高中数学第二章平面解析几何初步2.2.1直线方程的概念与直线的斜率同步练习含解析
直线方程的概念与直线的斜率
1．经过点P(－2，m)，Q(m,4)的直线的斜率等于1，则m的值为( )．A．1 B．4 C．1或3 D．1或4
2．若A(－2，－3)，B(3，－2)，C(1
2
，m)三点在同一直线上，则m的值为( )．
A．－2 B．2 C．
5
2
- D．
1
2
3．设点P在y轴上，点N是点M关于y轴的对称点，若直线PM的斜率为k(k≠0)，则直线PN 的斜率是( )．
A．k B．－k C．1
k
D．
1
k
-
4．直线l过点A(1,2)，且l不过第四象限，那么l的斜率k的取值范围是( )．
A．[0,2] B．[0,1] C．[0，1
2
] D．[0，
1
2
)
5．三点A(1,0)，B(
4
5
-，
3
5
)，C(－1,0)，若直线AB与直线BC的倾斜角为α，β，则α－β
＝__________.
6．已知点M(5,3)、N(－3,2)，若直线PM和PN的斜率分别为2和
7
4
-，则点P的坐标为
__________．
7．一条光线从点A(－2,3)射入，经x轴上点P反射后，通过点(5,7)，则点P的坐标为________．
8．已知直线l过点A(1,2)和B(a,3)，求直线l的斜率及倾斜角的范围．
9. 已知矩形ABCD中，A(－4,4)，D(5,7)，其对角线的交点E在第一象限内且与y轴的距离为
一个单位，动点P(x，y)沿矩形的一边BC运动，设
y
z
x =.
(1)探讨z的几何意义；
(2)当点P沿边BC运动时，z是否总存在？并求出z的取值范围．
参考答案
1.答案：A
2.答案：C
3.答案：B
4.答案：A
5.答案：90°
6.答案：(1，－5)
解析：设P(x，y)，则
3
2
5
y
x
-
=
-
，
27
(3)4
y
x
-
=-
--
，化简得
27
4713
y x
y x
=-
⎧
⎨
=--
⎩
，
，
解得
1
5
x
y
=
⎧
⎨
=-
⎩
，
，
∴P(1，－5)．
7.答案：(
1
10
，0)
解析：设P(x,0)，如图所示，由光的反射性质知，
k AP＝－k BP，得
1
10
x=
.
8. 解：(1)当a＝1时，直线l与x轴垂直，所以直线l的倾斜角α＝90°，直线l的斜率不存在．
(2)当a≠1时，斜率
321
11 k
a a
-
==
--
，
∴当a＞1时，k＞0，直线倾斜角为锐角，当a＜1时，k＜0，直线倾斜角为钝角．
9. 解：(1)
y
z
x
=的几何意义为原点O与动点P连线的斜率．
(2)当点P在BC与y轴的交点上时OP⊥x轴，
y
z
x
=不存在．除此以外，当点P在BC边上其他
点运动，z存在．由点E在第一象限且到y轴的距离为1，故可设E点的坐标为(1，m)(m＞0)．因为|AE|＝|DE|，
=
所以m ＝4，即点E 坐标为(1,4)． 由中点公式2
2A C E A C
E x x x
y y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，
，
得2246284 4.C E A C E A x x x y y y =-=+=⎧⎨=-=-
=⎩，
所以点C 坐标为(6,4)．
同理可求得点B 坐标为(－3,1)． 因为点P 在边BC 上运动， 所以z ＝y
x ＝k OP .
由题图可知，k OP ≥k OC 或k OP ≤k OB ， 又2
3OC k =，1
3OB k =-， 所以23z ≥或1
3z ≤-.。
高中数学 第二章 平面解析几何初步 2.2.1 直线方程的概念与直线的斜率学案(含解析)新人教B版必修2
2.2.1 直线方程的概念与直线的斜率1.理解直线的倾斜角和斜率的概念.(重点)2.理解直线斜率的几何意义；掌握倾斜角与斜率的对应关系.(重点)3.掌握过两点的直线的斜率公式.(重点)4.直线倾斜角与斜率的对应关系在解题中的应用.(难点)[基础·初探]教材整理1 直线方程的概念 阅读教材P 74内容，完成下列问题.如果以一个方程的解为坐标的点都在某条直线上，且这条直线上点的坐标都是这个方程的解，那么这个方程叫做这条直线的方程，这条直线叫做这个方程的直线.如何判断点P (2,1)是否在直线y ＝x －1上？【解析】 把点的坐标代入方程，若满足方程，点就在直线上，反之，不在直线上. 教材整理2 直线的斜率及斜率公式阅读教材P 75～P 75“倒数第15行”以上内容，完成下列问题. 1.斜率的定义一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率.常用小写字母k 表示，即k ＝tan α.2.斜率公式经过两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)(x 1≠x 2)的直线的斜率公式为k ＝y 2－y 1x 2－x 1.当x 1＝x 2时，直线P 1P 2没有斜率.3.斜率的几何意义用实数反映了平面直角坐标系内的直线相对于x 轴正方向的倾斜程度.判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)倾斜角是描述直线的倾斜程度的唯一方法.( )(2)任何一条直线有且只有一个斜率和它对应.( )(3)一个倾斜角α不能确定一条直线.( )(4)斜率公式与两点的顺序无关.( )【解析】(1)错误.除了倾斜角，还可以用斜率描述直线的倾斜程度.(2)错误.倾斜角不是90°的直线有且只有一个斜率和它对应.(3)正确.确定平面直角坐标系内的一条直线位置的几何要素：一个点P和一个倾斜角α.(4)正确.斜率公式与两点的顺序无关，即两纵坐标和横坐标在公式中的次序可以同时调换.【答案】(1)×(2)×(3)√(4)√教材整理3 直线的倾斜角阅读教材P75“第15行”以下内容，完成下列问题.1.倾斜角的定义(1)当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正方向与直线l向上方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角.(2)当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°.2.倾斜角的范围直线的倾斜角α的取值范围为0°≤α<180°.3.确定平面直角坐标系中一条直线位置的几何要素是：直线上的一个定点及它的倾斜角.如图221所示，直线l的倾斜角为( )图221A.30°B.60°C.120°D.以上都不对【解析】根据倾斜角的定义知，直线l的倾斜角为30°＋90°＝120°.【答案】 C[小组合作型]已知直线α<180°)后，恰好与y 轴重合，求直线l 转动前的倾斜角是多少？【精彩点拨】 画草图―→标记α―→找倾斜角与α的关系―→求倾斜角【自主解答】 由题意画出如下草图由图可知：当α为钝角时，倾斜角为α－90°， 当α为锐角时，倾斜角为α＋90°， 当α为直角时，倾斜角为0°.综上，直线l 转动前的倾斜角为⎩⎪⎨⎪⎧α＋α，α－α1.解答本题要注意根据倾斜角的概念及倾斜角的取值范围解答.2.求直线的倾斜角主要根据定义来求，其关键是根据题意画出图形，找准倾斜角，有时要根据情况分类讨论.[再练一题]1.设直线l 过坐标原点，它的倾斜角为α，如果将l 绕坐标原点按逆时针方向旋转45°，得到直线l 1，那么l 1的倾斜角为( )A.α＋45°B.α－135°C.135°－αD.当0°≤α<135°时，倾斜角为α＋45°；当135°≤α<180°时，倾斜角为α－135° 【解析】 根据题意，画出图形，如图所示：因为0°≤α<180°，显然A ，B ，C 未分类讨论，均不全面， 不合题意.通过画图(如图所示)可知：当0°≤α<135°时，l 1的倾斜角为α＋45°；当135°≤α<180°时，l 1的倾斜角为45°＋α－180°＝α－135°.故选D. 