天津市蓟州区2020-2021学年高二(下)期中数学试题
天津市蓟县高二下期中考试数学试题(理)有答案-超值
蓟县2015-2016学年第二学期其中考试试卷高二数学理科第Ⅰ卷一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1、计算复数2(ii i-是虚数单位） A ．12i + B ．12i -+ C ．12i -- D ．12i -2、函数21y x =-的图象上一点(1,0)处的切线的斜率为A ．1B ．2C ．0D ．-13、由①上行的对角线互相垂直；②菱形的对角线互相垂直；③正方形是菱形，写出一个“三段论”形式的推理，则作为大前提、小前提和结论的分别为A ．②①③B ．③①②C ．①②③D ．②③① 4、设()ln f x x x =，若0(3)f x '=，则0x = A ．2e B ．e C ．ln 22D ．ln 2 5、20cos xdx π⎰等于A ．32-B ．12C ．32D ．12- 6、若()sin cos f x x α=-，则()f α'等于A ．sin αB ．cos αC ．sin cos αα+D ．2sin α7、函数()(3)xf x x e =-的单调区间是A ．(,2)-∞B ．(2,)+∞C ．()1,4D ．()0,38、设函数()f x '是函数()f x 的导函数，()y f x '=的图象如图所示，则()y f x =的图象最有可能的是9、函数3239(04)y x x x x =--<<有A ．极大值5，极小值-27B ．极大值5，极小值-11C ．极大值5，无极小值D ．极小值-27，无极大值 10、已知函数()f x 在R 上满足()122(2)x f x f x e x -=-++，则()1f '=A ．2B ．3C ．-1D ．1第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上。
. 11、核黄素()sin 2f x x =，则函数的导函数为()f x '= 12、复数12,z i z =-=13、在ABC ∆中，不等式1119A B C π++≥成立，在四边形ABCD 中，不等式1111162A B C D π+++≥成立；在五边形ABCDE 中，不等式11111253A B C D E π++++≥成立，猜想在n 边形12n A A A 中，有 不等式成立。
2020-2021学年天津市南开区高二下学期期中数学试卷(含答案解析)
2020-2021学年天津市南开区高二下学期期中数学试卷一、单选题（本大题共8小题，共32.0分）1. 已知i 是虚数单位，复数z 满足z3−i =i ，则z −=( )A. −1+3iB. −1−3iC. 1+3iD. 1−3i2. 已知曲线f(x)=(x +alnx)e x 在点(1,e)处的切线经过坐标原点，则a =( )A. −eB. −2C. −1D. e −23. 若函数，则下列结论正确的是( )A.B.C. 是偶函数D.是奇函数4. 按照下列图形中的规律排下去，第6个图形中包含的点的个数为( )A. 108B. 128C. 148D. 1685. 已知定义在实数集R 上的函数f(x)满足f(1)=2，且f(x)的导数f′(x)在R 上恒有f′(x)<1(x ∈R)，则不等式f(x)<x +1的解集为( )A. (1,+∞)B. (−∞,−1)C. (−1,1)D. (−∞,−1)∪(1,+∞)6. 函数上有最小值，实数a 的取值范围是( )A. (−1,3)B. (−1,2)C.D.7. 设f(x)={x 3,x ∈[0,1]3−2x,x ∈[1,3]，则∫ 02f(x)dx =( )A. 14B. 13C. 34D. 18. 若函数在区间内有一个零点，则实数的取值可以是( )A. B. C. ．D.二、单空题（本大题共8小题，共24.0分）9. 已知复数z =−12−√32i ，则1z +|z|的共轭复数是______．10. 已知函数，则的极大值为 ．11. 已知函数在(0,3)内递增，则实数的取值范围是_________12. 如图，点A 的坐标为(1,0)，函数y =ax 2过点C(2,4)，若在矩形ABCD内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于______．13. 函数y =(x +1)e 2x 的最小值是______． 14. 一同学在电脑中打出如下若干分圈：…若将此若干个圈依次规律继续下去，得到一系列的圈，那么在前120个圈中的●的个数是______ ． 15. 函数f(x)=x ⋅e x 的单调递减区间为______ ．16. 设f(x)，g(x)是定义在R 上的两个函数，f(x)满足f(x +2)=−f(x)，g(x)满足g(x +2)=g(x)，且当x ∈(0,2]时，f(x)=√−x 2+2x ，g(x)={k(x +2)0<x ≤1−121<x ≤2，若在区间[0,11]上，关于x 的方程f(x)=g(x)有8个不同的实数根，则k 的取值范围是______． 三、解答题（本大题共4小题，共48.0分）17. 设n ∈N ∗,f(n)=1+1√2+1√3+⋯+1√n ，试比较f(n)与√n +1的大小并证明．18.已知函数f(x)=ax3+x．(Ⅰ)若函数f(x)在x=1处取得极值，求实数a的值；(Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下，函数g(x)=f′(x)(x2+px+q)(其中f′(x)为函数f(x)的导数)的图象关于直线x=1对称，求函数g(x)的最大值．(a>0)．19.已知函数f(x)=9xax2+1(1)若直线y=−x+2a为曲线f(x)的切线，求a的值；,2]，且x1+x2+⋯+x100=100，若不等式m≥f(x1)+(2)当a=2时，设x1,x2,…,x100∈[12f(x2)+⋯+f(x100)，求m的最小值．20.已知函数f(x)=alnx+−1，a≠0．(Ⅰ)求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程；(Ⅱ)若关于x的不等式f(x)≥b(x−1)在[，+∞)上恒成立，其中a、b为实数，求a的取值范围．【答案与解析】1.答案：D=i，解析：解：∵z3−i∴z=i(3−i)=1+3i，∴z−=1−3i，故选：D．直接利用复数代数形式的乘除运算化简，然后利用共轭复数的概念得答案．本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了共轭复数的概念，是基础题．2.答案：C解析：解：由f(x)=(x+alnx)e x，+x+alnx)e x，得f′(x)=(1+ax∴f′(1)=(a+2)e，=(2+a)e，由题知e−01−0解得：a=−1．故选：C．求出原函数的导函数，得到函数在x=1处的导数，再由题意结合两点求斜率列式求得a值．本题考查利用导数研究过曲线上的某点处的切线方程，考查两点求斜率公式的应用，是中档题．3.答案：C解析：因为，所以，若，只有，才有单调增，故A，B错误，当时，是偶函数，因此C对，D不对．故正确选项为C．4.答案：A解析：解：第一个图形中中有a1=3个点，第2个图形中有a2=3+(3+6×1)个点，第3个图形中有a3=3+(3+6×1)+(3+6×2)个点，第4个图形中有a4=3+(3+6×1)+(3+6×2)+(3+6×3)个点，∴第6个图形中包含的点的个数为：a6=3+(3+6×1)+(3+6×2)+(3+6×3)+(3+6×4)+(3+6×5)=3×6+6(1+2+3+4+5)=108．故选：A．第一个图形中中有a1=3个点，第2个图形中有a2=3+(3+6×1)个点，第3个图形中有a3=3+ (3+6×1)+(3+6×2)个点，第4个图形中有a4=3+(3+6×1)+(3+6×2)+(3+6×3)个点，由此利用等差数列求和公式能求出第6个图形中包含的点的个数．本题考查第6个图形中包含的点的个数的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．5.答案：A解析：本题利用导数研究函数的单调性，可构造函数求解，考查所构造的函数的单调性是关键，也是难点所在，属于中档题．构造函数g(x)=f(x)−x−1，g′(x)=f′(x)−1<0，从而可得g(x)的单调性，结合f(1)=2，可求得g(1)=1，然后求出不等式的解集即可．解：令g(x)=f(x)−x−1，∵f′(x)<1(x∈R)，∴g′(x)=f′(x)−1<0，∴g(x)=f(x)−x−1在R上单调递减，又f(1)=2，∴g(1)=f(1)−1−1=0，∴不等式f(x)<x +1的解集⇔g(x)=f(x)−x −1<0=g(1)的解集， 即g(x)<g(1)，又g(x)=f(x)−x −1在R 上单调递减， ∴x >1，即x ∈(1,+∞)． 