质点运动的描述

路程 标量
t s
ds lim s t0
s
ds= drv
相同 不同
1.1 质点运动的描述
第1章 质点运动学
四 速度
1 平均速度
在t 时间内, 质点从点
A 运动到点 B, 其位移为


y
r (t

t)
B
s r
r r(t t) r(t)
A
tv时间内r, 质点x的i平均y速j度 o
av vv
av
与
vv
t
同方向
.
2（瞬时）加速度
av lim vv dvv t0 t dt
y vvA
vvB
B
A
O
x
vvA
vv
vvB
1.1 质点运动的描述
第1章 质点运动学
五 加速度
加速度 av
dvv dt
d2rv dt 2

d2x dt 2
v i
d2 y dt 2
➢ 常见的坐标系：直角坐标系，极坐标系，自然 坐标系，球坐标系，柱坐标系等.
1.1 质点运动的描述
第1章 质点运动学
一 质点 参考系 坐标系
y
5
第二象限 4
3
2
1
第一象限
-4 -3 -2 -1 0 -1
-2
第三象限 -3
-4
x 1 2 3 4 5
第四象限
直角坐标系
M ,


O
M x
极坐标系
x0
0 (v0 at)dt
x
=
x0

v0t

1 2
at 2
1.1 质点运动的描述
第1章 质点运动学
例 3 一质点沿 x 轴运动，其加速度 a c.x设当
t 0 时质点静止不动，且离原点的距离为A，求质
点的的运动方程.
解： 设质点在 x 处的速度为v
a = dv dv dx v dv cx

式中 i、j 、k 分别为x、y、z 方向的单位矢量.
位矢r的模为 r rv x2 y2 z2
1.1 质点运动的描述
第1章 质点运动学
二 位置矢量与运动方程
r 位矢 的方向余弦
cos x r
cos y r
cos z r
r(t)
2

运动方程 x(t)i y(t
➢已知质点的运动方程，求质点在任一时刻的位 矢、速度和加速度；
➢已知质点的加速度以及初始速度和初始位置, 求质点的速度及其运动方程 .
r(t) 求导 vv(t) 求导 a(t)
积分
积分
1.1 质点运动的描述
第1章 质点运动学
1.1 质点运动的描述
第1章 质点运动学
例 1 一个质点的运动学方程为 x =( t3 -3t2 -9t+5) m. (1) 试分析质点的运动类型； (2) 求质点沿 x 轴正方向运动和沿x 轴负方向运
n
A
n

B
自然坐标系
z
M
r
O Ax xy
z y
P
球极坐标系
柱面坐标系
1.1 质点运动的描述
第1章 质点运动学
二 位置矢量与运动方程
1 位置矢量
y
确定质点P某一时刻在
坐位标置系矢里 量的, 简位称置位的矢物理r量. 称
r
xi
yj
zk
y
j
r
*P
z
o
i
kx
x
z
当 t 0 时，dr ds
v
ds dt
et
y
r (t

t)
B s
r
A
o
r(t) x
当质点做曲线运动时，质点在某一点的速度方向
就是沿该点曲线的切线方向 .
1.1 质点运动的描述
第1章 质点运动学
五 加速度 （反映速度变化快慢的物理量）
1 平均加速度
单位时间内的速度增
量即平均加速度
1.1 质点运动的描述
第1章 质点运动学
一 质点 参考系 坐标系 2 参考系 为描述物体的运动而选择的参考物叫做参考系.
➢ 选取的参考系不同，对物体运动情况的描述不 同，这就是运动描述的相对性.
3 坐标系
坐标系——是对参考系的数学表述，为定量地描述物体运动而引入。
➢ 参考系选定后，不论选择何种坐标系，物体运 动性质不变.
y
s
P r 1 (x1, y1, z1)

