线性代数行列式经典编辑例题
(完整word)行列式习题1附答案
命题人或命题小组负责人签名： 教研室（系）主任签名： 分院（部）领导签名：第 1 页 共 4 页《线性代数》第一章练习题一、填空题1、_____________)631254(=τ8 2、要使排列（3729m14n5）为偶排列，则m =___8____， n =____6_____ 3、关于x 的多项式xx x xx 22111---中含23,x x 项的系数分别是 -2,44、 A 为3阶方阵，2=A ,则____________3*=A 1085、四阶行列式)det(ij a 的次对角线元素之积（即41322314a a a a ）一项的符号为 +6、求行列式的值 (1）46924692341234=__1000___; （2）131410242121=_0___ ；(3) 2005000200410020030102002200120001--=___2005____;(4） 行列式243012321---中元素0的代数余子式的值为___2____7、648149712551 = 6 ；1252786425941653241111--=1680-8、设矩阵A 为4阶方阵,且|A|=5,则｜A ＊|=__125____，｜2A ｜=__80___,|1-A |= 15。
命题人或命题小组负责人签名： 教研室（系）主任签名： 分院（部）领导签名：第 2 页 共 4 页9、011101110= 2 ；=000100312222210 12 。
10、若方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=+a bz cy b az cx ay bx 0 有唯一解，则abc ≠ 011、把行列式的某一列的元素乘以同一数后加到另一列的对应元素上，行列式 值不变 。
12、行列式中在项的项共有214312344214231144434241343332312423222114131211,,24!4a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a =，21431234a a a a 是该行列式的项，符号是 + 。
线性代数（本）习题册行列式-习题详解（修改）（加批注）
线性代数（本）习题册行列式-习题详解（修改）（加批注）||班级：姓名：学号：成绩：批改日期： ||第 1 页共 18 页行列式的概念一、选择题1．下列选项中错误的是( ) (A)b a dcd c b a -= ； (B)ac bd d c b a =； (C)d c b a d c d b c a =++33； (D)dc b ad c b a -----=. 答案：D2．行列式n D 不为零，利用行列式的性质对n D 进行变换后，行列式的值（）．(A)保持不变；(B)可以变成任何值；(C)保持不为零；(D)保持相同的正负号．答案：C二、填空题1.ab ba log 11log = . 解析：0111log log log 11log =-=-=ab abb a ba . 2.6cos3sin6sin3cosππππ= . 解析：02cos 6sin 3sin 6cos 3cos 6 cos 3sin6sin3cos==-=πππππππππ3.函数x x xxx f 121312)(-=中，3x 的系数为； x x xx xx g 21112)(---=中，3x 的系数为 . 答案：-2；-2.||班级：姓名：学号：成绩：批改日期： ||第 2 页共 18 页4.n 阶行列式n D 中的n 最小值是 . 答案：1.5. 三阶行列式113420321-中第2行第1列元素的代数余子式等于 . 答案：5.6.若02182=x，则x = . 答案：2.7.在n 阶行列式ij a D =中，当i<="" =="" a="" i="" ij="" j="" l="，则D" p="" 时，),,2,1,(0n="" 答案：nn="">8.设a ,b 为实数，则当a = ,b = 时，010100=---a b b a . 解析：0)()1(1010022=+-=--=---b a ab ba a bba故0,0==b a .三、解答题1.用行列式的定义计算.(1)1100001001011010；解：原式=100010101)1(1010000011)1(14121++-?+-?||班级：姓名：学号：成绩：批改日期： || 第 3 页共 18 页110010100-=--=(2)000000h g f e d c b a . 原式=000000gf e d b hf e dc a - =00000g f bd hf df e c a +-=bdfg adfh -2. 设行列式λλλ01010101-=D , 3512321132=D ,若21D D =,求λ的值.解：由对角线法则，得()()0,11221=-+=D D λλ若21D D =,则()()0112=-+λλ于是1-=λ或1.四、证明题1.（略）行列式的性质一、选择题1．设行列式x x xD 0101011-=, 1133512322=D ,若21D D =,则x 的取值为 ( ).(A)2，-1； (B)1，-1； (C)0，2； (D)0，1．答案：B2．若3333231232221131211==a a a a a a a a a D ，||班级：姓名：学号：成绩：批改日期： ||第 4 页共 18 页则3332333123222321131213111525252a a a a a a a a a a a a D +++==（）． (A)30； (B) -30； (C)6； (D)-6．答案：C二、填空题1．若三阶行列式D 的第一行元素分别是1,2,0,第三行元素的余子式分别是8，x ，19，则x = . 解析：1820190,4x x ?-+?==. 2．2016201420182016 = .解析：4202220162014222016201420182016===.3.行列式cb dc a bcb aD =，则312111A A A ++= . 解析：312111A A A ++0111==cb c acb .4.行列式xx x x x D 31213231232154-=的展开式中，4 x 的系数为；3x 的系数为 .解析：xx x xx x x x x x D 312131232321531213231232154--=-=xx x x 3121312512585103215---= 含4x ，3x 的项仅有主对角线上元素之积项，故4x ，3 x 的||班级：姓名：学号：成绩：批改日期： || 第 5 页共 18 页系数分别为15，-3.三、解答题1.计算下列行列式 .(1)3214214314324321；解：各行加到第一行，得原式=32142143143211111032142143143210101010= =160400004001210111110123012101210111110=---=------.(2)4444333322225432154321543215432111111；解：原式=(5-4)(5-3)(5-2)(5-1)(4-3)(4-2)(4-1)(3-2)(3-1) =288.(3)49362516362516925169416941；原式=02222222297531694113119711975975316941==.||班级：姓名：学号：成绩：批改日期： || 第 6 页共 18 页(4)000000xy y x y x x y ；原式=xy x yx x xyy y xy 0000000-- =22222)(y x xyyx x x y y x y --=-. (5)xy z zx y yz x111；原式=)(0)(01x z y x z x y z x y yzx------ =))()((11))((x z z y y x yzx z x y ---=---.(6)200012000000130012000101--；原式=31012010140131201014200001301201012---=--=-- =2031124=---.(7)43211111111111111111x x x x ++++；||班级：姓名：学号：成绩：批改日期： || 第 7 页共 18 页解：原式=432111110010011x x x x x x x ---+ =43121100000001x x x x x x x x x x x x x ---++++ =3214214314324321x x x x x x x x x x x x x x x x ++++.2.设4322321143113151-=D ，计算44434241A A A A +++的值. 其中)4,3,2,1(4=j A j 是D 的代数余子式.解：44434241A A A A +++61111321143113151=-=. 3. 已知1142113110111253------=D ,求41312111M M M M +++.解：41312111M M M M +++=41312111)1(1)1(1M M M M --?+--?=1141113*********-------=0.4.计算下列n 阶行列式.||班级：姓名：学号：成绩：批改日期： ||第 8 页共 18 页(1)2111解：原式=211121111 +++n n n =2 11121111)1( +n=110010111)1(+=+n n .(2)xy yyy x y yy y x yy y y x；解：原式=[]xy y yy x y yy y x yy n x1111)1(-+ =[]yx y x y x y n x ----+ 00000001111)1(=[]1)()1(---+n y x y n x .(3)),,2,1,0(0100101111021n i x x x x i n=≠.||班级：姓名：学号：成绩：批改日期： || 第 9 页共 18 页解：原式=nni ix x x x00000011101211∑=- =)1(121∑=-ni in x x x x .四、证明题1.设a ,b ,c 是互异的实数，证明0111333=c b a c b a的充分必要条件是a+b+c=0.证明：33333333001111a c ab a ac a b a c b ac ba----= =3333a c ab ac ab ----=222211))((a ac c a ab b a c a b ++++--=))()((22ab ac b c a c a b -+--- =))()()((c b a b c a c a b ++---=0,由于a ,b ,c 是互异的实数，故要上式成立，当且仅当a+b+c=0.2.证明4+2324323631063a b c d a a b a b c a b c da a ab a bc a b cd a a b a b c a b c d +++++=++++++++++++ 证明：左边43322102320363a b c d r r a a b a b cr r a a b a b c r r a a b a b c-+++-+++-+++433210002003a b c d r r a a b a b ca ab r r a a b-++++-+4430002000a b c d a a b a b cr r a a a b a+++-=+||班级：姓名：学号：成绩：批改日期： ||第 10 页共 18 页=右边克莱姆法则一、选择题1．方程组=++=++=++1,1,1321321321x x x x x x x x x λλλ, 有唯一解,则( ).(A)1-≠λ且2-≠λ；(B) 1≠λ且2-≠λ；(C) 1≠λ且2≠λ； (D) 1-≠λ且2≠λ．解析：由克莱姆法则，当0)1)(2(1111112≠-+=λλλλλ，即1≠λ且2-≠λ，选B .2.当≠a （）时，方程组??=+-=++=+02,02,0z y ax z ax x z ax 只有零解. (A) -1 ；(B) 0 ；(C) -2 ；(D) 2. 解析：由克莱姆法则，当0)2(212012100121210≠-=--=-a a a a a a 即2≠a ，选D .三、解答题1.用克莱姆法则下列解方程组.(1)??=+-=+-=-+;32,322,22z y x z y x z y x解： 03112221121≠=---=D ，由克莱姆法则知，此方程组有唯一解，132231221=---=D ，||班级：姓名：学号：成绩：批改日期： ||第 11 页共 18 页61322311212=-=D ，93323312213==D ，因此方程组的解为11==D D x ,22==D Dy ，33==DD z .