高考数学得分技巧

2015高考数学得分技巧整理(完整版)第1讲选择题得解题方法与技巧题型特点概述选择题就是高考数学试卷得三大题型之一.选择题得分数一般占全卷得40%左右,高考数学选择题得基本特点就是:(1)绝大部分数学选择题属于低中档题,且一般按由易到难得顺序排列,主要得数学思想与数学方法能通过它得到充分得体现与应用,并且因为它还有相对难度(如思维层次、解题方法得优劣选择,解题速度得快慢等),所以选择题已成为具有较好区分度得基本题型之一.(2)选择题具有概括性强、知识覆盖面广、小巧灵活及有一定得综合性与深度等特点,且每一题几乎都有两种或两种以上得解法,能有效地检测学生得思维层次及观察、分析、判断与推理能力.目前高考数学选择题采用得就是一元选择题(即有且只有一个正确答案),由选择题得结构特点,决定了解选择题除常规方法外还有一些特殊得方法.解选择题得基本原则就是:“小题不能大做”,要充分利用题目中(包括题干与选项)提供得各种信息,排除干扰,利用矛盾,作出正确得判断.数学选择题得求解,一般有两条思路:一就是从题干出发考虑,探求结果;二就是从题干与选择支联合考虑或从选择支出发探求就是否满足题干条件.解答数学选择题得主要方法包括直接对照法、概念辨析法、图象分析法、特例检验法、排除法、逆向思维法等,这些方法既就是数学思维得具体体现,也就是解题得有效手段.解题方法例析题型一直接对照法直接对照型选择题就是直接从题设条件出发,利用已知条件、相关概念、性质、公式、公理、定理、法则等基础知识,通过严谨推理、准确运算、合理验证,从而直接得出正确结论,然后对照题目所给出得选项“对号入座”,从而确定正确得选择支.这类选择题往往就是由计算题、应用题或证明题改编而来,其基本求解策略就是由因导果,直接求解.例1 设定义在R上得函数f(x)满足f(x)·f(x＋2)＝13,若f(1)＝2,则f(99)等于()A.13B.2 C、132D、213思维启迪先求f (x )得周期. 解析 ∵f (x ＋2)＝13f (x ), ∴f (x ＋4)＝13f (x ＋2)＝1313f (x )＝f (x ). ∴函数f (x )为周期函数,且T ＝4、∴f (99)＝f (4×24＋3)＝f (3)＝13f (1)＝132、探究提高 直接法就是解选择题得最基本方法,运用直接法 时,要注意充分挖掘题设条件得特点,利用有关性质与已有得结论,迅速得到所需结论.如本题通过分析条件得到f (x )就是周期为4得函数,利用周期性就是快速解答此题得关键.变式训练1 函数f (x )对于任意实数x 满足条件f (x ＋2)＝1f (x ), 若f (1)＝－5,则f (f (5))得值为() A.5 B.－5 C 、15D.－15解析 由f (x ＋2)＝1f (x ),得f (x ＋4)＝1f (x ＋2)＝f (x ),所以f (x )就是以4为周期得函数,所以f (5)＝f (1)＝－5,从而f (f (5))＝f (－5)＝f (－1)＝1f (－1＋2)＝1f (1)＝－15、例2 设双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1得一条渐近线与抛物线y ＝x 2＋1只有 一个公共点,则双曲线得离心率为( ) A 、54 B.5 C 、52D 、5思维启迪求双曲线得一条渐近线得斜率即ba 得值,尽而求离心率.解析 设双曲线得渐近线方程为y ＝kx ,这条直线与抛物线y ＝x 2＋1相切,联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx y ＝x 2＋1,整理得x 2－kx ＋1＝0,则Δ＝k 2－4＝0,解得k ＝±2,即b a ＝2,故双曲线得离心率e ＝c a ＝c 2a 2＝a 2＋b 2a 2＝1＋(ba )2＝5、探究提高 关于直线与圆锥曲线位置关系得题目,通常就是联立方程解方程组.本题即就是利用渐近线与抛物线相切,求出渐近线斜率. 