立体图形表面积体积
4.立体图形的体积、表面积、侧面积几何重心与转动惯量计算公式
立体图形的体积、表面积、侧面积几何重心与转动惯量计算公式一、 立体图形的体积、表面积、侧面积、几何重心与转动惯量计算公式图形 体积、表面积、侧面积、几何重心与转动惯量为棱长，为对角线分别为长,宽,高,为对角线体 积 3=表面积26=侧面积24=对角线 3=重 心 在对角线交点上2=体 积 =表面积 )(2++=侧面积 )(2+=对角线222++=重 心 在对角线交点上2= 转动惯量取长方体中心为坐标原点,坐标轴分别平行三个棱边)(12122+=)(12122+=)(12122+=)(121222++= (当==时,即为正方体的情况)*表中为物体的质量，物体都为匀质.一般物体的转动惯量计算公式见第六章，§3，五.图形 体积、表面积、侧面积、几何重心与转动惯量为边长,为高为底边长,为高,为对角线为棱数,为底边长,为高,为斜高 体 积 =表面积 +=2侧面积 )(++=式中为底面积重 心2=(、分别为上下底重心)转动惯量对于正三棱柱()取为坐标原点,轴与棱平行1248324==体 积 225981.2233»=表面积61962.563322+»+= 侧面积 6=对角线224+=重 心2=(、分别为上下底重心)转动惯量取为坐标原点,轴与棱平行12583524==体 积 31=表面积 +=侧面积2'==式中为底面积,'为一侧三角形面重 心4h GQ = (Q 为底面的重心)图形体积V 、表面积S 、侧面积M 、几何重心G 与转动惯量Ja,b,c,p,q,r 为棱长h 为高体积 011111010101028812222222222222c b ac p qb p r a q r V = 重心PQ GQ 41= (P 为顶点,Q 为底面的重心)体积)''(3FF F F h V ++=式中F F ,'分别为上下底面积重心 '''3'24FF F F F FF F PQ GQ ++++=(P ,Q 分别为上下底重心)分别为上下底边长,为棱数,为高,为斜高体 积÷÷øöççèæ÷øöçèæ++=2''13表面积 ++='侧面积 )'(2+=式中,'分别为上下底面积重 心2222'''3'24++++= (、分别为上下底重心)图形 体积、表面积、侧面积、几何重心与转动惯量两底为矩形,分别为上下底边长,为高,1为截头棱长体积]'')')('([6++++= '''1--=重心''2''2''3''2++++++= (分别为上下底重心)底为矩形,a,b为其边长,h为高,a’为上棱长r为半径 重心'2'2aaaaPQGQ++=(P为上棱中点,Q为下底面重心)体 积33352360.0634ddrV»==pp 表面积24rS p=重 心 G与球心O重合转动惯量取球心O为坐标原点mrJJJzyx252===mrJo253=图形 体积V、表面积S、侧面积M、几何重心G与转动惯量J[半球体]r为半径,O为球心r为球半径,a为弓形底圆半径,h为拱高,a为锥角(弧度)r为球半径,a为拱底圆半径,h为拱高 体 积 331232drVpp==表面积23rS p=侧面积22rM p=重 心 rGO83=转动惯量取球心O为坐标原点,z轴与GO重合 mrJJJzyx252===mrJo253=体 积 hrhrV220944.232»=p表面积 )2(ahrS+=p侧面积 (锥面部分) rM pa=重 心 )2(83hrGO-=转动惯量z轴与GO重合úûùêëé-÷øöçèæ-=2sin2cos2cos1215225aaap rJz÷øöçèæ+-=2cos2cos32533aahmr体 积)3(3)3(6222hrhhahV-=+=pp表面积 )2()2(222aharhS+=+=pp 侧面积(球面部分))(222harhM+==pp重 