五年级上奥数试题——第8讲.立体图形的表面积(含解析)人教版
五年级上册奥数竞赛试卷(含答案)
小学五年级奥数竞赛试卷（2）一、解答题1．计算：8﹣1.2×1.5+742÷（2.544÷2.4）=．2．计算=．3．解方程：=4．设a*b表示，计算：（2008*1004）*（1004*502）=．5．图中的大长方形分别由面积为12平方厘米、24平方厘米、36平方厘米、48平方厘米的四个小长方形所组成．那么图中阴影部分的面积为平方厘米．6．自然数12321，90009，41014……有一个共同特征：它们倒过来写还是原来的数，那么具有这种“特征”的五位偶数有个．7．将从1开始的自然数如图排列，那么：（1）位于第10行、第10列的数是；（2）2005在第行、第列上．8．将+、、×、÷四个运算符号分别填在下面算式的方格中，每个运算符号都用上，每一格内添一个符号，使这四个算式的答数之和尽可能的大，那么这四个数之和是．□，□，□，□．9．有四个正方体，棱长分别是1，1，2，3．把它们的表面粘在一起，所得的立体图形的表面积可能取得的最小值是．10．已知两个不同的单位分数之和是，且这两个单位分数的分母都是四位数，那么这两个单位分数的分母的差的最小值是．11．从5双不同尺码的鞋子中任取4只，其中至少有2只配成一双，共有种不同的取法．12．A、B两人以相同的速度先后从车站出发，10点钟时A与车站的距离是B与车站距离的5倍，10点24分时B正好位于A与车站距离的中点，那么A是在时分出发的．2018年小学五年级奥数竞赛试卷（2）参考答案与试题解析一、解答题1．【分析】本题据四则混合运算的法则计算即可：先算乘除，再算加减，有括号的要先算括号里面的．【解答】解：8﹣1.2×1.5+742÷（2.544÷2.4）=8﹣1.2×1.25+742÷1.06，=8﹣1.8+700，=706.2．【点评】本题考查了学生对四则混合运算法则的运用．2．【分析】分母可据公式a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）进行巧算；分母=（22﹣12）+（42﹣32）+…（1002﹣992）；分子为等差数列的和可所高斯求和公式进行巧算．【解答】解：分子=（22﹣12）+（42﹣32）+…（1002﹣992）=（2+1）（2﹣1）+（4+3）（4﹣3）+…（100+99）（100﹣99），=3+7+11+…199，=（3+199）×[（199﹣3）÷4+1]÷2=202×50÷2=101×50分母=（1+2+3+…+9）×2+10=（1+9）×9÷2×2+10=90+10，=100；，=，=．故答案为：．【点评】完成本题要在了解公式a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）及高斯求和知识的基础上进行．3．【分析】根据倒数的计算方法和分数加减法的关系解答即可．【解答】解：=1+====x+=x=【点评】考查了繁分数的化简．繁分数的化简方法：1、可利用分数与除法的关系把繁分数写成分子除以分母的形式；2、利用分数的基本性质，去掉分子、分母上分数后化为最简分数．一般情况下，分子、分母所乘上的适当非零整数为分子、分母部分的两个分数分母的最小公倍数；3、利用倒数的方法解答．4．【分析】分析题干，按给定的程序计算，a*b表示，可得2008*1004=++=2++=3；1004*502=++=2++=3．则：（2008*1004）*（1004*502）=3*3=++=2，这样解答即可．【解答】解：因为a*b表示，所以2008*1004=++=2++=3；1004*502=++=2++=3，（2008*1004）*（1004*502），=3*3，=++=2．故答案为：2．【点评】分析左右两边的区别与联系，按给定的程序计算．5．【分析】先分别求出上两块面积和下两块面积，找到它们的最大公约数，再分别求得四个小长方形的高和底边长，从而得到阴影部分底边长和高求解即可．【解答】解：上两块面积为12+36=48平方厘米，下两块面积为24+48=72平方厘米，48与72的最大公约数为24，故：面积为12平方厘米的高为2厘米，底边长为6厘米．面积为36平方厘米的高为2厘米，底边长为18厘米．面积为24平方厘米的高为3厘米，底边长为8厘米．面积为48平方厘米的高为3厘米，底边长为16厘米．阴影部分底边长为18﹣16=2 厘米2×2÷2+2×3÷2=5平方厘米阴影部分的面积为5平方厘米．故答案为：5．【点评】考查了公约数与公倍数问题，长方形的面积和三角形的面积，解题的难点是求得四个小长方形的高和底边长．6．【分析】由题意知：倒过来写还是原来的数，具有这种“特征”的五位偶数的万位和个位上可放2，4，6，8这4个数；千位和十位以及百位上均可放0﹣﹣9这10个数；再根据“排列组合”计数法即可计算出：组成倒过来写还是原来的数具有这种“特征”的五位偶数则有•=4×10×10=400个．【解答】解：••=4×10×10=400（个）故：此空为400．【点评】解答此题的关键是根据这种数的特征，分析各对称数位会出现的数字可能，把出现可能的种数相乘即可得这种特征数的个数．7．【分析】从数表可以看出，第二行第二列是5=1+4，第三行第三列13=1+4+8，第四行第四列25=1+4+8+12，第五行第五列41=1+4+8+12+16，…第n行第n列为：1+4+8+12+16+…+4×（n﹣1）=1+4×（1+2+3+…+n﹣1）=1+4×=1+2n（n﹣1）；代入数据即可得解．【解答】解：第n行第n列为：1+4+8+12+16+…+4×（n﹣1），=1+4×（1+2+3+…+n﹣1），=1+4×=1+2n（n﹣1）；（1）n=10，代入得：1+2×10×9=181；（2）数列写下来就是个斜三角，可以将第n行第1列表示为（1+n）*n/2，将2005开方就得到一个数在62和63之间．而用上面的规律可以知道63行1列的数为2016，与2005相差11．再沿着斜行数上去到2005．所以用63减11得到2005的行数，1加上11得到2005的列数．所以2005位于52行12列．故答案为：181，52，12．【点评】此题考查了数表中的规律．8．【分析】根据题意可知，要想使这四个算式的答数之和尽可能的大，只有这四个算式的结果尽可能的大，在分数计算中，除以一个最小的分数得到的结果最大，因最小，所以□，应填÷；在剩下的三组中，减数越小，结果越大，因为＜＜，所以□应填﹣，对于□和□，假设+，×与×， +进行比较大小即可．【解答】解：根据题意与分析可知，÷=，﹣=；假设+=，×=，和是+=，另一种假设×=， +=，和是+=，因，所以，□应填+，□应填×；那么这四个数的和最大就是：（÷）+（﹣）+（+）+（×）=+++=+++=．故填：．【点评】根据题意，只要这四组数都尽可能大时，它们的和才最大，再根据分数的四则运算逐步求解即可．9．【分析】如图所示的组合，取得的表面积可能最小，最小值加在一起即可．【解答】解：正视图的面积是：2×2+1+3×3=14； 俯视图的面积是：2×2+3×3=13； 侧视图的面积是：3×3=9；所以，组合体的总表面积是：（14+13+9）×2=72．答：所得的立体图形的表面积可能取得的最小值是72．故答案为：72．【点评】此题考查了图形的拆拼（切拼），画出三视图，可使问题简单明确化．10．【分析】根据题意，先把2004分解质因数，再把拆成两个不同的单位分数，再根据题意解答即可．【解答】解：根据题意，把2004分解质因数，2004=2×2×3×167，所以，2004的因数有：1，2，3，4，6，12，167，334，501，668，1002，2004．要使这两个单位分数的分母的差的最小，这两个不同的单位分数越接近，差越小，所以，==+，分母差是：6012﹣3006=3006；==+，分母差是：5010﹣3340=1670；==+，分母差是：4676﹣3507=1169；因为，1169＜1670＜3006，所以，这两个单位分数的分母的差的最小值是1169．故填：1169．【点评】根据题意，由分数的拆项解答即可．11．【分析】根据题干先求出从10只鞋子中任取4只，有：C（10，4）=210种情况，如果4只鞋都不能配成一双，有5×2×2×2×2=80种情况，由此即可求出能2只配上一双的情况．【解答】解：210﹣80=130（种），答：共有130种不同的取法．故答案为：130．【点评】此题利用组合公式的计算方法得出取出鞋子的总情况，减去不能配成一双的情况，即可得出答案．12．【分析】如下图所示，因为A、B两人以相同的速度先后从车站出发，所以路程和时间成正比例，设B在10点钟时走的时间为x分钟，则A走的时间为5x分钟，24分钟后，B到车站的距离等于BA的距离，则B到车站的所用的时间的2倍等于A到车站走路所用的时间．【解答】解：因为A、B两人以相同的速度先后从车站出发，则他们的路程和时间成正比例，假设B在10点钟时走路所用的时间是x分钟，则A走路所用的时间是5x分钟；24分钟后，B到车站的距离等于BA的距离，则B到车站的所用的时间的2倍等于A到车站走路所用的时间，由此，得方程：（x+24）×2=5x+24，2x+48=5x+24，3x=24，x=8（分钟）；A走了：8×5=40（分钟）；10时﹣40分钟=9时20分；答：那么A在9时20分出发的．故答案为：9，20．【点评】此题考查了相遇问题．速度相同，则路程和时间成正比例．。
五年级奥数题及答案-表面积
五年级奥数题及答案-表面积
导语：小编知道同学们每天学习很辛苦，所以今天准备了几道简单的练习题给你们，虽然累但是不能把学习中断了对吗?
一个零件形状大小如下图：算一算，它的体积是多少立方厘米，表面积是多少平方厘米?