故选A ．6.答案：D解析：试题分析：由题f′(x)=3−3x 2，令f′(x)>0解得−1<x <1；令f′(x)<0解得x <−1或x >1，由此得函数在(−∞,−1)上是减函数，在(−1,1)上是增函数，在(1,+∞)上是减函数故函数在x =−1处取到极小值−2，判断知此极小值必是区间(a 2−12,a)上的最小值.∴a 2−12<−1<a ，解得−1<a <，又当x =2时，f(2)=−2，故有a ≤2，综上知a ∈(−1,2]，故选D ．考点：用导数研究函数的最值7.答案：A解析：解：∫f 20(x)dx =∫f 10(x)dx +∫f 21(x)dx =∫(10x 3)dx +∫(213−2x)dx=14x 4|01+(3x −x 2)|12 =14+6−4−3+1=14． 故选：A分段函数的积分必须分段求解，故先将原式化成∫f 10(x)dx +∫f 21(x)dx ，再分别求各个和式的积分，最后只要求出被积函数的原函数，结合积分计算公式求解即可．本小题主要考查定积分、定积分的应用、导数等基础知识，考查运算求解能力、化归与转化思想．属于基础题．8.答案：A解析：试题分析：在区间内有一个零点，即方程在区间内有一个根，即函数与在内有一个公共点．如图，当直线经过点时，此时在内无公共点，但当该直线绕着原点逆时针旋转时，则在区间内有公共点，故只需此直线的斜率小于即可.故，故A中可取到．考点：函数的零点，函数的图象．9.答案：12−√32i解析：解：∵z=−12−√32i，∴1z+|z|=z−|z|2+|z|=−12+√32i+1=12+√32i，∴1z +|z|的共轭复数是12−√32i．故答案为：12−√32i．由已知利用复数代数形式的乘除运算化简，再由共轭复数的概念得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．10.答案：解析：对函数求导得，令，得，所以，，当时，，为增函数，当时，，为减函数，所以的极大值为．考点：导数的应用．11.答案：解析：试题分析：根据题意，由于函数，由于在(0,3)内递增，故可知导数恒大于等于零，即可知，故可知答案为考点：函数单调性点评：主要是考查了函数单调性的运用，属于基础题。
2020-2021学年天津市实验中学高二下学期期中数学试卷(含答案解析)
2020-2021学年天津市实验中学高二下学期期中数学试卷一、单选题（本大题共8小题，共24.0分）1.设a=∫|20x−1|dx，使(ax+1x√x)n(n∈N∗)的展开式中含有常数项的最小的n为()A. 4B. 5C. 6D. 72.命题p：∀x∈[0,+∞)，2x1，则()A. p是假命题，￢p：∃x0∈[0,+∞)，B. p是假命题，￢p：∀x∈[0,+∞)，2x<1C. p是真命题，￢p：∃x0∈[0,+∞)，D. p是真命题，￢p：∀x∈[0,+∞)，2x<13.给出命题p：f(x)=sinx+√3cosx的周期为π；命题q：若数列{a n}前n项和S n=n2+2n，则数列{a n}为等差数列，则下列四个命题“p且q”，“p或q”，“非p”，“非q”中，真命题个数为()A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个4.从5种不同的书(每种书不少于3本)买3本送给3名同学，每人各一本的不同送法有()A. A 53B. 53C. 35D. A 53A 335.设函数，则当x>0时，]表达式的展开式中常数项为()A. B. 20 C. D. 156.一学生通过某种英语听力测试的概率为12，他连续测试2次，则恰有1次获得通过的概率为()A. 14B. 13C. 12D. 437.某班的课桌分4个大组摆放，每大组课桌数相同，甲、乙均为该班学生，则甲、乙两人的课桌在同一大组的概率是()A. 12B. 34C. 14D. 158.下列命题中正确的是()A. “m =12”是“直线(m +2)x +3my +1=0与直线(m −2)x +(m +2)y −3=0相互平行”的充分不必要条件B. “直线l 垂直平面α内无数条直线”是“直线l 垂直于平面α”的充分条件C. 已知a ⃗ ，b ⃗ ，c ⃗ 为非零向量，则“a ⃗ ⋅b ⃗ =a ⃗ ⋅c ⃗ ”是“b ⃗ =c ⃗ ”的充要条件D. p ：∃x ∈R ，x 2+2x +2013≤0，则￢p ：∀x ∈R ，x 2+2x +2013>0二、单空题（本大题共6小题，共18.0分）9. 有一种游戏规则如下：口袋里有5个红球和5个黄球，一次摸出5个，若颜色相同则得100分，若4个球颜色相同，另一个不同，则得50分，其他情况不得分．小张摸一次得分的期望是____________分． 10. 命题“若x <0，则”的逆否命题是 命题．(填“真”或“假”)11. “a =2”是“直线ax +2y +1=0和直线3x +(a −1)y −2=0平行”的______条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分又不必要”)12. 若，则化简后的最后结果等于__________．13. 设a =∫1xe 21dx ，则二项式(x +a x )(2x −1x )5的展开式中的常数项是______． 14. 一条长椅上有7个座位，4个人坐，要求3个空位中，恰有2个空位相邻，共有______ 种不同的坐法．(用数字作答)三、解答题（本大题共4小题，共48.0分）15. 某日用品按行业质量标准分成五个等级，等级系数X 依次为1、2、3、4、5.现从一批该日用品中随机抽以20件，对其等级系数进行统计分析，得到频率分布表如下：(1)若所抽取的20件日用品中，等级系数为4的恰有3件，等级系数为5的恰有2件，求a 、b 、c 的值．(2)在(1)的条件下，将等级系数为4的3件日用品记为x 1、x 2、x 3，等级系数为5的2件日用品记为y 1、y 2购买者往往从x 1、x 2、x 3、y 1、y 2这5件日用品中任取两件(假定每件日用品被取出的可能性相同)，写出所有可能的结果，并求这两件日用品的等级系数恰好相等的概率16.甲、乙、丙三人，为了研究某地区高中男生的体重y(单位：kg)与身高x(单位：cm)是否存在较好的线性关系，他们随机调查了6位高中男生身高和体重的数据，得到如下表格：身高/cm160166172173173182体重/kg445055555664根据表中数据计算得到y关于x的线性回归方程对应的直线的斜率为0.89．(1)求y关于x的线性回归方程ŷ=b̂x+â；(2)从该地区大量高中男生中随机抽出10位男生，他们身高单位：cm)的数据绘制成如图的茎叶图.①估计体重超过60kg的频率p，②视频率为概率，从该地区大量高中男生中随机选出2人，记这2人中体重超过60kg的人数为X，求X的分布列及其数学期望(用(1)中的回归方程估测这10位男生的体重)．17.已知椭圆的两个焦点分别是F1(−1,0)和F2(1,0)，P为椭圆上一点，且F1F2是PF1和PF2的等差中项．(1)求椭圆的方程；(2)若点P在第三象限内，且∠PF1F2=120°，求cos∠F1PF2．18.如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，且∠AOC=120°，PA⊥平面ABC，AB=4，PA=2√3，D是PC的中点，点M是⊙O上的动点(不与A，C重合)．(1)证明：AD⊥PB；(2)当三棱锥D−ACM体积最大时，求面MAD与面MCD所成二面角的正弦值【答案与解析】1.答案：B解析：解：a=∫|20x−1|=∫(11−x)dx+∫(21x−1)dx=(x−12x2)|01+(12x2−x)|12=1，设(x+x√x )n(n∈N∗)的展开式中的通项Tk+1=C n k x n−k⋅x−32k=C n k x n−52k，令n−52k=0得n=52k，当k=2时，n最小，即n min=5．故选B．先计算定积分，再写出二项式的通项，令x的指数为0，即可求得展开式中的常数项．本题题考查了含有绝对值的定积分的计算和二项式系数的性质，求得n−52k=0是关键，考查分析与运算能力．2.答案：C解析：解：因为函数，当x∈(−∞,+∞)时是增函数，对∀x∈[0,+∞)，，所以命题p：∀x∈[0,+∞)，是真命题，根据全称命题的否定是特称命题可知：，故选C．3.