(2)..23342,223,3232,124321432143214321=-++=+++=+-+=-++x x x x x x x x x x x x x x x x 解：043 342123121321121≠=---=D由克莱姆法则知，此方程组有唯一解，833421232213311211=---=D ， 233221221213211112-=---=D ,23241231233211213=--=D ,223422231313211214=-=D . 因此方程组的解为211==D D x ,2122-==D D x ，2133==D D x ,2 144==D D x . 2.判断线性方程组=-+=+-=-+0285,042,022321321321x x x x x x x x x 是否有非零解？解：因为系数行列式285122421285421122----=---=D||班级：姓名：学号：成绩：批改日期： || 第 12 页共 18 页=030596042122180960421≠-=--=----, 所以，方程组只有零解.3.已知齐次线性方程组=+-=++=-+02,0,0321321321x x x x x kx x kx x 有非零解，求k 的值.解：因为齐次线性方程组有非零解，所以该方程组的系数行列式必为零，即32101101111211112k k k kk k --+--=-- =)21)(1()1(32k k k +++- =0)4)(1(=-+k k 解得，k =-1或k =4.4.当μ取何值时，齐次线性方程组=--+-=-+-=-++0)1(02)3(0)1(42321321321x x x x x x x x x μμμ有非零解？解：由齐次线性方程组有非零解的条件可知，0111213142=------μμμ,解得3,2,0=μ.第一章综合练习一、判断题1. n 阶行列式n D 中的n 最小为2.( ╳ )2. 在n 阶行列式ij a D =中元素),2,1,(L =j i a ij 均为整数，则D 必为整数.( √ )||班级：姓名：学号：成绩：批改日期： ||第 13 页共 18 页3.413223144433221144413332232214110000000a a a a a a a a a a a a a a a a -=.( ╳ ) 二、选择题1.若11131--+=x x x D ，211122-+=x x D ，则1D 与2D 的大小关系是( ).(A)21D D <； (B)21D D >；(C)21D D =；(D)随x 值变化而变化. 答案：C2.行列式{})2,1,1,,,(-∈d c b a dc ba 的所有可能值中，最大的是( ).(A) 0； (B)2； (C)4； (D)6. 答案：D三、填空题1.?40cos 20sin 40sin 20cos = .解析：-??=?40sin 20sin 40cos 20cos 40cos 20sin 40sin 20cos2160cos ==. 2.若y y x x y x -=-1122,则x+y = . 解析：由y y x x y x -=-1122，得xy y x 222-=+ 即0)(2=+y x ，从而x+y =0. 3.已知111,0112==yx x ，则y = . 解析：由111,0112==yx x ,得x =2,x -y =1,从而y =1||班级：姓名：学号：成绩：批改日期： ||第 14 页共 18 页4. 若222222222642531C c B b A a c b a ++=,则2C 化简后的结果等于 . 解析：242312=-=C . 5.设xx x x x x f 111123111212)(-=，则4x 的系数为；3系数为 .解析：当f (x )的主对角线的4个元素相乘才能得出4x ，系数为2；含3x 的项只能是44332112,,,a a a a 的乘积，系数为-1. 答案：2，-1.6.设0123411222641232211154321=D ,则(1)333231A A A ++= ；(2)3534A A + ；（3）5554535251A A A A A ++++ . 解析：0)(23534333231=++++A A A A A 0)()(23534333231=++++A A A A A 于是0333231=++A A A ，03534=+A A .5554535251A A A A A ++++1111111222641232211154321=||班级：姓名：学号：成绩：批改日期： ||第 15 页共 18 页01111133333641232211154321==. 即0555*******=++++A A A A A .四、解答题1.计算下列行列式.(1)4434433323134232221241312111y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x ++++++++++++++++；解：原式=14131214141312131413121214131211y y y y y y y x y y y y y y y x y y y y y y y x y y y y y y y x ---+---+---+---+=000000000014131214131211=------+x x x x x x y y y y y y y x .(2)43211111111111111111x x x x ++++；解：原式=432111110010011x x x x x x x ---+=432111413121100000001x x x x x x x x x x x x x ---++++ =3214214314324321x x x x x x x x x x x x x x x x ++++. ||班级：姓名：学号：成绩：批改日期： ||第 16 页共 18 页(3)2007000002006000200500020001000.解：原式=!2006)1(2007220052006?-?=!2007-2.已知123452221127312451112243150D ==, 求(1)434241A A A ++；(2)4544A A +. 解：27)(21114544434241=++?+?+?A A A A A0)()(24544434241=++++A A A A A得9434241-=++A A A ,184544=+A A . 3.计算下列n 阶行列式.(1)nn n n n n n D222333222111=；解：（利用范德蒙行列式计算）1122133321111!--==n n n Tn n n n n D D[])1()2()24)(23)(1()13)(12(!--------=n n n n n !2)!2()!1(! --=n n n .||班级：姓名：学号：成绩：批改日期： ||第 17 页共 18 页(2)211121112 ；解：原式=211121111 +++n n n =2121111)1( +n=110010111)1(+=+n n .(3)mx x x x m x x x x mx D n n n n ---=212121解：将第2列，L ，第n 列分别加到第一列，并提取第一列的公因子，得mx x mx x x x m x m x x x x x m x x x D n n n n n n n --+++--+++-+++=221221221mx x x m x x x m x x x n n n n ---+++=22221111(mm m x x x n ---+++= 0101001)(21121))((---+++=n n m m x x x||班级：姓名：学号：成绩：批改日期： || 第 18 页共 18 页(4)nn n n n a a a a a a b b b b b D 1322113210000000-----=（其中n i a i ,,2,1,0 =≠）解： 122110000000)1(-+----=n nnn a a a a b D122211221000000------+n n n n n a a a a a b b b b a 121-+?=n n nnn D a a b a a a==∑=n i i in a b a a a 121 . 三、证明题1.试证：如果n 次多项式n n x a x a a x f +++= 10)(对n+1个不同的x 值都是零，则此多项式恒等于零.(提示：用范德蒙行列式证明)。
行列式典型例题
第二讲 行列式综合训练第一部分例2.1 计算行列式，其中对角线上元素都是a ，未写出的元素都是零．n D =11aa解 这道题可以用多种方法进行求解，充分应用了行列式的各种性质． 方法1 利用性质，将行列式化为上三角行列式．n D 11c nc a-⋅=101a aaa-=11()n a a a--=n a -2n a - 方法2 仍然是利用性质，将行列式化为上三角行列式．n D n 1r r -=111a aa --1nc c +=111a aa +-=na -2n a-方法3 利用展开定理，将行列式化成对角行列式．n D 1c 展开=1n aaa -+11001(1)0n n a a +--而 11001(1)0n n a a+--最后列展开=21(1)n +-2n aa -=2n a--n D =1n a a -⋅-2n a -=n a -2n a -方法4 利用公式A O OB=A B ．将最后一行逐行换到第2行，共换了2n -次；将最后一列逐列换到第2列，也共换了2n -次．n D =2(2)(1)n --11a aa=11a a2n aa -=na -2n a-方法5 利用公式A O OB=A B ．例2.2 计算n 阶行列式：11212212n n n n na b a a a a b a D a a a b ++=+ (120n b b b ≠)解 采用升阶（或加边）法．该行列式的各行含有共同的元素12,,,n a a a ，可在保持原行列式值不变的情况下，增加一行一列，适当选择所增行（或列）的元素，使得下一步化简后出现大量的零元素．1211212212100n n n n n na a a ab a a D a a b a a a a b +=++升阶213111n r r r r r r +---=121211001010n na a ab b b --- 1112,,1jj c c b j n -+=+=111211121000000000n na a a a ab b b b b +++=1121(1)nn na ab b b b b +++这个题的特殊情形是121212n n n n a x a a a a x a D a a a x++=+=11()nn i i xx a -=+∑可作为公式记下来．例2.3 计算n 阶行列式：12111111111n na a Da ++=+其中120n a a a ≠．解 这道题有多种解法． 方法1 化为上三角行列式nD 12,,i r r i n-==1121111na a a a a +--112,,j ja c c a j n+==21100nb a a其中11211n i i b a a a ==++∑1111ni i a a =⎛⎫=+ ⎪⎝⎭∑，于是n D 12111nn i i a a a a =⎛⎫=+ ⎪⎝⎭∑．方法2 升阶（或加边）法121111011101110111n naD a a +=++升阶12,3,,1i r r i n -=+=121111100101na a a --- 11111121,2,,1121111111j jni jc c a nn j n i i na a a a a a a a +=+=-=+⎛⎫==+⎪⎝⎭∑∑方法3 递推法．将n D 改写为1211101110111n na a D a ++++=+n=按c 拆开12111111111a a +++1211011011na a a ++由于12111111111a a ++1,,1i n r r i n -=-=12111a a 121n a a a -=1211011011na a a ++n =按c 展开1n n a D -因此n D =1n n a D -121n a a a -+为递推公式，而111D a =+，于是n D =1n n a D -121n a a a -+=12n a a a 11211n n n D a a a a --⎛⎫+ ⎪⎝⎭=12n a a a 2122111n n n n D a a a a a ---⎛⎫++ ⎪⎝⎭==12n a a a 11211n D a a a ⎛⎫+++⎪⎝⎭=12n a a a 121111n a a a ⎛⎫++++⎪⎝⎭例２.4 设343123211211)(------=x x x x x x x f ，证明存在),1,0(∈ζ使0)(='ζf . 