答案与解析：
(1)可以把零件沿虚线分成两部分来求它的体积，左边的长方体体积是10×4×2=80(立方厘米)，右边的长方体的体积是10×(6-2)×2=80(立方厘米)，整个零件的体积是80+80=160(立方厘米)。
10×4×2+10×(6-2)×2=160(立方厘米)
(2)求这个零件的表面积，看起来比较复杂，其实，朝上的两个面的面积和正好与朝下的一个面的面积相等;朝右的两个面的面积和正好与朝左的一个面的面积相等。
因此，此零件的表面积就是：(10×6+10×4+4×2×2)×2=232(平方厘米)。
(完整word版)五年级奥数《长方体与正方体的表面积与体积》
长方体和正方体的表面积和体积一、方法讲解我们学习了长方体和正方体，运用长方体和正方体的表面积和体积公式一般可以简单长方体和正方体问题,解决较复杂的立体图形问题要注意几点：1、必须以基本概念和方法为基础，同时吧构成几何图形的诸多条件融合贯通起来。
2、依赖已经积累的空间观念，观察经过割、补后物体的表面积或体积所发生的变化。
3、求一些不规则的物体的体积时，可以通过变形的方法来解决。
二、例题讲解1、一个零件形状大小如右图所示：算一算，它的体积是多少立方厘米？表面积是多少平方厘米？（单位:厘米)2、有一个长方体形状的零件，中间挖去一个正方体的孔（如图所示)，你能算出它的体积和表面积吗？（单位:厘米）3、一个长方体沿着长的方向切掉一个小正方体，剩下的长方体的表面积比原来减少24平方厘米，求所切下的正方体的表面积是多少平方厘米？4、长方体不同的三个面的面积分别为10平方厘米、15平方厘米和6平方厘米。
这个长方体的体积是多少立方厘米？5、一个凌长为6厘米的正方体木块，如果把它锯成凌长为2厘米的正方体若干块，表面积增加多少平方厘米？三、达标练习1、一个长5厘米、宽1厘米、高3厘米的长方体，被切去一块后(如图所示），剩下部分的表面积和体积各是多少？2、把一根长2米的长方体木料锯成1米长的两段，表面积增加了2平方分米，求这根木料原来的体积.3、有一个长8厘米、宽1厘米、高3厘米的长方体，在它的左右两个角各切掉一个正方体（如图所示),求切掉正方体后的表面积和体积各是多少？4、有一个形状如上图所示的零件，求它的体积和表面积。
（单位：厘米）5、如果把上题中挖下的小正方体粘在另一个面上，(如图所示）那么得到的物体的体积和表面积各是多少？6、一个正方体和一个长方体刚好拼成新的长方体，其表面积比原来的长方体的表面积增加了60平方厘米，原来正方体的表面积是多少立方厘米？7、一根长1米,宽和高都是8厘米的长方体钢材，从钢材的一端锯下一个最大的正方体后，它的表面积减少了多少平方厘米?8、把两个完全相同的长方体木块拼成一个正方体，表面积比原来两个长方体的表面积的和减少了40 平方厘米,求原来每个长方体的表面积是多少平方厘米?9 。
【沪教版】五年级上册奥数：长方体和正方体的体积与表面积 (含答案)
图1 图2 图3图4【答案】按图1所示沿一条棱挖，为592平方厘米；按图2所示在某一面上挖，为632平方厘米；按图3所示在某面上斜着挖，为648平方厘米；按图4所示挖通两个对面，为672平方厘米．【例 7】从一个长8厘米、宽7厘米、高6厘米的长方体中截下一个最大的正方体(如下图)，剩下部分的表面积之和是平方厘米．【考点】长方体与正方体【难度】3星【题型】填空【解析】可以将这个图形看作一个八棱柱，表面积和为：（）（）(平方厘米)．⨯-⨯⨯+⨯+++++++=87662616661787292也可以这样想：由于截去后原来的长方体的表面少了3个66⨯的正方形，而新图形凹进去的部分恰好是3个66⨯的正方形，所以新图形的表面积与原图形的表面积相等，为()⨯+⨯+⨯⨯=(平方厘米)．8786762292【答案】292【例 8】右图是一个表面被涂上红色的棱长为10厘米的正方体木块，如果把它沿虚线切成8个正方体，这些小正方体中没有被涂上红色的所有表面的面积和是多少平方厘米？【考点】长方体与正方体 【难度】3星 【题型】解答【解析】 10⨯10⨯6=600(平方厘米)．【答案】600【例 9】 由六个棱长为1的小正方体拼成如图所示立体，它的表面积是 ．【考点】长方体与正方体 【难度】3星 【题型】填空【关键词】2006年，第四届，走美杯，4年级，决赛，第3题，8分【解析】 三视图法：表面积为：()454226++⨯=【答案】26【例 10】 将15个棱长为1的正方体堆放在桌子上，喷上红色后再将它们分开。
涂上红色的部分，面积是（ ）平方厘米【考点】长方体与正方体 【难度】3星 【题型】填空【关键词】2010年，第8届，走美杯，3年级，初赛，第12题【解析】 注意底面放在桌子上，不能被染到。
从上向下看有10个：从左向右看有6个；从前向后看有7个。
因此被染色的面有()1067236++⨯=个面【答案】36【例 11】 用6块右图所示(单位：cm )的长方体木块拼成一个大长方体，有许多种拼法，其中表面积最小的是多少平方厘米？最大是多少平方厘米？【考点】长方体与正方体 【难度】4星 【题型】解答【解析】 要使表面积最小，需重叠的面积最大，如图⑴的拼接方式新的长方体长为5，宽为4，高为3，所以表面积为2(343334)266(cm )⨯+⨯+⨯⨯=；要使表面积最大需重叠的面积最小，如图⑵所示，长为18，宽为2，高为1，所以最大的表面积为2(18118212)2112(cm )⨯+⨯+⨯⨯=【答案】112【例 12】 要把12件同样的长a 、宽b 、高h 的长方体物品拼装成一件大的长方体，使打包后表面积最小，该如何打包？⑴当 b =2h 时，如何打包？⑵当 b <2h 时，如何打包？⑶当 b >2h 时，如何打包？【考点】长方体与正方体 【难度】5星 【题型】解答【解析】 图2和图3正面的面积相同，侧面面积=正面周长⨯长方体长，所以正面的周长愈大表面积越大，图2的正面周长是8h +6b ，图3的周长是12h +4b .两者的周长之差为2（b -2h ）.当b =2h 时，图2和图3周长相等，可随意打包；当b <2h 时，按图2打包；当b >2h 时，按图3打包.【答案】当b =2h 时，图2和图3周长相等，可随意打包；当b <2h 时，按图2打包；当b >2h 时，按图3打包. (1)图3图2图1hba【例 13】 如图，把正方体用两个与它的底面平行的平面切开，分成三个长方体，这三个长方体的表面积比是3：4：5时，用最简单的整数比表示这三个长方体的体积比： ： ： 。
20181125小学奥数练习卷(知识点：立体图形的表面积)含答案解析
小学奥数练习卷（知识点：立体图形的表面积）注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第Ⅰ卷（选择题）一．选择题（共4小题）1．如图，一个长8厘米、宽6厘米、高10厘米的长方体木块中，挖去一个棱长为3厘米的正方形的孔，木块现在的表面积是（）平方厘米．A．367B．376C．412D．4302．把11块相同的长方体砖如图拼成一个大长方体，已知每块砖的体积是288立方厘米，大长方体的表面积是（）平方厘米．A．1944B．1974C．2014D．13683．一个长方体，它的高和宽相等，若把长去掉2.5厘米，就成为表面积是150平方厘米的正方体，长方体的长是宽的（）倍．A．1.5B．2C．2.5D．34．如图是一个边长为4厘米的正方体，分别在前后、左右、上下各面的中心位置挖去一个边长1厘米的正方体，做成一种玩具，它的表面积是x平方厘米，那么x等于（）A．114B．120C．126D．132第Ⅱ卷（非选择题）二．填空题（共40小题）5．由27个棱长为1厘米的小正方形拼成了一个3×3×3的大正方体；（1）这个大正方体的表面积是平方厘米．（2）如果从大正方体某条棱的中间去掉一个小正方体，剩下几何体的表面积是平方厘米．（3）如果从大正方体某个面的中间去掉一个小正方体，剩下几何体的面积是平方厘米．6．一个长方体的长、宽、高分别是7、5、3，在某一个面竖直切一刀，将长方体分成两个小长方体，则这两个小长方体的表面积之和最大是．7．如图是棱长10厘米的两个正方体果盒，用一张长4分米，宽3分米的长方形彩色纸包装（接头处忽略不计）．这张彩色纸够吗？．8．将表面积分别为150平方分米、54平方分米、96平方分米的三个正方体铁块熔铸成一个大正方体铁块，这个大正方体铁块的表面积是平方分米．9．如图，用6个完全相同的小正方体组成了一个长方体，如果每个小正方体的表面积均为48平方厘米，那么整个长方形的表面积为平方厘米．10．如图，将一个棱长为4cm的正方体从中间切开，再拼成一个长方体，那么，表面积增加了cm2．11．如图，将一个棱长为4cm的正方体从中间切开，再拼成一个长方体，那么，表面积比原来增加了cm2．12．如图是由9块相同的长方体摆放而成的大长方体，已知大长方体的表面积是360平方厘米，那么一个小长方体的表面积是平方厘米．13．如图，在一个棱长40厘米的正方体的上、下两个底面的正中间，各有一个直径为6厘米的圆孔，孔深15厘米，则这个几何体的表面积是平方厘米，体积是立方厘米．（π取3.14）14．一个长方体的长、宽分别为20厘米、15厘米，其体积的数值与表面积的数值相等，则它的高为厘米．15．如图，由9个棱长为1的正方形搭成如图所示的图形，那么它的表面积是．16．10个棱长为2的小立方体堆成如下图形，这个立体图形的表面积为．17．一个长方体，棱长都是整数厘米，所有棱长之和是88 厘米，问这个长方体总的侧面积最大是平方厘米．18．某长方体的长、宽、高（长、宽、高均大于1）是三个彼此互质的自然数，若这个长方体的体积是665，则它的表面积是．19．