北师大版八年级数学下册教学课件5.3.3分式的混合运算
a
1
b
a
1
b
a
1
b
a
1
b
a
1
b
a
1
b
a
1
b
a
1
b
2a a2 b2
巧用公式
新知探究
1 1
例7.
繁分式的化简：
1
1
1
a
a 1
解法1:原式
1
1
1
a
1
a
1 1
a a 1 a a 1
a 1 a 1
把繁分式写成分子 除以分母的形式， 利用除法法则化简
新知探究
x(x 2)2
x4
x2 4 x2 x (x 2)2 (x 4) 注意：分子或分母是多项
(x
1 2)2
.
式的先因式分解，不能分 解的要视为整体.
新知探究
计算：m2
m2 2m
1
(1
1) m 1
解：原式
m2
m 12
m 1 m 1
1 m 1
m2
m 12
m 11 m 1
m2
m 12
•
新知探究
阅读下面题目的计算过程.
x3 x2 1
2 1
x
x
x3
1 x
1
2 x 1 x 1 x 1
①
= x 32x 1
②
= x32x2
③
= x 1
④
（1）上述计算过程，从哪一步开始错误，请写出该步的 代号___②____； （2）错误原因_漏__掉__了__分__母__；
（3）本题的正确结果为：
.
新知探究
减.
4
4p p2 9q
2
；
新知探究
（3） x x2
2 2x
x2
x 1 4x
； 4
解：原式=
x 2 x 1 x(x 2) (x 2)2
注意：分母是多项式先 分解因式
= (x 2)(x 2) x(x 1) x(x 2)2 x(x 2)2
= x2 4 x2 x x(x 2)2
新知探究
解：
2a b
2
•
a
1
b
a b
b 4
4a2 • 1 a 4 b2 a b b b
先乘方，再乘 除，最后加减
4a2
4a
4a2
4a(a b)
b2 (a b) b2 b2 (a b) b2 (a b)
4a2 4a2 4ab 4ab
4a
b2 (a b) b2 (a b) ab b2 .
1 2 a 1 a2 1
1 a 1
a
2
1a
1
a
a 1
1a
1
a
2
1a
1
a
a
1
3 a
1
a3 a2 1
.
课堂小测 （3）x 1 1 . 1 x
课堂小测
4.先化简，再求值：：
，其中x＝2016.
本课结束
•
2m
3m
2m 3 2m 6;
或
先算括号里的 加法，再算括
号外的乘法
注：当式子中出现整式时，把整式看成整体，并把分母看做“1”
新知探究
（2）
x x2
2 2x
x2
x 1 4x
4
x
x
4
.
解：原式
Байду номын сангаас
x2 x(x 2)
x 1 (x 2)2
•
x
x
4
(x 2)(x 2) x(x 1) • x
a2 a(a 1) (a 1) a 1
a2 (a2 a) (a 1) a 1
a2 a2 a a 1 a 1
1 a 1
把整式看成分母 为“1”的分式
法二： a2 原式= a
1
(a
1)
a2 (a 1)(a 1) a1 a1
a2 (a2 1) a 1
a2 a2 1 a 1
1 a 1
混合运算的特点：是整式运算、因式分解、分式运 算的综合运用，综合性强.
课堂小结
1.分式加减运算的方法思路：
异分母 相加减
通分 转化为
同分母 相加减
分母不变 转化为
分子（整式） 相加减
2.分式的混合运算法则 先算乘除，再算加减；如果有括号先算括号内的.
课堂小测
1. 计算 1 a 的结果为（ C)
= x4 x(x 2)2 .
先找出最简公分母， 再正确通分，转化为 同分母的分式相加减.
新知探究
知识要点
分式的加减法的思路
异分母 通分 相加减 转化为
同分母 分母不变 分子（整式） 相加减 转化为 相加减
新知探究
a2
例2.计算： a
1
a
1
法一： a2 a(a 1) a 1
原式=
a1 a1 a1
m 1 m
m m1
新知探究
例5
计算：
x2
x2 4x
4
x2
x 2x
•
x
4 x
解：原式
x
1
2
x
1
2
•
x
2
x
x
2
1
x 2x 2
•
1
x 2x 2
•
x2
x
x2
x
x2 x2 4 x xx
利用乘法分配 率简化运算
方法总结：观察题目的结构特点，灵活运用运算 律，适当运用计算技巧，可简化运算，提高速度.
