江苏省南通市高考数学二轮冲刺小练(37)

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导数大题拔高练-高考数学重点专题冲刺演练(原卷版)

导数大题拔高练-新高考数学复习分层训练（新高考通用）1．（2023春·湖南长沙·高三长沙一中校考阶段练习）已知函数()1e ln ax f x x x-=+，a ∈R ．(1)当1a =时，求函数()f x x -的最小值；(2)若函数()f x x 的最小值为a ，求a 的最大值．2．（2023春·浙江杭州·高三浙江省杭州第二中学校考开学考试）已知函数()(π)sin b f x a x x =--，[π,)x ∈+∞(1)1b =时，若()0f x ≤恒成立，求a 的取值范围；(2)12b =，()f x 在3π,π2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有极值点0x ，求证：00()πf x x +>．3．（2023秋·浙江宁波·高三期末）已知函数1()ln ,0f x x k x k x ⎛⎫=--> ⎪⎝⎭.(1)当3k =时，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程；(2)若对()()0,1,0x f x ∀∈<恒成立，求k 的取值范围；(3)求证：对(0,1)x ∀∈，不等式22e 11ln x x x x x-<+恒成立.4．（2023秋·广东茂名·高三统考阶段练习）已知0a >，函数()e x f x x a =-，()ln g x x x a =-.(1)证明：函数()f x ，()g x 都恰有一个零点；(2)设函数()f x 的零点为1x ，()g x 的零点为2x ，证明12x x a =.5．（2023春·广东·高三统考开学考试）已知函数()()2ln 2R f x a x x a a x=+++∈．(1)证明函数()f x 有唯一极小值点；(2)若e 04a <<，求证：()e 2x f x x x +<+．6．（2023秋·江苏苏州·高三苏州中学校考阶段练习）已知函数()sin ()cos f x x x a x =-+（a 为常数），函数3211()32g x x ax =+.(1)证明：（i ）当0x >时，sin x x >；（ii ）当0x <时，sin x x <；(2)证明：当0a ≥时，曲线()y f x =与曲线()y g x =有且只有一个公共点.7．（2023·山西朔州·怀仁市第一中学校校考二模）已知函数()ln a f x x x=+．(1)讨论函数()f x 的单调性；(2)令()()()2ln ln g x f x x x x =+--,若0x 是函数()g x 的一个极值点,且()02g x =-,求实数a 的值．8．（2023·江苏·高三专题练习）已知函数()ln m x n f x x+=在()()1,1f 处的切线方程为1y =.(1)求实数m 和n 的值；(2)已知()(),A a f a ，()(),B b f b 是函数()f x 的图象上两点，且()()f a f b =，求证：()()ln ln 1a b ab +<+.9．（2023秋·吉林松原·高三前郭尔罗斯县第五中学校考期末）已知函数()21e 12ax f x ax x =---．(1)当1a ≥时，证明：对任意的0x ≥，都有()0f x ≥；(2)证明：()()**112ln 1ln 2,nk n n k n k =>+-∈∈∑N N ．10．（2023春·黑龙江哈尔滨·高三哈尔滨市第五中学校校考开学考试）已知函数2()ln 2x f x x =-，()(1)g x k x =-+.（1）求函数()f x 的单调递减区间；（2）若存在01x >，当()01,x x ∈时，1()()2f xg x +>，求实数k 的取值范围.11．（2023·黑龙江·黑龙江实验中学校考一模）设函数()()()e 2,x f x ax x a =--∈R .(1)若曲线()y f x =在点()()22f ,处的切线斜率为2e ，求a 的值；(2)若()f x 存在两个极值点()1212,x x x x <，且对任意[]()20,,0x x f x ∈<恒成立，求实数a 的取值范围.12．（2023春·安徽·高三校联考开学考试）已知函数()()2e x f x x -=-．(1)求()f x 的单调区间；(2)若a ，b 为两个不相等的实数，且满足()e e 2e e b a b a a b -=-，求证：6a b +>．13．（2023春·安徽亳州·高三校考阶段练习）已知函数32()61()f x x ax x a =+-+∈R ，且(1)6f '=-．(1)求函数()f x 的图象在点(1,(1))f 处的切线方程；(2)若函数()()g x f x m =-在区间[2,4]-上有三个零点，求实数m 的取值范围．14．（2023·安徽安庆·统考二模）已知函数()21ln e x f x a x bx -=+，a ，b ∈R .e 2.71828≈ .(1)若曲线()y f x =在点()()22f ,处的切线方程是ln 2y x =+，求a 和b 的值；(2)若e a =，且()f x 的导函数()f x '恰有两个零点，求b 的取值范围.15．（2023·重庆沙坪坝·重庆南开中学校考一模）设21()sin 2f x x x x =-+．（1）当0x ≥时，求证：()0f x ≥；（2）证明：对一切正整数n ，都有2222111111sin1sin sin sin sin 23422(1)n n +++++>-+ ．16．（2023春·重庆沙坪坝·高三重庆八中校考阶段练习）已知函数21()ln 2f x x kx x =-+(1)讨论函数()f x 的单调性；(2)若()f x 有两个极值点12,x x ，证明：212()()22k f x f x -<-17．（2023春·重庆渝中·高三重庆巴蜀中学校考阶段练习）已知函数()(0,1)x f x a a a =>≠在点()()11,A x f x 处的切线为1l ：11y k x b =+，函数()log (0,1)a g x x a a =>≠在点()()22,B x g x 处的切线为2l ：22y k x b =+.(1)若1l ，2l 均过原点，求这两条切线斜率之间的等量关系.(2)当e a =时，若12l l ∥，此时12b b -的最大值记为m ，证明：53ln 22m -<<.18．（2023·辽宁·校联考模拟预测）已知函数()e 3x f x x =+．(1)求()f x 在()3,-+∞上的极值；(2)若()()213,,32x ax x f x ∀∈-+∞≤-，求a 的最小值．19．（2023秋·江苏扬州·高三校考期末）已知函数()e 1ln x k f x x x+=+，其中0k ≥．(1)求函数()f x 的最小值；(2)证明：()11ln *,221n n n n ++>-∈≥+N ．20．（2023·辽宁沈阳·统考一模）已知()()()2212ln 212f x x x x a x a x ⎛⎫=-+-+- ⎪⎝⎭，0a >．(1)讨论()f x 的单调性；(2)若()f x 有两个零点，求a 的值．21．（2023·辽宁抚顺·统考模拟预测）已知函数2()()2ln f x x a x =++．(1)讨论函数()f x 的单调性；(2)若函数()f x 有两个极值点1x ，2x ，且12x x <，求证：()122x f x x <<．22．（2023秋·河北唐山·高三唐山市丰南区第一中学校考期末）已知函数()()2ln 0f x x x a x a =-->.(1)求()f x 的单调区间；(2)①若()0f x ≥，求实数a 的值；②设*n ∈N ，求证：()2111111ln 124n n n ⎛⎫⎛⎫++++++>+ ⎪⎝⎭⎝⎭ .23．（2023秋·河北衡水·高三河北衡水中学校考期末）已知函数()11e ln -=-+kx f x x kx x.(1)求证：()0f x ≥；(2)若()0,x ∀∈+∞，都()211e ≥+f x ，求k 满足的取值范围．24．（2023春·河北保定·高三校考阶段练习）已知函数()2ln f x ax x =-.(1)讨论()f x 的单调性；(2)设函数()2g x x =-，若对于任意31,e x ⎡⎤∈⎣⎦，都有()()f x g x ≥，求a 的取值范围.25．（2023秋·福建厦门·高三厦门外国语学校校考期末）已知函数()()2ex f x x x b =--(1)讨论函数()f x 的单调性(2)若()f x 有两个极值点1212,()x x x x >，且()()213,ef x f x ≥，求b 的取值范围26．（2023·山东枣庄·统考二模）已知函数()e sin x f x x x =-．(1)当π2x ≤时，求证：()0f x ≥；(2)当0x >时，函数()f x 的零点从小到大依次排列，记为{}()*n x n ∈N 证明：（i ）1sin sin n n x x +>；（ii ）212π2πn n x n x -+<<.27．（2023秋·湖北十堰·高三统考阶段练习）已知函数()()21e x f x x m x nx m=--+，且曲线()y f x =在0x =处的切线为=2y -.(1)求m ，n 的值和()f x 的单调区间；(2)若()()()()123123f x f x f x x x x ==<<，证明：120x x +>.28．（2023秋·湖北·高三湖北省云梦县第一中学校联考期末）已知函数()()ln 3(R)f x x a x x a a =--+-∈．(1)若0a =，求()f x 的极小值．(2)讨论函数()f x '的单调性；(3)当2a =时，证明：()f x 有且只有2个零点．29．（2023秋·湖南长沙·高三长沙一中校考阶段练习）已知函数()()e R x f x ax a =-∈，()πe cos 2x g x x =+.(1)若()0f x ≥，求a 的取值范围；(2)求函数()g x 在()0,∞+上的单调性；(3)求函数()()21e sinπ1x h x g x x -=--⎡⎤⎣⎦在()0,∞+上的零点个数.30．（2023·江苏泰州·泰州中学校考一模）已知函数e 1()e 1x x f x -=+（e 为自然对数的底数）.(1)若不等式e 1()e 1f x ->+恒成立，求实数x 的取值范围；(2)若不等式1()ln 23f x ax a <+-在(ln 2,)x ∈+∞上恒成立，求实数a 的取值范围.。

2019高考数学(理)通用版二轮精准提分课件：第二篇+第14练空间点、线、面的位置关系

则过B，E，F的平面截该正方体所得的截面周长为
√
A.6 2＋4 5 C.3 2＋4 5
B.6 2＋2 5 D.3 2＋2 5
解析
答案
10.如图，四边形ABCD中，AB＝AD＝CD＝1，BD＝ 2，BD⊥CD.将四边形ABCD沿对角线BD拆成四面体A′－BCD，使平面A′BD⊥平面BCD，则下列结论正确的是 A.A′C⊥BD B.∠BA′C＝90° √ C.CA′与平面A′BD所成的角为30°解析答案源自2.给出下列命题：√
π 0 ， C. 2
解析
答案
12. 如图，已知六棱锥 P － ABCDEF 的底面是正六边形， PA⊥ 平面 ABC ，
PA＝2AB，
则下列结论中：①PB⊥AE ；②平面 ABC⊥ 平面 PBC ；③直线 BC∥ 平面 PAE；④∠PDA＝45°. ①④ 把所有正确的序号都填上). 正确的为______(
1 D.四面体A′－BCD的体积为 3
解析
答案
11.在矩形 ABCD 中，AB＝ 3，BC＝1，将△ABC 与△ADC 沿 AC 所在的直线进行随意翻折，在翻折过程中直线 AD 与直线 BC 所成的角的范围(包含初始状态)为
π A.0，6 π B.0，3 2π 0 ， D. 3
√
5 C. 5
2 D. 2
解析
答案
6.在我国古代数学名著《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑 .如图，在鳖臑ABCD中，AB⊥平面BCD，且AB＝BC＝CD，则异面直线AC与BD所成的角的余弦值为
√
1 A.2
1 B.－2
3 C. 2
3 D.－ 2