【答案】 D(1)求直线AB 、BC 、AC 的斜率和倾斜角；(2)若D 为△ABC 的边AB 上一动点，求直线CD 斜率k 的变化范围. 【精彩点拨】 (1)利用k ＝y 2－y 1x 2－x 1及k ＝tan α求解； (2)先求出AC 、BC 的斜率，进而求出k 的范围. 【自主解答】 (1)由斜率公式得k AB ＝1－11－－＝0，k BC ＝3＋1－12－1＝ 3.k AC ＝3＋1－12－－＝33.倾斜角的取值范围是0°≤α<180°. 又∵tan 0°＝0， ∴AB 的倾斜角为0°. tan 60°＝3， ∴BC 的倾斜角为60°. tan 30°＝33， ∴AC 的倾斜角为30°.(2)如图，当斜率k 变化时，直线CD 绕C 点旋转，当直线CD 由CA 逆时针方向旋转到CB 时，直线CD 与AB 恒有交点，即D 在线段AB 上，此时k 由k CA 增大到k CB ，所以k 的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤33，3.1.由倾斜角(或范围)求斜率(或范围)利用定义式k ＝tan α(α≠90°)解决.2.由两点坐标求斜率运用两点斜率公式k ＝y 2－y 1x 2－x 1(x 1≠x 2)求解. 3.涉及直线与线段有交点问题常通过数形结合利用斜率公式求解.[再练一题]2.已知两点A (－3,4)，B (3,2)，过点P (1,0)的直线l 与线段AB 有公共点. (1)求直线l 的斜率k 的取值范围； (2)求直线l 的倾斜角α的取值范围.【解】 如图所示，由题意可知k PA ＝4－0－3－1＝－1，k PB ＝2－03－1＝1.(1)要使直线l 与线段AB 有公共点，则直线l 的斜率k 的取值范围是k ≤－1，或k ≥1. (2)由题意可知，直线l 的倾斜角介于直线PB 与PA 的倾斜角之间，又PB 的倾斜角是45°，PA 的倾斜角是135°，所以α的取值范围是45°≤α≤135°.[探究共研型]探究1 斜率公式k ＝21x 2－x 1中，分子与分母的顺序是否可以互换？y 1与y 2，x 1与x 2的顺序呢？【提示】 斜率公式中分子与分母的顺序不可互换，但y 1与y 2和x 1与x 2可以同时互换顺序，即斜率公式也可写为k ＝y 1－y 2x 1－x 2. 探究2 你能证明A (－3，－5)，B (1,3)，C (5,11)三点在同一条直线上吗？ 【提示】 能.因为A (－3，－5)，B (1,3)，C (5,11)，所以k AB ＝3－－1－－＝2，k BC ＝11－35－1＝2，所以k AB ＝k BC ，且直线AB ，BC 有公共点B ， 所以A ，B ，C 这三点在同一条直线上.已知实数x ，y 满足y ＝x 2－2x ＋2(－1≤x ≤1)，试求y ＋3x ＋2的最大值和最小值. 【精彩点拨】y ＋3x ＋2的最大值和最小值可以看做过两点(－2，－3)和(x ，y )的直线的斜率的最大值和最小值.【自主解答】 由y ＋3x ＋2的几何意义可知，它表示经过定点P (－2，－3)与曲线段AB 上任一点(x ，y )的直线的斜率k ，由图可知k PA ≤k ≤k PB ，由已知可得A (1,1)，B (－1,5).则k PA ＝1－－1－－＝43，k PB ＝5－－－1－－＝8.∴43≤k ≤8，∴y ＋3x ＋2的最大值为8，最小值为43.斜率公式的应用1.证明三点共线：只需证此三点中任意两点确定的斜率相等(斜率存在).2.求代数式y －bx －a的最值或范围问题： 由斜率公式k ＝y 2－y 1x 2－x 1的形式，可知y －bx －a的几何意义是过P (x ，y )与P ′(a ，b )两点的直线的斜率，故可以利用数形结合来求解.[再练一题]3.已知实数x ，y 满足y ＝－2x ＋8，且2≤x ≤3，求yx的最大值和最小值.【解】 如图所示，由于点(x ，y )满足关系式2x ＋y ＝8，且2≤x ≤3，可知点P (x ，y )在线段AB 上移动，并且A ，B 两点的坐标可分别求得为(2,4)，(3,2).由于y x 的几何意义是直线OP 的斜率，且k OA ＝2，k OB ＝23，所以可求得y x 的最大值为2，最小值为23.1.斜率不存在的直线一定是( ) A.过原点的直线 B.垂直于x 轴的直线 C.垂直于y 轴的直线 D.垂直于坐标轴的直线【解析】 只有直线垂直于x 轴时，其倾斜角为90°，斜率不存在. 【答案】 B2.若过两点A (4，y )，B (2，－3)的直线的倾斜角为45°，则y 等于( ) A.－32B.32C.－1D.1【解析】 k AB ＝y ＋34－2＝tan 45°＝1，即y ＋32＝1，∴y ＝－1.【答案】 C3.光线从点A (－2，3)射到x 轴上的B 点后，被x 轴反射，这时反射光线恰好过点C (1,23)，则光线BC 所在直线的倾斜角为________.【解析】 A (－2，3)关于x 轴的对称点为A ′(－2，－3)， 由物理知识知k BC ＝k A ′C ＝23－－31－－＝3，所以所求倾斜角为60°. 【答案】 60°4.如图222所示，直线l 1，l 2，l 3的斜率分别为k 1，k 2，k 3，则k 1，k 2，k 3之间的大小关系为________.图222【解析】 设l 1，l 2，l 3的倾斜角分别为α1，α2，α3，则由图可知0<α3<α2<90°<α1<180°，所以tan α2>tan α3>0，tan α1<0，故k 1<k 3<k 2. 【答案】 k 1<k 3<k 25.已知A (1,1)，B (3,5)，C (a,7)，D (－1，b )四点在同一条直线上，求直线的斜率k 及a ，b 的值.【解】 由题意可知k AB ＝5－13－1＝2，k AC ＝7－1a －1＝6a －1，k AD ＝b －1－1－1＝b －1－2，所以k ＝2＝6a －1＝b －1－2，解得a ＝4，b ＝－3， 所以直线的斜率k ＝2，a ＝4，b ＝－3.。
第二章《平面解析几何初步》同步练习二(新人教B版必修2)[1]
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第二章《平面解析几何初步》一、选择题(解析：选D.由3a (a －23)＋(－1)×1＝0，得a ＝－13或a ＝1.2．直线l 1：ax －y ＋b ＝0，l 2：bx －y ＋a ＝0(a ≠0，b ≠0，a ≠b )在同一坐标系中的图形大致是图中的( )解析：选C.直线l 1：ax －y ＋b ＝0，斜率为a ，在y 轴上的截距为b ，设k 1＝a ，m 1＝b .直线l 2：bx －y ＋a ＝0，斜率为b ，在y 轴上的截距为a ， 设k 2＝b ，m 2＝a .由A 知：因为l 1∥l 2，k 1＝k 2>0，m 1>m 2>0，即a ＝b >0，b >a >0，矛盾． 由B 知：k 1<0<k 2，m 1>m 2>0，即a <0<b ，b >a >0，矛盾． 由C 知：k 1>k 2>0，m 2>m 1>0，即a >b >0，可以成立． 由D 知：k 1>k 2>0，m 2>0>m 1，即a >b >0，a >0>b ，矛盾． 3．解析：选 B.点A 关于x 轴对称点A ′(－1，－1)，A ′与圆心(5,7)的距离为5＋12＋7＋12＝10.∴所求最短路程为10－2＝8.4．解析：选D.圆x 2＋y 2＝1的圆心为(0,0)，半径为1，圆x 2＋y 2＝4的圆心为(0,0)，半径为2，则圆心距0<2－1＝1，所以两圆内含．5．解析：选B.圆心(a,2)到直线l ：x －y ＋3＝0的距离d ＝|a －2＋3|2＝|a ＋1|2，依题意⎝ ⎛⎭⎪⎫|a ＋1|22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2322＝4，解得a ＝2－1. 6．解析：选D.