大题规范解答-全得分系列之(十)概率与统计的综合问题答题模板
2024高考数学压轴题——概率与统计高考常见题型解题思路及知识点总结
2024高考数学压轴题——概率与统计高考常见题型解题思路及知识点总结2024高考数学压轴题——概率与统计的挑战与应对随着高考的临近，数学科目的复习也进入了关键阶段。
2024年的高考数学压轴题将会涉及到概率与统计的内容，这不仅考察学生的基本数学知识，更侧重于考察学生的逻辑思维能力、实际应用能力和问题解决能力。
本文将针对这一部分的常见题型、解题思路和知识点进行总结，希望能为广大考生提供一些帮助和指导。
一、常见题型的解题思路1、概率计算：在解决概率计算问题时，学生需要明确事件的独立性、互斥性和概率公式的应用。
尤其是古典概率和条件概率的计算，需要学生熟练掌握。
对于涉及多个事件的概率计算，学生需要理清事件的关联关系，采用加法、乘法或全概率公式进行计算。
2、随机变量及其分布：这部分要求学生掌握离散型和连续型随机变量的分布律及分布函数，理解并掌握几种常见的分布，如二项分布、泊松分布和正态分布等。
对于随机变量的数字特征，如期望、方差和协方差等，学生需要理解其含义并掌握计算方法。
3、统计推断：在统计推断问题中，学生需要掌握参数估计和假设检验的基本方法。
对于点估计，学生需要理解矩估计法和最大似然估计法的原理，并能够进行计算。
对于假设检验，学生需要理解显著性检验的原理，掌握单侧和双侧检验的方法。
4、相关与回归分析：相关与回归分析要求学生能够读懂散点图，理解线性相关性和线性回归的概念，掌握回归方程的拟合方法和拟合优度的评估方法。
二、概率与统计的相关知识点总结1、概率的基本概念：事件、样本空间、事件的概率、互斥事件、独立事件等。
2、随机变量及其分布：离散型随机变量和连续型随机变量，二项分布、泊松分布和正态分布等。
3、统计推断：参数估计、假设检验、点估计、置信区间、单侧和双侧检验等。
4、相关与回归分析：线性相关性和线性回归的概念，回归方程的拟合方法和拟合优度的评估方法。
三、示例分析下面我们通过一个具体的示例来演示如何分析和解决一道概率与统计的压轴题。
高考数学概率与统计题型解析与答题技巧
高考数学概率与统计题型解析与答题技巧在高考数学中，概率与统计是一个重要的板块，它不仅考查学生的数学知识和技能，还培养学生的数据分析和推理能力。
对于很多同学来说，这部分内容既有一定的挑战性，又充满了得分的机会。
下面我们就来详细解析高考数学中概率与统计的常见题型以及相应的答题技巧。
一、概率题型1、古典概型古典概型是概率中最基础的题型之一。
它的特点是试验结果有限且等可能。
例如，从装有若干个红球和白球的袋子中摸球，计算摸到某种颜色球的概率。
答题技巧：首先，确定总的基本事件数和所求事件包含的基本事件数。
然后，利用古典概型的概率公式 P（A）＝所求事件包含的基本事件数÷总的基本事件数进行计算。
2、几何概型几何概型与古典概型不同，它的试验结果是无限的。
常见的有长度型、面积型、体积型几何概型。
比如，在一个区间内随机取一个数，求满足某个条件的概率。
答题技巧：对于几何概型，关键是要正确确定几何度量。
例如，长度型就计算长度，面积型就计算面积，体积型就计算体积。
然后，按照几何概型的概率公式 P（A）＝构成事件 A 的区域长度（面积或体积）÷试验的全部结果所构成的区域长度（面积或体积）进行求解。
3、条件概率条件概率是指在事件 B 发生的条件下，事件 A 发生的概率。
题目中通常会给出一些条件，让我们计算在这些条件下的概率。
答题技巧：利用条件概率公式 P（A|B）＝ P（AB）÷P（B），先求出 P（AB）和 P（B），再计算条件概率。
4、相互独立事件与互斥事件相互独立事件是指一个事件的发生与否对另一个事件的发生概率没有影响；互斥事件则是指两个事件不能同时发生。
答题技巧：对于相互独立事件，它们同时发生的概率用乘法计算，即 P（AB）＝ P（A）×P（B）；对于互斥事件，它们至少有一个发生的概率用加法计算，即 P（A∪B）＝ P（A）＋ P（B）。
二、统计题型1、抽样方法包括简单随机抽样、分层抽样和系统抽样。
高考大题规范解答系列(六)——概率与统计
高考一轮总复习 • 数学
考点一
随机抽样、频率分布直方图及其应用(文)
例 1 (2021·河南质量测评)“不忘
初心、牢记使命”主题教育活动正在全国
开展，某区政府为统计全区党员干部一周
参与主题教育活动的时间，从全区的党员
干部中随机抽取n名，获得了他们一周参
加主题教育活动的时间(单位：时)的频率
所以 E(X)＝0×210＋1×290＋2×290＋3×210＝32．·········6 分 得分点④
第十章 概率(文)
高考一轮总复习 • 数学
(2)当乙盒中红球个数为0时，P1＝0， ··························7分 得分点⑤ 当乙盒中红球个数为1时，P2＝290×16＝430， ···············8分 得分点⑥ 当乙盒中红球个数为2，P3＝290×26＝230， ···················9分 得分点⑦ 当乙盒中红球个数为3时，P4＝210×36＝410， ·············10分 得分点⑧ 所以从乙盒中任取一球是红球的概率为P1＋P2＋P3＋P4＝41． ·····················································································12分 得分点⑨
第十章 概率(文)
高考一轮总复习 • 数学
所以 X 的分布列为
X
0
1
2
3
P
1 20
9 20
9 20
1 20
·························································································5 分 得分点③
课后习题统计与概率问题的解答
课后习题统计与概率问题的解答统计与概率是数学中的重要分支，它们不仅在学术领域有广泛应用，也在现实生活中扮演着重要的角色。
通过解答习题，我们能够更好地理解和应用统计与概率的概念和方法。
本文将围绕统计与概率问题进行解答，并提供合适的格式。
一、组合与排列组合与排列是统计学中常见的问题类型，它们涉及到从给定的元素集合中选择若干个元素进行排列或组合的问题。
1. 问题描述：某班级有10名学生，要从其中选择3名学生组成一个小组，求可能的选择方案数。
解答：根据组合的概念，从10名学生中选择3名学生的组合数为：C(10, 3) = 10! / (3! * (10-3)!) = 120。
2. 问题描述：某班级有10名学生，要从其中选择2名学生进行排队，求可能的排队方案数。
解答：根据排列的概念，从10名学生中选择2名学生进行排队的排列数为：A(10, 2) = 10! / (10-2)! = 90。
二、概率计算概率计算是统计学中的核心内容，它涉及到根据已知信息计算某一事件发生的可能性。
1. 问题描述：一副标准扑克牌中，从中随机抽取一张牌，求抽到红心的概率。
解答：标准扑克牌中有52张牌，其中有13张红心。
因此，抽到红心的概率为：P(红心) = 13/52 = 1/4。
2. 问题描述：一枚公平的骰子有6个面，分别标有1到6的数字，每个数字的出现概率相等。
投掷两次，求恰好一次出现偶数的概率。
解答：投掷两次的可能结果一共有6 * 6 = 36种，其中有3种情况满足恰好一次出现偶数的条件：(2, 1)，(4, 1)，(6, 1)。
因此，恰好一次出现偶数的概率为：P(恰好一次出现偶数) = 3/36 = 1/12。
三、条件概率与独立性条件概率和独立性是概率计算中的重要概念，它们用于描述事件之间的关系和发生的可能性。
1. 问题描述：某班级有30名学生，其中有15名男生和15名女生。
从中随机选取一名学生，已知该学生是男生的情况下，求选到的学生是女生的概率。
概率论习题答案及答题范例
P( A) 1
202 212 22
242
311 1152
5
P59，习题34
6
(N 1)! 1
P( Ai )
N!
N
P( Ai Aj )
(N 2)! N!
1 N(N
1)
,
i j
P( A1A2 A3...AN
P57，习题6
1Байду номын сангаас
P57，习题10
• 甲袋中有3只白球，7只红球，15只黑球，乙袋中有10只 白球，6只红球，9只黑球，现从两袋中各取一球，求两 球颜色相同的概率。
• 解：分别求出同取白、红、黑球的概率，再相加即可
P 3 10 7 6 15 9 207 25 25 25 25 25 25 625
15
P114，习题37
7
C7k 0.6k 0.47k 0.71
k 4
16
P115，习题41
P( A)
1
20 0!
e 2
5
0.484
P(B)
5 k3
C5k
1
20 0!
e 2
k
20 0!