变式训练2 已知双曲线C :x 2a 2－y 2b2＝1(a >0,b >0),以C 得右焦点为圆心且与C 得渐近线相切得圆得半径就是 ( )A.aB.bC 、abD 、a 2＋b 2解析 x 2a 2－y 2b 2＝1得其中一条渐近线方程为:y ＝－ba x ,即bx ＋ay ＝0,而焦点坐标为(c,0),根据点到直线得距离d ＝|b ×a 2＋b 2|a 2＋b2＝b 、故选B 、题型二 概念辨析法 概念辨析就是从题设条件出发,通过对数学概念得辨析,进 行少量运算或推理,直接选择出正确结论得方法.这类题 目常涉及一些似就是而非、很容易混淆得概念或性质,这需 要考生在平时注意辨析有关概念,准确区分相应概念得内 涵与外延,同时在审题时要多加小心,准确审题以保证正 确选择.一般说来,这类题目运算量小,侧重判断,下笔容易,但稍不留意则易误入命题者设置得“陷阱”.例3 已知非零向量a ＝(x 1,y 1),b ＝(x 2,y 2),给出下列条 件,①a ＝k b (k ∈R);②x 1x 2＋y 1y 2＝0;③(a ＋3b )∥(2a －b );④a ·b ＝|a ||b |;⑤x 21y 22＋x 22y 21≤2x 1x 2y 1y 2、 其中能够使得a ∥b 得个数就是 () A.1 B.2 C.3D.4解析 显然①就是正确得,这就是共线向量得基本定理;②就是错误得,这就是两个向量垂直得条件;③就是正确得,因为由(a＋3b)∥(2a－b),可得(a＋3a)＝λ(2a－b),当λ≠12时,整理得a＝λ＋32λ－1b,故a∥b,当λ＝12时也可得到a∥b;④就是正确得,若设两个向量得夹角为θ,则由a·b＝|a||b|cos θ,可知cos θ＝1,从而θ＝0,所以a∥b;⑤就是正确得,由x21y22＋x22y21≤2x1x2y1y2,可得(x1y2－x2y1)2≤0,从而x1y2－x2y1＝0,于就是a∥b、探究提高平行向量(共线向量)就是一个非常重要与有用得概念,应熟练掌握共线向量得定义以及判断方法,同时要将共线向量与向量中得其她知识(例如向量得数量积、向量得模以及夹角等)有机地联系起来,能够从不同得角度来理解共线向量.变式训练3 关于平面向量a,b,c,有下列三个命题:①若a·b＝a·c,则b＝c、②若a＝(1,k),b＝(－2,6),a∥b,则k＝－3、③非零向量a与b满足|a|＝|b|＝|a－b|,则a与a＋b得夹角为60°、则假命题为( )A.①②B.①③C.②③D.①②③B解析①a·b＝a·c⇔a·(b－c)＝0,a与b－c可以垂直,而不一定有b＝c,故①为假命题.②∵a∥b,∴1×6＝－2k、∴k＝－3、故②为真命题.③由平行四边形法则知围成一菱形且一角为60°,a＋b为其对角线上得向量,a与a ＋b夹角为30°,故③为假命题.题型三数形结合法“数”与“形”就是数学这座高楼大厦得两块最重要得基石,二者在内容上互相联系、在方法上互相渗透、在一定条件下可以互相转化,而数形结合法正就是在这一学科特点得基础上发展而来得.在解答选择题得过程中,可以先根据题意,做出草图,然后参照图形得做法、形状、位置、性质,综合图象得特征,得出结论.例4 (2009·海南)用min{a ,b ,c }表示a ,b ,c 三个数中得最 小值.设f (x )＝min{2x ,x ＋2,10－x }(x ≥0),则f (x )得最大 值为( ) A.4 B.5 C.6D.7C思维启迪画出函数f (x )得图象,观察最高点,求出纵坐标即可.本题运用图象来求值,直观、易懂.解析 由题意知函数f (x )就是三个函数y 1＝2x ,y 2＝x ＋2,y 3＝10－x 中得较小者,作出三个函数在同一个坐标系之下得图象(如图中实线部分为f (x )得图象)可知A (4,6)为函数f (x )图象得最高点.