∵所求直线平行于直线2x ＋3y －6＝0， ∴设所求直线方程为2x ＋3y ＋c ＝0， 由|2－3＋c |22＋32＝|2－3－6|22＋32，∴c ＝8，或c ＝－6(舍去)，∴所求直线方程为2x ＋3y ＋8＝0. 7．解析：选B.数形结合答案容易错选D ，但要注意直线的表达式是点斜式，说明直线的斜率存在，它与直线过点(1,2)要有所区分．8．解析：选C.直线y ＝ax ＋1过定点(0,1)，而该点一定在圆内部． 9．解析：选B.∵圆C 的圆心为(1,1)，半径为 5. ∴|PC |＝5－12＋4－12＝5，∴|PA |＝|PB |＝52－52＝25，∴S ＝12×25×5×2＝10.10． 解析：选C.圆x 2＋y 2－4x －2y －4＝0可化为(x －2)2＋(y －1)2＝9，直线mx ＋2ny －4＝0始终平分圆周，即直线过圆心(2,1)，所以2m ＋2n －4＝0，即m ＋n ＝2，mn ＝m (2－m )＝－m2＋2m ＝－(m －1)2＋1≤1，当m ＝1时等号成立，此时n ＝1，与“m ≠n ”矛盾，所以mn ＜1.11解析：选C. 曲线y ＝1－x 2表示单位圆的上半部分，画出直线l 与曲线在同一坐标系中的图象，可观察出仅当直线l 在过点(－1,0)与点(0,1)的直线与圆的上切线之间时，直线l 与曲线有两个交点．当直线l 过点(－1,0)时，m ＝1；当直线l 为圆的上切线时，m ＝2(注：m ＝－2，直线l 为下切线)． 12．解析：选A.∵点P 在圆上，∴切线l 的斜率k ＝－1k OP ＝－11－42＋2＝43∴直线l 的方程为y －4＝43(x ＋2)，即4x －3y ＋20＝0. 又直线m 与l 平行，∴直线m 的方程为4x －3y ＝0.故两平行直线的距离为d ＝|0－20|42＋－32＝4.二、填空题13解析：易求得AB 的中点为(0,0)，斜率为－1，从而其垂直平分线为直线y ＝x ，根据圆的几何性质，这条直线应该过圆心，将它与直线x ＋y －2＝0联立得到圆心O (1,1)，半径r ＝|OA |＝2.答案：(x －1)2＋(y －1)2＝414．解析：过P 作圆的切线PC ，切点为C ，在Rt △POC 中，易求|PC |＝3，由切割线定理，|PA |·|PB |＝|PC |2＝3.答案：3 15．解析：已知直线斜率k 1＝－2，直线ax ＋2y ＋c ＝0的斜率为－a2.∵两直线垂直，∴(－2)·(－a 2)＝－1，得a ＝－1.圆心到切线的距离为5，即|c |5＝5，∴c ＝±5，故ac ＝±5.答案：±5 16．．解析：将圆x 2＋y 2－2x ＋4y ＋4＝0化为标准方程，得(x －1)2＋(y ＋2)2＝1，圆心为(1，－2)，半径为1.若直线与圆无公共点，即圆心到直线的距离大于半径，即d ＝|3×1＋4×－2＋m |32＋42＝|m －5|5＞1，∴m ＜0或m ＞10.答案：(－∞，0)∪(10，＋∞)三、解答题(本大题共6小题，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 17．解：AC 边上的高线2x －3y ＋1＝0，所以k AC ＝－32.所以AC 的方程为y －2＝－32(x －1)，即3x ＋2y －7＝0，同理可求直线AB 的方程为x －y ＋1＝0. 下面求直线BC 的方程， 由⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2y －7＝0，x ＋y ＝0，得顶点C (7，－7)， 由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1＝0，2x －3y ＋1＝0，得顶点B (－2，－1)．所以k BC ＝－23，直线BC ：y ＋1＝－23(x ＋2)，即2x ＋3y ＋7＝0.18．解：圆C 的方程可化为(x －2)2＋(y －2)2＝1.(1)圆心C 关于x 轴的对称点为C ′(2，－2)，过点A ，C ′的直线的方程x ＋y ＝0即为光线l 所在直线的方程．(2)A 关于x 轴的对称点为A ′(－3，－3)， 设过点A ′的直线为y ＋3＝k (x ＋3)．当该直线与圆C 相切时，有|2k －2＋3k －3|1＋k2＝1，解得k ＝43或k ＝34，所以过点A ′的圆C 的两条切线分别为y ＋3＝43(x ＋3)，y ＋3＝34(x ＋3)．令y ＝0，得x 1＝－34，x 2＝1，所以在x 轴上反射点M 的横坐标的取值范围是[－34，1]．19．解：(1)方程x 2＋y 2－2x －4y ＋m ＝0，可化为 (x －1)2＋(y －2)2＝5－m ， ∵此方程表示圆， ∴5－m ＞0，即m ＜5.(2)⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－2x －4y ＋m ＝0，x ＋2y －4＝0，消去x 得(4－2y )2＋y 2－2×(4－2y )－4y ＋m ＝0， 化简得5y 2－16y ＋m ＋8＝0. 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则 ⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 2＝165， ①y 1y 2＝m ＋85. ②由OM ⊥ON 得y 1y 2＋x 1x 2＝0即y 1y 2＋(4－2y 1)(4－2y 2)＝0， ∴16－8(y 1＋y 2)＋5y 1y 2＝0. 将①②两式代入上式得16－8×165＋5×m ＋85＝0，解之得m ＝85.(3)由m ＝85，代入5y 2－16y ＋m ＋8＝0，化简整理得25y 2－80y ＋48＝0，解得y 1＝125，y 2＝45.∴x 1＝4－2y 1＝－45，x 2＝4－2y 2＝125.∴M ⎝⎛⎭⎫－45，125，N ⎝⎛⎭⎫125，45，∴MN 的中点C 的坐标为⎝⎛⎭⎫45，85.又|MN |＝⎝⎛⎭⎫125＋452＋⎝⎛⎭⎫45－1252＝855， ∴所求圆的半径为455.∴所求圆的方程为⎝⎛⎭⎫x －452＋⎝⎛⎭⎫y －852＝165.20.解：(1)连接OQ 、OP ，则△OQP 为直角三角形，又|PQ |＝|PA |，所以|OP |2＝|OQ |2＋|PQ |2 ＝1＋|PA |2，所以a 2＋b 2＝1＋(a －2)2＋(b －1)2， 故2a ＋b －3＝0.(2)由(1)知，P 在直线l ：2x ＋y －3＝0上， 所以|PQ |min ＝|PA |min ，为A 到直线l 的距离，所以|PQ |min ＝|2×2＋1－3|22＋12＝255.(或由|PQ |2＝|OP |2－1＝a 2＋b 2－1＝a 2＋9－12a ＋4a 2－1＝5a 2－12a ＋8＝5(a －1.2)2＋0.8，得|PQ |min ＝255.)(3)以P 为圆心的圆与圆O 有公共点，半径最小时为与圆O 相切的情形，而这些半径的最小值为圆O 到直线l 的距离减去圆O 的半径，圆心P 为过原点与l 垂直的直线l ′与l 的交点P 0，所以r ＝322＋12－1＝355－1， 又l ′：x －2y ＝0，联立l ：2x ＋y －3＝0得P 0(65，35)．所以所求圆的方程为(x －65)2＋(y －35)2＝(355－1)2.21．有一圆与直线l ：4x －3y ＋6＝0相切于点A (3,6)，且经过点B (5,2)，求此圆的方程．解：法一：由题意可设所求的方程为(x －3)2＋(y －6)2＋λ(4x －3y ＋6)＝0，又因为此圆过点(5,2)，将坐标(5,2)代入圆的方程求得λ＝－1，所以所求圆的方程为x 2＋y 2－10x －9y ＋39＝0.法二：设圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2， 则圆心为C (a ，b )，由|CA |＝|CB |，CA ⊥l ，得⎩⎪⎨⎪⎧3－a 2＋6－b 2＝r 2，5－a 2＋2－b 2＝r 2，b －6a －3×43＝－1，解得⎩⎨⎧a ＝5，b ＝92r 2＝254.