第四节 概率与统计的综合问题
第四节概率与统计的综合问题
第四节概率与统计的综合问题考点一概率与统计图表的综合问题[典例] 学校将高二年级某班级50位同学期中考试的数学成绩(均为整数)分为7组进行统计，得到如图所示的频率分布直方图．观察图中信息，回答下列问题．(1)试估计该班级同学数学成绩的平均分；(2)现准备从该班级数学成绩不低于130分的同学中随机选出两人参加某活动，求选出的两人在同一组的概率．[解题技法]破解概率与统计图表综合问题的3步骤[对点训练]如图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学的植树棵数，其中有一个数据模糊，无法确认，在图中以X表示．(1)如果X＝8，求乙组同学植树棵数的平均数和方差；(2)如果X＝9，分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，求这两名同学的植树总棵数为19的概率．考点二概率与随机抽样的综合问题[典例] 已知某中学高三文科班学生共有800人参加了数学与地理的水平测试，现学校决定利用随机数表法从中抽取100人进行成绩统计，先将800人按001,002,003，…，800进行编号．(1)如果从随机数表的第8行第7列的数开始向右读，请你依次写出最先抽取到的3个人的编号．(2)所抽取的100人的数学与地理的水平测试成绩如下表：数学人数优秀良好及格地理优秀7205良好9186及格a4b成绩分为优秀、良好、及格三个等级，横向、纵向分别表示地理成绩与数学成绩，例如表中数学成绩为良好的人数为20＋18＋4＝42.若在该样本中，数学成绩优秀率为30%，求a，b的值．(3)若a≥10，b≥8，求“在地理成绩为及格的学生中，数学成绩为优秀的人数比及格的人数少”的概率．附：(下面摘取了随机数表的第7行至第9行)84 42 17 53 31 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 06 7663 01 63 78 59 16 95 55 67 19 98 10 50 71 75 12 86 73 58 07 44 39 52 38 7933 21 12 34 29 78 64 56 07 82 52 42 07 44 38 15 51 00 13 42 99 66 02 79 54[解题技法]破解概率与随机抽样综合问题的3步骤[对点训练]某大型手机连锁店为了解销售价格在区间[5,30](单位：百元)内的手机的利润情况，从2018年度销售的一批手机中随机抽取75部，按其价格分成5组，频数分布表如下：价格分组(单位：[5,10)[10,15)[15,20)[20,25)[25,30]百元)频数(单位：部)510201525(1)[20,25)内的有几部(2)从(1)中抽出的6部手机中任意抽取2部，求价格在区间[10,15)内的手机至少有1部的概率．考点三概率与数字特征的综合问题[典例] (2019·重庆六校联考)2019年高考特别强调了要增加对数学文化的考查，为此某校高三年级特命制了一套与数学文化有关的专题训练卷(文、理科试卷满分均为100分)，并对整个高三年级的学生进行了测试．现从这些学生的成绩中随机抽取了50名学生的成绩，按照[50,60)，[60,70)，…，[90,100]分成5组，制成了如图所示的频率分布直方图(假定每名学生的成绩均不低于50分)．(1)求频率分布直方图中x的值，并估计所抽取的50名学生成绩的平均数、中位数(同一组中的数据用该组区间的中点值代表)；(2)用样本估计总体，若高三年级共有2 000名学生，试估计高三年级这次测试成绩不低于70分的人数；(3)若利用分层抽样的方法从样本中成绩不低于70分的学生中抽取6人，再从这6人中随机抽取3人参加这次考试的分析会，试求成绩在[80,100]的学生至少有1人被抽到的概率．[解题技法]本题主要考查概率与数字特征，涉及频率分布直方图，平均数、中位数、分层抽样、古典概型的概率计算等知识．解决此类问题的关键是正确理解图表中各个量的意义，牢记相关定义和公式，在利用频率分布直方图，求平均值时，不要与求中位数，众数混淆．[对点训练](2019·唐山五校联考)某篮球队在本赛季已结束的8场比赛中，队员甲得分统计的茎叶图如下：(1)求甲在比赛中得分的均值和方差；(2)从甲比赛得分在20分以下的6场比赛中随机抽取2场进行失误分析，求抽到2场都不超过均值的概率．考点四概率与统计案例的综合问题[典例] 里约奥运会中国女排勇夺金牌，某校高一课外小组为了解金牌争夺战现场直播时同学们的观看情况，从本年级500名男生、400名女生中按分层抽样的方式抽取45名学生进行了问卷调查，观看情况分成以下三类：全程观看、部分观看、没有观看，调查结果统计如下：全程观看部分观看没有观看男生18x2女生106y(1)①求出表中x，y②从没有观看的同学中随机选取2人进一步了解情况，求恰好男生、女生各1人的概率；(2)根据表格统计的数据，完成下面的列联表，并判断是否有90%的把握认为全程观看与性别有关.