极大似然估计
极大似然估计
6
第1章 极大似然估计
1.2.4
方差矩阵的估计方法
( = ∂ 2 LnL −E ′ ∂θ0 ∂θ0 [ [ ])−1
由渐进公式 [I (θ0 )]
−1
ˆ带入上式作为θ ˆ的方差估计量，即信息矩阵的逆， 可以将θ ( ˆ) = Var(θ 在线性回归模型中， [I (θ0 )]−1 = [ ∂ 2 LnL −E ∂θ∂θ′ ( −E ] = [ ])−1
n n i=1 i=1
梯度向量也称为得分向量（score vector） 。梯度向量g 为k × 1向量。将所有观测值对 应的gi 构成的矩阵G = [g1 , g2 , . . . , gN ]′ (N × k )称为梯度向量的贡献矩阵。梯度向量g 的每 个元素为矩阵G的各列的和。 似然函数的二阶导数称为海赛矩阵（Hessian Matrix） ： ∂ 2 ln f (y |θ) ∑ ∂ 2 ln f (yi |θ) ∑ H= = = Hi ∂θ∂θ′ ∂θ∂θ′
i=1 i=1
(1.2)
λxi e−λ xi !
第2节
1.2.1 极大似然估计的原理
极大似然估计
极 大 似 然 估 计 是 指 使 得 似 然 函 数 极 大 化 的 参 数 估 计 方 法，即 估 计 那 些 使 得 样 本(x1 , x2 , . . . , xN )出现的概率最大的参数。 例1.3. 正态分布的ML估计 对于n个相互独立的随机变量x = (x1 , x2 , . . . , xn ), xi ∼ N (µ, σ 2 )(i = 1, 2, . . . , n)。 根 据前面推导的(x1 , x2 , . . . , xn )的联合似然函数： ∑n (xi − µ)2 n n LnL(µ, σ |x) = − ln(σ 2 ) − ln(2π ) − i=1 2 2 2σ 2
极大似然估计原理
极大似然估计原理一、引言极大似然估计是统计学中一种常用的参数估计方法，它是基于样本数据来推断总体参数的一种方法。
在实际应用中，极大似然估计被广泛应用于各个领域，如生物学、医学、社会科学等。
本文将详细介绍极大似然估计的原理及其应用。
二、概念解释1.概率密度函数概率密度函数是描述随机变量分布情况的函数，通常用f(x)表示。
对于连续型随机变量，其概率密度函数可以表示为：f(x) = lim△x→0 P(x< X ≤ x+△x)/△x其中P(x< X ≤ x+△x)表示X落在区间[x, x+△x]内的概率。
2.样本样本是从总体中抽取出来的一部分个体，通常用X1, X2, ……, Xn表示。
样本可以反映总体的某些特征。
3.参数参数是描述总体分布情况的量，通常用θ表示。
例如正态分布有两个参数：均值μ和方差σ^2。
4.最大似然估计最大似然估计是指在给定样本下，通过求解使得样本出现的概率最大的参数值，来估计总体分布的参数。
通常用L(θ|X)表示，其中θ为待估计参数，X为样本。
三、极大似然估计原理1.基本思想极大似然估计的基本思想是：在给定样本下，求解使得样本出现的概率最大的参数值。
具体来说，就是找到一个参数θ，使得在该参数值下观测到当前样本的概率最大。
2.数学推导假设总体分布的概率密度函数为f(x|θ)，其中θ为待估计参数。
对于给定样本X1, X2, ……, Xn，它们是独立同分布的随机变量。
因此，这n个随机变量同时取到某个值x1, x2, ……, xn 的概率可以表示为：f(x1|θ) f(x2|θ) …… f(xn|θ)将其写成一个连乘形式：L(θ|X) = ∏i=1nf(xi|θ)这个连乘形式就是极大似然函数。
我们需要找到一个使得L(θ|X)最大的参数值。
对于离散型随机变量而言，在求解极大似然估计时可以直接求解出每个取值对应的概率，然后选取概率最大的那个值作为估计值。