高考数学二轮专项练习专题三等差数列、等比数列

专题强化训练1．(2019·浙江新高考冲刺卷)已知等差数列{a n }，S n 是{a n }的前n 项和，则对于任意的n ∈N *，“a n >0”是“S n >0”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A.对于任意的n ∈N *，“a n >0”，能推出“S n >0”，是充分条件，反之，不成立，比如：数列－3，－1，1，3，5，不满足条件，不是必要条件，故选A.2．(2018·浙江选考试卷)设数列{a n }的前n 项和为S n ，若S n ＋1＝2a n ＋1，n ∈N *，则a 3＝( ) A ．3 B ．2 C ．1D ．0解析：选B.S n ＋1＝2a n ＋1，n ∈N *，则n ＝1时，a 1＋a 2＝2a 1＋1，可得：a 2＝a 1＋1.n ＝2时，a 1＋a 2＋a 3＝2a 2＋1，可得：a 3＝2.故选B.3．“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献．十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于122.若第一个单音的频率为f ，则第八个单音的频率为( )A.32f B.322f C.1225fD.1227f解析：选 D.从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于122，第一个单音的频率为f ，由等比数列的概念可知，这十三个单音的频率构成一个首项为f ，公比为122的等比数列，记为{a n }，则第八个单音的频率为a 8＝f (122)8－1＝1227f ，故选D.4．(2019·长春质量检测(一))等差数列{a n }中，已知|a 6|＝|a 11|，且公差d >0，则其前n 项和取最小值时n 的值为 ( )A ．6B ．7C ．8D ．9解析：选C.由d >0可得等差数列{a n }是递增数列，又|a 6|＝|a 11|，所以－a 6＝a 11，即－a 1－5d ＝a 1＋10d ，所以a 1＝－15d 2，则a 8＝－d 2<0，a 9＝d2>0，所以前8项和为前n 项和的最小值，故选C.5．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 2＝12，a 3a 5＝4，则下列说法正确的是( ) A ．{a n }是单调递减数列B ．{S n }是单调递减数列C ．{a 2n }是单调递减数列D ．{S 2n }是单调递减数列解析：选C.由于{a n }是等比数列，则a 3a 5＝a 24＝4，又a 2＝12，则a 4＞0，a 4＝2，q 2＝16，当q ＝－66时，{a n }和{S n }不具有单调性，选项A 和B 错误；a 2n ＝a 2q 2n －2＝12×⎝⎛⎭⎫16n －1单调递减，选项C 正确；当q ＝－66时，{S 2n }不具有单调性，选项D 错误． 6．(2019·温州市高考数学模拟)已知{a n }是等差数列，其公差为非零常数d ，前n 项和为S n ，设数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 的前n 项和为T n ，当且仅当n ＝6时，T n 有最大值，则a 1d 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫－∞，－52 B ．(－3，＋∞) C.⎝⎛⎭⎫－3，－52 D ．(－∞，－3)∪⎝⎛⎭⎫－52，＋∞ 解析：选C.因为S n n ＝d 2n ＋(a 1－d2)，由题意知d <0，且⎩⎨⎧S 66＝a 1＋52d >0S 77＝a 1＋3d <0，得－3<a 1d <－52.7．(2019·杭州市第一次质量预测)已知数列{a n }满足a 1a 2a 3…a n ＝2n 2(n ∈N *)，且对任意n ∈N *都有1a 1＋1a 2＋…＋1a n<t ，则实数t 的取值范围为( )A ．(13，＋∞)B ．[13，＋∞)C ．(23，＋∞)D ．[23，＋∞)解析：选D.依题意得，当n ≥2时，a n ＝a 1a 2a 3…a n a 1a 2a 3…a n －1＝2n 22（n －1）2＝2n 2－(n －1)2＝22n －1，又a 1＝21＝22×1－1，因此a n ＝22n －1，1a n ＝122n －1，数列{1a n }是以12为首项，14为公比的等比数列，等比数列{1a n }的前n 项和等于12（1－14n ）1－14＝23(1－14n )<23，因此实数t 的取值范围是[23，＋∞)，选D.8．(2019·绍兴一中高考数学模拟)等差数列{a n }的公差d ∈(0，1)，且sin 2a 3－sin 2a 7sin （a 3＋a 7）＝－1，当n ＝10时，数列{a n }的前n 项和S n 取得最小值，则首项a 1的取值范围为( )A.⎝⎛⎭⎫－58π，－916π B.⎣⎡⎦⎤－58π，－916π C.⎝⎛⎭⎫－54π，－98π D.⎣⎡⎦⎤－54π，－98π 解析：选D.因为{a n }为等差数列，sin 2a 3－sin 2a 7sin （a 3＋a 7）＝－1，所以1－cos 2a 32－1－cos 2a 72sin （a 3＋a 7）＝－1，所以cos 2a 7－cos 2a 32＝－sin(a 3＋a 7)，由和差化积公式可得：12×(－2)sin(a 7＋a 3)·sin(a 7－a 3)＝－sin(a 3＋a 7)，因为sin(a 3＋a 7)≠0，所以sin(a 7－a 3)＝1，所以4d ＝2k π＋π2∈(0，4)，所以k ＝0，所以4d ＝π2，d ＝π8.因为n ＝10时，数列{a n }的前n 项和S n 取得最小值，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 10≤0a 11≥0即⎩⎨⎧a 1＋9×π8≤0a 1＋10×π8≥0，所以－5π4≤a 1≤－9π8.9．(2019·宁波诺丁汉大学附中高三期中检测)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋2n －1(n ∈N *)，则a 1＝________；数列{a n }的通项公式为a n ＝________．解析：因为S n ＝n 2＋2n －1，当n ＝1时，a 1＝1＋2－1＝2，当n ≥2时，所以a n ＝S n －S n －1＝n 2＋2n －1－[(n －1)2＋ 2(n －1)－1]＝2n ＋1，因为当n ＝1时，a 1＝2＋1＝3≠2，所以a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2，n ＝12n ＋1，n ≥2.答案：2 ⎩⎪⎨⎪⎧2，n ＝12n ＋1，n ≥210．(2019·台州市高考一模)已知数列{a n }的前m (m ≥4)项是公差为2的等差数列，从第m －1项起，a m －1，a m ，a m ＋1，…成公比为2的等比数列．若a 1＝－2，则m ＝________，{a n }的前6项和S 6＝________．解析：由a 1＝－2，公差d ＝2，得a m －1＝－2＋2(m －2)＝2m －6，a m ＝－2＋2(m －1)＝2m －4，则a m a m －1＝2m －42m －6＝2，所以m ＝4；所以S 6＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6 ＝－2＋0＋2＋4＋8＋16＝28. 答案：4 2811．设等比数列{a n }的公比为q ，前n 项和为S n ，若S n ＋1，S n ，S n ＋2成等差数列，则q 的值为________．解析：设等比数列{a n }的公比为q ，前n 项和为S n ，且S n ＋1，S n ，S n ＋2成等差数列，则2S n ＝S n ＋1＋S n ＋2，若q ＝1，则S n ＝na 1，等式显然不成立，若q ≠1，则有2·a 1（1－q n ）1－q ＝a 1（1－q n ＋1）1－q ＋a 1（1－q n ＋2）1－q ，故2q n ＝q n ＋1＋q n ＋2，即q 2＋q －2＝0，因此q ＝－2.答案：－212．已知数列{a n }满足a n ＋2＝a n ＋1－a n ，且a 1＝2，a 2＝3，则a 2 018的值为________．解析：由题意得，a 3＝a 2－a 1＝1，a 4＝a 3－a 2＝－2，a 5＝a 4－a 3＝－3，a 6＝a 5－a 4＝－1，a 7＝a 6－a 5＝2，a 8＝a 7－a 6＝3，…，所以数列{a n }是周期为6的周期数列，而2 018＝6×336＋2，所以a 2 018＝a 2＝3.答案：313．设某数列的前n 项和为S n ，若S nS 2n为常数，则称该数列为“和谐数列”．若一个首项为1，公差为d (d ≠0)的等差数列{a n }为“和谐数列”，则该等差数列的公差d ＝________．解析：由S n S 2n ＝k (k 为常数)，且a 1＝1，得n ＋12n (n －1)d ＝k ⎣⎡⎦⎤2n ＋12×2n （2n －1）d ，即2＋(n －1)d ＝4k ＋2k (2n －1)d ，整理得，(4k －1)dn ＋(2k －1)(2－d )＝0，因为对任意正整数n ，上式恒成立，所以⎩⎪⎨⎪⎧d （4k －1）＝0，（2k －1）（2－d ）＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧d ＝2，k ＝14.所以数列{a n }的公差为2.答案：214．(2019·义乌市高三月考)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a 8>0，a 8＋a 9<0，则S n >0的最大n 是______；数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n a n (1≤n ≤15)中最大的项为第______项．解析：因为a 8>0，a 8＋a 9<0，所以S 15＝15（a 1＋a 15）2＝15a 8>0，S 16＝162(a 1＋a 16)＝8(a 8＋a 9)<0，所以S n >0的最大n 是15.因为等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a 8>0，a 8＋a 9<0，所以该数列是递减数列，当n ＝8时，|a 8|最小，且|S 8|最大，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n a n (1≤n ≤15)中最大的项为第8项．答案：15 815．设数列{a n }的前n 项积为T n ，且T n ＋2a n ＝2(n ∈N *)．(1)求证：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1T n 是等差数列；(2)设b n ＝(1－a n )(1－a n ＋1)，求数列{b n }的通项公式．解：(1)证明：因为T n ＋2a n ＝2，所以当n ＝1时，T 1＋2a 1＝2，所以T 1＝23，即1T 1＝32.又当n ≥2时，T n ＝2－2×T nT n －1，得 T n ·T n －1＝2T n －1－2T n ，所以1T n －1T n －1＝12，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1T n 是以32为首项，12为公差的等差数列． (2)由(1)知，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1T n 为等差数列，所以1T n ＝32＋12(n －1)＝n ＋22，所以a n ＝2－T n 2＝n ＋1n ＋2.所以b n ＝(1－a n )(1－a n ＋1)＝1（n ＋2）（n ＋3）.16．(2019·宁波高考模拟)已知数列{a n }中，a 1＝4，a n ＋1＝6＋a n2，n ∈N *，S n 为{a n }的前n 项和．(1)求证：n ∈N *时，a n >a n ＋1；(2)求证：n ∈N *时，2≤S n －2n <167.证明：(1)n ≥2时，作差：a n ＋1－a n ＝6＋a n2－6＋a n －12＝ 12×a n －a n －16＋a n 2＋6＋a n －12，所以a n ＋1－a n 与a n －a n －1同号，由a 1＝4，可得a 2＝6＋42＝5，可得a 2－a 1<0，所以n ∈N *时，a n >a n ＋1.(2)因为2a 2n ＋1＝6＋a n ，所以2(a 2n ＋1－4)＝a n－2，即2(a n ＋1－2)(a n ＋1＋2)＝a n －2，① 所以a n ＋1－2与a n －2同号，又因为a 1－2＝2>0，所以a n >2.所以S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ≥4＋2(n －1)＝2n ＋2. 所以S n －2n ≥2.由①可得：a n ＋1－2a n －2＝12（a n ＋1＋2）<18，因此a n －2≤(a 1－2)·⎝⎛⎭⎫18n －1，即a n ≤2＋2×⎝⎛⎭⎫18n －1.所以S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ≤2n ＋2×1－⎝⎛⎭⎫18n －11－18<2n ＋167.综上可得：n ∈N *时，2≤S n －2n <167.17．(2019·温州瑞安七中高考模拟)已知数列{a n }的各项均为正数，记A (n )＝a 1＋a 2＋…＋a n ，B (n )＝a 2＋a 3＋…＋a n ＋1，C (n )＝a 3＋a 4＋…＋a n ＋2，n ＝1，2，….(1)若a 1＝1，a 2＝5，且对任意n ∈N *，三个数A (n )，B (n )，C (n )组成等差数列，求数列{a n }的通项公式；(2)证明：数列{a n }是公比为q 的等比数列的充分必要条件是：对任意n ∈N *，三个数A (n )，B (n )，C (n )组成公比为q 的等比数列．解：(1)因为对任意n ∈N *，三个数A (n )，B (n )，C (n )组成等差数列，所以B (n )－A (n )＝C (n )－B (n )，即a n ＋1－a 1＝a n ＋2－a 2，亦即a n ＋2－a n ＋1＝a 2－a 1＝4.故数列{a n }是首项为1，公差为4的等差数列，于是a n ＝1＋(n －1)×4＝4n －3. (2)证明：(必要性)：若数列{a n }是公比为q 的等比数列，对任意n ∈N *，有a n ＋1＝a n q .由a n >0知，A (n )，B (n )，C (n )均大于0，于是B （n ）A （n ）＝a 2＋a 3＋…＋a n ＋1a 1＋a 2＋…＋a n ＝q （a 1＋a 2＋…＋a n ）a 1＋a 2＋…＋a n ＝q ，C （n ）B （n ）＝a 3＋a 4＋…＋a n ＋2a 2＋a 3＋…＋a n ＋1＝q （a 2＋a 3＋…＋a n ＋1）a 2＋a 3＋…＋a n ＋1＝q ，即B （n ）A （n ）＝C （n ）B （n ）＝q ，所以三个数A (n )，B (n )，C (n )组成公比为q 的等比数列； (充分性)：若对任意n ∈N *，三个数A (n )， B (n )，C (n )组成公比为q 的等比数列，则 B (n )＝qA (n )，C (n )＝qB (n )，于是C (n )－B (n )＝q [B (n )－A (n )]，即a n ＋2－a 2＝q (a n ＋1－a 1)，亦即a n ＋2－qa n ＋1＝a 2－qa 1. 由n ＝1时，B (1)＝qA (1)，即a 2＝qa 1，从而a n ＋2－qa n ＋1＝0. 因为a n >0，所以a n ＋2a n ＋1＝a 2a 1＝q .故数列{a n }是首项为a 1，公比为q 的等比数列．综上所述，数列{a n }是公比为q 的等比数列的充分必要条件是：对任意n ∈N *，三个数A (n )， B (n )，C (n )组成公比为q 的等比数列．18．已知数列{a n }满足a 1＝12且a n ＋1＝a n －a 2n (n ∈N *)． (1)证明：1<a n a n ＋1≤2(n ∈N *)；(2)设数列{a 2n }的前n 项和为S n ，证明：12（n ＋2）<S n n ≤12（n ＋1）(n ∈N *)．证明：(1)由题意得a n ＋1－a n ＝－a 2n <0，即a n ＋1<a n ，故a n ≤12.由a n ＝(1－a n －1)a n －1得a n ＝(1－a n －1)(1－a n －2)…(1－a 1)a 1>0. 由0<a n ≤12得a n a n ＋1＝a n a n －a 2n ＝11－a n ∈(1，2]，所以1<a n a n ＋1≤2.(2)由题意得a 2n ＝a n －a n ＋1，所以S n ＝a 1－a n ＋1.① 由1a n ＋1－1a n ＝a n a n ＋1和1<a n a n ＋1≤2得1<1a n ＋1－1a n ≤2，所以n <1a n ＋1－1a 1≤2n ，因此12（n ＋1）≤a n ＋1<1n ＋2(n ∈N *)．②由①②得12（n ＋2）<S n n ≤12（n ＋1）(n ∈N *)．。