1
2
x 1 (x 1)(x1)
(x 1) 2 (x 1)(x 1) (x 1)(x 1)
x 12 x1 1 (x 1)(x 1) (x 1)(x 1) x 1 当x 2时，原式= 1 1 2 1
新知探究
二 分式的混合运算
问题：如何计算
2a 2
b
1 a-b
-
a b
b？ 4
请先思考这道题包含的运算，确定运算顺序， 再独立完成.
(x 2)x
(x 2)x
3(x 2) (x 2)
2x 8.
新知探究
例6：计算
(a
1 b)2
(a
1 b)2
a
1
b
a
1
b
分析：把
a
1
b
和
a
1 b
看成整体，题目的实
质是平方差公式的应用.
新知探究
(a
1 b)2
(a
1 b)2
a
1
b
a
1
b
解：原式
新知探究
要点归纳
分式的混合运算顺序
先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号 的先算括号里面的.
计算结果要化为最简分式或整式．
新知探究
例4 计算：（1）（m 2 5 ) • 2m 4 ; 2m 3m
解：原式 m 22 m 5 • 2m 4
2m
3m
9-m2 2 m 2
•
2m 3m
3 m3 m 22 m
1- 1
解法2：
1
1
a 1
a 1
1-
1
1
a
a
1
a
1
1
a
1
1
a
1
a
1
a a 1a 1
1
a
a
a
1
a
1
a 1
利用分式的基 本性质化简
a a
a a
1 1
a 1 a 1
新知探究
例8.若
2 x2 1
A x 1
B ，求A、B的值. x 1
解析：先将等式两边化成同分母分式，然后 对照两边的分子，可得到关于A、B的方程组.
新知探究
（2） 1 1 ； 2 p 3q 2 p 3q
解：原式=
(2
p
2 p 3q 3q)(2 p
3q)
(2
p
2 p 3q 3q)(2 p
3q)
(2 p 3q) (2 p 3q) (2 p 3q)(2 p 3q)
4p
(2 p 3q)(2 p 3q)
先找出最简公分母，再正确通 分，转化为同分母的分式相加
a 1 a 1
A. 1 a a 1
B． a
a 1
C．－1
D．2
2.填空：
(1) 3 5 xy xy
8 xy
;
(2) 4x 4 y xy yx
4
;
课堂小测
3.计算:
1
b 3a
a 2b
;
2
a
1 1
1
2 a
2
.
解：(1)原式= 2b2 3a2 2b2 3a2 ;
6ab 6ab 6ab
(2)原式=
解： A B
x 1 x 1
A x 1 B x 1
x2 1
x2 1
A Bx A B
x2 1
∴
AB 0 A B 2
解得
A1 B 1
新知探究
分式的混合运算 （1）进行混合运算时，要注意运算顺序，在没有括 号的情况下，按从左往右的方向，先算乘方，再算 乘除，后算加减； （2）分式的混合运算，一般按常规运算顺序，但有 时应先根据题目的特点，运用乘法的运算律进行灵 活运算.
2m 1 例3 计算：m2 9 m 3
从1、-3、3中任选一 个你喜欢的m值代入 求值
解：原式
m
【北师大版】初二八年级数学下册《5.3.4 分式的混合运算》课件PPT
（来自《教材》）
知2－讲
例4 甲、乙两位采购员同去一家饲料公司购买两次饲料． 两次饲料的价格有变化，两位采购员的购货方式也 不同，其中，甲每次购买1 000 kg，乙每次用去800 元． (1)甲、乙两次所购饲料的平均价格各是多少？ (2)谁的购货方式更合算？
＝ (m2－1)( x＋60－x) x( x＋60)
知2－练
＝
60( m 2－1) x( x＋60)
(元
)．
∴每支铅笔的零售价比批发价贵 60(m2－1) 元． x( x＋60)
（来自《教材》）
1 知识小结
1.分式混合运算的步骤： 先乘方，再乘除，最后加减，有括号先算括号里面的．
2.分式混合运算常出现的错误： (1)运算顺序易错；(2)符号变换易错；(3)错用分配律， 只有乘法才有分配律；(4)忽视分数线的括号作用； (5)运算的结果不是最简分式或整式．
（来自《点拨》）
知2－讲
解：(1)设两次购买的饲料价格分别为m元/kg和n元/kg
(m，n是正数，且m≠n)．
甲两次所购饲料的平均价格为
1 000m + 1 000n = m + n (元 / kg)；
1 000´ 2
2
乙两次所购饲料的平均价格为
800´ 2 800 + 800
=
2mn (元 / kg)． m+ n
x
x 2＋2
x＋1
¸
骣 ççç桫1－ x＋1 1÷÷÷
的结果是( A )
A. 1 x＋1
C．x＋1
B. x＋1 x
D．x－1
知1－练
6
北师大版八年级数学5.3分式的加减(2)