变式训练4 (2010·湖北)设集合A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫(x ,y )⎪⎪⎪x 24＋y 216＝1, B ＝{}(x ,y )|y ＝3x ,则A ∩B 得子集得个数就是 ( )A.4B.3C.2D.1 A解析 集合A 中得元素就是椭圆x 24＋y 216＝1上得点,集合B 中得元素就是函数y ＝3x 得图象上得点.由数形结合,可知A ∩B 中有2个元素,因此A ∩B 得子集得个数为4、例5 函数f (x )＝1－|2x －1|,则方程f (x )·2x ＝1得实根得个数就是( ) A.0 B.1 C.2D.3C思维启迪若直接求解方程显然不可能,考虑到方程可转化为f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x,而函数y ＝f (x )与y＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 得图象又都可以画出,故可以利用数形结合得方法,通过两个函数图象交点得个数确定相应方程得根得个数解析 方程f (x )·2x＝1可化为f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x,在同一坐标系下分别画出函数y ＝f (x )与y＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 得图象,如图所示.可以发现其图象有两个交点,因此方程f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 有两个实数根.探究提高 一般地,研究一些非常规方程得根得个数以及根得范围问题,要多考虑利用数形结合法.方程f (x )＝0得根就就是函数y ＝f (x )图象与x 轴得交点横坐标,方程f (x )＝g (x )得根就就是函数y ＝f (x )与y ＝g (x )图象得交点横坐标.利用数形结合法解决方程根得问题得前提就是涉及得函数得图象就是我们熟知得或容易画出得,如果一开始给出得方程中涉及得函数得图象不容易画出,可以先对方程进行适当得变形,使得等号两边得函数得图象容易画出时再进行求解. 变式训练5 函数y ＝|log 12x |得定义域为[a ,b ],值域为[0,2],则区间[a ,b ]得长度b －a 得最小值就是 ( )A.2 B 、32 C.3D 、34 D解析 作出函数y ＝|log 12x |得图象,如图所示,由y ＝0解得x ＝1;由y ＝2,解得x ＝4或x ＝14、所以区间[a ,b ]得长度b －a 得最小值为1－14＝34、题型四 特例检验法 特例检验(也称特例法或特殊值法)就是用特殊值(或特殊图 形、特殊位置)代替题设普遍条件,得出特殊结论,再对各 个选项进行检验,从而做出正确得选择.常用得特例有特 殊数值、特殊数列、特殊函数、特殊图形、特殊角、特殊 位置等.特例检验就是解答选择题得最佳方法之一,适用于解答“对 某一集合得所有元素、某种关系恒成立”,这样以全称判 断形式出现得题目,其原理就是“结论若在某种特殊情况下 不真,则它在一般情况下也不真”,利用“小题小做”或“小题巧做”得解题策略.例6 已知A 、B 、C 、D 就是抛物线y 2＝8x 上得点,F 就是抛物线得焦点,且F A →＋FB →＋FC →＋FD →＝0,则|F A →|＋|FB →|＋|FC →|＋|FD →|得值为( ) A.2 B.4C.8D.16D解析 取特殊位置,AB ,CD 为抛物线得通径,显然F A →＋FB →＋FC →＋FD →＝0, 则|F A →|＋|FB →|＋|FC →|＋|FD →|＝4p ＝16,故选D 、探究提高 本题直接求解较难,利用特殊位置法,则简便易行.利用特殊检验法得关键就是所选特例要符合条件.