证 因为()f x 是关于x 的二次多项式多项式,在[]1,0上连续,(0,1)内可导,且0331221111)0(=------=f ,101(1)1110121f =-=-由罗尔定理知,存在)1,0(∈ζ,使0)(='ζf .例2.5 计算D =222244441111ab c d a b c d a b c d ． 解 这不是范得蒙行列式，但可借助求解范得蒙行列式进行求解．方法1 借助于求解范得蒙行列式的技巧进行求解：从下向上，逐行操作．D 2433221r a r r ar r ar ---=222222222111100()()()0()()()b ac ad ab b ac c ad d a b b a c c a d d a ---------1c 展开=()()()b ac ad a ---222111()()()b c d b b a c c a d d a +++ 3r 拆开=()()()b a c a d a ---（333111bc d b c d +222111a b c d b c d ）其中333111b cd b c d 23221r b r r br --=222211100()()c bd b c c b d d b ---- =()()c bd b --11()()c c bd d b ++=()()c b d b --[()()]d d b c c b +-+由于222111bcd b c d 是范德蒙行列式，故222111b c d b c d =()()()c b d b d c --- D =()a b c d +++()()()b a c a d a ---()()()c b d b d c --- 方法2 D 213141c c c c c c ---=222222244444441000ab ac ad aa b a c a d a a b a c a d a --------- 1r 展开=()()()b ac ad a ---222222111()()()()()()b ac ad a b a b a c a c a d a d a +++++++++ 2131c c c c --=()()()b ac ad a ---221()()b a c b d b b a b a x y+--++ 1c 展开=()()()b ac ad a ---c b d b xy--其中222()()x c b a b c ac bc ab =-+++++，222()()y d b a b c ad bd ab =-+++++D =()a b c d +++()()()b a c a d a ---()()()c b d b d c ---=()a b c d +++()()()a b a c a d ---()()()b c b d c d ---方法3 用升阶法．由于行列式中各列元素缺乏3次幂的元素，在D 中添加3次幂的一 行元素，再添加一列构成5阶范得蒙行列式：5D =22222333334444411111a b c d x a b c d x a b c d x a b c d x 5D 按第5列展开得到的是x 的4次多项式，且3x 的系数为4545(1)A D D +=-=-又利用计算范得蒙行列式的公式得5D =()()()()b a c a d a x a ----()()()c b d b x b ---()()()d c x c x d ---=()()()b a c a d a ---()()c b d b --()d c -[()()()()]x a x b x c x d ----=()()()b a c a d a ---()()c b d b --()d c -43[()]x a b c d x -++++其中3x 的系数为()()()b a c a d a ----()()c b d b --()d c -()a b c d +++由3x 的系数相等得：D =()a b c d +++()()()b a c a d a ---()()()c b d b d c --- 例2.6 设4322321143113151||-=A ，计算A 41 + A 42 + A 43 + A 44 = ? 其中A 4j (j= 1, 2, 3, 4)是|A |中元素a 4j 的代数余子式.解 直接求代数余子式的和工作量大．可将414243A A A A +++改写为4142431111A A AA ⋅+⋅+⋅+⋅，故A 41 + A 42 + A 43 + A 44 1111321143113151-=1602102310121000-==41602(1)023012+--=62100320261=-- 例2.7 求解方程:11111111()01121111(1)x f x x nx-==---解 方法1()f x 12,,i r r i n-==111100000100(2)x xn x-=---=)2()1()1(1+----n x x x n由题设知0)2()1()1()(1=+---=-n x x x x f n所以2,,1,0121-===-n x x x n 是原方程的解.方法2 由题设知,当2,,2,1,0-=n x 时,由于行列式中有两列对应元素相同,行列式值为零,因此)(x f 可写成)2()1()(+--=n x x Ax x f于是原方程0)2()1()(=+--=n x x Ax x f 的解为:2,,1,0121-===-n x x x n例2.8 计算元素为a ij = | i －j |的n 阶行列式. 解 方法1 由题设知，11a =0，121a =，1,1,n a n =-，故01110212n n n D n n --=--1,1,,2i i r r i n n --=-=11111111n ----1,,1j n c c j n +=-=1211021(1)2(1)20001n n n n n n ------=----其中第一步用的是从最后一行起，逐行减前一行．第二步用的每列加第n 列．方法2 011102120n n n D n n --=--11,2,,111111112i i r r i n n n +-=----=--12,,1001201231j c c j nn n n +=---=---=12(1)2(1)n n n ----例2.9 计算行列式221111220000000b d b d c a c a D =． 解 方法1 按第一列展开：1121120000a c D a d b b =-0000111122b d c a c d =111122b d c ab a -111122b d c a c d=（22b a -111122b d c a c d ）=（22b a -）22c d （11b a -）11c d方法2 本题也可利用拉普拉斯展开定理进行计算，选定第2、3行，有：11232311(1)a c D d b +++=-2222a c db =（11b a 11dc -）（22b a 22d c -）例2.10 计算2n D =1111nnnna b a b c d c d ，其中未写出的元素都是0．解 方法1 利用公式A O OB=A B ．采用逐行操作，将最后一行逐行和上行进行对换，直到换到第2行（作22n -次相邻对换）；最后一列逐列和上列换，换到第2列（作22n -次相邻对换），得到2n D =2(22)(1)n --1111111100000n n n n n n n n a b c d a b a b c d c d ----=2D 2(1)n D -=()n n n n a d b c -2(1)n D -=()n n n n a d b c -1111()n n n n a d b c -----2(2)n D -==()n n n n a d b c -1111()n n n n a d b c -----1111()a d b c -=1()ni i i i i a d b c =-∏方法2 利用行列式展开定理进行求解．2n D 1r 展开=11111111n n nn n na b a b a c d c d d ----+12(1)n n b +-111111110n n n n na b a b c d c d c ----上面第1个行列式是A O OB的形式，而第2个行列式按第1列展开，所以2n D =2112222(1)n n n n n n n a d D b c D -+---- =()n n n n a d b c -2(1)n D - ==1()ni i i i i a d b c =-∏例2.11 计算5100011000110001100011a a aa D a a a a a ---=------． 解 方法１ 采用递推的方法进行求解．5D 125c c c ++=1000010001100011011a a aa a a aaa-------- 1c 展开=1001100110011a a a a a a a -------+51000100()(1)110011a a a a a a aa+------- 即 51454()(1)D D a a +=+--， 41343()(1)D D a a +=+--，31232()(1)D D a a +=+--， 221D a a =-+故 234551D a a a a a =-+-+-方法2 采用降阶的方法进行求解．5D 12(1)r a r +-=2210011000110001100011a a a a a a a a a a a -+---------213(1)r a a r +-+=232301011000110001100011a a a a a a a a a a a a a-+--+--------2314(1)r a a a r +-+-=23423400111000110001100011a a a a a a a a a a a a a a a-+-+-+---------23415(1)r a a a a r +-+-+=23450001110001100011011a a a a a a a a aa a a-+-+---------1r 展开=2345514(1)(1)(1)a a a a a +-+-+-⋅--=23451a a a a a -+-+-例2.12 证明D n =121100010nn n xxa a a xa ----+=111n n n n x a x a x a --++++证 方法1 递推法 按第1列展开，有D n = x D 1-n +（－1）1+n a n11111n xxx-----= x D 1-n + a n由于D 1= x + a 1，2211x D a x a -=+，于是D n = x D 1-n + a n =x （x D 2-n +a 1-n ）+ a n =x 2D 2-n + a 1-n x + a n== x1-n D 1+ a 2x2-n + + a 1-n x + a n =111n n n n x a x a x a --++++方法2 第2列的x 倍，第3列的x 2倍， ，第n 列的x1-n 倍分别加到第1列上12c xc n D +=2112101001000n n n n x x xa xa a a xa -----++213c x c +=3212123110000100010n n n n n n x xx a xa x a a a a x a--------+++==111x fx---n r =按展开1(1)n f+-1111n xxx----=f其中111n n n n f a a x a x x --=++++或 D n21123n nc xc x c x c -++++=122110000100001n n x x fa a ax a -----+1=按c 展开1(1)n f +-1111n x xx----=11(1)(1)n n f +---=f其中111n n n n f a a x a x x --=++++方法3 利用性质，将行列式化为上三角行列式．