答案：C解析：解：∵f(x)=sinx+√3cosx=2(12sinx+√32cosx)=2sin(x+π3)∵周期T=2πw=2π∴p错，为假命题由S n=n2+2n可得：S n−1=(n−1)2+2(n−1)∴a n=S n−S n−1=2n+1∴a n−a n−1=2(为常数)∴{a n}为等差数列∴q为真命题我们在结合命题判断的真值表，对照四个选项，容易得出：p且q为假命题，p或q为真命题，非q为假命题，非p为真命题故选C先判定p、q命题的真假，再结合判断的真值表判断四个命题的真伪真值判断表如下：本题另外还涉及到三角函数的周期问题和等差数列的定义．这里我们要牢记sin x与cos x的最小周期，其中w为x的系数．等差数列的定都为2π，tan x与cot x的最小周期都为π，周期公式为：T=周期w义就是相邻两项的差是固定的，题目中的n是可以自由变动的，你想要什么值就可以令它等于多少，这也是一般数列题型的突破口．4.答案：B解析：解：分析可得，这是一个分步计数原理问题，根据题意，3个人，每人都有5种不同的选法，则有5×5×5=53种；故选：B．根据题意，3个人，每人都有5种不同的选法，由分步计数原理计算可得答案．本题考查排列的应用，解题时要首先要分析题意，明确是排列，还是组合问题．5.答案：A解析：本题主要考查二项式展开式的系数．解：由于函数当x>0时，则可知f(x)=，则=−，故可知展开式中的常数项为，则当r=3时，取得常数项为−20，故选A.6.答案：C解析：解：一学生通过某种英语听力测试的概率为12，他连续测试2次，则恰有1次获得通过的概率为：p=C21⋅12⋅12=12．故选：C．利用n次独立重复试验概率计算公式求解．本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意利用n次独立重复试验概率计算公式的合理运用．7.答案：C解析：解：设4个组分别为A，B，C，D，先分甲再分乙，则甲、乙二人的分组情况为：(AA)，(AB)，(AC)，(AD)，(BA)，(BB)，(BC)，(BD)，(CA)，(CB)，(CC)，(CD)，(DA)，(DB)，(DC)，(DD)，共有16种情况，甲、乙两人的课桌在同一大组的分组情况有：(AA)，(BB)，(CC)，(DD)，共有4种情况，∴甲、乙两人的课桌在同一大组的概率P =416=14． 故选：C ．由已知条件利用列举法先求出甲、乙二人的分组的所有情况，再求出甲、乙两人的课桌在同一大组的分组情况，由此能利用等可能事件概率计算公式求出甲、乙两人的课桌在同一大组的概率． 本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意列举法和等可能事件概率计算公式的合理运用．8.答案：D解析：解：直线(m +2)x +3my +1=0与直线(m −2)x +(m +2)y −3=0相互平行 ⇔{(m +2)2−3m(m −2)=0−3(m +2)−(m −2)≠0，得m =5±√332．∴“m =12”是“直线(m +2)x +3my +1=0与直线(m −2)x +(m +2)y −3=0相互平行”的既不充分也不必要条件，故A 错误；直线l 垂直平面α内无数条直线，不一定有直线垂直平面，∴“直线l 垂直平面α内无数条直线”不是“直线l 垂直于平面α”的充分条件，故B 错误； a ⃗ 、b ⃗ 、c ⃗ 为非零向量，由“a ⃗ ⋅b ⃗ =a ⃗ ⋅c ⃗ ”不能得到b ⃗ =c ⃗ ， 反之由b ⃗ =c ⃗ 能够得到“a ⃗ ⋅b ⃗ =a ⃗ ⋅c ⃗ ”，∴a ⃗ ，b ⃗ ，c ⃗ 为非零向量，则“a ⃗ ⋅b ⃗ =a ⃗ ⋅c ⃗ ”是“b ⃗ =c ⃗ ”的必要不充分条件，故C 错误；p ：∃x ∈R ，x 2+2x +2013≤0，则￢p ：∀x ∈R ，x 2+2x +2013>0，满足命题的否定形式，故D 正确． 故选：D ．由两直线平行与系数的关系列式求得m 判断A ；由线面垂直的判定判断B ；由平面向量数量积的运算判断C ；写出特称命题的否定判断D ．本题考查命题的真假判断与应用，考查了充分必要条件的判定方法，考查特称命题的否定，是基础题．9.答案：757解析：解：由题意知小张摸一次得分X 的可能取值是0，，50，100， 当得分为100时，表示从十个球中取五个球，取到的都是颜色相同的球，从10个球中取5个共有C105种结果，而球的颜色都相同包括两种情况，∴P(X=100)=2252=1126，当得分50时，表示取到的球有四个颜色相同，P(X=50)=2C54C51252=25126，P(X=0)=1−1126−25126=100126，∴EX=100×1126+50×50126+0×100126=1350126=757，故答案为：757．10.答案：真解析：试题分析：原命题“若x<0，则”显然是真命题，而原命题与逆否命题同真同假，所以该命题的逆否命题为真命题．考点：本小题主要考查命题真假的判断．点评：原命题与逆否命题互为逆否命题，它们同真同假．11.答案：充要解析：解：直线ax+2y+1=0和直线3x+(a−1)y−2=0，当a=0时，两直线等价为2y+1=0和直线3x−y−2=0，此时两直线不平行，当a≠0时，要使直线ax+2y+1=0和直线3x+(a−1)y−2=0平行，则满足3a =a−12≠−21，由3a=a−12得a2−a−6=0，得a=2或a=−3，满足3a=a−12≠−21，即“a=2”是“直线ax+2y+1=0和直线3x+(a−1)y−2=0平行”的充分不必要条件，故答案为：充要根据直线平行的等价条件求出a的取值范围，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合直线平行的等价条件求出a的取值范围是解决本题的关键．难度不大．12.答案：2解析：试题分析：∵在行列式展开式中，即为的代数余子式的值元素在第二行第三列，那么化去第二行第三列得到的代数余子式为(−1)2+3=2，解这个余子式的值为2.则化简后的最后结果等于2．考点：本题考查了二阶行列式的定义．点评：解决本题的关键是掌握行列式的计算方法，考查运算求解能力与转化思想．属于基础题．13.答案：120解析：解：∵a =∫1xe 21dx =lnx|1e2=2，则二项式(x +a x )(2x −1x )5=(x +2x )(2x −1x )5=(x +2x )⋅(C 50⋅(2x)5+C 51⋅(2x)4⋅(−1x )+C 52⋅(2x)3⋅(−1x )2+C 53⋅(2x)2⋅(−1x)3+C 54⋅(2x)⋅(−1x )4+C 55(−1x)5,=(x +2x )⋅(32x 5−80x 3+80x −40⋅1x +10⋅1x 3−1x 5)， 故展开式中的常数项为−40+2⋅80=120， 故答案为：120．求定积分得到a 的值，再利用二项式定理把(2x −1x )5展开，可得(x +ax )(2x −1x )5的展开式中的常数项．本题主要考查定积分、二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，属于基础题．14.答案：480解析：解：根据题意，分2步进行分析：①、先让4人全排列，坐在4个位置上，有A 44种排法，②、将3个空位看成2个元素，一个是“两个相邻空位”，另一个“单独的空位” 再将2个元素插入4个人形成的5个“空当”之间，有A 52种插法，所以所求的坐法数为A 44⋅A 52=480；故答案为：480．根据题意，分2步进行分析：可先让4人全排列坐在4个位置上，再把“两个相邻的空位”与“单独的空位”视为两个元素，将其插入4个人形成的5个“空当”之间，分别求出每一步的情况数目，由分步计数原理计算可得答案．本题考查排列、组合的综合应用，注意人与人之间是不同的，但空位是相同的．15.答案：(1)(2)0.4解析：本题考查的是离散随机变量的分布及概率的求法。
2020-2021学年高二数学下学期期中试题理[1]
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2020-2021学年高二数学下学期期中试题理注意事项1．本试卷共4页，包括填空题（第1题～第14题）、解答题（第15题～第20题）两部分。
本试卷满分160分，考试时间120分钟。
2．答题前，请务必将自己的姓名、考试号用0.5毫米黑色签字笔填写在答题卡指定位置。
3．答题时，必须用0.5毫米黑色签字笔填写在答题卡的指定位置，在其它位置作答一律无效。
4．如有作图需要，可用2B 铅笔作答，并加黑加粗，描写清楚。
5. 请保持答题卡卡面清洁，不要折叠、破损。
一律不准使用胶带纸、修正液及可擦写的圆珠笔。