用64个体积为1立方米的小正方体拼成一个大正方体，如果将大正方体8个顶点处的小正方体都去掉，则此时的几何体的表面积是平方米．20．由棱长为1厘米的若干个立方体堆成一个长、宽、高分别11、9、7（厘米）的长方体，将它的表面全部涂上红色，然后将只有一面是红色的立方体取出，再将取出的立方体堆成一个长、宽、高都不同的实心长方体，那么这个新的长方体的表面积的最大值是平方厘米．21．把一根长2.8米的长方体木料锯成7段，表面积比原来增加120平方厘米，则这根木料原来的体积是立方厘米．22．将10个棱长为1厘米的立方体如图摆放，那么，这个立体图形的表面积是平方厘米．23．把一个正方体切成27个相等的小正方体．这些小正方体的表面积之和比大正方体的表面积大432平方厘米．那么，大正方体的体积是立方厘米．24．已知：长方体的表面积计算公式是S=2（ab+ah+bh），其中S代表长方体表面积，a代表长，b代表宽，h代表高．有一个长方体，它的长a=3厘米，宽b=2厘米，高h=1厘米，那么，这个长方体的表面积S是平方厘米．25．如图，用若干个棱长为1的小正方体堆成一个大的几何体，这个几何体的表面积（含底面积）是．26．如图是9个棱长1米的正方体堆成的一个立体，那么，这个立体的表面积是平方米．27．如图，大正方体的棱长为2厘米，两个小正方体的棱长均为1厘米，那么，组合后整个立体图形的表面积为平方厘米．28．两个较小的正方体积木分别粘在一个大正方体积木的两个面上，构成如图所示的立体图形，其中，每个小积木粘贴面的四个顶点分别是大积木粘贴面各边的一个五等分点．如果三个积木的棱长互不相同且最大的棱长为5，那么这个立体图形的表面积是．29．一个尺寸为5厘米×3厘米×1厘米的长方体，被切下一块后如图，则新得到的几何体的表面积比原长方体的表面积增加了平方厘米．30．两个大小不同的正方体积木粘在一起，构成图所示的立体图形，其中，小积木的粘贴面的四个顶点分别是大积木的粘贴面各边不是中点的一个四等分点．如果大积木的棱长为4，则这个立体图形的表面积为．31．在一个长20米、宽8米、深1.6米的长方体游泳池的四壁及地面贴瓷砖，瓷砖是边长为0.2米的正方形，共需瓷砖块．32．大小两个正方体积木粘在一起，构成如图所示的立体图形，其中小积木的下底面的四个顶点，恰好是大积木的上底面各边的中点．如果大积木的棱长为2，那么这个立体图形的表面积是．33．14个棱长为1的正方体在地面上堆成如图所示的几何体，将它的表面（包括与地面接触部分）染成红色，那么红色部分的面积是．34．两个大小不同的正方体积木粘在一起，构成如图所示的立体图形，其中，小积木的粘贴面的四个顶点分别是大积木的粘贴面各边的一个三等分点．如果大积木的棱长为3，则这个立体图形的表面积为．35．一块正方体木块棱长为8厘米，从上面向下挖一个棱长为2厘米的小正方体（如图）后，余下部分的表面积是平方厘米．36．一个长方体表面积是4000cm2，如果这个长方体可以被平均切成两块一样的正方体，那么把两个这样的长方体拼成一个大长方体，这个大长方体的表面积最多是cm2．37．如图，一个尺寸为2厘米×3厘米×5厘米的长方体，被切下一块后，新得到的几何体的表面积比原长方体的表面积增加了平方厘米．38．由24个棱长为1的小正方体组成一个大的长方体，那么，组成后长方体的表面积最大为．39．一个棱长为4的正方形盒子放一个半径为1的球，球在盒子里随意移动，盒子也可以随意翻动．则球接触不到的正方体内表面的面积是．40．在一个棱长为50厘米的正方体木块，在它的八个角上各挖去一个棱长为5厘米的小正方体，问剩下的立体图形的表面积是．41．边长为分别是3、5、8的三个正方体被粘合在一起，在这些用各种方式粘合在一起的立体中，图形的表面积是．42．如图，把正方体用一个与它的一面平行的平面切开，分成A、B两个长方体，当A、B的表面积比是1：2时，用最简单的整数比表示A和B的体积比是．43．如图，从边长是10的立方体中挖去1个小长方体，则剩余部分的体积是，表面积是．44．如图，用棱长为1厘米的立方体叠成的一个立方形．它的表面积最少有平方厘米．三．解答题（共6小题）45．已知一个长方体的长、宽、高的比为4：3：2，用平面切割，切割面为六边形（如图所示），已知所有这样的六边形的周长最小为36，求这个长方体的表面积．46．如图所示，图①由1个棱长为1的小正方体堆成，图②由5个棱长为1的小正方体堆成，图③由14个棱长为1的小正方体堆成，按照此规律，求：（1）图⑥由多少个棱长为1的小正方体堆成？（2）图⑩所示的立体图形的表面积．47．如图，有30个棱长为1米的正方体堆成一个四层的立体图形．请问：这个立体图形的表面积等于多少？48．如图所示．中心的立方体的棱长为8，在其每个面的中心粘上一个棱长为4的立方体，在所有棱长为4的立方体的露出面中心再粘上一个棱长为2的立方体．求：这个立体图形的表面积．49．如图所示，有一个边长为5厘米的立方体木块，在它的每个角以及每条棱和每个面的中间各挖去一个边长为1厘米的小立方体（即图中画有阴影的那些小立方体），那么余下部分的表面积是多少平方厘米？50．有一个棱长为3.5的正方体，在其中一个面上挖去一个棱长为1.2的正方体，在棱长为1.2的正方体的底面上挖去一个棱长为0.7的正方体，再在棱长为0.7的正方体的底面上挖去一个棱长为0.3的正方体．问此图形的表面积？参考答案与试题解析一．选择题（共4小题）1．如图，一个长8厘米、宽6厘米、高10厘米的长方体木块中，挖去一个棱长为3厘米的正方形的孔，木块现在的表面积是（）平方厘米．A．367B．376C．412D．430【分析】由题意可知：挖去一个棱长为3厘米的正方形的孔，木块的表面积减少了1个小3×3的面，增加了5个3×3的面，实际相当于只增加了4个面；所以木块现在的表面积为原来长方体的表面积再加上中间的正方体的4个面的面积即可．【解答】解：（8×6+8×10+10×6）+3×3×4=376+36=412（平方厘米）答：木块现在的表面积是412平方厘米．故选：C．【点评】关键是分析图形是由哪几部分组成，表面积是指哪些面；然后根据相应的公式解答即可．2．把11块相同的长方体砖如图拼成一个大长方体，已知每块砖的体积是288立方厘米，大长方体的表面积是（）平方厘米．A．1944B．1974C．2014D．1368【分析】设小长方体的长、宽、高分别为a、b、h，观察图形可知则a=4h，即h=a，2a=3b即b=a，由每块砖的体积为：a×a×a=a3．再据a3=288可得：a=12（厘米），由此即可解决问题．【解答】解：设小长方体的长、宽、高分别为a、b、h，则a=4h，即h=a，2a=3b即b=a，每块砖的体积为：a×a×a=a3．再据a3=288可得：a=12（厘米），则b=×12=8（厘米），h=×12=3（厘米），于是可得：大长方体的长是12×2=24厘米，宽12厘米，高是8+3=11厘米，大长方体表面积就为：24×12×2+24×11×2+12×11×2，=288×2+264×2+132×2，=576+528+264，=1368（平方厘米）；答：大长方体表面积是1368平方厘米．故选：D．【点评】本题考查立体图形表面积公式，解题的关键是学会设未知数，构建方程组解决问题，本题体现了数形结合的思想，学会把图中信息转化为方程组解决问题．3．一个长方体，它的高和宽相等，若把长去掉2.5厘米，就成为表面积是150平方厘米的正方体，长方体的长是宽的（）倍．A．1.5B．2C．2.5D．3【分析】已知长方体的宽和高相等，把长去掉2.5cm，就成为表面积150平方厘米的正方体，根据正方体的表面积公式：S=6a2，据此可以求出正方体的一个面的面积，进而求出正方体的棱长（长方体的宽和高），用正方体的棱长加上2.5厘米就是长方体的长，然后根据求一个数是另一个数的几倍用除法解答．【解答】解：正方体的一个的面积是：150÷6=25（平方厘米），正方体的棱长是：因为5的平方是25，所以正方体的棱长是5厘米，长方体的长是：5+2.5=7.5（厘米），长是宽的：7.5÷5=1.5倍；故选：A．【点评】此题解答关键是求出正方体的棱长，进而求出长方体的长，再根据求一个数是另一个数的几倍用除法解答．4．如图是一个边长为4厘米的正方体，分别在前后、左右、上下各面的中心位置挖去一个边长1厘米的正方体，做成一种玩具，它的表面积是x平方厘米，那么x等于（）A．114B．120C．126D．132【分析】这个玩具的表面积是大正方体的面积，加上6个边长为1厘米的小正方体的4个侧面的面积，据此解答即可．【解答】解：玩具的表面积：4×4×6+1×1×6×4=96+24=120（平方厘米）．答：它的表面积是120平方厘米．故选：B．【点评】此题考查规则立体图形的表面积，解决此题的关键是在前后、左右、上下各面的中心位置挖去一个边长为1厘米的正方体，增加6个边长为1厘米的小正方体的4个侧面的面积．二．填空题（共40小题）5．由27个棱长为1厘米的小正方形拼成了一个3×3×3的大正方体；（1）这个大正方体的表面积是54平方厘米．（2）如果从大正方体某条棱的中间去掉一个小正方体，剩下几何体的表面积是56平方厘米．（3）如果从大正方体某个面的中间去掉一个小正方体，剩下几何体的面积是58平方厘米．【分析】（1）利用正方体的表面积公式，可得结论；（2）如果从大正方体某条棱的中间去掉一个小正方体，表面积增加2个边长为1厘米的小正方形，可得剩下几何体的表面积；（3）如果从大正方体某个面的中间去掉一个小正方体，表面积增加4个边长为1厘米的小正方形，可得剩下几何体的面积，【解答】解：（1）这个大正方体的表面积是6×3×3=54平方厘米．