男生女生总计全程观看非全程观看总计附：K2＝n ad－a＋b c＋d a＋c b＋d，其中n＝a＋b＋c＋d.P(K2≥k0)k0[解题技法]解决概率与统计案例综合问题的4步骤[对点训练]某兴趣小组欲研究昼夜温差大小与患感冒人数多少之间的关系，他们分别到气象局与某医院抄录了1月份至6月份每月10号的昼夜温差情况与因患感冒而就诊的人数，得到如下数据：日期 1月10日 2月10日 3月10日 4月10日 5月10日 6月10日昼夜温差x /℃1011131286就诊人数y /个222529261612该兴趣小组确定的研究方案是：先从这6组数据中选取2组，用剩下的4组数据求线性回归方程，再用被选取的2组数据进行检验．(1)求选取的2组数据恰好是相邻两个月的概率；(2)若选取的是1月份与6月份的两组数据，请根据2月份至5月份的数据，求出y 关于x 的线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^；(3)若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2，则认为得到的线性回归方程是理想的，试问该小组所得线性回归方程是否理想参考数据：11×25＋13×29＋12×26＋8×16＝1 092，112＋132＋122＋82＝498.。
高考数学一轮总复习课件：概率与统计的综合问题
【解析】 (1)根据表中数据，描点如图：
(2)由已知数据得
－t
＝
1＋2＋3＋4＋5＋6 6
＝3.5，
－y
＝
3＋5＋8＋611＋13＋14＝9，
用情况，得到统计表如下：
居民用气编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
年用气量 (立方米)
95 106 112 161 210 227 256 313 325 457
(1)求一户居民年用气费y(元)关于年用气量x(立方米)的函数 关系式；
(2)现要在这10户家庭中任意抽取3户，求抽到的年用气量超
(2)由题知10户家庭中年用气量超过228立方米而不超过348
立方米的用户有3户，设取到年用气量超过228立方米而不超过
348立方米的用户数为ξ，则ξ可取0，1，2，3，则P(ξ＝0)＝
C73 C103
＝274，P(ξ＝1)＝CC721C0331＝2410，
P(ξ＝2)＝CC711C0332＝470，P(ξ＝3)＝CC13033＝1120，
例3 (2021·哈尔滨三中模拟)为了解某校学生参加社区服务
的情况，采用按性别分层抽样的方法进行调查．已知该校共有
学生960人，其中男生560人，从全校学生中抽取了容量为n的样 本，得到一周参加社区服务时间的统计数据如下：
超过1小时 男 女
不超过1小时
20
8
12
m
(1)求m，n；
(2)能否有95%的把握认为该校学生一周参加社区服务时间
专题研究 概率与统计的综合问题
高考总复习优化设计二轮用书数学解答题专项4 概率与统计的综合问题
第二步,根据超几何分布的概率计算公式计算出随机变量取每一个值时的
概率;
第三步,用表格的形式列出分布列.
对点训练3
(2023湖北十堰二模)现有4个红球和4个黄球,将其分配到甲、乙两个盒子
中,每个盒子中4个球.
(1)求甲盒子中有2个红球和2个黄球的概率.
(2)已知甲盒子中有3个红球和1个黄球,若同时从甲、乙两个盒子中取出
从而可以用线性回归模型拟合 y 与 x 的关系.
^
(2)由(1)可得 =
5
∑ -5
=1
5
2
∑ 2 -5
=
-1 537
=-153.7,
10
=1
^
^
所以 = − =1 241.2-(-153.7)×3=1 702.3,
^
所以 y 关于 x 的经验回归方程为 =-153.7x+1 702.3.
P(X=200)=
C22
C210
=
1
C12 C18
,P(X=80)=
45
C210
X
P
=
200
1
45
16
C28
,P(X=10)=
45
C210
=
28
.X
45
的分布列为
80
10
16
28
45
45
(2)甲方案,设获得购物券的金额为 Y,则 Y 可以取 200,80,10,
C23
1
C13 C19
9
C29
6
P(Y=200)= 2 = 22,P(Y=80)= 2 = 22,P(Y=10)= 2 = 11.
9
2C13 C11
高考总复习二轮理科数学精品课件 专题4 概率与统计 考点突破练11 概率与统计的综合问题
∵72.7<78.3,∴方案二的垃圾分类推行措施更受居民欢迎.