e 2
5k
=0.98
17
P115，习题47
• 某车间宣称自己产品的合格率超过99%，检验人员从该 车间的10000件产品中抽查了100件，发现有两件次品， 能否据此断定该车间谎报合格率？
2
P58，习题13
• 从6双不同的手套中任取4只，问其中恰有一双配对的概 率是多少？
• 解：
P C61C52C21C21 16
高考数学统计与概率大题解题模板
统计与概率大题解题模板 一、随机抽样和用样本估计总体模板一、频率分布直方图1、频率分布直方图的性质：（1）小矩形的面积=组距×频率/组距=频率，所以各小矩形的面积表示相应各组的频率.这样，频率分布直方图就以面积的形式反映了数据落在各个小组内的频率大小； （2）在频率分布直方图中，各小矩形的面积之和等于1； （3）频数/相应的频率=样本容量.2、频率分布直方图反映了样本在各个范围内取值的可能性，由抽样的代表性利用样本在某一范围内的频率，可近似地估计总体在这一范围内的可能性.3、频率分布直方图中的纵坐标为频率组距，而不是频率值.例1-1.某城市100户居民月平均用电量(单位：度)，以[160180)，、[180200)，、[200220)，、[220240)，、[240260)，、[260280)，、]280[300，分组的频率分布直方图如图.（1）求直方图中x 的值；（2）求月平均用电量的众数和中位数；（3）在月平均用电量为[220240)，、[240260)，、[260280)，、]280[300，的四组用户中，用分层抽样的方法抽取11户居民，则月平均用电量在[220240)，的用户中应抽取多少户？ 【解析】（1）由(0.0020.00950.0110.01250.0050.0025)201x ++++++⨯=得：0.0075x =，∴直方图中x 的值是0.0075；（2）月平均用电量的众数是2202402302+=，∵(0.0020.00950.011)200.450.5++⨯=<，∴月平均用电量的中位数在[220240)，内，设中位数为a ， 由(0.0020.00950.011)200.0125(220)0.5a ++⨯+⨯-=得：224a =， ∴月平均用电量的中位数是224；（3）月平均用电量为[220240)，的用户有0.01252010025⨯⨯=户， 月平均用电量为[240260)，的用户有0.00752010015⨯⨯=户， 月平均用电量为[260280)，的用户有0.0052010010⨯⨯=户， 月平均用电量为]280[300，的用户有0.0025201005⨯⨯=户， 抽取比例11125151055==+++，∴月平均用电量在[220,240)的用户中应抽取12555⨯=户.模板二、茎叶图1、绘制茎叶图的关键是分清茎和叶，如数据是两位数，十位数字为“茎”，个位数字为“叶”；如果是小数时，通常把整数部分作为“茎”，小数部分作为“叶”，解题时要根据数据的特点合理选择茎和叶.2、利用茎叶图进行数据分析时，一般从数据分布的对称性、中位数、稳定性等几个方面来考虑. 例1-2.某中学高二（2）班甲、乙两名学生自进入高中以来，每次数学考试成绩情况如下： 甲：95、81、75、91、86、89、71、65、76、88、94、110、107； 乙：83、86、93、99、88、103、98、114、98、79、78、106、101. 画出两人数学成绩的茎叶图，并根据茎叶图对两人的成绩进行比较. 【解析】甲、乙两人数学成绩的茎叶图如图所示：从这个茎叶图上可以看出，乙同学的得分情况是大致对称的， 中位数是98；甲同学的得分情况，也大致对称，中位数是88， 乙同学的成绩比较稳定，总体情况比甲同学好.模板三、散点图1、两个变量的关系2、散点图：将样本中n 个数据点()i i x y ，(1i =，2，…，n )描在平面直角坐标系中得到的图形.3、正相关与负相关：（1）正相关：如果一个变量的值由小变大时，另一个变量的值也由小变大，这种相关称为正相关.（2）负相关：如果一个变量的值由小变大时，另一个变量的值由大变小，这种相关称为负相关. 4、最小二乘法：设x 、y 的一组观察值为()i i x y ，(1i =，2，…，n )，且回归直线方程为ˆˆˆybx a =+.当x 取值i x (1i =，2，…，n )时，y 的观察值为i y ，差ˆi i y y -(1i =，2，…，n )刻画了实际观察值i y 与回归直线上相应点纵坐标之间的偏离程度，通常是用离差的平方和，即21()ni i i Q y a bx ==--∑作为总离差，并使之达到最小.这样，回归直线就是所有直线中Q 取最小值的那一条.由于平方又叫二乘方，所以这种使“离差平方和最小”的方法，叫做最小二乘法. 5、回归直线方程的系数计算公式例1-3.一个车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了10次试验，收集数据如下：（1）y 与x 是否具有线性相关关系？（2）如果y 与x 具有线性相关关系，求y 关于x 的回归直线方程. 审题路线图：→→→【解析】（1）画散点图如下：由图可知y 与x 具有线性相关关系；（2）列表、计算：1102211055950105591.70.66838500105520ˆ1iii ii x y x ybxx ==⋅-⋅⋅-⨯⨯==≈-⨯-⋅∑∑，91.70.668ˆ55.6ˆ549ay bx =-=-⨯=，即所求的回归直线方程为：0.66859ˆ 4.6y x =+.构建答题模板：第一步：列表i x 、i y 、i i x y ；第二步：计算x ，y ，21ni i x =∑，1ni i i x y =∑；第三步：代入公式计算ˆb 、ˆa 的值； 第四步：写出回归直线方程；第五步：反复回顾，查看是否有重复或遗漏情况，明确规范书写答题.模板四、古典概型例1-4.袋中有五张卡片，其中红色卡片三张，标号为1、2、3；蓝色卡片两张，标号为1、2. （1）从以上五张卡片中任取两张，求这两张卡片颜色不同且标号之和小于4的概率；（2）向袋中再放入一张标号为0的绿色卡片，从这六张卡片中任取两张，求这两张卡片颜色不同且标点之和小于4的概率.审题路线图：确定概率模型→列出所有取卡片的结果(基本事件)→构成事件的基本事件→求概率. 规范解答：【解析】（1）标号为1、2、3的三张红色卡片分别记为A 、B 、C ， 标号为1、2的两张蓝色卡片分别记为D 、E ， 从五张卡片中任取两张的所有可能的结果为：AB 、AC 、AD 、AE 、BC 、BD 、BE 、CD 、CE 、DE 共10种，由于每一张卡片被取到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的， 从五张卡片中任取两张，这两张卡片颜色不同且它们的标号之和小于4的结果为：AD 、AE 、BD ，共3种，∴这两张卡片颜色不同且它们的标号之和小于4的概率为310；（2）记F 是标号为0的绿色卡片，从六张卡中任取两张的所有可能的结果为：AB 、AC 、AD 、AE 、AF 、BC 、BD 、BE 、BF 、CD 、CE 、CF 、DE 、DF 、EF 共15种，用于每一张卡片被取到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的， 从六张卡片中任取两张，这两张卡片颜色不同且它们的标号之和小于4的结果为：AD 、AE 、BD 、AF 、BF 、CF 、DF 、EF ，共8种， ∴这两张卡片颜色不同且它们的标号之和小于4的概率为815. 构建答题模板：第一步：列出所有基本事件，计算基本事件总数；第二步：将所求事件分解为若干个互斥的事件或转化为其对立事件(也许不用分解，但分解必要注意互斥)；第三步：分别计算每个互斥事件的概率；第四步：利用概率的加法公式求出问题事件的概率；第五步：反复回顾，查看是否有重复或遗漏情况，明确规范书写答题.二、概率与统计之超几何分布与二项分布离散型随机变量的分布列、数学期望与方差1、关于离散型随机变量分布列的计算方法如下： （1）写出ξ的所有可能取值；（2）用随机事件概率的计算方法，求出ξ取各个值的概率； （3）利用（1）、（2）的结果写出ξ的分布列. 2、常见的特殊离散型随机变量的分布列：（1）两点分布，分布列为(0p -、1q -)，其中01p <<，且1p q +=；（2）二项分布，分布列为(00p 、11p 、22p 、…、k kp 、…、n np )，其中k k n kk n p C p q -=，0k =、1、2、…、n ，且01p <<，1p q +=，k k n k k n p C p q -=可记为(,,)b k n p .3、对离散型随机变量的期望应注意：（1）期望是算术平均值概念的推广，是概念意义下的平均；（2）()E ξ是一个实数，由ξ的分布列唯一确定，即作为随机变量ξ是可变的，可取不同值，而()E ξ是不变的，它描述ξ取值的平均状态；（3）()1122n n E x p x p x p ξ=++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅直接给出了E ξ的求法，即随机变量取值与相应概率值分别相乘后相加.4、对离散型随机变量的方差应注意：（1）()D ξ表示随机变量ξ对()E ξ的平均偏离程度，()D ξ越大表明平均偏离程度越大，说明ξ的取值越分散；反之()D ξ越小，ξ的取值越集中，在()E ξ来描述ξ的分散程度.（2）()D ξ与()E ξ一样也是一个实数，由ξ的分布列唯一确定.模板一、超几何分布——离散型随机变量的分布列、期望与方差（1）超几何分布的特征：①在小范围内不放回的随机抽取；②每次抽取相互影响；③每次抽取的可能性一直变化；（2）超几何分布的题型：在含有M 件次品的N 件产品中任取n 件(n M N ≤≤)，其中恰有X 件次品；（3）超几何分布的分布列、期望与方差：①分布列：()k n k M N MnNC C P X k C --⋅==，012k n =⋅⋅⋅，，，，，k ∈N ；②期望：0()[()]nk nME X k P X k N ===⋅=∑； ③{}22()()()[()]()(1)nk nM N M N n D X k E x P X k N N =--==-⋅=-∑. 例2-1.已知一个袋中装有3个白球和3个红球，这些球除颜色外完全相同.（1）每次从袋中取一个球，取出后不放回，直到取到一个红球为止，求取球次数ξ的分布列和数学期望()E ξ；（2）每次从袋中取一个球，取出后放回接着再取一个球，这样取3次，求取出红球次数η的分布列、数学期望和方差()D η.审题路线图：取到红球为止→取球次数的所有可能1、2、3、4→求对应次数的概率→列分布列→求()E ξ.取出后放回，这是条件→每次取到红球的概率相同→三次独立重复试验→利用公式. 规范解答：【解析】（1）ξ的可能取值为1、2、3、4，31(1)62P ξ===，333(2)6510P ξ==⨯=， 3233(3)65420P ξ==⨯⨯=，32131(4)654320P ξ==⨯⨯⨯=，故ξ的分布列为：17()123421020204E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=；（2）取出后放回，取球3次，可看作3次独立重复试验，∴1~(2)2B η，，η的可能取值为0、1、2、3，0033111(0)()()228P C η==⋅⋅=，1123113(1)()()228P C η==⋅⋅=，2213113(2)()()228P C η==⋅⋅=，3303111(4)()()228P C η==⋅⋅=，故ξ的分布列为：∴()322E η=⨯=，113()3224D η=⨯⨯=. 构建答题模板：第一步：确定离散型随机变量的所有可能性； 第二步：求出每个可能性的概率； 第三步：画出随机变量的分布列； 第四步：求期望和方差；第五步：反复回顾，查看是否有重复或遗漏情况，明确规范书写答题.如本题可重点查看随机变量的所有可能值是否正确；根据分布列性质检查概率是否正确.模板二、二项分布及其应用（1）二项分布的特征：①在小范围内有放回的随机抽取或在大范围内任意随机抽取；②每次抽取相互独立；③每次抽取的可能性保持不变；（2）二项分布的题型：在n 次独立重复试验中，设事件A 发生的次数为X ，在每次试验中事件A 发生的概率为p ；（3）二项分布的分布列、期望与方差：①分布列：~(,)X B n p ，n 为试验次数，p 为试验成功率，()(1)k kn k n P X k C p p -==-，0,1,2,,k n =⋅⋅⋅，k ∈N ；②期望：()E X np =； ③()(1)D X np p =-.例2-2.