对于连续型随机变量而言，由于概率密度函数在每个点上的概率都是0，因此无法直接求解出每个取值对应的概率。
极大似然估计方法
极大似然估计方法极大似然估计（Maximum Likelihood Estimation，MLE）方法是一种用于估计参数的统计方法，它基于观测到的样本数据，通过选择最大化观测数据出现的概率的参数值来估计未知参数。
极大似然估计是概率论和统计学中最重要的方法之一，广泛应用于各个领域的数据分析与建模中。
极大似然估计方法的核心思想是基于某一参数下观测数据出现的概率，选择使得这个概率最大的参数值。
具体而言，给定一个观测数据集合X，其来自于一个具有参数θ的概率分布，我们要估计未知参数θ的值。
极大似然估计的目标是找到一个参数值θ^，使得给定θ^条件下观测数据集合X出现的概率最大。
数学上，极大似然估计可以通过最大化似然函数来求解。
似然函数是一个参数的函数，表示给定某个参数θ下观测数据出现的概率。
似然函数的定义如下：L(θ|X) = P(X|θ)数的函数，表示给定某个参数θ下观测数据出现的概率。
极大似然估计的目标是寻找一个参数θ^，使得似然函数最大化，即：θ^ = arg max L(θ|X)为了方便计算，通常将似然函数转化为其对数形式，即对数似然函数：l(θ|X) = log L(θ|X)本文将主要介绍如何利用极大似然估计来估计参数。
具体而言，将分为两个部分：首先是介绍极大似然估计的理论基础，包括似然函数和对数似然函数的定义，以及如何通过最大化似然函数来估计参数；其次是通过一个实际的例子，展示如何使用极大似然估计来求解参数。
理论基础似然函数是极大似然估计的核心概念之一。
似然函数是一个参数的函数，表示给定某个参数θ下观测数据出现的概率。
似然函数的定义如下：L(θ|X) = P(X|θ)数的函数，表示给定某个参数θ下观测数据出现的概率。
似然函数的值越大，则表示给定参数θ的取值越可能产生观测数据X。
对数似然函数是似然函数的对数变换，通常在实际计算中会更加方便。
它的定义如下：l(θ|X) = log L(θ|X)对数似然函数和似然函数存在着一一对应关系，因此在求解参数时，两者等价。
极大似然估计的原理和思想
极大似然估计的原理和思想
极大似然估计是统计学上常用的参数估计方法之一，其原理和思想可以概括为以下两点：
1. 最大化似然函数：似然函数表示了观察到某一样本所取得的结果出现的概率。
极大似然估计的思想是通过调整参数的取值，使得观察到的样本的似然函数达到最大化。
换句话说，极大似然估计希望通过选择最合适的参数取值，使得观察到的结果出现的概率最大化。
2. 假设样本独立同分布：极大似然估计的原理基于多个独立同分布的样本。
换句话说，极大似然估计假设每个样本的出现都是独立的，且每个样本的生成过程都是相互独立的。
通过将多个样本的似然函数进行乘积，可以得到所有样本的似然函数。
然后，通过最大化整体样本集的似然函数，来估计参数的取值。
总的来说，极大似然估计的原理和思想是通过选择合适的参数取值，使得观察到的样本出现的概率最大化。
通过对样本的独立同分布假设，并最大化样本集的似然函数，可以得到最优的参数估计值。
极大似然估计量的标准误差
极大似然估计量的标准误差一、引言极大似然估计量（Maximum Likelihood Estimator，MLE）是一种在统计学中常用的参数估计方法。
它通过最大化样本数据的似然函数来估计未知参数。
然而，MLE的估计结果往往受到样本数据的影响，存在一定的误差。
本文将探讨极大似然估计量的标准误差及其计算方法。
二、极大似然估计量的定义极大似然估计量是一种参数估计方法，它通过最大化样本数据的似然函数来估计未知参数。
似然函数描述了样本数据在给定参数下的概率分布。
通过最大化似然函数，MLE可以找到最有可能的参数值，使得样本数据出现的概率最大。