D n21321111n n c c x c c xc c x-+++=112200000000n n nnn n nx x x a a a a a a k xx x---+++n =按c 展开x1-n k n = x1-n (1-n n x a + 21--n n x a + +x a 2+a 1+x)=111n n n n a a x a x x --++++ 方法4n r nD =按展开1(1)n na +-1000101x x ---+21(1)n n a +--000010001x x --+ +212(1)n a --1000001x x --+21(1)()n a x -+10000000x x x-=（－1）1+n （－1）1-n a n +（－1）2+n （－1）2-n a 1-n x+ +（－1）12-n （－1）a 2x2-n +（－1）n2( a 1+x) x1-n= 111n n n n a a x a x x --++++例2.13 计算n阶“三对角”行列式Dn=001000101αβαβαβαβαβαβ+++＋解 方法1 递推法．D n1=按c 展开()αβ+D 1-n —(1)0000101n αβαβαβαβ-++1=按r 展开()αβ+D 1-n －αβD 2-n即有递推关系式 D n =()αβ+D 1-n －αβD 2-n (n ≥3) 故 1n n D D α--＝12()n n D D βα---递推得到 1n n D D α--＝12()n n D D βα---＝223()n n D D βα---＝＝221()n D D βα--而1()D αβ=+，2D ＝β+α1αββ+α＝22ααββ++，代入上式得1n n n D D αβ--=1n n n D D αβ-=+ （2.1）由递推公式得1n n n D D αβ-=+＝12()n n n D ααββ--++＝α2D2-n ＋1n n αββ-+＝＝n α＋1n αβ-＋ ＋1n nαββ-+＝时＝，当时，当－－βαβα1)α(n αβαβ111≠⎪⎩⎪⎨⎧++++n n n方法2 把D n 按第1列拆成2个n 阶行列式D n =000100010001ααβαβαβαβαβ++＋＋00010001000001βαβαβαβαβαβαβαβ+++上式右端第一个行列式等于αD 1-n ，而第二个行列式00010001000001βαβαβαβαβαβαβαβ+++12,,i i c ac i n--==00010000101ββββ=βn于是得递推公式1n n n D D αβ-=+，已与（2.1）式相同．方法3 在方法1中得递推公式D n =()αβ+D 1-n －αβD 2-n又因为当αβ+时 D 1=αβ+=βαβα--2221D αβαβαβ+=+=2()αβ+-αβ=22ααββ++=βαβα--33 D 3=βααββααββα+++110=3()αβ+-2αβ()αβ+ = ()αβ+22()αβ+=βαβα--44于是猜想11n n n D αβαβ++-=-，下面用数学归纳法证明．当n=1时，等式成立，假设当n ≤k 时成立． 当n=k+1是，由递推公式得D 1+k =()αβ+D k －αβD 1-k=()αβ+βαβα--++11k k —αββαβα--k k =βαβα--++22k k所以对于n ∈N +，等式都成立．第二部分这一部分的题是与矩阵、向量、特征值等后续内容有关的题，感觉困难的同学可以放到相关内容学习后再看．但应注意考研题中关于行列式内容的出题,往往与后续内容联系较多．例2.14 设A 为3×3矩阵, |A | =－2, 把A 按行分块为123A A A A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭, 其中(1,2,3)i A i =是A 的第i 行, 则行列式312122A A A A -=______.解312122A A A A -=312122A A A A -=3212A A A =12322||4A A A A -=-=例2.15 判断题(1) 若B A ，是可乘矩阵，则=AB B A ． （ ） (2) 若B A ，均为n 阶方阵，则A B A B -=-． （ ）解 (1) 错误，因为B A ，不一定是方阵，即不一定有对应的行列式．(2) 错误，例如取3003A ⎛⎫= ⎪⎝⎭，2002B ⎛⎫= ⎪⎝⎭，15A B A B -=≠-=．例2.16 证明:奇数阶反对称矩阵的行列式为零.证 ||||)1(||||||,A A A A A A A n T T -=-=-==-=(n 为奇数). 所以|A | = 0.例2.17 （数四，01，3分）设矩阵111111111111kk A k k ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，且秩()R A =3，则k = 解 由于111111111111k k A k k =124r r r ++=3333111111111k k k k k k k++++=1111111(3)111111k k k k +=11110100(3)00100001k k k k -+-- =3(3)(1)k k +-由()R A =3，知A =0，而1k =时，()R A =1，故必有3k =-．例2.18 若B A ，，C 均为3阶可逆方阵，1-=A ，2=B ，计算C B A C T 211)(2--．解 C B A C T 211)(2--=23112T C A BC -- =223112TC A BC-=22312A B=2例2.19 设3阶方阵B A ，满足方程 E B A B A =--2，试求矩阵B 以及行列式B ，其中101020201A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭． 解 由E B A B A =--2，得E A B E A +=-)(2，即 ()()A E A E B A E +-=+由于 201030202A E ⎛⎫⎪+= ⎪ ⎪-⎝⎭，180A E +=≠ 001010200A E ⎛⎫ ⎪-= ⎪ ⎪-⎝⎭，20A E -=≠ 111()()()()B A E A E A E A E ---=-++=-1001001/2010010200100--⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪== ⎪ ⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭所以2/1||=B ．例2.20 设A 为3阶方阵，A =2，求1*1()32A A --的值． 解 方法1 化为关于*A 的形式进行计算．利用公式111()A A λλ--=，*1A A A-=，1n A A -*=有1*1()32A A --=1*23A A --=**23A A A -=**3A A -=*2A -=3*(2)A -=23(2)A -=32-方法2 化为关于1A -的形式计算． 利用公式111()A A λλ--=，*1A A A -=，1A -=1A，有 1*1()32A A --=1123A A A ---=14A --=3(4)-1A=32- 例2.21 （数四，98，3分）设B A ，均为n 阶方阵，A =2，B =-3，求1*2-B A 的值．解 1*2-BA =1*2-BA n =n21-n AB1⋅=n 212-n 31-=3212--n 例 2.22 若21321,,,,ββααα都是4维列向量，且4阶行列式n =3221,,,αβαα，m =1321,,,βααα，计算4阶行列式32112,,,αααββ+的值．解 如果行列式的列向量组为n ααα,,,21 ，则此行列式可表示为n ααα,,,21 ，利用行列式的性质，有=+21123,,,ββααα3211,,,αααβ+3212,,,αααβ=1231,,,αααβ--3221,,,ααβα=1231,,,αααβ-+1223,,,ααβα=n m -例2.23 计算行列式OB AO B A ，，||||，其中12112(1)121121n n x n x n A x n n x n n -+⎛⎫⎪-+ ⎪⎪=⎪+- ⎪ ⎪+-⎝⎭， 100002000010000B n n ⎛⎫⎪ ⎪⎪=⎪- ⎪ ⎪⎝⎭ 解 ||A =12112(1)121121n n x n x nx n nx n n-+-++-+-12,,12100000ir ri nn n x x x x x x x-=-+-=--1,,1n j c c j n +=-=(1)12120000000n n n x x x x +-+这是逆对角的上三角行列式，所以(1)12(1)(1)()2n n n n n A x x --+=-+ 又!||n B =，故12)1(!)2)1(()1(2-+-++-=n n n n x n x n n O B A O ．注 这里用了公式：若A 为m 阶方阵，B 为n 阶方阵，则O AB O=(1)mn -A B ．例2.24 若A 为n 阶方阵，E 为单位矩阵，满足TAA E =，0A <，求 A E +． 解 方法1 由TAA E =有A E +=T A AA +=()T A E A +=()T A E A +=A ()TE A +=A E A +=A A E +即(1)A -A E +=0，而(1)A -0>，所以A E +=0．方法2 因为 ()T A E A +=T T AA A +=TE A +=A E +即 A E +A =A E +有(1)A -A E +=0，而(1)A -0>，所以A E +=0．方法 3 由TAA E =知矩阵A 为正交矩阵，即T AA =1，2A =1，又因为0A <，所以有1A =-，故A E +=A 1E A -+=T E A -+=E A -+即2A E +=0，A E +=0．例2.25 若A 为n 阶正定矩阵，E 为n 阶单位矩阵，证明A E +的行列式大于1． 证 方法1 因为A 为正定矩阵，因此所有的特征值大于零．设A 的n 个特征值为1,1,2,,i i n λ==，且0i λ>，由特征值的性质知，A E +的n 个特征值为1,1,2,,i i n λ+=，于是1(1)(1)1n λλ++>．方法2 因为正定矩阵是对称矩阵，因此A 可对角阵，且所有的特征值大于零，故存在可逆阵P 有11n P AP λλ-⎛⎫⎪=⎪⎪⎝⎭ （0,1,2,,i i n λ>=）即 11n A P P λλ-⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭111n A E P P PP λλ--⎛⎫ ⎪+=+⎪ ⎪⎝⎭=1111n P P λλ-+⎛⎫⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭A E +=1111n PP λλ-++=1(1)(1)1n λλ++>例2.26 设11112222aa A nn n n a +⎛⎫⎪+⎪= ⎪⎪+⎝⎭，求A解 利用特征值法进行求解，即利用公式12n A λλλ=．11112222aa A nn n n a +⎛⎫ ⎪+⎪= ⎪⎪+⎝⎭=100000000a ⎛⎫⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭+11112222a nn n n a ⎛⎫ ⎪+ ⎪ ⎪⎪+⎝⎭==11112222aE n n nn ⎛⎫ ⎪⎪+ ⎪⎪⎝⎭矩阵11112222n n n n⎛⎫⎪⎪⎪⎪⎝⎭的秩为1，由第十三讲的注意（7）知它特征值为11122nna a aλ=++=(1)2n n+，23nλλλ====0所以A特征值为(1),,,2n na a a++，故A=1(1)[]2nn na a-++．21。
线性代数行列式经典例题22998