某联欢晚会举行抽奖活动，举办方设置了甲、乙两种抽奖方案，方案甲的中奖率为23，中奖可以获得2分；方案乙的中奖率为25，中奖可以获得3分；未中奖则不得分.每人有且只有一次抽奖机会，每次抽奖中奖与否互不影响，晚会结束后凭分数兑换奖品.（1）若小明选择方案甲抽奖，小红选择方案乙抽奖，记他们的累计得分为X ，求3≤X 的概率； （2）若小明、小红两人都选择方案甲或都选择方案乙进行抽奖，问：他们选择何种方案抽奖，累计得分的数学期望较大？【解析】（1）由已知得，小明中奖的概率为23，小红中奖的概率为25，且两人中奖与否互不影响，记“这2人的累计得分3≤X ”的事件为A ，则事件A 的对立事件为“5X =”， ∵224(5)3515P X ==⨯=，∴11()1(5)15P A P X =-==， 即这两人的累计得分3≤X 的概率为1115； （2）设小明小红都选择方案甲抽奖中奖次数为1X ，都选择方案乙抽奖中奖次数为2X ，则这两人选择方案甲抽奖累计得分的数学期望为1()2E X ⨯， 选择方案乙抽奖累计得分的数学期望为2()3E X ⨯，由已知可得12~(2)3X B ，，22~(2)5X B ，，∴124()233E X =⨯=，224()255E X =⨯=，从而18()23E X ⨯=，212()35E X ⨯=，∴12()2()3E X E X ⨯>⨯，∴他们都选择方案甲进行抽奖时，累计得分的数学期望较大.模板三、统计概率的综合应用例2-3.某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随即抽取该流水线上40件产品作为样本算出他们的重量(单位：克)重量的分组区间为，(495500]，，…，(510515]，，由此得到样本的频率分布直方图，如图所示.（1）根据频率分布直方图，求重量超过505克的产品数量.（2）在上述抽取的40件产品中任取2件，设X 为重量超过505克的产品数量，求X 的分布列及期望.（3）在上述抽取的40件产品中任取5件产品，求恰有2件产品的重量超过505克的概率. 【解析】（1）重量超过505克的产品数量是40(0.0550.015)12⨯⨯+⨯=件； （2）X 的所有可能取值为0、1、2，021********(0)130C C P X C ⋅===，11122824056(1)130C C P X C ⋅===，20122824011(2)130C C P X C ⋅===， X 的分布列为：X 的期望561139()01213013013065E X =⨯+⨯+⨯=； （3）设在上述抽取的40件产品中任取5件产品，恰有2件产品的重量超过505克为事件A ，则322812540231()703C C P A C ⋅==. 变式1：第三问改为：从流水线上任取5件产品，设Y 为重量超过505克的产品数量，求Y 的分布列、期望、方差.【解析】从流水线上任取5件产品服从二项分布：Y 可取：0、1、2、3、4、5；超过505克的产品发生的概率为0.3p =，则~(50.3)Y B ，， 005055(0)(1)0.70.16807P Y C p p -==-==， 115111455(1)(1)0.30.70.36015P Y C p p C -==-=⨯=，225222355(2)(1)0.30.70.3087P Y C p p C -==-=⨯=，335333255(3)(1)0.30.70.1323P Y C p p C -==-=⨯=，44544455(4)(1)0.30.70.02835P Y C p p C -==-=⨯=，555555(5)(1)0.30.00243P Y C p p -==-==，则Y 的分布列为：Y 的期望()50.3 1.5E Y =⨯=，方差()50.30.7 1.05D Y =⨯⨯=.变式2：某食品厂为了检查甲乙两条自动包装流水线的生产情况，随即在这两条抽流水线上各抽取40件产品作为样本算出他们的重量(单位：克).重量落在(495510]，的产品为合格品，否则为不合格.表一为甲流水线样本频率分布表，图一为乙流水线样本的频率分布直方图.（1）根据上表数据在答题卡上作出甲流水线样本的频率分布直方图；（2）若以频率作为概率，试估计从乙流水线上任取5件产品，恰有3件产品为合格品的概率；（3）由以上统计数据完成下面22⨯列联表，并回答有多大的把握认为“产品的包装质量与两条自动包装流水线的选择有关”.附：下面的临界值表供参考：(参考公式：22()()()()()n ad bcKa b a c c d b d-=++++，其中n a b c d=+++).在平面直角坐标系中做出频率分布直方图，甲流水线样本的频率分布直方图如下：（2）由图1知，乙样本中合格品为：(0.060.090.03)54036++⨯⨯=，故合格品的频率为360.940=， ∴可估计从乙流水线上任取一件产品该产品为合格品的概率0.9P =，设ξ为从乙流水线上任取5件产品中的合格品数，则~(50.9)B ξ，， ∴3325(3)0.90.10.0729P C ξ===，即从乙流水线上任取5件产品，恰有3件产品为合格品的概率为0.0729； （3）22⨯列联表如下：∵22()80(120360) 3.117 2.706()()()()66144040n ad bc K a b a c c d b d -⨯-==≈>++++⨯⨯⨯， ∴有90%的把握认为“产品的包装质量与两条自动包装流水线的选择有关”.课后作业1. 某学生对其亲属30人的饮食习惯进行了一次调查，并用茎叶图表示30人的饮食指数.(说明：图中饮食指数低于70的人，饮食以蔬菜为主；饮食指数高于70的人，饮食以肉类为主.)（1）根据茎叶图，帮助这位学生说明其亲属30人的饮食习惯；（2）根据以上数据完成下列22⨯列联表：（3）能否有99%的把握认为其亲属的饮食习惯与年龄有关，并写出简要分析.【答案】（1）30位亲属中50岁以上的人多以食蔬菜为主，50岁以下的人多以食肉为主；（2）表格见解析；（3）有，分析见解析.【解析】【分析】（1）根据茎叶图，分析题中数据即可得出结果.（2）根据茎叶图，补充完善列联表，计算观测值即可求解.【详解】（1）30位亲属中50岁以上的人多以食蔬菜为主，50岁以下的人多以食肉为主；（2）补全22⨯列联表：（3）230(42168)10 6.63512182010K ⨯⨯-⨯==>⨯⨯⨯，有99%的把握认为其亲属的饮食习惯与年龄有关.2. 某网站就“民众是否支持加大修建城市地下排水设施的资金投入”进行投票.按照北京暴雨前后两个时间收集有效投票，暴雨后的投票收集了50份，暴雨前的投票也收集了50份，所得统计结果如下表：已知工作人员从所有投票中任取一个，取到“不支持投入”的投票的概率为25. （1）求列联表中的数据x ､y ､A ､B 的值；（2）绘制条形统计图，通过图形判断本次暴雨是否影响到民众对加大修建城市地下排水设施的投入的态度？（3）能够有多大把握认为北京暴雨对民众是否赞成加大对修建城市地下排水设施的投入有关？ 【答案】（1）40x =，10y =，60A =，40B =；（2）条形统计图答案见解析，暴雨影响到民众对加大修建城市地下排水设施的投入的态度；（3）有99.9%把握.【解析】【分析】（1）先求出y的值，再求,,B x A的值；（2）先求出暴雨前后的支持率和不支持率，画出条形统计图，再通过图形判断本次暴雨是否影响到民众对加大修建城市地下排水设施的投入的态度.（3）利用独立性检验求解即可.【详解】（1）设“从所有投票中抽取一个，取到不支持投入的投票”为事件A，由已知得302()1005yP A+==，∴10y=，40B=，40x=，60A=；（2）由（1）知北京暴雨后支持为404505=，不支持率为41155-=，北京暴雨前支持率为202505=，不支持率为23155-=，条形统计图如图：由图可以看出暴雨影响到民众对加大修建城市地下排水设施的投入的态度；（3）22100(30402010)5016.7810.828505040603K⨯⨯-⨯==≈>⨯⨯⨯，故至少有99.9%把握认为北京暴雨对民众是否赞成加大对修建城市地下排水设施的投入有关.【点睛】方法点睛：独立性检验的解题步骤：（1）2*2列联表；（2）提出假设：设p与q没有关系；（3）根据列联表中的数据2K计算的值；（4）根据计算得到的随机变量2K的观测值作出判断.3. 电视传媒公司为了解某地区观众对某类体育节目的收视情况，随机抽取了100名观众进行调查，其中女性有55名.下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图：将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷”，已知“体育迷”中有10名女性.（1）根据已知条件完成下面的22⨯列联表，并据此资料判断是否有95%的把握认为“体育迷”与性别有关？（2）将日均收看该体育节目不低于50分钟的观众称为“超级体育迷”，已知“超级体育迷”中有2名女性，若从“超级体育迷”中任意选取2人，求至少有1名女性观众的概率.附：22()()()()()n ad bcKa b a c c d b d-=++++【答案】（1）列联表答案见解析，没有95%的把握认为“体育迷”与性别有关；（2）7 10 .【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图，计算体育迷的人数，再结合条件依次填入22⨯列联表，并计算2K ，并和临界值3.841比较后进行判断；（2）首先由频率分布直方图计算“超级体育迷”的人数，在通过编号列举的方法，利用古典概型的计算公式计算概率.【详解】（1）由频率分布直方图可知，在抽取的100人中，“体育迷”有25人，从而完成22⨯列联表如下：将22⨯列联表中的数据代入公式计算，得22100(30104515)100 3.030 3.8417525455533K ⨯⨯-⨯==≈<⨯⨯⨯，∴没有95%的把握认为“体育迷”与性别有关；（2）由频率分布直方图可知“超级体育迷”为5人，设123,,a a a 是3名男超级体育迷，12,b b 是2名女超级体育迷，从而一切可能结果所组成基本事件为：12()a a ，､13()a a ，､23()a a ，､11()a b ，､12()a b ，､ 21()a b ，､22()a b ，､31()a b ，､32()a b ，､12()b b ，，则由10个基本事件组成，而且这些基本事件的出现是等可能的， 用A 表示“任选2人中，至少有1人是女性”这一事件，则A 由11()a b ，､12()a b ，､21()a b ，､22()a b ，､31()a b ，､32()a b ，､12()b b ， 这7个基本事件组成，因而7()10P A =.4. 2015年7月9日21时15分，台风“莲花”在我国广东省陆丰市甲东镇沿海登陆，给当地人民造成了巨大的财产损失，适逢暑假，大学生小张调查了当地某小区的100户居民由于台风造成的经济损失，将收集的数据分成[02000),、[2000,4000)、[4000,6000)、[6000,8000)、[800010000],五组作出频率分布直方图，如图：（1）台风后居委会号召小区居民为台风重灾区捐款，小张调查的100户居民捐款情况如表格，在表格空白处填写正确数字，并说明是否有95%以上的把握认为捐款数额多于或少于500元和自身经济损失是否到4000元有关？（2）将上述调查所得到的频率视为概率.现在从该地区大量受灾居民中，采用随机抽样方法每次抽取1户居民，抽取3次，记被抽取的3户居民中自身经济损失超过4000元的人数为ξ.若每次抽取的结果是相互独立的，求ξ的分布列，期望()E ξ和方差()D ξ.【答案】（1）答案见解析，有；（2）分布列见解析，()0.9E ξ=，()0.63D ξ=. 【解析】【分析】（1）由频率分布直方图可求出抽取的100户中，经济损失不超过4000元的户数，经济损失超过4000元的户数， 从而可补全列联表，进而可求出2K ，得出结论；（2）由题意知ξ的取值可能有0、1、2、3，符合二项分布，则3~(3)10B ξ，，从而利用二项分布的概率公式求出各自对应的概率，进而可得ξ的分布列，期望()E ξ和方差()D ξ. 