矩估计法最大似然估计法
抽样分布t分布中心极限定理点估计矩估计最大似然法
抽样分布t分布中⼼极限定理点估计矩估计最⼤似然法⽣物统计与实验设计-统计学基础-2&区间估计-1正态分布参数:均值和⽅差其中，选择1d是因为好算；通常，95%区分⼤概率事件和⼩概率事件，当总体是正态分布时，可以利⽤常⽤抽样分布估计出样本参数：抽样分布是样本估计量是样本的⼀个函数，在统计学中称作统计量（这就是说，统计量由样本值计算得到），因此抽样分布也是指统计量的分布。
以下是当总体满⾜正态分布时，样本均值也满⾜正态分布（抽样分布是样本均值的分布，此处是正态分布）样本均值的均值与⽅差和总体参数之间的关系：如上式，若得到⼀次实验的样本，样本容量就是n，计算所有样本会得到⼀次实验的样本均值，多次实验会得到多次实验的样本均值，假如有600次实验则会得到600个样本均值，再对这600个样本均值进⾏计算，计算出样本均值的均值和⽅差，这个样本均值的均值和⽅差与总体参数满⾜上式，根据上式关系即可估算出总体均值和总体⽅差。
当总体不是正态分布，可利⽤中⼼极限定理估计出总体参数：中⼼极限定理：n⾜够⼤则认为样本呈正态分布，因此其样本均数也呈正态分布。
如今，为了精确计算样本均数，存在三种常见的抽样分布（抽样分布是指统计量的分布，以上例为例，就是样本均值的分布），这⾥的计算是为了得到右边的参数部分。
最为常⽤的是t分布，它的特点是对于样本含量没有要求：化简之后是下式：t分布的期望和⽅差如下：由以上期望和⽅差可知，t分布只与⾃由度有关系，与其他⽆关。
使⽤t分布作为抽样分布⽽不使⽤正态分布的理由是：对于⼤样本，当n⾜够⼤时，t分布和标准正态分布的曲线⼏乎重合；对于⼩样本，此时⾃由度为n-1，并不等同于正态分布（其实若样本容量⽐较⼩⽐如25，样本均值分布很⼤可能不是正态分布），⽽t分布在此时因为⾃由度的控制，使得曲线并⾮正态分布，⽐较符合客观事实，所以可以控制系统误差，⽐标准正态分布更准确。
若不使⽤t分布，则可以先使⽤特定数（⽐如30为界限，此处具体值依据具体问题）判断是⼤样本或是⼩样本，再选择分布：当总体分布为正态分布，则样本指标的分布也采⽤正态分布，即⽤Z分布来进⾏统计推断。
数理统计7：矩法估计（MM）、极大似然估计（MLE），定时截尾实验
数理统计7：矩法估计（MM）、极⼤似然估计（MLE），定时截尾实验在上⼀篇⽂章的最后，我们指出，参数估计是不可能穷尽讨论的，要想对各种各样的参数作出估计，就需要⼀定的参数估计⽅法。
今天我们将讨论常⽤的点估计⽅法：矩估计、极⼤似然估计，它们各有优劣，但都很重要。
由于本系列为我独⾃完成的，缺少审阅，如果有任何错误，欢迎在评论区中指出，谢谢！⽬录Part 1：矩法估计矩法估计的重点就在于“矩”字，我们知道矩是概率分布的⼀种数字特征，可以分为原点矩和中⼼矩两种。
对于随机变量X⽽⾔，其k阶原点矩和k阶中⼼矩为a_k=\mathbb{E}(X^k),\quad m_k=\mathbb{E}[X-\mathbb{E}(X)]^k,特别地，⼀阶原点矩就是随机变量的期望，⼆阶中⼼矩就是随机变量的⽅差，由于\mathbb{E}(X-\mathbb{E}(X))=0，所以我们不定义⼀阶中⼼矩。
实际⽣活中，我们不可能了解X的全貌，也就不可能通过积分来求X的矩，因⽽需要通过样本(X_1,\cdots,X_n)来估计总体矩。