高考数学冲刺100题(每天1练)：11—20题

高考数学冲刺100题（每天1练）：11—20题姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、冲刺100题 (共10题；共19分)1. （2分） (2017高二下·吉林期末) 若（是虚数单位），则（）A .B .C .D .2. （1分） (2017高三上·红桥期末) i为虚数单位，复数 =________．3. （1分）已知函数 y=a x﹣4+b （a＞0，且a≠1 ）的图象恒过定点（ 4，6 ），则b=________．4. （1分） (2019高一上·永嘉月考) 若，，，则a,b,c的大小关系是________．5. （2分） (2017高二下·河口期末) 设，则的大小关系是（）A .B .C .D .6. （5分） (2018高三上·连云港期中) 对于函数与，若存在实数满足，且，则称为的一个点.（1）证明：函数与不存在的点；（2）若函数与存在的点，求的范围；（3）已知函数，证明：存在正实数，对于区间内任意一个皆是函数的点.7. （2分）已知函数有两个极值点,若,则关于的方程的不同实根个数为（）A . 3B . 4C . 5D . 68. （1分） (2017高二下·黄冈期末) 已知函数则函数f[g（x）]的所有零点之和是________．9. （2分）(2016·浦城模拟) 已知函数f（x）=2x+log2x+b在区间（，4）上有零点，则实数b的取值范围是（）A . （﹣10，0）B . （﹣8，1）C . （0，10）D . （1，12）10. （2分） (2018高三上·长春期中) 已知函数对任意的满足（其中是函数的导函数），则下列不等式成立的是（）A .B .C .D .参考答案一、冲刺100题 (共10题；共19分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、答案：略6-2、答案：略6-3、答案：略7-1、8-1、9-1、答案：略10-1、。

2016江苏高考数学解答题冲刺练习2(附答案)

2016江苏高考数学解答题冲刺练习2（附答案）1．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且c＝2，C＝60°.(1)求a＋bsin A＋sin B的值；(2)若a＋b＝ab，求△ABC的面积．2.如图，正方形ABCD和三角形ACE所在的平面互相垂直，EF∥BD，AB＝2EF.(1)求证：BF∥平面ACE；(2)求证：BF⊥BD.3.某运输装置如图所示，其中钢结构ABD是一个AB＝BD＝l，∠B＝π3的固定装置，AB上可滑动的点C使CD垂直于底面(C不与A，B重合)，且CD可伸缩(当CD伸缩时，装置ABD 随之绕D在同一平面内旋转)，利用该运输装置可以将货物从地面D处沿D→C→A运送至A 处，货物从D处至C处运行速度为v，从C处至A处运行速度为3v，为了使运送货物的时间t最短，需在运送前调整运输装置中∠DCB＝θ的大小．(1)当θ变化时，试将货物运行的时间t 表示成θ的函数(用含有v 和l 的式子)；(2)当t 最小时，C 点应设计在AB 的什么位置？4.如图，已知椭圆C ：x 24＋y 2＝1，A 、B 是四条直线x ＝±2，y ＝±1所围成矩形的两个顶点．(1)设P 是椭圆C 上任意一点，若OP→＝mOA →＋nOB →，求证：动点Q (m ，n )在定圆上运动，并求出定圆的方程；(2)若M 、N 是椭圆C 上两个动点，且直线OM 、ON 的斜率之积等于直线OA 、OB 的斜率之积，试探求△OMN 的面积是否为定值，说明理由．5．已知函数f (x )＝x 2＋2ax ＋1(a ∈R )，f ′(x )是f (x )的导函数．(1)若x ∈[－2，－1]，不等式f (x )≤f ′(x )恒成立，求a 的取值范围；(2)解关于x 的方程f (x )＝|f ′(x )|；(3)设函数g (x )＝⎩⎨⎧f ′（x ），f （x ）≥f ′（x ）f （x ），f （x ）＜f ′（x ），求g (x )在x ∈[2，4]时的最小值．6．已知a ，b 是不相等的正数，在a ，b 之间分别插入m 个正数a 1，a 2，…，a m 和m 个正数b 1，b 2，…，b m ，使a ，a 1，a 2，…，a m ，b 是等差数列，a ，b 1，b 2，…，b m ，b 是等比数列．(1)若m ＝5，a 3b 3＝54，求b a 的值； (2)若b ＝λa (λ∈N *，λ≥2)，如果存在n (n ∈N *，6≤n ≤m )使得a n －5＝b n ，求λ的最小值及此时m 的值；(3)求证：a n ＞b n (n ∈N *，n ≤m )．答案1. 解 (1)由正弦定理可设a sin A ＝b sin B ＝c sin C ＝2sin 60°＝232＝433，所以a ＝433sin A ，b ＝433sin B ，所以a ＋b sin A ＋sin B ＝433（sin A ＋sin B ）sin A ＋sin B＝433.(2)由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，即4＝a 2＋b 2－ab ＝(a ＋b )2－3ab ，又a ＋b ＝ab ，所以(ab )2－3ab －4＝0.解得ab ＝4或ab ＝－1(舍去)．所以S △ABC ＝12ab sin C ＝12×4×32＝ 3.2.证明 (1)设AC 与BD 交于O 点，连接EO .正方形ABCD 中，2BO ＝AB ，又因为AB ＝2EF ，∴BO ＝EF ，又因为EF ∥BD ，∴EFBO 是平行四边形，∴BF ∥EO ，又∵BF ⊄平面ACE ，EO ⊂平面ACE ，∴BF ∥平面ACE . (2)正方形ABCD 中，AC ⊥BD ，又因为正方形ABCD 和三角形ACE 所在的平面互相垂直，BD ⊂平面ABCD ，平面ABCD ∩平面ACE ＝AC ，∴BD ⊥平面ACE ，∵EO ⊂平面ACE ，∴BD ⊥EO ，∵EO ∥BF ，∴BF ⊥BD .3.解 (1)在△BCD 中，∵∠BCD ＝θ，∠B ＝π3，BD ＝l ，∴BC ＝l sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－θsin θ，CD＝3l 2sin θ，∴AC ＝AB －BC ＝l －l sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－θsin θ，则t ＝AC 3v ＋CD v ＝l 3v －l sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－θ3v sin θ＋3l 2v sin θ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＜θ＜2π3.(2)t ＝l 6v ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－3cos θsin θ＋3l 2v sin θ＝l 6v ＋3l 6v ·3－cos θsin θ.令m (θ)＝3－cos θsin θ，则m ′(θ)＝1－3cos θsin 2θ，令m ′(θ)＝0得cos θ＝13.设cos θ0＝13，θ0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，2π3，则θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，θ0时，m ′(θ)＜0；θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫θ0，2π3时，m ′(θ)＞0，∴当cos θ＝13时，m (θ)有最小值22，此时BC ＝6＋48l . 答：当BC ＝6＋48l 时货物运行时间最短．4.(1)证明易求A (2，1)，B (－2，1)．设P (x 0，y 0)，则x 204＋y 20＝1.由OP →＝mOA →＋nOB →，得⎩⎨⎧x 0＝2（m －n ），y 0＝m ＋n ，所以4（m －n ）24＋(m ＋n )2＝1，即m 2＋n 2＝12.故点Q (m ，n )在定圆x 2＋y 2＝12上．(2)解设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则y 1y 2x 1x 2＝k OA ·k OB ＝－14.平方得x 21x 22＝16y 21y 22＝(4－x 21)(4－x 22)，即x 21＋x 22＝4.因为直线MN 的方程为(x 2－x 1)y －(y 2－y 1)x ＋x 1y 2－x 2y 1＝0，所以O 到直线MN 的距离为d ＝|x 1y 2－x 2y 1|（x 2－x 1）2＋[y 2－y 1]2＝|x 1y 2－x 2y 1|（x 2－x 1）2＋（y 2－y 1）2，所以△OMN 的面积S ＝12MN ·d ＝12|x 1y 2－x 2y 1|＝12x 21y 22＋x 22y 21－2x 1x 2y 1y 2 ＝12x 21⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 224＋x 22⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 214＋12x 21x 22＝12x 21＋x 22＝1. 故△OMN 的面积为定值1.5.解 (1)因为f (x )≤f ′(x )，所以x 2－2x ＋1≤2a (1－x )，又因为－2≤x ≤－1，所以a ≥⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 2－2x ＋12（1－x ）max 在x ∈[－2，－1]时恒成立，因为x 2－2x ＋12（1－x ）＝1－x 2≤32，所以a ≥32.(2)因为f (x )＝|f ′(x )|，所以x 2＋2ax ＋1＝2|x ＋a |，所以(x ＋a )2－2|x ＋a |＋1－a 2＝0，则|x ＋a |＝1＋a 或|x ＋a |＝1－a .①当a ＜－1时，|x ＋a |＝1－a ，所以x ＝－1或x ＝1－2a ；②当－1≤a ≤1时，|x ＋a |＝1－a 或|x ＋a |＝1＋a ，所以x ＝±1或x ＝1－2a 或x ＝－(1＋2a )；③当a ＞1时，|x ＋a |＝1＋a ，所以x ＝1或x ＝－(1＋2a )．(3)因为f (x )－f ′(x )＝(x －1)[x －(1－2a )]，g (x )＝⎩⎨⎧f ′（x ），f （x ）≥f ′（x ），f （x ），f （x ）＜f ′（x ）， ①若a ≥－12，则x ∈[2，4]时，f (x )≥f ′(x )，所以g (x )＝f ′(x )＝2x ＋2a ，从而g (x )的最小值为g (2)＝2a ＋4；②若 a ＜－32，则x ∈[2，4]时，f (x )＜f ′(x )，所以g (x )＝f (x )＝x 2＋2ax ＋1，当－2≤a ＜－32时，g (x )的最小值为g (2)＝4a ＋5，当－4＜a ＜－2时，g (x )的最小值为g (－a )＝1－a 2，当a ≤－4时，g (x )的最小值为g (4)＝8a ＋17.③若－32≤a ＜－12，则x ∈[2，4]时，g (x )＝⎩⎨⎧x 2＋2ax ＋1，x ∈[2，1－2a ）2x ＋2a ，x ∈[1－2a ，4]当x ∈[2，1－2a )时，g (x )最小值为g (2)＝4a ＋5；当x ∈[1－2a ，4]时，g (x )最小值为g (1－2a )＝2－2a .因为－32≤a ＜－12，(4a ＋5)－(2－2a )＝6a ＋3＜0，所以g (x )最小值为4a ＋5，综上所述，[g (x )]min ＝⎩⎪⎨⎪⎧8a ＋17，a ≤－4，1－a 2，－4＜a ＜－2，4a ＋5，－2≤a ＜－12，2a ＋4，a ≥－12.6.(1)解设等差数列的公差为d ，等比数列的公比为q ，则d ＝b －a 6，q ＝6b a .a 3＝a ＋3d ＝a ＋b 2，b 3＝aq 3＝ab .因为a 3b 3＝54，所以2a －5ab ＋2b ＝0，解得b a ＝4或14.(2)解因为λa ＝a ＋(m ＋1)d ，所以d ＝λ－1m ＋1a ，从而得a n ＝a ＋λ－1m ＋1a ×n .因为λa ＝a ×q m ＋1，所以q ＝λ1m ＋1，从而得b n ＝a ×λn m ＋1.因为a n －5＝b n ，所以a ＋（λ－1）（n －5）m ＋1×a ＝a ×λn m ＋1.因为a ＞0，所以1＋（λ－1）（n －5）m ＋1＝λn m ＋1(*)．因为λ，m ，n ∈N *，所以1＋（λ－1）（n －5）m ＋1为有理数．要使(*)成立，则λn m ＋1必须为有理数．因为n ≤m ，所以n ＜m ＋1.若λ＝2，则λn m ＋1为无理数，不满足条件．同理，λ＝3不满足条件．当λ＝4时，4n m ＋1＝22n m ＋1.要使22n m ＋1为有理数，则2n m ＋1必须为整数．又因为n ≤m ，所以仅有2n ＝m ＋1满足条件．所以1＋3（n －5）m ＋1＝2，从而解得n ＝15，m ＝29.综上，λ的最小值为4，此时m 为29. (3)证明法一设等比数列a ，b 1，b 2，…，b m ，b 设为{c n }，且c n ＞0，S n 为数列{c n }的前n 项的和．先证：若{c n }为递增数列，则⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 为递增数列．证明：当n ∈N *时，S n n ＜nc n ＋1n ＝c n ＋1.因为S n ＋1＝S n ＋c n ＋1＞S n ＋S n n ＝n ＋1n S n ，所以S n n ＜S n ＋1n ＋1，即数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 为递增数列．同理可证，若{c n }为递减数列，则⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 为递减数列． ①当b ＞a 时，q ＞1.当n ∈N *，n ≤m 时，S m ＋1m ＋1＞S n n .即aq （q m ＋1－1）q －1m ＋1＞aq （q n －1）q －1n ，即aq m ＋1－a m ＋1＞aq n －a n .因为b ＝aq m ＋1，b n ＝aq n ，d ＝b －a m ＋1，所以d ＞b n －a n ，即a ＋nd ＞b n ，即a n ＞b n . ②当b ＜a 时，0＜q ＜1.当n ∈N *，n ≤m 时，S m ＋1m ＋1＜S n n . 即aq （q m ＋1－1）q －1m ＋1＜aq （q n －1）q －1n . 因为0＜q ＜1，所以aq m ＋1－a m ＋1＞aq n －a n .以下同①. 综上，a n ＞b n (n ∈N *，n ≤m )．法二设等差数列a ，a 1，a 2，…，a m ，b 的公差为d ，等比数列a ，b 1，b 2，…，b m ，b 的公比为q ，b ＝λa (λ＞0，λ≠1)．由题意得d ＝λ－1m ＋1a ，q ＝aλ1m ＋1，所以a n ＝a ＋nd ＝a ＋λ－1m ＋1an ，b n ＝aλn m ＋1. 要证a n ＞b n (n ∈N *，n ≤m )，只要证1＋λ－1m ＋1n －λn m ＋1＞0(λ＞0，λ≠1，n ∈N *，n ≤m )．构造函数f(x)＝1＋λ－1m＋1x－λxm＋1(λ＞0，λ≠1，0＜x＜m＋1)，则f′(x)＝λ－1m＋1－1m＋1λxm＋1ln λ.令f′(x)＝0，解得x0＝(m＋1)logλλ－1 ln λ.以下证明0＜log λλ－1ln λ＜1.不妨设λ＞1，即证明1＜λ－1ln λ＜λ，即证明ln λ－λ＋1＜0，λln λ－λ＋1＞0.设g(λ)＝ln λ－λ＋1，h(λ)＝λln λ－λ＋1(λ＞1)，则g′(λ)＝1λ－1＜0，h′(λ)＝ln λ＞0，所以函数g(λ)＝ln λ－λ＋1(λ＞1)为减函数，函数h(λ)＝λln λ－λ＋1(λ＞1)为增函数．所以g(λ)＜g(1)＝0，h(λ)＞h(1)＝0.所以1＜λ－1ln λ＜λ，从而0＜logλλ－1ln λ＜1，所以0＜x0＜m＋1.因为在(0，x0)上f′(x)＞0，函数f(x)在(0，x0)上是增函数；因为在(x0，m＋1)上f′(x)＜0，函数f(x)在(x0，m＋1)上是减函数；所以f(x)＞min{f(0)，f(m＋1)}＝0.所以a n＞b n(n∈N*，n≤m)．同理，当0＜λ＜1时，a n＞b n(n∈N*，n≤m)．。