【详解】（1）由频率分布直方图可知，在抽取的100户中，经济损失不超过4000元的有1002000(0.000150.00020)70⨯⨯+=户，则经济损失超过4000元的有30户， 则表格数据如下：22100(60102010) 4.76280207030K ⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯，∵4.762 3.841>，2( 3.841)0.05P K ≥=，∴有95%以上把握认为捐款数额是否多于或少于500元和自身经济损失是否到4000元有关； （2）由频率分布直方图可知抽到自身经济损失超过4000元居民的频率为0.3，将频率视为概率，由题意知ξ的取值可能有0、1、2、3，符合二项分布，则3~(3)10B ξ，，003337343(0)()()10101000P C ξ==⋅⋅=，112337441(1)()()10101000P C ξ==⋅⋅=，221337189(2)()()10101000P C ξ==⋅⋅=，33033727(3)()()10101000P C ξ==⋅⋅=，从而ξ的分布列为：3()30.910E np ξ==⨯=，37()(1)30.631010D np p ξ=-=⨯⨯=. 5. 私家车的尾气排放是造成雾霾天气的重要因素之一，因此在生活中我们应该提倡低碳生活，少开私家车，尽量选择绿色出行方式，为预防雾霾出一份力．为此，很多城市实施了机动车车尾号限行，我市某报社为了解市区公众对“车辆限行”的态度，随机抽查了50人，将调查情况进行整理后制成下表：（1）完成被调查人员的频率分布直方图．（2）若从年龄在[15,25)（[25,35)的被调查者中各随机选取2人进行追踪调查，求恰有2人不赞成的概率．（3）在(2)在条件下，再记选中的4人中不赞成．．．“车辆限行”的人数为ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望．【答案】（1）见解析（2（2275（3）见解析 【解析】【详解】试题分析：（1）根据频率等于频数除以总数，再求频率与组距之比得纵坐标，画出对应频率分布直方图．（2）先根据2人分布分类，再对应利用组合求概率，最后根据概率加法求概率，（3）先确定随机变量，再根据组合求对应概率，列表可得分布列，最后根据数学期望公式求期望. 试题解析：（1（（2（由表知年龄在[)15,25内的有5人，不赞成的有1人，年龄在[)25,35 内的有10人，不赞成的有4人，恰有2人不赞成的概率为：()11122464442222510510C C C C C 4246666222C C C C 1025104522575P ξ==⋅+⋅=⋅+⋅==（（3（ ξ的所有可能取值为：0（1（2（3（()226422510C C 45150C C 22575P ξ==⋅==（()21112646442222510510C C C C C 415624102341C C C C 1045104522575P ξ⋅==⋅+⋅=⋅+⋅==（ ()124422510C C 461243C C 104522575P ξ==⋅=⋅==（ 所以ξ的分布列是：所以ξ的数学期望5E ξ=（ 6. 某商场举行的“三色球”购物摸奖活动规定：在一次摸奖中，摸奖者先从装有3个红球与4个白球的袋中任意摸出3个球，再从装有1个蓝球与2个白球的袋中任意摸出1个球，根据摸出4个球中红球与蓝球的个数，设一、二、三等奖如下：其余情况无奖且每次摸奖最多只能获得一个奖级．（1）求一次摸奖恰好摸到1个红球的概率；（2）求摸奖者在一次摸奖中获奖金额x的分布列与期望E（x）．【答案】（1）（2）X的分布列为EX==4元【解析】【详解】（1）设A i表示摸到i个红球，B i表示摸到i个蓝球，则与相互独立（i=0，1，2，3）∴P（A1）==（2）X的所有可能取值为0，10，50，200P（X=200）=P（A3B1）=P（A3）P（B1）=P（X=50）=P（A3）P（B0）==P（X=10）=P（A2）P（B1）==P（X=0）=1﹣=∴X的分布列为EX==4元7. 以下茎叶图记录了甲､乙两组个四名同学的植树棵树､乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以X表示.（1）如果8X=，求乙组同学植树棵树的平均数和方差；（2）如果9X=，分别从甲､乙两组中随机选取一名同学，求这两名同学的植树总棵树Y的分布列和数学期望.【答案】（1）平均数为354，方差为1116；（2）分布列答案见解析，数学期望：19.【解析】【分析】（1）利用平均数和方差公式求出即可；（2）根据题意可得Y 的可能取值为17，18，19，20，21，分别求出Y 取不同值的概率，即可得出分布列，求出期望.【详解】（1）当8X =时，由茎叶图可知，乙组同学的植树棵数是：8，8，9，10， ∴平均数为889103544x +++==，方差为2222213535353511[(8)(8)(9)(10)]4444416s =-+-+-+-=；（2）当9X =时，由茎叶图可知，甲组同学的植树棵树是：9，9，11，11， 乙组同学的植树棵数是：9，8，9，10，分别从甲､乙两组中随机选取一名同学，共有4416⨯=种可能的结果， 这两名同学植树总棵数Y 的可能取值为17，18，19，20，21，事件“17Y =”等价于“甲组选出的同学植树9棵，乙组选出的同学植树8棵”， ∴该事件有2种可能的结果，21(17)168P Y ===， 事件“18Y =”等价于“甲组选出的同学植树9棵，乙组选出的同学植树9棵”， ∴该事件有4种可能的结果，41(18)164P Y ===， 事件“19Y =”等价于“甲组选出的同学植树9棵，乙组选出的同学植树10棵， 或甲组选出的同学植树11棵，乙组选出的同学植树8棵”， ∴该事件有224+=种可能的结果，41(19)164P Y ===， 事件“20Y =”等价于“甲组选出的同学植树11棵，乙组选出的同学植树9棵”， ∴该事件有4种可能的结果，41(20)164P Y ===， 事件“21Y =”等价于“甲组选出的同学植树11棵，乙组选出的同学植树10棵”， ∴该事件有2种可能的结果，21(21)168P Y ===，∴随机变量Y 的分布列为：∴11()17181920211984448E Y =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.8. 语文成绩服从正态分布2(100,17.5)N ，数学成绩的频率分布直方图如图，如果成绩大于135的则认为特别优秀.（1）这500名学生中本次考试语文、数学特别优秀的大约各多少人？（2）如果语文和数学两科都特别优秀的共有6人，从（1）中的这些同学中随机抽取3人，设三人中两科都特别优秀的有X 人，求X 的分布列和数学期望.(附公式：若2~(,)X N μσ，则()0.68P X μσμσ-<≤+=，(22)0.96P X μσμσ-<≤+=).【答案】（1）语文有10人，数学有12人；（2）分布列见解析，98.【解析】【分析】（1）利用正态分布的对称性求出语文成绩特别优秀的概率，从而可估计出语文成绩特别优秀人数，由频率分布直方图可求出数学成绩特别优秀的频率，用频率来衡量概率，从而可求出数学成绩特别优秀的人数；（2）结合（1）可知数学语文单科优秀的有10人，则X 的所有可能取值为0、1、2、3，然后求出各自对应的概率即可列出分布列，求得数学期望【详解】（1）∵语文成绩服从正态分布2(10017.5)N ，，∴语文成绩特别优秀概率为11(135)(10.96)0.022P P X =≥=-⨯=， ∴数学成绩特别优秀的概率为230.0016200.0244P =⨯⨯=， ∴语文特别优秀的同学有5000.0210⨯=人，数学特别优秀的同学有5000.02412⨯=人； （2）语文数学两科都优秀的有6人，单科优秀的有10人，X 的所有可能取值为0、1、2、3，3103163(0)14C P X C ===，2110631627(1)56C C P X C ⋅===， 1210631615(2)56C C P X C ⋅===，363161(3)28C P X C ===， ∴X 的分布列为：19()0123145656288E X =⨯+⨯+⨯+⨯=. 9. 张明要参加某单位组织的招聘面试.面试要求应聘者有7次选题答题的机会(选一题答一题)，若答对4题即终止答题，直接进入下一轮，否则被淘汰.已知张明答对每一道题的概率都为12. （1）求张明进入下一轮的概率；（2）设张明在本次面试中答题的个数为ξ，试写出ξ的分布列，并求ξ的数学期望. 【答案】（1）12；（2）分布列答案见解析，数学期望：9316. 【解析】 【分析】（1）分情况讨论张明进入下一轮的概率；（2）由条件可知4,5,6,7ξ=，理解随机变量对应的事件，写出概率分布列，计算数学期望.。
概率统计大题综合(解析版)
概率统计大题综合知识点总结1.数字样本特征（1）众数：在一组数据中出现次数最多的数（2）中位数：将一组数据按从小到大(或从大到小)的顺序排列，如果为奇数个，中位数为中间数；若为偶数个，中位数为中间两个数的平均数（3）平均数：x =x 1+x 2+⋯⋯+x nn ，反映样本的平均水平（4）方差：s 2=(x 1−x )2+(x 2−x )2+⋯⋯(x n −x )2n反映样本的波动程度，稳定程度和离散程度；s 2越大，样本波动越大，越不稳定；s 2越小，样本波动越小，越稳定；（5）标准差：σ=s 2，标准差等于方差的算术平方根，数学意义和方差一样（6）极差：等于样本的最大值−最小值2.求随机变量X 的分布列的步骤：(1)理解X 的意义，写出X 可能取得全部值；(2)求X 取每个值的概率；(3)写出X 的分布列；(4)根据分布列的性质对结果进行检验.还可判断随机变量满足常见分布列：两点分布，二项分布，超几何分布，正态分布.3.求随机变量的期望和方差的基本方法：(1)已知随机变量的分布列，直接利用期望和方差公式直接求解；(2)已知随机变量X 的期望、方差，求aX +b a ,b ∈R 的期望与方差，利用期望和方差的性质E aX +b =aE X +b ，D aX +b =a 2D X 进行计算；(3)若能分析出所给的随机变量服从常用的分布(如：两点分布、二项分布等)，可直接利用常用分布列的期望和方差公式进行计算，若ξ~B (n ,p ),则Eξ=np ，Dξ=np (1-p ).4.求解概率最大问题的关键是能够通过P ξ=k ≥P ξ=k +1P ξ=k ≥Pξ=k -1构造出不等关系，结合组合数公式求解结果5.线性回归分析解题方法：(1)计算x ,y,ni =1x i 2 ,ni =1x i y i 的值；(2)计算回归系数a ,b ；(3)写出回归直线方程y =b x +a.线性回归直线方程为：y =b x +a ，b=ni =1x i −x y i −yni =1x i −x2=ni =1x i y i −nx yni =1x i 2−nx2，a =y −b x其中x ,y为样本中心，回归直线必过该点(4)线性相关系数(衡量两个变量之间线性相关关系的强弱)r =n i =1x i −x y i −y n i =1x i −x 2 n i =1y i −y 2 =ni =1x i y i −nx yn i =1x i 2−nx 2ni =1y i 2−ny2r >0，正相关；r <0，负相关r ≤1,且r 越接近于1，线性相关性越强；r 越接近于0，线性相关性越弱，几乎不存在线性相关性6.独立性检验解题方法：(1)依题意完成列联表；(2)用公式求解；(3)对比观测值即可得到所求结论的可能性独立性检验计算公式：K 2=n ad -bc 2a +b c +d a +c b +d模拟训练一、解答题1.(2023·福建三明·统考三模)在二十大报告中，体育､健康等关键词被多次提及，促进群众体育和竞技体育全面发展，加快建设体育强国是全面建设社会主义现代化国家的一个重要目标.某校为丰富学生的课外活动，加强学生体质健康，拟举行羽毛球团体赛，赛制采取3局2胜制，每局都是单打模式，每队有5名队员，比赛中每个队员至多上场一次且是否上场是随机的，每局比赛结果互不影响.经过小组赛后，最终甲、乙两队进入最后的决赛，根据前期比赛的数据统计，甲队种子选手M 对乙队每名队员的胜率均为34，甲队其余4名队员对乙队每名队员的胜率均为12.(注：比赛结果没有平局)(1)求甲队最终2:1获胜且种子选手M 上场的概率；(2)已知甲队2:1获得最终胜利，求种子选手M 上场的概率.【答案】(1)740(2)711【分析】(1)设事件A i =“种子选手M 第i 局上场”i =1,2,3 ，事件B =“甲队最终2:1获胜且种子选手M 上场”，求出P A i 、P B A i i =1,2,3 的值，利用全概率公式可求得P B 的值；(2)设事件A 0=“种子选手M 未上场”，事件C =“甲队2:1获得胜利”，计算出P C 、P A 0C 的值，利用贝叶斯公式可求得P A 0C 的值.【详解】(1)解：设事件A i =“种子选手M 第i 局上场”i =1,2,3 ，事件B =“甲队最终2:1获胜且种子选手M 上场”.