课时课题：第五章 第3节 分式的加减 第2课时 课型：新授课 教学目标：1.理解并掌握异分母分式加减法的法则.2.经历异分母分式的加减运算和通分的过程，训练学生的分式运算能力.3.能解决一些简单的实际问题，进一步体会分式模型的作用.教学重点与难点：重点：异分母分式的加减法运算.难点：异分母分式的通分和分式的混合运算.教法及学法指导：教法：通过师生共同研究探讨，体现以教为主导、学为主体、练为主线的教学过程，在自主探究与合作交流的过程中真正有效的理解和掌握知识.学法：由于异分母分式的加减与异分母分数的加减类似，因此学生学会运用比较、类比的学习方法记忆、理解知识,然后采用练习法以达到巩固、熟练知识的目的.课前准备：多媒体课件. 教学过程：一、交流回顾，铺平道路1、复习同分母分式相加减师:同学们，同分母分式加减法的法则是什么？ 生:(齐答)分母不变，把分子相加减.师:法则都记住了，不知运用如何，现在我们就来比比看！（投影出示）计算:（1）3125a a a +-；（2)x y x y x y +++；3）a b a b b a+-－. （三位学生黑板演算，其他学生在练习本上独立完成，学生完成后利用课件展示完整的解题结果．）【答案：(1)3125312510=a a a a a +-+-=；(2)1y x y x x y x y x y ++==+++；(3)=a b a b b a+-－ 1a b a ba b a b a b--==---.】 设计意图：学生对同分母分式加减运算掌握较好，加之三个题目较简单，学生们都能正确、迅速完成.通过本环节，即复习回顾了上节课所学的知识，同时又为本节内容作铺垫.2、复习通分的有关知识 师：都做对了，看样同分母分式相加减同学们掌握的很好，那么异分母分式如何加减呢？ 生：（脱口而出）先化成同分母的.师:对，异分母的分式可以化成同分母的分式，这一过程称为什么？ 生：（齐答）分式的通分.师：那么分式如何通分？通分时需要注意什么？（教室安静下来，学生思考.）生1：先确定最简公分母，然后分子、分母都乘以一个适当的整式. 生2：分式通分不能改变分式本身的大小.生3：分式分母是多项式时，如果能分解因式的一定要先分解因式.生4：确定最简公分母时，先取各个分母系数的最小公倍数，再取各分母所有字母因式的最高次幂的积.师：同学们说的很好，现在就把下面的分式通分.（投影出示）（1）21,,243y x x xyy ；（2）11,33x x +-；（3）211,42a a --. （学生独立完成，完成后出示解题结果，教师重点对后两题进行点评.）【答案：(1)23226622612y y y y x x y xy ⋅==⋅；22224433412x x x x y y x xy ⋅==⋅；21133==44312y y xy xy y xy ⋅⋅. (2)1+3x =()()3+33x x x --=239x x --；()()13=333x x x x +--+=2+39x x -.(3) 2211=44a a --；12a =-()()222a a a +-+22=4a a +-.】 设计意图：很多同学对最简公分母还不是很熟悉，或者用起来还没到得心应手的地步，在做练习之前，由同学们合作交流，总结一下如何通分，在此指导下，大多数学生达到了复习分式通分的目的．也为后面进行复杂的异分母加减的学习打下扎实的基础．二、巧设情景，引入课题（投影出示）盲道是盲人朋友的生命线，根据规划设计，我市准备修建一条长1120米的盲道. 由于采用新的施工方式，实际每天修建盲道的长度比原计划增加10米，从而缩短了工期.假设原计划每天修建盲道x 米，那么实际修建这条盲道的工期比原计划缩短了多少天？（学生思考）师：先来回答老师的几个问题，原计划修建这条盲道需要多少天？生1：（轻松）1120x天． 师：实际每天修建盲道多少米？ 生：（齐答）()10x +米．师：实际每天修盲道()10x +米，那么实际修建这条盲道用了多少天？生2: （思考片刻）实际修建这条盲道用了112010x +天. 师：实际修建这条盲道的工期比原计划缩短了多少天，就是指原计划修建这条盲道用的天数比实际修建这条盲道用的天数多多少天，那么如何列算式？生3：（很快）用原计划的天数减去实际的天数.生4：（紧接着说）11201120+10x x -．师：对，那我们如何计算11201120+10x x -呢？今天我们就来学习异分母分式的加减法. 【板书课题：3.3 分式的加减（2）】设计意图：通过实例，提高学生的数学阅读能力,运用分式的加减运算解决实际问题的能力.同时这个题目和学生一起进行充分的讨论，交流，真正找到问题的“症结”所在，从而引出本节课所学内容．三、合作探究，形成能力探究1：类比、归纳异分母分式加减法法则师：11+23等于多少？生：（齐答）56． 师：大家都会计算，我还是想问问11+23是如何计算的？生1：简单，先通分化成32+66，然后分母不变，分子相加.