心)3()2(432hrhrGO--=图形 体积V、表面积S、侧面积M、几何重心G与转动惯量J[球台]r为球半径,a¢,a分别为上下底圆的半径,h为高R为中心半径,D为中心直径,r为圆截面半径,d为圆截面直径体 积 )'33(6222haahV++=p表面积 )'2(22aarhS++=p侧面积 rhM p2=2222222'÷÷øöççèæ--+=hhaaar重 心22244'33'23haaaahGO++-=222222'33'422haahaahGQ++++=(Q为下底圆心)体 积 222242DdRrVpp==表面积 DdRrS224pp==重 心 G在圆环的中心上转动惯量取圆环的中心为坐标原点,z轴垂直于圆环所在平面mRrJJyx÷÷øöççèæ+==28522mRrJz÷øöçèæ+=2243图形体积V 、表面积S 、侧面积M 、几何重心G 与转动惯量J [圆柱体]r 为底面半径,h 为高R 为外半径,r 为内半径,h 为高r 为底圆半径,h,H 分别为最小,最大高度,a 为截角,D 为截头椭圆轴体 积h r V 2p = 表面积)(2h r r S +=p 侧面积rh M p 2= 重 心 2hGQ =(P ,Q 分别为上下底圆心) 转动惯量 取重心G 为坐标原点,z 轴垂直底面m h r J J y x ÷øöçèæ+==34122m r J z 22=体 积th R r R h V p p 2)(22=-= 表面积 )(222r R M S -+=p侧面积 R h r R h M p p 4)(2=+= 式中t 为管壁厚,R 为平均半径重 心2h GQ = 转动惯量 取z 轴与GQ 重合 m r R J z 2)(22+=体 积 )(22h H r V +=p 表面积 ÷øöçèæ++=a p cos 112r M S ÷øöçèæ+++=2D h H r r p 侧面积 )(h H r M +=p 截头椭圆轴22)(4h H r D -+= 重 心tan 22r h H +a)(2tan 2h H r GK +=a (GQ 为重心到底面距离,GK 为重心到轴线O O ¢的距离)图形体积V 、表面积S 、侧面积M 、几何重心G 与转动惯量Jh 为截段最大高度,b 为底面拱高,2a 为底面弦长,r 为底面半径,a 2为弧所对圆心角(弧度)体 积])(3)3([3222a r b r a r a bh V -+-=÷øöçèæ--=a a a cos sin 31sin 33a b hr侧面积(柱面部分)])[(2a r b b rhM +-=a体 积abc abc V 1888.434»=p 重 心G 在椭球中心O 上 转动惯量 取椭球中心为坐标原点,z 轴与c 轴重合m c b J x )(5122+=m a c J y)(5122+= m b a J z)(122+=a,b,c 为半轴图形体积V 、表面积S 、侧面积M 、几何重心G 与转动惯量J体 积h r V 23p= 表面积 )(l r r S +=p 侧面积 rl M p = 母 线 22h r l +=重 心4h GQ = (Q 为底圆中心,O 为圆锥顶r为底圆半径,h为高,l为母线r,R分别为上,下底圆半径,h为高,l为母线上下底平行,F¢,F分别为上,下底面积,F为中截面面积,h为高取圆锥顶点为坐标原点,z轴与GQ 重合mhrJJyx÷÷øöççèæ+==22453mrJz2103=体 积 )(322RrrRhV++=p表面积 )(22rRMS++=p侧面积 )(rRlM+=p母 线22)(hrRl+-=圆锥高(母线交点到底圆的距离)rRhrhH-+=重 心2222324rRrRrRrRhGQ++++=(P,Q分别为上下底圆心)体 积 )4'(60FFFhV++»[注] 棱台、圆台、球台、圆锥、棱柱、圆柱等都是拟棱台的特例图形 体积V、表面积S、侧面积M、几何重心G与转动惯量Jd 为上,下底圆直径,D 为中截面直径,h 为高母线为圆弧时: 体积)2(26180.0)2(122222d D h d D hhV +»+=p2)2(08727.0d D h +»母线为抛物线时: 体积 ÷øöçèæ++=2243215d Dd D h V p )348(05236.022d Dd D h ++» 重心2h GQ = (P ,Q 分别为上下底圆心)二、 多面体[正四面体] [正八面体] [正十二面体] [正二十面体]图形面数f4 8 12 20 棱数k 6 12 30 30 顶点数e 462012体积V 31179.0a34714.0a36631.7a31817.2a表面积S27321.1a24641.3a26457.20a26603.8a表中a 为棱长.[欧拉公式] 一个多面体的面数为f ，棱数为k ，顶点数为e ,它们之间满足 2=+-f k e。
立体图形的表面积与体积
立体图形的表面积与体积立体图形是我们常见的一种几何图形，它具有三个维度：长度、宽度和高度。
对于一个立体图形来说，其表面积和体积是两个重要的参数。
本文将详细介绍立体图形的表面积与体积的计算方法及其应用。
一、立体图形的表面积计算方法立体图形的表面积是指该图形所有面积之和。
不同类型的立体图形，其表面积计算公式也不同。
下面我们将逐一介绍几种常见立体图形的表面积计算方法。
1. 立方体的表面积计算公式立方体是最简单的一种立体图形，其所有面都是正方形。
设立方体的边长为a，则立方体的表面积S为S = 6a^2。
2. 正方体的表面积计算公式正方体的所有面同样是正方形。
设正方体的边长为a，则正方体的表面积S等于立方体的表面积，即S = 6a^2。
3. 圆柱体的表面积计算公式圆柱体包括一个底面和一个侧面。
设底面的半径为r，圆柱体的高度为h，则圆柱体的表面积S = 2πrh + πr^2。
4. 圆锥体的表面积计算公式圆锥体包括一个底面和一个侧面。
设底面的半径为r，圆锥体的高度为h，则圆锥体的表面积S = πrl + πr^2，其中l为圆锥体的斜高。
5. 球体的表面积计算公式球体是一种特殊的立体图形，其表面由无数个点组成。
设球体的半径为r，则球体的表面积S = 4πr^2。
二、立体图形的体积计算方法立体图形的体积是指该图形所包围的三维空间的大小。
与表面积一样，不同类型的立体图形的体积计算公式也各不相同。
下面我们将介绍几种常见立体图形的体积计算方法。
1. 立方体的体积计算公式立方体的体积计算最简单，其体积V等于边长的立方，即V = a^3。
2. 正方体的体积计算公式正方体的体积与立方体相同，即V = a^3。
3. 圆柱体的体积计算公式圆柱体的体积V等于底面积乘以高度，即V = πr^2h。
4. 圆锥体的体积计算公式圆锥体的体积V等于底面积乘以高度再除以3，即V = (1/3)πr^2h。
5. 球体的体积计算公式球体的体积V等于4/3乘以π乘以半径的立方，即V = (4/3)πr^3。
立体几何面积和体积公式
立体几何面积和体积公式
立体几何是几何学的一个分支，主要研究空间中的图形，如三角形、四边形、圆柱体、圆锥体、球体等，它们的面积和体积公式也是立体几何的重要内容。
1. 三角形的面积公式：S=(a×h)/2，其中a为底边长，h为对应的高。
2. 四边形的面积公式：S=1/2×(a+b)×h，其中a、b为相邻的两边长，h为相邻两边的夹角的高。
3. 圆的面积公式：S=πr，其中r为圆的半径。
4. 直角三角形的斜边长公式：c=√(a+b)，其中a、b为两条直角边的长度，c为斜边的长度。