线性代数行列式经典例题例1计算元素为a ij = | i －j |的n 阶行列式.解 方法1 由题设知，11a =0，121a =，1,1,n a n =-L L ，故011102120n n nD n n --=--L L MOL1,1,,2i i r r i n n --=-=L 011111111n ----L L M O L1,,1j n c c j n +=-=L 1211021(1)2(1)0201n n n n n n ------=----L L L L M O O L M L其中第一步用的是从最后一行起，逐行减前一行．第二步用的每列加第n 列．方法2 011102120n n n D n n --=--L L M OL11,2,,1111111120i i r r i n n n +-=----=--L L L MOL12,,1001201231j c c j nn n n +=---=---L L L MOL=12(1)2(1)n n n ----例2. 设a , b , c 是互异的实数, 证明:的充要条件是a + b + c =0. 证明: 考察德蒙行列式:=行列式 即为y 2前的系数. 于是 =所以 的充要条件是a + b + c = 0.例3计算D n =121100010n n n x x a a a x a ----+K K M M M M K解： 方法1 递推法 按第1列展开，有D n = x D 1-n +（－1）1+n a n 11111n x xx-----O O= x D 1-n + a n由于D 1= x + a 1，2211x D a x a -=+，于是D n = x D 1-n + a n =x （x D 2-n +a 1-n ）+ a n =x 2D 2-n + a 1-n x + a n =L = x 1-n D 1+ a 2x 2-n +K + a 1-n x + a n =111n n n n x a x a x a --++++L方法2 第2列的x 倍，第3列的x 2倍，K ，第n 列的x1-n 倍分别加到第1列上12c xc n D += 21121010010000n n n n x x xa xa a a x a -----++K K K M M M M K213c x c +=32121231010*********n n n n n n x x x a xa x a a a a x a --------+++K K KMMMM MK=L L =111x fx---OO On r =按展开1(1)n f+-1111n x xx----OO =111n n n n x a x a x a --++++L方法3 利用性质，将行列式化为上三角行列式．D n21321111n n c c x c c x c c x-+++=L1122000000000n n nnn n nx x x a a a a a a k x x x ---+++KK KM M M M Kn =按c 展开x 1-n k n = x 1-n (1-n n xa + 21--n n x a +K +x a 2+a 1+x) =111n nn n a a x a x x --++++L方法4 n r nD =按展开1(1)n na +-1000100001x x ---K K M M M M K+21(1)n n a +--0000101x x --K K M M M M K+K +212(1)n a --10000001x x --K K M M M M K+21(1)()na x -+10000000x x x-K K M M M M L=（－1）1+n （－1）1-n a n +（－1）2+n （－1）2-n a 1-n x+K +（－1）12-n （－1）a 2x2-n +（－1）n2( a 1+x) x1-n= 111n nn n a a x a x x --++++L例4． 计算n 阶行列式：11212212n n n n na b a a a a b a D a a a b ++=+L L M M M L(120n b b b ≠L )解 采用升阶（或加边）法．该行列式的各行含有共同的元素12,,,n a a a L ，可在保持原行列式值不变的情况下，增加一行一列，适当选择所增行（或列）的元素，使得下一步化简后出现大量的零元素．12112122121000n n n n n na a a ab a a D a a b a a a a b +=++L L L M M M M L升阶213111n r r r r r r +---=L 12121100100100n na a ab b b ---L L L M M M M L1112,,1j j c c b j n -+=+=L 1112111210000000n na a a a ab b b b b +++L L LL M M M M L=1121(1)n n na ab b b b b +++L L 这个题的特殊情形是121212n n n n a x a a a a x a D a a a x++=+LL M M M L=11()nn i i xx a -=+∑可作为公式记下来．例5．计算n 阶“三对角”行列式D n =00100010001αβαβαβαβαβαβ+++K K KM M M MMK＋ 解 方法1 递推法．D n1=按c 展开()αβ+D 1-n —(1)000010001n αβαβαβαβ-++K K M M M M M K1=按r 展开()αβ+D 1-n －αβD 2-n即有递推关系式 D n =()αβ+D 1-n －αβD 2-n (n ≥3) 故 1n n D D α--＝12()n n D D βα---递推得到 1n n D D α--＝12()n n D D βα---＝223()n n D D βα---＝L ＝221()n D D βα--而1()D αβ=+，2D ＝β+α1αββ+α＝22ααββ++，代入得1n n n D D αβ--=1n n n D D αβ-=+ （2.1）由递推公式得1n n n D D αβ-=+＝12()n n n D ααββ--++＝α2D2-n ＋1n n αββ-+＝L＝nα＋1n αβ-＋K ＋1n n αββ-+＝时＝，当时，当－－βαβα1)α(n αβαβ111≠⎪⎩⎪⎨⎧++++n n n方法2 把D n 按第1列拆成2个n 阶行列式D n =00010010001ααβαβαβαβαβ++K K KM M M MMK＋＋00100010000001βαβαβαβαβαβαβαβ+++K K KM M M MMK K上式右端第一个行列式等于αD 1-n ，而第二个行列式00100010000001βαβαβαβαβαβαβαβ+++K K KM M M MMK K12,,i i c ac i n--==L 000010000100001ββββK K KM M M M M K=βn 于是得递推公式1nn n D D αβ-=+，已与（2.1）式相同．方法3 在方法1中得递推公式D n =()αβ+D 1-n －αβD 2-n又因为当αβ+时 D 1=αβ+=βαβα--2221D αβαβαβ+=+=2()αβ+-αβ=22ααββ++=βαβα--33D 3=βααββααββα+++110=3()αβ+-2αβ()αβ+ = ()αβ+22()αβ+=βαβα--44于是猜想11n n n D αβαβ++-=-，下面用数学归纳法证明．当n=1时，等式成立，假设当n ≤k 时成立． 当n=k+1是，由递推公式得D 1+k =()αβ+D k －αβD 1-k=()αβ+βαβα--++11k k —αββαβα--k k =βαβα--++22k k所以对于n ∈N +，等式都成立例6． 计算n 阶行列式：12111111111n na a D a ++=+LL M M M L其中120n a a a ≠L ．解 这道题有多种解法． 方法1 化为上三角行列式nD 12,,i r r i n-==L 1121111n a a a a a +--L M O112,,j ja c c a j n+==L 21100nb a a L M O其中11211ni i b a a a ==++∑1111n i i a a =⎛⎫=+ ⎪⎝⎭∑，于是n D 12111nn i i a a a a =⎛⎫=+ ⎪⎝⎭∑L ． 方法2 升阶（或加边）法12111101*********1n na D a a +=++L L L M M M M L升阶12,3,,1i r r i n -=+=L 121111100100100na a a ---L L L M M M M L11111121,2,,1121111111j jni jc c a nn j n i i na a a a a a a a +=+=-=+⎛⎫==+ ⎪⎝⎭∑∑L LL O方法3 递推法．将n D 改写为1211101110111n na a D a ++++=+LL M M M Ln =按c 拆开12111111111a a ++L L M M M L+1211011011na a a ++L L M M M L由于12111111111a a ++L L M M M L1,,1i n r r i n -=-=L 12111a a L121n a a a -=L1211011011na a a ++L L M M M Ln =按c 展开1n n a D -因此n D =1n n a D -121n a a a -+L 为递推公式，而111D a =+，于是n D =1n n a D -121n a a a -+L =12n a a a L 11211n n n D a a a a --⎛⎫+ ⎪⎝⎭L=12n a a a L 2122111n n n n D a a a a a ---⎛⎫++⎪⎝⎭L =L L=12n a a a L 11211n D a a a ⎛⎫+++⎪⎝⎭L =12n a a a L 121111n a a a ⎛⎫++++ ⎪⎝⎭L。
线性代数行列式习题+答案
第一章习题1-1．计算下列行列式（1）713501163.（2）4321651005311021.（3）222111ab c a b c . （4）2010411063143211111.（5）49362516362516925169416941.1-2．计算行列式abcdb a dc cd a b d c b a.1-3．计算n 阶行列式（1）n321332122211111.（2）14321432113213121321n nnn nn n n---.（3）21111121111211112------． 1-4． 证明：（1）2221112222221111112c b a c b a c b a b a a c c b b a a c c b b a a c cb =+++++++++.（2）321321321332321332321332321c c c b b b a a a c mc c lc kc c b mb b lb kb b a ma a la ka a =+++++++++.（3）222244441111a b c d a b c d a b c d ()()()()()()()b a c a d a c b d b d c a b c d =------+++.1-5．计算行列式xyy x y x y x 0000000000.1-6．计算4阶行列式112233440000000a b a b b a b a . 1-7． 如果行列式∆=nnn n nna a a a a a a a a212222111211，试用∆表示行列式nnn n n nn a a a a a a a a a a a a 11211213323122221的值． 1-8．利用克莱姆法则解线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-+-=+-=--=+-+067452296385243214324214321x x x x x x x x x x x x x x . 1-9. 问λ取何值时，齐次线性方程组可能有非零解？12120x x x x λλ+=⎧⎨+=⎩ 1-10.已知()413571200=10301004ij D a =，求11121314A A A A +++.第一章习题解答1-1．计算下列行列式（1）713501163（2）4321651005311021（3）2010411063143211111（4）49362516362516925169416941（5）222111a b c a b c .(1)解一 由三阶行列式定义得71350116330765311110335161709010154234.=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯=++---=解二2331123361105105105361056317317018r r r r r r --↔==--23325105105018018340560034r r r r ↔-=-=-=-.(2)解213241120112011201135001510151015601560007123400330033r r r r r r -----==34120101512100330007r r ↔-==.(3)解43433232211111111111111234012301231361001360013141020014100014r r r r r r r r r r -----==4311110123100130001r r -==.(4)解43433232211491614916149164916253579357909162536579112222162536497911132222r r r r r r r r r r -----===.