由全概率公式知，P B =P B A 1 ⋅P A 1 +P B A 2 ⋅P A 2 +P B A 3 ⋅P A 3因为每名队员上场顺序随机，故P A i =15i =1,2,3 ，P B A 1 =34×12×12+14×12×12=14，P B A 2 =12×34×12+12×14×12=14，P B A 3 =C 12⋅12×12×34=38.所以P B =∑3i =1P B A i P A i =14×15+14×15+38×15=740，所以甲队最终2:1获胜且种子选手M 上场的概率为740.(2)解：设事件A 0=“种子选手M 未上场”，事件C =“甲队2:1获得胜利”，P A 0 =A 34A 35=25，P A 0 =1-25=35，P C A 0 =C 12×12×12×12=14，P C =P B +P C A 0 ⋅P A 0 =740+14×25=1140，因为P A 0 C =P A 0CP C.由(1)知P A 0 C =P B =740，所以P A 0 C =P A 0 C P C =7401140=711.所以，已知甲队2:1获得最终胜利，种子选手M 上场的概率为711.2.(2023·湖北武汉·统考模拟预测)“英才计划”最早开始于2013年，由中国科协、教育部共同组织实施，到2022年已经培养了6000多名具有创新潜质的优秀中学生，为选拔培养对象，某高校在暑假期间从武汉市的中学里挑选优秀学生参加数学、物理、化学、信息技术学科夏令营活动．(1)若化学组的12名学员中恰有5人来自同一中学，从这12名学员中选取3人，ξ表示选取的人中来自该中学的人数，求ξ的分布列和数学期望；(2)在夏令营开幕式的晚会上，物理组举行了一次学科知识竞答活动．规则如下：两人一组，每一轮竞答中，每人分别答两题，若小组答对题数不小于3，则取得本轮胜利，假设每轮答题结果互不影响．已知甲、乙两位同学组成一组，甲、乙答对每道题的概率分别为p 1，p 2，且p 1+p 2=43，如果甲、乙两位同学想在此次答题活动中取得6轮胜利，那么理论上至少要参加多少轮竞赛？【答案】(1)分布列见解析，E (ξ)=54(2)11轮【分析】(1)根据超几何分布列分布列计算数学期望即可；(2)先求每轮答题中取得胜利的概率的最大值，再应用独立重复实验数学期望的范围求出最少轮数.【详解】(1)由题意可知ξ的可能取值有0、1、2、3，P (ξ=0)=C 37C 312=744，P (ξ=1)=C 15C 27C 312=2144，P (ξ=2)=C 17C 25C 312=722，P (ξ=3)=C 35C 312=122所以，随机变量ξ的分布列如下表所示：ξ0123P7442144722122所以E (ξ)=0×744+1×2144+2×722+3×122=54．(2)他们在每轮答题中取得胜利的概率为Q =C 12p 11-p 1 C 22p 22+C 22p 21C 12p 21-p 2 +C 22p 21C 22p 22=2p 1p 2p 1+p 2 -3p 1p 2 2=83p 1p 2-3p 1p 2 2，由0≤p 1≤1，0≤p 2≤1，p 1+p 2=43，得13≤p 1≤1，则p1p2=p143-p1=43p1-p21=-p1-232+49，因此p1p2∈13,49，令t=p1p2∈13,49，Q=83t-3t2=-3t-492+1627，于是当t=49时，Q max=1627．要使答题轮数取最小值，则每轮答题中取得胜利的概率取最大值16 27．设他们小组在n轮答题中取得胜利的次数为X，则X∼B n,16 27，E(X)=1627n，由E(X)≥6，即1627n≥6，解得n≥10.125．而n∈N*，则n min=11，所以理论上至少要进行11轮答题．3.(2023·福建宁德·校考二模)某科研团以为了考察某种药物预防疾病的效果，进行动物实验，得到如下列联表．患病未患病总计服用药物1045末服用药物50总计30(1)请将上面的列联表补充完整．(2)认为“药物对预防疾病有效”犯错误的概率是多少？(3)为了进一步研究，现按分层抽样的方法从未患病动物中抽取10只，设其中未服用药物的动物数为ξ，求ξ的分布列与期望．下面的临界值表供参考：P(K2≥k)0.150.100.050.0250.0100.0050.001k 2.0722706 3.841 5.024 6.6357.87910.828(参考公式：K2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n=a+b+c+d)【答案】(1)列联表见解析(2)2.5%(3)分布列见解析，数学期望为1.6【分析】(1)根据表中的数据完成列联表即可；(2)由公式K2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)计算K2，然后根据临界值表进行判断；(3)由题意可得ξ的值可能为0，1，2，3，4，求出相应的概率，从而可求得ξ的分布列与期望．【详解】(1)列联表补充如下：患病末患病总计服用药物104555末服用药物203050总计3075105(2)K2=105×(10×30-20×45)230×75×55×50=33655≈6.109>5.024．∵P K2≥5.024=0.025，∴认为“药物对预防疾病有效”犯错误的概率是2.5%．(3)根据题意，10只未患病动物中，有6只服用药物，4只未服用药物，所以ξ的值可能为0，1，2，3，4，则P (ξ=0)=C 46C 410=15210，P (ξ=1)=C 36C 14C 410=80210，P (ξ=2)=C 26C 24C 410=90210，P (ξ=3)=C 16C 34C 410=24210，P (ξ=4)=C 44C 410=1210，ξ的分布列如下：ξ01234P152108021090210242101210则E (ξ)=0×15210+1×80210+2×90210+3×24210+4×1210=1.6．4.(2023·江苏常州·校考一模)设X ,Y 是一个二维离散型随机变量，它们的一切可能取的值为a i ,b j ，其中i ,j ∈N *，令p ij =P X =a i ,Y =b j ，称p ij i ,j ∈N * 是二维离散型随机变量X ,Y 的联合分布列，与一维的情形相似，我们也习惯于把二维离散型随机变量的联合分布列写成下表形式；X ,Yb 1b 2b 3⋅⋅⋅a 1p 11p 12p 13⋅⋅⋅a 2p 21p 22p 23⋅⋅⋅a 3p 31p 32p 33⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅现有n n ∈N * 个球等可能的放入编号为1,2,3的三个盒子中，记落入第1号盒子中的球的个数为X ，落入第2号盒子中的球的个数为Y ．(1)当n =2时，求X ,Y 的联合分布列，并写成分布表的形式；(2)设p k =nm =0P X =k ,Y =m ,k ∈N 且k ≤n ，求nk =0kp k 的值．(参考公式：若X ~B n ,p ，则nk =0kC k n p k1-p n -k =np )【答案】(1)答案见解析(2)n 3【分析】(1)X 的取值为0，1，2，Y 的取值为0，1，2，分别计算概率即可；(2)计算得p k =Ckn13k23n -k，则n k =0kp k =nk =0kC k n 13k23n -k，最后利用二项分布的期望公式即可得到答案.【详解】(1)若n =2，X 的取值为0，1，2，Y 的取值为0，1，2，则P X =0,Y =0 =132=19，P X =0,Y =1 =C 12×13×13=29，P X =0,Y =2 =132=19，P X =1,Y =0 =C 12×13×13=29，P X =1,Y =1 =C 12×13×13=29，P X =2,Y =0 =132=19，P X =1,Y =2 =P X =2,Y =1 =P X =2,Y =2 =0，故X ,Y 的联合分布列为X ,Y 0120192919129290219(2)当k +m >n 时，P X =k ,Y =m =0，故p k =nm =0P X =k ,Y =m =n -km =0P X =k ,Y =m =n -km =0P C k n C m n -k ⋅13n=C k n 3n n -k m =0C m n -k =C kn 3n 2n -k =C k n13 k23n -k所以nk =0kp k =nk =0kC k n13k23n -k，由二项分布的期望公式可得nk =0kp k =n 3．5.(2023·江苏南京·南京市第九中学校考模拟预测)某种疾病可分为A ，B 两种类型，为了解该疾病的类型与患者性别是否相关，在某地区随机抽取了若干名该疾病的患者进行调查，发现女性患者人数是男性患者的2倍，男性患A 型疾病的人数占男性患者的56，女性患A 型疾病的人数占女性患者的13.A 型病B 型病合计男女合计(1)填写2×2列联表，若本次调查得出“在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为‘所患疾病的类型'与‘性别'有关”的结论，求被调查的男性患者至少有多少人？(2)某团队进行预防A 型疾病的疫苗的研发试验，试验期间至多安排2个周期接种疫苗，每人每个周期接种3次，每次接种费用为m m >0 元.该团队研发的疫苗每次接种后产生抗体的概率为p 0<p <1 ，如果一个周期内至少2次出现抗体，则该周期结束后终止试验，否则进入第二个周期.若p =23，试验人数为1000人，试估计该试验用于接种疫苗的总费用.K 2=n ad -bc 2a +b c +d a +c b +d，P K 2≥k 0 0.100.050.010.0050.001k 02.7063.8416.6357.87910.828【答案】(1)列联表见解析，被调查的男性患者至少有12；(2)340009m 元【分析】(1)设男性患者有x 人，结合题设写出列联表，应用卡方公式求卡方值，根据独立检验的基本思想列不等式求x 范围，再由x 6∈Z ，x3∈Z 确定x 最小值；(2)由题意试验每人的接种费用为ξ的可能取值为3m ，6m ，独立事件乘法公式求出对应概率，进而求出期望，根据总人数求出总费用的期望即可.【详解】(1)设男性患者有x 人，则女性患者有2x 人，2×2列联表如下：A 型病B 型病合计男5x6x 6x 女2x 34x 32x 合计3x 23x 23x假设H 0：患者所患疾病类型与性别之间无关联，根据列联表中的数据K 2=3x 5x 6⋅4x 3-x 6⋅2x 3 23x 2⋅3x 2⋅2x ⋅x =2x 3，要使在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为“所患疾病类型”与“性别”有关，则2x 3>7.879，解得x >11.8185，因为x 6∈Z ，x3∈Z ，所以x 的最小整数值为12，因此，男性患者至少有12人.(2)设该试验每人的接种费用为ξ元，则ξ的可能取值为3m ，6m .则P ξ=3m =C 23p 21-p +p 3=-2p 3+3p 2，P ξ=6m =1+2p 3-3p 2，所以E ξ =3m ⋅-2p 3+3p 2 +6m ⋅1+2p 3-3p 2 =3m 2p 3-3p 2+2 ，因为p =23，试验人数为1000人，所以该试验用于接种疫苗的总费用为1000E ξ ，所以1000×3m 2×23 3-3×23 2+2 =340009m 元.6.(2023·安徽蚌埠·统考三模)某校为了丰富学生课余生活，组建了足球社团.为了解学生喜欢足球是否与性别有关，随机抽取了男、女同学各100名进行调查，部分数据如表所示：喜欢足球不喜欢足球合计男生40女生30合计(1)根据所给数据完成上表，依据α=0.001的独立性检验，能否认为该校学生喜欢足球与性别有关？(2)社团指导老师从喜欢足球的学生中抽取了2名男生和1名女生示范点球射门.已知这两名男生进球的概率均为23，这名女生进球的概率为12，每人射门一次，假设各人射门相互独立，求3人进球总次数X 的分布列和数学期望.附：χ2=n ad -bc 2a +b c +d a +c b +dα0.10.050.010.0050.001x α2.7063.8416.6357.87910.828【答案】(1)有99.9%的把握认为该校学生喜欢足球与性别有关；(2)分布列见解析，数学期望为116.【分析】(1)完善列联表，计算χ2的观测值，再与临界值表比对作答.(2)求出X 的可能值，求出各个值对应的概率，列出分布列并求出期望作答.