第10章 第3节 矩阵对策的解法
(10 49 )
(10 52 )
11
例18 利用线性规划方法求解赢得矩阵为A的矩 阵对策。
7 2 9 A 2 9 0 9 0 11
12
3
Hale Waihona Puke a11a 22 a12 a 21 VG (a11 a 22 ) (a12 a 21 )
例12 求解矩阵对策G={S1，S2；A}，其中
1 3 A 4 2
2. 2 n 或 m 2 对策的图解法 例13 考虑矩阵对策G={S1，S2；A}，其中
2 3 11 A 7 5 2
由定理5已知，任一矩阵对策G={S1，S2；A}的求 解均等价于一对互为对偶的线性规划问题，而定理4 * 表明，对策G的解 x *和 y 等价于下面两个不等式 组的解。
8
aij xi v, i （I） xi 1 i xi 0, aij y j v, j (II) yj 1 j y j 0,
(10 40)
就是对策的值VG 。
定理11 设矩阵对策G={S1，S2；A}的值为VG ， 则
VG max min E ( x, j ) min* max E (i, y ) *
xS1 1 j n yS 2 1i m
(10 41)
10
min z xi' i ' （P） a x j 1,, n ij i 1, i x ' 0, i 1,, m i max w y 'j j ( D) aij y 'j 1, i 1,, m j y ' 0, j 1,, n j
第3节 矩阵对策的解法
3.1 公式法、图解法和方程组法
2 2 对策的公式法 所谓 2 2 对策是指局中人I的赢得矩阵为 2 2阶， 即
1.
a11 a12 A a21 a22
由定理6可知，为求最优混合策略可求下列等式组：
1
a11x1 a21 x2 v （I） a12 x1 a22 x2 v x x 1 1 2 a11 y1 a12 y 2 v (II)a21 y1 a22 y 2 v y1 y 2 1
j 1, , n (10 38 ) i 1, , m i 1, , m (10 39 ) j 1, , n
9
其中
v max min E ( x, y ) min max E ( x, y ) * * * *
xS1 yS2 yS2 xS1
S1 1 , 2 ,
S 2 1 , 2 , 3
4
例14 用图解法求解矩阵对策G={S1，S2；A}， 其中 S1 1 , 2 , 3, S 2 1 , 2
2 7 A 6 6 11 2
例15 求解赢得矩阵A的矩阵对策。
4 A 1
8/3 5
4 5
2 7
5
3. 线性方程组方法 例 16 求解矩阵对策——“齐王赛马” 解：已知齐王的赢得矩阵为
3 1 1 1 1 1 1 3 1 1 1 1 1 1 3 1 1 1 A 1 1 1 3 1 1 1 1 1 1 3 1 1 1 1 1 1 3
(10 25 )
a11 a12 (a11 a 22 ) (a12 a 21 ) a 22 a12 (a11 a 22 ) (a12 a 21 ) a11 a 21 (a11 a 22 ) (a12 a 21)
(10 26 ) (10 27 ) (10 28 ) (10 29 )
(10 23)
(10 24 )
2
当矩阵A不存在鞍点时，可以证明上面等式组(I)和 * * * * (II) 一定有严格非负解 x* ( x1 , y2 ) ， , x2 ) 和 y* ( y1 其中 a 22 a 21 *
x1
* x2 * y1 * y2
(a11 a 22 ) (a12 a 21 )
6
例17 某厂用三种不同的设备 1 , 2 , 3 加工三种不 同的产品 1 , 2 , 3 ，已知三种设备分别加工三种产 品时，单位时间内创造的价值由表10-3给出。
表10-3
使用设备 被加工产品
1 1
2 3
3 -1 2
2
-2 4 2
3
4 2 6
7
3.2 线性规划方法