师:那位同学能说一说异分母分数加减法法则？生2：老师、老师，我说.异分母分数相加减，先通分，化为同分母分数，然后再按同分母分数加减法法则进行计算.师：（微笑）说的很好，大家类比异分母分数加减，尝试计算：241a a-. （学生快速完成）生3：（兴高采烈）我做出来了，结果是241a -. 师：就请你和大家分享一下你的做法吧.生3：同异分母分数加减法一样，先通分化成同分母分式，然后再按同分母分式加减法进行计算.师：那位同学能总结出异分母分式加减法法则？生4：异分母分式相加减，先通分，化为同分母分式，然后再按同分母分式的加减法法则进行计算.【板书：异分母分式相加减，先通分，化为同分母分式，然后再按同分母分式的加减法法则进行计算．】师：异分母分式相加减的关键是什么？ 生：（齐答）通分．师：好，大家来计算11a b+，在来体会一下异分母分式相加减的方法. 生5：（独立完成后）等于a bab+． 设计意图：学生通过回忆异分母分式加减法法则，类比尝试计算一组简单的异分母分式加减，归纳出异分母分式加减法法则，并强调进行异分母相加减的关键是先通分.探究2：例题讲解师：简单的异分母分式相加减，同学们基本上不会出现错误，那么复杂的呢？现在试着完成下面两道题目.（投影出示）（1）1133x x --+；（2）22142a a a ---. （学生自主尝试完成，小组内交流成果，小组组长负责搜集本组组员出现错误情况,利用实物投影展示并及时纠正.最后教师利用课件出示正确解题过程，规范学生解题过程.）【答案：（1）13x -－13x +=3(3)(3)x x x +-+－3(3)(3)x x x --+=(3)(3)(3)(3)x x x x +---+=269x -；（2）21142a a ---=12(2)(2)(2)(2)a a a a a +--+-+=1(2)(2)(2)a a a -+-+=1(2)(2)a a a ---+=－214a a +-.】 师：现在我们在来计算11201120+10x x -是不是就简单多了. 生：（板演）()1120112011200+1010x x x x -=+． 设计意图：学生积极参与小组交流活动，通过兵教兵的方式解决疑难问题，使学生真正掌握异分母分式相加减，培养了学生主动参与意识.数学来源于生活，又服务于生活，用学到的知识解决开始时提出的问题，首尾呼应,并检查学生对异分母分式加减的掌握情况,做到学以致用．探究3：分式混合运算（投影出示）用两种方法计算：234()22x x x x x x--⋅-+. （小组合作完成，部分同学仅能用一种方法完成，教师利用课件出示两种解题过程，帮助学生分析.）解法一： 解法二：234()22x x x x x x --⋅-+ 234()22x x x x x x---+ =（3(2)(2)(2)x x x x ++-－(2)(2)(2)x x x x -+-）·24x x-(2)x x -⋅－(2)(2)(2)x x x x x ⋅+-+⋅22(36)(2)x x x x +--·(2)(2)x x +- =()()322x x +--=362x x +-+=28x +．生: （齐答）第二种.师：对，分式进行混合运算时，利用运算律可以使运算简单，如果不能利用运算律时，我们如何计算呢？生1：先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号的先算括号里的.师：比比，谁算的又快、又对.（投影出示）21111x x x ⎛⎫-÷ ⎪+-⎝⎭． （大部分学生都能快速、准确完成．）师：选一个你喜欢的数代替x 计算出21111x x x ⎛⎫-÷ ⎪+-⎝⎭的值，你选什么数？值是多少? 生2：我选的数是2，结果是1. 师：有没有选的数是1的.生3：老师，我选的是1，结果是0. 生4：（笑笑）不能选1，1x =分式无意义.师：这位同学考虑问题很细致，不能选1，除了1，还有那些数也不能选？ 生：（你一句，我一句）-1，还有0. 师：（总结）分式化简求值时：要先把原式化为最简，再代入求值；字母的值一定要使分式有意义.设计意图:通过一题两解的探讨，帮助学生归纳分式混合运算的方法，让学生体会利用运算律进行分式混合运算的简便性,最后设计巩固训练了分式混合运算和分式的化简求值，通过字母取值的讨论帮助学生进一步理解分式有意义的条件，体现了数学的严谨性．四、随堂练习，学以致用（投影出示）1.下列运算正确的是（ ）A 、1a b a b b a -=-- B 、m n m n a b a b --=- C 、11b b a a a +-= D 、2221a b a b a b a b +-=--- 2．一项工程，甲独做a 小时完成，乙独做b 小时完成，甲乙两人一起完成这项工程需 天完成. 3.