⼀般地，由n个样本计算出的样本k阶原点矩和样本k阶中⼼矩分别是a_{n,k}=\frac{1}{n}\sum_{j=1}^{n}X_j^k,\quad m_{n,k}=\frac{1}{n}\sum_{j=1}^{n}(X_j-\bar X)^k.显然，它们都是统计量，因为给出样本之后它们都是可计算的。
形式上，样本矩是对总体矩中元素的直接替换后求平均，因此总是⽐较容易计算的。
容易验证，a_{n,k}是a_k的⽆偏估计，但m_{n,k}则不是。
特别地，a_{n,1}=\bar X，m_{n,2}=\frac{1}{n}\sum_{j=1}^{n}(X_j-\bar X)^2=\frac{n-1}{n}S^2\xlongequal{def}S_n^2,⼀阶样本原点矩就是样本均值，⼆阶样本中⼼矩却不是样本⽅差，⽽需要经过⼀定的调整，这点务必注意。
二项分布的矩估计量和最大似然估计量
二项分布的矩估计量和最大似然估计量
二项分布的矩估计量和最大似然估计量是对于二项分布参数的估计方法。
矩估计量是通过对随机变量的矩进行估计来得到参数的估计值。
对于二项分布，它有两个参数：试验次数n和成功概率p。
设随机变量X服从二项分布B(n,p)，则X的矩估计量可以通过样本
观测值的矩来计算。
例如对于二项分布的第一矩（均值）E(X) = np，可以通过样本均值的估计值来估计参数p。
最大似然估计量是基于样本数据的概率分布模型来计算参数。
对于二项分布，最大似然估计量通过最大化给定样本的似然函数来找到参数的估计值。
似然函数是样本中观测值的联合概率密度函数（或质量函数）关于参数的函数。
对于二项分布，似然函数可以表示为L(p) = (n choose x) * p^x * (1-p)^(n-x)，其中n是试验次数，x是成功的观测值次数。
最大似然估计量就是找到
能使似然函数取得最大值的参数值。
总结起来，矩估计量是通过样本观测值的矩计算参数的估计值，而最大似然估计量是通过最大化给定样本的似然函数来计算参数的估计值。
两种方法在实际应用中经常被使用，具体选择哪种方法取决于具体情况和假设的合理性。
矩估计和极大似然估计
矩估计
极大似然估计
最小二乘法
贝叶斯方法
……
这里我们主要介绍前面两种方法 .
寻求估计量的方法
点估计问题：
01
构造一个适当的统计量
02
用它的观察值
03
来估计未知参数θ.
04
称
05
为θ的估计量，
06
为θ的估计值.
07
点估计:估计θ的具体数值;
08
区间估计:估计θ的所在范围.
09
参数估计：
第一节
第七章
1
2
取对数： 当 0 < xi < 1, (i=1,2, …,n) 时
建立似然方程
极大似然估计 量为
求解得极大似然估计值为
2) 矩估计法
矩法估计量与极大似然估计量不一定相同；
用矩法估计参数比较简单,但有信息量损失；
极大似然估计法精度较高,但运算较复杂；
不是所有极大似然估计法都需要建立似然方程
在
例5 指数分布的点估计
今取得一组样本Xk数据如下，问如何估计θ？ 某电子管的使用寿命 X （单位：小时) 服从指数分布 分析 可用两种方法：矩法估计 和极大似然估计.
340
410
450
520
620
190
210
800
1100
1）矩法估计
取对数
极大似然估计 构造似然函数 当xi>0,（i=1,2, …,n) 时，似然函数为 建立似然方程
小 结
求解.
解
分析 设总体X 即抽一件产品的不合格产品数，相当于抽取了一组样本X1，X2，… ，Xn , 且
设某车间生产一批产品，为估计该批产品不合格品率，抽取了n件产品进行检查.