合集下载
矩阵对策
i j
max aij 对局中人 II，求 min j i
若 max min aij min max aij a i
i j j i
*
j*
策略 i ， j 为I，II 的最优策略
这一对策 的值为 V a i
j
几个术语
局势 对策的解
最优纯策略
对策的值 鞍点 e. g. 2 （续）求解取暖购煤问题
两人零和对策
对抗对策（antagonistic game）
矩阵对策（matrix game）
二．实际问题中的矩阵对策模型
e. g. 1 扩大销售模型
公司I，公司II 的同一产品竞争市场份额，各有三种办 法扩大销售额（由于市场需求一定，一家扩大，意味 另一家缩减），三种方法比如：①改进包装；②广告； ③降价．公司I 的三种策略表示为 1 , 2 , 3 ，公司II 的三种策略为 1 , 2 , 3 ，在不同策略下销售量增长百 分比不同．下表中表示公司I 的增长率，而公司II 的即 为相反数
e. g. 6 （续）求最优策略与值
作业
P206,
Ex 6. 3：1，2
1=急转 2 =不转
1
给急转弯者以1 分，不转弯者以5 分 局中人II 局中人I 局 =急转 1 中 人 2=不转 II
3 5
1 =急转 2=不转
1 0
0
II 的支付矩阵
此对策中，若两者都想得5 分，则发生惨祸， 全部玩完．实际上两人最好的做法是同时停车 或转弯，各得3 分． Remark 此例已不是 2 人有限零和对策问题（因为在 每个对局中，双方支付的代数和不为零）， 称为双矩阵对策．
e. g. 2 取暖购煤问题 某公司在秋末需决定冬季取暖用煤问题．根据气温 情况，用煤量和煤价均不同，可用下表表示： 正常气温 较冷气温 较暖气温 需求量15 吨 需求量20 吨 需求量10 吨 200元／吨 250元／吨 150元／吨
max aij 对局中人 II，求 min j i
若 max min aij min max aij a i
i j j i
*
j*
策略 i ， j 为I，II 的最优策略
这一对策 的值为 V a i
j
几个术语
局势 对策的解
最优纯策略
对策的值 鞍点 e. g. 2 （续）求解取暖购煤问题
两人零和对策
对抗对策（antagonistic game）
矩阵对策（matrix game）
二．实际问题中的矩阵对策模型
e. g. 1 扩大销售模型
公司I，公司II 的同一产品竞争市场份额，各有三种办 法扩大销售额（由于市场需求一定，一家扩大，意味 另一家缩减），三种方法比如：①改进包装；②广告； ③降价．公司I 的三种策略表示为 1 , 2 , 3 ，公司II 的三种策略为 1 , 2 , 3 ，在不同策略下销售量增长百 分比不同．下表中表示公司I 的增长率，而公司II 的即 为相反数
e. g. 6 （续）求最优策略与值
作业
P206,
Ex 6. 3：1，2
1=急转 2 =不转
1
给急转弯者以1 分，不转弯者以5 分 局中人II 局中人I 局 =急转 1 中 人 2=不转 II
3 5
1 =急转 2=不转
1 0
0
II 的支付矩阵
此对策中，若两者都想得5 分，则发生惨祸， 全部玩完．实际上两人最好的做法是同时停车 或转弯，各得3 分． Remark 此例已不是 2 人有限零和对策问题（因为在 每个对局中，双方支付的代数和不为零）， 称为双矩阵对策．
e. g. 2 取暖购煤问题 某公司在秋末需决定冬季取暖用煤问题．根据气温 情况，用煤量和煤价均不同，可用下表表示： 正常气温 较冷气温 较暖气温 需求量15 吨 需求量20 吨 需求量10 吨 200元／吨 250元／吨 150元／吨
矩阵对策的最优纯策略
,m α，
,
,n β；则分别为
},m α和},n β。
当局中人Ⅰ选定纯策略i α和局中人Ⅱ选定纯策略后，就形成了一个纯局)j ，这样的纯局势共有m n ⨯个。
对任一纯局势赢得值为ij a ，称