概率统计与期望方差分布列大题基础练-高考数学重点专题冲刺演练(解析版)

概率统计与期望方差分布列大题基础练新高考数学复习分层训练（新高考通用）1．（2023·安徽宿州·统考一模）宿州号称“中国云都”，拥有华东最大的云计算数据中心、CG动画集群渲染基地，是继北京、上海、合肥、济南之后的全国第5家量子通信节点城市.为了统计智算中心的算力，现从全市n个大型机房和6个小型机房中随机抽取若干机房进行算力分析，若一次抽取2个机房，全是小型机房的概率为1 3 .(1)求n的值；(2)若一次抽取3个机房，假设抽取的小型机房的个数为X，求X的分布列和数学期望.E X=⨯+⨯+⨯+⨯=.则X的数学期望()012330102652．（2023秋·浙江湖州·高三安吉县高级中学校考期末）某运动品牌旗舰店在双十一线下促销期间，统计了5个城市的专卖店销售数据如下：款式/专卖店甲乙丙丁戊男装606013080110女装120901306050(1)若分别从甲､乙两家店的销售数据记录中各抽一条进行追踪调查，求抽中的两条记录中至少有一次购买的是男装的概率；(2)现从这5家店中任选3家进行抽奖活动，用X表示其中男装销量超过女装销量的专E X.卖店个数，求随机变量X的分布列和数学期望()∴()1336 012 105105E X=⨯+⨯+⨯=.3．（2023·广东深圳·深圳中学校联考模拟预测）为提高学生的数学应用能力和创造力，学校打算开设“数学建模”选修课，为了解学生对“数学建模”的兴趣度是否与性别有关，学校随机抽取该校30名高中学生进行问卷调查，其中认为感兴趣的人数占70%. (1)根据所给数据，完成下面的22⨯列联表，并根据列联表判断是否有85%的把握认为学生对“数学建模”选修课的兴趣度与性别有关？感兴趣不感兴趣合计男生12女生5合计30(2)若感兴趣的女生中恰有4名是高三学生，现从感兴趣的女生中随机选出3名进行二次访谈，记选出高三女生的人数为X，求X的分布列与数学期望.附：()()()()()22n ad bcKa b c d a c b d-=++++，其中n a b c d=+++.()2P K k≥0.150.100.050.0250.0100.0050.001 0k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.82820.4082 2.0721614219K ⨯⨯-⨯=≈<⨯⨯⨯，所以没有85%的把握认为学生对“数学建模”选修课的兴趣度与性别有关；（2）由题意可知X 的取值可能为0，1，2，3，则3539C 5(0)C 42P X ===，124539C C 10(1)C 21P X ===，214539C C 5(2)C 14P X ===，3439C 1(3)C 21P X ===，故X 的分布列为X 0123P5421021514121510514()0123422114213E X =⨯+⨯+⨯+⨯=.4．（2023秋·江苏·高三统考期末）为深入贯彻党的教䏍方针，全面落实《中共中央国务院关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》，某校从2022年起积极推进劳动课程改革，先后开发开设了具有地方特色的家政､烹饪､手工､园艺､非物质文化遗产等劳动实践类校本课程.为调研学生对新开设劳动课程的满意度并不断改进劳动教育，该校从2022年1月到10月每两个月从全校3000名学生中随机抽取150名学生进行问卷调查，统计数据如下表：月份x 246810满意人数y8095100105120(1)由表中看出，可用线性回归模型拟合满意人数y 与月份x 之间的关系，求y 关于x 的回归直线方程ˆˆˆybx a =+，并预测12月份该校全体学生中对劳动课程的满意人数；(2)10月份时，该校为进一步深化劳动教育改革，了解不同性别的学生对劳动课程是否满意，经调研得如下统计表：满意不满意合计男生651075女生552075合计12030150请根据上表判断是否有95%的把握认为该校的学生性别与对劳动课程是否满意有关？参考公式：()()()1122211ˆˆˆ,nni i i ii i nn iii i x y nxyx x yy bay bx xnx x x ====---===--∑∑∑∑.()20P K k ≥0.100.050.0250.0100.005k 2.7063.8415.0246.6357.879()()()()22()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.两人轮流进行点球训练（每人各踢一次为一轮），在相同的条件下，每轮甲、乙两人在同一位置，一人踢球另一人扑球，甲先踢，每人踢一次球，两人有1人进球另一人不进球，进球者得1分，不进球者得1-分；两人都进球或都不进球，两人均得0分，设甲、乙每次踢球命中的概率均为12，甲扑到乙踢出球的概率为12，乙扑到甲踢出球的概率13，且各次踢球互不影响．(1)经过1轮踢球，记甲的得分为X，求X的分布列及数学期望；(2)求经过3轮踢球累计得分后，甲得分高于乙得分的概率．()101612412E X=-⨯+⨯+⨯=.（2）经过三轮踢球，甲累计得分高于乙有四种情况：甲3轮各得1分；甲3轮中有2轮各得1分，1轮得0分；甲3轮中有2轮各得1分，1轮得1-分；甲3轮中有1轮得1分，2轮各得0分，甲3轮各得1分的概率为3111464 P⎛⎫==⎪⎝⎭，甲3轮中有2轮各得1分，1轮得0分的概率为2223177C41264 P⎛⎫=⨯=⎪⎝⎭，甲3轮中有2轮各得1分，1轮得1-分的概率为2233111C4632 P⎛⎫=⨯=⎪⎝⎭，甲3轮中有1轮得1分，2轮各得0分的概率为21431749C412192 P⎛⎫=⨯⨯=⎪⎝⎭，所以经过三轮踢球，甲累计得分高于乙的概率1714979646432192192 P=+++=.6．（2023·浙江·校联考模拟预测）某地区2016至2022年生活垃圾无害化处理量（单位：万吨）如下表：年份2016201720182019202020212022年份代号x1234567生活垃圾无害化处理量y 3.9 4.3 4.6 5.4 5.8 6.2 6.9(1)求y 关于x 的线性回归方程；(2)根据（1）中的回归方程，分析过去七年该地区生活垃圾无害化处理的变化情况，并预测该地区2024年生活垃圾无害化处理量.附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：()()()121ˆni ii n ii x x yy bx x ==--=-∑∑，ˆˆay bx =-.参考数据7162.4i i x y =∑7．（2023秋·浙江嘉兴·高三统考期末）为积极响应“反诈”宣传教育活动的要求，某企业特举办了一次“反诈”知识竞赛，规定：满分为100分，60分及以上为合格.该企业从甲､乙两个车间中各抽取了100位职工的竞赛成绩作为样本.对甲车间100位职工的成绩进行统计后，得到了如图所示的成绩频率分布直方图.(1)估算甲车间职工此次“反诈”知识竞赛的合格率；(2)若将频率视为概率，以样本估计总体.从甲车间职工中，采用有放回的随机抽样方法抽取3次，每次抽1人，每次抽取的结果相互独立，记被抽取的3人次中成绩合格的人数为X .求随机变量X 的分布列；(3)若乙车间参加此次知识竞赛的合格率为60%，请根据所给数据，完成下面的22⨯列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为此次职工“反计”知识竞赛的成绩与其所在车间有关?2×2列联表甲车间乙车间合计合格人数不合格人数合计附参考公式：①()()()()22()n ad bc a c b d a b c d χ-=++++，其中n a b c d =+++.②独立性检验临界值表【答案】(1)80%(2)分布列见解析(3)表格见解析，有【分析】（1）根据频率分布直方图的性质，可得答案；（2）根据二项分布的分布列的解题步骤，可得答案；（3）由题意，补全列联表，利用独立性检验的解题步骤，可得答案.【详解】（1）根据频率分布直方图可求得甲车间此次参加“反诈”知识竞赛的合格率0.02100.03100.02100.01100.8=⨯+⨯+⨯+⨯=，即80%.（3）根据题中统计数据可填写22⨯列联表如下，甲车间乙车间合计合格人数8060140不合格人数204060合计10010020022200(80402060)9.524 6.635,10010014060χ⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯所以有99%的把握认为“此次职工‘反计’知识竞赛的成绩与职工所在车间有关系”.8．（2023春·江苏扬州·高三统考开学考试）云计算是信息技术发展的集中体现，近年来，我国云计算市场规模持续增长.从中国信息通信研究院发布的《云计算白皮书（2022年）》可知，我国2017年至2021年云计算市场规模数据统计表如下：年份2017年2018年2019年2020年2021年年份代码x12345云计算市场规模y /亿元692962133420913229经计算得：51ln i i y =∑=36.33，51(ln )i i i x y =∑=112.85.(1)根据以上数据，建立y 关于x 的回归方程ˆˆˆebxa y +=（e 为自然对数的底数）.(2)云计算为企业降低生产成本､提升产品质量提供了强大助推力.某企业未引入云计算前，单件产品尺寸与标准品尺寸的误差4~(0,N mε，其中m 为单件产品的成本（单位：元），且(11)P ε-<<=0.6827；引入云计算后，单件产品尺寸与标准品尺寸的误差1~(0,)N mε.若保持单件产品的成本不变，则(11)P ε-<<将会变成多少？若保持产品质量不变（即误差的概率分布不变），则单件产品的成本将会下降多少？附：对于一组数据1122(,),(,),,(,),n n x y x y x y ⋯其回归直线ˆˆˆyx βα=+的斜率和截距的最小二乘估计分别为ˆβ=1221niii nii x ynx y xnx ==--∑∑，ˆˆy x αβ=-.若2~(,)XN μσ，则(||)0.6827P X μσ-<=，(|2)0.9545P X μσ-<=，(||3)0.9973.P X μσ-<=9．（2023春·重庆永川·高三重庆市永川北山中学校校考开学考试）近年来，各平台短视频、网络直播等以其视听化自我表达、群圈化分享推送、随时随地传播、碎片化时间观看等特点深受人们喜爱，吸引了眼球赚足了流量，与此同时，也存在功能失范、网红乱象、打赏过度、违规营利、恶意营销等问题．为促使短视频、网络直播等文明、健康，有序发展，依据《网络短视频平台管理规范》、《网络短视频内容审核标准细则》等法律法规，某市网信办、税务局、市场监督管理局联合对属地内短视频制作、网络直播进行审查与监管．(1)对短视频、网络直播的整体审查包括总体规范、账户管理、内容管理等三个环节，三个环节均通过审查才能通过整体审查．设某短视频制作团队在这三个环节是否通过审查互不影响，且各环节不能通过审查的概率分别为4131,,25485．①求该团不．能通过整体审查的概率：②设该团队通过整体审查后，还要进入技术技能检测环节，若已知该团队最终通过整体审查和技术技能检测的概率为35%，求该团队在已经通过整体审查的条件下通过技术技能检测的概率；(2)某团队为提高观众点击其视频的流量，通过观众对其视频的评论分析来优化自己的创作质量，现有100条评论数据如下表：试问是否有99.9%的把握可以认为观众对该视频的满意度与该视频改拍相关程度有关联？参考公式：22()()()()()n ad bc a b c d a c b d χ-=++++，n a b c d=+++()20P x χα≥=0.10.050.010.0050.001nx 2.7063.8416.6357.87910.82810．（2023·重庆沙坪坝·高三重庆八中校考阶段练习）2023年3月的体坛属于“冰上运动”，速滑世锦赛、短道速滑世锦赛、花滑世锦赛将在荷兰、韩国、日本相继举行．中国队的“冰上飞将”们将在北京冬奥会后再度出击，向奖牌和金牌发起冲击．据了解，甲、乙、丙三支队伍将会参加2023年3月10日~12日在首尔举行的短道速滑世锦赛5000米短道速滑男子5000米接力的角逐．接力赛分为预赛、半决赛和决赛，只有预赛、半决赛都获胜才能进入决赛．已知甲队在预赛和半决赛中获胜的概率分别为23和34；乙队在预赛和半决赛中获胜的概率分别为34和45；丙队在预赛和半决赛中获胜的概率分别为p和3 2p-，其中34p<<．(1)甲、乙、丙三队中，谁进入决赛的可能性最大；(2)若甲、乙、丙三队中恰有两对进入决赛的概率为3790，求p的值；(3)在（2）的条件下，设甲、乙、丙三队中进入决赛的队伍数为ξ，求ξ的分布列・11．（2023·重庆酉阳·重庆市酉阳第一中学校校考一模）某市从2020年5月1日开始，若电子警察抓拍到机动车不礼让行人的情况后，交警部门将会对不礼让行人的驾驶员进行扣3分，罚款200元的处罚，并在媒体上曝光．但作为交通重要参与者的行人，闯红灯通行却频有发生，带来了较大的交通安全隐患和机动车通畅率降低点情况.交警部门在某十字路口根据以往的监测数据，得到行人闯红灯的概率为0.2，并从穿越该路口的行人中随机抽取了200人进行调查，对是否存在闯红灯的情况进行统计，得到2×2列联表如下：45岁以下45岁以上合计闯红灯人数25未闯红灯数85合计200近期，为了整顿“行人闯红灯”这一不文明的违法行为，交警部门在该十字路口试行了对闯红灯的行人进行5元以上，50元以下的经济处罚．在试行经济处罚一段时间后，交警部门再次对穿越该路口的行人中随机抽取了200人进行调查，对是否存在闯红灯的情况进行统计，得到2×2列联表如下：45岁以下45岁以上合计闯红灯人数51520未闯红灯人9585180数合计100100200将统计数据所得频率视为概率，完成下列问题：(1)将2×2列联表填写完整（不需要写出填写过程），并根据表中数据分析，在试行对闯红灯的行人进行经济处罚前，是否有90%的把握认为闯红灯行为与年龄有关；(2)在试行对闯红灯的行人进行经济处罚后，闯红灯现象是否有明显改善，请说明理由；(3)结合调查结果，请你对“如何治理行人闯红灯现象”提出合理的建议（至少提出两条建议）．【答案】(1)列联表见解析，有(2)有明显改善，理由见解析(3)答案见解析K的值，结合附表，即可【分析】（1）根据题意，填写出2×2列联表，利用公式求得2得到结论；（2）求得试行对闯红灯的行人进行经济处罚后，行人闯红灯的概率，结合试行对闯红灯的行人进行经济处罚前的概率，可得出结论；（3）结合表格中的数据，可针对45岁以上人群开展“道路安全”宣传教育；也可进行适因为()2220015752585253.125 2.706100100401608K⨯⨯-⨯===>⨯⨯⨯，所以有90%的把握认为闯红灯行为与年龄有关．