(2)由题意可知,A 小区即方案一中,满意度不低于 70 分的频率为
(0.031+0.021+0.010)×10=0.62,以频率估计概率,赞成率为 62%,B 小区即方案
二中,满意度不低于 70 分的频率为(0.020+0.032+0.023)×10=0.75,以频率估计
方案的满意度得分(满分100分),将数据分成6组:[40,50),[50,60),[60,70),
[70,80),[80,90),[90,100],并整理得到如图所示的频率分布直方图:
A小区 方案一
B小区 方案二
(1)请通过频率分布直方图分别估计两种方案满意度的平均得分,判断哪种
方案的垃圾分类推广措施更受居民欢迎(同一组中的数据用该组中间的中
即 x>178 时,儿子比父亲矮,可得当父亲身高较高时,儿子平均身高要矮于父亲,
即儿子身高有一个回归,回归到全种群平均高度的趋势.
^
(2)由 =0.5x+89 可得
^ =0.5×160+89=169,^ =174,^ =176.5,^ =181.5,^ =184,
1
2
3
4
5
5 ^
^
所以 ∑ =885,又因为 ∑ y =885,所以 ∑
取了100名员工的测试成绩作为样本分析,并把样本数据进行了分组,绘制
了频率分布直方图,并且认为其测试成绩X近似地服从正态分布N(μ,σ2).
(1)求样本平均数和样本方差s2.(同一组中的数据用该组区间的中点值作
代表)
(2)人事部门规定测试成绩超过82.7分的新员工可参加干部竞聘初级面试.
统计与概率的综合问题
统计与概率的综合问题1.某班甲、乙两名同学参加100米达标训练，在相同条件下两人10次训练的成绩（单位：秒）如下： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10甲 11.6 12.2 13.2 13.9 14.0 11．5 13．1 14．5 11.7 14.3乙 12.3 13.3 14.3 11.7 12.0 12.8 13.2 13.8 14.1 12.5（1）请完成样本数据的茎叶图（在答题卷中）；如果从甲、乙两名同学中选一名参加学校的100米比赛，从成绩的稳定性方面考虑，选派谁参加比赛更好，并说明理由（不用计算，可通过统计图直接回答结论）；（2）从甲、乙两人的10次训练成绩中各随机抽取一次，求抽取的成绩中至少有一个比12.8秒差的概率；（3）经过对甲、乙两位同学的多次成绩的统计，甲、乙的成绩都均匀分布在区间[]11,15（单位：秒）之内，现甲、乙比赛一次，求甲、乙成绩之差的绝对值小于0.8秒的概率．2. 已知某中学联盟举行了一次“盟校质量调研考试”活动．为了解本次考试学生的某学科成绩情况，从中 抽取部分学生的分数（满分为100分，得分取正整数，抽取学生的分数均在[]50,100之内）作为样本（样 本容量为n ）进行统计．按照[]50,60，[]60,70，[]70,80，[]80,90，[]90,100的分组作出频率分布直 方图，并作出样本分数的茎叶图（茎叶图中仅列出了得分在[]50,60，[]90,100的数据）．（Ⅰ）求样本容量n 和频率分布直方图中的x 、y 的值；（Ⅱ）在选取的样本中，从成绩在80分以上（含80分）的学生中随机抽取2名学生参加“省级学科基础知识竞赛”，求所抽取的2名学生中恰有一人得分在[]90,100内的概率．3.为了解某天甲、乙两厂的产品质量，采用分层抽样的方法从甲、乙两厂生产的产品中分别抽取14件和5件，测量产品中的微量元素,x y 的含量（单位：毫克）．当产品中的微量元素,x y 满足175x ≥，且75y ≥ 时，该产品为优等品．已知甲厂该天生产的产品共有98件，下表是乙厂的5件产品的测量数据：（1）求乙厂该天生产的产品数量；（2）用上述样本数据估计乙厂该天生产的优等品的数量；（3）从乙厂抽出取上述5件产品中，随机抽取2件，求抽取的2件产品中优等品至少有1件的概率．4.某种商品在50个不同地区的零售价格全部介于13元与18元之间，将各地价格按如下方式分成五组：第一组[13,14)；第二组[14,15)，……，第五组[17,18]，下图是按上述分组方法得到的频率分布直方图.（1）求价格在[16,17)内的地区数，并估计该商品价格的中位数（精确到0.1）；（2）设,m n 表示某两个地区的零售价格，且已知,[13,14)[17,18]m n ∈U ，求事件“1m n ->”的概率.6.在某次考试中，全部考生参加了“科目一”和“科目二”两个科目的考试，每科成绩分为A，B，C，D，E五个等级．某考场考生的两科考试成绩数据统计如图所示，其中“科目一”成绩为D的考生恰有4人．（1）分别求该考场的考生中“科目一”和“科目二”成绩为A的考生人数；（2）已知在该考场的考生中，恰有2人的两科成绩均为A，在至少一科成绩为A的考生中，随机抽取2人进行访谈，求这2人的两科成绩均为A的概率．7.某高校在2012年的自主招生考试成绩中随机抽取100名学生的笔试成绩，按成绩分组，得到的频率分布表如图所示．