韦伯分布参数估计
韦伯分布参数估计引言韦伯分布（Weibull distribution ）是一种常见的概率分布，广泛应用于可靠性工程、生物学、工业工程等领域。
它具有灵活性和适应性强的特点，在数据建模和分析中发挥着重要的作用。
韦伯分布的参数估计是使用已观测到的数据计算韦伯分布的参数，从而对未来的事件进行预测和分析。
韦伯分布的定义韦伯分布是一种连续概率分布，其概率密度函数由下式给出：f (x;λ,k )={(k λ)(x λ)k−1e −(x λ)k,x ≥0;0,x <0.其中，x 是随机变量的取值，λ 是形状参数，k 是尺度参数。
韦伯分布参数估计方法对于韦伯分布的参数估计，常用的方法有最大似然估计法和矩估计法。
1. 最大似然估计法最大似然估计法是一种常用的参数估计方法，其思想是寻找参数值，使得观测到的数据在该参数值下的似然函数取得最大值。
对于韦伯分布，最大似然估计法的步骤如下：1. 建立似然函数。
假设有n 个观测值 x 1,x 2,...,x n ，则似然函数定义为：L (λ,k )=∏[k λ(x i λ)k−1e −(x i /λ)k ]ni=1 2. 对似然函数取对数。
对数似然函数的形式为：lnL (λ,k )=∑[lnk −lnλ+(k −1)ln (x i /λ)−(x i /λ)k ]ni=13.求解对数似然函数的偏导数为零的方程，得到参数的估计值。
对参数λ和k分别求偏导数，并令偏导数为零，可以得到方程组：{∂∂λlnL(λ,k)=∑[kλ2(x iλ)k−1−k(k−1)λ(x iλ)k]ni=1=0∂∂k lnL(λ,k)=∑[1k−ln(x i/λ)k2−ln(x i/λ)+(x iλ)kln(x i/λ)]ni=1=0通过求解以上方程组，可以得到参数λ和k的最大似然估计值。
2. 矩估计法矩估计法是另一种常用的参数估计方法，其基本思想是通过样本矩与理论矩的等值性对参数进行估计。
对于韦伯分布，矩估计法的步骤如下：1.计算样本矩。
均匀分布的矩估计和极大似然估计
一、概述矩估计和极大似然估计是统计学中常用的两种参数估计方法，它们在众多领域中都有着重要的应用。
本文将对均匀分布的矩估计和极大似然估计进行深入探讨，分析它们的特点和适用范围，并对两种方法的优缺点进行比较和总结。
二、均匀分布的矩估计1. 均匀分布的概念和特点均匀分布是概率论中常见的一种离散型随机变量分布，它具有概率密度函数f(x) = 1/(b-a)，其中a和b分别为分布的起始值和终止值。
均匀分布的特点是在[a, b]区间内各个数值出现的概率相等。
2. 均匀分布的矩估计方法均匀分布的参数估计通常采用矩估计方法。
矩估计是利用样本矩来估计总体矩，其基本思想是将样本矩与总体矩相等，通过方程求解得到参数的估计值。
对于均匀分布而言，可以通过样本均值和样本方差来进行参数估计，具体的计算过程可以通过数学推导来进行详细阐述。
三、均匀分布的极大似然估计1. 极大似然估计的基本原理极大似然估计是统计学中另一种常用的参数估计方法，其基本思想是在给定样本条件下，寻找最大化似然函数的参数值作为估计值。
对于均匀分布而言，可以通过求解似然函数的一阶导数为0的方程来得到参数的极大似然估计值，具体的推导过程也需要进行详细的分析和阐述。
2. 极大似然估计与矩估计的比较极大似然估计与矩估计在参数估计的方法和理论基础上存在着一定的差异，它们在不同情况下各有优劣。
通过比较两种方法在均匀分布参数估计中的应用，可以得出它们在精确度、稳定性和有效性等方面的优缺点，为使用者提供更多的参考依据。
四、实例分析通过实际的数据样本和模拟实验，可以对均匀分布的矩估计和极大似然估计进行对比分析。
选择适当的参数和样本规模，比较两种方法得到的参数估计值与真实值之间的偏差情况，从而验证两种方法的可靠性和有效性。
五、结论通过对均匀分布的矩估计和极大似然估计的深入研究和分析，可以得出它们在不同情况下各有优劣，适用范围也有所不同。
在实际应用中，需要根据具体问题的特点选择合适的参数估计方法，以保证估计结果的准确性和可靠性。
概率与统计中的随机变量的分布与参数
概率与统计中的随机变量的分布与参数随机变量在概率与统计中扮演着重要的角色。
为了更好地理解随机变量的特征，我们需要研究它的分布与参数。
本文将介绍概率与统计中的随机变量的分布与参数的概念、常见的分布类型以及参数的估计方法。
一、随机变量的分布与参数随机变量是一个随机试验结果的数值化描述。
根据随机变量的取值类型的不同，可以将随机变量分为离散型和连续型。
对于离散型随机变量，我们可以通过概率分布函数（Probability Mass Function, PMF）来描述其取值的概率分布。