所以所求圆的方程为(x －5)2＋(y －92)2＝254.法三：设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，由CA ⊥l ，A (3,6)，B (5,2)在圆上，得⎩⎪⎨⎪⎧32＋62＋3D ＋6E ＋F ＝0，52＋22＋5D ＋2E ＋F ＝0，－E 2－6－D 2－3×43＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－10，E ＝－9，F ＝39.所以所求圆的方程为x 2＋y 2－10x －9y ＋39＝0.法四：设圆心为C ，则CA ⊥l ，又设AC 与圆的另一交点为P ，则CA 的方程为y －6＝－34(x －3)，即3x ＋4y －33＝0.又因为k AB ＝6－23－5＝－2，所以k BP ＝12，所以直线BP 的方程为x －2y －1＝0.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋4y －33＝0，x －2y －1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝7，y ＝3.所以P (7,3)．所以圆心为AP 的中点(5，92)，半径为|AC |＝52.所以所求圆的方程为(x －5)2＋(y －92)2＝254.22．如图在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C 1：(x ＋3)2＋(y －1)2＝4和圆C 2：(x －4)2＋(y －5)2＝4.(1)若直线l 过点A (4,0)，且被圆C 1截得的弦长为23，求直线l 的方程；(2)设P 为平面上的点，满足：存在过点P 的无穷多对互相垂直的直线l 1和l 2，它们分别与圆C 1和C 2相交，且直线l 1被圆C 1截得的弦长与直线l 2被C 2截得的弦长相等．试求所有满足条件的点P 的坐标．解：(1)由于直线x ＝4与圆C 1不相交，所以直线l 的斜率存在．设直线l 的方程为y ＝k (x －4)，圆C 1的圆心到直线l 的距离为d ，因为圆C 1被直线l 截得的弦长为23，所以d ＝22－32＝1.由点到直线的距离公式得d ＝|1－k －3－4|1＋k2，从而k (24k ＋7)＝0，即k ＝0或k ＝－724，所以直线l 的方程为y ＝0或7x ＋24y －28＝0.(2)设点P (a ，b )满足条件，不妨设直线l 1的方程为y －b ＝k (x －a )，k ≠0，则直线l 2的方程为y －b ＝－1k(x －a )．因为圆C 1和C 2的半径相等，且圆C 1被直线l 1截得的弦长与圆C 2被直线l 2截得的弦长相等，所以圆C 1的圆心到直线l 1的距离和圆C 2的圆心到直线l 2的距离相等，即|1－k －3－a －b |1＋k2＝|5＋1k4－a －b |1＋1k 2，整理得|1＋3k ＋ak －b |＝|5k ＋4－a －bk |，从而1＋3k ＋ak －b ＝5k ＋4－a －bk 或1＋3k ＋ak －b ＝－5k －4＋a ＋bk ，即(a ＋b －2)k ＝b －a ＋3或(a －b ＋8)k ＝a ＋b －5，因为k 的取值有无穷多个，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b －2＝0，b －a ＋3＝0，或⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＋8＝0，a ＋b －5＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝52，b ＝－12，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－32，b ＝132.这样点P 只可能是点P 1⎝⎛⎭⎫52，－12或点P 2⎝⎛⎭－32，132.经检验点P 1和P 2满足题目条件．。
高中数学 第二章 平面解析几何初步 2.2.1 直线方程的概念与直线的斜率同步练习(含解析)新人教B
高中数学第二章平面解析几何初步2.2.1 直线方程的概念与直线的斜率同步练习（含解析）新人教B版必修2编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（高中数学第二章平面解析几何初步2.2.1 直线方程的概念与直线的斜率同步练习（含解析）新人教B版必修2）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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直线方程的概念与直线的斜率1．经过点P(－2，m），Q（m，4）的直线的斜率等于1，则m的值为（)．A．1 B．4 C．1或3 D．1或42．若A（－2，－3），B（3,－2），C（12，m)三点在同一直线上,则m的值为（)．A．－2 B．2 C．52- D．123．设点P在y轴上，点N是点M关于y轴的对称点，若直线PM的斜率为k(k≠0)，则直线PN的斜率是( )．A．k B．－k C．1kD．1k-4．直线l过点A（1，2)，且l不过第四象限，那么l的斜率k的取值范围是( ）．A．[0，2] B．［0,1］ C．［0，12] D．［0，12）5．三点A（1，0),B(45-，35)，C(－1，0)，若直线AB与直线BC的倾斜角为α，β，则α－β＝__________.6．已知点M（5，3)、N（－3，2)，若直线PM和PN的斜率分别为2和74-，则点P的坐标为__________．7．一条光线从点A(－2，3）射入，经x轴上点P反射后，通过点（5,7），则点P的坐标为________．8．已知直线l过点A（1，2）和B(a,3），求直线l的斜率及倾斜角的范围．9. 已知矩形ABCD中,A（－4,4),D(5,7)，其对角线的交点E在第一象限内且与y轴的距离为一个单位,动点P（x，y）沿矩形的一边BC运动,设y zx =.（1)探讨z的几何意义；(2)当点P沿边BC运动时，z是否总存在？并求出z的取值范围．参考答案1。
高中数学 第二章 平面解析几何初步 2.2.1 直线方程的概念与直线的斜率学业分层测评 新人教B版必
2018版高中数学第二章平面解析几何初步2.2.1 直线方程的概念与直线的斜率学业分层测评新人教B版必修2编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2018版高中数学第二章平面解析几何初步2.2.1 直线方程的概念与直线的斜率学业分层测评新人教B版必修2）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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2.2.1 直线方程的概念与直线的斜率学业分层测评（建议用时：45分钟)［学业达标］一、选择题1。
下列说法正确的是（)A.一条直线和x轴的正方向所成的正角，叫做这条直线的倾斜角B。
直线的倾斜角α的取值范围是锐角或钝角C.与x轴平行的直线的倾斜角为180°D。
每一条直线都存在倾斜角,但并非每一条直线都存在斜率【解析】选项A成立的前提条件为直线和x轴相交，故错误；选项B中倾斜角α的范围是0°≤α〈180°,故错误；选项C中与x轴平行的直线，它的倾斜角为0°，故错误；选项D中每一条直线都存在倾斜角，但是直线与y轴平行时，该直线的倾斜角为90°，斜率不存在，故正确.【答案】D2。
若A、B两点的横坐标相等，则直线AB的倾斜角和斜率分别是（)A.45°，1B.135°，－1C.90°，不存在D。
180°，不存在【解析】由于A、B两点的横坐标相等，所以直线与x轴垂直，倾斜角为90°，斜率不存在。