5. 矩形的面积公式：S=a×b，其中a、b为两条相邻边的长度。
6. 平行四边形的面积公式：S=a×h，其中a为底边长，h为对应的高。
7. 梯形的面积公式：S=(a+b)×h/2，其中a、b为上下底边长，h为梯形的高。
8. 圆柱体的表面积公式：S=2πrh+2πr，其中r为底面的半径，h为圆柱体的高。
9. 圆柱体的体积公式：V=πrh，其中r为底面的半径，h为圆柱体的高。
10. 圆锥体的表面积公式：S=πr+πr√(r+h)，其中r为底面的半径，h为圆锥体的高。
11. 圆锥体的体积公式：V=1/3×πrh，其中r为底面的半径，h 为圆锥体的高。
12. 球体的表面积公式：S=4πr，其中r为球的半径。
13. 球体的体积公式：V=4/3×πr，其中r为球的半径。
以上就是立体几何中的面积和体积公式，希望能够对大家有所帮助。
长方体和正方体的表面积和体积计算知识点总结
长方体和正方体的表面积和体积计算知识点总结长方体和正方体是我们在几何学中经常遇到的两种立体图形。
它们具有特定的属性和计算公式，下面将对长方体和正方体的表面积和体积计算知识点进行总结。
一、长方体的表面积和体积计算长方体是一种六个面都是矩形的立体图形。
它有三组相互平行且相等的矩形面，每组有两个。
长方体的表面积和体积计算公式如下：1. 表面积计算公式长方体的表面积等于所有面的面积之和。
根据长方体的特性，我们可以计算出其表面积的公式如下：表面积 = 2*(长*宽 + 长*高 + 宽*高)其中，“长”代表长方体的边长，它与“宽”和“高”分别对应长方体的另外两条边的长度。
2. 体积计算公式长方体的体积等于长、宽和高的乘积。
通过计算长方体的体积，我们可以使用以下公式：体积 = 长 * 宽 * 高二、正方体的表面积和体积计算正方体是一种六个面都是正方形的立体图形。
它具有特定的属性和计算公式，计算正方体的表面积和体积如下：1. 表面积计算公式正方体的表面积等于所有面的面积之和。
由于正方体的六个面都是正方形，所以其表面积计算公式如下：表面积 = 6 * (边长 * 边长)其中，“边长”代表正方体的边的长度。
2. 体积计算公式正方体的体积等于边长的立方。
通过计算正方体的体积，我们可以使用以下公式：体积 = 边长 * 边长 * 边长三、应用举例下面通过两个具体的例子来展示如何使用上述公式计算长方体和正方体的表面积和体积：例1：某长方体的长、宽和高分别为3cm、4cm和5cm，求其表面积和体积。
解：根据长方体的表面积公式，我们可以计算出其表面积为：表面积 = 2*(3*4 + 3*5 + 4*5) = 2*(12 + 15 + 20) = 2*47 = 94cm²根据长方体的体积公式，我们可以计算出其体积为：体积 = 3 * 4 * 5 = 60cm³所以该长方体的表面积为94cm²，体积为60cm³。
立体图形的表面积和体积
一个立体图形所占空间的大小叫做它的体积
h
a
b
h a o r
h s
a
a
V=abh
V=a3
V=sh
1 V= sh 3
V=sh
例1：时代广场有一个圆柱形水
池，地面直径5m，深0.8m。
（1）如果要在水池的底面和内壁贴上瓷砖 贴瓷砖的面积是多少？
（2）每平方米瓷砖 25.5 元，购买瓷砖需 要多少元？
（3）每立方米水重 1 吨，这个水池最多 能装多少吨水？
1、用2个棱长都是1厘米的正方体摆一个长方体， 长方体的长（ 2 ）厘米，宽是（ 1 ）厘米， 这个长方体的表面积是（ 10 ）平方厘米，体 积是（ 2 ）立方厘米。
2、用一根长48厘米的铁丝围成一个正方体的框架， 4 其棱长是（ ）厘米。 3、一个圆柱的底面积是5平方分米，高是9分米， 那么与它等底等高的圆锥的体积应是（ 15 ）立 方分米。
球的特征
面：表面是曲面。
一个立体图形所有面的面积总和叫做它的表面积