【详解】(1)依题意，2×2列联表如下：喜欢足球不喜欢足球合计男生6040100女生3070100合计90110200零假设H 0：该校学生喜欢足球与性别无关，χ2的观测值为χ2=200(60×70-30×40)2100×100×90×110≈18.182>10.828=x 0.001，根据小概率值α=0.001的独立性检验，推断H 0不成立，所以有99.9%的把握认为该校学生喜欢足球与性别有关.(2)依题意，X 的可能值为0,1,2,3，P (X =0)=1-23 2×1-12 =118，P (X =1)=C 12×231-23 ×1-12 +1-23 2×12=518，P (X =2)=C 12×231-23 ×12+23 2×1-12 =818=49，P (X =3)=23 2×12=29，所以X 的分布列为：X0123P1185184929数学期望E (X )=0×118+1×518+2×49+3×29=116.7.(2023·海南海口·海南华侨中学校考模拟预测)在以视觉为主导的社交媒体时代，人们常借助具有美颜功能的产品对自我形象进行美化.移动端的美颜拍摄类APP 主要有两类：A 类是以自拍人像、美颜美妆为核心功能的APP ；B 类是图片编辑、精修等图片美化类APP .某机构为调查市民对上述A ，B 两类APP 的使用情况，随机调查了部分市民.已知被调查的市民中使用过A 类APP 的占60%，使用过B 类APP 的占50%，设个人对美颜拍摄类APP 类型的选择及各人的选择之间相互独立.(1)从样本人群中任选1人，求该人使用过美颜拍摄类APP 的概率；(2)从样本人群中任选5人，记X 为5人中使用过美颜拍摄类APP 的人数，设X 的数学期望为E X ，求P X =E X ；(3)在单独使用过A ，B 两类APP 的样本人群中，按类型分甲、乙两组，并在各组中随机抽取8人，甲组对A 类APP ，乙组对B 类APP 分别评分如下：甲组评分9486929687939082乙组评分8583859175908380记甲、乙两组评分的平均数分别为x 1 ，x 2 ，标准差分别为s 1，s 2，试判断哪组评价更合理.(设V i =s ix i (i =1,2)，V i 越小，则认为对应组评价更合理.)参考数据：0.1925≈0.439，0.2325≈0.482.【答案】(1)0.8(2)256625(3)甲组对A 类APP 的评价更合理.【分析】(1)求出“使用过A 类APP ”和“使用过B 类APP ”的概率，再由对立事件的概率公式求解即可.(2)题意知X ∼B 5,45，由二项分布的数学期望公式可求出E X ，再由二项分布的概率公式即可求出P X =E X .(3)由平均数和方差的公式求解即可得出答案.【详解】(1)设事件A 表示“使用过A 类APP ”，事件B 表示“使用过B 类APP ”，由题意知P A =0.6，P B =0.5.任选一人，该人使用过美颜拍摄类APP 的概率:P =1-P A B=1-0.4×0.5=0.8.(2)由题意知X ∼B 5,45，则X 的数学期望E X =5×45=4.P X =E X =P X =4 =C 4545 4×15=256625.(3)x 1 =94+86+92+96+87+93+90+828=90，x 2 =85+83+85+91+75+90+83+808=84，s 1=1842+-4 2+22+62+-3 2+32+02+-8 2 =19.25≈4.39，s 2=1812+-1 2+12+72+-9 2+62+-1 2+-4 2 =23.25≈4.82，V 1=s 1x 1=4.3990<V 2=s 2x 2=4.8284，故甲组对A 类APP 的评价更合理.8.(2023·广东·统考模拟预测)某工厂车间有6台相同型号的机器，各台机器相互独立工作，工作时发生故障的概率都是14，且一台机器的故障由一个维修工处理．已知此厂共有甲、乙、丙3名维修工，现有两种配备方案，方案一：由甲、乙、丙三人维护，每人负责2台机器；方案二：由甲乙两人共同维护6台机器，丙负责其他工作.(1)对于方案一，设X 为甲维护的机器某一时刻发生故障的台数，求X 的分布列与数学期望E (X )；(2)在两种方案下，分别计算某一时刻机器发生故障时不能得到及时维修的概率，并以此为依据来判断，哪种方案能使工厂的生产效率更高？【答案】(1)分布列见解析，12(2)7214096，3472048，方案二能让故障机器更大概率得到及时维修，使得工厂的生产效率更高．【分析】(1)根据题意得到随机变量X ~B 2,14，结合独立重复试验的概率计算公式求得相应的概率，列出分布列，结合期望的公式，即可求解；(2)根据题意，分别求得方案一和方案二中，结合对立事件和独立重复试验的概率计算公式，分别求得机器发生故障时不能及时维修的概率P 1和P 2，根据大小关系，即可得到结论.【详解】(1)解：由题意，车间有6台相同型号的机器，各台机器相互独立工作，工作时发生故障的概率都是14，可得方案一中，随机变量X ~B 2,14，则P X=0=342=916，P X=1=C12⋅14⋅34=38，P X=2=142=116，所以随机变量X的分布列为：X012P 91638116所以期望为E X=2×14=12．(2)解：对于方案一：“机器发生故障时不能及时维修”等价于“甲、乙、丙三人中，至少有一人负责的2台机器同时发生故障”，设机器发生故障时不能及时维修的概率为P1，则其概率为P1=1-1-P X=23=1-1-1 163=7214096．对于方案二：设机器发生故障时不能及时维修的概率为P2，则P2=1-346-C16⋅14⋅34 5-C26⋅14 2⋅34 4=1-36+6×35+15×344096=3472048，可得P2<P1，即方案二能让故障机器更大概率得到及时维修，使得工厂的生产效率更高．9.(2023·福建福州·福建省福州第一中学校考模拟预测)相关统计数据显示，中国经常参与体育锻炼的人数比例为37.2%，城乡居民达到《国民体质测定标准》合格以上的人数比例达到90%以上.某健身连锁机构对其会员的年龄等级和一个月内到健身房健身次数进行了统计，制作成如下两个统计图.图1为会员年龄分布图(年龄为整数)，其中将会员按年龄分为“年轻人”(20岁-39岁)和“非年轻人”(19岁及以下或40岁及以上)两类；图2为会员一个月内到健身房次数分布扇形图，其中将一个月内到健身房锻炼16次及以上的会员称为“健身达人”，15次及以下的会员称为“健身爱好者”，且已知在“健身达人”中有56是“年轻人”.(1)现从该健身连锁机构会员中随机抽取一个容量为100的样本，根据图表数据，补全2×2列联表，并依据小概率值α=0.05的独立性检验，是否可以认为“健身达人”与年龄有关？年轻人非年轻人合计健身达人健身爱好者合计(2)该健身机构在今年年底将针对全部的150名会员举办消费返利活动，预设有如下两种方案.方案1：按分层抽样从健身爱好者和健身达人中总共抽取20位“幸运之星”给予奖励.其中，健身爱好者和健身达人中的“幸运之星”每人分别奖励500元和800元.方案2：每位会员均可参加摸奖游戏，游戏规则如下：从一个装有3个白球、2个红球(球只有颜色不同)的箱子中，有放回地摸三次球，每次只能摸一个球.若摸到红球的总数为2，则可获得100元奖励金；若摸到红球的总数为3，则可获得300元奖励金；其他情况不给予奖励.如果每位健身爱好者均可参加1次摸奖游戏；每位健身达人均可参加3次摸奖游戏(每次摸奖的结果相互独立).以方案的奖励金的数学期望为依据，请你预测哪一种方案投资较少？并说明理由.附：χ2=n(ad-bc)2a+bc+da+cb+d.α0.100.050.0250.0100.0050.001χα 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.828【答案】(1)列联表见解析，“健身达人”与年龄无关(2)施行方案1投资较少，理由见解析【分析】(1)根据题意计算相关数据填好列联表，利用公式计算χ2，对照参考数据得出结论；(2)按分层抽样计算方案1奖励的总金额ξ1；方案2中，设η表示参加一次摸奖游戏所获得的奖励金，则η的可能取值为0,100,300，计算对应概率，得出分布列，数学期望Eη ，进而计算按照方案2奖励的总金额ξ2，比较ξ1,ξ2即可得出答案.【详解】(1)根据年轻人标准结合图1可得年轻人占比为80%，则年轻人人数为100×80%=80，非年轻人为20人，根据图2表格得健身达人所占比60%，所以其人数为100×60%=60，根据其中年轻人占比56，所以健身达人中年轻人人数为60×56=50，非年轻人为10人；健身爱好者人数为100-60=40，再通过总共年轻人合计为80人，则健身爱好者中年轻人人数为80-50=30，根据非年轻人总共为20人，健身爱好者中非年轻人人数为20-10=10，所以列联表为：年轻人非年轻人合计健身达人501060健身爱好者301040合计8020100零假设为H0：“健身达人”与年龄无关联，根据列联表中的数据，可得χ2=100×(50×10-30×10)280×20×60×40=2524≈1.042<3.841，依据小概率值α=0.05的独立性检验，没有充分证据推断H0不成立，因此可以认为H0成立，即“健身达人”与年龄无关.(2)方案1：按分层抽样从健身爱好者和健身达人中总共抽取20位“幸运之星”，则“幸运之星”中的健身爱好者和健身达人的人数分别为18.2%+21.8%×20=8,30.1%+19.2%+10.7%×20=12，按照方案1奖励的总金额为ξ1=8×500+12×800=13600(元).方案2：设η表示参加一次摸奖游戏所获得的奖励金，全部的150名会员中的健身爱好者和健身达人的人数分别为18.2%+21.8%×150=60,30.1%+19.2%+10.7%×150=90，则η的可能取值为0,100,300.由题意，每摸球1次，摸到红球的概率为P =C 12C 15=25，所以P η=0 =C 0335 325 0+C 1335 225 1=81125，P η=100 =C 2335 125 2=36125，P η=300 =C 3335 025 3=8125.所以η的分布列为：η0100300P81125361258125数学期望为E η =0×81125+100×36125+300×8125=48(元)，按照方案2奖励的总金额为ξ2=60+3×90 ×48=15840(元)，因为由ξ1<ξ2，所以施行方案1投资较少.10.(2023·云南昭通·校联考模拟预测)为了检测某种抗病毒疫苗的免疫效果，需要进行临床人体试验.研究人员将疫苗注射到200名志愿者体内，一段时间后测量志愿者的某项指标值，按0,20 ，20,40 ，40,60 ，60,80 ，80,100 分组，绘制频率分布直方图如图所示.试验发现志愿者体内产生抗体的共有160人，其中该项指标值不小于60的有110人.假设志愿者注射疫苗后是否产生抗体相互独立.(1)填写下面的2×2列联表，并根据列联表及小概率值α=0.05的独立性检验，判断能否认为注射疫苗后志愿者产生抗体与指标值不小于60有关.抗体指标值合计小于60不小于60有抗体没有抗体合计(2)为检验疫苗二次接种的免疫抗体性，对第一次注射疫苗后没有产生抗体的40名志愿者进行第二次注射疫苗，结果又有m 名志愿者产生抗体.(i )用频率估计概率，已知一名志愿者注射2次疫苗后产生抗体的概率p =0.9，求m 的值；(ⅱ)以(i )中的概率p 作为人体注射2次疫苗后产生抗体的概率，再进行另一组人体接种试验，记110名志愿者注射2次疫苗后产生抗体的数量为随机变量X，求P X=k最大时的k的值.参考公式：χ2=n ad-bc2a+bc+da+cb+d(其中n=a+b+c+d为样本容量).α0.500.400.250.150.1000.0500.025xα0.4550.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024【答案】(1)列联表见解析，认为注射疫苗后志愿者产生抗体与指标值不小于60有关；(2)(i)20；(ⅱ)99.【分析】(1)完善列联表，计算χ2的观测值，再与临界值表比对作答.(2)(i)利用对立事件、相互独立事件的概率公式求解作答；(ⅱ)利用二项分布的概率公式，列出不等式组并求解作答.