（2）在试行对闯红灯的行人进行经济处罚后，行人闯红灯的概率为20=0.1 200，而在试行对闯红灯的行人进行经济处罚前，行人闯红灯的概率为0.2，因为0.10.2<，故在试行对闯红灯的行人进行经济处罚后，闯红灯现象有明显改善．（3）①根据调查数据显示，行人闯红灯与年龄有明显关系，故可以针对45岁以上人群开展“道路安全”宣传教育；②由于经济处罚可以明显降低行人闯红灯的概率，故可以在法律允许范围内进行适当的经济处罚．12．（2023·辽宁·新民市第一高级中学校联考一模）为了了解男、女学生对航天知识的了解情况，某调查机构进行了一个随机问卷调查（总分100分），调查的结果如下表所示．若本次问卷调查的得分不低于90分，则认为该学生非常了解航天知识．男学生女学生不低于90分82低于90分2228(1)判断是否有95%的把握认为性别与是否非常了解航天知识有关；(2)现将3个航天器模型纪念品随机分配给参与本次调查且非常了解航天知识的学生，设获得纪念品的女生人数为X，求X的分布列以及数学期望．附：()()()()()22n ad bc a b c d a c b d χ-=++++，n a b c d =+++．()2P k αχ=≥0.050.010.0050.001k3.8416.6357.87910.828所以()012.1515155E X =⨯+⨯+⨯=13．（2023春·辽宁朝阳·高三校联考开学考试）千百年来，人们一直在通过不同的方式传递信息．在古代，烽火狼烟、飞鸽传书、快马驿站等通信方式被人们广泛应用；第二次工业革命后，科技的进步带动了电讯事业的发展，电报电话的发明让通信领域发生了翻天覆地的变化；之后，计算机和互联网的出现则使得“千里眼”、“顺风耳”变为现实．现在，5G 的到来给人们的生活带来了颠覆性的变革．某科技创新公司基于领先技术的支持，5G 经济收入在短期内逐月攀升，该创新公司在1月份至5月份的5G 经济收入y （单位：百万元）关于月份x 的数据如表：时间（月份）12345收入（百万元）1015192328(1)根据上表中的数据，求出y 关于x 的线性回归方程，并预测该公司6月份的5G 经济收入；(2)从前5个月的收入中随机抽取3个月，记月收入超过15百万元的个数为X ，求X 的分布列和数学期望．参考公式：回归方程ˆˆˆybx a =+中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为1221ˆniii nii x ynxy bxnx ==-=-∑∑，ˆˆay bx =-．所以()123105105E X=⨯+⨯+⨯=．14．（2023春·河北承德·高三河北省隆化存瑞中学校考阶段练习）一般来说，市场上产品的宣传费用与产品的销量存在一定关系．已知产品甲的年宣传费用(x百万元)和年销量(y万箱)的统计数据如下：年宣传费用(x百万元)35610131518年销量y(万箱)1.522.533.544.5(1)求y与x的相关系数(r精确到0.01)，并判断y与x的关系是否可用线性回归方程模型拟合？(规定：0.75r≥)；(2)从年销量不少于3万箱中任取两个数据作为样本，求恰有1个数据不少于4万箱的概率．附：①相关系数ni ix y nxyr-=∑；71246i iix y==∑②，721888iix==∑，72170iiy==∑，36.28≈36.41≈15．（2023春·河北·高三统考阶段练习）某电影院对观众按照性别进行了分层抽样调查，一共调查了900名观众对A影片和B影片的喜爱度，获得了以下数据：(1)哪个影片更受学生欢迎？（不用说明理由）(2)分别估计该电影院男观众和女观众对B影片表示“非常喜爱”的概率；(3)该电影院为了进一步调查观众对B影片的看法，对样本中的女观众用分层抽样抽取了6人，再从这6人中随机抽取2人参加座谈，求这两人均来自“一般喜爱”群体的概率.16．（2023秋·福建厦门·高三厦门外国语学校校考期末）冬奥会的成功举办极大鼓舞了人们体育强国的热情，掀起了青少年锻炼身体的热潮.某校为了解全校学生“体能达标”的情况，从高三年级1000名学生中随机选出40名学生参加“体能达标”测试，并且规定“体能达标”预测成绩小于60分的为“不合格”，否则为合格.若高三年级“不合格”的人数不超过总人数的5%，则该年级体能达标为“合格”；否则该年级体能达标为“不合格”，.现将这40名学生随机分成甲、乙两个组，其中甲组有24名学生，乙组有16名学生.经过预测后，两组各自将预测成绩统计分析如下：甲组的平均成绩为70，标准差为4；乙组的平均成绩为80，标准差为6.（数据的最后结果都精确到整数）(1)求这40名学生测试成绩的平均分x和标准差s；(2)假设高三学生的体能达标预测成绩服从正态分布N（μ，2σ），用样本平均数x作为μ的估计值μ，用样本标准差s作为σ的估计值σ.利用估计值估计，高二学生体能达标预测是否“合格”；(3)为增强趣味性，在体能达标的跳绳测试项目中，同学们可以向体育特长班的强手发起挑战.每场挑战赛都采取七局四胜制.积分规则如下：以4:0或4:1获胜队员积4分，落败队员积0分；以4:2或4:3获胜队员积3分，落败队员积1分.假设体育生王强每局比赛获胜的概率均为23，求王强在这轮比赛中所得积分为3分的条件下，他前3局比赛都获胜的概率.附：①n 个数的方差2211()n i i s x x n ==-∑；②若随机变量Z ～N （μ，2σ），则()0.6826P Z μσμσ-<<+=，()220.9544P Z μσμσ-<<+=，()330.9974P Z μσμσ-<<+=.17．（2023·山东淄博·统考一模）某电商平台统计了近七年小家电的年度广告费支出i x (万元)与年度销售量i y (万台)的数据，如表所示:年份2016201720182019202020212022广告费支出x 1246111319销售量y1.93.24.04.45.25.35.4其中71279.4i i i x y ==∑，721708i i x ==∑(1)若用线性回归模型拟合y 与x 的关系，求出y 关于x 的线性回归方程；(2)若用y c =+模型拟合得到的回归方程为1.63y =+，经计算线性回归模型及该模型的2R 分别为0.75和0.88，请根据2R 的数值选择更好的回归模型拟合y 与x 的关系，进而计算出年度广告费x 为何值时，利润200zy x =- 的预报值最大？参考公式：()()()1122211nniiiii i nniii i x ynx y xxy y bxnxxx====---==--∑∑∑∑ ，a y bx =-$$；18．（2023·山东济南·一模）为了切实加强学校体育工作，促进学生积极参加体育锻炼，养成良好的锻炼习惯，某高中学校计划优化课程，增加学生体育锻炼时间，提高体质健康水平，某体质监测中心抽取了该较10名学生进行体质测试，得到如下表格：记这10名学生体质测试成绩的平均分与方差分别为x ，2s ，经计算()102111690i x x =-=∑，102133050ii x==∑．(1)求x ；(2)规定体质测试成绩低于50分为不合格，从这10名学生中任取3名，记体质测试成绩不合格的人数为X ，求X 的分布列；(3)经统计，高中生体质测试成绩近似服从正态分布()2,N μσ，用x ，2s 的值分别作为μ，2σ的近似值，若监测中心计划从全市抽查100名高中生进行体质测试，记这100名高中生的体质测试成绩恰好落在区间[]30,82的人数为Y ，求Y 的数学期望()E Y ．附：若()2,N ξμσ ，则()0.6827P μσξμσ-≤≤+≈，(22)0.9545P μσξμσ-≤≤+≈，330.9()973P μσξμσ-≤≤+≈．（3）因为()22111156,16901691010i x s x x===-=⨯=∑，所以56,13μσ==．因为(3082)(22)0.9545P X P μσξμσ≤≤=-≤≤+≈，所以学生的体质测试成绩恰好落在区间[30,82]得概率约为0.9545，故(100,0.9545)Y B ~，所以()1000.954595.45E Y =⨯=．19．（2023·江苏泰州·泰州中学校考一模）某公司对40名试用员工进行业务水平测试，根据测试成绩评定是否正式录用以及正式录用后的岗位等级，测试分笔试和面试两个环节．笔试环节所有40名试用员工全部参加；参加面试环节的员工由公司按规则确定．公司对40名试用员工的笔试得分(笔试得分都在[75,100]内)进行了统计分析，得到如下的频率分步直方图和22⨯列联表．男女合计优(得分不低于90分)8良(得分低于90分)12合计40(1)请完成上面的22⨯列联表，并判断是否有90%的把握认为“试用员工的业务水平优良与否”与性别有关；(2)公司决定：85分的员工直接淘汰，得分不低于85分的员工都正式录用．笔试得分在[95,100]内的岗位等级直接定为一级(无需参加面试环节)；笔试得分在[90,95)内的岗位等级初定为二级，但有25的概率通过面试环节将二级晋升为一级；笔试分数在[85,90)内的岗位等级初定为三级，但有35的概率通过面试环节将三级晋升为二级．若所有被正式录用且岗位等级初定为二级和三级的员工都需参加面试．已知甲、乙为该公司的两名试用员工，以频率视为概率．①若甲已被公司正式录用，求甲的最终岗位等级为一级的概率；②若乙在笔试环节等级初定为二级，求甲的最终岗位等级不低于乙的最终岗位等级的概率．参考公式：22()()()()()n ad bc a b c d a c b d χ-=++++，.n a b c d =+++()20P k χ0.150.100.050.0100k 2.0722.7063.8416.635所以20.317 2.706(84)(1612)(816)(412)χ=<++++，因此没有90%的把握认为“试用员工的业务水平优良与否”与性别有关；（2）不低于85分的员工的人数为：40(0.060.040.02)524⨯++⨯=，直接定为一级的概率为0.025401246⨯⨯=，岗位等级初定为二级的概率为：0.045401243⨯⨯=，岗位等级初定为三级的概率为：0.065401242⨯⨯=.①甲的最终岗位等级为一级的概率为：112363510+⨯=；②甲的最终岗位等级不低于乙的最终岗位等级的概率为：2333390.0250.0450.0450.0655555525⨯+⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=.20．（2023·山东·沂水县第一中学校联考模拟预测）为加快推动旅游业复苏，进一步增强居民旅游消费意愿，山东省人民政府规定自2023年1月21日起至3月31日在全省实施景区门票减免，全省国有A 级旅游景区免首道门票，鼓励非国有A 级旅游景区首道门票至少半价优惠．本次门票优惠几乎涵盖了全省所有知名的重点景区，据统计，活动开展以来游客至少去过两个及以上景区的人数占比约为90%．某市旅游局从游客中随机抽取100人（其中年龄在50周岁及以下的有60人）了解他们对全省实施景区门票减免活动的满意度，并按年龄（50周岁及以下和50周岁以上）分类统计得到如下不完整的22⨯列联表：不满意满意总计50周岁及以下5550周岁以上15总计100(1)根据统计数据完成以上22⨯列联表，并根据小概率值0.001α=的独立性检验，能否认为对全省实施景区门票减免活动是否满意与年龄有关联？(2)现从本市游客中随机抽取3人了解他们的出游情况，设其中至少去过两个及以上景区的人数为X ，若以本次活动中至少去过两个及以上景区的人数的频率为概率．①求X 的分布列和数学期望；②求()11P X -≤．参考公式及数据：()()()()()22n ad bc a b c d a c b d χ-=++++，其中n a b c d =+++．()2P k αχ=≥0.1000.0500.0100.001k2.7063.8416.63510.828【答案】(1)补全的22⨯列联表见解析；有关；(2)①分布列见解析；() 2.7E X =；②0.271【分析】（1）由题意，抽取的100人年龄在50周岁及以下的有60人，则年龄在50周岁以上的有40人，即可补全22⨯列联表，再根据公式计算212.76χ=，即可判断；（2）①由题意可知(3,0.9)X B ，根据二项分布即可求解分布列及数学期望；②根据则2100(5251555)12.7610.82820806040χ⨯⨯-⨯==>⨯⨯⨯.所以在犯错误的概率不超过0.001的情况下认为对全省实施景区门票减免活动是否满意与年龄有关联.（2）①由题意可得，游客至少去过两个及以上景区的概率为0.9，则(3,0.9)X B ，X 的所有可能取值为0，1，2，3，033(0)C 0.10.001P X ==⨯=，123(1)C 0.90.10.027P X ==⨯⨯=，223(2)C 0.90.10.243P X ==⨯⨯=，333(3)C 0.90.729X ==⨯=，所以X 的分布列如下：因为(3,0.9)X B ，所以数学期望()30.9 2.7E X =⨯=.②()(11)(0)(1)(2)13P X P X P X P X P X -≤==+=+==-=10.7290.271=-=.21．（2023秋·湖北·高三湖北省云梦县第一中学校联考期末）皮影戏是一种民间艺术，是我国民间工艺美术与戏曲巧妙结合而成的独特艺术品种，已有千余年的历史.而皮影制作是一项复杂的制作技艺，要求制作者必须具备扎实的绘画功底和高超的雕刻技巧，以及持之以恒的毅力和韧劲.每次制作分为画图与剪裁，雕刻与着色，刷清与装备三道主要工序，经过以上工序处理之后，一幅幅形态各异，富有神韵的皮影在能工巧匠的手里浑然天成，成为可供人们欣赏和操纵的富有灵气的影人.小李对学习皮影制作产生极大兴趣，师从名师勒学苦练，目前水平突飞猛进，三道主要工序中每道工序制作合格的概率依次为323,534，，三道序彼此独立，只有当每道工序制作都合格才为一次成功的皮影制作，该皮影视为合格作品．(1)求小李进行3次皮影制作，恰有一次合格作品的概率；(2)若小李制作15次，其中合格作品数为X ，求X 的数学期望与方差；(3)随着制作技术的不断提高，小李制作的皮影作品被某皮影戏剧团看中，聘其为单位制作演出作品，决定试用一段时间，每天制作皮影作品，其中前7天制作合格作品数y 与时间：如下表：（第1天用数字1表示）时间（t ）1234567合格作品数（y ）3434768其中合格作品数（y ）与时间（t ）具有线性相关关系，求y 关于t 的线性回归方程（精确到0.01），并估算第15天能制作多少个合格作品（四舍五入取整）？（参考公式()()()11222ˆnni i i ii i nn iix ynxyx x yybxnxx x ==---==--∑∑∑∑，ˆˆa y bx =-，参考数据：71163i i i t y ==∑）．。