故选C.【答案】C3.若过两点A（4，y），B(2，－3)的直线的倾斜角是135°,则y等于( ）A.1B.5C.－1D.－5【解析】由斜率公式可得：错误!＝tan 135°，∴y＋32＝－1，∴y＝－5.∴选D.【答案】D4.若直线l的向上方向与y轴的正方向成60°角，则l的倾斜角为（）A.30°B.60°C。
高中数学 第二章 平面解析几何初步 2.1.1 直线的斜率学案 苏教版必修2
2．1.1 直线的斜率1．理解直线的倾斜角和斜率的概念及它们之间的关系．(难点) 2．掌握过两点的直线斜率计算公式．(重点)3．了解直线的倾斜角的范围，能根据直线的倾斜角求出直线的斜率．(易错点)[基础·初探]教材整理1 直线的斜率阅读教材P 77～P 78例1，完成下列问题．已知两点P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，如果x 1≠x 2，那么直线PQ 的斜率为k ＝y 2－y 1x 2－x 1(x 1≠x 2)，如果x 1＝x 2，那么直线PQ 的斜率不存在．1．若直线过点(1,2)，(4,2＋3)，则此直线的斜率是________． 【解析】 过点(1,2)，(4,2＋3)的斜率k ＝＋3－24－1＝33.【答案】332．若直线AB 的斜率为－2，其中A (－2，－3)，B (a,5)，则a 的值是__________. 【解析】 ∵－3－5－2－a ＝－2，∴a ＝－6.【答案】 －6教材整理2 直线的倾斜角 阅读教材P 78～P 79，完成下列问题． 1．直线的倾斜角在平面直角坐标系中，对于一条与x 轴相交的直线，把x 轴所在的直线绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转过的最小正角称为这条直线的倾斜角，并规定：与x 轴平行或重合的直线的倾斜角为0°.倾斜角α的范围为0°≤α<180°.2．直线的斜率与倾斜角的关系(1)从关系式上看：若直线l 的倾斜角为α(α≠90°)，则直线l 的斜率k ＝tan_α. (2)从几何图形上看：1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)任意一条直线都有倾斜角，也都有斜率．(×) (2)平行于x 轴的直线的倾斜角是0°或180°.(×) (3)若两条直线的倾斜角相等，则它们的斜率也相等．(×) (4)若k 是直线的斜率，则k ∈R .(√)2．直线l 的倾斜角α＝120°，则其斜率为________． 【解析】 直线的斜率为tan 120°＝－tan 60°＝－ 3. 【答案】 － 3[小组合作型]求直线的斜率经过下列两点的直线的斜率是否存在？如果存在，求其斜率．(1)A (－1,0)，B (0，－2)； (2)A (－3，2)，B (2，－3)； (3)A (a ，a ＋b )，B (c ，b ＋c )； (4)A (2，－1)，B (m ，－2)． 【精彩点拨】 当x 1≠x 2时，利用y 1－y 2x 1－x 2求解直线的斜率，否则斜率不存在．【自主解答】 (1)∵－1≠0， ∴斜率存在，且k ＝－2－00－－＝－2.(2)∵－3≠2， ∴斜率存在，且k ＝2－－3－3－2＝2＋3－2－3＝－1. (3)∵a ≠c (否则A ，B 两点重合为一点)， ∴斜率存在，且k ＝a ＋b －b ＋ca －c＝1.(4)当m ＝2时，斜率不存在． 当m ≠2时，斜率k ＝－2－－m －2＝12－m.已知直线上两点(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，表示直线的斜率时，要注意直线斜率存在的前提，即只有x 1≠x 2时才能用斜率公式求解．当x 1＝x 2时，直线斜率不存在，此时直线的倾斜角为90°.当点的坐标中含有参数时，要注意对参数的讨论．[再练一题]1．过点P (－2，m )，Q (m,4)的直线的斜率为1，则m ＝________. 【解析】m －4－2－m＝1，m ＝1. 【答案】 12．若斜率为2的直线经过A (3,5)，B (a,7)，C (－1，b )三点，则a ，b 的值分别为________． 【解析】7－5a －3＝2，∴a ＝4，7－ba ＋1＝2，∴b ＝－3. 【答案】 4，－3直线的倾斜角与斜率的综合应用已知直线l 经过点P (1,1)，且与线段MN 相交，且点M ，N 的坐标分别是(2，－3)，(－3，－2)．(1)求直线PM 与PN 的斜率； (2)求直线l 的斜率k 的取值范围．【精彩点拨】 (1)代入斜率公式，(2)数形结合求k 的范围．【自主解答】 (1)由题意与斜率公式可知，直线PM 与PN 的斜率分别为：k PM ＝－3－12－1＝－4，k PN ＝－2－1－3－1＝34. (2)如图所示，直线l 相当于绕着点P 在直线PM 与PN 间旋转，l ′是过P 点且与x 轴垂直的直线，当l 由PN 位置旋转到l ′位置时，倾斜角增大到90°，又k PN ＝34，∴k ≥34.又当l 从l ′位置旋转到PM 位置时，倾斜角大于90°，又k PM ＝－4，∴k ≤－4.综上所述，k ∈(－∞，－4]∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，＋∞.1．当直线l 的倾斜角是锐角时，斜率k >0，反之也成立；当直线l 的倾斜角是钝角时，斜率k <0，反之也成立．2．当直线绕定点由与x 轴平行(或重合)的位置按逆时针方向旋转到与y 轴平行(或重合)的位置时，斜率由零逐渐增大到＋∞，按顺时针方向旋转到与y 轴平行(或重合)的位置时，斜率由零逐渐减小到－∞.[再练一题]3．(1)若过点P (1,1)，Q (3,2a )的直线的倾斜角为钝角，则实数a 的取值范围是__________．(2)已知两点A (－3,4)，B (3,2)，过点P (1,0)的直线l 与线段AB 有公共点，则直线l 的倾斜角α的取值范围是__________.【解析】 (1)∵直线PQ 的倾斜角为钝角，∴k PQ <0， 即2a －13－1＝2a －12<0，∴a <12，即实数a 的取值 范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，12.(2)如图所示，由题意可知k PA ＝4－0－3－1＝－1， k PB ＝2－03－1＝1. 则直线AP 的倾斜角为135°，直线BP 的倾斜角是45°.要使直线l 与线段AB 有公共点，需有45°≤α≤135°，即α的取值范围是45°≤α≤135°.【答案】 (1)⎝⎛⎭⎪⎫－∞，12 (2)45°≤α≤135° [探究共研型]三点共线问题探究1 A (0,0)，B (1,2)，C (3,6)，三点是否在同一条直线上？【提示】 三点在同一直线上，因为k AB ＝2，k AC ＝2，k AB ＝k AC .直线AB ，AC 斜率相等，又过同一点，所以AB 与AC 重合．∴A ，B ，C 三点共线．探究2 若三点A (a,2)，B (3,7)，C (－2，－9a )在同一条直线上，则实数a 的值为多少？ 【提示】 ∵k AB ＝k BC ，∴7－23－a ＝7＋9a3＋2，解得a ＝2或a ＝29.(1)已知某直线l 的倾斜角α＝45°，又P 1(2，y 1)，P 2(x 2,5)，P 3(3,1)是此直线上的三点，则x 2＝________，y 1＝__________.(2)若三点A (2,2)，B (a,0)，C (0，b )(ab ≠0)共线，则1a ＋1b＝__________.【精彩点拨】【自主解答】 (1)由α＝45°，故直线l 的斜率k ＝tan 45°＝1， 又P 1，P 2，P 3都在此直线上，故kP 1P 2＝kP 2P 3＝k l ， 即5－y 1x 2－2＝1－53－x 2＝1，解得x 2＝7，y 1＝0.(2)显然，直线斜率存在．