三、极大似然估计量的标准误差极大似然估计量的标准误差是衡量MLE估计结果稳定性的一个重要指标。
标准误差越小，MLE的估计结果越稳定。
计算MLE的标准误差通常需要使用样本数据的方差和协方差矩阵。
1.方差计算方差是衡量数据波动程度的一个指标，它描述了数据点与其均值的偏离程度。
对于极大似然估计量，其方差可以通过以下公式计算：方差= 2 * Σ (likelihood function) / (n * number of parameters)其中，Σ表示求和符号，likelihood function表示样本数据的似然函数，n表示样本数量，number of parameters表示未知参数的数量。
2.协方差矩阵计算协方差矩阵描述了各个参数之间的相关性。
对于极大似然估计量，其协方差矩阵可以通过以下公式计算：协方差矩阵= -1 * Σ (likelihood function) / (n * numb er of parameters)其中，Σ表示求和符号，likelihood function表示样本数据的似然函数，n表示样本数量，number of parameters表示未知参数的数量。
3.标准误差计算标准误差是方差的平方根，它描述了MLE估计结果的波动程度。
对于极大似然估计量，其标准误差可以通过以下公式计算：标准误差= √ 方差四、结论本文探讨了极大似然估计量的标准误差及其计算方法。
极大似然估计计算公式
极大似然估计计算公式极大似然估计呀，这可是统计学里一个挺重要的概念。
咱先来说说啥是极大似然估计。
简单来讲，就是在一堆可能的情况里，挑那个最有可能产生咱们观察到的数据的情况。
比如说，咱抛硬币，抛了 10 次，有 7 次正面，3 次反面。
那按照极大似然估计的思路，就会认为这枚硬币正面朝上的概率大概是 0.7 。
那极大似然估计的计算公式是啥呢？一般来说，如果咱们有一个随机变量 X ，它的概率密度函数或者概率质量函数是f(x;θ) ，这里的θ就是咱们要估计的参数。
然后咱们有一组观察值 x₁, x₂,..., xₙ 。
那极大似然函数L(θ) 就是这几个观察值的概率的乘积，也就是L(θ) = ∏[i=1 to n] f(xᵢ;θ) 。
为了找到让这个极大似然函数最大的那个θ 值，咱们通常会对L(θ) 取对数，变成对数似然函数 l(θ) = ∑[i=1 to n] log(f(xᵢ;θ)) 。
这样做能让计算简单点儿，因为乘积变求和嘛。
然后呢，通过对这个对数似然函数求导，令导数等于 0 ，就能解出那个最有可能的θ 值啦。
我给您举个例子哈。
比如说，咱有一个正态分布的随机变量 X ，它的均值是μ ，方差是σ² 。
现在咱们观察到了一组数据 10, 12, 15, 18,20 。
那它的概率密度函数就是f(x;μ, σ²) = 1/√(2πσ²) * exp(-(x -μ)²/(2σ²)) 。
咱把这几个观察值带进去，得到极大似然函数L(μ, σ²) ，然后取对数变成l(μ, σ²) 。
对l(μ, σ²) 分别关于μ 和σ² 求导，令导数等于 0 ，就能算出μ 和σ² 的估计值啦。
您可能会问，这在实际生活中有啥用呢？其实用处可大啦！比如说，在质量检测里，工厂生产了一批零件，咱们想知道这批零件的尺寸是不是符合标准。
通过测量一些零件的尺寸，用极大似然估计就能估计出这批零件尺寸的分布参数，看看是不是在合格范围内。
第08章--对数极大似然估计
( yt
1
2 xt 2 2
3wt
)2
T t 1
log
( yt
1
2 xt
3wt
1 2
log(
2
)
这里， 是原则正态分布旳密度函数。
16
lt
( ,
)
log
yt
1
2 xt
3wt
1 2
log(
2)
将这一例子旳对数极大似然函数过程写成下面旳赋值语
句：
Series res=y-c(1)-c(2)*x-c(3)*w
15
下面考虑2个变量旳例子：