h a b a
a a o
h r
S= （ab+ah+bh) × 2 S= 6a2
S= 2兀rh+2兀r2
一个立体图形所占空间的大小叫做它的体积
h
a b
h a o r o
h
r
a
a
V= abh
V=
a3
V= 兀r2h
1 2 V= 兀r h 3
义务教育课程标准实验教科书 小学数学
立体图形的表面积和体积
总复习
议一议 1.你认识哪些立体图形？这些立体图形 各有什么特征？ 2.你会计算哪些立体图形的表面积和体 积？ 3.你能用字母表示下面图形的表面积计 算公式吗？ 4.你能用字母表示下面图形的体积计算 公式吗？
各种形体面积体积计算公式
各种形体面积体积计算公式以下是一些常见的形体面积和体积计算公式，其中包括平面图形、三维立体图形和球体的计算公式。
平面图形的面积计算公式：1.长方形的面积：面积=长×宽2.正方形的面积：面积=边长×边长3.圆的面积：面积=π×半径×半径4.椭圆的面积：面积=π×长半轴×短半轴5.三角形的面积（已知底和高）：面积=底×高÷26.三角形的面积（已知三边）：面积=√[s×(s-a)×(s-b)×(s-c)]，其中s=(a+b+c)÷2，a、b、c分别为三角形的三边。
三维立体图形的表面积和体积计算公式：1.立方体的表面积：表面积=6×边长×边长2.立方体的体积：体积=边长×边长×边长3.直方体的表面积：表面积=2×(长×宽+长×高+宽×高)4.直方体的体积：体积=长×宽×高5.圆柱体的表面积：表面积=2×π×半径×(半径+高)6.圆柱体的体积：体积=π×半径×半径×高7.圆锥体的表面积：表面积=π×半径×(半径+斜高)8.圆锥体的体积：体积=1/3×π×半径×半径×高9.球体的表面积：表面积=4×π×半径×半径10.球体的体积：体积=(4/3)×π×半径×半径×半径还有一些特殊形状的面积和体积计算公式：1.梯形的面积：面积=(上底+下底)×高÷22.抛物线围成的区域的面积：面积=π×（r2^2-r1^2），其中r1和r2分别是抛物线上两个不同半径的值3.球冠体的表面积：表面积=2×π×半径×（半径+斜高）4.球冠体的体积：体积=(1/3)×π×(高×高×高-底面积×高)，其中底面积为半径×半径×π以上公式只是一些常见形体的面积和体积计算公式，实际应用中可能会遇到更多特殊的情况需要使用其他公式进行计算。
空间几何体的表面积和体积公式大全
空间几何体的表面积与体积公式大全一、全（表）面积（含侧面积）①棱柱、②圆柱.2・锥体①棱锥：S^ = ^h [②圆锥:= /3、台体①棱台• S梭台侧=空（6?上底+c下底）方'» S全= s±+s『s下②圆台：S杭台側=*（6底+cQZ -4、球体①球：S球=勿/②球冠：略③球缺：略二、体积1、柱体①棱柱} V,=S h②圆柱S S 2、锥体①棱锥} v.=\sh②圆锥S S3、 台体V 台肓//（S 匕+ JS 上S F + S 下）台=齐方（厂上+Jr 上厂下+厂下） 4、 球体①球：V 球② 球冠：略VyT/③ 球缺：略说明：棱锥、棱台计算侧面积时使用侧面的斜高力计算；而圆锥、圆台的 侧面积计算时使用母线/计算。
三、拓展提高1、 祖眶原理：（祖璀：祖冲之的儿子）夹在两个平行平面间的两个几何体，如果它们在任意高度上的平行截面面积都相等，那么这两个几何体的体积相等。
最早推导出球体体积的祖冲之父子便是运用这个原理实现的。
2、 阿基米德原理：（圆柱容球）圆柱容球原理：在一个高和底面直径都是2厂的圆柱形容器内装一个最大 的球体，则该球体的全面积等于圆柱的侧面积，体积等于圆柱体积的？。