由三点共线，得k AB ＝k AC ，即22－a ＝2－b2，整理得2a ＋2b ＝ab .∴1a ＋1b ＝a ＋b ab ＝a ＋b 2a ＋2b ＝12. 【答案】 (1)7 0 (2)12已知A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)，若有x 1＝x 2＝x 3或k AB ＝k AC ，则有A ，B ，C 三点共线．利用斜率判断三点共线应注意以下三点：(1)用斜率公式解决三点共线问题时，首先要估测三点中是否有两点连线垂直于x 轴，即斜率不存在的情况；(2)当三点中任意两点所确定的直线的斜率相等，且过同一点时，三点才共线； (3)由斜率相等可以推出三点共线，但三点共线不一定推出任两点连线的斜率相等，还可能任两点连线的斜率都不存在．[再练一题]4．已知A (1,1)，B (3,5)，C (a,7)，D (－1，b )四点在同一条直线上，求直线的斜率k 及a ，b 的值．【解】 由题意可知k AB ＝5－13－1＝2，k AC ＝7－1a －1＝6a －1，k AD ＝b －1－1－1＝b －1－2，所以k ＝2＝6a －1＝b －1－2，解得a ＝4，b ＝－3， 所以直线的斜率k ＝2，a ＝4，b ＝－3.1．已知直线l 的倾斜角为30°，则直线l 的斜率为________． 【解析】 k ＝tan 30°＝33. 【答案】332．若过两点A (4，y )，B (2，－3)的直线的倾斜角为45°，则y ＝________.【解析】 k AB ＝tan 45°＝1＝y ＋34－2，∴y ＝－1. 【答案】 －13．直线l 过点(－1,1)，(0,1)，则l 的倾斜角为______． 【解析】 k ＝1－1－1－0＝0，tan α＝0，∴α＝0°.【答案】 0°4．如图2－1－1所示，直线l 1，l 2，l 3的斜率分别为k 1，k 2，k 3，则k 1，k 2，k 3之间的大小关系为________．图2－1－1【解析】 设l 1，l 2，l 3的倾斜角分别为α1，α2，α3，则由题图可知0<α3<α2<90°<α1<180°，所以tan α2>tan α3>0，tan α1<0，故k 1<k 3<k 2. 【答案】 k 1<k 3<k 25．已知直线l 上两点A (－2,3)，B (3，－2)，求其斜率．若点C (a ，b )在直线l 上，求a ，b 间应满足的关系，并求当a ＝12时，b 的值.【解】 由斜率公式得k AB ＝－2－33＋2＝－1. ∵C 在直线l 上，∴k AC ＝－1，即b －3a ＋2＝－1，∴a ＋b －1＝0. 当a ＝12时，b ＝1－a ＝12.。
湘教版高中数学选择性必修第一册课后习题 第2章 平面解析几何初步 直线的点斜式方程
2.2 直线的方程2.2.1 直线的点斜式方程 A 级必备知识基础练1.下列方程是斜截式方程的是( ) A.x-y+1=0 B.y-2=3(x-1) C.y=-2x-1D.x=12.直线2x+y-3=0用斜截式表示,下列表达式中,正确的是( ) A.x 32+y3=1B.y=-2x+3C.y-3=-2(x-0)D.x=-12y+323.已知直线l 经过点P(-2,5),且斜率为-34,则直线l 的方程为( )A.3x+4y-14=0B.3x-4y+14=0C.4x+3y-14=0D.4x-3y+14=04.直线y-b=2(x-a)在y 轴上的截距为( ) A.a+b B.2a-b C.b-2aD.|2a-b|5.已知直线l 的斜率为2,在y 轴上的截距为m.若直线通过(1,1)点,则m= .6.直线y=k(x-2)+3必过定点,该定点坐标是 .B 级关键能力提升练7.直线y=ax-1a 的图象可能是( )8.过点(1,0)且与直线y=12x-1的倾斜角相同的直线方程是( )A.y=12x-12B.y=12x+12C.y=-2y+2a=0在两坐标轴上的截距之和为2,则直线的斜率为( ) A.1B.-13C.-23D.210.若直线l 经过点A(1,2),且在x 轴上的截距的取值范围是(3,5),则其斜率的取值范围是 ( )A.-1,-12B.-12,0 C.(-∞,-1)∪12,+∞D.(-∞,-1)∪-12,+∞ 11.已知直线l 的方程为y+1=25x-52,且l 的斜率为a,在y 轴上的截距为b,则|a+b|= .12.已知直线l的斜率与直线3x-2y=6的斜率相等,且直线l在x轴上的截距比在y轴上的截距大1,则直线l的斜截式方程为.13.直线l过点(2,2),且与x轴和直线y=x围成的三角形的面积为2,求直线l的方程.C级学科素养创新练14.已知过定点(2,1)作直线l与两坐标轴围成的三角形面积为4,符合条件的直线条数为( )A.2B.3C.4D.0参考答案2.2 直线的方程 2.2.1 直线的点斜式方程1.C2.B3.A 由题知,直线l 的点斜式方程为y-5=-34(x+2),整理得直线l 的方程为3x+4y-14=0.故选A.4.C 由y-b=2(x-a),得y=2x-2a+b,故直线在y 轴上的截距为b-2a.故选C.5.-1 利用直线的斜截式方程可得方程为y=2=-1.6.(2,3) 将直线方程化为点斜式得y-3=k(x-2),故可得该直线过定点(2,3).7.B 由y=ax-1a 可知,a≠0,且斜率和在y 轴上的截距一定异号,故B 正确.8.A 由题可得,与直线y=12x-1的倾斜角相同的直线方程的斜率为k=12.又该直线过点(1,0),因此所求直线的方程为y-0=12(x-1),即y=12x-12,故选A.9.D 由题可得a≠0. 令x=0,得y=-2a 3m,令y=0,得x=-2.因为直线在两坐标轴上的截距之和为2,所以-2a3m+(-2)=2,所以a=-6m.将a=-6m 代入直线可得-6m=0,化简可得y=2x+4,故直线的斜率为2.故选D.10.A 设直线的斜率为k(k≠0),则直线方程为y-2=k(x-1).令y=0,得直线l 在x 轴上的截距为1-2k,则3<1-2k<5,解得-1<k<-12,所以直线l 的斜率的取值范围为-1,-12.故选A.11.85由直线l 的方程可得a=25.令x=0,得y=-2,即b=-2,所以|a+b|=|25-2|=85.12.y=32x-35由题意知,直线l 的斜率为32,故设直线l 的斜截式方程为y=32x+b,则直线l 在x 轴上的截距为-23b,在y 轴上的截距为b,故-23b-b=1,解得b=-35.因此直线l 的斜截式方程为y=32x-35.13.解当直线l 的斜率不存在时,直线l 的方程为x=2,经检验,符合题目的要求.当直线l 的斜率存在时,设直线l 的方程为y-2=k(x-2). 令y=0得,x=2k -2k.由三角形的面积为2,得12×|2k -2k|×2=2.解得k=12.故可得直线l的方程为y-2=12(x-2).综上可知,直线l的方程为x=2或y-2=12(x-2).14.B 由题意可知,直线l的斜率存在且不为零,设直线l的方程为y-1=k(x-2),即y=kx+1-2k.在直线l的方程中,令x=0,可得y=1-2k;令y=0,可得x=2k-1k.所以直线l交x轴于点2k-1k,0,交y轴于点(0,1-2k).由题意可得12·|2k-1k|·|1-2k|=4,即(2k-1)2|k|=8.①当k<0时,可得(2k-1)2+8k=0,即4k2+4k+1=0,Δ1=0,有1个实根;②当k>0时,可得(2k-1)2-8k=0,即4k2-12k+1=0,Δ2=144-16=128>0,有2个实根.综上所述,符合条件的直线l有3条.故选B.。
高中数学第二章平面解析几何初步2.2直线的方程2.2.1直线方程的概念与直线的斜率bb高一数学
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变式训练3-1:求经过两点M(-1,2),N(m,3)(m∈R)的直线(zhíxiàn)的斜率并讨论m为 何值时,倾斜角为锐角、钝角和直角.