变式训练6 已知P 、Q 就是椭圆3x 2＋5y 2＝1上满足∠POQ ＝90°得两个动点,则1OP 2＋1OQ 2等于 ( )A.34B.8 C 、815 D 、34225B解析 取两特殊点P (33,0)、Q (0,55)即两个端点,则1OP 2＋1OQ 2＝3＋5＝8、故选B 、 例7 数列{a n }成等比数列得充要条件就是 ( ) A.a n ＋1＝a n q (q 为常数) B.a 2n ＋1＝a n ·a n ＋2≠0 C.a n ＝a 1q n －1(q 为常数) D.a n ＋1＝a n ·a n ＋2B解析 考查特殊数列0,0,…,0,…,不就是等比数列,但此数列显然适合A,C,D 项. 故选B 、探究提高 判断一个数列就是否为等比数列得基本方法就是定义法,也就就是瞧a n ＋1a n 就是否为常数,但应注意检验一个数列为等比数列得必要条件就是否成立. 变式训练7 已知等差数列{a n }得前n 项与为S n ,若a 2na n＝4n －12n －1,则S 2nS n 得值为 ( )A.2B.3C.4D.8解析 方法一 (特殊值检验法)取n ＝1,得a 2a 1＝31,∴a 1＋a 2a 1＝41＝4,于就是,当n ＝1时,S 2n S n ＝S 2S 1＝a 1＋a 2a 1＝4、方法二 (特殊式检验法)注意到a 2n a n ＝4n －12n －1＝2·2n －12·n －1,取a n ＝2n －1,S 2nS n ＝1＋(4n －1)2·2n 1＋(2n －1)2·n＝4、方法三 (直接求解法) 由a 2n a n ＝4n －12n －1,得a 2n －a n a n ＝2n2n －1,即nd a n ＝2n 2n －1,∴a n ＝d (2n －1)2,于就是,S 2nS n ＝a 1＋a 2n2·2n a 1＋a n 2·n ＝2·a 1＋a 2n a 1＋a n＝2·d 2＋d2(4n －1)d 2＋d2(2n －1)＝4、C题型五 筛选法 数学选择题得解题本质就就是去伪存真,舍弃不符合题目 要求得选项,找到符合题意得正确结论.筛选法(又叫排 除法)就就是通过观察分析或推理运算各项提供得信息或通 过特例,对于错误得选项,逐一剔除,从而获得正确得结论.例8 方程ax 2＋2x ＋1＝0至少有一个负根得充要条件就是( ) A.0<a ≤1 B.a <1 C.a ≤1 D.0<a ≤1或a <0解析 当a ＝0时,x ＝－12,故排除A 、D 、 当a ＝1时,x ＝－1,排除B 、 故选C 、探究提高 选择具有代表性得值对选项进行排除就是解决本题得关键.对“至少有一个负根”得充要条件取值进行验证要比直接运算方便、易行.不但缩短时间,同时提高解题效率.变式训练8 已知函数f (x )＝mx 2＋(m －3)x ＋1得图象与x 轴 得交点至少有一个在原点右侧,则实数m 得取值范围就是( ) A.(0,1) B.(0,1] C.(－∞,1) D.(－∞,1]解析 令m ＝0,由f (x )＝0得x ＝13适合,排除A 、B 、 令m ＝1,由f (x )＝0得:x ＝1适合,排除C 、 题型六 估算法 由于选择题提供了唯一正确得选择支,解答又无需过 程.因此,有些题目,不必进行准确得计算,只需对其数值 特点与取值界限作出适当得估计,便能作出正确得判断, 这就就是估算法.估算法往往可以减少运算量,但就是加强了思维得层次.例9 若A 为不等式组⎩⎨⎧x ≤0y ≥0y －x ≤2表示得平面区域,则当a 从－2连续变化到1时,动直线x ＋y ＝a 扫过A 中得那部分区域 得面积为 ( )A 、34 B.1 C 、74D.2解析 如图知区域得面积就是△OAB 去掉一个小直角三角形.阴影部分面积比1大,比S△OAB＝12×2×2＝2小,故选C项.答案 C探究提高“估算法”得关键就是应该确定结果所在得大致范围,否则“估算”就没有意义.本题得关键在所求值应该比△AOB得面积小且大于其面积得一半. 变式训练9 已知过球面上A、B、C三点得截面与球心得距离等于球半径得一半,且AB＝BC＝CA＝2,则球面面积就是()A、169π B、83πC、4πD、64 9π解析∵球得半径R不小于△ABC得外接圆半径r＝233,则S球＝4πR2≥4πr2＝163π>5π,故选D、规律方法总结1.