yt 1 2 xt 3wt ut ut ~ N (0, 2 )
这里，y, x, w 是观察序列，而 ={1, 2, 3, 2}是模型旳参数。
有T个观察值旳样本旳对数似然函数能够写成：
log
L(
,
2)
T 2
log(2
)
1 2
T t 1( y ; ψ) 0 , i =1, 2, …, n （8.1.2）
i
由上式可解得 n1 向量 旳极大似然估计值 ψˆ，而式(8.1.2)
也被称为似然函数。
6
因为 L(y ; ) 与 ln[L(y ; ))] 在同一点处取极值，所
以也能够由
ln L( y ; ψ) 0 , i =1, 2, …, n （8.1.3）
而对数极大似然措施使得寻找这些极大似然估计变 得轻易了。只需创建一种对数似然对象，把上面旳赋值 语句输入到logL旳阐明窗口，然后让EViews来估计这个 模型。
20
在输入赋值语句时，只需对上面旳文本做两处微小旳 改动就能够了。首先，把每行开头旳关键字series删掉（因 为似然阐明暗含了假定序列是目前旳）。第二，必须在阐 明中加入额外旳一行（关键字@logL为包括似然贡献旳序 列命名）。
极大似然估计
极大似然估计极大似然估计极大似然估计方法在金融领域中的应用十分广泛。
该方法利用已知的概率密度函数形式，构造对数似然函数，然后最大化该似然函数从而求得概率密度函数中所含的参数估计量。
比如：对GARCH(1,1)模型中的参数估计中，如果均值方程中的扰动项服从正态分布，则我们可以利用正态分布的概率密度函数对所含参数进行估计。
1．极大似然估计基本原理 (1)参数估计下面以线性回归中系数的极大似然估计为例来说明极大似然估计基本原理。
考虑线性回归：Y X βε=+，2~(0,)Y X N εβσ=−则对于X 和Y 的每一对观测值(,)i i X Y ，这里，i X 为行向量，其概率密度函数形式如下： 21(,)())2i i i i Y X f X Y βσ−=− 给定N 对相互独立的观测值(,)i i X Y ，1,2,...,i N =，样本中所有观测值的总体概率密度函数(,)L βσ为单个观测值概率密度函数的乘积，即：211(,)())2Ni i i Y X L ββσσ=−=− （1） 极大似然估计要给出参数(,)βσ的估计量使得（1）式最大。
由于（1）式为乘积的形式，直接对最大化（1）式求解最优解，比较麻烦。
因此，采用似然函数的对数形式：2211(,)[()]2Ni i i LnL Ln Y X βσβσ==−−∑然后求解以下最优化问题：22(,)11max (,)[()]2Ni i i LnL Ln Y X βσβσβσ==−−∑ （2）最后得到的参数(,)βσ的估计量与普通最小二乘法得到的结果一样。
因此，当普通最小二乘法回归方程中的残差服从正态分布时，普通最小二乘估计与极大似然估计的结果是一样的。
更一般地，我们用θ表示需要估计的参数向量，相应地对数似然函数为：()LnL θ。
(2)参数估计的标准误差求解优化问题（2），虽然给出了参数θ的估计量ˆθ，但并没有给出估计的标准误差。
如果对数似然函数()LnL θ在其估计量ˆθ处的二阶倒数的期望是已知的，则极大似然估计量的渐进协方差矩阵1[()]I θ−满足：2111()()()[()]{[]}{[()()]}LnL LnL LnL I E E θθθθθθθθ−−−∂∂∂=−=′′∂∂∂∂ （3）通常情况下()LnL θ是一个非常复杂的非线性函数，我们很难得到（3）式中期望值的解析解形式。
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0,
dp p 1p
解得
pˆ n1in1xi
xm. n
（频率值）
31
例8 设总体X的概率密度为
p(x) θ1e(x)/ ,
x;
0,
x.