【详解】(1)由频率分布直方图，知200名志愿者按指标值分布为：在[0,20)内有0.0025×20×200=10 (人)，在[20,40)内有0.00625×20×200=25(人)，在[40,60)内有0.00875×20×200=35(人)，在[60,80)内有0.025×20×200=100(人)，在80,100内有0.0075×20×200=30(人)，依题意，有抗体且指标值小于60的有50人，而指标值小于60的志愿者共有10+25+35=70人，则指标值小于60且没有抗体的志愿者有20人，指标值不小于60且没有抗体的志愿者有20人，所以2×2列联表如下：抗体指标值合计小于60不小于60有抗体50110160没有抗体202040合计70130200零假设H0：注射疫苗后志愿者产生抗体与指标值不小于60无关联，根据列联表中数据，得χ2=200×(50×20-20×110)2160×40×70×130≈4.945>3.841，根据小概率值α=0.05的独立性检验，推断H0不成立，即认为注射疫苗后志愿者产生抗体与指标值不小于60有关，此推断犯错误的概率不大于0.05.(2)(i)令事件A=“志愿者第一次注射疫苗产生抗体”，事件B=“志愿者第二次注射疫苗产生抗体”，事件C=“志愿者注射2次疫苗后产生抗体”，记事件A,B,C发生的概率分别为P(A),P(B),P(C)，则P A=160200=0.8,P B =m40,P C =1-P AP B=1-0.2×1-m40=0.9，解得：m=20，所以m=20.(ⅱ)依题意，随机变量X∼B(110,0.9)，P(X=k)=C k110×0.9k×0.1110-k(k∈N,k≤110)，显然P(X=0),P(X=110)不是最大的，即当P(X=k)最大时，k∈N∗,k<110，于是P(X=k)≥P(X=k-1)P(X=k)≥P(X=k+1)，即C k110×0.9k×0.1110-k≥C k-1110×0.9k-1×0.1111-kC k110×0.9k×0.1110-k≥C k+1110×0.9k+1×0.1109-k，则110!k!(110-k)!×0.9≥110!(k-1)!(111-k)!×0.1110!k!(110-k)!×0.1≥110!(k+1)!(109-k)!×0.9，整理得9(111-k)≥kk+1≥9(110-k)，解得98910≤k≤99910，因此k=99，所以P(X=k)最大时，k的值为99.11.(2023·湖南长沙·长沙市实验中学校考二模)首批全国文明典范城市将于2023年评选，每三年评选一次，2021年长沙市入选为全国文明典范城市试点城市，目前我市正全力争创首批全国文明典范城市，某学校号召师生利用周末从事创建志愿活动.高一(1)班一组有男生4人，女生2人，现随机选取2人作为志愿者参加活动，志愿活动共有交通协管员、创建宣传员、文明监督员三项可供选择，每名女生至多从中选择参加2项活动，且选择参加1项或2项的可能性均为12；每名男生至少从中选择参加2项活动，且选择参加2项或3项的可能性也均为12，每人每参加1项活动可获得综合评价10分，选择参加几项活动彼此互不影响，求：(1)在有女生参加活动的条件下，恰有一名女生的概率；(2)记随机选取的两人得分之和为X，求X的期望．【答案】(1)8 9(2)E X =1303【分析】(1)根据条件概率求解即可；(2)先求出参加人数的分布列及期望，再根据参加人数与得分的关系求出得分的期望即可.【详解】(1)设事件A为：“至少有一名女生参加活动”，设事件B为：“恰有一名女生参加活动”.则P AB=C14⋅C12C26=815，P A =1-C24C26=35.所以在有女生参加活动的条件下，恰有一名女生的概率为：P B A=P ABP A=89；(2)因为女生参加活动得分为12×10+12×20=15；男生参加活动得分为12×20+12×30=25.设恰有Y名女生参加活动，则有2-Y名男生参加活动，所以P Y=0=C24C26=25，P Y=1=C14⋅C12C26=815，P Y=2=C22C26=115，所以E Y=1×815+2×115=23，又X=15Y+252-Y=50-10Y，所以E X=50-10E Y=50-10×23=1303.12.(2023·江苏南京·南京市第一中学校考模拟预测)为了宣传航空科普知识，某校组织了航空知识竞赛活动．活动规定初赛需要从8道备选题中随机抽取4道题目进行作答．假设在8道备选题中，小明正确完成每道题的概率都是34且每道题正确完成与否互不影响，小宇能正确完成其中6道题且另外2道题不能完成．(1)求小明至少正确完成其中3道题的概率；(2)设随机变量X表示小宇正确完成题目的个数，求X的分布列及数学期望；(3)现规定至少完成其中3道题才能进入决赛，请你根据所学概率知识，判断小明和小宇两人中选择谁去参加市级比赛(活动规则不变)会更好，并说明理由．【答案】(1)189256(2)分布列见解析，3(3)选择小宇，理由见解析【分析】(1)小明至少正确完成其中3道题包含两种情况：一是小明正确完成3道题，二是小明正确完成4道题，然后由互斥事件的概率公式求解即可；(2)由题意得X 的可能取值为2，3，4，然后求各自对应的概率，从而可求出X 的分布列及数学期望；(3)分别计算出他们两人至少完成其中3道题的概率，通过比较概率的大小可得答案.【详解】(1)记“小明至少正确完成其中3道题”为事件A ，则P A =C 3434 314+C 4434 4=189256．(2)X 的可能取值为2，3，4P X =2 =C 22C 26C 48=1570=314，P X =3 =C 12C 36C 48=4070=47，P X =4 =C 02C 46C 48=1570=314，X 的分布列为；X 234P31447314数学期望E X =2×314+3×47+4×314=3．(3)由(1)知，小明进入决赛的概率为P A =189256；记“小宇至少正确完成其中3道题”为事件B ，则P B =47+314=1114；因为P B >P A ，故小宇进决赛的可能性更大，所以应选择小宇去参加比赛．13.(2023·广东·校联考模拟预测)某商场在五一假期间开展了一项有奖闯关活动，并对每一关根据难度进行赋分，竞猜活动共五关，规定：上一关不通过则不进入下一关，本关第一次未通过有再挑战一次的机会，两次均未通过，则闯关失败，且各关能否通过相互独立，已知甲、乙、丙三人都参加了该项闯关活动.(1)若甲第一关通过的概率为23，第二关通过的概率为56，求甲可以进入第三关的概率；(2)已知该闯关活动累计得分服从正态分布，且满分为450分，现要根据得分给共2500名参加者中得分前400名发放奖励.①假设该闯关活动平均分数为171分，351分以上共有57人，已知甲的得分为270分，问甲能否获得奖励，请说明理由；②丙得知他的分数为430分，而乙告诉丙：“这次闯关活动平均分数为201分，351分以上共有57人”，请结合统计学知识帮助丙辨别乙所说信息的真伪.附：若随机变量Z ∼N μ,σ2 ，则P μ-σ≤X ≤μ+σ ≈0.6827；P μ-2σ≤X ≤μ+2σ ≈0.9545；P μ-3σ≤X ≤μ+3σ ≈0.9973.【答案】(1)7081。
2022高考数学概率类题目解题思路万能答题模板
2022⾼考数学概率类题⽬解题思路万能答题模板
⾼考数学解答题要步步为营，分段得分，解答题阅卷的评分原则⼀般是：第⼀问，错或未做，⽽第⼆问对，则第⼆问得分全给；前⾯错引起后⾯⽅法⽤对但结果出错，则后⾯给⼀半分。
离散型随机变量的均值与⽅差
1.解题路线图
（1）①标记事件；②对事件分解；③计算概率。
（2）①确定ξ取值；②计算概率；③得分布列；④求数学期望。
2.构建答题模板
①定元：根据已知条件确定离散型随机变量的取值。
②定性：明确每个随机变量取值所对应的事件。
③定型：确定事件的概率模型和计算公式。
④计算：计算随机变量取每⼀个值的概率。
⑤列表：列出分布列。
⑥求解：根据均值、⽅差公式求解其值。
⾼考数学答题技巧
寻求中间环节，挖掘隐含条件：
在些结构复杂的综合题，就其⽣成背景⽽论，⼤多是由若⼲⽐较简单的基本题，经过适当组合抽去中间环节⽽构成的。
因此，从题⽬的因果关系⼊⼿，寻求可能的中间环节和隐含条件，把原题分解成⼀组相互联系的系列题，是实现复杂问题简单化的⼀条重要途径。
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概率与统计是高中数学的重要学习内容，在高考试卷中，每年都有所涉及，以解答题形式出现的试题常常设计成包含概率计算，统计图表的识别等知识为主的综合题，以考生比较熟悉的实际应用问题为载体，注重考查基础知识和基本方法；以排列组合和概率统计等基础知识为工具，考查对概率事件的识别及概率计算．“大题规范解答——得全分”系列之(十)概率与统计的综合问题答题模板[典例](2012辽宁高考改编·满分12分)电视传媒公司为了解某地区观众对某类体育节目的收视情况，随机抽取了100名观众进行调查，其中女性有55名．下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图：将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷”，已知“体育迷”中有10名女性．(1)根据已知条件完成下面的2×2列联表，并据此资料判断是否有95%的把握认为“体育迷”与性别有关？非体育迷体育迷合计男女合计(2)将日均收看该体育节目不低于50分钟的观众称为“超级体育迷”，已知“超级体育迷”中有2名女性，若从“超级体育迷”中任意选取2人，求至少有1名女性观众的概率．附K 2＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )，P (K 2≥k )0.05 0.01 k3.8416.635[教你快速规范审题]1．审条件，挖解题信息 观察条件―→ 100名观众收看节目时间的频率分布直方图及日均收看时间不低于40分钟的观众称为体育迷，女体育迷10名 −−−−−−→借助直方可确定图非体育迷及体育迷人数2．审结论，明解题方向观察所求结论―→完成2×2列联表并判断“体育迷”与性别的相关性 −−−→需要确定a ，b ，c ，d 及K 2的值3．建联系，找解题突破口由直方图及条件确定体育迷与非体育迷人数―→完成列联表―→计算K 2可判断结论1．审条件，挖解题信息观察条件―→确定“超级体育迷”标准且有2名女性“超级体育迷” −−−−−−→由率分布直方频图 确定“超级体育迷”的人数2．审结论，明解题方向观察所求结论―→从“超级体育迷”中任取2人求至少有1名女性观众的概率 −−−−→分分析类1名女性观众或两名女性观众3．建联系，找解题突破口由频率分布直方图确定“超级体育迷”的人数−−−−−→列法列出举举所有基本事件并计数为n 和至少有1名女性的基本事件，计数为m mP n−−−−→代入＝求概率[教你准确规范解题](1)由频率分布直方图可知，在抽取的100人中，“体育迷”有25人，从而完成2×2列联表如下：非体育迷 体育迷 合计 男 30 15 45 女 45 10 55 合计7525100(3分)将2×2列联表中的数据代入公式计算，得K 2＝100×(30×10－45×15)275×25×45×55＝10033≈3.030.因为3.030＜3.841，所以我们没有95%的把握认为“体育迷”与性别有关．(6分)(2)由频率分布直方图可知，“超级体育迷”为5人，从而一切可能结果所组成的基本事件为(a 1，a 2)，(a 1，a 3)，(a 2，a 3)，(a 1，b 1)，(a 1，b 2)，(a 2，b 1)，(a 2，b 2)，(a 3，b 1)，(a 3，b 2)，(b 1，b 2)，其中a i 表示男性，i ＝1,2,3，b j 表示女性，j ＝1,2.由10个基本事件组成，而且这些基本事件的出现是等可能的．(9分)用A 表示“任选2人中，至少有1人是女性”这一事件，则A ＝{(a 1，b 1)，(a 1，b 2)，(a 2，b 1)，(a 2，b 2)，(a 3，b 1)，(a 3，b 2)，(b 1，b 2)}，(11分)事件A 由7个基本事件组成，因而P (A )＝710.(12分)[常见失分探因]忽视直方图纵轴表示为频率组距导致每组人数计算失误.K 2的计算不准确、导致结果判断出错.1.“超级体育迷”人数计算错误导致失误.2.由5人中任取2人列举出所有可能结果时重复或遗漏某一情况导致失误.————————————[教你一个万能模板]—————————————————第一步理清题意，理解问题中的条件和结论．尤其是直方图中给定的信息，找关键量 第二步由直方图确定所需的数据，列出2×2列联表―→第三步利用独立性检验的步骤进行判断―→第四步确定基本事件总数及所求事件所含基本事件的个数―→第五步利用概率公式求事件的概率―→第六步反思回顾、检查关键点易错点及答题规范1．(2012·佛山模拟)已知某车间加工零件的个数x 与所花费时间y (h)之间的线性回归方程为y ^＝0.01x ＋0.5，则加工600个零件大约需要的时间为( )A ．