数列大题基础练-高考数学重点专题冲刺演练(原卷版)

【一专三练】专题01数列大题基础练-新高考数学复习分层训练（新高考通用）1．（2022·浙江·模拟预测）已知数列{}n a 满足，12(1)nn n a a +=+⋅-.(1)若11a =，数列{}2n a 的通项公式；(2)若数列{}n a 为等比数列，求1a .2．（2022·海南省直辖县级单位·校联考一模）等差数列{}n a 的首项11a =，且满足2512a a +=，数列{}n b 满足2n a n b =.(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)设数列{}n b 的前n 项和是n T ，求n T .3．（2023·黑龙江大庆·统考一模）设{}n a 是公差不为0的等差数列，12a =，3a 是1a ，11a 的等比中项.(1)求{}n a 的通项公式；(2)设13n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n S .4．（2023·广东惠州·统考模拟预测）数列{}n a 中，12a =，121n n a a +=-．(1)求证：数列{}1n a -是等比数列；(2)若n n b a n =+，求数列{}n b 的前n 项和n T ．5．（2023·广东江门·统考一模）已知数列{}n a （N n +∈）满足11a =，133n n n a a n ++=，且n n a b n =.(1)求数列{}n b 是通项公式；(2)求数列{}n a 的前n 项和n S .6．（2023·江苏·统考一模）已知等比数列{}n a 的各项均为正数，且23439a a a ++=，54323a a a =+.(1)求{}n a 的通项公式；(2)数列{}n b 满足n n n b a =，求{}n b 的前n 项和n T .7．（2023·重庆·统考二模）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,且满足()115n n na n a +-+=,且15a ≠-.(1)求证:数列5n a n +⎧⎫⎨⎬⎩⎭为常数列,并求{}n a 的通项公式;(2)若使不等式20n S >成立的最小整数为7,且1Z a ∈,求1a 和n S 的最小值.8．（2023·海南海口·校考模拟预测）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，14a =，12n n a n S n +=．(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)记12n n na c =-，数列{}n c 的前n 项和为n T ，求12111n T T T ++⋅⋅⋅+的值．9．（2023·山东青岛·统考一模）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差0d ≠，2S ，4S ，54S +成等差数列，2a ，4a ，8a 成等比数列．(1)求n S ；(2)记数列{}n b 的前n 项和为n T ，22n n n n b T S +-=，证明数列1n n b S ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭为等比数列，并求{}n b 的通项公式．10．（2023·山东济南·一模）已知数列{}n a 满足111,(1)1n n a na n a +=-+=．(1)若数列{}n b 满足1n n a b n+=，证明：{}n b 是常数数列；(2)若数列{}n c 满足πsin 22n a n n c a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，求{}n c 的前2n 项和2n S ．11．（2022·辽宁鞍山·统考一模）已知等差数列{}n a 满足首项为3331log 15log 10log 42-+的值，且3718a a +=.(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)设11n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n T .12．（2023·广东·统考一模）已知各项都是正数的数列{}n a ，前n 项和n S 满足()2*2n n n a S a n =-∈N .(1)求数列{}n a 的通项公式.(2)记n P 是数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和，n Q 是数列121n a -⎧⎫⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭的前n 项和.当2n ≥时，试比较n P 与n Q 的大小.13．（2022·吉林长春·东北师大附中校考模拟预测）从①12n a S n n ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；②23S a =，412a a a =；③12a =，4a 是2a ，8a 的等比中项这三个条件中任选一个，补充到下面横线上，并解答．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差d 不等于零，______．(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)若122n n n b S S +=-，数列{}n b 的前n 项和为n W ，求n W ．14．（2022·广东珠海·珠海市第三中学统考二模）已知数列{}n a ，{}n b 的前n 项和分别为n S ，n T ，1221n n n a b n -+=+-，221n n n T S n -=--．(1)求11,a b 及数列{}n a ，{}n b 的通项公式；(2)设()*21N 2n n n a n k c k b n k =-⎧=∈⎨=⎩，，，求数列{}n c 的前2n 项和2n P ．15．（2022·云南大理·统考模拟预测）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足1121,1n n S a a n+==-．(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)若数列2,,23,,n n n C n n ⎧=⎨+⎩为奇数为偶数，求数列{}n C 的前2n 项和2n T ．16．（2022·湖南永州·统考一模）已知数列{}{},n n a b 满足：111a b ==，且210n n n n a b a b ++-=.(1)若数列{}n a 为等比数列，公比为121,2q a a -=，求{}n b 的通项公式；(2)若数列{}n a 为等差数列，11n n a +-=，求{}n b 的前n 项和n T .17．（2022·广东韶关·统考一模）已知数列{}n a 的首项145a =，且满足143n n n a a a +=+，设11n nb a =-.(1)求证：数列{}n b 为等比数列；(2)若1231111140na a a a ++++> ，求满足条件的最小正整数n .18．（2022·河北·模拟预测）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，13a =，且1123n n n S S a +++=-．(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)①3log n n n b a a =；②3321log log n n n b a a +=⋅；③3log n n n b a a =-．从上面三个条件中任选一个，求数列{}n b 的前n 项和n T ．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．19．（2022·广东广州·统考一模）已知公差不为0的等差数列{}n a 中，11a =，4a 是2a 和8a 的等比中项.(1)求数列{}n a 的通项公式：(2)保持数列{}n a 中各项先后顺序不变，在k a 与1(1,2,)k a k += 之间插入2k ，使它们和原数列的项构成一个新的数列{}n b ，记{}n b 的前n 项和为n T ，求20T 的值.20．（2023·湖北·荆州中学校联考二模）已知数列{}n a ，若_________________．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T ．从下列三个条件中任选一个补充在上面的横线上，然后对题目进行求解．①2123n a a a a n ++++= ；②11a =，47a =，()*112,2n n n a a a n n -+=+∈N ≥；③11a =，点(),n A n a ，()11,n B n a ++在斜率是2的直线上．21．（2023·江苏南通·二模）已知正项数列{}n a 的前n 项和为，且11a =，2218n n S S n +-=，*N n ∈．(1)求n S ；(2)在数列{}n a 的每相邻两项1k k a a +，之间依次插入12k a a a ⋯，，，，得到数列{}1121231234n b a a a a a a a a a a ⋯⋯：，，，，，，，，，，，求{}n b 的前100项和.22．（2023·江苏南通·海安高级中学校考一模）已知数列{}n a 满足()1122n n n a a a n -+=+≥，且12342,18a a a a =++=(1)求{}n a 的通项公式；(2)设1000n a n b =-，求数列{}n b 的前15项和15T （用具体数值作答）.23．（2023·安徽·模拟预测）已知{}n a 为等差数列，{}n b 是公比为2的等比数列，且223344a b a b b a -=-=-．(1)证明：11a b =；(2)求集合{}1,1500k m k b a a m =+≤≤中元素个数．24．（2023·河北衡水·河北衡水中学校考三模）已知{}n a 为等差数列，1154,115n n a n a a n+-==+.(1)求{}n a 的通项公式；(2)若()()1,414n n n n b T a a =++为{}n b 的前n 项和，求n T .25．（2023·广东广州·统考二模）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()22*n n S a n =-∈N .(1)求{}n a 的通项公式；(2)设2211log log n n n b a a +=⋅，记{}n b 的前n 项和为n T ，证明：1n T <.26．（2023·江苏泰州·统考一模）在①124,,S S S 成等比数列，②4222a a =+，③8472S S S =+-这三个条件中任选两个，补充在下面问题中，并完成解答.已知数列{}n a 是公差不为0的等差数列，其前n 项和为n S ，且满足__________，__________.(1)求{}n a 的通项公式；(2)求12233411111n n a a a a a a a a +++++ .注：如果选择多个方案分别解答，按第一个方案计分.27．（2023·黑龙江·黑龙江实验中学校考一模）已知数列{}n a ，前n 项和为n S ，且满足112n n n a a a +-=-，2n ≥，*N n ∈，1514a a +=，770S =，等比数列{}n b 中，1212b b +=，且12,6b b +，3b 成等差数列．(1)求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；(2)记n c 为区间(]()*,N n n a b n ∈中的整数个数，求数列{}n c 的前n 项和n P ．28．（2023·吉林·统考二模）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，13a =，数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以2为公差的等差数列.(1)求{}n a 的通项公式；(2)设()()112n n n n n a b a a +-+=，求数列{}n b 的前2n 项和2n T .29．（2023·山西·校联考模拟预测）已知数列{}n a 满足0n a >，22112n n n n a a a a ++=+，且13a ，23a +，3a 成等差数列.(1)求{}n a 的通项公式；(2)若12,log ,n n n a n b a n ⎧⎪=⎨⎪⎩为奇数为偶数，求数列{}n b 的前2n 项和2n T .30．（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨三中校考二模）已知数列{}n a 满足：15a =，134n n a a +=-，设2n n b a =-，*N n ∈．(1)求数列{}n b 的通项公式；(2)设3132312log log log n n nb b b T b b b =++⋅⋅⋅+，()*N n ∈，求证：34n T <．。