其中θ＞0，μ与θ是未知参数，X1，X2，…,Xn，
是X 的一组样本，求μ与 θ的矩估计量.
L(a,b)(b 1a)n(x(n) 1x(1))n
1
即 L(a,b)在ax(1),bx(n)时,取最大值
( x(n)
x )n (1 )14
似然函数为
1 L(a,b)(ba)n
,axi
b;
0 ,其它
即 L(a,b)在ax(1),bx(n)时,取最大值 1
( x ( n ) x (1) ) n 故 a , b 的极大似然估计值为:
p
1 p
pˆ x m
所以参数 p的极大似然估计量为 pˆ X
m
11
例3 设 X1, X2, …, Xn 是取自总体X 的一个样本,
X ~()，求参数λ的极大似然估计值。
解 设 x1, ,xn 为一样本值，
P{Xxi}xxiei! ,xi 0,1,L
n
似然函数为:
L()
n i1
exi
ln X i
24
i 1
2) 矩估计法
E X 0 1 x ( 1 )x d x x 2 2 ( 1 )1 0 1 2 ,
令 1 2 X ,可 得 的 矩 法 估 计 量 为
ˆ12X 1 2.
X1 1X
25
小结
1. 矩法估计量与极大似然估计量不一定相同； 2. 用矩法估计参数比较简单,但有信息量损失； 3. 极大似然估计法精度较高,但运算较复杂； 4. 不是所有极大似然估计法都需要建立似然方程
(
C)p xi
i1
m
(1p)
, i1
i1
10
n
n
n
xi
m n xi
L(p) (
C)p xi
i1
m
(1p)
, i1
i1
n
n
lnL(p) ln( i 1 令 d lnL(p)
C
xi m
)
0,
(
即
i1
xi ) ln p n (mn xi)ln1(p)
i1
dp
n
n
xi mnxi
i1
i1 0
15723 31(小 8 时 ). 18
19
例6 设 X~N(,2) ;,2为未知参数，x1, , xn
是来自X的一个样本值，求 , 2的极大似然估计值。
解： X的概率密度为：
p(x;,2)
1
e(x22)2
似然函数为：
2
n
L( , 2)
i1
1
2
e ( (
xi )2 22
1 2
) e n
212
应选取使L(p) 达到最大的值作为参数 p 的估计. 30
注意到
L (p ˆ) m L ( a p ) xlL n (p ˆ) m la n L (p x ),
0 p 1
0 p 1
n
n
ln L(p) xiln p(n xi)lnp (),1
i1
i1
n
n
令
dlnL(p)i1 xi
n xi i1
第二节
第七章
极大似然估计
极大似然估计
1
极大似然法的基本思想
先看一个简单例子： 某位同学与一位猎人一 起外出打猎 . 一只野兔从前方窜过 . 只听一声枪响，野兔应声倒下 .
如果要你推测， 是谁打中的呢？ 你会如何想呢?
2
基本思想:
若一试验有n个可能结果 A1,, An, 现做一试验,
若事件Ai 发生了, 则认为事件Ai在这n个可能结果 中出现的概率最大。
因此 的极大似然估计θ也可从下式解得：
d lnL() 0
d
6
又 因 L()与 lnL()在 同 一 处 取 到 极 值 ， 因 此 的 极 大 似 然 估 计 也 可 从 下 述 方 程 解 得 ：
ddlnL()0.
若母体的分布中包含多 个参数，
即可令 Li 0,i1,,k.
或lnL0,i1,,k.
分析 可用两种方法：矩法估计 和极大似然估计.
16
X: p(x;)1ex, x0 (0)
0 , other
1）矩法估计 Q EX x1exdx
0
令 X 则 可 得 的 矩 法 估 计 量 为 ： ˆ X . 代 入 具 体 数 值 可 得 的 估 计 值 为 ：
1 n
ni1xi
15723 18
n
(xi )20
i1
解得：
ˆ
1 n
n i1
xi
x
ˆ2
1 n
n i1
(xi
x)2
n 1s2 n
21
注：lnx 是 x 的严格单增函数，lnL 与L有相同的 极大值，一般只需求lnL 的极大值.