(5)解 222111()()()ab c c b c a b a a b c =---. 1-2．计算行列式abcdb a dc cd a b d c b a.解12341111()r r r r ab c d b a d c b a d c a b c d c d a b c d a bdcba dcba+++=+++41322110()c c c c c c b a bd a c b a b c d c d c a d b c dc db ca d------=+++------()a b d ac b a b cd d c a db c c db ca d---=+++------ 3221()000r r r r a b d a c b a b c d a b c da b c da b c d++---=+++--++--+--21()()(1)d a c b a b c d a b c d a b c da b c d+--=+++--+-+--+--[]()()()()()()()()().a b c d a b c d a b c d d a c b a b c d a b c d a b c d a b c d =-+++--++-----=+++--++---+-1-3．计算n 阶行列式（1）n321332122211111.（2）143214321132********n nn n nn n n---.（3）21111121111211112------．(1)解 1122111111111122201111123300111230001n n n n r r r r r r n------==. (2)解12123112312131113123111311(1)22341134123411341nc c c n n n n n n n n n n n n n n n n n n+++------+=2131112310100001200(1)2112001111n r r r r r r n n n n n n------+=--10001200(1)113021111n n n--+=--1(1)!(1).2n n -+=-(3)解 21111111112111021111211012111111210112n D +--+==---+-----+--, 按第一列展开成两个行列式得111111111211021111210121111112112n D -=+--------213111111032200320003n nr r r r r r n D +++-=+ 112122122333333n n n n n n n D D D -------=+=++=++++12212221333333512n n n n ----=++++=++++-12213313333111132n n n n ---+=++++++=+=-.1-4． 证明：（1）2221112222221111112c b a c b a c b a b a a c c b b a a c c b b a a c cb =+++++++++.证11111111111111112222222222222222b cc a a b b c a a b c c a a b b c c a a b b c a a b c c a a b b c c a a b b c a a b c c a a b ++++++++++=++++++++++++左= 1111111122222222b c a a c a a b b c a a c a a b b c a a c a a b ++=+++++111111222222bc a c a b b c a c a b b c a c a b =+1112222a b c a b c a b c ==右. （2）321321321332321332321332321c c c b b b a a a c mc c lc kc c b mb b lb kb b a ma a la ka a =+++++++++. 证 1323123233122312323312231232331223c lc c mc a ka la a ma a a ka a a b kb lb b mb b b kb b b c kc lc c mc c c kc c c --+++++++=+++++左=12123123123c kc a a a b b b c c c -==右. （3）222244441111a b c d abcda b c d ()()()()()()()b a c a d a c b d b d c a b c d =------+++.证 243322122224444222222222111111110=()()()0()()()r a r r ar r ar a b c d b a c a d a a b c d b b a c c a d d a a b c d b b a c c a d d a ------=------左222222222()()()()()()b ac ad a b b a c c a d d a b b a c c a d d a ---=------222111()()()()()()b ac ad a bcdb b ac c ad d a =---+++21222111()()()()()()r ar b a c a d a b ac ad ab b ac c ad d a +=---++++++23121()2222111()()()00()()()()r b r r b a r b a c a d a c bd bc b c ad b d a --+=------+-+2222()()()()()()()c bd bb ac ad a c b c a d b d a --=----+-+[]222211()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()(b a c a d a c b d b c b c a d b d a b a c a d a c b d b d b d a c b c a b a c a d a c b d b d ad bd ab c ac bc ab b a c a d a c b d b d ad bd c ac bc b a =-----++++=-----++-++⎡⎤=-----+++----⎣⎦⎡⎤=-----++---⎣⎦=-)()()()()()()c a d a c b d b d c a b c d -----+++=右.1-5．计算行列式xyy x y x y x 0000000000.解 记000000000n x y x y D x y y x=,当1n =时，1D x =;当2n ≥时，按第1列展开得000000000000000n x y x y x y xyD x x y xyx==100000(1)0000n y x y y y xy++-1(1)n n n x y +=+-.1-6．计算4阶行列式1122334400000000a b a b b a b a . 解11222222111413313333444400000(1)0(1)000a b a b a b a b a b a b b a b a a b b a ++=-+- 2222333114143333(1)(1)a b a b a a b b b a b a ++=⨯--⨯-()()142323142323a a a a b b bb a a b b =---14142323()()a a b b a a b b =--.1-7． 如果行列式∆=nnn n nna a a a a a a a a212222111211，试用∆表示行列式nnn n n nn a a a a a a a a a a a a 11211213323122221的值．解112212122211121313232122211121211121(1)(1)n n n n r r n r r n n r r n n n n n nn n n nnna a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ---↔↔↔--=-=-∆.1-8．利用克莱姆法则解线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-+-=+-=--=+-+067452296385243214324214321x x x x x x x x x x x x x x .解 方程组的系数行列式2151130627002121476D ---==≠--,181********52120476D ---==---，2285119061080512176D --==----，321811396270252146D --==--，4215813092702151470D --==---,方程组的解为12343,4,1,1x x x x ==-=-=.1-9. 问λ取何值时，齐次线性方程组可能有非零解？12120x x x x λλ+=⎧⎨+=⎩解 方程组的系数行列式211(1)(1)1D λλλλλ==-=+-,当1λ=或1λ=-时，0D =，方程组可能有非零解．1-10. 已知()413571200=10301004ij D a =，求11121314A A A A +++.解 1234411122341112131411111111112000200==103000301004004k c c c c k A A A A =----+++∑=-2.。
线性代数行列式经典例题22998
线性代数行列式经典例题例 1计算兀素为a ij = | i — j|的n 阶行列式解方法1由题设知， an =0,a 〔2 1 , L,a1nn 1丄故0 1L n 10 1 L n 11L n2rir 111 L1D nMOi n ,n1,L ,2MOn 1 n2 L 011 L1n 1 n L L n 12L L1C j CnM O OL ( 1)n 12* 2(n 1)j 1,L ,n 1M0 2L 01其中第一步用的是从最后一行起，逐行减前一行•第二步用的每列加第n 列.的充要条件是 a + b + c =0.证明：考察德蒙行列式=(a 一对o—1 L n 111 L 1 1 0L n 2r i r i 1 1 1 L 1 MOi 1,2,L ,n 1M On 1n 2 Ln 1n 2 L方法2 D n10 L 0 Cj G 12 L0 j 2,L ,nM On 12n 3 Ln 11)n 12n 2(n 1) =(例 2.设a , b , c 是互异的实数,证明:1 x行列式即为y 2前的系数•于是所以的充要条件是a + b + c = 0.x 10 K 0 x 1 K MM Ma na n 1a n 2K例3计算D n = 递推法按第 1 0 0 M x a i解：方法1列展开,D n = x D n 1 + (-1) a n =x D n 1+ a n 由于 D 1 = x + a 1, D 2 a 2a 1 2 1+ a n =x(x D n 2 +a n 1)+ a n =x D n 2 + n 1 n 2 a n 1x + a n = L = x D 1 + a 2 x + n n 1 + a n 1 x + a n = x a 1 x a n 1 x a n，第n 列的x n 1倍分别加到第1列上 01 0K C 1 XC 22 x x1 K D n0 0 x KMMMa n xa n 1a n 1a n 2K方法2第2列的x 倍，第3列的x 2倍, 0 0 0M x a 11 0 0 K 2C 1xC30 x 1 0K3 x 0 x 1 KMMMM2 a n xa n 1x a n 2a n 1a n 2a n 3K0 0 0 M x a 10 1x 1 O OfO按r n 展开1)n11 x 1x O Oxna 〔xa n 1x a n方法3利用性质，将行列式化为上三角行列式.1 c Gx 1c 3c2Xx 0 0x 0 0 MM0 0 x M-Cn a na n 1a na n 2a n 1按Cn 展开““ a n 1n 1 dnx k n = x ( —^7 +xa n 1 x0 0 0 M k na 2 + +a 1 +x)x按r n 展开1 方法4D n( 1)n1a nAMX0 K 0 0n 21 K0 0(1) a n1+M MM MK X 1X 1 K0 02 n0 X K0 0+ ( 1) (a 1 x)M M M M 0 0 L 0 X n 1 n=a n a n 1X L a 1X x=(-1) n 1 (- 1) n 1a n + (- 1) 0 K1 K 0+MM M0 KX1X1 K 0 0+ ( 1)2n 1a 20 X K 0 0M MM M0 K1(-1 ) n 2 a n 1X+ (-1) 2n 1(一 1) a 22 + (— 1) 2nn 1(a 1+x) xa n a n 1X L n 1 n a 1x x 例4.