计算： (1)32b a a b +； (2)21211a a ---； (3)2221142a a a a a a a -⎛⎫-÷ ⎪+-+⎝⎭； (4)22244(4)2x x x x x +--÷+． 【答案：1.D ；2.ab a b +；3. (1)原式=22236b a ab+；(2)原式=231a a +-；(3)原式=1a a +；(4)原式=2x -.】设计意图：通过随堂练习帮助学生对异分母分式的加减运算和分式的混合运算进一步熟悉和强化，对学生出现的问题及时纠正点评，以达到熟能生巧的地步.五、师生交流，知识升华师：同学们，通过本节课的学习，谈一谈你们有那些收获？生1：我学会了异分母分式的加减运算.生2：异分母分式的加减法和异分母分数的加减法类似，都要先通分，化成同分母的. 生3：分式混合运算的运算顺序和有理数混合运算相同：先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号的先算括号里的.生4：利用运算律可以使分式混合运算简单.生5：除了学习有关数学知识外，我还知道了盲道对盲人的重要性，因此我们要爱护身边的公共设施.……… 设计意图：通过学生交流可以归纳总结出本节课所学到的知识，使学生形成完整的知识网络，培养学生克服困难的自信心、意志力，并获得成功的体验，有助于学生全面认识数学的价值．六、分层挑战，当堂达标A 组：1.（2012•安徽）化简211x xx x+--的结果是（ ） A 、1x + B 、1x - C 、x - D 、x2．已知2x y =，则11y x x y ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值等于 . 3.计算：（2012•湛江）2111xx x ---. B 组：4.（2012•湖南常德）化简：21122111x x x x ⎛⎫⎛⎫+÷+- ⎪ ⎪--+⎝⎭⎝⎭． 5．（2012•六盘水）先化简代数式22321124a a a a -+⎛⎫-÷⎪+-⎝⎭，再从﹣2，2，0三个数中选一个恰当的数作为a 的值代入求值．C 组：6．（2012•广州）已知11a b+a b ≠），求()()a b b a b a a b ---的值．（学生可根据掌握情况选择适合自己的题组独立完成,完成后教师出示答案，同桌互批并及时纠正.）【答案：1.D ；2.12；3.原式=211x -；4.原式=2x ；5.原式=21a a --，当0a =时，原式=2；6.原式】设计意图: 通过学生的反馈测试，能全面了解学生本节课掌握情况，以便能及时地进行查缺补漏,由于学生的学习基础与能力有较大的差异，对不同层次的学生提出不同的要求，可使每个学生都能在原来的基础上获得较大的发展，真正做到面向全体.七、布置作业，课外延伸必做题：课本 第84页 习题3.5 第1题.选做题：（2012•重庆）先化简，再求值：223422112+1x x x x x x ++⎛⎫-÷ ⎪---⎝⎭，其中x 是不等式组40251x x +>⎧⎨+<⎩的整数解．【答案：原式=11x x -+，解不等式组40251x x +>⎧⎨+<⎩的解集为：-4-2x <<，其整数解为﹣3，当x=﹣3时，原式=2.】设计意图：学生可根据自己的学习情况选择适合自己的作业，这样做即减轻了学困生作业的过重负担，增添了他们完成作业的积极性，为他们自主完成作业增加了信心和乐趣；同时也能比较系统地掌握巩固本节课所学习的内容．板书设计：教学反思：这节课是在简单的异分母分式相加减的基础上, 进一步学习了复杂的异分母分式相加减的方法，通过学习学生对分式的加减法有了一个比较清楚地了解，知道了异分母分式相加减的法则,那就是先通分，化为同分母的分式，然后再按同分母分式的加减法法则进行计算，学生对找最简公分母的方法也有了更深入的了解，从而在异分母加减中能够做到得心应手，成功之处体现为以下两个方面：1.相信学生并为学生提供充分展示的机会.本节课通过一连串问题的引导，让学生在自主、合作、探究的基础上完成，从而展示了他们的才华，并且在此过程中培养了学生发现问题、分析问题、解决问题的能力，了解学生思维的误区，以便更好地指导整节课的教学工作.2.重视培养学生良好的学习习惯.异分母的加减法，综合性较强，涉及知识面较广，运算过程中很容易出错，因此在解题时要求书写过程完整、步骤详细，教学时让学生在黑板上板演，及时分析、纠正学生出现的问题；关于分式的混合运算问题，我就通过适当讲解一些常用技巧并搭配习题演练，从而做到夯实基础的目的.再教建议：在小组讨论时，应该留给学生充分的独立思考的时间，不要让一些思维活跃的学生的回答代替了组内其他成员的思考，从而掩盖了其他学生的疑问；在巡视引导时应多注意对困难学生的指导与帮助.。
分式的加减法课件数学北师大版八年级下册
x －y
4 x－y
4
.