（2）如果从大正方体某条棱的中间去掉一个小正方体，表面积增加2个边长为1厘米的小正方形，剩下几何体的表面积是54+2=56平方厘米．（3）如果从大正方体某个面的中间去掉一个小正方体，表面积增加4个边长为1厘米的小正方形，剩下几何体的面积是54+4=58平方厘米．故答案为54，56，58．【点评】本题考查立体图形的表面积，考查正方体的表面积公式，解题的关键是正确运用正方体的表面积公式．6．一个长方体的长、宽、高分别是7、5、3，在某一个面竖直切一刀，将长方体分成两个小长方体，则这两个小长方体的表面积之和最大是212．【分析】由题意得出竖直切一刀，其表面积就在原长方体面积的基础上增加两个面的面积，而表面积最大的切法为沿平行于长为7、宽为5的面的方向切一刀，据此求解可得．【解答】解：由于长方体的表面积为（7×5+7×3+3×5）×2=142，而某一个面竖直切一刀，其表面积就增加两个面的面积，增加的两个面的面积最大情况为沿平行于长为7、宽为5的面的方向切一刀，此时增加的面积最大，为2×7×5=70，则其表面积最大为142+2×7×5=212，故答案为：212．【点评】本题主要考查立体图形的表面积，根据题意得出切一刀增加两个面的面积且表面积最大的切法是解题的关键．7．如图是棱长10厘米的两个正方体果盒，用一张长4分米，宽3分米的长方形彩色纸包装（接头处忽略不计）．这张彩色纸够吗？够．【分析】两个正方体拼成了一个长方体，表面积总和减少了两个正方形的面，即还剩下6×2﹣2=10个正方形的面，即需要包装的面，然后根据正方形和长方形的面积公式进一步解答即可．【解答】解：6×2﹣2=10（个）10厘米=1分米1×1×10=10（平方分米）4×3=12（平方分米）12＞10所以，这张彩色纸够了．故答案为：够．【点评】解答本题关键是理解两个正方体拼成了一个长方体，减少了几个面．8．将表面积分别为150平方分米、54平方分米、96平方分米的三个正方体铁块熔铸成一个大正方体铁块，这个大正方体铁块的表面积是216平方分米．【分析】根据正方体的特征，它的12条棱的长度都相等，6个面的面积都相等；正方体的表面积=棱长×棱长×6，正方体的体积=棱长×棱长×棱长；已知三个正方体的表面积分别是54平方分米、96平方分米、150平方分米，先分别求出三个正方体的棱长，把它们熔铸成一个大的正方体铁块，体积不变，由此再求三个正方体的体积之和即可．【解答】解：54÷6=9（平方分米），因为：3×3=9，所以：棱长是3分米；96÷6=16（平方分米），因为：4×4=16，所以：棱长是4分米；150÷6=25（平方分米），因为：5×5=25，所以：棱长是5分米；3×3×3+4×4×4+5×5×5=27+64+125=216（立方分米）；因为：6×6×6=216，所以：大正方体的棱长是6分米；6×6×6=216（平方分米）；故答案为：216．【点评】此题主要考查正方体的特征以及表面积和体积的计算方法，首先分别求出三个小正方体的棱长，再求三个小正方体的体积之和，求出大正方体的棱长，再根据体积公式解答．9．如图，用6个完全相同的小正方体组成了一个长方体，如果每个小正方体的表面积均为48平方厘米，那么整个长方形的表面积为208平方厘米．【分析】每个小正方体的表面积均为48平方厘米，则每个面的面积是48÷6=8平方厘米；用6个完全相同的小正方体组成了一个长方体，减少了2×5=10面，所以还剩下6×6﹣10=26个面，然后再乘每个面的面积即可．【解答】解：48÷6=8（平方厘米）8×（6×6﹣5×2）=8×26=208（平方厘米）答：整个长方形的表面积为208平方厘米．故答案为：208．【点评】本题要学会简算，因为每个正方体的棱长不易求出，所以要从原来的总面数和减少的面数入手解答．10．如图，将一个棱长为4cm的正方体从中间切开，再拼成一个长方体，那么，表面积增加了16cm2．【分析】把正方体切成完全一样的两块长方体后，它的表面积比原来增加了2个正方体的面的面积；再拼成一个长方体，那么，表面积又减少了1个正方体的面的面积；综合上述，实际相当于只增加了1个正方体的面的面积；由此即可解答问题．【解答】解：根据分析可得，表面积增加了1个正方体的面的面积：4×4=16（平方厘米）答：表面积增加了16平方厘米．故答案为：16．【点评】此题要抓住一个正方体切割出2个完全一样的长方体的方法，得出切割后比原来增加了2个正方体的面，是解决此类问题的关键．11．如图，将一个棱长为4cm的正方体从中间切开，再拼成一个长方体，那么，表面积比原来增加了16cm2．【分析】正方体从中间切开多出了两个正方形的切面，再拼成一个长方体时，又减少了一个正方形的切面，相当于表面积比原来增加了一个正方形的切面，即多出了4×4=16平方厘米；据此解答即可．【解答】解：根据分析可得，4×4=16（平方厘米）答：表面积比原来增加了16平方厘米．故答案为：16．【点评】解答此题要注意结合图形特点，得出表面积的变化过程，增加的100平方厘米是4个正方体面的面积之和是解答此题的关键．12．如图是由9块相同的长方体摆放而成的大长方体，已知大长方体的表面积是360平方厘米，那么一个小长方体的表面积是88平方厘米．【分析】可以设小长方体的长为a，宽为b，高为c，根据表面积公式，可以列出关系式，2×（b+c）×（b+b+b）+2×（b+c）×a+2×a×（b+b+b）=360，又3b=2a，a=3c，即可求出a、b、c的值进而可以求得小正方体的表面积．【解答】解：根据分析，设小长方体的长为a，宽为b，高为c，如下图所示，则有：3b=2a，a=3c故大长方体的表面积=2×（b+c）×（b+b+b）+2×（b+c）×a+2×a×（b+b+b）=360⇒3b2+3bc+4ab+ac=180又3b=2a，a=3c，可解得：a=6，b=4，c=2，则一个小长方体的表面积是：2×6×4+2×6×2+2×4×2=88平方厘米．故答案是：88平方厘米．【点评】本题考查了长方体的表面积，本题突破点是：根据表面积公式及图中所示列出关系式，再求解．13．如图，在一个棱长40厘米的正方体的上、下两个底面的正中间，各有一个直径为6厘米的圆孔，孔深15厘米，则这个几何体的表面积是10165.2平方厘米，体积是63152.5立方厘米．（π取3.14）【分析】表面积比原来正方体的表面积多了两个圆柱的侧面积，体积比原来的正方体少了两个圆柱的体积．【解答】解：正方体的表面积40×40×6=9600（平方厘米）一个圆柱的侧面积6×3.14×15=282.6（平方厘米）这个几何体的表面积9600+282.6×2=10165.2（平方厘米）正方体的体积40×40×40=64000（立方厘米）圆柱的半径6÷2=3（厘米）两个圆柱的体积3.14×3×3×15×2=847.8（立方厘米）几何体的体积64000﹣847.9=63152.2（立方厘米）故填10165.2和63152.5【点评】在这个变化过程中表面积增加了，体积减少了，在分析的时候要注意分析增加或减少的部分．14．一个长方体的长、宽分别为20厘米、15厘米，其体积的数值与表面积的数值相等，则它的高为厘米．【分析】设高为h，根据体积和表面积的公式，列出一个关系式，即可求出高的值．【解答】解：根据分析，设高为h，则：20×15×h=（20×15+20h+15h）×2，解得：h=．故答案是：厘米．【点评】本题考查了长方体的表面积和体积，本题突破点是：根据公式列出关系式，再求解．15．如图，由9个棱长为1的正方形搭成如图所示的图形，那么它的表面积是32．【分析】按题意，立体图形的表面积可以从三个方向的面积求得，即正视，俯视，侧视，求得面积的和．【解答】解：根据分析，画出三视图，正视图、俯视图、侧视图，三个方向的面积分别为6、7、3故立体图形的表面积为：（6+7+3）×2=32．故答案是：32．【点评】本题考查了立体图形的表面积，本题突破点是：将立体图形的三视图画出，再求表面积．16．10个棱长为2的小立方体堆成如下图形，这个立体图形的表面积为144．【分析】这个几何体的表面积就是露出小正方体的面的面积之和，从上面看有4个面；从下面看有4个面；从前面看有10个面；从后面看有10个面；从左面看有4个面；从右面看有4个面．由此即可解决问题．【解答】解：上面看有4个面；从下面看有4个面；从前面看有10个面；从后面看有10个面；从左面看有4个面；从右面看有4个面4+4+10+10+4+4=36（个）2×2×36=144答：这个立体图形的表面积为144．故答案为：144．【点评】此题考查了观察几何体的方法的灵活应用；应抓住这个几何体的表面积是露出的小正方体的面的面积之和是解决此类问题的关键．17．一个长方体，棱长都是整数厘米，所有棱长之和是88 厘米，问这个长方体总的侧面积最大是224平方厘米．【分析】长宽高的和是：88÷4=22厘米，长方体的总侧面积最大，长宽高的长度必须最接近，即22=8+7+7，然后再利用长方体的侧面积公式，也就是用底面周长乘高，据此解答即可．【解答】解：长宽高的和是：88÷4=22（厘米），长方体的总侧面积最大，长宽高的长度必须最接近，即22=8+7+7，（7+7）×2×8=28×8=224（平方厘米）；答：这个长方体的总侧面积最大是224平方厘米．故答案为：224．【点评】本题关键是明确要使长方体的总侧面积最大，长宽高的长度必须最接近．18．某长方体的长、宽、高（长、宽、高均大于1）是三个彼此互质的自然数，若这个长方体的体积是665，则它的表面积是526．【分析】首先把665分解质因数，求出长、宽、高，再根据长方体的表面积公式：S=（ab+ah+bh）×2，把数据代入公式解答即可．