成绩分组频数频率（160，165] 5 0.05（165，170] ①0.35（170，175] 30 ②（175，180] 20 0.20（180，185] 10 0.10合计100 1（1）请先求出频率分布表中①、②位置相应的数据，再画出频率分布直方图；（2）为了能选拔出最优秀的学生，该高校决定在笔试成绩高的第3、4、5组中用分层抽样抽取6名学生进入第二轮面试，求第3、4、5组每组各抽取多少名学生进入第二轮面试？（3）在（2）的前提下，学校决定在6名学生中随机抽取2名学生接受A考官的面试，求第四组至少有一名学生被考官A面试的概率？8.某学校高三年级800名学生在一次百米测试中，成绩全部在12秒到17秒之间，抽取其中50个样本，将测试结果按如下方式分成五组：第一组[12，13），第二组[13，14），…，第五组[16，17]，如图是根据上述分组得到的频率分布直方图．（1）若成绩小于13秒被认为优秀，求该样本在这次百米测试中成绩优秀的人数；（2）请估计本年级800名学生中，成绩属于第三组的人数；（3）若样本中第一组只有一名女生，第五组只有一名男生，现从第一、第五组中各抽取1名学生组成一个实验组，求所抽取的2名同学中恰好为一名男生和一名女生的概率．9.春节期间，某微信群主发60个随机红包（即每个人抢到的红包中的钱数是随机的，且每人只能抢一个），红包被一抢而空，后据统计，60个红包中钱数（单位：元）分配如下频率分布直方图所示（其分组区间为[0，1），[1，2），[2，3），[3，4），[4，5））．（1）试估计该群中某成员抢到钱数不小于3元的概率；（2）若该群中成员甲、乙两人都抢到4.5元红包，现系统将从抢到4元及以上红包的人中随机抽取2人给群中每个人拜年，求甲、乙两人至少有一人被选中的概率．试卷答案1.（1）茎叶图见解析，乙较稳定；（2）“至少有一个”问题可从反面入手，没有一个比12.8秒差，利用相互独立事件同时发生的概率可求得；（3）甲同学的成绩为x ，乙同学的成绩为y ，按题意1115,1115x y ≤≤≤≤，而要求的是0.8x y -<，作出图形，由几何概型概率公式计算可得．（3）设甲同学的成绩为x ，乙同学的成绩为y ，则0.8,0.80.8x y x y x -<-+<<+，如图阴影部分面积即为44 3.2 3.2 5.76⨯-⨯=……………………………………………………10分所以，甲、乙成绩之差的绝对值小于0.8秒的概率为 5.760.3616p ==…………12分 考点：茎叶图，相互独立事件同时发生的概率，几何概型．2.（Ⅰ）50，0.004，0.030；（Ⅱ）10P 21=.考点：频率分布直方图；列举法计算基本事件数及事件发生的概率.【易错点睛】本题主要考查了频率分布直方图；列举法计算基本事件数及事件发生的概率. (1)古典概型的重要思想是事件发生的等可能性，一定要注意在计算基本事件总数和事件包括的基本事件个数时，他们是否是等可能的．(2)用列举法求古典概型，是一个形象、直观的好方法，但列举时必须按照某一顺序做到不重复、不遗漏．3.（1）35；（2）14；（3）7 10．试题解析：（1）乙厂该天生产的产品总数为1453598÷=．22（3）设从乙厂抽出的5件产品分别为,B,C,D,E A 从中随机抽取2件，则有：()()()()()()()()()(),,,,,,,E ,,,,,,,,,,,,A B A C A D A B C B D B E C D C E D E 共10个基本事件， 其中2件产品中优等品数至少有1件的基本事件有7个，则所求概率710P =． 考点：1、随机抽样；2、列举法计算基本事件数及事件发生的概率．4.(1) 15.7x ≈；(2)47（2）由直方图知，价格在[13,14)的地区数为500.063⨯=，记为,,x y z ；价格在[17,18)的地区数为500.084⨯=，记为,,,A B C D ，若,[13,14)m n ∈时，有,,xy xz yz 3种情况；若,[17,18)m n ∈时，有,,,,,AB AC AD BC BD CD 6种情况；若,m n 分别在[13,14)和[17,18)内时，共有12种情况. A B C D x xA xB xCxD yyA yB yC yD z zA zB zC zD所以基本事件总数为21种，事件“1m n ->”所包含的基本事件个数有12种.124(1)217P m n ->== 考点：古典概型及其概率计算公式；众数、中位数、平均数．【易错点睛】古典概型求解三注意解古典概型问题时，要牢牢抓住它的两个特点和其计算公式．但是这类问题的解法多样，技巧性强，在解决此类题时需要注意以下三个问题：(2)计算基本事件的数目时，须做到不重不漏常借助坐标系、表格及树状图等列出所有基本事件．(3)利用事件间的关系在求解较复杂事件的概率时，可将其分解为几个互斥的简单事件的和事件，由公式P(A1∪A2∪A3∪…∪A n)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(A n)求得，或采用正难则反的原则，转化为求其对立事件，再用公式P(A)＝1－P(A )求得．