12122
212n n m m mn a a a a a ⎤⎥⎥⎥⎥⎦
为局中人Ⅰ的赢得矩阵。
局中人Ⅱ的赢得矩阵就是当局中人Ⅰ，Ⅱ的策略集12,S S 及局中人Ⅰ的赢得矩阵对策也就给定了，记为{}12,,G S S A =。
在齐王赛马的例子中，齐王的赢得矩阵
},
,m α，
},n β，max ）
成立，记其值为）成立的纯局势()
,i j αβ**
在纯策略意义下的解（或鞍点）
},m α，},n S β，
1,2,
,,m x ∑1,2,
,,n y ∑分别称为局中人Ⅰ和Ⅱ的混合策略集分别称为局中人Ⅰ和Ⅱ的混合策略（或策略），对
),m x 可设想成当两个局中人多次重复进行对策
12,,
,m ααα的频率。
若只进行一次时对策，混合
对策可设想成局中人Ⅰ对各纯策略的偏爱程度。
求解混合策略的问题有图解法，迭代法、线性方程组法和线性规划法，在。
对策问题的提出对策论模型矩阵对策的解法◎知识归纳
现代博弈论起源于19世纪末20世纪初，二战后发展成为一门完整而丰富的理论 学科。学术界一般将其发展历程分为以下几个阶段：
（1）萌芽阶段 从19世纪末到20世纪30年代可以说是博弈论的萌芽期，表现为学者们对社会经
济理论和现实的一些思考，研究者以数学家为主。 （2）产生阶段 20世纪四五十年代可说是博弈论的体系建立时期。1944年诺依曼和摩根斯坦的
（2）物流仓储优化策略 【例8.2】一仓储供应中心为其下游的一家生产企业供应某种原料。生产企业根 据产品订单情况对原料的需求进行分析，分别有淡季、旺季和正常三种情况，在正 常情况下需要原料15吨，在淡季和旺季情况下分别需要原料10吨和20吨；而原料的 价格与原料市场的需求有关，在淡季、正常、旺季三种情况下，每吨原料的价格分 别为100元、150元和200元，已知此时每吨原料的价格为100元。问在生产企业对原 料的需求没有确定预知的条件下，此时应采购多少吨原料才能使仓储供应中心的总 成本最少（不计存储费用）？ 这个问题可看成一个博弈问题。即仓储供应中心针对可能出现的三种不同的原
巨著《博弈论和经济行为》的出版，标志着博弈论作为一门学科的建立，也被视为 数理经济学学科建立的里程碑。巨著出版前后的若干年中，合作博弈理论的研究得 到了迅速的发展，提出了各种概念，并在20世纪50年代达到了研究的高峰。不久， 库克于1950年定义了“囚徒的困境”，纳什在1950年和1951年发表了两篇关于非合 作博弈的重要文章，这两位学者的研究工作，特别是纳什的研究工作奠定了非合作 博弈论的基础，所提出的纳什均衡概念，在非合作博弈论中起着核心作用。
8 对策论
8.1 对策问题的提出 8.2 对策论模型 8.3 矩阵对策的解法 ◎ 知识归纳 ◎ 习题与思考题
8.1 对策问题的提出
（1）萌芽阶段 从19世纪末到20世纪30年代可以说是博弈论的萌芽期，表现为学者们对社会经
济理论和现实的一些思考，研究者以数学家为主。 （2）产生阶段 20世纪四五十年代可说是博弈论的体系建立时期。1944年诺依曼和摩根斯坦的
（2）物流仓储优化策略 【例8.2】一仓储供应中心为其下游的一家生产企业供应某种原料。生产企业根 据产品订单情况对原料的需求进行分析，分别有淡季、旺季和正常三种情况，在正 常情况下需要原料15吨，在淡季和旺季情况下分别需要原料10吨和20吨；而原料的 价格与原料市场的需求有关，在淡季、正常、旺季三种情况下，每吨原料的价格分 别为100元、150元和200元，已知此时每吨原料的价格为100元。问在生产企业对原 料的需求没有确定预知的条件下，此时应采购多少吨原料才能使仓储供应中心的总 成本最少（不计存储费用）？ 这个问题可看成一个博弈问题。即仓储供应中心针对可能出现的三种不同的原