【解答】解：665=19×7×5，因为长、宽、高（长、宽、高均大于1）是三个彼此互质的自然数，所以长、宽、高分别是19、7、5，（19×7+19×5+7×5）×2=（133+95+35）×2=263×2=526，答：它的表面积是526．故答案为：526．【点评】此题主要考查长方体的体积公式、表面积公式的灵活运用，关键是利用分解质因数的方法求出长、宽、高．19．用64个体积为1立方米的小正方体拼成一个大正方体，如果将大正方体8个顶点处的小正方体都去掉，则此时的几何体的表面积是96平方米．【分析】由题意可知：拿走一个小正方体，就减少了三个面，同时又增加了三个面，同理可得，拿走8个顶点上的小正方体，就减少了24个面，同时又增加了24个面，则图形的表面积没有变，据此解答即可．【解答】解：因为拿走一个小正方体，就等于减少了三个面，同时又增加了三个面，则拿走8个顶点上的小正方体，就减少了24个面，同时又增加了24个面，所以说表面积相比没有变，64=4×4×4，表面积是4×4×6=96（平方米）．故此时的几何体的表面积是96平方米．故答案为：96．【点评】解答此题的关键是：看计算表面积所用的面有没有变化，从而问题得解．20．由棱长为1厘米的若干个立方体堆成一个长、宽、高分别11、9、7（厘米）的长方体，将它的表面全部涂上红色，然后将只有一面是红色的立方体取出，再将取出的立方体堆成一个长、宽、高都不同的实心长方体，那么这个新的长方体的表面积的最大值是862平方厘米．【分析】一面涂色的都在每一个表面上，求出其个数，分解质因数，可得结论．【解答】解：一面涂色的都在每一个表面上，（11﹣2）×（9﹣2）×2+（11﹣2）×（7﹣2）×2+（9﹣2）×（7﹣2）×2=9×7×2+9×5×2+7×5×2=126+90+70=286（个）286=1×2×143所以堆成一个长143厘米宽2厘米高1厘米的实心长方体，表面积最大表面积是2×（1×2+2×143+1×143）=862（平方厘米）故答案为862．【点评】本题考查立体图形的表面积，考查学生的计算能力，求出一面涂色的都在每一个表面上的个数是关键．21．把一根长2.8米的长方体木料锯成7段，表面积比原来增加120平方厘米，则这根木料原来的体积是2800立方厘米．【分析】由题意可知：把这根木料锯成7段，需要锯6次，每锯一次增加两个截面的面积，所以锯7段增加了12个底面，再据“表面积增加120平方厘米”即。
五年级上奥数试题——第8讲 数阵图与数字谜(含解析)人教版
第八讲数阵图与数字谜教学目标1. 熟悉数阵图与数字谜的题目特点；2. 掌握数阵图与数字谜的解题思路。
精讲讲练数阵图数阵图是把一些数按照一定规则填在某一特定图形的规定位置上而来的图形，有时简称数阵。
【例1】 （2007年“希望杯”第二试）在右图所示○内填入不同的数，使得三条边上的三个数的和都是12，若A 、B 、C 的和为18，则三个顶点的三个数的和是__________。
【分析】 由于每条边上的三个数的和都是12，所以把这三条边上的三个数的和都加起来，总和应为12336⨯=，在其中，A 、B 、C 各算了一次，三个顶点的三个数各算了两次，所以三个顶点的三个数的和为(3618)29-÷=。
【例2】 （2007年天津“陈省身杯”国际青少年数学邀请赛）将112:这十二个自然数分别填入右图的12个圆圈内，使得每条直线上的四个数之和都相等，这个相等的和为__________。
【分析】 由于每条直线上的四个数之和都相等，设这个相等的和为S ，把所有6条直线上的四个数之和相加，得到总和为6S ；另一方面，在这样相加中，由于每个数都恰好在两条直线上，所以每个数都被计算了两遍。
所以，6(12312)2S =++++⨯L ，得到26S =，即所求的相等的和为26。
【例3】 （2007年“走进美妙的数学花园”决赛）如右图所示，A ，B ，C ，D ，E ，F ，G ，H ，I ，J 表示110:这10个各不相同的数字。
表中的数为所在行与列的对应字母的和，例如“14G C +=”。
请将表中其它的数全部填好。
C BA【分析】 由于5A F +=，14B F +=，所以1459B A -=-=，所以A 和B 只能是0和9。
因此可以推出：0A =，9B =，6C =，3D =，2E =，5F =，8G =，1H =，4I =，7J =。
可得右下图。
【例4】 （2007年“走进美妙的数学花园”初赛）从1、2、3…20这20个数中选出9个不同的数放入33⨯的方格表中，使得每行、每列、每条对角线上的三个数的和都相等。
五年级上奥数试题——第8讲.立体图形的表面积(含解析)人教版
1. 掌握一些求不规则立体图形的表面积的方法.2. 理解立体图形在分割和拼接过程中表面积的变化本讲着重介绍求立体图形的表面积的方法,其中之一是三视图法,并介绍了立体图形在粘贴、分割过程中表面积的变化规律，要引导学生做好总结．如右图，长方体共有六个面（每个面都是长方形），八个顶点，十二条棱．1．在六个面中，两个对面是全等的，即三组对面两两全等．（叠放在一起能够完全重合的两个图形称为全等图形．）2．长方体的表面积和体积的计算公式是： 长方体的表面积：S长方体=2（ab +bc +ac ）； 长方体的体积：V 长方体=abc ．3．正方体是各棱相等的长方体，它是长方体的特例，它的六个面都是正方形．如果它的棱长为a ，那么：S正方体=6a 2，V 正方体=a 3．第8讲立体图形的表面积c b a HG FE D C B A分割后立体图形的表面积【例 1】如右图，有一个边长是5的立方体，如果它的左上方截去一个边分别是5，3，2的长方体，那么它的表面积减少了多少?【分析】原来正方体的表面积为5⨯5⨯6=150．现在立体图形的表面积减少了前后两个面中的部分面，它们的面积为(3⨯2)⨯2=12，所以减少的面积就是12．［拓展］如右图，在一个棱长为10的立方体上截取一个长为8，宽为3，高为2的小长方体，那么新的几何体的表面积是多少？［分析］我们从三个方向（前后、左右、上下）考虑，新几何体的表面积仍为原立方体的表面积：10⨯10⨯6=600．【例 2】如图，有一个边长为20厘米的大正方体，分别在它的角上、棱上、面上各挖掉一个大小相同的小立方体后，表面积变为2454平方厘米，那么挖掉的小立方体的边长是多少厘米？【分析】大立方体的表面积是20⨯20⨯6=2400平方厘米．在角上挖掉一个小正方体后，外面少了3个面，但里面又多出3个面；在棱上挖掉一个小正方体后，外面少了2个面，但里面多出4个面；在面上挖掉一个小正方体后，外面少了1个面，但里面多出5个面．所以，最后的情况是挖掉了三个小正方体，反而多出了6个面，可以计算出每个面的面积：（2454-2400）÷6=9平方厘米，说明小正方体的棱长是3厘米．［巩固］右图是一个边长为4厘米的正方体，分别在前后、左右、上下各面的中心位置挖去一个边长l 厘米的正方体，做成一种玩具．它的表面积是多少平方厘米?（图中只画出了前面、右面、上面挖去的正方体）［分析］原正方体的表面积是4⨯4⨯6=96(平方厘米)．每一个面被挖去一个边长是1厘米的正方形，同时又增加了5个边长是1厘米的正方体作为玩具的表面积的组成部分．总的来看，每一个面都增加了4个边长是1厘米的正方形．从而，它的表面积是：96+4⨯6=120平方厘米．【例 3】如右图，一个边长为3a厘米的正方体，分别在它的前后、左右、上下各面的中心位置挖去一个截口是边长为a厘米的正方形的长方体（都和对面打通）．如果这个镂空的物体的表面积为2592平方厘米，试求正方形截口a的边长．【分析】原来正方体的表面积为：6⨯3a⨯3a=6⨯9a2（平方厘米），六个边长为a的小正方形的面积为（减少部分）：6⨯a⨯a=6a2（平方厘米）；挖成的每个长方体空洞增加的侧面积为：a⨯a⨯4⨯2=8a2（平方厘米）；根据题意可得：54a2-6a2+3⨯8a2=2592，解得a2=36（平方厘米），故a=6厘米．［巩固］下图是一个棱长为2厘米的正方体，在正方体上表面的正中，向下挖一个棱长为1厘米的正方体小洞，接着在小洞的底面正中向下挖一个棱长为12厘米的正方形小洞，第三个正方形小洞的挖法和前两个相同为14厘米，那么最后得到的立体图形的表面积是多少平方厘米？［分析］我们仍然从3个方向考虑．平行于上下表面的各面面积之和：2⨯2⨯2=8（平方厘米）；左右方向、前后方向：2⨯2⨯4=16（平方厘米），1⨯1⨯4=4（平方厘米），12⨯12⨯4=1（平方厘米），1 4⨯14⨯4=14（平方厘米），这个立体图形的表面积为：816++4+1+14=1294（平方厘米）.【例 4】（《小学生数学报》邀请赛）从一个棱长为10厘米的正方形木块中挖去一个长10厘米、宽2厘米、高2厘米的小长方体，剩下部分的表面积是多少？(写出符合要求的全部答案)【分析】按图1所示沿一条棱挖，为592平方厘米；按图2所示在某一面上挖，为632平方厘米；按图3所示在某面上斜着挖，为648平方厘米；按图4所示挖通两个对面，为672平方厘米．图1 图2 图3 图4【例 5】如右图，一个正方体形状的木块，棱长l米，沿水平方向将它锯成3片，每片又锯成4长条，每条又锯成5小块，共得到大大小小的长方体60块．那么，这60块长方体表面积的和是多少平方米?【分析】我们知道每切一刀，多出的表面积恰好是原正方体的2个面的面积．现在一共切了(3-1)+(4-1)+(5-1)=9刀，而原正方体一个面的面积1⨯l=1(平方米)，所以表面积增加了9⨯2⨯1=18(平方米)．原来正方体的表面积为6⨯1=6(平方米)，所以现在的这些小长方体的表积之和为6+18=24(平方米)．［巩固］右图是一个表面被涂上红色的棱长为10厘米的正方体木块，如果把它沿虚线切成8个正方体，这些小正方体中没有被涂上红色的所有表面的面积和是多少平方厘米？