5.【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】（1）由频率=，能求出a，b的值．（2）由14+a+28＞10+b+34，得a＞b+2．由此利用列举法能求出所求概率．【解答】解：（1）由频率=，得到，∴，故a=18，而14+a+28+40+36+8+10+b+34=200，∴b=12．…（2）∵a+b=30且a≥8，b≥6，∴由14+a+28＞10+b+34，得a＞b+2．（a，b）的所有结果为（8，22），（9，21），（10，20），（11，19），…（24，6）共17组，其中a＞b+2的共8 组，故所求概率为：．…6.【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】（1）根据题意，求出考生人数，计算考生“科目一”和“科目二”成绩为A的考生人数即可．（2）通过列举的方法计算出选出的2人所有可能的情况及这两人的两科成绩等级均为A的情况；利用古典概型概率公式求出随机抽取两人进行访谈，这两人的两科成绩等级均为A的概率．（1）“考生中“科目一”科目中D等级学生所占的频率为1﹣0.2﹣0.375﹣0.25﹣0.075=0.1，【解答】解：因为“科目一”科目中成绩为D的考生有4人，所以该考场共有4÷0.1=40（人）．所以该考场学生中“科目一”科目成绩等级为A的人数为40×0.075=3人，所以该考场学生中“科目二”科目成绩等级为A的人数为40×（1﹣0.375﹣0.375﹣0.15﹣0.025）=40（2）因为两科考试中，共有6人得分等级为A，又恰有两人的两科成绩等级均为A，所以还有2人只有一个科目得分为A，设这四人为甲，乙，丙，丁，其中甲，乙是两科成绩都是A的同学，则在至少一科成绩等级为A的考生中，随机抽取两人进行访谈，基本事件空间为：Ω={{甲，乙}，{甲，丙}，{甲，丁}，{乙，丙}，{乙，丁}，{丙，丁}}，一共有6个基本事件．设“随机抽取两人进行访谈，这两人的两科成绩等级均为A”为事件M，所以事件M中包含的基本事件有1个，则P（M）=．7.【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；频率分布表．【分析】（1）由频率=可求其数据，频率分布直方图时注意纵轴；（2）用分层抽样的方法获取样本中的比例；（3）用古典概型求概率．【解答】解：（1）①位置上的数据为=35，②位置上的数据为=0.3；频率分布直方图如右图：（2）6×≈2.47，6×≈2.11，6×≈1.41．故第3、4、5组每组各抽取3，2，1名学生进入第二轮面试．（3）其概率模型为古典概型，设第3、4、5组抽取的学生分别为：a，b，c，1，2，m．则其所有的基本事件有：（a，b），（a，c），（a，1），（a，2），（a，m），（b，c），（b，1），（b，2），（b，m），（c，1），（c，2），（c，m），（1，2），（1，m），（2，m）．共有15个，符合条件的有9个；故概率为=0.6．8.【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；频率分布直方图．【专题】计算题；转化思想；综合法；概率与统计．【分析】（1）由频率分布直方图，得成绩小于13秒的频率为0.06，由此能求出该样本在这次百米测试中成绩优秀的人数．（2）由频率分布直方图，得第三组[14，15）的频率为0.38，由此能估计本年级800名学生中，成绩属于第三组的人数．（2）由频率分布直方图及题设条件得到第一组中有1名女生2名男生，第五组中有3名女生1名男生，由此能求出所抽取的2名同学中恰好为一名男生和一名女生的概率．【解答】解：（1）由频率分布直方图，得成绩小于13秒的频率为0.06，∴该样本在这次百米测试中成绩优秀的人数为：0.06×50=3（人）．（2）由频率分布直方图，得第三组[14，15）的频率为0.38，∴估计本年级800名学生中，成绩属于第三组的人数为：800×0.38=304（人）．（2）由频率分布直方图，得第一组的频率为0.06，第五组的频率为0.08，∴第一组有50×0.06=3人，第五组有50×0.08=4人，∵样本中第一组只有一名女生，第五组只有一名男生，∴第一组中有1名女生2名男生，第五组中有3名女生1名男生，基本事件总数n==12，所抽取的2名同学中恰好为一名男生和一名女生，包含的基本事件个数m==7，∴所求概率为p=．【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意频率分布直方图的性质和等可能事件概率计算公式的合理运用．9.【考点】频率分布直方图．【专题】概率与统计．【分析】（1）根据频率分布直方图，求出不小于3的频率是多少即可；（2）利用列举法计算基本事件数以及对应的概率是多少．