巨著《博弈论和经济行为》的出版，标志着博弈论作为一门学科的建立，也被视为 数理经济学学科建立的里程碑。巨著出版前后的若干年中，合作博弈理论的研究得 到了迅速的发展，提出了各种概念，并在20世纪50年代达到了研究的高峰。不久， 库克于1950年定义了“囚徒的困境”，纳什在1950年和1951年发表了两篇关于非合 作博弈的重要文章，这两位学者的研究工作，特别是纳什的研究工作奠定了非合作 博弈论的基础，所提出的纳什均衡概念，在非合作博弈论中起着核心作用。
8 对策论
8.1 对策问题的提出 8.2 对策论模型 8.3 矩阵对策的解法 ◎ 知识归纳 ◎ 习题与思考题
8.1 对策问题的提出
对策问题的提出对策论模型矩阵对策的解法◎知识归纳
8.2.1 对策模型的基本要素
（1）局中人 在一个对策行为中，有权决定自己行动方案的对策参加者被称为局中人。局中 人除了理解为个人外还可以理解为集体，如球队、交战国、企业公司等，也可以把大 自然理解为局中人（因为人类经常处于和大自然斗争的状态中）；另外，还假定局中 人都是聪明的，有理智的和利己的。同时，为使所研究的问题更加清晰，把那些利益 完全一致的参加者们看做一个局中人，因为他们利害一致，必使他们齐心合力，相互 配合行动如一个人。例如，桥牌游戏中，东西双方利益一致，南北两方得失相当，所 以虽有四人参加，只能算有两个局中人。 一个对策中一般要求至少有两个局中人。每个局中人用i表示，局中人的集合用 字母I表示，则I＝｛1，2，…，n｝。我们称只有两个局中人的对策现象为“两人对 策”，如象棋、桥牌等，显然上述齐王赛马中局中人也是两人，即I＝｛1，2｝。而 多于两个局中人的对策称为“多人对策”。另外根据局中人之间是否允许进行合作， 还可有“结盟对策”和“不结盟对策”，或称为“合作博弈”和“非合作博弈”。
（2）物流仓储优化策略 【例8.2】一仓储供应中心为其下游的一家生产企业供应某种原料。生产企业根 据产品订单情况对原料的需求进行分析，分别有淡季、旺季和正常三种情况，在正 常情况下需要原料15吨，在淡季和旺季情况下分别需要原料10吨和20吨；而原料的 价格与原料市场的需求有关，在淡季、正常、旺季三种情况下，每吨原料的价格分 别为100元、150元和200元，已知此时每吨原料的价格为100元。问在生产企业对原 料的需求没有确定预知的条件下，此时应采购多少吨原料才能使仓储供应中心的总 成本最少（不计存储费用）？ 这个问题可看成一个博弈问题。即仓储供应中心针对可能出现的三种不同的原
8.1.2 对策论在现代物流管理中的运用
在现代物流管理实践中，决策者们为了谋求自身的不断发展，保持自身的竞争 优势，必须不断地审时度势、不停地进行选择和作出决定，以保证最大限度地降低 物流成本、提高物流效率及服务水平。他们的选择和决定会影响到竞争对手的决策 结果，同样竞争对手的选择和决定也直接影响着他们的决策结果。也就是说，决策 者在决策时必须要考虑到对手的策略，因此，博弈论的思想已完全融入到现代物流 管理的每一个环节中。博弈论在现代物流管理中的运用主要有物流项目投资、物流 市场竞争对策、物流服务价格策略、物流中心选址、物流运输规划、物流仓储优化 等内容。以下仅就本书涉及到的有关博弈论中矩阵对策的例子作简要介绍。
（1）局中人 在一个对策行为中，有权决定自己行动方案的对策参加者被称为局中人。局中 人除了理解为个人外还可以理解为集体，如球队、交战国、企业公司等，也可以把大 自然理解为局中人（因为人类经常处于和大自然斗争的状态中）；另外，还假定局中 人都是聪明的，有理智的和利己的。同时，为使所研究的问题更加清晰，把那些利益 完全一致的参加者们看做一个局中人，因为他们利害一致，必使他们齐心合力，相互 配合行动如一个人。例如，桥牌游戏中，东西双方利益一致，南北两方得失相当，所 以虽有四人参加，只能算有两个局中人。 一个对策中一般要求至少有两个局中人。每个局中人用i表示，局中人的集合用 字母I表示，则I＝｛1，2，…，n｝。我们称只有两个局中人的对策现象为“两人对 策”，如象棋、桥牌等，显然上述齐王赛马中局中人也是两人，即I＝｛1，2｝。而 多于两个局中人的对策称为“多人对策”。另外根据局中人之间是否允许进行合作， 还可有“结盟对策”和“不结盟对策”，或称为“合作博弈”和“非合作博弈”。