第二部分选填题(四)(练习)【金品备课】高考数学复习-冲刺方案-刷题训练及答案详解

选填题(四)一、选择题(在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求)1．(2022·山东省聊城高考模拟一)复数z 满足(1＋2i)z ＝3－i ，则|z |＝( )A ． 2B ． 3C ．2D ． 5答案 A解析因为(1＋2i)z ＝3－i ，所以z ＝3－i 1＋2i ＝（3－i ）（1－2i ）（1＋2i ）（1－2i ）＝15－75i ，所以|z |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫152＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－752＝ 2. 2．(2022·湖北省黄冈市蕲春县实验高级中学高三一模)已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |y ＝log 2(x －1)}，B ＝{x ∈Z ||x －1|≤2}，则(∁U A )∩B ＝( )A ．{0，1}B ．{－1，0，1}C ．{0，1，2，3}D ．{－1，0，1，2，3}答案 B解析由题意得，集合A ＝{x |y ＝log 2(x －1)}＝{x |x >1}，∴∁U A ＝{x |x ≤1}，又B ＝{x ∈Z ||x －1|≤2}＝{－1，0，1，2，3}，∴(∁U A )∩B ＝{－1，0，1}．故选B.3．(2022·全国甲卷(理))某社区通过公益讲座以普及社区居民的垃圾分类知识．为了解讲座效果，随机抽取10位社区居民，让他们在讲座前和讲座后各回答一份垃圾分类知识问卷，这10位社区居民在讲座前和讲座后问卷答题的正确率如图，则( )A．讲座前问卷答题的正确率的中位数小于70%B．讲座后问卷答题的正确率的平均数大于85%C．讲座前问卷答题的正确率的标准差小于讲座后正确率的标准差D．讲座后问卷答题的正确率的极差大于讲座前正确率的极差答案 B解析讲座前问卷答题的正确率的中位数为70%＋75%2＝72.5%＞70%，故A 错误；讲座后问卷答题的正确率只有一个是80%，4个是85%，剩下的全部大于等于90%，所以讲座后问卷答题的正确率的平均数大于85%，故B正确；讲座前问卷答题的正确率更加分散，所以讲座前问卷答题的正确率的标准差大于讲座后正确率的标准差，故C错误；讲座后问卷答题的正确率的极差为100%－80%＝20%，讲座前问卷答题的正确率的极差为95%－60%＝35%＞20%，故D错误．故选B.4．(2022·河北石家庄高三质量检测一)函数f(x)＝x32x＋2－x的部分图象大致是()答案 A解析f(x)＝x32x＋2－x的定义域为R，f(－x)＝－f(x)，故为奇函数，图象关于原点对称，排除B，D；易知x→＋∞时，f(x)＝x32x＋2－x>0，2x→＋∞，2－x→0，x3→＋∞，∵指数函数y＝2x比幂函数y＝x3的增长速度快，故f(x)→0，即f(x)在x→＋∞时，图象向x轴无限靠近且在x轴上方．故选A.5．(2022·河南省郑州市高三第二次质量预测)在△ABC中，AB＝2，AC＝3，∠BAC ＝60°，M 是线段AC 上任意一点，则MB →·MC →的最小值是( )A ．－12B ．－1C ．－2D ．－4答案 B解析设MC →＝λAC →(λ∈[0，1])，MB →＝MA →＋AB →＝－(1－λ)AC →＋AB →，MB →·MC→＝[－(1－λ)AC →＋AB →]·(λAC →)＝－λ(1－λ)AC →2＋λAB →·AC→＝－9λ(1－λ)＋λ×2×3×cos 60°＝3λ(3λ－2)，当λ＝13时，3λ(3λ－2)取最小值－1.故选B.6．(2022·福建省莆田市高三教学质量检测一)已知a ＝ln 3，b ＝30.5，c ＝lg 9，则( )A ．a >b >cB ．c >a >bC ．b >a >cD ．b >c >a答案 C解析因为0＝lg 1<c ＝lg 9<lg 10＝1，a ＝ln 3>ln e ＝1，所以a >c .又e 3>32，所以e 32>3，则32>ln 3，则b ＝30.5>32>ln 3＝a .故b >a >c . 7．(2022·全国甲卷(理))在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，已知B 1D 与平面ABCD 和平面AA 1B 1B 所成的角均为30°，则( )A ．AB ＝2ADB ．AB 与平面AB 1C 1D 所成的角为30°C ．AC ＝CB 1D ．B 1D 与平面BB 1C 1C 所成的角为45°答案 D解析如图所示，不妨设AB ＝a ，AD ＝b ，AA 1＝c ，依题意以及长方体的结构特征可知，B 1D 与平面ABCD 所成的角为∠B 1DB ，B 1D 与平面AA 1B 1B 所成的角为∠DB 1A ，所以sin 30°＝c B 1D ＝b B 1D ，即b ＝c ，B 1D ＝2c ＝a 2＋b 2＋c 2，解得a ＝2c .对于A ，AB ＝a ，AD ＝b ，AB ＝2AD ，A 错误；对于B ，过B 作BE ⊥AB 1于E ，易知BE ⊥平面AB 1C 1D ，所以AB 与平面AB 1C 1D 所成的角为∠BAE ，因为tan ∠BAE ＝c a ＝22，所以∠BAE ≠30°，B 错误；对于C ，AC ＝ a 2＋b 2＝3c ，CB 1＝b 2＋c 2＝2c ，AC ≠CB 1，C 错误；对于D ，B 1D 与平面BB 1C 1C 所成的角为∠DB 1C ，sin ∠DB 1C ＝CD B 1D ＝a 2c ＝22，而0°＜∠DB 1C ＜90°，所以∠DB 1C ＝45°，D 正确．故选D.8．(2022·重庆第八中学高考适应性考试)直线y ＝kx (k >0)是双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线．点P ，Q 是双曲线C 右支上相异的两点，若使得△OPQ (其中O 为坐标原点)为等腰直角三角形的直线PQ 恰有两条，则k 的取值范围为( )A ．(1，2]B ．(2－1，1]C ．(2，2]D ．(1，2]答案 B解析 △OPQ (其中O 为坐标原点)为等腰直角三角形．若∠POQ 为直角，则|OP |＝|OQ |，由双曲线的对称性可知，这样的直线PQ 不会恰有两条，故O 不可能是直角顶点，即两渐近线之间的夹角不大于90°，所以k ≤1.不妨设∠OPQ 为直角，所以∠POQ ＝45°，所以两渐近线之间的夹角大于45°.设直线y ＝kx (k >0)的倾斜角为θ，所以k ＝tan θ.因为tan 2θ>1，即2tan θ1－tan 2θ>1，解得tan θ>2－1，所以2－1<k ≤1.故选B. 二、选择题(在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求)9．(2022·福建省莆田二中高三一模)已知{a n }是等差数列，公差d >0，其前n项和为S n ，若a 2，a 5＋2，a 17＋2成等比数列，S n ＝（n ＋1）a n 2，则( ) A.d ＝1B ．a 10＝20C ．S n ＝n 2＋nD ．当n ≥2时，S n ≥32a n 答案 BCD解析 ∵S n ＝（n ＋1）a n 2，∴当n ＝2时，可得2(a 1＋a 2)＝3a 2，化为2a 1＝a 2，即a 1＝d ，∵a 2，a 5＋2，a 17＋2成等比数列，∴(5d ＋2)2＝2d (17d ＋2)，即9d 2－16d －4＝0，又d >0，解得d ＝2，∴a n ＝2n ，a 10＝20，S n ＝n 2＋n ，当n ≥2时，S n －32a n ＝n 2＋n －3n ＝n 2－2n ＝n (n －2)≥0.故选BCD.10．(2022·江苏省南通市高三下3月大联考)已知函数f (x )＝2sin x cos x ＋23sin 2x ，则( )A ．f (x )的最小正周期为πB ．⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0是曲线f (x )的一个对称中心 C ．直线x ＝－π12是曲线f (x )的一条对称轴D ．f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，5π12上单调递增答案 ACD解析 f (x )＝sin2x ＋3(1－cos 2x )＝sin 2x －3cos 2x ＋3＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋3，T ＝2π2＝π，A 正确；⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，3是曲线f (x )的一个对称中心，B 错误；由2x －π3＝π2＋k π，k ∈Z ，得x ＝5π12＋k π2，k ∈Z ，k ＝－1时，x ＝－π12，∴直线x ＝－π12是曲线f (x )的一条对称轴，C 正确；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，5π12时，2x －π3∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，5π12上单调递增，D 正确．