【解答】解：（1）根据频率分布直方图，得；该群中抢到红包的钱数不小于3元的频率是1﹣0.05﹣0.20﹣0.40=0.35，∴估计该群中某成员抢到钱数不小于3元的概率是0.35；（2）该群中抢到钱数不小于4元的频率为0.10，对应的人数是60×0.10=6，记为1、2、3、4、甲、乙；现从这6人中随机抽取2人，基本事件数是12，13，14，1甲，1乙，23，24，2甲，2乙，34，3甲，3乙，4甲，4乙，甲乙共15种；其中甲乙两人至少有一人被选中的基本事件为1甲，1乙，2甲，2乙，3甲，3乙，4甲，4乙，甲乙共9种；∴对应的概率为P==．【点评】本题考查了频率分布直方图的应用问题，也考查了用列举法求古典概型的概率问题，是基础题目．10.（Ⅰ）从A校样本数据的条形图可知：成绩分别为4分、5分、6分、7分、8分、9分的学生分别有：6人、15人、21人、12人、3人、3人. （ 1分）A校样本的平均成绩为465156217128393660Ax⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯==（分），（ 2分）A 校样本的方差为22216(46)3(96) 1.560A S ⎡⎤=⨯-++⨯-=⎣⎦L （ 3分） 从B 校样本数据统计表可知： B 校样本的平均成绩为49512621798693660B x ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯==（分），（4分） B 校样本的方差为22219(46)3(96) 1.860B S ⎡⎤=⨯-++⨯-=⎣⎦L （ 5分） 因为,A B x x =所以两校学生的计算机成绩平均分相同；又因为22A B S S <，所以A 校的学生的计算机成绩比较稳定，总体得分情况比B 校好. （ 6分）(Ⅱ) 依题意，A 校成绩为7分的学生应抽取的人数为：61241233⨯=++人，设为,,,a b c d ； 成绩为8分的学生应抽取的人数为：6311233⨯=++人，设为e ； 成绩为9分的学生应抽取的人数为：6311233⨯=++人，设为f ； （ 7分） 所以，所有基本事件有：,,,,,,,,,,,,,,ab ac ad ae af bc bd be bf cd ce cf de df ef 共15个， （ 9分） 其中，满足条件的基本事件有：,,,,,,,,ae af be bf ce cf de df ef 共9个， （ 11分） 所以从抽取的6人中任选2人参加更高一级的比赛，这2人成绩之和大于或等于15的概率为93155P ==。
初中数学复习如何解决概率和统计的综合问题
初中数学复习如何解决概率和统计的综合问题概率和统计作为初中数学的重要内容，经常出现在各类数学考试中。
对于学生来说，如何解决概率和统计的综合问题是一个需要认真思考和准备的话题。
本文将介绍一些方法和技巧，帮助学生更好地进行初中数学复习，并解决概率和统计的综合问题。
1. 理解概率和统计的基本概念在解决概率和统计的综合问题之前，首先要确保自己对概率和统计的基本概念有清晰的理解。
概率是指事件发生的可能性大小，统计是指根据收集到的数据进行分析和总结的方法。
熟悉并理解这些概念对于解决综合问题至关重要。
2. 掌握基本的计算方法和技巧解决概率和统计的综合问题需要掌握一些基本的计算方法和技巧。
例如，计算概率时可以使用加法原理和乘法原理，计算统计时可以使用平均数、中位数和众数等统计指标。
熟练掌握这些方法和技巧可以帮助学生更快更准确地解答问题。
3. 制定合理的解题策略在解决概率和统计的综合问题时，制定合理的解题策略非常重要。
可以根据问题的要求和给定的条件，确定解题的步骤和思路。
有些问题需要先进行概率计算，有些问题需要先进行统计分析，学生应根据不同情况灵活运用各种解题策略。
4. 多做习题和实践题掌握概率和统计的综合问题解题技巧需要多做习题和实践题。
通过做题可以巩固知识，提高解题能力。
可以选择一些经典的习题和实践题进行练习，理解题目的难点和解题思路，并学会运用不同的解题方法。
5. 注重思维的培养和拓展解决概率和统计的综合问题需要运用灵活的思维和创造性的方法。
学生可以通过做一些拓展思考题来培养思维能力。
例如，可以尝试对已有的条件进行变化和推理，找出不同的解题路径。
通过思维的培养和拓展，学生可以更好地解决复杂的问题。
6. 寻求帮助和参考优秀学习资源如果遇到难以解答的概率和统计的综合问题，可以寻求老师或同学的帮助。
老师可以给予适当的指导和解答，同学之间也可以相互讨论和学习。
此外，也可以参考一些优秀的学习资源，如数学参考书、学习网站和视频教程等，这些资源可以为学生提供更多的知识和解题技巧。
高考数学复习：概率与统计的综合问题
思维升华
高考常将回归模型与分布列等交汇在一起进行考查，求经验回归方程 时要充分利用已知数据，合理利用公式减少运算.求解概率问题时要 注意概率模型的应用，明确所求问题所属的事件类型是关键.