（2）物流仓储优化策略 【例8.2】一仓储供应中心为其下游的一家生产企业供应某种原料。生产企业根 据产品订单情况对原料的需求进行分析，分别有淡季、旺季和正常三种情况，在正 常情况下需要原料15吨，在淡季和旺季情况下分别需要原料10吨和20吨；而原料的 价格与原料市场的需求有关，在淡季、正常、旺季三种情况下，每吨原料的价格分 别为100元、150元和200元，已知此时每吨原料的价格为100元。问在生产企业对原 料的需求没有确定预知的条件下，此时应采购多少吨原料才能使仓储供应中心的总 成本最少（不计存储费用）？ 这个问题可看成一个博弈问题。即仓储供应中心针对可能出现的三种不同的原
8.1.2 对策论在现代物流管理中的运用
在现代物流管理实践中，决策者们为了谋求自身的不断发展，保持自身的竞争 优势，必须不断地审时度势、不停地进行选择和作出决定，以保证最大限度地降低 物流成本、提高物流效率及服务水平。他们的选择和决定会影响到竞争对手的决策 结果，同样竞争对手的选择和决定也直接影响着他们的决策结果。也就是说，决策 者在决策时必须要考虑到对手的策略，因此，博弈论的思想已完全融入到现代物流 管理的每一个环节中。博弈论在现代物流管理中的运用主要有物流项目投资、物流 市场竞争对策、物流服务价格策略、物流中心选址、物流运输规划、物流仓储优化 等内容。以下仅就本书涉及到的有关博弈论中矩阵对策的例子作简要介绍。
矩阵对策问题及其解法
矩阵对策问题及其解法背景对策论研究具有竞争性质的现象。
有权决定⾃⾝⾏为的对策参加者称为局中⼈，所有局中⼈构成集合I，在⼀局对策中可供剧中⼈选择的⼀个实际可⾏的完整的⾏动⽅案成为策略，对于任意剧中⼈i∈I，都有⾃⼰的策略集S i。
⼀局对策中由各剧中⼈选定的策略构成的策略组称为局势s=(s1,...,s n)，⽽全体局势集合S=S1×...×S n。
局势决定了对策的结果，对局势s∈S，局中⼈i可以得到收益H i(s)，也称为局中⼈i的赢得函数。
矩阵对策即⼆⼈有限零和对策，是⼀类较为简单的对策模型。
矩阵对策基础我们假设，局中⼈ I 有纯策略α1,...,αm，局中⼈ II 有纯策略β1,...,βn，⼆者各选择⼀个纯策略则构成m×n个纯局势 (αi,βj)，将 (αi,βj)下 I 的赢得值记为a i,j，设矩阵A=[a i,j]，称为 I 的赢得矩阵或 II 的⽀付矩阵。
局中⼈ II 的赢得矩阵就是 −A T。
最优纯策略若纯局势 (a i∗,b j∗) 满⾜max i minj a i,j=minjmaxi a i,j=a i∗,j∗则称为矩阵对策 {S1,S2;A} 的最优纯策略。
显然，最有纯策略在赢得矩阵中对应的元素⼀定满⾜，其是所在⾏的最⼩元素，也是所在列的最⼤元素，即矩阵的鞍点。
混合策略当纯策略不存在时，我们希望给出⼀个选取不同策略的概率分布。
我们记 I,II 的概率分布向量分别为x,y，所有概率分布向量构成的集合为S1,S2，则局中⼈ I 的赢得函数为E(x,y)=x T Ay。
纯策略是混合策略的特例。
若混合局势 (x∗,y∗) 满⾜max x miny E(x,y)=minymaxx E(x,y)=E(x∗,y∗)则称为矩阵对策 {S1,S2;A} 的最优混合策略。
同样，混合策略 (x∗,y∗) 是最有混合策略的充要条件也是 (x∗,y∗) 是函数E(x,y) 的鞍点。
矩阵对策定理
a
j
ij
y j * v*
a
i
ij i
x *
(4)
或 E(i,y*) v* E ( x*, j ) 又由 E ( x*, y*) E (i, y*)xi * v * xi * v * E ( x*, y*) E ( x*, j ) y j * v * y j * v *