计算n 阶行列式: a Ea 2L a n D nqa 2b 2L a n M M Ma 1 a 2L a nb n(解 采用升阶（或加边）法.该行列式的各行含有共同的元素bbL b n 0)a 1,a 2,L , a * ,可在保持原行列式值不变的情况下，增加一行一列，适当选择所增行（或列）的元素，使得下一步化 简后出现大量的零元素.1aa 2 La n1 a 1 a2 L a n 升阶0 a 1a 2 L a n2 r 13 r 11 bi 0 L 0 D n0 aa 2b 2 La n Lrn 1r11 0 b2 L 0 M MMMM M MMaa 2La nb n10 0Lb n彳a1La 1L1 —a 1a 2 a n 1bib 1q — C jb j i0 bi 0 L 0a 1a nj 2丄，n 1L=d b ? L b n (1Ln0 b 2 0b nMM MM0 0 Lb n例5.计算n 阶“三对角”行列式K 0 01K 0 0D n =0 1 + K 0 0M M MMM0 00 K 1解方法1递推法K 0 0按q 展开D n（)D n 1 ―1K 0M M MM MK 1(n 1)按口展开()D n 1 —D n 2即有递推关系式D n=( )D n1 — D n2(n 3)故D nD n1 =(D n 1D n 2 )可作为公式记下来.递推得到D n D n 1 = (D ni2D n 2)= ( D n 2 D n 3)a 1 x a 2D na 1 a 2 xM Ma 1 a 2L a nL a n n 1 /n =x (x ajMi 1 L an X这个题的特殊情形是n 2八=L= (D 2 D i )方法3在方法1中得递推公式D n = () D n 1 — Dn 22 2又因为当时 D 1= = ------------D nD n1n(2.1)由递推公式得D n D n 1 0 = ( D n 2n1)n2 .=aD n 2 +n 1nD 2=(而D 1 (D 2=ap a + B代入得D nD n 1(n当a B 时 当a=B 时1K K 0 0 0 0D n = 01 +K0 0+M M MMMK1K 0 0 1K 0 0 0 1K0 0 MM MMM0 0 0 KK1K 0 0 1K 0 0 0 1K0 0 M M MMM0 0 0 KK10 0 K0 010 K0 0c aq 11K0 0 n =B i 2,L ,nM M MM M 10 0 K1n 1方法2把D n 按第1列拆成2个n 阶行列式上式右端第一个行列式等于aD n 1，而第二个行列式于是得递推公式 D n D n 1 n ，已与(2.1)式相)2n 1 n 1于是猜想D n ------------------ ，下面用数学归纳法证明. 当n=1时，等式成立，假设当 n k 时成立. 当n=k+1是，由递推公式得D k 1 = () D k — Dk 1=(所以对于n N ，等式都成立例6.计算n 阶行列式:D na n其中a n 0 .方法2升阶(或加边)法D 3 =)(=()3-2(4 4a 2解这道题有多种解法. 方法1 化为上三角行列式其中b 1i 2 3i1 a 1 1L1&1c1 丁 C jb1 L1r i r 1a 1a 2aj0 a 22,L ,nM Oj 2,L ,nMOa 1a na n1n1na 1 1于是D na 〔 a ? a n 1i 1a ia ii 1D n. i n0 0方法 由于 因此 升阶D n1c1cj 1aj1,2,L ,n 1递推法.a11r i「11 a 1 1 1 a 11 D n = a n D n 1a ja 2 M2,3,L , n 1a 10 M a 2 Ma 1a na na 2a n1 3ia 11 L 1 01 1 a2 L1 0M MM11L1 a n1 a 11 L 11 a 11 L 01 1 a 2L11 1 a2 L+MMM AM MM 1 1L111La nD n 改写为按c n 拆开L a 2 D na 2 M a^L a n 1 a 11 r i 「na 2M i 1L ，n 1111 L1L 3卫2 L L按c n 展开a n 1a n1为递推公式, a nD n 1而D 1D n =a nD n 1a 1 a 2 L a n 1=a 1a 2L a nD n 1a 1a 2La n 1D n 2=a 1a 2 L a na 1a 2L a n 2a n 1—=L L a nD1 1 1 11 1 =a〔a2 L 3n L = a〔a2 L a n 1 La1 a2 a n a1 a2 a n a〔a?。
线性代数行列式经典例题
线性代数行列式经典例题例1计算元素为a ij = | i －j |的n 阶行列式.解 方法1 由题设知,11a =0,121a =,1,1,n a n =-,故01110212n n n D n n --=--1,1,,2i i r r i n n --=-=011111111n ----1,,1j n c c j n +=-=1211021(1)2(1)21n n n n n n ------=----其中第一步用的是从最后一行起,逐行减前一行．第二步用的每列加第n列． 方法201110212n n n D n n --=--11,2,,111111112i i r r i n n n +-=----=--12,,1001201231j c c j nn n n +=---=---=12(1)2(1)n n n ---- 例2. 设a , b , c 是互异的实数, 证明:的充要条件是a + b + c =0.证明: 考察范德蒙行列式:=行列式 即为y 2前的系数. 于是=所以的充要条件是a + b + c = 0.例3计算D n =121100010nn n x xa a a xa----+解： 方法1 递推法 按第1列展开,有D n = x D 1-n +－11+n a n11111n x x x-----= x D 1-n + a n由于D 1= x + a 1,2211x D a x a -=+,于是D n = x D 1-n + a n =xx D 2-n +a 1-n + a n =x 2D 2-n + a 1-n x + a n == x1-n D 1+ a 2x2-n + + a 1-n x + a n =111n n n n x a x a x a --++++方法2 第2列的x 倍,第3列的x 2倍, ,第n 列的x1-n 倍分别加到第1列上12c xc n D +=21121010010000n n n n x x x a xa a a xa -----++213c x c += 32121231010000100010n n n n n n x xx a xa x a a a a xa--------+++==111x fx---n r =按展开1(1)n f+-1111n x xx----=111n n n n x a x a x a --++++方法3 利用性质,将行列式化为上三角行列式．D n21321111n n c c x c c xc c x-+++=112200000000n n nnn n nx x x a a a a a a k xx x---+++n =按c 展开x1-n k n = x1-n1-n n x a + 21--n n xa + +x a 2+a 1+x =111n n n n a a x a x x --++++方法4n r nD =按展开1(1)n na +-10001001x x---+21(1)n n a +--00001001xx--+ +212(1)n a --1000001x x --+21(1)()na x -+100000x x x-=－11+n －11-n a n +－12+n －12-n a 1-n x + +－112-n －1a 2x 2-n +－1n 2 a 1+x x 1-n = 111n n n n a a x a x x --++++例4． 计算n 阶行列式：11212212nn n n na b a a a a b a D a a a b ++=+ 120n b b b ≠解 采用升阶或加边法．该行列式的各行含有共同的元素12,,,n a a a ,可在保持原行列式值不变的情况下,增加一行一列,适当选择所增行或列的元素,使得下一步化简后出现大量的零元素．1211212212100n n n n n na a a ab a a D a a b a a a a b +=++升阶213111n r r r r r r +---=121211001001n na a ab b b --- 1112,,1j j c c b j n -+=+=11121112100000000n na a a a ab b b b b +++=1121(1)nn na ab b b b b +++这个题的特殊情形是121212nn n n a x a a a a x a D a a a x++=+=11()nn i i xx a -=+∑可作为公式记下来．例5．计算n 阶“三对角”行列式D n =001000101αβαβαβαβαβαβ+++＋解 方法1 递推法．D n1=按c 展开()αβ+D 1-n —(1)00001001n αβαβαβαβ-++1=按r 展开()αβ+D 1-n －αβD 2-n即有递推关系式 D n =()αβ+D 1-n －αβD 2-n n ≥3 故 1n n D D α--＝12()n n D D βα---递推得到 1n n D D α--＝12()n n D D βα---＝223()n n D Dβα---＝＝221()n D D βα--而1()D αβ=+,2D ＝β+α1αββ+α＝22ααββ++,代入得1n n n D D αβ--=1n n n D D αβ-=+由递推公式得1n n n D D αβ-=+＝12()n n n D ααββ--++＝α2D2-n ＋1n n αββ-+＝＝nα＋1n αβ-＋ ＋1n n αββ-+＝时＝，当时，当－－βαβα1)α(n αβαβ111≠⎪⎩⎪⎨⎧++++n n n方法2 把D n 按第1列拆成2个n 阶行列式D n =000100010001ααβαβαβαβαβ++＋＋0010001000001βαβαβαβαβαβαβαβ+++上式右端第一个行列式等于αD 1-n ,而第二个行列式0010001000001βαβαβαβαβαβαβαβ+++12,,i i c ac i n--==0001000010001ββββ=βn于是得递推公式1nn n D D αβ-=+,已与式相同．方法3 在方法1中得递推公式D n =()αβ+D 1-n －αβD 2-n又因为当αβ+时 D 1=αβ+=βαβα--2221D αβαβαβ+=+=2()αβ+-αβ=22ααββ++=βαβα--33D 3=βααββααββα+++110=3()αβ+-2αβ()αβ+ = ()αβ+22()αβ+=βαβα--44于是猜想11n n n D αβαβ++-=-,下面用数学归纳法证明．当n=1时,等式成立,假设当n ≤k 时成立． 当n=k+1是,由递推公式得D 1+k =()αβ+D k －αβD 1-k=()αβ+βαβα--++11k k —αββαβα--k k =βαβα--++22k k所以对于n ∈N +,等式都成立例6． 计算n 阶行列式：12111111111n na a D a ++=+其中120n a a a ≠．解 这道题有多种解法． 方法1 化为上三角行列式nD 12,,i r r i n-==1121111n a a a a a +--112,,j ja c c a j n+==21100nb a a其中11211ni i b a a a ==++∑1111ni i a a =⎛⎫=+ ⎪⎝⎭∑,于是n D 12111nn i i a a a a =⎛⎫=+ ⎪⎝⎭∑．方法2 升阶或加边法121111011101110111n na D a a +=++升阶12,3,,1i r r i n -=+=1211111001001na a a --- 11111121,2,,1121111111j jni jc c a nn j n i i na a a a a a a a +=+=-=+⎛⎫==+ ⎪⎝⎭∑∑方法3 递推法．将n D 改写为1211101110111n na a D a ++++=+n =按c 拆开12111111111a a +++1211011011na a a ++由于12111111111a a ++1,,1i n r r i n -=-=12111a a 121n a a a -=1211011011na a a ++n =按c 展开1n n a D -因此n D =1n n a D -121n a a a -+为递推公式,而111D a =+,于是n D =1n n a D -121n a a a -+=12n a a a 11211n n n D a a a a --⎛⎫+ ⎪⎝⎭=12n a a a 2122111n n n n D a a a a a ---⎛⎫++ ⎪⎝⎭==12n a a a 11211n D a a a ⎛⎫+++⎪⎝⎭=12n a a a 121111n a a a ⎛⎫++++⎪⎝⎭。