一﹑填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．. 1.若复数z 满足(1i)2i z +=（i 为虚数单位），则复数z 的实部是 ▲ ． 2.已知m ，n 是空间两个单位向量，它们的夹角为60，那么2—m n = ▲ ．3.若复数z 满足23i,z z +=-其中i 为虚数单位，z 为z 的共轭复数，则z 在复 平面内对应的点位于第 ▲ 象限.4.设1e ,2e 是两个不共线的空间向量，若2AB k =-12e e ，33CB =+12e e ，CD k =12+e e ，且,,A B D 三点共线，则实数k 的值为 ▲ ．5.若向量(2,1,2)=-a ,(4,2,)m =-b ，且a 与b 的夹角为钝角，则实数m 的取 值范围为 ▲ ．6.著名的哥德巴赫猜想指出：“任何大于2的偶数可以表示为两个素数的和”， 用反证法研究该猜想，应假设的内容是 ▲ ．7.如图，在正四面体P ABC -中，,M N 分别为,PA BC 的中点，D 是线段MN 上一点，且2ND DM =，若PD xPA yPB zPC =++，则x y z ++的值为 ▲ ．8.我们知道等比数列与等差数列在许多地方都有类似的性质，请由等差数列{}n a 的前n 项和公式1()2n n n a a S +=.类比得到正项等比数列{}n b 的前n 项 积公式n T = ▲ ．9.用数学归纳法证明等式：633123()2n n n n *+++++=∈N ，则从n k =到1n k =+时左边应添加的项为 ▲ ．10.如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，90BAC ∠=，111114AA A B AC ===， 点E 是棱1CC 上一点，且异面直线1A B 与AE 所成角的余弦值为3210，则 1C E 的长为 ▲ ．11.德国数学家莱布尼兹发现了如图所示的单位分数三角形（单位分数是指分子 为1﹑分母为正整数的分数），称为莱布尼兹三角形.根据前6行的规律，第7行的左起第3个数为 ▲ ．（第7题图） （第10题图） （第11题图） 12.在我国古代数学名著《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称 之为鳖臑（bie nao ）.已知在鳖臑P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，2PA AB BC ===，M 为PC 的中点，则点P 到平面MAB 的距离为▲ ．13. 如图，已知正三棱柱111ABC A B C -中，12AB AA ==，,M N 分别为1,CC BC 的中点，点P 在直线11A B 上且满足111().A P A B λλ=∈R 若平面PMN 与平面ABC 所成的二面角的平面角的大小为45，则实数λ的值为▲ ．14. 如图所示的正方体是一个三阶魔方(由27个全等的棱长为1的小正方体构成），正方形ABCD 是上底面正中间一个正方形，正方形1111A B C D 是下底面 最大的正方形，已知点P 是线段AC 上的动点，点Q 是线段1B D 上的动点， 则线段PQ 长度的最小值为 ▲ ．（第12题图）（第13题图）（第14题图）二﹑解答题：本大题共6小题，共计90分.请在答题卡指定区域内．．．．．．．．作答，解答时应写出文字说明﹑证明过程或演算步骤. 15. (本小题满分14分）已知i 为虚数单位，复数11i z =-,23i z a =+()a ∈R . （1）若12z z +为实数，求12z z 的值； （2）若21z z 为纯虚数，求2z . 16.（本小题满分14分）已知矩阵01M ⎡=⎢⎣ 10-⎤⎥⎦，21N ⎡=⎢-⎣ 12⎤⎥-⎦. （1）求MN ；（2）若曲线221:1C x y -=在矩阵MN 对应的变换作用下得到另一曲线2C ，求2C 的方程.17.（本小题满分14分）已知数列{}n a 满足11a =，1n n a a +>，211()2()1n n n n a a a a ---=+-，n 2.≥（1）求234,,a a a 的值并猜想数列{}n a 的通项公式； （2）用数学归纳法证明你的猜想.18.（本小题满分16分）如图，在四棱锥P ABCD -中，已知PA ⊥平面ABCD ，且四边形ABCD 为 直角梯形，2ABC BAD π∠=∠=，122PA AB BC AD ====，点E ,F 分 别是AB ,PD 的中点.（1）求证：//EF 平面PBC ；（2）若点M 为棱PC 上一点，且平面EFM ⊥平面PBC ，求证：.EM PC ⊥19.（本小题满分16分）如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，所有棱长都等于2. （1）当点M 是BC 的中点时，①求异面直线1AB 和1MC 所成角的余弦值； ②求二面角1M AB C --的正弦值；（2）当点M 在线段BC 上（包括两个端点．．．．．．）运动时，求直线1MC 与平面1AB C 所成角的正弦值的取值范围.（第18题图） （第19题图） 20.（本小题满分16分）（1）是否存在实数a ，b ，c ，使得等式2222122334(1)n n ⋅+⋅+⋅+++2(1)()12n n an bn c +=++对于一切正整数n 都成立？若存在， 求出a ，b ，c 的值并给出证明；若不存在，请说明理由. （2）求证：对任意的n *∈N ，22221231ln 234(1)2n n n ++++<++. xx 第二学期期中质量调研高二 数学（理科）参考答案和评分标准一﹑填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．. 1. 1 2. 3 3.四 4. 4或-1 5. 5m <且4m ≠-6. 存在一个大于2的偶数不可以表示为两个素数的和.7.238.21()n n b b9. 333(1)(2)(1)k k k ++++++ 10. 1 11. 110512. 2 13. 2- 14.33434二﹑解答题：本大题共6小题，共计90分.请在答题卡指定区域内．．．．．．．．作答，解答时应写出文字说明﹑证明过程或演算步骤.15.解：（1）因为124(1)i z z a +=+-，若12z z +为实数，则1a =. ……… 3分 此时23i z =+，所以12(1i)(3i)42i.z z =-+=- ……… 7分（2）因为213i (3i)(1i)1i (1i)(1i)z a a z +++==--+33++i 22a a -=， ……… 10分 若21z z 为纯虚数，则302a -=，得3a =，……… 12分 所以22233 2.z a =+= ……… 14分 16.解：（1）01MN ⎡=⎢⎣10-⎤⎥⎦21⎡⎢-⎣ 12⎤⎥-⎦=12⎡⎢⎣ 21⎤⎥⎦……… 6分 （2）设曲线1C 上任一点坐标为00(,),x y 在矩阵MN 对应的变换作用下得到点(,),x y 则12⎡⎢⎣ 0021x y ⎡⎤⎤⎢⎥⎥⎦⎣⎦=x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，即000022x y x x y y +=⎧⎨+=⎩，解得002323y x x x yy -⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩.……… 10分 因为22001,x y -=所以2222()()1,33y x x y ---=整理得223y x -=，所以2C 的方程为22 3.y x -=……… 14分17.解：（1）由11,a =211()2()1,n n n n a a a a ---=+-n 2≥①得222(1)2(1)1,a a -=+-解得20a =或2 4.a = 又1,n n a a +>所以2242.a ==将24a =代入①，可得31a =或39.a =又1,n n a a +>所以2393.a ==将39a =代入①，可得44a =或416.a =又1,n n a a +>所以24164.a ==……… 3分故猜想数列{}n a 的通项公式为2.n a n =……… 5分 （2） ①当1n =时，2111a ==，猜想成立.②假设当(1,)n k k k N *=≥∈时，猜想成立，即2.k a k =……… 7分 则当1n k =+时，由①得211()2()1,k k k k a a a a ++-=+- 即22211()2()1,k k a k a k ++-=+- 即2242112(1)210,k k a k a k k ++-++-+=即2242221[(1)]21(1)0,k a k k k k +-++-+-+= 即2221[(1)](2)0,k a k k +-+-=即2211(12)(12)0,k k a k k a k k ++-----+= 解得21(1)k a k +=+或21(1).k a k +=-……… 12分又1,n n a a +>所以21(1),k a k +=+故当1n k =+时，猜想成立. 