［分析］10⨯10⨯6=600(平方厘米)．【例 6】右图是由27块小正方体构成的3⨯3⨯3的正方体．如果将其表面涂成红色，则在角上的8个小正方体有三面是红色的，最中央的小方块则一点红色也没有，其余18块小方块中，有12个两面是红的，6个一面是红的．这样两面有红色的小方块的数量是一面有红色的小方块的两倍，三面有红色的小方块的数量是一点红色也没有的小方块的八倍．问：由多少块小正方体构成的正方体，表面涂成红色后会出现相反的情况，即一面有红色的小方块的数量是两面有红色的小方块的两倍，一点红色也没有的小方块是三面有红色的小方块的八倍？【分析】对于由n3块小正方体构成的n⨯n⨯n正方体，三面涂有红色的有8块，两面涂有红色的有12⨯（n-2）块，一面涂有红色的有6⨯2(2)n-块．由题设条件，一点红色(2)n-块，没有涂色的有3也没有的小方块是三面涂有红色的小方块的八倍，即3n-=8⨯8，解得n=6．(2)［铺垫］（05年清华附培训试题）将一个表面积涂有红色的长方体分割成若干个棱长为1厘米的小正方体，其中一面都没有红色的小正方形只有3个，求原来长方体的表面积是多少平方厘米？［分析］长：3+1+1=5厘米；宽：1+1+1=3厘米；高：1+1+1=3厘米；所以原长方体的表面积是：（3⨯5+3⨯5+3⨯3）3⨯2=78平方厘米．组合立体图形的表面积【例 7】如右图所示，由三个正方体木块粘合而成的模型，它们的棱长分别为1米、2米、4米，要在表面涂刷油漆，如果大正方体的下面不涂油漆，则模型涂刷油漆的面积是多少平方米？【分析】44(112244)4100⨯+⨯+⨯+⨯⨯=(平方米)．［巩固］如图，在一个棱长为5分米的正方体上放一个棱长为4分米的小正方体，求这个立体图形的表面积．［分析］我们把上面的小正方体想象成是可以向下“压缩”的，“压缩”后我们发现：小正方体的上面与大正方体上面中的阴影部分合在一起，正好是大正方体的上面.这样这个立体图形的表面积就可以分成这样两部分：上下方向：大正方体的两个底面；四周方向(左右、前后方向)：小正方体的四个侧面，大正方体的四个侧面．上下方向：55250⨯⨯=(平方分米)；侧面：554100⨯⨯=(平方分米)，44464⨯⨯=(平方分米)．这个立体图形的表面积为：++=(平方分米)．5010064214【例 8】边长为1厘米的正方体，如图这样层层重叠放置，那么当重叠到第5层时，这个立体图形的表面积是多少平方厘米？【分析】 这个图形的表面积是俯视面、左视面、正视面得到的图形面积的2倍. 该立体图形的上下、左右、前后方向的表面面积都是15平方厘米，该图形的总表面积为90立方厘米．［拓展］ 按照上题的堆法一直堆到N 层(3N >)，要想使总表面积恰好是一个完全平方数，则N 的最小值是多少？［分析］ 每增加一层，每一个“大面”就增加到(1)2N N +个小面，总表面积是6个“大面”，所以就增加到3(1)N N +个小面，几何题变成数论题，问题转化为“3(1)N N +是一个完全平方数，N 的最小值是几(3)N >？”因为N 和1N +互质，所以N 和1N +必须有一个是完全平方数，一个是平方数的3倍，但1N +不能是平方数的3倍，因为如果1N +是平方数的3倍，设213,N n +=231N n =-此时N 被3除余2，不可能是完全平方数，所以N 是平方数的3倍，1N +是完全平方数，开始试验：当2313N =⨯=，不符合题意；当23212N =⨯=，113N +=，不是完全平方数；当23327N =⨯=，128N +=，不是完全平方数；当23448N =⨯=，149N +=，是完全平方数，所以N 的最小值是48，即堆到第48层时，总表面积是完全平方数，为23484984⨯⨯=.【例 9】 把19个棱长为1厘米的正方体重叠在一起，按右图中的方式拼成一个立体图形.，求这个立体图形的表面积．【分析】 从上下、左右、前后观察到的的平面图形如下面三图表示．因此，这个立体图形的表面积为：2个上面2+个左面2+个前面．上表面的面积为：9平方厘米，左表面的面积为：8平方厘米，前表面的面积为：10平方厘米．因此，这个立体图形的总表面积为：(9810)254++⨯=(平方厘米)．上下面 左右面前后面【例10】 要把12件同样的长a 、宽b 、高h 的长方体物品拼装成一件大的长方体，使打包后表面积最小，该如何打包？⑴当 b =2h 时，如何打包？⑵当 b <2h 时，如何打包？⑶当 b >2h 时，如何打包？【分析】 图2和图3正面的面积相同，侧面面积=正面周长⨯长方体长，所以正面的周长愈大表面积越大，图2的正面周长是8h +6b ，图3的周长是12h +4b .两者的周长之差为2（b -2h ）.当b =2h 时，图2和图3周长相等，可随意打包；当b <2h 时，按图2打包；当b >2h 时，按图3打包. 图3图2图1hba［巩固］ 用10块长5厘米，宽3厘米，高7厘米的长方体积木堆成一个长方体，这个长方体的表面积最小是多少?［分析］ 教师可以先提问：这个长方体的表面积最大是多少?为使表面积最大，要尽量保证10⨯2个7⨯5的面成为表面，想要做到这点很容易，只需将7⨯5面做底面，而后将10个长方体连排，衔接的面选用3⨯5的面（衔接的面将不能成为表面积），这样得到的长方体表面积最大．同样要想最小，可把7⨯5面做衔接的面，可得到10个长方体的 连排，但此时我们还可以再制造出衔接面，如图：此时增加了2个5⨯7的面，减少了10个3⨯7的面，总体来讲表面积减少了．表面积是：2⨯(7⨯15+15⨯10+10⨯7)=650(平方厘米)，所以这就是最小的表面积．［巩固］ 要把6件同样的长17、宽7、高3的长方体物品拼装成一件大的长方体，表面积最小是多少？ ［分析］ 考虑所有的包装方法，因为6=1⨯2⨯3，所以一共有两种拼接方式：第一种按长宽高1⨯1⨯6拼接，重叠面有三种选择，共3种包装方法.第二种按长宽高1⨯2⨯3拼接，有3个长方体并列方向的重叠面有三种选择，有2个长方体并列方向的重叠面剩下2种选择，一共有6种包装方法.其中表面积最小的包装方法如图所示，表面积为1034.【例11】 有一个棱长为 5cm 的正方体木块，从它的每个面看都有一个穿透的完全相同的孔(右上图)，求这个立体图形的内、外表面的总面积．【分析】 将此带孔的正方体看做由八个32228cm ⨯⨯=的正方体(8个顶点)和12个31cm 的正方体(12条棱)粘成的．每个正方体有两个面粘接，减少表面积24cm ，所以总的表面积为：2(46)8612412216(cm )⨯⨯+⨯-⨯=．［拓展］ 如图，用455个棱长为1 的小正方体粘成一个大的长方体，若拆下沿棱的小正方体，则余下371个小正方体，问：所堆成的大长方体的棱长各是多少？拆下沿棱的小正方体后的多面体的表面积是多少？［分析］ 设长方体棱长为分别为y z x 、、.，他们只能取正整数，则有： 4554(222)8455371x y z x y z ⨯⨯=⎧⎨-+-+-+=-⎩因为4555713=⨯⨯方程组的无序正整数解只有(5，7，13)，拆下沿棱的的小正方体后的多面体如图所示，首先计算突出在外面的6个平面，面积是2(11511335)206⨯⨯+⨯+⨯=再计算24个宽都是1的长条，面积是8(1135)152⨯++=，总面积为358.【例12】 如图，25块边长为1的正方体积木拼成一个几何体，表面积最小是多少？25块积木【分析】 当小积木互相重合的面最多时表面积最小.设想27块边长为1的正方形积木，当拼成一个333⨯⨯的正方体时，表面积最小，现在要去掉2块小积木，只有在两个角上各去掉一块小积木，或在同一个角去掉两块相邻的积木时，表面积不会增加，该几何体表面积为54.1.一个正方体木块，棱长是1米，沿着水平方向将它锯成2片，每片又锯成3长条，每条又锯成4小块，共得到大大小小的长方体24块，那么这24块长方体的表面积之和是多少？【分析】锯一次增加两个面，锯的总次数转化为增加的面数的公式为：锯的总次数⨯2=增加的面数．原正方体表面积：1⨯1⨯6=6（平方米），一共锯了（2-1）+（3-1）+（4-1）=6次6+1⨯1⨯2⨯6=18（平方米）．2.在一个棱长为50厘米的正方体木块，在它的八个角上各挖去一个棱长为5厘米的小正方体，问剩下的立体图形的表面积是多少？【分析】对于和长方体相关的立体图形表面积，一般从上下、左右、前后3个方向考虑．变化前后的表面积不变：50⨯50⨯6=15000（平方厘米）．3.右图是456⨯⨯正方体，如果将其表面涂成红色，那么其中一面、二面、三面被涂成红色的小正方体各有多少块？【分析】三面涂红色的只有8个顶点处的8个立方体；两面涂红色的在棱长处，共-⨯+-⨯+-⨯=块；(42)4(52)4(62)436一面涂红的表面中间部分：-⨯-⨯+-⨯-⨯+-⨯-⨯=块．(42)(52)2(42)(62)2(52)(62)2524.一个正方体的棱长为3厘米，在它的前、后、左、右、上、下各面中心各挖去一个棱长为1厘米的正方体做成一种玩具，求这个玩具的表面积.【分析】挖去六个小正方体后，大正方体的中心部分即与其主体脱离，这时得到的新玩具是镂空的.把这个玩具分成20部分，8个“角”和12条“梁”，每个“角”为棱长1厘米的小正方体，它外露部分的面积为：2133⨯=(平方厘米)，则8个“角”外露部分的面积为：3824⨯=(平方厘米)．每条“梁”为棱长1厘米的小正方体，它外露部分的面积为：2144⨯=(平方厘米)，则12条“梁”外露部分的面积为：41248+=(平方厘米)．⨯=(平方厘米)．这个玩具的表面积为：2448725.用棱长是1厘米的立方块拼成如右图所示的立体图形，问该图形的表面积是多少平方厘米?【分析】该图形的上、左、前三个方向的表面分别由9、7、7块正方形组成．该图形的表面积等于(977)246++⨯=个小正方形的面积，所以该图形表面积为46平方厘米．6.用6块右图所示（单位：cm）的长方体木块拼成一个大长方体，有许多种拼法，其中表面积最小的是多少平方厘米？最大是多少平方厘米？123【分析】要使表面积最小，需重叠的面积最大，如图⑴的拼接方式新的长方体长为5，宽为4，高为3，所以表面积为2⨯+⨯+⨯⨯=；要使表面积最大需重叠的面积最小，如图⑵所示，(343334)266(cm)长为18，宽为2，高为1，所以最大的表面积为2(18118212)2112(cm)⨯+⨯+⨯⨯=(1)(2)父亲的遗嘱从前，有一个老头，他临终时叫来五个儿子，对他们说：“孩子，我快要死了，临死前，我要给你们讲一个寓言，你们要用心听，听完后要解释给我听。