跟踪训练2 (2023·武汉模拟)某企业计划新购买100台设备，并将购买的 设备分配给100名年龄不同(视为技术水平不同)的技工加工一批模具，因 技术水平不同而加工出的产品数量不同，故产生的经济效益也不同.若用 变量x表示不同技工的年龄，变量y为相应的效益值(元)，根据以往统计经验，
6
6
参考数据：y2i ＝3 463， (yi－ y )2＝289.
i＝1
i＝1
参考公式： r＝
n
xi－ x yi－ y
n
xi－ x yi－ y
i＝1
i＝1
，b^ ＝
，
n
xi－ x 2
n
yi－ y 2
n
xi－ x 2
i＝1
i＝1
i＝1
a^ ＝ y －b^ x .
6
6
因为xi＝54，所以 x ＝9，所以 (xi－ x )2＝64，
X的分布列为
X
0
1
2
P
1 30
1 3
19 30
E(X)＝0×310＋1×13＋2×3109＝85.
思维升华
高考常将频率分布直方图与分布列等交汇在一起进行考查，解题时要正 确理解频率分布直方图，能利用频率分布直方图正确计算出各组数据. 概率问题以计算为主，往往和实际问题相结合，要注意理解实际问题的 意义，使之和相应的概率计算对应起来.
X0 1 2 3 4
P
1 256
3 64
27 128
概率与统计的综合练习
概率与统计的综合练习概率与统计是数学中的一个重要分支，广泛应用于各个领域。
通过对随机事件和数据的研究，可以对人们日常生活中的现象和问题进行分析和解决。
本文将为大家提供一些概率与统计的综合练习，帮助读者理解并应用这些知识。
一、随机事件概率计算1.某公交车站点等车的人数在每天的早上7点到8点钟之间服从均匀分布，且平均每分钟有2人进站等车。
求在7:05~7:30之间进站等车的人数期望值和方差。
解析：题目给出了每分钟进站等车的平均人数，而我们需要计算在指定的时间段内实际进站等车的人数的期望值和方差。
可以利用均匀分布的性质进行计算。
在7:05~7:30这段时间内，总共经过的分钟数为(30-5)=25分钟。
因此，在这段时间内进站等车的人数的期望值为25 × 2 = 50人。
根据均匀分布的方差公式 Var(X) = ((b-a)^2) / 12，其中a、b分别为该随机变量的最小值和最大值，我们可以计算出进站等车的人数的方差为 ((25-5)^2) / 12 = 20.83。
2.一家超市每周二下午4点至5点发生顾客盗窃事件的概率为0.05。
某周四下午参观者发现该超市发生了盗窃，求该盗窃事件为周二发生的概率。
解析：根据题目给出的信息，我们需要求解在发生盗窃事件的条件下，该事件为周二发生的概率。
可以利用贝叶斯定理进行计算。
设事件A为该盗窃事件为周二发生，事件B为发生盗窃事件。
根据贝叶斯定理，我们有 P(A|B) = (P(B|A) × P(A)) / P(B)。
已知 P(B|A) = 0.05，P(A) = 1/7（因为一周中有7天，每天发生盗窃事件的概率相等），需要计算 P(B)。
由全概率公式可知，P(B) = P(B|A) × P(A) + P(B|A') × P(A')，其中 A'表示事件A的对立事件，即该盗窃事件不是周二发生。
根据题目的条件可知，P(B|A') = (1-0.05) = 0.95，P(A') = 6/7。
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第四节概率与统计的综合问题
考点一概率与统计图表的综合问题
[典例]学校将高二年级某班级50位同学期中考试的数学成绩(均为整数)分为7组进行统计，得到如图所示的频率分布直方图．观察图中信息，回答下列问题．
(1)试估计该班级同学数学成绩的平均分；
(2)现准备从该班级数学成绩不低于130分的同学中随机选出两人参加某活动，求选出的两人在同一组的概率．
[解题技法]
破解概率与统计图表综合问题的3步骤
[对点训练]
如图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学的植树棵数，其中有一个数据模糊，无法确认，在图中以X 表示．
(1)如果X＝8，求乙组同学植树棵数的平均数和方差；
(2)如果X＝9，分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，求这两名同学的植树总棵数为19的概率．
[典例]已知某中学高三文科班学生共有800人参加了数学与地理的水平测试，现学校决定利用随机数表法从中抽取100人进行成绩统计，先将800人按001,002,003，…，800进行编号．