综上：由①②得2n a n =.……… 14分18.解：PA ⊥平面ABCD ，AD ⊂平面,ABCD .PA AD ∴⊥ PA ⊥平面ABCD ，AB ⊂平面,ABCD .PA AB ∴⊥又因为,2BAD π∠=所以AB AD ⊥，则,,AB AD AP 两两垂直，则以{,,}AB AD AP 为正交基底， 建立如图所示的空间直角坐标系.A xyz -则各点的坐标为(0,0,0),(2,0,0),(2,2,0),(0,4,0),(0,0,2).A B C D P 因为点,E F 分别是AB ，PD 的中点，所以(1,0,0),(0,2,1).E F ……… 2分 （1）证明：设平面PBC 的一个法向量为1(,,).n x y z = 因为(2,0,2),(0,2,0),BP BC =-= 由1,,n BP n BC ⊥⊥ 得22020x z y -+=⎧⎨=⎩，令1,x =所以0, 1.y z ==则1(1,0,1).n =……… 5分因为(1,2,1),EF =-所以10.EF n ⋅=又EF ⊄平面,PBC 所以//EF 平面PBC .……… 8分（注：EF ⊄平面PBC 没交代扣1分，如果不用空间向量的方法做，比如取CD 的中点G 证明平面//EFG 平面PBC ，或者延长DE 和CB 相交于点,H 然后证明//EF PH 也可以，但如果推理过程有一步错，则扣6分）（2）证明：因为M 为棱PC 上一点，所以,PM PC λ=0 1.λ≤≤设(,,),M x y z 则(,,2)(2,2,2),x y z λ-=-，所以2,2,22.x y z λλλ===- 即(2,2,22),M λλλ-所以(21,2,22),EM λλλ=--(1,2,1).EF =- 设平面EFM 的一个法向量为2(,,),n x y z =则22,.n EM n EF ⊥⊥所以(21)2(22)0,20x y z x y z λλλ-++-=⎧⎨-++=⎩消去y 可得(31)(23)0.x z λλ-+-=令32,x λ=-则131,.2z y λ=-=-所以21(32,,31).2n λλ=---……… 12分 平面EFM ⊥平面,PBC 12.n n ∴⊥则32310,λλ-+-=所以1,2λ=…… 14分 (1,1,1).M 从而(0,1,1),EM =因为(2,2,2),PC =-所以0,EM PC ⋅=则,EM PC ⊥即.EM PC ⊥……… 16分19. 解：（1）取AC 的中点为,O 建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -，则(0,1,0),(3,0,0),A B -(0,1,0),C 11(3,0,2),(0,1,2).B C当M 是BC 的中点时，则31(,,0).22M ①1131(3,1,2),(,,2),22AB MC ==-设异面直线1AB 和1MC 所成角为,θ则11cos cos ,AB MC θ=<>=1111AB MC AB MC ⋅=310.20……… 4分 ②33(,,0),22AM =1(3,1,2),AB =设平面1MAB 的一个法向量为1(,,),n x y z =则111,.n AM n AB ⊥⊥所以33022320x y x y z ⎧+=⎪⎨⎪++=⎩令3,x =则1,1,y z =-=-1(3,1,1).n ∴=--… 5分(0,2,0),AC =设平面1AB C 的一个法向量为2(,,),n x y z =则212,,n AB n AC ⊥⊥320,20x y z y ⎧++=⎪∴⎨=⎪⎩令2,x =0,3,y z ∴==-2(2,0,3).n ∴=-……… 6分 设二面角1M AB C --的平面角为θ，则121212cos cos ,n n n n n n θ⋅=<>==3105.35……… 8分 所以2270sin 1cos .35θθ=-=……… 9分 （2）当M 在BC 上运动时，设,0 1.CM CB λλ=≤≤设(,,),(,1,)(3,1,0),M x y z x y z λ∴-=-3,1,0,x y z λλ∴==-= 则(3,1,0),M λλ-1(3,,2).MC λλ∴=-设直线1MC 与平面1AB C 所成的角为,θ则121212sin cos ,MC n MC n MC n θ⋅=<>=222323211,[0,1].74471λλλλλ--+==∈+⋅+……… 11分 设21(),[0,1],1f λλλλ+=∈+设1[1,2],t λ=+∈所以2221(),22(1)1221tt g t t t t t t ===-+-+-+[1,2].t ∈设2111[,1],().2221u g t tu u =∈∴=-+21221[,1],()[1,2],2u u g t -+∈∴∈2142sin [,],77θ∴∈ ∴直线1MC 与平面1AB C 所成的角的正弦值的取值范围为2142[,].77……… 16分20. 解：（1）在等式2222122334(1)n n ⋅+⋅+⋅+++2(1)()12n n an bn c +=++中 令1,n =得14()6a b c =++①；令2,n =得122(42)2a b c =++②； 令3,n =得7093a b c =++③；由①②③解得3,11,10.a b c === 对于1,2n =都有2222122334(1)n n ⋅+⋅+⋅+++2(1)(31110)12n n n n +=++()*成立. ……… 3分 下面用数学归纳法证明：对一切正整数n ，()*式都成立.①当1n =时，由上所述知()*式成立； ②假设当(1,)n k k k N *=≥∈时()*式成立，即2222122334(1)k k ⋅+⋅+⋅+++2(1)(31110)12k k k k +=++， 那么当1n k =+时，22222122334(1)(1)(2)k k k k ⋅+⋅+⋅++++++22(1)(31110)(1)(2)12k k k k k k +=+++++……… 5分 2(1)(35)(2)(1)(2)12k k k k k k +=+++++ 2(1)(2)(351224)12k k k k k ++=+++2(1)(2)[3(1)11(1)10].12k k k k ++=++++综上：由①②得对一切正整数n ，()*式都成立，所以存在3,11a b ==时题设的等 式对于一切正整数n 都成立.……… 8分 （2）证明：①当1n =时，左式14=，右式12=，所以左式<右式，则1n =时不等式成立； ②假设当(1,)n k k k N *=≥∈时不等式成立，即22221231ln 234(1)2k k k ++++<++， 那么当1n k =+时，222221231234(1)(2)k k k k ++++++++ 21111ln ln 2(2)22k k k k k +<++<++++(**)……… 10分 下面证明当1x ≥时，1ln 1x x≥-. 设()f x =1ln 1x x -+，则'22111()0,x f x x x x-=-=≥所以()f x 在[1,)+∞ 上单调增，所以()(1)0,f x f ≥=即1x ≥时，1ln 1x x≥-. 因为1k ≥，所以1111,k k k+=+>则 111ln 11111k k k k k k k+≥-=-=+++……… 12分- 11 - / 11 因为1111111(ln )[ln(1)]ln ln 22221k k k k k k k k k++++-++=-<-+++ 110,11k k ≤-=++所以111(ln )[ln(1)]0.222k k k ++-++<+ 由(**)得2222212311ln(1).234(1)(2)2k k k k k ++++++<++++ 那么1n k =+时不等式也成立.综上：由①②可得对任意,n N *∈22221231ln 234(1)2n n n ++++<++. ……… 16分 【感谢您的阅览，下载后可自由编辑和修改，关注我 每天更新】。
2019-2020学年天津市蓟州区高二下学期期中数学试卷(含答案解析)