6.5 hB ．5.5 hC ．3.5 hD ．0.3 h解析：选A 将600代入线性回归方程y ^＝0.01x ＋0.5中得需要的时间为6.5 h. 2．(2013·衡阳联考)已知x 与y 之间的一组数据：已求得关于y 与x 的线性回归方程y ^＝2.1x ＋0.85，则m 的值为( ) A ．1 B ．0.85 C ．0.7D ．0.5解析：选D 回归直线必过样本中心点(1.5，y )，故y ＝4，m ＋3＋5.5＋7＝16，得m ＝0.5.3．有甲、乙两个班级进行数学考试，按照大于等于85分为优秀，85分以下为非优秀统计成绩，得到如下所示的列联表：已知在全部105人中随机抽取1人，成绩优秀的概率为27，则下列说法正确的是( )A ．列联表中c 的值为30，b 的值为35B ．列联表中c 的值为15，b 的值为50C ．根据列联表中的数据，若按95%的可靠性要求，能认为“成绩与班级有关系”D ．根据列联表中的数据，若按95%的可靠性要求，不能认为“成绩与班级有关系” 解析：选C 由题意知，成绩优秀的学生数是30，成绩非优秀的学生数是75，所以c ＝20，b ＝45，选项A 、B 错误．根据列联表中的数据，得到K 2＝105×(10×30－20×45)255×50×30×75≈6.109＞3.841，因此有95%的把握认为“成绩与班级有关系”．4．已知x 、y 的取值如下表：从所得的散点图分析，y 与x 线性相关，且y ＝0.95x ＋a ，则a ^＝( ) A ．2.5 B ．2.6 C ．2.7D ．2.8解析：选B 因为回归方程必过样本点的中心(x ，y )，又x ＝2，y ＝4.5，则将(2,4.5)代入y ^＝0.95x ＋a ^可得a ^＝2.6.5．(2012·湖南高考)设某大学的女生体重y (单位：kg)与身高x (单位：cm)具有线性相关关系，根据一组样本数据(x i ，y i )(i ＝1,2，…，n )，用最小二乘法建立的回归方程为y ^＝0.85x －85.71，则下列结论中不．正确的是( ) A ．y 与x 具有正的线性相关关系 B ．回归直线过样本点的中心(x ，y )C ．若该大学某女生身高增加1 cm ，则其体重约增加0.85 kgD ．若该大学某女生身高为170 cm ，则可断定其体重必为58.79 kg解析：选D 由于回归直线的斜率为正值，故y 与x 具有正的线性相关关系，选项A 中的结论正确；回归直线过样本点的中心，选项B 中的结论正确；根据回归直线斜率的意义易知选项C 中的结论正确；由于回归分析得出的是估计值，故选项D 中的结论不正确．6．(2013·合肥检测)由数据(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x 10，y 10)求得线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^，则“(x 0，y 0)满足线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^”是“x 0＝x 1＋x 2＋…＋x 1010，y 0＝y 1＋y 2＋…＋y 1010”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选B x 0，y 0为这10组数据的平均值，又因为回归直线y ^＝b ^x ＋a ^必过样本中心点(x ，y )，因此(x 0，y 0)一定满足线性回归方程，但坐标满足线性回归方程的点不一定是(x ，y )．7．(2012·唐山模拟)考古学家通过始祖鸟化石标本发现：其股骨长度x (cm)与肱骨长度y (cm)的线性回归方程为y ^＝1.197x －3.660，由此估计，当股骨长度为50 cm 时，肱骨长度的估计值为________ cm.解析：根据回归方程y ^＝1.197x －3.660，将x ＝50代入，得y ＝56.19，则肱骨长度的估计值为56.19 cm.答案：56.198．在一项打鼾与患心脏病的调查中，共调查了1 671人，经过计算K 2的观测值k ＝27.63，根据这一数据分析，我们有理由认为打鼾与患心脏病是________的．(有关，无关)解析：由观测值k ＝27.63与临界值比较，我们有99%的把握说打鼾与患心脏病有关． 答案：有关9．(2012·宁夏模拟)某单位为了了解用电量y 度与气温x ℃之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天气温，并制作了对照表：由表中数据得线性回归方程y ^＝bx ＋a 中b ＝－2，预测当气温为－4℃时，用电量的度数约为________．解析：x ＝10，y ＝40，回归方程过点(x ，y )， ∴40＝－2×10＋a . ∴a ＝60.∴y ^＝－2x ＋60.令x ＝－4，∴y ^＝(－2)×(－4)＋60＝68. 答案：6810．已知x ，y 的一组数据如下表：(1)从x ，y (2)对于表中数据，甲、乙两同学给出的拟合直线分别为y ＝13x ＋1与y ＝12x ＋12，试利用“最小平方法(也称最小二乘法)”判断哪条直线拟合程度更好．解：(1)从x ，y 中各取一个数组成数对(x ，y )，共有25对，其中满足x ＋y ≥10的有(6,4)，(6,5)，(7,3)，(7,4)，(7,5)，(8,2)，(8,3)，(8,4)，(8,5)，共9对．故所求概率P ＝925.(2)用y ＝13x ＋1作为拟合直线时，所得y 值与y 的实际值的差的平方和为S 1＝⎝⎛⎭⎫43－12＋(2－2)2＋(3－3)2＋⎝⎛⎭⎫103－42＋⎝⎛⎭⎫113－52＝73.用y ＝12x ＋12作为拟合直线时，所得y 值与y 的实际值的差的平方和为S 2＝(1－1)2＋(2－2)2＋⎝⎛⎭⎫72－32＋(4－4)2＋⎝⎛⎭⎫92－52＝12. ∵S 2<S 1，∴直线y ＝12x ＋12的拟合程度更好．11．(2012·东北三省联考)某学生对其亲属30人的饮食习惯进行了一次调查，并用茎叶图表示30人的饮食指数．(说明：图中饮食指数低于70的人，饮食以蔬菜为主；饮食指数高于70的人，饮食以肉类为主．)(1)根据茎叶图，帮助这位学生说明其亲属30人的饮食习惯； (2)根据以上数据完成下列2×2的列联表：主食蔬菜主食肉类合计 50岁以下 50岁以上 合计(3)能否有99%的把握认为其亲属的饮食习惯与年龄有关，并写出简要分析． 解：(1)30位亲属中50岁以上的人多以食蔬菜为主，50岁以下的人多以食肉为主． (2)主食蔬菜主食肉类合计 50岁以下 4 8 12 50岁以上 16 2 18 合计201030(2)K 2＝30(8－128)212×18×20×10＝30×120×12012×18×20×10＝10＞6.635，有99%的把握认为亲属的饮食习惯与年龄有关．12．某电脑公司有6名产品推销员，其工作年限与年推销金额的数据如下表：推销员编号 1 2 3 4 5 工作年限x /年 3 5 6 7 9 推销金额y /万元23345(1)(2)求年推销金额y 关于工作年限x 的线性回归方程；(3)若第6名推销员的工作年限为11年，试估计他的年推销金额．解：(1)依题意，画出散点图如图所示，(2)从散点图可以看出，这些点大致在一条直线附近，设所求的线性回归方程为y ^＝b ^x ＋a ^.则b ^＝∑x ＝15(x i －x )(y i －y －)∑x ＝15(x i －x )2＝1020＝0.5，a ^＝y －b ^x －＝0.4， ∴年推销金额y 关于工作年限x 的线性回归方程为 y ^＝0.5x ＋0.4.(3)由(2)可知，当x ＝11时，y ^＝0.5x ＋0.4＝0.5×11＋0.4＝5.9(万元)．∴可以估计第6名推销员的年推销金额为5.9万元．1．某研究机构对高三学生的记忆力x 和判断力y 进行统计分析，所得数据如下表：x 6 8 10 12 y2356则y 对x 的线性回归直线方程为( ) A.y ^＝2.3x －0.7 B.y ^＝2.3x ＋0.7 C.y ^＝0.7x －2.3D.y ^＝0.7x ＋2.3解析：选C ∵∑i ＝14x i y i ＝6×2＋8×3＋10×5＋12×6＝158，x ＝6＋8＋10＋124＝9，y ＝2＋3＋5＋64＝4.∴b ^＝158－4×9×436＋64＋100＋144－4×81＝0.7， a ^＝4－0.7×9＝－2.3.故线性回归直线方程为y ^＝0.7x －2.3.2．(2012·东北三校联考)某校为了研究学生的性别和对待某一活动的态度(支持和不支持两种态度)的关系，运用2×2列联表进行独立性检验，经计算K 2＝7.069，则有________的把握认为“学生性别与是否支持该活动有关系”．附：P (K 2≥k 0)0.100 0.050 0.025 0.010 0.001 k 02.7063.8415.0246.63510.828解析：因为7.069与附表中的 6.635最接近(且大于 6.635)，所以得到的统计学结论是：有99%的把握认为“学生性别与是否支持该活动有关系”．答案：99%3．某网站就“民众是否支持加大修建城市地下排水设施的资金投入”进行投票．按照北京暴雨前后两个时间收集有效投票，暴雨后的投票收集了50份，暴雨前的投票也收集了50份，所得统计结果如下表：支持 不支持 总计 北京暴雨后 x y 50 北京暴雨前 20 30 50 总计AB100已知工作人员从所有投票中任取一个，取到“不支持投入”的投票的概率为25.(1)求列联表中的数据x ，y ，A ，B 的值；(2)绘制条形统计图，通过图形判断本次暴雨是否影响到民众对加大修建城市地下排水设施的投入的态度？(3)能够有多大把握认为北京暴雨对民众是否赞成加大对修建城市地下排水设施的投入有关？附：K 2＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )P (K 2≤k )0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k 2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828解：(1)设“从所有投票中抽取一个，取到不支持投入的投票”为事件A ， 由已知得P (A )＝y ＋30100＝25，所以y ＝10，B ＝40，x ＝40，A ＝60.(2)由(1)知北京暴雨后支持为4050＝45，不支持率为1－45＝15，北京暴雨前支持率为2050＝25，不支持率为1－25＝35.条形统计图如图所示，由图可以看出暴雨影响到民众对加大修建城市地下排水设施的投入的态度．(3)K 2＝100(30×40－20×10)250×50×40×60＝1000 00050×20×60＝503≈16.78＞10.828.故至少有99.9%的把握认为北京暴雨对民众是否赞成加大对修建城市地下排水设施的投入有关．1．以下是某地最新搜集到的二手楼房的销售价格y (单位：万元)和房屋面积x (单位：m 2)的一组数据：房屋面积x (m 2) 8 35 销售价格y (万元)18.42221.624.829.2若销售价格y 和房屋面积x 具有线性相关关系． (1)求销售价格y 和房屋面积x 的回归直线方程；(2)根据(1)的结果估计当房屋面积为150 m 2时的销售价格． 解：(1)由题意知，x ＝80＋105＋110＋115＋1355＝109，y ＝18.4＋22＋21.6＋24.8＋29.25＝23.2.设所求回归直线方程为y ^＝bx ＋a ，则b ＝∑i ＝1n(x i －109)(y i －23.2)∑i ＝1n(x i －109)2＝3081 570≈0.196 2， a ＝y －b x ≈23.2－0.196 2×109＝1.814 2，故回归直线方程为y ^＝0.196 2x ＋1.814 2. (2)由(1)知，当x ＝150时，估计房屋的销售价格为y ^＝0.196 2×150＋1.814 2＝31.244 2(万元)．2．(2012·徐州二模)在研究色盲与性别的关系调查中，调查了男性480人，其中有38人患色盲，调查的520名女性中，有6人患色盲．(1)根据以上数据建立一个2×2列联表；(2)若认为“性别与患色盲有关系”，求出错的概率． 解：(1)2×2列联表如下：(2)假设H 0：“性别与患色盲没有关系”，根据(1)中2×2列联表中数据，可求得K 2＝1 000×(38×514－6×442)2480×520×44×956≈27.14，又P (K 2≥10.828)＝0.001，即H 0成立的概率不超过0.001，故若认为“性别与患色盲有关系”，则出错的概率为0.1%.。