决定于质点的始末位置. B）反映了运动的矢量
r (t1)
r(t2 )
性和叠加性.
rv

rv2

v
rv1
v
v
=xi yj zk
O
z
r=r2 r1
P2 (x2, y2, z2)
x
rv x2y2z2
= x22 y22 z22 x12 y12 z12
1.1 质点运动的描述
三 位移
第1章 质点运动学
讨论
标/矢量 t / t
符号
位置矢量 矢量 t
rv
大小
rv
同一惯性系但不同坐标系 不同惯性系
不同 不同
位移 矢量
t rv
drv lim rv t0 rv r
drv dr lim r t0 相同 不同
动的时间段； (3) 从t1=1到t2=4s时间间隔内质点的位移、路程、
平均速度和平均速率.
解： (1) v dx (3t2 6t 9)m s1 dt
a dv (6t 6)m s2 dt
由此可知，质点作变加速直线运动
1.1 质点运动的描述
第1章 质点运动学
(2) 由 v [3(t 1)(t 3)]m s1 可知 当 0 t 3 时，v 0 ，质点沿x轴负方向运动 当 t 3 时，v 0 , 质点沿 x轴正方向运动
r(t)
x
或
vtvxit
vy
t j
平均速度 vv 与 r同方向.
平均速度大小 v (x)2 (y)2 t t
1.1 质点运动的描述
第1章 质点运动学
四 速度
2 瞬时速度
当 t 0 时平均速度的极限值叫做瞬时速度，
简称速度
vv lim rv drv t0 t dt
(3) x x2 x1=x(t2 ) x(t2 ) 9.0m
s t2 v dt t1
3(3t2 6t 9)dt 4(3t2 6t 9)dt
1
3
23m
vx
=
x t

3m

s1
v = s 23 7.7m s1 t 3
dt dx dt
dx
v
x
0 vdv c0 xdx
因而有 v = dx c( A2 x2 ) dt
分离变量，积分得 x A cos( ct)
rvA A
r rvB
B yB yA
o
xA
xB x
xB xA
把 到由B经始的过点位时移A间指矢间向量隔终, 点简称tB后位的, 移有质.向点线位r段置矢rr量B 称发为生rA点变化A ,
1.1 质点运动的描述
第1章 质点运动学
三 位移
位移的物理意义
A) 确切反映物体在空间 位置的变化, 与路径无关，只
v jd2z dt 2Fra bibliotekv k

dvx
v i

dv y
v j
dvz
v k
dt dt dt
vvv axi ay j azk
vvA
avx avy avz
vv
vvB
讨论
vv v 吗？
av a dv 吗？
dt
1.1 质点运动的描述
六 质点运动学的两类问题
第1章 质点运动学
)
j
z
(t)k
z
y
r P
o x
y
x x(t) 分量式 y y(t)
y(t)
r(t)
z z(t)
从中消去参数 t 得轨迹方程
o
z(t)
x(t)
x
f (x, y, z) 0
z
1.1 质点运动的描述
第1章 质点运动学
三 位移
y

rvA A
r rvB
B
o
x
y
yB yA
1.1 质点运动的描述
第1章 质点运动学
例2 质点以加速度 a（常量） 在 x 轴上运动，开始
时速度为 v0 ，位于x0处，求质点任意时刻的速度和
位置. 解：
由
a dv
dt
可得 dv adt
v
t
dv adt
v0
0
v v0 at
由 v dx 可得 dt
x
t
dx
1.1 质点运动的描述
第1章 质点运动学
一 质点 参考系 坐标系
1 质点
如果我们研究某一物体的运动，而可以忽略其 大小和形状对物体运动的影响，若不涉及物体的转 动和形变，我们就可以把物体当作是一个具有质量 的点（即质点）来处理 .
➢ 物体能否抽象为质点，视具体情况而定．
➢ 质点是经过科学抽象而形成的理想化的物理模 型 . 目的是为了突出研究对象的主要性质 , 暂不考 虑一些次要的因素 , 这将使所研究的问题大大简化 .