解:(1)m≠-1 时,kMN= 3 2 = 1 . m1 m1
②k>0时,直线的倾斜角为 ,此时,k值增大,直线的倾斜角也随着
锐角
③k<0时,直线的倾斜角为 ,此时,k值增大,直线的倾斜角也随着
④垂直于x轴的直线的倾斜角钝等角于 ,此时直线的斜率
.
90°
0°
;
增大 .
(z增ēn大ɡ 不存在 d(àz)ēnɡ
dà)
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
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【拓展延伸】 直线的斜率(xiélǜ)与倾斜角之间的关系
C
(A)1 (B)2 (C)3 (D)4
解析:①②③正确,④错误,因为(yīn wèi)当直线的倾斜角为90°时,直线的斜率不存在,
故选C.
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2.直线 l 过点 M(- 3 , 2 ),N(- 2 , 3 ),则 l 的斜率为( B )
(A) 6 2
(B)1
(C) 6 3
.这条直直线线的叫方做程这个
.
方程的直线
2.直线的斜率
设直线 l:y=kx+b 上任两点 A(x1,y1),B(x2,y2),其中 x1≠x2,则直线 l 的斜率
k= y2 y1 x2 x1
人教B版高中数学必修二《第二章 平面解析几何初步 2.2 直线的方程 2.2.1 直线方程的概念与直线的斜率》_23
第三章直线与方程3.1直线的倾斜角和斜率3.1.1倾斜角和斜率一、教学目标:1.知识与技能1）理解直线的倾斜角和斜率的概念．2）掌握斜率公式的推导过程，过两点的直线的斜率公式．能对斜率和倾斜角的关系进行讨论，经历斜率公式的严格推导过程.3.情感、态度与价值观1）让学生初步感受用代数的方法表示几何概念，感受代数表达的抽象与简练．2）培养学生树立辩证统一的观点，培养学生形成严谨的科学态度和求简的数学精神．二、教学重点与难点重点: 理解直线的倾斜角、斜率的概念和掌握直线的倾斜率公式.难点：理解直线斜率公式的推导过程.三、教学方法启发、引导、讨论.四、教学用具三角板、多媒体投影仪五、教学过程（一）创设情景，导入新课我们知道, 经过两点有且只有(确定)一条直线. 那么, 经过一点P的直线l的位置能确定吗? 过一点P可以作无数多条直线a,b,c, …易见,答案是否定的.这些直线有什么联系呢?思考：(1)它们都经过点P. (2)它们的‘倾斜程度’不同. 怎样描述这种‘倾斜程度’的不同? （二）师生互动，探究新知1.直线的倾斜角的概念当直线l与x轴相交时, 取x轴作为基准, x轴正向与直线l向上方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角.特别地,当直线l与x轴平行或重合时, 规定α= 0°.问: 倾斜角α的取值范围是什么? 0°≤α＜180°.当直线l与x轴垂直时, α= 90°.因为平面直角坐标系内的每一条直线都有确定的倾斜程度, 引入直线的倾斜角之后, 我们就可以用倾斜角α来表示平面直角坐标系内的每一条直线的倾斜程度.直线a ∥b ∥c, 那么它们的倾斜角α相等吗? 答案是肯定的.所以一个倾斜角α不能确定一条直线.确定平面直角坐标系内的一条直线位置的几何要素: 一个点P 和一个倾斜角α.2.直线的斜率:一条直线的倾斜角α(α≠90°)的正切值叫做这条直线的斜率,斜率常用小写字母k 表示,也就是k = tan α⑴当直线l 与x 轴平行或重合时, α=0°, k = tan0°=0;⑵当直线l 与x 轴垂直时, α= 90°, k 不存在.由此可知, 一条直线l 的倾斜角α一定存在,但是斜率k 不一定存在.例如, α=45°时, k = tan45°= 1;α=135°时, k = tan135°= tan(180°－ 45°) = - tan45°= - 1.学习了斜率之后, 我们又可以用斜率来表示直线的倾斜程度.3. 直线的斜率公式:给定两点P 1(x 1,y 1),P 2(x 2,y 2),x 1≠x 2,如何用两点的坐标来表示直线P 1P 2的斜率?在多媒体投影的辅助指导下，并引导学生如何作辅助线,共同完成斜率公式的推导.公式推导（略）斜率公式: 1212x x y y k --= 对于上面的斜率公式要注意下面四点：(1) 当x 1=x 2时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角α= 90°, 直线与x 轴垂直；(2) k 与P 1、P 2的顺序无关, 即y 1,y 2和x 1,x 2在公式中的前后次序可以同时交换, 但分子与分母不能交换;(3) 斜率k 可以不通过倾斜角而直接由直线上两点的坐标求得;(4) 当 y 1=y 2时, 斜率k = 0, 直线的倾斜角α=0°，直线与x 轴平行或重合.(5)求直线的倾斜角可以由直线上两点的坐标先求斜率而得到．(三)概念辨析，巩固提高例1 已知A(3, 2), B(-4, 1), C(0, -1), 求直线AB, BC, CA 的斜率, 并判断它们的倾斜角是钝角还是锐角.(用计算机作直线, 图略)分析: 已知两点坐标, 而且21x x ≠, 由斜率公式代入即可求得k 的值;而当k = tan α<0时, 倾斜角α是钝角;而当k = tan α>0时, 倾斜角α是锐角;而当k = tan α=0时, 倾斜角α是0°.略解: 直线AB 的斜率k 1=71>0, 所以它的倾斜角α是锐角; 直线BC 的斜率k 2=-0.5<0, 所以它的倾斜角α是钝角;直线CA 的斜率3k =1>0, 所以它的倾斜角α是锐角.例2 在平面直角坐标系中, 画出经过原点且斜率分别为1, -1, 2, 及-3的直线a, b, c, l. 分析:要画出经过原点的直线a, 只要再找出a 上的另外一点M. 而M 的坐标可以根据直线a 的斜率确定; 或者k=tan α=1是特殊值,所以也可以以原点为角的顶点,x 轴的正半轴为角的一边, 在x 轴的上方作45°的角, 再把所作的这一边反向延长成直线即可.(四)小结(1)直线的倾斜角和斜率的概念．(2) 直线的斜率公式.(五)课后作业P86练习：1,2，3，4.P89习题3.1A 组：1,2,3,4,53.1.2 两条直线的平行与垂直的判定一、教学目标1.知识与技能理解并掌握两条直线平行与垂直的条件，会运用条件判定两直线是否平行或垂直.2.过程与方法通过探究两直线平行或垂直的条件，培养学生运用代数方法来研究几何问题.3.情感、态度和价值观通过对两直线平行与垂直的位置关系的研究，培养学生的成功意识，合作交流的学习方式,激发学生的学习兴趣,欣赏解析几何的代数抽象美．二、教学重点、难点重点： 熟练掌握两条直线平行和垂直的条件难点： 研究两条直线的平行或垂直问题的判断．三、教学方法引导、启发、讨论，练习四、教学过程（一）创设情景，导入课题复习已经学习的直线的倾斜角和斜率的概念, 可以用倾斜角和斜率来表示直线相对于x 轴的倾斜程度, 并推导出了斜率的坐标计算公式. 