x＋y x－y x＋y
a＋2b
b
2a
＋
－
b－a a－b b－a
a＋2b
b
2b
(3)
＋
－
. a＋2b
b
2a
b－a
b－a a－b b－a
－
－
1.
b－a b－a b－a b－a
感悟新知
1-1.计算： (1)
－
－
－
知1－练
；
2－x
x－2
的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母 .
感悟新知
知2－讲
3. 通分的一般步骤
(1)确定最简公分母；
(2)用最简公分母分别除以各分母求商；
(3)用所得的商分别乘各分式的分子、分母得出同分母分式 .
感悟新知
特别解读
约分与通分的联系与区分：
1.约分与通分都是对分式进行恒等变形，即变
形之后每个分式的值都不变 .
解：原式＝
＝－
＝－1；
x－2
x－2
(2)
－ 1；
+
a2－1 （a＋1）（a－1）
原式＝
＝
＝a－1；
a＋1
a＋1
感悟新知
知1－练
(3)
( －)
－
；
(－)
2x－2y
2（x－y）
2
解：原式＝
＝
＝
；
（x－y）2 （x－y）2 x－y
+ － －
(4) + － .
北师版八年级下册数学精品教学课件 第五章 分式与分式方程 第3课时 异分母分式的加减(2)
3
m
m3
3m
3
2m （m 3）
m 3m 3
m
m3
3m
3
从 1，-3，3 中任 选一个你喜欢的 m 值代入求值.
1. m3
当
m
=
1
时，原式
1 1
3
1 2
做一做
先化简，再求值： 1 x 1
x
2 2
，其中 1
x
2.
解：
1 x 1
2 x2 1
1 x 1
2 (x 1)(x 1)
(x 1)
2
(x 1)(x 1) (x 1)(x 1)
计算结果要化为最简分式或整式．
例解4：原计式算： （m1）2m22
2m
5 2m
m
5 ••232m3mm4mm;41
2
(m
或
2)(2 2m
m)
9 m2 • 2m 2
先算括号里的
2m 3m
加法，再算括
3 m3 m 22 m
•
号外的乘法
2m
3m
2m 3 2m 6.
注：当式子中出现整式时，把整式看成整体，并把
第五章 分 式
5.3 分式的加减法
第3课时 异分母分式的加减(2)
复习引入 1. 分式的乘除法则是什么？用字母表示出来：
b d bd a c ac
b d b c bc a c a d ad
2. 分式的加减法则是什么？用字母表示出来：
b d bc ad bc ad a c ac ac ac
异分母 通分 相加减 转化为
同分母 分母不变 相加减 转化为
分子 (整式) 相加减
2. 分式的混合运算法则 先算乘除，再算加减；如果有括号先算括号内的.
分式的混合运算公开课课件
分式混合运算在其他学科中的应用
分式混合运算不仅在数学中有应用，在其他学科中也有广 泛的应用。例如，在化学中，分数的运算被广泛应用于化 学反应的计量和配平；在经济学中，分数的运算被用于计 算各种经济指标和财务比率。
掌握分式混合运算的规则和方法，对于学习其他学科和解 决实际问题具有重要的意义。通过分式混合运算的学习， 学生可以更好地理解和应用其他学科中的知识点，提高综 合应用能力和跨学科应用能力。
加减法运算
加减法运算
在完成乘法和除法运算后，应进行加 减法运算，以得出最终结果。
结果化简
加减法运算后，应对结果进行化简， 确保其准确无误。
03
分式混合运算的实例解析
单一分式的混合运算
总结词
掌握分式的加减乘除运算规则
详细描述
单一分式的混合运算主要涉及分式的加法、减法、乘法和除法。通过实例解析，让学生掌握分式的基本运算法则， 如同底数幂相乘时，指数相加；同底数幂相除时，指数相减等。
THANKS
有理化错误
总结词
有理化错误是指在进行分式混合运算时，没 有正确地将分母有理化，导致计算结果不准 确。
详细描述
在进行分式混合运算时，学生需要将分母有 理化，即将分母化为最简形式。如果学生没 有正确地进行有理化，就会导致计算结果不 准确。为了纠正这一错误，学生需要掌握有 理化的技巧，确保在运算过程中正确地进行 有理化。
乘除法错误
总结词
乘除法错误是指在分式混合运算中，学生没 有正确地执行乘法和除法操作，导致计算结 果不准确。
详细描述
在进行分式混合运算时，学生需要按照运算 顺序进行乘法和除法操作。如果学生没有正 确地执行这些操作，就会导致计算结果不准 确。为了纠正这一错误，学生需要掌握乘法 和除法的运算法则，确保在运算过程中正确
北师大版八年级数学下册第五章 分式与分式方程4 第1课时 分式方程的概念及列分式方程
x x 20
1400 1400 9 1400 2.8 1400
x 2.8x
y
y9
4800 5000 x x 20
思考 由上面的问题，我们得到了三个方程，它们有 什么共同特点？
分母中都含有未知数.