求极大似然估计的一般步骤：
1. 写出似然函数
n
L (x 1 ,x 2 ,.x .n ; . ,) p (x i; 1 , 2 ,. .m .),
1(小 8 时 ).
17
X: p(x;)1ex, x0 (0)
2）极大似然估计
0 , other
1. 构造似然函数
当xi>0,（i=1,2, …,n) 时，似然函数为
n
L( )
1exi
e n
1in1xi
i1
1n
2. 取对数
lnLnlni 1xi
dlnL n 1 n
3. 建立似然方程 d 2i 1xi 0. 18
X1,,Xn 的联合分布列为： p(xi;),D,
n
i1
p (x i;)p (x 1,)p (x 2 ,)Lp (x n ,), D ,
i 1
{事X 件1x 1, ,X n 发x 生n } 的概率为
L ()L (x1,,xn;) 为 的函数，
n
p(xi;), 为样本的似然函数。
4
i1
xi !
n i1
x1i !
en
xi
i1
n
n
lnL()ln( xi!)n xi(ln)
n i1
i1
dL()
n
xi
i1
0
d
n
ˆ xi n x i 1
12
例4 设 X~U[a,b];a,b未知，x1, , xn 是一个样本值
求 a , b 的极大似然估计量.
解设
X的概率密度为：
p(x;a,b) b1a,axb; 0 ,其它
P { X x i} C m x ip x i(1 p )m x i i 0 ,1 ,L,m (0p 1 )
X1,, Xn
似然估计值。
解：设 x1,,xn是对 X1,应 ,Xn的样本值
似然函数为
n
n
L(p)
P{Xi xi}
C p xi xi m
(1p)mxi
i1
n
i1
n
n
xi
mn xi
{X1=x1，X2=x2，…,Xn=xn}
出现的可能性应最大, 其概率为
29
px(1 p)1x, P(x;p)
0,
x0,1; 其.它
L(x1,x2,..xn .;,p)
P{X 1x1,X2x2,..X .n,xn}
nP {X ixi} npxi(-1p)1-xi
i 1
i1
pi n1xi(-1p)ni n 1xi, (xi0,1 p ;0 1)
求解.
26
作业 P294 1；2；3；4
27
例6. 不合格品率的矩法估计
设某车间生产一批产品，为估计该批产品不合格品率，
抽取了n件产品进行检查.
分析 设总体X 即抽一件产品的不合格产品数，相当于
抽取了一组样本X1，X2，… ，Xn , 且
1, 第i次取到不合格品；
Xi
0,
第i次取到合格.品
解 因 p=EX, 故 p 的矩估计量为
0,
0x1; 其他 .
求参数θ的极大似然估计, 并用矩法估计θ.
解 1) 极大似然估计法
1. 构造L似(x1然,..函.,x数n;)(1)nin1xi, 0xi 1;
0,
其它
2. 取对数： 当 0<xi<1, (i=1,2, …,n) 时
lnLnln(1) nlnxi
23
i1
p(x,)(1)x,
pˆX1 n
ni1
Xi
fn(A)
(即出现不合格产品的频率).
28
例7 不合格品率p 的估计
设 总体X是抽一件产品的不合格品数，记 p= P{X=1}=P{产品不合格}
则 X的分布列可表示为
px(1 p)1x, P(x;p)
0,
x0,1; 其.它
现得到X的一组样本X1，X2，…,Xn的实际观 察值为 x1, x2, …,xn , 则事件
i
解k个方程组1求 ,,得 k的极大似然估计
7
例1 设 X~B(1,p)X ;1,,Xn是来自总体X的一
个样本，试求参数 p 的极大似然估计值.
解：设 x1, , xn是一个样本值。X的分布列为：
P { X x i} p x i( 1 p ) 1 x i, x i 0 ,1 ;
故似然函数为
0,
0x1; 其他 .
2. 取对数： 当 0 < xi < 1, (i=1,2, …,n) 时