(1)如果从随机数表的第8行第7列的数开始向右读，请你依次写出最先抽取到的3个人的编号．
(2)所抽取的100人的数学与地理的水平测试成绩如下表：
成绩分为优秀、良好、及格三个等级，横向、纵向分别表示地理成绩与数学成绩，例如表中数学成绩为良好的人数为20＋18＋4＝42.若在该样本中，数学成绩优秀率为30%，求a，b的值．
(3)若a≥10，b≥8，求“在地理成绩为及格的学生中，数学成绩为优秀的人数比及格的人数少”的概率．
附：(下面摘取了随机数表的第7行至第9行)
84 42 17 53 3157 24 55 06 8877 04 74 47 6721 76 33 50 2583 92 12 06 76
63 01 63 78 5916 95 55 67 1998 10 50 71 7512 86 73 58 0744 39 52 38 79
33 21 12 34 2978 64 56 07 8252 42 07 44 3815 51 00 13 4299 66 02 79 54
[解题技法]
破解概率与随机抽样综合问题的3步骤
[对点训练]
某大型手机连锁店为了解销售价格在区间[5,30](单位：百元)内的手机的利润情况，从2018年度销售的一批
(1)[20,25)内的有几部？
(2)从(1)中抽出的6部手机中任意抽取2部，求价格在区间[10,15)内的手机至少有1部的概率．
[典例](2019·重庆六校联考)2019年高考特别强调了要增加对数学文化的考查，为此某校高三年级特命制了一套与数学文化有关的专题训练卷(文、理科试卷满分均为100分)，并对整个高三年级的学生进行了测试．现从这些学生的成绩中随机抽取了50名学生的成绩，按照[50,60)，[60,70)，…，[90,100]分成5组，制成了如图所示的频率分布直方图(假定每名学生的成绩均不低于50分)．
(1)求频率分布直方图中x的值，并估计所抽取的50名学生成绩的平均数、中位数(同一组中的数据用该组区间的中点值代表)；
(2)用样本估计总体，若高三年级共有2 000名学生，试估计高三年级这次测试成绩不低于70分的人数；
(3)若利用分层抽样的方法从样本中成绩不低于70分的学生中抽取6人，再从这6人中随机抽取3人参加这次考试的分析会，试求成绩在[80,100]的学生至少有1人被抽到的概率．
[解题技法]
本题主要考查概率与数字特征，涉及频率分布直方图，平均数、中位数、分层抽样、古典概型的概率计算等知识．解决此类问题的关键是正确理解图表中各个量的意义，牢记相关定义和公式，在利用频率分布直方图，求平均值时，不要与求中位数，众数混淆．
[对点训练]
(2019·唐山五校联考)某篮球队在本赛季已结束的8场比赛中，队员甲得分统计的茎叶图如下：
(1)求甲在比赛中得分的均值和方差；
(2)从甲比赛得分在20分以下的6场比赛中随机抽取2场进行失误分析，求抽到2场都不超过均值的概率．
考点四概率与统计案例的综合问题
[典例]里约奥运会中国女排勇夺金牌，某校高一课外小组为了解金牌争夺战现场直播时同学们的观看情况，从本年级500名男生、400名女生中按分层抽样的方式抽取45名学生进行了问卷调查，观看情况分成以下三类：
(1)①求出表中x，y的值；
②从没有观看的同学中随机选取2人进一步了解情况，求恰好男生、女生各1人的概率；
(2).
附：K 2＝n (ad －bc )2
(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ，其中n ＝a ＋b ＋c ＋d .
[解题技法]
解决概率与统计案例综合问题的4步骤
[对点训练]
某兴趣小组欲研究昼夜温差大小与患感冒人数多少之间的关系，他们分别到气象局与某医院抄录了1月份至6月份每月10
该兴趣小组确定的研究方案是：先从这6组数据中选取2组，用剩下的4组数据求线性回归方程，再用被选取的2组数据进行检验．
(1)求选取的2组数据恰好是相邻两个月的概率；
(2)若选取的是1月份与6月份的两组数据，请根据2月份至5月份的数据，求出y 关于x 的线性回归方程y ^＝
b ^x ＋a ^；
(3)若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2，则认为得到的线性回归方程是理想的，试问该小组所得线性回归方程是否理想？
参考数据：11×25＋13×29＋12×26＋8×16＝1 092，
112＋132＋122＋82＝498.。