E (i, y*) E ( x*, y*) E ( x*, j ) 其中，E (i, y) a y E( x, j ) aij xi ij j
j i
Hale Waihona Puke (3)证明：设(x*,y*)是G的解，则由引理2可知
E ( x, y*) E ( x*, y*) E ( x*, y)
E ( x, y*) E (i, y*)xi E ( x*, y*) xi E ( x*, y*)
定理2 对任一矩阵对策G={S1,S2; A}，一定存在混合策略意义下的解。 证明：由引理3，只要证明存在x*S1*，y*S2*，使得（3）式成立。为此， 考虑如下线性规划问题：
min v max w aij y j v i 1,2,...,m aij xi w j 1,2,...,n i j ( P) 和( D ) xi 1 y j 1 i j xi 0, i 1,2,...,m y j 0, j 1,2,...,n
j i j
ai* j* m ax aij* m in m ax aij
i j i
则由
i
m ax m in aij m in m ax aij ai* j*
i j j i j
矩阵对策
2 3 1 1 2 3 3 1 2
第三部分
二人有限非零和对策
一、非零和对策的一般表达 1、局中人集合：i = 1, 2 ,…，n 2、每个局中人的策略集：Si (i = 1,…,n) 3、每个局中人的赢得函数：ui (s1, …, s i , … sn)
对策的一般表达：G={S1, … Sn ; u1, … un }
1
1 3 1
1
1 1 3
4、优超原理
定义： 若A中第i, k 行有aij akj , j 1 n 称 i 优超于 k 。 记 i k 若A中第j, l列有aij ail , i 1 m 称 j 优超于l 记 j l 。
例： A
1 0 2 2 3 1
称为i的劣策略(Dominated strategy)。
' i
'' i
例： B1 Ⅰ A1 A2 1， 0 0， 3
Ⅱ
B2 1， 2 0， 1 B3 0， 1 2， 0
劣策略
可按如下思路寻找均衡解： 首先找出某个局中人的劣策略（如果存在），剔除该劣 策略，得到新的博弈；再剔除该新博弈中的某个中人的 劣策略。重复进行，直至只剩下唯一的策略组合为止， 这个剩下的策略称为重复剔除的占优均衡（Iterated dominance equilibrium）。
对策值V=1
(2) 多鞍点与无鞍点对策
例 设有一矩阵对策如下，求它的解。
6 1 A 8 0 5 4 5 2 6 2 7 6 5 - 1 5 2
局势 ( s1 , d 2 ) ( s1 , d 4 ) ( s3 , d 2 ) ( s3 , d 4 ) 均构成鞍点， 此对策有多个解。
10矩阵对策
max V 7 x1 + 3 x 2 ≥ V 4 x1 + 6 x 2 ≥ V x1 + x 2 = 1 x i ≥ 0, i = 1,2
其意义是： 其意义是 ： 甲在每个乙的策略下的期望赢得 都不少于V 都不少于V
17
1.基本概念 1.基本概念
同样， 为乙的最优损失， 为用策略i 同样 ， 设 U 为乙的最优损失 ， yi 为用策略 i 的概 则有： 率，则有：
3. 混合策略 b1 b2 例4 a1 7 4 A= a2 3 6
max 7 6 min min 4 3 找不到鞍点， 找不到鞍点， 因此在纯策略 意义下无解 max
解决办法： 解决办法：双方只能以某一 概率选取自己的策略， 概率选取自己的策略，所以 叫混合策略
13
1.基本概念 1.基本概念
12
− 1 − 1 − 1 1 − 1
1
−1 −3 −1 −1 −1 1
1
1 −1 −3 −1 −1 −1
1
−1 1 −1 −3 −1 −1
1
−1 −1 1 −1 −3 −1
1
− 1 − 1 − 1 1 − 1 − 3
1 无纯策略
1.基本概念 1.基本概念
max V
s.t.