2019-2020学年天津市蓟州区高二下学期期中数学试卷一、单选题（本大题共8小题，共32.0分）1.从不同号码的五双靴中任取4只，其中恰好有一双的取法种数为()A. 120B. 240C. 360D. 722.某翻译公司为提升员工业务能力，为员工开设了英语、法语、西班牙语和德语四个语种的培训过程，要求每名员工参加且只参加其中两种．无论如何安排，都有至少5名员工参加的培训完全相同．问该公司至少有多少名员工？()A. 17B. 21C. 25D. 293.过原点作曲线y=lnx的切线，则切线斜率为()A. e2B. 1e2C. e D. 1e4.已知函数y=f(x)满足：对任意的x1<x2≤−1，[f(x2)−f(x1)](x2−x1)>0恒成立，则f(−2)，f(−)，f(−1)的大小关系为()A. f(−2)<f(−)<f(−1)B. f(−2)>f(−)>f(−1)C. f(−2)>f(−1)>f(−)D. f(−)>f(−2)>f(−1)5.已知a⃗=(1,1，0)，b⃗ =(−1,0，2)，且k a⃗+b⃗ 与2a⃗−b⃗ 垂直，则k的值为()A. 15B. 1 C. 35D. 756.某专家团由4名硕士和3名博士组成，今从中抽取3人到某地各进行一场报告，至少有1名博士和1名硕士参加，且2名博士或2名硕士的报告不能相邻，则不同的报告顺序的种数为()A. 60B. 30C. 45D. 727.x(x−1x)6展开式中含x项的系数是()A. 20B. −20C. −60D. −108.把一枚硬币任意抛掷三次，事件A=“至少一次出现正面”，事件B“恰有一次出现正面”，则P(B|A)=()A. 37B. 38C. 78D. 18二、单空题（本大题共5小题，共20.0分）9.已知集合A={−11,3，2m−1}，集合B={3,m2}，若B⊆A，则实数m=______ ．10. 函数f(x)=2sinx +√3cosx(x ∈R)，则f′(π3)=______．11. 平面α的法向量n 1⃗⃗⃗⃗ =(x,1，−2)，平面β的法向量n 2⃗⃗⃗⃗ =(−1,y ，12)，若α//β，则x +y = ______ ． 12. m 是从集合{−1,0，1，2，3}中随机抽取的一个元素，记随机变量ξ=cos(m ⋅π3)，则ξ的数学期望Eξ=______．13. 若二项式(ax +√36)6的展开式中含x 5的系数为−√3，则∫x 2a−2dx 的值为______ ．三、解答题（本大题共5小题，共48.0分）14. 在某项体能测试中，规定每名运动员必需参加且最多两次，一旦第一次测试通过则不再参加第二次测试，否则将参加第二次测试．已知甲每次通过的概率为23，乙每次通过的概率为12，且甲乙每次是否通过相互独立．(Ⅰ)求甲乙至少有一人通过体能测试的概率；(Ⅱ)记X 为甲乙两人参加体能测试的次数和，求X 的分布列和期望．15. 在一个木箱中装有编号分别为1，2，3，4，5的完全一样的5个球，现从中同时取出两个球，设X 为取出的两球的最大编号，求X 的分布列．16.已知函数f(x)=x2−3x+lnx．(1)求函数f(x)在(2,f(2))处切线的斜率；(2)若y=f(x)与g(x)=a有三个不同的交点，求a的取值范围．17.(本题共13分)如图，在多面体中，底面是边长为的菱形，，四边形是矩形，平面⊥平面，，是的中点．(Ⅰ)求证：⊥平面；(Ⅱ)求二面角的大小．18.18.(本小题满分12分)退休年龄延迟是平均预期寿命延长和人口老龄化背景下的一种趋势.某机构为了解某城市市民的年龄构成，从该城市市民中随机抽取年龄段在20∼80岁(含20岁和80岁)之间的600人进行调查，并按年龄层次[20,30)，[30,40)，[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80]绘制频率分布直方图，如图所示.若规定年龄分布在[20,40)岁的人为“青年人”，[40,60)为“中年人”，[60,80]为“老年人”．(Ⅰ)若每一组数据的平均值用该区间中点值来代替，试估算所调查的600人的平均年龄；(Ⅱ)将上述人口分布的频率视为该城市在20−80年龄段的人口分布的概率．从该城市20−80年龄段市民中随机抽取3人，记抽到“老年人”的人数为，求随机变量的分布列和数学期望．【答案与解析】1.答案：A解析：解：先从5双靴中取出1双，有5种选法，再从剩下的4双中任取两双，在这两双中各取1只，有C42×2×2=24种情况，由分步计数原理可得，共有5×24=120种；故选：A．先从5双靴中取出1双，再从剩下的4双中任取两双，在这两双中各取1只，由分步计数原理可得．本题考查排列组合及简单的计数问题，由分步计数原理设计选择的方案是解决问题的关键，属中档题．2.答案：C解析：解：开设英语、法语、西班牙语和德语四个语种的培训过程，要求每名员工参加且只参加其中两种．没有相同的安排共有C42=6种，当每种安排各有4人，则没有5名员工参加的培训完全相同．此时有员工4×6=24人，当增加1人，必有5名员工参加的培训完全相同．该公司至少有25名员工．故选：C．求出培训的不同结果，然后按照题目的含义，推出公司员工最少人数．本题考查排列组合的实际应用，解题的关键是理解题意，考查学生分析问题解决问题的能力．3.答案：D解析：解：解：设切点坐标为(a,lna)，∵y=lnx，∴y′=1，x，切线的斜率是1a(x−a)，切线的方程为y−lna=1a将(0,0)代入可得lna=1，∴a=e，∴切线的斜率是1a =1e；故选：D．设切点坐标为(a,lna)，求函数的导数，可得切线的斜率，切线的方程，代入(0,0)，求切点坐标，切线的斜率．本题主要考查导数的几何意义，利用切线斜率和导数之间的关系可以切点坐标．4.答案：A解析：由题意及函数单调性的定义得，f(x)在(−∞,−1]上单调递增，又−2<−<−1，∴f(−2)<f(−)<f(−1)．5.答案：D解析：解：∵已知a⃗=(1,1，0)，b⃗ =(−1,0，2)，∴k a⃗+b⃗ =(k−1,k，2)，2a⃗−b⃗ =(3,2，−2)，∵k a⃗+b⃗ 与2a⃗−b⃗ 垂直，∴(k a⃗+b⃗ )⋅(2a⃗−b⃗ )=3(k−1)+2k+2×(−2)=0，解得k=75，故选：D．先求出k a⃗+b⃗ 和2a⃗−b⃗ 的坐标，根据k a⃗+b⃗ 与2a⃗−b⃗ 垂直，可得(k a⃗+b⃗ )⋅(2a⃗−b⃗ )=0，由此解得k的值．本题主要考查两个向量垂直的性质，两个向量坐标形式的运算，属于基础题．6.答案：A解析：解：根据题意，分2种情况讨论：①选出的3人有1名博士和2名硕士，有C31C42=18种选法，又由2名博士或2名硕士的报告不能相邻，有2种情况，选出3人的报告顺序有18×2=36种，②选出的3人有2名博士和1名硕士，有C32C41=12选法，又由2名博士或2名硕士的报告不能相邻，有2种情况，则选出3人的报告顺序有12×2=24种，故有36+24=60种不同的报告顺序；故选：A．根据题意，安选出3人分2种情况讨论：①选出的3人有1名博士和2名硕士，②选出的3人有2名博士和1名硕士，由加法原理计算可得答案．本题考查排列组合的应用，涉及分类、分步计数原理的应用，属于基础题．7.答案：B解析：解：因为(x−1x )6展开式的通项公式为：T r+1=∁6r⋅x6−r⋅(−1x)r=(−1)r⋅∁6r⋅x6−2r；令6−2r=0⇒r=3；故x(x−1x)6展开式中含x项的系数是：(−1)3⋅∁63=−20；故选：B．求出(x−1x)6展开式的常数项即可求解结论．本题考查二项式定理的运用，考查利用展开式确定指定项的系数，解题的关键是正确写出展开式的通项．属于基础题．8.答案：A解析：本题考查条件概率，考查学生的计算能力，属于基础题．由题意，先计算P(AB)，P(A)，再利用条件概率公式，即可求得结论．解：由题意，P(AB)=323=38，P(A)=1−123=78，所以P(B|A)=P(AB)P(A)=37．故选：A．9.答案：1解析：解：∵集合A={−11,3，2m−1}，集合B={3,m2}，且B⊆A，∴{2m−1≠−11 2m−1≠3m2=2m−1，解得，m=1．故答案为1．注意集合中的元素要满足互异性，同时集合B中的元素都在集合A中．本题考查了集合之间的相互关系及集合中元素的特征．10.答案：−12解析：解：f′(x)=2cosx−√3sinx，则f′(π3)=2cosπ3−√3sinπ3=1−32=−12，故答案为：−12．先求导，再代值计算即可．本题考查了导数的运算，属于基础题．11.答案：154解析：解：∵α//β，∴n1⃗⃗⃗⃗ //n2⃗⃗⃗⃗ ．∴存在实数k使得n1⃗⃗⃗⃗ =k n2⃗⃗⃗⃗ ，∴{x=−k1=ky−2=12k，解得k=−4，x=4，y=−14．∴x+y=154．故答案为：154．由α//β，可得n1⃗⃗⃗⃗ //n2⃗⃗⃗⃗ .利用向量共线定理即可得出．本题考查了空间面面平行与法向量的关系、向量共线定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．12.答案：110解析：解：ξ=cos(m⋅π3)的取值是12，概率为25，取值是1，概率为15，取值是−12，概率为15，取值是−1，概率为15所以Eξ=12×25+15×(1−12−1)=110，故答案为：110．