而对于连续型随机变量，则需要使用概率密度函数（Probability Density Function, PDF）来描述取值的概率分布。
每个分布都有其特定的参数。
这些参数可以用来刻画分布的位置、形状和尺度等特征。
对于一些常见的分布，比如正态分布、泊松分布等，它们的参数具有特定的含义，如均值、方差等。
二、常见的分布类型1. 正态分布（Normal Distribution）：正态分布是最常见的分布之一，也是许多自然现象和统计推断的基础。
它的形状呈钟形曲线，具有均值μ和方差σ²两个参数。
2. 泊松分布（Poisson Distribution）：泊松分布适用于描述固定时间或空间间隔内事件发生的次数。
其概率质量函数由唯一参数λ决定，λ表示单位时间（或单位空间间隔）内事件出现的平均次数。
3. 二项分布（Binomial Distribution）：二项分布用于描述具有固定次数的独立重复实验的概率分布，每次实验的结果只有两种可能。
它由两个参数n和p决定，其中n表示重复实验的次数，p表示每次实验成功的概率。
4. 负二项分布（Negative Binomial Distribution）：负二项分布用于描述具有固定次数的独立重复实验的概率分布，每次实验的结果只有两种可能。
与二项分布不同的是，负二项分布关注的是实验的成功次数，直到达到了指定的失败次数。
经典参数估计方法(3种方法)
经典参数估计方法：普通最小二乘（OLS）、最大似然（ML）和矩估计（MM）普通最小二乘估计（Ordinary least squares，OLS）1801年，意大利天文学家朱赛普.皮亚齐发现了第一颗小行星谷神星。
经过40天的跟踪观测后，由于谷神星运行至太阳背后，使得皮亚齐失去了谷神星的位置。
随后全世界的科学家利用皮亚齐的观测数据开始寻找谷神星，但是根据大多数人计算的结果来寻找谷神星都没有结果。
时年24岁的高斯也计算了谷神星的轨道。
奥地利天文学家海因里希.奥尔伯斯根据高斯计算出来的轨道重新发现了谷神星。
高斯使用的最小二乘法的方法发表于1809年他的著作《天体运动论》中。
法国科学家勒让德于1806年独立发现“最小二乘法”，但因不为世人所知而默默无闻。
勒让德曾与高斯为谁最早创立最小二乘法原理发生争执。
1829年，高斯提供了最小二乘法的优化效果强于其他方法的证明，因此被称为高斯-莫卡夫定理。
最大似然估计（Maximum likelihood，ML）最大似然法，也称最大或然法、极大似然法，最早由高斯提出，后由英国遗传及统计学家费歇于1912年重新提出，并证明了该方法的一些性质，名称“最大似然估计”也是费歇给出的。
该方法是不同于最小二乘法的另一种参数估计方法，是从最大似然原理出发发展起来的其他估计方法的基础。
虽然其应用没有最小二乘法普遍，但在计量经济学理论上占据很重要的地位，因为最大似然原理比最小二乘原理更本质地揭示了通过样本估计总体的内在机理。
计量经济学的发展，更多地是以最大似然原理为基础的，对于一些特殊的计量经济学模型，最大似然法才是成功的估计方法。
对于最小二乘法，当从模型总体随机抽取n组样本观测值后，最合理的参数估计量应该使得模型能最好地拟合样本数据；而对于最大似然法，当从模型总体随机抽取n组样本观测值后，最合理的参数估计量应该是使得从模型中抽取该n组样本观测值的概率最大。
从总体中经过n次随机抽取得到的样本容量为n的样本观测值，在任一次随机抽取中，样本观测值都以一定的概率出现。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
估计量, 这个估计量称为矩估计 量. 2018/10/9矩估计量的观测值称为矩估计值.
11
例2
设总体 X 在[0, ]上服从均匀分布, 其中
( 0) 未知,(X 1 , X 2 , , X n ) 是来自总体 X 的样本, 求 的矩估计量.
解
因为 1 E ( X ) , 2
第7章 参数估计
点估计 估计量的评选标准 区间估计 正态总体参数的区间估计
2018/10/9 1
什么是参数估计？ 参数是刻画总体某方面的概率特性的数量. 当这个数量是未知的时候，从总体抽出一个样本， 用某种方法对这个未知参数进行估计就是参数估计 . 例如，X ~N ( , 2). 若 , 2未知，通过构造样本的函数，给出 它们的估计值或取值范围就是参数估计的内容.
2018/10/9
5
点估计问题的一般提法
设总体 X 的分布函数 F ( x; )的形式为已 知, 是待估参数 . X 1 , X 2 ,, X n 是 X 的一个样 本, x1 , x2 ,, xn 为相应的一个样本值 .