①棱台 ②圆台丿分析：圆柱体积：V H1 = s h =（^r）x2r = 2^/圆柱侧面积：S叭削= c/z = （2岔）X2广=4兀/2 彳4 彳因lit :球体体积：|/厅=—x2/r^ =_龙厂球体表面积：S球=4兀厂通过上述分析，我们可以得到一个很重要的关系（如图）即底面直径和高相等的圆柱体积等于与它等底等高的圆锥与同直径的球体积之和3、台体体积公式公式：几冷〃（S上+、恳瓦+ S』证明：如图过台体的上下两底面中心连线的纵切面为梯形ABCD。
延长两侧棱相交于一点P 0设台体上底面积为Si，下底面积为S下高为// °易知：\PDCs 型AB，设卩£ =人，则Pf+h由相似三角形的性质得：孚=袋AB PF即：（相似比等于面积比的算术平方根）、用hi整理得：人=尺刃又因为台体的体积二大锥体体积一小锥体体积u台=§s下（九+力r s上人人（S下-S上）+§s下方即：（、瓦+丫瓦）+扣下力=|/z $ + 应7+S卜）4、球体体积公式推导分析：将半球平行分成相同高度的若干层（兀层），〃越大，每一层越近似于圆柱'"T -HZ）时»每一层都可以看作是一个圆柱。
五年级几何体的表面积与体积的计算完整
五年级几何体的表面积与体积的计算(可以直接使用，可编辑实用优秀文档，欢迎下载）空间与图形教师辅导讲义——立体图形的知识与应用知识要点长方体、正方体、圆柱体、圆锥体的表面积及体积1．表面积：物体表面面积的总和，叫做物体的表面积。
表面积通常用S 表示。
常用面积单位是平方千米、平方米、平方分米、平方厘米。
2．体积：物体所占空间的大小，叫做物体的体积。
体积通常用V 表示。
常用体积单位是立方米、立方分米、立方厘米。
3．容积：箱子、油桶、仓库等所能容纳物体的体积，叫做它们的容积或容量。
常用容积单位是升、毫升。
4．体积与容积单位之间的换算：1立方分米=l 升，1立方厘米=l 毫升。
5．体积和容积的异同点 容积的计算方法跟体积的计算方法相同，但要从容器的里面量长、宽、高，而计算体积要从物体的外面量长、宽、高。
计量体积用体积单位，计量容积除了用体积单位外，还可以用容积单位升和毫升。
6. 立体图形的表面积、侧面积和体积计算公式相同点不同点 面棱顶点面的特点 面的大小 棱长 长方体6个12条8个6个面一般都是长方形，也可能有两个相对的面是正方形相对的面的面积相等每一组互相平行的四条棱的长度相等正方体6个12条8个6个面都是相等的正方形6个面的面积都相等12条棱长的长度都相等精典题型分析1、一个零件形状大小如下图：算一算，它的体积是多少立方厘米，表面积是多少平方厘米。
（单位：厘米）练习：学校生物小组做了一个昆虫箱（如图）。
昆虫箱的上、下、左、右面是木板，前、后面装纱网。
①制作这样一个昆虫箱，至少需要多少平方厘米的木板？②制作这样一个昆虫箱，至少需要多少平方厘米的纱网？2、在一个长15分米，宽12分米的长方体水箱中，有10分米深的水。
如果在水中沉入一个棱长为30厘米的正方体铁块，那么，水箱中水深多少分米？练习1：一个长方体的玻璃缸内有一些水，水面距离上沿0.6分米（如图）。
准备在缸内放入一块体积是60立方分米的假山石（假山石能全部浸在水中），水会溢出吗？如果会溢出，溢出多少立方分米？练习2：一个正方体玻璃容器，从里面量棱长是2dm。
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教育学科教师辅导讲义
学员编号： 年 级： 课 时 数： 学员姓名： 辅导科目： 学科教师： 授课 类型
T (立体图形相关知识点) C （典型例题试题讲解） T （拓展提高）
授课日
期时段
教学内容
知识点一：表面积
1、长方体表面积=长x 宽× 2+ 宽× 高× 2+ 长×高× 2 字母公式：S=ax b× 2+ a× c× 2+ b×c× 2 或者：长方体的表面积 =( 长×宽 + 长×高 + 宽×高 ) × 2 。
字母公式：S=(ax b+ a× c+ b×c)× 2