∑a
i =1 m
i =1
m
ij
x i ≥ V , j = 1,2,..., n
=1
16
∑x
i
xi ≥ 0, i = 1,2,..., m
1.基本概念 1.基本概念
例如，上例中， 为甲的最优赢得， 例如，上例中，设V为甲的最优赢得，xi为用策 的概率，则有： 略i的概率，则有：
其意义是： 其意义是 ： 甲在每个乙的策略下的期望赢得 都不少于V 都不少于V
17
1.基本概念 1.基本概念
同样， 为乙的最优损失， 为用策略i 同样 ， 设 U 为乙的最优损失 ， yi 为用策略 i 的概 则有： 率，则有：
3. 混合策略 b1 b2 例4 a1 7 4 A= a2 3 6
max 7 6 min min 4 3 找不到鞍点， 找不到鞍点， 因此在纯策略 意义下无解 max
解决办法： 解决办法：双方只能以某一 概率选取自己的策略， 概率选取自己的策略，所以 叫混合策略
13
1.基本概念 1.基本概念
12
− 1 − 1 − 1 1 − 1
1
−1 −3 −1 −1 −1 1
1
1 −1 −3 −1 −1 −1
1
−1 1 −1 −3 −1 −1
1
−1 −1 1 −1 −3 −1
1
− 1 − 1 − 1 1 − 1 − 3
1 无纯策略
1.基本概念 1.基本概念
max V
s.t.
∑a
i =1 m
i =1
m
ij
x i ≥ V , j = 1,2,..., n
=1
16
∑x
i
xi ≥ 0, i = 1,2,..., m
1.基本概念 1.基本概念
例如，上例中， 为甲的最优赢得， 例如，上例中，设V为甲的最优赢得，xi为用策 的概率，则有： 略i的概率，则有：
(优选)矩阵对策的解法详解.
矩阵对策的解法
3.1 公式法、图解法和方程组法
1. 2×2 对策的公式法
2×2 对策是指局中人Ⅰ的赢得矩阵为2×2 阶的, 即
A
a11 a21
a12
a22
如果 A 有鞍点, 则很快可求出各局中人的最优纯策略; 如果
A 没有鞍点,则可证明各局中人最优混合策略中的 xi* , yj* 均 大于零。于是, 由定理 6 可知, 为求最优混合策略可求下列
（5）确定经过点 P 的两相交直线，根据两相交直线列出对应方程 组，求出 y*.
（6）根据定理6的结论计算 x* 的值。
2020/7/19
10
例14
用图解法求解矩阵对策 G = { S1 , S2 ; A} , 其中
2 7
A
6
6
11 2
2020/7/19
11
2020/7/19
12
例 15
求解赢得矩阵A 的矩阵对策
A 4 1
8
3 5
4 5
2 7
2020/7/19
13
2020/7/19
14
3. 线性方程组方法
根据定理4 , 求解矩阵对策解( x*, y* ) 的问题等价于求解不 等式组，又根据定理5 和定理6 , 如果假设最优策略中的 xi* 和 yj* 均不为零, 即可将上述两个不等式组的求解问题转化 成求解下面两个方程组的问题:
(1) i
i
aij xi v, j 1,2,...,n
xi 1
(2)
j j
aij y j v,i 1,2,...,m yj 1
2020/7/19
15
3. 线性方程组方法
例16
求解矩阵对策——“齐王赛马”
3.1 公式法、图解法和方程组法
1. 2×2 对策的公式法
2×2 对策是指局中人Ⅰ的赢得矩阵为2×2 阶的, 即
A
a11 a21
a12
a22
如果 A 有鞍点, 则很快可求出各局中人的最优纯策略; 如果
A 没有鞍点,则可证明各局中人最优混合策略中的 xi* , yj* 均 大于零。于是, 由定理 6 可知, 为求最优混合策略可求下列
（5）确定经过点 P 的两相交直线，根据两相交直线列出对应方程 组，求出 y*.