五年级上册数学试题-同步拓展讲练：组合图形的面积(解析版)人教版
组合图形的面积【精品】【使用说明】本讲义针对人教版本教材，适用于对基本概念掌握较好的学生。
旨在明确组合图形的意义，掌握用分割法、填补法和割补法求组合图形的面积。
在使用本讲义授课时，最重要的点是介绍求组合图形面积的方法——割补，结合具体的例题，讲解割补法的操作过程和要点，总结割补法求不规则组合图形的解题思路。
本节重点知识点：由几个简单图形组合而成的图形叫做组合图形。
由于没有现成的面积公式计算组合图形的面积，所以只能通过分割或填补的方式把不规则的组合图形变成规则的多边形，再利用多边形的面积公式计算面积。
例题精讲例题：李大爷家承包了如图所示的一块地，请你帮他计算一下这块地的面积。
（单位：米）【分析】【解答】【知识点】组合图形的面积【难度系数】1变式练习：【题目】【分析】【解答】【知识点】组合图形的面积【难度系数】1例题：如图，两个正方形的边长分别是8厘米和4厘米，则阴影部分的面积是（）平方厘米。
【分析】【解答】【知识点】组合图形的面积【难度系数】2变式练习：【题目】如图的阴影部分面积等于（）。
【分析】【解答】【知识点】组合图形的面积【难度系数】2例题：如图，平行四边形ABCD的边长BC=10，直角三角形BCE的直角边EC=8，已知阴影部分的面积比△EFC的面积大10，求CF的长。
【分析】【解答】【知识点】组合图形的面积【难度系数】3变式练习：【题目】图中长方形长6cm，宽4cm，已知阴影①比阴影②面积少3平方厘米，求EC的长。
【分析】【解答】【知识点】组合图形的面积【难度系数】2课堂总结：课后作业1、【分析】这次课我学习了组合图形求面积的方法。
求组合图形的面积，主旨思想是“转化”，即通过割补的手段把不规则的组合图形转变为规则的多边形，再进行面积计算。
我们在解题时要谨记这一点，结合图形的特征，选择合适的手段把不规则图形变为规则图形，计算面积。
【解答】【知识点】组合图形的面积【难度系数】12、【分析】【解答】【知识点】组合图形的面积【难度系数】23、如图所示，长方形ABCD的面积为36平方厘米，E、F、G分别为边AB、BC、CD的中点，H为AD边上任意一点，问阴影部分的面积是多少？【分析】【解答】【知识点】组合图形的面积【难度系数】3备选题目1、【分析】【解答】【知识点】组合图形的面积【难度系数】12、有一个长25米，宽20米的花坛，如果在这个花坛的四周修3米宽的小路（如图），小路的面积是多少平方米？【分析】【解答】【知识点】组合图形的面积【难度系数】23、如图，甲、乙两图形都是正方形，它们的边长分别是5厘米和6厘米。
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1. 掌握一些求不规则立体图形的表面积的方法.2. 理解立体图形在分割和拼接过程中表面积的变化本讲着重介绍求立体图形的表面积的方法,其中之一是三视图法,并介绍了立体图形在粘贴、分割过程中表面积的变化规律，要引导学生做好总结．如右图，长方体共有六个面（每个面都是长方形），八个顶点，十二条棱．1．在六个面中，两个对面是全等的，即三组对面两两全等．（叠放在一起能够完全重合的两个图形称为全等图形．）2．长方体的表面积和体积的计算公式是： 长方体的表面积：S长方体=2（ab +bc +ac ）； 长方体的体积：V 长方体=abc ．3．正方体是各棱相等的长方体，它是长方体的特例，它的六个面都是正方形．如果它的棱长为a ，那么：S正方体=6a 2，V 正方体=a 3．第8讲立体图形的表面积c b a HG FE D C B A分割后立体图形的表面积【例 1】如右图，有一个边长是5的立方体，如果它的左上方截去一个边分别是5，3，2的长方体，那么它的表面积减少了多少?【分析】原来正方体的表面积为5⨯5⨯6=150．现在立体图形的表面积减少了前后两个面中的部分面，它们的面积为(3⨯2)⨯2=12，所以减少的面积就是12．［拓展］如右图，在一个棱长为10的立方体上截取一个长为8，宽为3，高为2的小长方体，那么新的几何体的表面积是多少？［分析］我们从三个方向（前后、左右、上下）考虑，新几何体的表面积仍为原立方体的表面积：10⨯10⨯6=600．【例 2】如图，有一个边长为20厘米的大正方体，分别在它的角上、棱上、面上各挖掉一个大小相同的小立方体后，表面积变为2454平方厘米，那么挖掉的小立方体的边长是多少厘米？【分析】大立方体的表面积是20⨯20⨯6=2400平方厘米．在角上挖掉一个小正方体后，外面少了3个面，但里面又多出3个面；在棱上挖掉一个小正方体后，外面少了2个面，但里面多出4个面；在面上挖掉一个小正方体后，外面少了1个面，但里面多出5个面．所以，最后的情况是挖掉了三个小正方体，反而多出了6个面，可以计算出每个面的面积：（2454-2400）÷6=9平方厘米，说明小正方体的棱长是3厘米．［巩固］右图是一个边长为4厘米的正方体，分别在前后、左右、上下各面的中心位置挖去一个边长l 厘米的正方体，做成一种玩具．它的表面积是多少平方厘米?（图中只画出了前面、右面、上面挖去的正方体）［分析］原正方体的表面积是4⨯4⨯6=96(平方厘米)．每一个面被挖去一个边长是1厘米的正方形，同时又增加了5个边长是1厘米的正方体作为玩具的表面积的组成部分．总的来看，每一个面都增加了4个边长是1厘米的正方形．从而，它的表面积是：96+4⨯6=120平方厘米．【例 3】如右图，一个边长为3a厘米的正方体，分别在它的前后、左右、上下各面的中心位置挖去一个截口是边长为a厘米的正方形的长方体（都和对面打通）．如果这个镂空的物体的表面积为2592平方厘米，试求正方形截口a的边长．【分析】原来正方体的表面积为：6⨯3a⨯3a=6⨯9a2（平方厘米），六个边长为a的小正方形的面积为（减少部分）：6⨯a⨯a=6a2（平方厘米）；挖成的每个长方体空洞增加的侧面积为：a⨯a⨯4⨯2=8a2（平方厘米）；根据题意可得：54a2-6a2+3⨯8a2=2592，解得a2=36（平方厘米），故a=6厘米．［巩固］下图是一个棱长为2厘米的正方体，在正方体上表面的正中，向下挖一个棱长为1厘米的正方体小洞，接着在小洞的底面正中向下挖一个棱长为12厘米的正方形小洞，第三个正方形小洞的挖法和前两个相同为14厘米，那么最后得到的立体图形的表面积是多少平方厘米？［分析］我们仍然从3个方向考虑．平行于上下表面的各面面积之和：2⨯2⨯2=8（平方厘米）；左右方向、前后方向：2⨯2⨯4=16（平方厘米），1⨯1⨯4=4（平方厘米），12⨯12⨯4=1（平方厘米），1 4⨯14⨯4=14（平方厘米），这个立体图形的表面积为：816++4+1+14=1294（平方厘米）.【例 4】（《小学生数学报》邀请赛）从一个棱长为10厘米的正方形木块中挖去一个长10厘米、宽2厘米、高2厘米的小长方体，剩下部分的表面积是多少？(写出符合要求的全部答案)【分析】按图1所示沿一条棱挖，为592平方厘米；按图2所示在某一面上挖，为632平方厘米；按图3所示在某面上斜着挖，为648平方厘米；按图4所示挖通两个对面，为672平方厘米．图1 图2 图3 图4【例 5】如右图，一个正方体形状的木块，棱长l米，沿水平方向将它锯成3片，每片又锯成4长条，每条又锯成5小块，共得到大大小小的长方体60块．那么，这60块长方体表面积的和是多少平方米?【分析】我们知道每切一刀，多出的表面积恰好是原正方体的2个面的面积．现在一共切了(3-1)+(4-1)+(5-1)=9刀，而原正方体一个面的面积1⨯l=1(平方米)，所以表面积增加了9⨯2⨯1=18(平方米)．原来正方体的表面积为6⨯1=6(平方米)，所以现在的这些小长方体的表积之和为6+18=24(平方米)．［巩固］右图是一个表面被涂上红色的棱长为10厘米的正方体木块，如果把它沿虚线切成8个正方体，这些小正方体中没有被涂上红色的所有表面的面积和是多少平方厘米？［分析］10⨯10⨯6=600(平方厘米)．【例 6】右图是由27块小正方体构成的3⨯3⨯3的正方体．如果将其表面涂成红色，则在角上的8个小正方体有三面是红色的，最中央的小方块则一点红色也没有，其余18块小方块中，有12个两面是红的，6个一面是红的．这样两面有红色的小方块的数量是一面有红色的小方块的两倍，三面有红色的小方块的数量是一点红色也没有的小方块的八倍．问：由多少块小正方体构成的正方体，表面涂成红色后会出现相反的情况，即一面有红色的小方块的数量是两面有红色的小方块的两倍，一点红色也没有的小方块是三面有红色的小方块的八倍？【分析】对于由n3块小正方体构成的n⨯n⨯n正方体，三面涂有红色的有8块，两面涂有红色的有12⨯（n-2）块，一面涂有红色的有6⨯2(2)n-块．