现在, 我们来研究能否通过两条直线的斜率来判断两条直线的平行或垂直．（二）师生互动，探究新知1. 先研究特殊情况下的两条直线平行与垂直讨论: 两条直线中有一条直线没有斜率, (1)当另一条直线的斜率也不存在时，两直线的倾斜角都为90°，它们互相平行；(2)当另一条直线的斜率为0时，一条直线的倾斜角为90°，另一条直线的倾斜角为0°，两直线互相垂直．2. 两条直线的斜率都存在时, 两直线的平行设直线l1和l2的斜率分别为k1和k2. 我们知道, 两条直线的平行或垂直是由两条直线的方向决定的, 而两条直线的方向又是由直线的倾斜角或斜率决定的.所以我们下面要研究的问题是: 两条互相平行或垂直的直线, 它们的斜率有什么关系?首先研究两条直线互相平行(不重合)的情形．如果l1∥l2(图1-29)，那么它们的倾斜角相等：α1=α2．(借助多媒体, 让学生通过观察度量, 感知α1, α2的关系)因为tgα1=tgα2 即 k1=k2．反过来，如果两条直线的斜率相等: 即k1=k2，那么tgα1=tgα2．由于0°≤α1＜180°， 0°≤α2＜180°，所以α1=α2．又因为两条直线不重合，两条直线平行l1∥l2．结论: 两条直线都有斜率而且不重合，如果它们平行，那么它们的斜率相等；反之，如果它们的斜率相等，那么它们平行，即l1∥l2 k1=k2.注意: 上面的等价是在两条直线不重合且斜率存在的前提下才成立的，缺少这个前提，结论并不成立．即如果k1=k2, 那么一定有l1∥l2; 反之则不一定.3. 两条直线的斜率都存在时, 两直线的垂直下面我们研究两条直线垂直的情形．结论: 两条直线都有斜率，如果它们互相垂直，那么它们的斜率互为负倒数；反之，如果它们的斜率互为负倒数，那么它们互相垂直，即12121-=⋅⇔⊥k k l l注意: 结论成立的条件. 即如果k1·k2 = -1, 那么一定有21l l ⊥; 反之则不一定.（三）概念辨析，巩固提高例1 已知A(2,3), B(-4,0), P(-3,1), Q(-1,2), 试判断直线BA 与PQ 的位置关系, 并证明你的结论.分析: 借助媒体动画展示, 通过观察猜想:BA ∥PQ, 再通过计算加以验证.(图略) 解: 直线BA 的斜率k 1=21)4(203=---, 直线PQ 的斜率k 2=21)3(112=----, 因为 k 1=k 2=21, 所以 直线BA ∥PQ.例2 已知四边形ABCD 的四个顶点分别为A(0,0), B(2,-1), C(4,2), D(2,3), 试判断四边形ABCD 的形状,并给出证明.解同上.例3.已知A(-6,0), B(3,6), P(0,3), Q(-2,6), 试判断直线AB 与PQ 的位置关系. 解: 直线AB 的斜率32)6(3061=---=k , 直线PQ 的斜率23)02361-=---=k , 因为 k 1·k 2 = -1 所以 AB ⊥PQ.例4. 已知A(5,-1), B(1,1), C(2,3), 试判断三角形ABC 的形状.分析: 通过观察猜想: 三角形ABC 是直角三角形, 其中AB ⊥BC, 再通过计算加以验证.（四）小结1.知识小结(1) 两条直线平行或垂直的判定方法(2) 注意特殊情况特殊处理，如有斜率为零或斜率不存在的情况.(3) 应用直线平行的条件, 判定三点共线.2. 思想方法：倾斜角、平行是几何概念，坐标、斜率是代数概念，解析几何的本质是用代数方法来研究几何问题.（五）作业P89练习：1，2.P90习题3.1 A组：8. B组：3，4.。
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二、探究问题，归纳结论探究源自一)：看一看：观察下列函数的图象，发现它们的异同.
y=x+1 y=2x+1 y=-x+1
相同点：
不同点：
该如何刻画直线的倾斜程度？
楼梯倾斜程度的刻画：
四、规律总结
练习：
实践：
典型例题
例1.
例2.
思考交流：
课堂练习
归纳小结，理清知识体系
2.2.1直线的斜率
一年七班
教学目标
（一）知识与技能：理解直线的斜率和倾斜角的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式．
（二）过程与方法：用代数语言描述集合要素及其关系，将几何问题转化为代数问题求解，体会代数运算过程的几何含义.
（三）情感态度价值观：充分体会“数形结合”的思想方法
重点
理解直线的斜率的概念，探索如何通过直线上两点求直线的斜率公式.
难点
理解斜率的几何意义及其与“相似比”等概念之间的联系.
教学方法
探求式教学法、多媒体手段
教
学
过
程
典
例
分
析
1、新课引入
通过研究一次函数，我们对直线的方程已有了一些了解，但有些问题还没有完全解决，如y=kx+b中k的几何含意、已知直线上一点和直线的方向怎样求直线的方程、怎样通过直线的方程来研究两条直线的位置关系等都有待于我们继续研究。
高考真题
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第三章 直线与方程 3.1.1 倾斜角与斜率一、内容及其解析“直线的倾斜角与斜率”是人教版数学必修2第三章第一节的内容，是高中解析几何内容的开始。
这节课学习的内容是直线在平面直角坐标系下的倾斜角和斜率。
其核心内容是直线倾斜角的概念和斜率的求法，理解它的关键是在平面直角坐标系中直线向上的方向与X 轴正方向所成的角和角的正切值。
之前学生已经学过一次函数的图像和平面中两点可以确定一条直线，这节内容就是刻画直线倾斜程度的几何要素与代数表示，是平面直角坐标系内以坐标法（解析法）的方式来研究直线及其几何性质（如直线位置关系、交点坐标、点到直线距离等）的基础。
通过该内容的学习，帮助学生初步了解直角坐标平面内几何要素代数化的过程，渗透解析几何的基本思想和基本研究方法。
直线的斜率是后继内容展开的主线，无论是建立直线的方程，还是研究两条直线的位置关系，以及讨论直线与二次曲线的位置关系，直线的斜率都发挥着重要作用。
二、目标及其解析2、会求出直线的倾斜角和直线的斜率3、掌握过两点的直线的斜率公式。
目标解析：1、正确理解直线的倾斜角是指理解平面直角坐标系中以X 轴为基准，直线与X 轴相交时，X 轴正方向与直线向上的方向的角；理解斜率概念是指直线的斜率就是直线倾斜角的正切值。
2、会求出直线倾斜角是指已知直线的斜率求出其对应倾斜角，会求直线斜率是指知道直线的倾斜角会求出其对应直线的斜率。
3、掌握过两点的直线的斜率公式就是要熟练应用经过P 1(x 1,y 1),P 2(x 2,y 2)两点的直线的斜率公式k =（x 1≠x 2）三、问题诊断与分析在本节课的教学中，学生可能遇到的问题是对直线的倾斜角的概念及范围理解时会不糊不清 和当直线的倾斜角是钝角时的求值会困难，产生这两个问题的原因是对倾斜角的概念理解不透彻和没有从定义上认真正理解和对新公式tan(180)tan αα-=-。
的运用还不灵活。
要解决这一困难，就要让学生从开始就认真的从定义上理解倾斜角的概念和多用公式tan(180)tan αα-=-。