2、正方体的表面积 =棱长×棱长×6。
字母公式：S=a ×a× 6
3、圆柱体的表面积：圆柱表面积=上底+下底+侧面（侧面面积=底面圆的周长×圆柱的高） 用字母表示：2
2s r ch π=+
注：侧面积的求法：已知底面半径和高，rh π侧2
s = 已知底面直径和高，dh π侧=s
知识点二：体积
1、长方体体积：长方体体积= ① 长×宽×高 （Ｖ＝ａｂｈ）
② 底面积×高=横截面积×长 （V =sh ） 2、正方体的体积：正方体体积＝棱长×棱长×棱长
检测题1：把一个圆柱的侧面展开，得到一个正方形．已知这个圆柱的高是10厘米，它的侧面积
是（ ）平方厘米．
A ．50
B ．100
C ．50π
D ．100π
答案：B
检测题2．把一个棱长4厘米的正方体分割成两个长方体，表面积增加了______平方厘米．
答案：64
检测题3 一个正方体的棱长之和是48厘米，它的棱长是______厘米，表面积是______平方厘米，
体积是______立方厘米． 答案：2 24 8
检测题4 把两个棱长5厘米的正方体拼成一个长方体，这个长方体的表面积是______平方厘米．
答案：250
检测题5．一个练功房铺设了1600块长50厘米，宽10厘米，厚3厘米的木地板，这个练功房的
面积有______平方米．
答案：这个练功房的面积有80平方米．
检测题6．圆柱的底面半径扩大2倍，高缩小到原来的2
1
，它的体积就（ ）
答案：扩大2倍
检测题7．做一个圆柱体，侧面积是9.42平方厘米，高是3厘米，它的底面半径是______．
答案：1.57cm
一、专题精讲
例1.如图是高为10厘米的圆柱，如果它的高增加4 厘米，那么它表面积就增加125.6平方厘米。
原来圆柱的体积是（ ）立方厘米
答案解析：785
例2. 用一张长20厘米，宽16厘米的长方形纸板围成一个圆柱，这个圆柱的侧面积是（）平方厘米。
答案解析：2×3=6 2×3×5×7=210
答案解析：320
例3.一个圆柱的侧面展开图是正方形，这个圆柱的高是6.28厘米，它的底面积是（）平方厘米。
答案解析：3.14
例4. 一个长方体棱长之和是220cm，长与宽的比为2：1，宽与高的比为3：2，求长方体的体积．答案解析：
长与宽之比为2：1=6：3，宽与高之比为3：2
可得：长：宽：高=6：3：2，
一组长宽高的和是：220÷4=55（厘米），
6+3+2=11，
所以长方体的长是：55×6 11 =30（厘米），
宽是：55×3 11 =15（厘米），
高是：55×2 11 =10（厘米），
所以长方体的体积是：30×15×10=4500（立方厘米），
答：长方体的体积是4500立方厘米．
例5. 用一块长30厘米，宽20厘米的长方形铁皮（如图）做一个高为5厘米的无盖盒子。
a）画一画：应该怎样下料，在图上标出来并算一算这个盒子的容积；
b）想一想：你能利用这块铁皮把盒子的容积做得更大一些吗？若能请在第二个图上画出来。
答案解析：
根据题干分析：
（a）在四角分别剪掉边长为5厘米的正方形，得到的长方体的容积为：
（30﹣5×2）×（20﹣5×2）×5=20×10×5=1000（立方厘米），
答：此时长方体的容积为1000立方厘米；
（b）在四角分别剪掉边长为4厘米的正方形，如图所示，由此即可得出一个长为30﹣4×2=22厘米、宽为20﹣4×2=12厘米、高为4厘米的无盖的长方体；如下图所示，其容积最大；
此时容积较大为：（30﹣4×2）×（20﹣4×2）×4=22×12×4=1056（立方厘米）
答：如此剪切时长方体的容积较大，为1056立方厘米。
例6. 有一个完全封闭的容器，从里面量，长是20cm，宽是16cm，高是10cm，平时里面装了7cm 高的水，如果把这个容器竖起来放，水的高度是多少（单位：cm）?