知识要点
分式方程的概念 分母中含有未知数的方程叫做分式方程.
分式方程的特征 （1）是等式； （2）方程中含有分式； （3）分母中含有未知数.
归纳总结
列分式方程的步骤： （1）审清题意，适当设出未知数； （2）根据题意找等量关系，列出分式方程.
概念
分母中含有未知数的方程叫做分式 方程
分式 方程
列方程 步骤
1. 审清题意，适当设出未知数； 2. 根据题意找等量关系，列出分式 方程
1. 下列属于分式方程的是（ A ）
A. 1 3 x2 x
___x ___x__3__.
3. 某市为处理污水，需要铺设一条长为 5000 m 的管 道，为了尽量减少施工对交通所造成的影响，实际
施工时每天比原计划多铺设 20 m，结果提前 15 天 完成任务．设原计划每天铺设管道 x m，则可得方 程 5000 5000 15
____x____x___2_0______.
y9
1400 1400
关系式 高铁列车平均速度 = 2.8×特快列车平均速度
做一做 为了帮助遭受自然灾害的地区重建家园，某校 团总支号召同学们自愿捐款.已知第一次捐款总额为 4800元，第二次捐款总额为 5000 元，第二次捐款人数 比第一次多 20 人，而且两次人均捐款额恰好相等. 如果 设第一次捐款人数为 x 人， 那么 x 应满足怎样的方程？
典例精析
例1 下列式子中，哪些是分式方程？哪些整式方程？
8年级下册数学北师大版第5单元复习课件
约分的基本步骤
(1)若分子﹑分母都是单项式，则约去系数的最大公 约数，并约去相同字母的最低次幂； (2)若分子﹑分母含有多项式，则先将多项式分解因 式，然后约去分子﹑分母所有的公因式．
答：第一次每支铅笔的进价为4元.
考点五 本章数学思想和解题方法
主元法
例7.已知：2a b 3 ，求
a 2b 14
a2 a2
b2 b2
的值.
【解析】由已知可以变形为用b来表示a的形式，可
得 a 4 b ，代入约分即可求值.
5
解：∵
2a b 3 ，
a 2b 14
∴a 4b
5
.
∴
( 4 b)2 5
针对训练
1.若分式 1 无意义，则x 的值 -3 .
x3 2.若分式 a 2 的值为零，则a的值为 2 .
a2
考点二 分式的性质及有关计算
x 例2 若把分式 x y 中的x和y的值都扩大为原来 的3倍，则分式的值（ B ）
A.扩大为原来的3倍
C.缩小为原来的
1 3
B.不变
D.缩小为原来的
1 6
x 1 x
8. 某商店第一次用600元购进2B铅笔若干支，第二次
又用600元购进该款铅笔，但这次每支的进价是第一 次进价的 5 倍，购进数量比第一次少了30支.求第
4
一次每支铅笔的进价是多少元？
解：设第一次每支铅笔进价为x元，根据题意列方程，得
解得 x=4.
600 x
600 5x
30.
4
经检验，x=4是原分式方程的解，且符合题意.
北师大版八年级数学下册第五章 分式与分式方程2 分式的乘除法
b
bn
n个
(a)n a a a a a b bb b bb
a an b bn
n个
n个
这就是说，分式乘方要把分子，分母分别乘方.