点 估 计 问 题 就 是 要 构一 造个 适 当 的 统 计 量 ˆ ( X , X , , X ), 用 它 的 观 测 值 ˆ( x , x , , x )
断头次数 k 断头 k 次的纱锭数 nk
0
1
2
3 4 5 6
45 60 32 9 2 1 1 150
解 因为 X ~ P ( ), 所以 E ( X ). 用样本均值来估计总体的均值 E(X).
1 x xi n i 1
2018/10/9
n
kn
k 0 6
6
k
n
k 0
1.133 . l x p( x;1 , 2 ,, k ), (X为离散型)
其中 RX 是 x 可能取值的范围, l 1,2,, k 1 n l 因为样本矩 Al X i 依概率收敛于相应的 n i 1
总体矩 l ( l 1, 2,, k ),
Al l
P P
样本矩的连续函数依概率收敛于相应的总体矩 的连续函数. g( A1 , A2 , , Ak ) g( 1 , 2 , , k )
7
k
由于估计量是样本的函数, 是随机变量, 故 对不同的样本值, 得到的参数值往往不同, 如何 求估计量是关键问题.
常用构造估计量的方法: (两种) 矩估计法 最大似然估计法
2018/10/9
8
7.1.1 矩估计法
设 X 为连续型随机变量 , 其概率密度为 f ( x;1 , 2 ,, k ), 或 X 为离散型随机变量 , 其分布律为 P { X x } p ( x;1 , 2 ,, k ), 其中 1 , 2 ,, k 为待估参数 ,
根据矩估计法,
令
2
A1 X ,
ˆ =2 X 是所求 的矩估计量. 所以
2018/10/9 12
例3
设总体 X 在[a , b]上服从均匀分布,其中
a , b 未知, (X 1 , X 2 , , X n ) 是来自总体X的样本,
a b 解 1 E ( X ) , 2 2 2 a b a b 2 E ( X 2 ) D( X ) [ E ( X )]2 , 12 4
求a , b 的矩估计量.
ab 令 A1 , 2 ( a b )2 ( a b )2 A2 , 12 4
2018/10/9
13
a b 2 A1 , 即 2 b a 12( A2 A1 ) .
解方程组得到a, b的矩估计量分别为
3 n 2 ˆ A1 3( A2 A1 ) X a ( X X ) , i n i 1
1 2 n 1 2 n
来估计未知参数 .
ˆ ( X 1 , X 2 ,, X n )称为 的估计量. 通称估计, ˆ 简记为 . ˆ ( x1 , x2 ,, xn )称为 的估计值.
2018/10/9 6
在某纺织厂细纱机上的 断头次数 X 是一个 例1 随机变量, 假设它服从以 0 为参数的泊松分布, 参数 为未知, 现检查了150只纱锭在某一时间段 内断头的次数, 数据如下, 试估计参数 .
2018/10/9 2
参数估计的类型
点估计 — 估计未知参数的值. 区间估计 — 估计未知参数的取值范围，
使得这个范围包含未知参数
真值的概率为给定的值.
2018/10/9
3
§7.1 点估计
矩估计法
最大似然估计法
小结
练习
2018/10/9
4
设总体 X 的分布函数形式已知, 但 它的一个或多个参数为未知, 借助于总 体 X 的一个样本来估计总体未知参数的 值的问题称为点估计问题.
若 X1 , X 2 ,, X n 为来自 X 的样本，
假设总体 X 的前 k 阶矩存在,
且均为 1 , 2 ,, k 的函数, 即
2018/10/9 9
l E ( X ) x l f ( x;1 , 2 ,, k )dx (X为连续型)
l
或 l E ( X l )
2018/10/9 10
矩估计法的基本思想
用样本矩来估计总体矩, 用样本矩的连续函数来 估计总体矩的连续函数, 这种估计法称为矩估计法. 矩估计法的步骤
1 1 (1 , 2 , , k ) A1 1 1 ( A1 , A2 , , Ak ) ( , , , ) A 2 2 2 ( A1 , A2 , , Ak ) 2 1 2 k 2 令 , 解出 . k k ( A1 , A2 , , Ak ) k k (1 , 2 , , k ) Ak ˆ1 , ˆ2 ,, ˆk 分别作为 1 , 2 ,, k 的 用方程组的解