确定ξ的取值及相应的概率，即可求出ξ的数学期望Eξ．本题考查ξ的数学期望Eξ，考查学生的计算能力，确定ξ的取值及相应的概率是关键．13.答案：73解析：解：∵二项式(ax +√36)6的展开式中含x 5的系数为C 61⋅a 5⋅√36=√3⋅a 5=−√3， ∴a =−1，∴∫x 2a−2dx =13x 3| −2−1=13[(−1)3−(−2)3|=73． 故答案为：73．利用二项展开式的第二项系数，求出a 的值，根据积分公式计算可得答案．本题考查了二项展开式的通项公式，考查了积分运算，解答的关键是熟记积分公式．14.答案：解：(Ⅰ)甲未能通过体能测试的概率为P 1=(1−23)×(1−23)=19，乙未能通过体能测试的概率为P 2=(1−12)×(1−12)=14，∴甲乙至少有一人通过体能测试的概率为P =1−P 1P 2=1−19×14=3536； (Ⅱ)X =2，3，4，P(X =2)=23×12=13，P(X =3)=(1−23)×12+23×(1−12)=12，P(X =4)=(1−23)×(1−12)=16， ∴X 的分布列为：∴EX =2×13+3×12+4×16=176．解析：(Ⅰ)甲未能通过体能测试的概率为P 1=(1−23)×(1−23)=19，同理乙未能通过体能测试的概率为P 2=(1−12)×(1−12)=14，所以根据相互独立事件的积事件概率等于概率之积，求出甲乙均未通过测试的概率，即可得到所求；(Ⅱ)依题意，随机变量X 的所有可能的取值分别为2，3，4，分别求出对应概率列出分布列求期望即可．本题考查离散型随机变量的数学期望，是历年高考的重点题型．解题时要认真审题，注意对立事件的概率的灵活运用．15.答案：解：根据题意，X 的可能取值为2，3，4，5，则P(X =2)=1C 52=110，P(X =3)=2C 52=15，P(X =4)=C 31C 52=310，P(X =5)=C 41C 52=25； ∴X 的分布列为解析：根据题意，求出X 的可能取值以及对应的概率值，列出X 的分布列即可．本题考查了利用古典概型求事件的概率问题，也考查了求随机变量的分布列问题，是基础题目．16.答案：解：(1)f(x)=x 2−3x +lnx ，定义域为(0,+∞)，又f′(x)=2x −3+1x=2x 2−3x+1x=(2x−1)(x−1)x，∴f′(2)=32，即函数f(x)在(2,f(2))处切线的斜率为32； (2)由f′(x)=(2x−1)(x−1)x(x >0)，得当x >1或0<x <12时，f′(x)>0；当12<x <1时，f′(x)<0， ∴f(x)在(0,12)递增，在(12,1)递减，在(1,+∞)递增． ∴函数f(x)的极大值为f(12)=−54−ln2， 函数f(x)的极小值为f(1)=−2．又y =f(x)与g(x)=a 有三个不同的交点， ∴−2<a <−54−ln2，即a 的取值范围是(−2,−54−ln2)．解析：(1)求出原函数的导函数，得到函数在x=2处的导数，则答案可求；(2)由(1)中的导函数，可得原函数的单调性与极值，结合y=f(x)与g(x)=a有三个不同的交点，即可求得a的取值范围．本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查利用导数求函数的极值，考查运算求解能力，是中档题．17.答案：(Ⅰ)详见解析;(Ⅱ)．解析：试题分析：(I)由面面垂直的性质可证AC与平面BDEF垂直；(Ⅱ)以O为原点，OB，OC，ON所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，求出平面BDH、平面BCD的法向量，利用向量的夹角公式，即可求二面角H−BD−C的大小．试题解析：(Ⅰ)证明：因为四边形是菱形，所以.因为平面平面，且四边形是矩形，所以平面，又因为平面，所以.因为，所以平面.(Ⅱ)设，取的中点，连接，因为四边形是矩形，分别为的中点，所以，又因为平面，所以平面，由，得两两垂直．所以以为原点，所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系．，，，，.得，，．设平面的法向量为，所以即令，得.由平面，得平面的法向量为，则.由图可知二面角为锐角，所以二面角的大小为.考点：1.用空间向量求平面间的夹角；2.与二面角有关的立体几何综合题．18.答案：解析：。
高二数学第二学期期中试卷
高二数学第二学期期中试卷2021高二数学第二学期期中试卷本卷须知：本试卷分基础检测与才干检测两局部，共4页，总分值为150分。
考试用120分。
1.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、考号填写在答题卡上。
2.选择题每题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应标题的答案标号涂黑;如需改动，用橡皮擦洁净后，再选涂其它答案;不能答在试卷上。
3.非选择题必需用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必需写在另发的答题卷各标题指定区域内的相应位置上;如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案;不准运用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案有效。
4.考生必需坚持答题卡的整洁，考试完毕后，将答题卷和答题卡一并收回。
参考公式：第一局部基础检测(共100分)一、选择题：本大题共10小题，在每题5分，共50分)1.以下言语中，哪一个是输入语句( )A.PRINTB.INPUTC.IFD.THEN2.给出左面的顺序框图，输入的数是( )A.2450B.2550C.5050D.49003.以下抽样中不是系统抽样的是()A.从标有1～15号的产品中，任选3个作样本，按从小到大排序，随机选起点，以后选(超越15那么从1再数起)号入样.B.工厂消费的产品，用传送带送入包卸车间前，检验人员从传送带每隔5分钟抽一件产品停止检验.C.某商场搞某一项市场调查，规则在商场门口随机抽一个顾客停止讯问，直到调查到事前规则调查的人数为止.D.为调查某城市汽车的尾气排放的执行状况，在该城市的主要交通干道上采取对车牌号末位数字为6的汽车停止反省.4.左面是甲、乙两名运发动某赛季一些场次得分的茎叶图，据图可知( )A.甲运发动的效果好于乙运发动.B.乙运发动的效果好于甲运发动.C.甲、乙两名运发动的效果没有清楚的差异.D.甲运发动的最低得分为0分.5.关于两个变量之间的相关系数，以下说法中正确的选项是( )A.越大，相关水平越大.B.，越大，相关水平越小，越小，相关水平越大.C.且越接近于，相关水平越大;越接近于，相关水平越小.D.以上说法都不对.6.计算机中常用的十六进制是逢16进1的记数制，采用数字0-9和字母A-F共16个记数符号;这些符号与十进制的数的对应关系如下表：十六进制123456789ABCDEF十进制123456789101112131415例如，用十六进制表示：E+D=1B，那么5F对应的十进制的数是 ( )A.20B.75C.95D.1007.从区分写上数字1,2，3，，9的9张卡片中，恣意取出两张，观察下面的数字，那么两数积是完全平方数的概率为( )A. B. C. D.8.200辆汽车经过某一段公路时的时速的频率散布直方图如右图所示，估量这200辆汽车在这段公路时速的平均数和中位数是( )A.64.5, 60B.65, 65C.62, 62.5D.63.5, 709.设，那么关于的方程所表示的曲线为()A.长轴在轴上的椭圆B.长轴在轴上的椭圆C.实轴在轴上的双曲线D.实轴在轴上的双曲线。
天津市蓟州一中、芦台一中、英华国际学校三校2020-2021学年高二下学期期末联考数学试题(解析版)
【解析】
【分析】利用解析式求解即可.
【详解】 ，
故答案为：
11.已知函数 ，其中 是 的导数，则 _________．
【答案】
【解析】
分析】求出导函数 ，再计算导数值．
【详解】由已知 ， ．
故答案为： ．
12.函数 的单调递增区间是______.
【答案】
【解析】
【分析】
先求得函数的定义域，然后根据复合函数同增异减来求得函数的单调递增区间.
【详解】设 ，
，
在R上单调递增，
由 ，
即 ，
，
，
故答案为：
【点睛】关键点点睛：构造恰当的函数 ，利用其单调性解不等式，是解题的关键，属于中档题.
15.已知函数 ，若存在互不相等的实数 ，使得 ，则 的取值范围是__________．
【答案】
【解析】
【分析】先作出函数 的图象，不妨设 ，由对称性可以得到 ，再求出 ， ，即得解.
（3）用裂项相减法求值.