做一做 购买西瓜时，人们总是希望西瓜瓤占整个西瓜的比例
越大越好，假如我们把西瓜都看成球形，并且西瓜瓤的
分布是均匀的，西瓜皮的厚度都是 d ，已知球的体积公 式为 V 4 πR3 (其中 R 为球的半径)，那么
a(a 2)· a(a 3) (a 3)2 (a 2)(a 2)
a2 (a 3)(a 2)
方法归纳
1.分式的除法运算可以转化为乘法运算； 2.分子或分母是多项式时，可以把各分式中分子 或分母里的多项式分解因式； 注意：按照法则进行分式乘除运算，结果一定要 化成最简分式.
想一想
a
n
与
an 有什么关系？
解：设花生的总产量是 1，则
1 1 2ab a2 b2 2ab a2 b2 .
3
(1)西瓜瓤与整个西瓜的体积各是多少?
解：(1)西瓜瓤的体积是V1
4 π(R d )3 ，
3
整个西瓜的体积是V 4 πR3 .
3
(2)西瓜瓤与整个西瓜的体积的比是多少?
V1
4 π(R d )3 3
(R d )3
R d3 1 d3
V
4 πR3
R3
R
R
3
(3)你认为买大西瓜合算还是买小西瓜合算?
当 d＝1 cm，R＝10 cm 时，V1 72.9 ；
V
当 d＝1 cm，R＝15 cm 时，V1 81.3 .
V
所以当皮厚度都是 1 cm时，买大西瓜合算(答案不唯一).
分式乘 除运算
最新北师大版八年级数学下册第五章分式与分式方程5.2分式的乘除法PPT课件
(a - 1)(a 2 - 4)
2 2 a 4 a + 4 a ( )( - 1)
(a - 1)(a - 2)(a + 2) = 2 (a - 2) (a - 1)(a + 1)
= a+ 2 . (a - 2)(a + 1)
总
分式除法的一般步骤：
结
(1)如果分式的分子、分母为多项式，先要进行因式
分解； (2)利用除法法则，将除法运算转化为乘法运算； (3)运用分式的乘法法则计算； (4)约分化简，结果必须化为最简分式或整式．
5 9 ? 7 2
5 9 . 7 2
归
纳
两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置
后再与被除式相乘． b d 用式子表达为： ? a c
b c ? a d bc . ad
例2 计算： (1) 3 xy2 ¸
2
6y ; x 2 6 y x 2 解： (1) 3 xy 2 ? 3 xy ? 2 x 6y 3 xy 2 ×x = 6 y2 1 2 = x ; 2
练习 计算:
3ab2 骣 8 xy ÷ 3 x ç · ? ； ÷ (1) 3 ç 2 ÷ 桫 9a b - 4b 2x y ç 3ab2 骣 8 xy ÷ - 4b ç ?ç ? 解： (1)原式＝ 3 2 ÷ ÷ ç 2 x y 桫 9a b 3 x 3ab2 鬃 8 xy 4b = 2 x3 y 鬃 9a 2b 3 x
a- 1 a2 - 1 ¸ 2 . (2) 2 a - 4a + 4 a - 4
a- 1 a2 - 1 (2) 2 ¸ 2 . a - 4a + 4 a - 4 a- 1 a2 - 1 (2) 2 ? 2 a - 4a + 4 a - 4
北师大版八年级数学下册第五章 分式与分式方程1 第1课时 分式的有关概念
解：(1)当 a = 1时，
2a 1 2 1 1
a 1
当 a = 2 时，
2a 1
a 1
当 a = -1 时，
2a 1
2 1
2 2 1
1；
1 1
0；
2 ( 1) 1
（2）当分母的值等于零时，分式没有意义，
除此之外，分式都有意义.
由分母 2a -1 = 0，得 a
所以，当 a
1
.
2
a 1
1
时，分式 2a 1 有意义.
=
造林的面积
2400
实际完成造林任务
=
所需的时间(月)
x 30
1
分式的概念
合作探究
(1) 2010年上海世博会吸引了成千上万的参观者，某一
时段内的统计结果显示，前 a 天日均参观人数 35 万人，
后 b 天日均参观人数 45 万人 . 这 ( a + b ) 天日均参观
人数为多少万人?
35a 45b
新知一览
认识分式
分式的乘除法
分
式
分式的加减法
分式方程
分式的有关概念
分式的基本性质
同分母分式的加减
异分母分式的加减
分式的混合运算
分式方程的概念及列分式方程
分式方程的解法
分式方程的应用
第五章
5.1
分 式
认识分式
第1课时 分式的有关概念
面对日益严重的土地沙化问题，某县决定在一定期
内固沙造林 2400 hm2 ，实际每月固沙造林的面积比原
计划多 30 hm2 ，结果提前完成任务.
如果设原计划每月固沙造林 x hm²，
(1) 那么原计划完成造林任务需要多少