由题设条件，一点红色(2)n-块，没有涂色的有3也没有的小方块是三面涂有红色的小方块的八倍，即3n-=8⨯8，解得n=6．(2)［铺垫］（05年清华附培训试题）将一个表面积涂有红色的长方体分割成若干个棱长为1厘米的小正方体，其中一面都没有红色的小正方形只有3个，求原来长方体的表面积是多少平方厘米？［分析］长：3+1+1=5厘米；宽：1+1+1=3厘米；高：1+1+1=3厘米；所以原长方体的表面积是：（3⨯5+3⨯5+3⨯3）3⨯2=78平方厘米．组合立体图形的表面积【例 7】如右图所示，由三个正方体木块粘合而成的模型，它们的棱长分别为1米、2米、4米，要在表面涂刷油漆，如果大正方体的下面不涂油漆，则模型涂刷油漆的面积是多少平方米？【分析】44(112244)4100⨯+⨯+⨯+⨯⨯=(平方米)．［巩固］如图，在一个棱长为5分米的正方体上放一个棱长为4分米的小正方体，求这个立体图形的表面积．［分析］我们把上面的小正方体想象成是可以向下“压缩”的，“压缩”后我们发现：小正方体的上面与大正方体上面中的阴影部分合在一起，正好是大正方体的上面.这样这个立体图形的表面积就可以分成这样两部分：上下方向：大正方体的两个底面；四周方向(左右、前后方向)：小正方体的四个侧面，大正方体的四个侧面．上下方向：55250⨯⨯=(平方分米)；侧面：554100⨯⨯=(平方分米)，44464⨯⨯=(平方分米)．这个立体图形的表面积为：++=(平方分米)．5010064214【例 8】边长为1厘米的正方体，如图这样层层重叠放置，那么当重叠到第5层时，这个立体图形的表面积是多少平方厘米？【分析】 这个图形的表面积是俯视面、左视面、正视面得到的图形面积的2倍. 该立体图形的上下、左右、前后方向的表面面积都是15平方厘米，该图形的总表面积为90立方厘米．［拓展］ 按照上题的堆法一直堆到N 层(3N >)，要想使总表面积恰好是一个完全平方数，则N 的最小值是多少？［分析］ 每增加一层，每一个“大面”就增加到(1)2N N +个小面，总表面积是6个“大面”，所以就增加到3(1)N N +个小面，几何题变成数论题，问题转化为“3(1)N N +是一个完全平方数，N 的最小值是几(3)N >？”因为N 和1N +互质，所以N 和1N +必须有一个是完全平方数，一个是平方数的3倍，但1N +不能是平方数的3倍，因为如果1N +是平方数的3倍，设213,N n +=231N n =-此时N 被3除余2，不可能是完全平方数，所以N 是平方数的3倍，1N +是完全平方数，开始试验：当2313N =⨯=，不符合题意；当23212N =⨯=，113N +=，不是完全平方数；当23327N =⨯=，128N +=，不是完全平方数；当23448N =⨯=，149N +=，是完全平方数，所以N 的最小值是48，即堆到第48层时，总表面积是完全平方数，为23484984⨯⨯=.【例 9】 把19个棱长为1厘米的正方体重叠在一起，按右图中的方式拼成一个立体图形.，求这个立体图形的表面积．【分析】 从上下、左右、前后观察到的的平面图形如下面三图表示．因此，这个立体图形的表面积为：2个上面2+个左面2+个前面．上表面的面积为：9平方厘米，左表面的面积为：8平方厘米，前表面的面积为：10平方厘米．因此，这个立体图形的总表面积为：(9810)254++⨯=(平方厘米)．上下面 左右面前后面【例10】 要把12件同样的长a 、宽b 、高h 的长方体物品拼装成一件大的长方体，使打包后表面积最小，该如何打包？⑴当 b =2h 时，如何打包？⑵当 b <2h 时，如何打包？⑶当 b >2h 时，如何打包？【分析】 图2和图3正面的面积相同，侧面面积=正面周长⨯长方体长，所以正面的周长愈大表面积越大，图2的正面周长是8h +6b ，图3的周长是12h +4b .两者的周长之差为2（b -2h ）.当b =2h 时，图2和图3周长相等，可随意打包；当b <2h 时，按图2打包；当b >2h 时，按图3打包. 图3图2图1hba［巩固］ 用10块长5厘米，宽3厘米，高7厘米的长方体积木堆成一个长方体，这个长方体的表面积最小是多少?［分析］ 教师可以先提问：这个长方体的表面积最大是多少?为使表面积最大，要尽量保证10⨯2个7⨯5的面成为表面，想要做到这点很容易，只需将7⨯5面做底面，而后将10个长方体连排，衔接的面选用3⨯5的面（衔接的面将不能成为表面积），这样得到的长方体表面积最大．同样要想最小，可把7⨯5面做衔接的面，可得到10个长方体的 连排，但此时我们还可以再制造出衔接面，如图：此时增加了2个5⨯7的面，减少了10个3⨯7的面，总体来讲表面积减少了．表面积是：2⨯(7⨯15+15⨯10+10⨯7)=650(平方厘米)，所以这就是最小的表面积．［巩固］ 要把6件同样的长17、宽7、高3的长方体物品拼装成一件大的长方体，表面积最小是多少？ ［分析］ 考虑所有的包装方法，因为6=1⨯2⨯3，所以一共有两种拼接方式：第一种按长宽高1⨯1⨯6拼接，重叠面有三种选择，共3种包装方法.第二种按长宽高1⨯2⨯3拼接，有3个长方体并列方向的重叠面有三种选择，有2个长方体并列方向的重叠面剩下2种选择，一共有6种包装方法.其中表面积最小的包装方法如图所示，表面积为1034.【例11】 有一个棱长为 5cm 的正方体木块，从它的每个面看都有一个穿透的完全相同的孔(右上图)，求这个立体图形的内、外表面的总面积．【分析】 将此带孔的正方体看做由八个32228cm ⨯⨯=的正方体(8个顶点)和12个31cm 的正方体(12条棱)粘成的．每个正方体有两个面粘接，减少表面积24cm ，所以总的表面积为：2(46)8612412216(cm )⨯⨯+⨯-⨯=．［拓展］ 如图，用455个棱长为1 的小正方体粘成一个大的长方体，若拆下沿棱的小正方体，则余下371个小正方体，问：所堆成的大长方体的棱长各是多少？拆下沿棱的小正方体后的多面体的表面积是多少？［分析］ 设长方体棱长为分别为y z x 、、.，他们只能取正整数，则有： 4554(222)8455371x y z x y z ⨯⨯=⎧⎨-+-+-+=-⎩因为4555713=⨯⨯方程组的无序正整数解只有(5，7，13)，拆下沿棱的的小正方体后的多面体如图所示，首先计算突出在外面的6个平面，面积是2(11511335)206⨯⨯+⨯+⨯=再计算24个宽都是1的长条，面积是8(1135)152⨯++=，总面积为358.【例12】 如图，25块边长为1的正方体积木拼成一个几何体，表面积最小是多少？25块积木【分析】 当小积木互相重合的面最多时表面积最小.设想27块边长为1的正方形积木，当拼成一个333⨯⨯的正方体时，表面积最小，现在要去掉2块小积木，只有在两个角上各去掉一块小积木，或在同一个角去掉两块相邻的积木时，表面积不会增加，该几何体表面积为54.1.一个正方体木块，棱长是1米，沿着水平方向将它锯成2片，每片又锯成3长条，每条又锯成4小块，共得到大大小小的长方体24块，那么这24块长方体的表面积之和是多少？【分析】锯一次增加两个面，锯的总次数转化为增加的面数的公式为：锯的总次数⨯2=增加的面数．原正方体表面积：1⨯1⨯6=6（平方米），一共锯了（2-1）+（3-1）+（4-1）=6次6+1⨯1⨯2⨯6=18（平方米）．2.在一个棱长为50厘米的正方体木块，在它的八个角上各挖去一个棱长为5厘米的小正方体，问剩下的立体图形的表面积是多少？【分析】对于和长方体相关的立体图形表面积，一般从上下、左右、前后3个方向考虑．变化前后的表面积不变：50⨯50⨯6=15000（平方厘米）．3.右图是456⨯⨯正方体，如果将其表面涂成红色，那么其中一面、二面、三面被涂成红色的小正方体各有多少块？【分析】三面涂红色的只有8个顶点处的8个立方体；两面涂红色的在棱长处，共-⨯+-⨯+-⨯=块；(42)4(52)4(62)436一面涂红的表面中间部分：-⨯-⨯+-⨯-⨯+-⨯-⨯=块．(42)(52)2(42)(62)2(52)(62)2524.一个正方体的棱长为3厘米，在它的前、后、左、右、上、下各面中心各挖去一个棱长为1厘米的正方体做成一种玩具，求这个玩具的表面积.【分析】挖去六个小正方体后，大正方体的中心部分即与其主体脱离，这时得到的新玩具是镂空的.把这个玩具分成20部分，8个“角”和12条“梁”，每个“角”为棱长1厘米的小正方体，它外露部分的面积为：2133⨯=(平方厘米)，则8个“角”外露部分的面积为：3824⨯=(平方厘米)．每条“梁”为棱长1厘米的小正方体，它外露部分的面积为：2144⨯=(平方厘米)，则12条“梁”外露部分的面积为：41248+=(平方厘米)．⨯=(平方厘米)．这个玩具的表面积为：2448725.用棱长是1厘米的立方块拼成如右图所示的立体图形，问该图形的表面积是多少平方厘米?【分析】该图形的上、左、前三个方向的表面分别由9、7、7块正方形组成．该图形的表面积等于(977)246++⨯=个小正方形的面积，所以该图形表面积为46平方厘米．6.用6块右图所示（单位：cm）的长方体木块拼成一个大长方体，有许多种拼法，其中表面积最小的是多少平方厘米？最大是多少平方厘米？123【分析】要使表面积最小，需重叠的面积最大，如图⑴的拼接方式新的长方体长为5，宽为4，高为3，所以表面积为2⨯+⨯+⨯⨯=；要使表面积最大需重叠的面积最小，如图⑵所示，(343334)266(cm)长为18，宽为2，高为1，所以最大的表面积为2(18118212)2112(cm)⨯+⨯+⨯⨯=(1)(2)父亲的遗嘱从前，有一个老头，他临终时叫来五个儿子，对他们说：“孩子，我快要死了，临死前，我要给你们讲一个寓言，你们要用心听，听完后要解释给我听。