【详解】解：（1）设数列{ 的公差为d，数列{ }的公比为q，
及 ，得
所以
（2）由（1）可得 ，设 的前n项和为 ，设 的前n项和为 ，
= =
所以 时 = =
时
所以
（3）
所以
20.已知函数 ， ，
（1）当 时，求曲线 在点 处的切线方程；
（2）当 时， ，求 的取值范围；
（3）若关于 的方程 有两个不同的实数解，求 的取值范围．
当 时， ， 单调递减；
当 时， ， 单调递增．
所以 ，
故当 时， 有2个解，即 有2个零点，则 的取值范围为 ．
【点睛】本题考查用导数的几何意义，考查用导数研究不等式恒成立，方程根的个数问题．本题方程的个数问题，关键是方程进行变形，化为 的形式，确定 的单调性后，方程化简为 ，然后再采取参数分离，转化为求函数的单调性与极值．
2020-2021学年高二年级第二学期期中数学试卷
2020-2021学年度高二第二学期期中数学试卷满分：150分 时间：120分钟一、选择题（共10小题；每题4分，共40分） 1. 设 ， 是两个集合，则“”是“”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件2. 函数 的定义域为A. C.3. 若复数 满足 ，则复数 的虚部是B.C.4. 已知过点(1,0)P 且与曲线3y x 相切的直线的条数有（ ）A ．0B ．1C ．2D ．35. 若，则A. B. C. D.6. 已知(a −x)5=a 0+a 1x +a 2x 2+⋯+a 5x 5，若a 2=80，则a 0+a 1+a 2+⋯+a 5=( )A. 32B. 1C. −243D. 1或−2437. 记 为等差数列的前 项和．已知 ，，则A.B.C.D.8. 高三年级的三个班去甲、乙、丙、丁四个工厂参加社会实践，但去何工厂可自由选择，甲工厂必须有班级要去，则不同的分配方案有A.种B.种C.种D.种9. 已知2x >，1a x =-，22x b x =-，ln c x =，则（ ）A ．c b a <<B ．b a c <<C ．c a b <<D ．b c a <<10. 函数的图象大致为A. B.C. D.二、填空题（共5小题；每题5分，共25分） 11. 若复数 （ 为虚数单位），则 的共轭复数为 ．12. 若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是 ．13. 已知函数 ，则 ．14. 位教师和名学生站成一排合影，要求位教师站在中间，学生甲不站在两边，则不同排法的种数为（结果用数字表示）．15. 设函数．当时，；如果对于任意的，都有，那么实数的取值范围是．三、解答题（共6小题；共85分）16. （14分）实数取什么值时，复数是：（1）实数?（2）虚数?（3）纯虚数?（4）表示复数的点在第一象限?17. （14分）已知函数．（1）求函数的最小正周期；（2）若当时，不等式有解，求实数的取值范围．18.（14分）如图，三棱锥中，，底面为正三角形．（1）证明：；（2）若，，求二面角的余弦值．19. （14分）已知函数的图象过点，且在点处的切线斜率为．（1）求，的值；（2）求函数的单调区间；（3）求函数在区间上的最大值与最小值．20. （14分）已知(1+2x)n，．(1)若展开式中奇数项的二项式系数和为128，求展开式中二项式系数最大的项的系数；(2)若展开式前三项的二项式系数和等于37，求展开式中系数最大的项．21.（15分）已知函数，其中．（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）当时，若函数在区间上的最小值为的取值范围．。
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【解析】
【分析】
求出 ，令导数 小于0 ,得 的取值区间，即为 的单调减区间.
【详解】
因为函数 ，
所以 ,
令 得 ,
可得 ，
函数 的单调递减区间为 ,故选A.
【点睛】
本题主要考查利用导数求函数的单调区间，是基础题.利用导数求函数单调区间的步骤：（1）求出 ；（2）在定义域内，令 求得 的范围，可得函数 增区间，令 求得 的范围，可得函数 的减区间.
2．8名学生站成两排，前排5人，后排3人，则不同的站法种数为（ ）
A． B．
C． D．
3．设曲线 在点 处的切线斜率为 ，则点 的坐标为（ ）
A． B． C．（ ）D．（ ）
4．函数 的单调递减区间为（ ）
A． B． C． D．
5．已知向量 且 与 互相垂直，则 （）
A． B． C． D．
6．假设200件产品中有3件次品，现在从中任取5件，其中至少有2件次品的抽法有（）
2．A
【分析】
8人站成两排需要分步完成，第一步，5个位置8个人选，求出情况数；第二步，3个位置3个人选，全排，两者相乘即可.
【详解】
由题意有，前排5人，相当于有5个位置，后排3人相当于有3个位置，
∴前排5个位置8个人的排列数有 种，
∴剩下3人3个位置的排列数有 种，
又∵上述是分步处理“8名学生站成两排”，
（1）求 的分布列；(用数字作答)
（2）至少摸到2个红球就中奖，求中奖的概率.(用数字作答)
15．某居民小区有两个相互独立的安全防范系统(简称系统) 和 ，系统 和 在任意时刻发生故障的概率分别为 和 .
（1）求在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率；
（2）设系统 在3次相互独立的检测中不发生故障的次数为随机变量 ，求 的概率分布列及数学期望 .(用数字作答)
A． 种B． 种
C． 种D． 种
7．在 的二项展开式中,x的系数为()
A．10B．-10C．40D．-40
8．在10件产品中有8件一等品和2件二等品，如果不放回地依次抽取2件产品，则在第一次抽到一等品条件下，第二次抽到．已知集合 ，恰含有一个奇数的子集个数为_____.
8．C
【分析】
此为条件概率典型题，求出第一次抽到一等品的概率，然后求出两次都抽到一等品的概率，后者除以前者，即得答案.
【详解】
记事件 为第二次抽到一等品，事件 为第一次抽到一等品，
则由条件概率公式可知：
故选：C.
【点睛】
本题考查了学生处理不放回事件的概率问题，能运用条件概率公式处理相关实际问题，为基础题.小记，在事件 发生条件下事件 发生的概率公式为： .
“有3件次品”的抽取方法有C33C1972种，
则共有C32C1973+C33C1972种不同的抽取方法，
故选B．
7．D
【解析】
分析：先求出二项式 的展开式的通项公式，令 的指数等于 ，求出 的值，即可求得展开式中 的项的系数.
详解：∵ ,
∴当 时, .
∴ ,故选D.
点睛：本题主要考查二项展开式定理的通项与系数，属于简单题. 二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考查二项展开式的通项公式 ；（可以考查某一项，也可考查某一项的系数）（2）考查各项系数和和各项的二项式系数和；（3）二项展开式定理的应用.
5．A
【分析】
首先表示出 与 的坐标，再根据 与 互相垂直，得到 计算可得；
【详解】
解：因为 ，
，
又因为 与 互相垂直，所以 ，
，解得
故选： .
【点睛】
本题考查空间向量的坐标运算，属于基础题.
6．B
【解析】
根据题意，“至少有2件次品”可分为“有2件次品”与“有3件次品”两种情况，
“有2件次品”的抽取方法有C32C1973种，
10．函数 的导数为_____.
11．已知点 ， ， ，若 ， ， 三点共线，则 _____.
12．一名射手击中靶心的概率 ，如果他在同样条件下连续射击5次，则他击中靶心的次数的均值为_____.
13． 的展开式的常数项是（用数字作答）
三、解答题
14．在某年级的联欢会上设计一个摸奖游戏，在一个口袋中装有4个红球和4个白球，这些球除颜色外完全相同，一次从中摸出3个球， 表示摸出红球的个数.
16．已知函数 .
（Ⅰ）当 时，求曲线 在点 处的切线方程；
（Ⅱ）求函数 的极值.
17．如图，在直三棱柱中 -A BC中，AB AC，AB=AC=2， =4，点D是BC的中点．
（1）求异面直线 与 所成角的余弦值；
（2）求平面 与 所成二面角的正弦值．
18．红队队员甲、乙、丙与蓝队队员A、B、C进行围棋比赛，甲对A，乙对B，丙对C各一盘，已知甲胜A，乙胜B，丙胜C的概率分别为 ， ， ，假设各盘比赛结果相互独立．
∴不同站法种数为：
故选：A.
【点睛】
本题考查学生对分步计数原理的运用情况，以及排列数的相关计算，会处理基本的排列组合问题，为容易题
3．C
【解析】
设 ，则 ，因为曲线 在点 处的切线斜率为 ，所以 ，可得 ，故选C.
【方法点睛】本题主要考查利用导数的几何意义，属于中档题.应用导数的几何意义求切点处切线的斜率，主要体现在以下几个方面：(1)已知切点 求斜率 ,即求该点处的导数 ；(2)己知斜率 求切点 即解方程 ；(3)巳知切线过某点 (不是切点)求切点,设出切点 利用 求解.本题可利用方法(2)求得点 的坐标.
天津市蓟州区2020-2021学年高二（下）期中数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1． 名同学分别报名参加学校的足球队、篮球队、乒乓球队，每人限报其中的一个运动队，则不同的报名方法种数是（ ）．
A． B． C． D．
（I）求红队至少两名队员获胜的概率；
（II）用 表示红队队员获胜的总盘数，求 的分布列和数学期望 ．
参考答案
1．D
【解析】
分析：先求每一个同学报名的方法数，再求4个同学不同的报名总数.
详解：每个同学报各都有 种情况，共有 个同学，则有 种报名方法．
点睛：(1)本题主要考查乘法分步原理，意在考查学生对该基础知识的掌握水平.(2)本题容易错选D，错在没有分清事件的主体，由于每一个学生都要找到对象，所以学生是事件的主体，而每一个人有3种报名方法，所以根据乘法分步原理共有 种报名方法.