答案解析：
解：20×16×7÷（16×10）=14cm
答：水的高度是14cm。
例7:雨哗哗地不停地下着，如在雨地里放一个如图1那样的长方体形状的容器，雨水将它下满要用1小时，有下列（A）﹣（E）不同的容器（图2），雨水下满各需多少时间？（注：面是朝上的敞口部分）
例8：有一个圆柱形的零件，高12厘米，底面直径是8厘米，零件的一端有一个圆柱形的直孔，如图，圆孔的直径是6厘米，孔深7厘米。
如果将这个零件接触空气的部分涂上防锈漆，
一共需要涂多少平方厘米？
【检测题4】一个圆柱体的体积是50.24立方厘米，底面半径是2厘米．将它的底面平均分成若干个扇形后，再截开拼成一个和它等底等高的长方体，表面积增加了多少平方厘米？ (π 3.14=)
【答案解析】从图中可以看出，拼成的长方体的底面积与原来圆柱体的底面积相同，长方体的前后两个侧面面积与原来圆柱体的侧面面积相等，所以增加的表面积就是长方体左右两个侧面的面积． (法1)这两个侧面都是长方形，且长等于原来圆柱体的高，宽等于圆柱体底面半径．
可知，圆柱体的高为()
250.24 3.1424÷⨯=(厘米)，所以增加的表面积为24216⨯⨯=(平方厘米)； (法2)根据长方体的体积公式推导．增加的两个面是长方体的侧面，侧面面积与长方体的长的乘积就是长方体的体积．由于长方体的体积与圆柱体的体积相等，为50.24立方厘米，而拼成的长方体的长等于圆柱体底面周长的一半，为3.142 6.28⨯=厘米，所以侧面长方形的面积为50.24 6.288÷=平方厘米，所以增加的表面积为8216⨯=平方厘米．
【检测题4】一个棱长6分米的正方体，在它的底面向内挖去一个最大的圆锥体，求剩下的体积是原正方体体积的百分之几？
【答案解析】直圆锥底面直径是正方体的棱长，高与棱长相等，剩下体积等于原正方体体积减去直圆锥体积。
解：正方体体积：6×6×6＝216（立方厘米） 圆锥的体积：
3
1
×3.14×（6÷2）2×6＝56.52（立方厘米） 剩下体积占正方体的百分之几： （216－56.52）÷216≈0.738≈73.8％
答：剩下体积占正方体体积的73.8％。
【检测题5】(”希望杯”五年级第2试)一个拧紧瓶盖的瓶子里面装着一些水(如图)，由图中的数据可推知瓶子的容积是_______ 立方厘米．(π取3.14)
8
(单位：厘米)
4
10
6
【答案解析】由于瓶子倒立过来后其中水的体积不变，所以空气部分的体积也不变，从图中可以看出，瓶中的水构成高为6厘米的圆柱，空气部分构成高为1082-=厘米的圆柱，瓶子的容积为这部
分之和，所以瓶子的容积为：24
π()(62) 3.1432100.482
⨯⨯+=⨯=(立方厘米)．
三、学法提炼
1、学习本章节内容要结合生活实际，对长立体图形的组成和各部分的特点牢记
一、 能力培养
综合题1：如右图，一个正方体形状的木块，棱长l 米，沿水平方向将它锯成3片，每片又锯成4
长条，每条又锯成5小块，共得到大大小小的长方体60块．那么，这60块长方体表面积的和是多少平方米?
【答案解析】我们知道每切一刀，多出的表面积恰好是原正方体的2个面的面积．现在一共切了(3-1)+(4-1)+(5-1)=9刀，而原正方体一个面的面积1⨯l =1(平方米)，所以表面积增加了9⨯2⨯1=18(平方米)．原来正方体的表面积为6⨯1=6(平方米)，所以现在的这些小长方体的表积之和为6+18=24(平方米)．
综合题2：一个透明的封闭盛水容器，由一个圆柱体和一个圆锥体组成，圆柱体的底面直径和高都。