欧拉公式的证明和应用

数学文化课程报告

欧拉公式的证明与应用

一.序言------------------------------------------------------------------------2

二.欧拉公式的证明--------------------------------------3

极限法 --------------------------------------3

指数函数定义法-------------------------------4

分离变量积分法-------------------------------4

复数幂级数展开法-----------------------------4

变上限积分法---------------------------------5

类比求导法-----------------------------------7

三.欧拉公式的应用

求高阶导数-----------------------------------7

积分计算------------------------------------8

高阶线性齐次微分方程的通解------------------9

求函数级数展开式----------------------------9

三角级数求和函数----------------------------10

傅里叶级数的复数形式-------------------------10

四.结语------------------------------------------------11

参考文献-----------------------------------------------11

一．序言

欧拉是十八世纪最杰出的最多产的数学家之一[1]，留下了数不胜数的以

其名字命名的公式。本文关注的欧拉公式x i x e ix

sin cos +=，在复数域中它把

指数函数联系在一起。特别当π=x 时,欧拉公式便写成了01=+π

i e ，这个等

式将最富有特色的五个数π,,,,10e i 绝妙的联系在一起，“1是实数的基本单位，

i 是虚数的基本单位，0是唯一的中性数，他们都具有独特的地位，都具有代

表性。i 源于代数，π源于几何，e 源于分析，e 与π在超越数之中独具特色。这五个数看来是互不相关的数，居然和谐的统一在一个式子中。”[2]公式

01=+πi e 成为人们公认的优美公式，被视为数学美一个象征。这充分揭示了

数学美的统一性、简洁性、奇异性等美学特性，了解这些丰富的数学文化内容，对于通过高等数学学习提高大学生的综素质、提高数学教育质量具有重要意义。

二. 欧拉公式的证明

欧拉公式x i x e ix sin cos +=有广泛而重要的应用，关于该公式的证明方法目前有如下六种：首先，欧拉本人是从数学中两个重要极限出发，采用初等方法“推导”出这个公式的；其次是复指数函数定义法[2]；另外从对数函数特征性质x

dx x d 1

ln =或

x x e dx

de =出发[3]

，利用微分方程分离变量积分法；再者采用复数幂级数展开式法来验证[3]；再其次采用变上限积分法验证；最后利用

Lagrange 中值定理的推论来证明[3]

。

极限法

当0=x 时，欧拉公式显然成立； 当0≠x 时，考虑极限),(,)1(lim N n R x n

ix n

n ∈∈+

∞

→， 一方面，令ix

n t =

则有

ix ix t t n n e t

n ix =+=+∞

→∞

→])11[(lim )1(lim ；

（1）

另一方面，将n

ix +1化为三角式，得

))](sin(arctan ))n([cos(arcta )(112n

x

i n x n x n ix ++=+

； 由棣莫弗公式得

))]arctan(sin())arctan([cos(])(1[)1(22n

x

n i n x n n x n ix n

n ++=+，

而

x n

x

n n x n n n sin )arctan(lim sin ))arctan(sin(lim ==∞→∞→， 所以有

,sin cos )1(lim x i x n

ix

n n +=+∞

→ （2）

由（1）、（2）两式得

x i x e ix sin cos +=。

指数函数定义法

因为对任何复数),(,R y x iy x z ∈+=，复指数函数)sin (cos y i y e e e x iy x z +==+[4] 所以，当复数z 的实部x=0时，就得

y i y e iy sin cos +=。 分离变量积分法

设复数)(,sin cos R x x i x z ∈+=,两边对x 求导数，得

iz x i x i x i x i x i x dx

dz =+=+=+-=)sin (cos cos sin cos sin 2

，

分离变量并对两边积分，得

⎰⎰=idx dz z

1

，c ix z +=ln ， 取0=x ，得

0,0sin cos ==+=c x i x z ， 故有ix z =ln ，即

x i x e ix sin cos +=。 复数幂级数展开法

)(,)!2()1(0

2R x n x n n

n ∈-=∑+∞

=，

)(,)!12()1(0

1

22R x n x n n n ∈+-=∑+∞

=++，

)(,!)(0

R x n ix n n

∈=∑+∞

=，

ix n n

e n ix ==∑+∞

=0

!)(。 变上限积分法 考虑变上限积分dt t y

⎰+021

1

因为

y t dt t y y

arctan arctan 1

1

|00

2==+⎰

， 又因为

)]1ln(1

)([ln 222

-+++=y i y i 。 再设 θ=y arctan ，由此得θtan =y ，即