（6）根据定理6的结论计算 x* 的值。
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10
例14
用图解法求解矩阵对策 G = { S1 , S2 ; A} , 其中
2 7
A
6
6
11 2
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11
2020/7/19
12
例 15
求解赢得矩阵A 的矩阵对策
A 4 1
8
3 5
4 5
2 7
2020/7/19
13
2020/7/19
14
3. 线性方程组方法
根据定理4 , 求解矩阵对策解( x*, y* ) 的问题等价于求解不 等式组，又根据定理5 和定理6 , 如果假设最优策略中的 xi* 和 yj* 均不为零, 即可将上述两个不等式组的求解问题转化 成求解下面两个方程组的问题:
(1) i
i
aij xi v, j 1,2,...,n
xi 1
(2)
j j
aij y j v,i 1,2,...,m yj 1
2020/7/19
15
3. 线性方程组方法
例16
求解矩阵对策——“齐王赛马”
矩阵对策的基本原理
对y为一个混合局势或局势局中人i的赢得函数记成这样得到的一个新的对策记成gs20局中人i可保证自己的赢得期望值不少于局中人ii可保证自己的所失期望值至多是minmaxmaxminmaxminminmax22定义4109式成立的混合局势xy为g在混合策略意义下的解或简称解x和y分别称为局中人i和ii的最优混合策略或简称最优策maxminminmax23定理2矩阵对策gs在混合策略意义下有解的充要条件是
xS1 yS2 yS2 xS1
(10 9)
记其值为VG。则称VG 为对策G*的值，称使 (10-9)式成立的混合局势(x*，y*)为G在混合 策略意义下的解(或简称解)，x*和y*分别称 为局中人I和II的最优混合策略(或简称最优策 略)。
21
定理 2 矩阵对策G={S1，S2；A} 在混合策 * x S 略意义下有解的充要条件是：存在 1， y S* 2 ，使(x*，y*)为函数E(x,y)的一个鞍 * 点，即对 x S1 ， ，有 y S* 2
6 1 A 8 0
5 4 5 2
6 2 7 6
5 - 1 5 2
11
性质 1 无差别性。即若( i1 , j1 ) 和 ( i , j ) 是对策G的两个解，则 ai1 j1 ai 2 j2 。
2 2
性质 2 可交换性。即若 ( i , j ) 和 ( i , j ) 是对策G的两个解，则 ( i , j ) 和 ( i , j ) 也是解。
0
0
31
n
x i 1 i 1
m
y j 1 j1
17
则S1*，S2*分别称为局中人I和II的混合策 * 略集(或策略集)； x S1 和 y S* 2 分别称为 * x S 局中人I和II的混合策略(或策略)；对 1 * y S2，称(x, y)为一个混合局势(或局势) ， ，局中人I的赢得函数记成
xS1 yS2 yS2 xS1
(10 9)
记其值为VG。则称VG 为对策G*的值，称使 (10-9)式成立的混合局势(x*，y*)为G在混合 策略意义下的解(或简称解)，x*和y*分别称 为局中人I和II的最优混合策略(或简称最优策 略)。
21
定理 2 矩阵对策G={S1，S2；A} 在混合策 * x S 略意义下有解的充要条件是：存在 1， y S* 2 ，使(x*，y*)为函数E(x,y)的一个鞍 * 点，即对 x S1 ， ，有 y S* 2
6 1 A 8 0
5 4 5 2
6 2 7 6
5 - 1 5 2
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性质 1 无差别性。即若( i1 , j1 ) 和 ( i , j ) 是对策G的两个解，则 ai1 j1 ai 2 j2 。
2 2
性质 2 可交换性。即若 ( i , j ) 和 ( i , j ) 是对策G的两个解，则 ( i , j ) 和 ( i , j ) 也是解。
0
0
31
n
x i 1 i 1
m
y j 1 j1
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则S1*，S2*分别称为局中人I和II的混合策 * 略集(或策略集)； x S1 和 y S* 2 分别称为 * x S 局中人I和II的混合策略(或策略)；对 1 * y S2，称(x, y)为一个混合局势(或局势) ， ，局中人I的赢得函数记成