行列式典型例题
目录
• 计算行列式 • 行列式的性质 • 行列式的展开 • 行列式的应用 • 特殊行列式
01
计算行列式
二阶行列式
总结词：二阶行列式是2x2矩阵的行列 式值，计算方法为对角线元素乘积减去 副对角线元素乘积。
|3 4|
示例：对于行列式|1 2|，其值为1*32*4=-5。
详细描述：对于二阶行列式，其一般形式 为|a b|，计算公式为a*c-b*d，其中a、b、 c、d分别代表矩阵中的元素。
行列式与矩阵的逆和转置有关， 它们都可以通过行列式进行计算 或判断。
行列式有一些重要的性质，如交 换律、结合律、分配律等，这些 性质在矩阵运算中非常重要。
05
特殊行列式
对角线型行列式
总结词
对角线型行列式是指除了主对角线上 的元素外，其他元素都为零的行列式。
详细描述
对角线型行列式的值就是主对角线上 的元素乘积，计算过程相对简单，因 为除了主对角线元素外，其他元素都 为零，所以可以直接将主对角线上的 元素相乘得到结果。
04
行列式的应用
行列式在几何中的应用
线性变换
行列式可以表示线性变换前后的面积比，用于研 究几何图形的变换性质。
Hale Waihona Puke 定向行列式可以用来确定定向，即方向和旋转顺序， 对于三维空间中的向量场和曲线非常重要。
体积
行列式可以用来计算多面体的体积，特别是平行 六面体的体积。
行列式在代数方程组中的应用
线性方程组
行列式的加法性质
总结词
行列式的加法满足分配律
详细描述
对于任何两个n阶方阵A和B，以及任意的常数c和d，有|cA + dB| = c|A| + d|B|。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
线性代数行列式经典例题例1计算元素为a ij = | i －j |的n 阶行列式.解 方法1 由题设知，11a =0，121a =，1,1,n a n =-L L ，故011102120n n n D n n --=--L L MOL1,1,,2i i r r i n n --=-=L 011111111n ----L L M O L1,,1j n c c j n +=-=L 1211021(1)2(1)0201n n n n n n ------=----L L L L M O O L M L其中第一步用的是从最后一行起，逐行减前一行．第二步用的每列加第n 列．方法2 011102120n n n D n n --=--L L M OL11,2,,1111111120i i r r i n n n +-=----=--L L L MOL12,,1001201231j c c j nn n n +=---=---L L L MOL=12(1)2(1)n n n ----例2. 设a , b , c 是互异的实数, 证明:的充要条件是a + b + c =0.证明: 考察范德蒙行列式:=行列式 即为y 2前的系数. 于是=所以 的充要条件是a + b + c = 0.例3计算D n =121100010n n n x x a a a x a ----+K K M M M M K解： 方法1 递推法 按第1列展开，有D n = x D 1-n +（－1）1+n a n 11111n x xx-----O O= x D 1-n + a n由于D 1= x + a 1，2211x D a x a -=+，于是D n = x D 1-n + a n =x （x D 2-n +a 1-n ）+ a n =x 2D 2-n +a 1-n x + a n =L = x1-n D 1+ a 2x2-n +K + a 1-n x + a n =111n n n n x a x a x a --++++L方法2 第2列的x 倍，第3列的x 2倍，K ，第n 列的x1-n 倍分别加到第1列上12c xc n D += 21121010010000n n n n x x xa xa a a x a -----++K K K M M M M K.\213c x c +=32121231010*********n n n n n n x x x a xa x a a a a x a --------+++K K KMMMM MK=L L =111x fx---OO On r =按展开1(1)n f+-1111n x xx----OO =111n n n n x a x a x a --++++L方法3 利用性质，将行列式化为上三角行列式．D n21321111n n c c x c c x c c x-+++=L1122000000000n n nnn n nx x x a a a a a a k xx x ---+++KK KM M M M Kn =按c 展开x1-n k n = x1-n (1-n n x a + 21--n n xa +K +x a 2+a 1+x) =111n nn n a a x a x x --++++L方法4 n r n D =按展开1(1)n na +-1000100001x x ---KK M M M M K+ 21(1)n n a +--0000101x x --K K M M M M K+K +212(1)n a --1000001x x --K K M M M M K+21(1)()na x -+100000000x x x-K K M M M M L=（－1）1+n （－1）1-n a n +（－1）2+n （－1）2-n a 1-n x+K +（－1）12-n （－1）a 2x 2-n +（－1）n 2( a 1+x) x 1-n= 111n nn n a a x a x x --++++L例4． 计算n 阶行列式：11212212n n n n na b a a a a b a D a a a b ++=+L L M M M L(120n b b b ≠L )解 采用升阶（或加边）法．该行列式的各行含有共同的元素12,,,n a a a L ，可在保持 原行列式值不变的情况下，增加一行一列，适当选择所增行（或列）的元素，使得下一步化简后出现大量的零元素．12112122121000n n n n n na a a ab a a D a a b a a a a b +=++L L LMM M M L升阶213111n r r r r r r +---=L 12121100100100n na a ab b b ---L L L M M M M L1112,,1j j c c b j n -+=+=L 1112111210000000n na a a a ab b b b b +++L L LL M M M M L=1121(1)n n na ab b b b b +++L L 这个题的特殊情形是121212n n n n a x a a a a x a D a a a x++=+LL M M M L=11()nn i i xx a -=+∑可作为公式记下来．例5．计算n 阶“三对角”行列式D n =00100010001αβαβαβαβαβαβ+++K K KM M M MMK＋解 方法1 递推法．D n1=按c 展开()αβ+D 1-n —(1)000010001n αβαβαβαβ-++K K M M M M M K1=按r 展开()αβ+D 1-n －αβD 2-n即有递推关系式 D n =()αβ+D 1-n －αβD 2-n (n ≥3) 故 1n n D D α--＝12()n n D D βα---递推得到 1n n D D α--＝12()n n D D βα---＝223()n n D D βα---＝L ＝221()n D D βα--而1()D αβ=+，2D ＝β+α1αββ+α＝22ααββ++，代入得1n n n D D αβ--=1n n n D D αβ-=+ （2.1）由递推公式得1n n n D D αβ-=+＝12()n n n D ααββ--++＝α2D2-n ＋1n n αββ-+＝L＝nα＋1n αβ-＋K ＋1n n αββ-+＝时＝，当时，当－－βαβα1)α(n αβαβ111≠⎪⎩⎪⎨⎧++++n n n方法2 把D n 按第1列拆成2个n 阶行列式D n =000100010001ααβαβαβαβαβ++K K KM M M MMK＋＋00100010000001βαβαβαβαβαβαβαβ+++K K KM M M MMK K上式右端第一个行列式等于αD 1-n ，而第二个行列式00100010000001βαβαβαβαβαβαβαβ+++K K KM M M MMK K12,,i i c ac i n--==L 000010000100001ββββK K KM M M M M K=βn 于是得递推公式1nn n D D αβ-=+，已与（2.1）式相同．方法3 在方法1中得递推公式D n =()αβ+D 1-n －αβD 2-n又因为当αβ+时 D 1=αβ+=βαβα--2221D αβαβαβ+=+=2()αβ+-αβ=22ααββ++=βαβα--33D 3=βααββααββα+++110=3()αβ+-2αβ()αβ+ = ()αβ+22()αβ+=βαβα--44于是猜想11n n n D αβαβ++-=-，下面用数学归纳法证明．当n=1时，等式成立，假设当n ≤k 时成立． 当n=k+1是，由递推公式得D 1+k =()αβ+D k －αβD 1-k=()αβ+βαβα--++11k k —αββαβα--k k =βαβα--++22k k所以对于n ∈N +，等式都成立例6． 计算n 阶行列式：12111111111n na a D a ++=+LL M M M L其中120n a a a ≠L ．解 这道题有多种解法． 方法1 化为上三角行列式nD 12,,i r r i n-==L 1121111na a a a a +--L M O112,,j ja c c a j n+==L 21100nb a a L M O其中11211ni i b a a a ==++∑1111n i i a a =⎛⎫=+ ⎪⎝⎭∑，于是n D 12111nn i i a a a a =⎛⎫=+ ⎪⎝⎭∑L ．方法2 升阶（或加边）法12111101*********1n na D a a +=++L L L M M M M L升阶12,3,,1i r r i n -=+=L 121111100100100na a a ---L L L M M M M L11111121,2,,1121111111j jni jc c a nn j n i i na a a a a a a a +=+=-=+⎛⎫==+ ⎪⎝⎭∑∑L LL O方法3 递推法．将n D 改写为1211101110111n na a D a ++++=+LL M M M Ln =按c 拆开12111111111a a ++L L M M M L+1211011011na a a ++L L M M M L由于12111111111a a ++L L M M M L1,,1i n r r i n -=-=L 12111a a L121n a a a -=L1211011011na a a ++L L M M M Ln =按c 展开1n n a D -因此n D =1n n a D -121n a a a -+L 为递推公式，而111D a =+，于是n D =1n n a D -121n a a a -+L =12n a a a L 11211n n n D a a a a --⎛⎫+ ⎪⎝⎭L=12n a a a L 2122111n n n n D a a a a a ---⎛⎫++⎪⎝⎭L =L L=12n a a a L 11211n D a a a ⎛⎫+++⎪⎝⎭L =12n a a a L 121111n a a a ⎛⎫++++ ⎪⎝⎭L。