故选ACD.11．(2022·广东省梅州市高三二模)一球筐中装有n 个小球，甲、乙两个同学轮流且不放回地抓球，每次最少抓1个球，最多抓2个球，规定：由甲先抓，且谁抓到最后一个球谁赢，则以下推断中正确的有( )A ．若n ＝4，则甲有必赢的策略B ．若n ＝5，则甲有必赢的策略C ．若n ＝6，则乙有必赢的策略D ．若n ＝7，则乙有必赢的策略答案 ABC解析对于A ，若n ＝4，只要甲第一次抓1个球，乙抓1个或2个球，剩余的球甲可以抓完，即甲有必赢的策略，A 正确；对于B ，若n ＝5，只要甲第一次抓2个球，乙抓1个或2个球，剩余的球甲可以抓完，即甲有必赢的策略，B 正确；对于C ，若n ＝6，若甲第一次抓1个球，则问题转化为剩余5个球，由乙先抓，结合B 项可知，乙有必赢的策略，若甲第一次抓2个球，则问题转化为剩余4个球，由乙先抓，结合A 项可知，乙有必赢的策略．综上，若n ＝6，则乙有必赢的策略，C 正确；对于D ，若n ＝7，若甲第一次抓1个球，则问题转化为剩余6个球，由乙先抓，结合C 项可知，甲有必赢的策略，若甲第一次抓2个球，则问题转化为剩余5个球，由乙先抓，结合B 项可知，乙有必赢的策略，D 错误．故选ABC.12．(2022·广东省茂名五校高三第三次联考)设函数f (x )＝x －ln |x |x ，则下列说法中正确的是( )A ．f (x )为奇函数B ．函数y ＝f (x )－1有两个零点C ．函数y ＝f (x )＋f (2x )的图象关于点(0，2)对称D ．过原点与函数f (x )的图象相切的直线有且只有一条答案 BCD解析 f (x )＝x －ln |x |x ＝1－ln |x |x (x ≠0)，f (－x )＝1＋ln |x |x ≠－f (x )，故A 错误；令f (x )－1＝0，即ln |x |x ＝0，解得x ＝±1，故B 正确；y ＝－ln |x |x 是奇函数，所以f (x )的图象关于点(0，1)对称，又因为f (2x )的图象也关于点(0，1)对称，所以y ＝f (x )＋f (2x )的图象的对称中心为点(0，2)，故C 正确；设切点P (x 0，y 0)，切线y＝kx ，当x >0时，f (x )＝1－ln |x |x ＝1－ln x x ，f ′(x )＝－1－ln x x 2，由－1－ln x 0x 20＝k ，1－ln x 0x 0＝kx 0，消去k 得2ln x 0＝x 0＋1，令g (x )＝x ＋1－2ln x ，g ′(x )＝1－2x ＝x －2x ，可得g (x )在(0，2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增，所以g (x )≥g (2)＝3－2ln2>0，所以方程2ln x 0＝x 0＋1无解．当x <0时，f (x )＝1－ln |x |x ＝1－ln （－x ）x，f ′(x )＝－1－ln （－x ）x 2，则－1－ln （－x 0）x 20＝k ，1－ln （－x 0）x 0＝kx 0，消去k 得2ln (－x 0)＝x 0＋1，可知y ＝2ln (－x )与y ＝x ＋1的图象有唯一交点，所以方程2ln (－x 0)＝x 0＋1有唯一解．综上，所求切线有且只有一条，故D 正确．故选BCD.三、填空题13．(2022·湖南省长沙市雅礼中学高三下月考七)若tan α＝2，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2α＝________．答案－45解析 cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2α＝－sin 2α＝－2sin αcos α＝－2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝－2tan αtan 2α＋1＝－45.14．(2022·河北石家庄高三质量检测一)设点M 是椭圆C ：x 29＋y 28＝1上的动点，点N 是圆E ：(x －1)2＋y 2＝1上的动点，且直线MN 与圆E 相切，则|MN |的最小值是________．答案 3解析由题意可知，E (1，0)，|NE |＝1.设M (x 0，y 0)，x 209＋y 208＝1⇒y 20＝8⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 209，－3≤x 0≤3，则|MN |＝|ME |2－|NE |2＝|ME |2－1＝（x 0－1）2＋y 20－1＝x 20－2x 0＋8⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 209＝x 209－2x 0＋8＝x 20－18x 0＋723＝（x 0－9）2－93，∴当x 0＝3时，|MN |min ＝36－93＝ 3.15．(2022·新高考Ⅰ卷)若曲线y ＝(x ＋a )e x 有两条过坐标原点的切线，则a 的取值范围是________．答案 (－∞，－4)∪(0，＋∞)解析因为y ＝(x ＋a )e x ，所以y ′＝(x ＋a ＋1)e x .设切点为A (x 0，(x 0＋a )e x 0)，O为坐标原点，依题意得，切线斜率k OA ＝(x 0＋a ＋1)e x 0＝（x 0＋a ）e x 0x 0，化简，得x 20＋ax 0－a ＝0.因为曲线y ＝(x ＋a )e x 有两条过坐标原点的切线，所以关于x 0的方程x 20＋ax 0－a ＝0有两个不同的根，所以Δ＝a 2＋4a ＞0，解得a ＜－4或a ＞0，所以a 的取值范围是(－∞，－4)∪(0，＋∞).16.(2022·福州高三诊断性联考)《缀术》是中国南北朝时期的一部算经，汇集了祖冲之和祖暅父子的数学研究成果．《缀术》中提出的“缘幂势既同，则积不容异”被称为祖暅原理，其意思是：如果两等高的几何体在同高处被截得的两截面面积均相等，那么这两个几何体的体积相等．该原理常应用于计算某些几何体的体积．如图，某个西晋越窑卧足杯的上、下底为互相平行的圆面，侧面为球面的一部分，上底直径为4 6 cm ，下底直径为6 cm ，上、下底面间的距离为3 cm ，则该卧足杯侧面所在的球面的半径是________ cm ；卧足杯的容积是________ cm 3(杯的厚度忽略不计).答案 5 54π解析设卧足杯侧面所在的球面的半径为R cm ，球心到上底面的距离为d cm ，则⎩⎨⎧R 2＝d 2＋（26）2，R 2＝（d ＋3）2＋32解得d ＝1，R ＝5.设卧足杯中与下底面的距离为h cm 的截面半径为r cm ，则球心到此截面的距离为1＋3－h ＝(4－h )cm ，所以r 2＝52－(4－h )2，则此截面的面积为S ＝[π×52－π×(4－h )2](cm 2).构造一个底面半径为5 cm ，高为3 cm 的圆柱，并且在此圆柱中挖去上底半径为1 cm ，下底半径为4 cm ，高为3 cm 的圆台，设距离圆柱下底面的距离为h cm 的截面截圆台的半径为r ′cm ，则r ′－13＝3－h 3，则r ′＝4－h ，所以截面截几何体所得截面的面积为S ′＝[π×52－π×(4－h )2](cm 2).由祖暅原理得卧足杯与此圆柱挖去圆台后的几何体的体积相等，则V ＝π×52×3－13π(12＋42＋1×4)×3＝54π(cm 3).。

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江苏南通高考数学二轮冲刺小练（37）
班级学号姓名
1．直线mymx2)1(与1642ymx平行的充要条件是m= ．
2．已知圆07622xyx与抛物线22(0)ypxp的准线相切，则p= ．
3．函数23)(23xxxf的单调减区间是．
4．已知等差数列{}na共有10项，其中奇数项之和为15，偶数项之和为30，则{}na的公差为．
5．对于给定的函数xxxf22)(，有下列四个结论：
①)(xf的图象关于原点对称； ②2)3(log2f；
③)(xf在R上是增函数； ④|)(|xf有最小值0．
其中正确结论的序号是．（写出所有正确结论的序号）
6．方程052422mymxyx表示圆的充要条件是．

7．一人用一小时将一条信息传达给两人，这两人每人又用一小时将信息传给不知此信息的两人，如此下去（每
人仅传一次），要传遍55个不同的人至少需要小时．
8．与圆49)5(:22yxA和圆1)5(:22yxB
都外切的圆的圆心P的轨迹方程是．
9．右边的流程图可表示函数)(xf ．
10．在△ABC中，如果bcacbcba3))((，
那么A= ．

11．在锐角三角形ABC中，已知内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且3tantan(1tantan)3ABAB．
（1）若abbac222，求A、B、C的大小；
（2）已知向量(sin,cos),(cos,sin),|32|AABB求mnmn的取值范围．

12．数列}{na的前n项和为nS，若21(1)(*)4nnSanN．
（1）求数列}{na的通项公式；

（2）若12(*)nnnbnaaN，求数列}{nb的前n项和为nT．