的完全余数集合。
显然|Zn|＝φ(n)。
有关性质：
对于素数p，φ(p)=p-1。
对于两个不同素数p，q，它们的乘积n=p*q满足φ(n)=(p-1)*(q-1)。
这是因为Zn={1,2,3,...,n-1}-{p,2p,...,(q-1)*p}-{q,2q,...,(p-1)*q}，则φ(n)=(n-1)-(q-1)-(p-1)=(p-1)*(q-1)＝φ(p)*φ(q)。
欧拉定理：
对于互质的正整数a和n，有aφ(n)≡1modn。
证明：
(1)令Zn={x1,x2,...,xφ(n)}，S={a*x1modn,a*x2modn,...,a*xφ(n)modn}，
则Zn=S。
①因为a与n互质，x i(1≤i≤φ(n))与n互质，所以a*x i与n互质，所以a*x i modn∈Zn。
②若i≠j，那么x i≠x j，且由a,n互质可得a*x i modn≠a*x j modn（消去律）。
(2)aφ(n)*x1*x2*...*xφ(n)modn
≡(a*x1)*(a*x2)*...*(a*xφ(n))modn
≡(a*x1modn)*(a*x2modn)*...*(a*xφ(n)modn)modn
≡x1*x2*...*xφ(n)modn
对比等式的左右两端，因为x i(1≤i≤φ(n))与n互质，所以aφ(n)≡1modn（消去律）。
注：
消去律：如果gcd(c,p)=1，则ac≡bcmodpa≡bmodp。
费马定理：
若正整数a与素数p互质，则有a p-1≡1modp。
证明这个定理非常简单，由于φ(p)=p-1，代入欧拉定理即可证明。
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补充：欧拉函数公式
(1)p k的欧拉函数
对于给定的一个素数p，φ(p)=p-1。
则对于正整数n=p k，
φ(n)=p k-p k-1
证明：
小于p k的正整数个数为p k-1个，其中
和p k不互质的正整数有{p*1,p*2,...,p*(p k-1-1)}共计p k-1-1个
所以φ(n)=p k-1-(p k-1-1)=p k-p k-1。
(2)p*q的欧拉函数
假设p,q是两个互质的正整数，则p*q的欧拉函数为
φ(p*q)=φ(p)*φ(q)，gcd(p,q)=1。
证明：
令n=p*q，gcd(p,q)=1
根据中国余数定理，有
Zn和Zp×Zq之间存在一一映射
（我的想法是：a∈Zp，b∈Zqb*p+a*q∈Zn。
）
所以n的完全余数集合的元素个数等于集合Zp×Zq的元素个数。
而后者的元素个数为φ(p)*φ(q)，所以有
φ(p*q)=φ(p)*φ(q)。
(3)任意正整数的欧拉函数
任意一个整数n都可以表示为其素因子的乘积为：
I
n=∏p i k i(I为n的素因子的个数)
i=1
根据前面两个结论，很容易得出它的欧拉函数为：
II
Φ(n)=∏p i k i-1(p i-1)=n∏(1-1/p i)
i=1i=1
对于任意n>2，2|Φ(n),因为必存在p i-1是偶数。