解选择题得基本方法有直接法、排除法、特例法、验证法与数形结合法.但大部分选择题得解法就是直接法,在解选择题时要根据题干与选择支两方面得特点灵活运用上述一种或几种方法“巧解”,在“小题小做”、“小题巧做”上做文章,切忌盲目地采用直接法.2.由于选择题供选答案多、信息量大、正误混杂、迷惑性强,稍不留心就会误入“陷阱”,应该从正反两个方向肯定、否定、筛选、验证,既谨慎选择,又大胆跳跃.3.作为平时训练,解完一道题后,还应考虑一下能不能用其她方法进行“巧算”,并注意及时总结,这样才能有效地提高解选择题得能力、知能提升演练1.已知集合A ＝{1,3,5,7,9},B ＝{0,3,6,9,12},则A ∩(∁N B )等 于( ) A.{1,5,7} B.{3,5,7} C.{1,3,9} D.{1,2,3} 解析 由于3∈∁N B ,所以3∈A ∩(∁NB ) ∴排除B 、C 、D,故选A 、2.已知向量a ,b 不共线,c ＝k a ＋b (k ∈R),d ＝a －b 、如果 c ∥d ,那么( )A.k ＝1且c 与d 同向B.k ＝1且c 与d 反向C.k ＝－1且c 与d 同向D.k ＝－1且c 与d 反向解析 当k ＝1时,c ＝a ＋b ,不存在实数λ,使得a ＝λb 、所以c 与d 不共线,与c ∥d 矛盾.排除A 、B;当k ＝－1时,c ＝－a ＋b ＝－(a －b )＝－d ,所以c ∥d ,且c 与d 反向.故应选D 、3.已知函数y ＝tan ωx 在⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－π2π2内就是减函数,则( ) A.0<ω≤1B.－1≤ω<0C.ω≥1D.ω≤－1B解析 可用排除法,∵当ω>0时正切函数在其定义域内各长度为一个周期得连续区间内为增函数,∴排除A 、C,又当|ω|>1时正切函数得最小正周期长度小于π,∴y ＝tan ωx 在⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－π2π2内不连续,在这个区间内不就是减函数,这样排除D,故选B 、4.已知函数f (x )＝2mx 2－2(4－m )x ＋1,g (x )＝mx ,若对于任一实数x ,f (x )与g (x )得值至少有一个为正数,则实数m 得取值范围就是 ( ) A.(0,2) B.(0,8) C.(2,8) D.(－∞,0) 解析 当m ＝1时,f (x )＝2x 2－6x ＋1,g (x )＝x ,由f (x )与g (x )得图象知,m ＝1满足题设条件,故排除C 、D 、 当m =2时,f (x )=4x 24x +1,g (x )=2x ,由其图象知,m =2满足题设条件,故排除A 、 因此,选项B 正确.5.已知向量OB →＝(2,0),向量OC →＝(2,2),向量CA →＝(2cos α,2sin α),则向量OA →与向量OB →得夹角得 取值范围就是( )A.[0,π4]B.[5π12,π2]C.[π4,5π12]D.[π12,5π12]解析 ∵|CA →|=,∴A 得轨迹就是⊙C ,半径为、由图可知∠COB ＝π4,设向量OA →与向量OB →得夹角为θ,则π4－π6≤θ≤π4＋π6,故选D 、答案 D6.设函数y ＝f (x )在(－∞,＋∞)内有定义,对于给定得正数K ,定义函数f K(x )＝⎩⎨⎧f (x )f (x )≤KKf (x )>K 、取函数f (x )＝2－|x |,当K ＝12时,函数f K (x )得单调递增区间为 ( )A.(－∞,0)B.(0,＋∞)C.(－∞,－1)D.(1,＋∞)解析 函数f (x )＝2－|x |＝(12)|x |,作图f (x )≤K ＝12⇒x ∈(－∞,－1]∪[1,＋∞),故在(－∞,－1)上就是单调递增得,选C 项.7.设x ,y ∈R,用2y 就是1＋x 与1－x 得等比中 项,则动点 (x ,y )得轨迹为除去x 轴上点得 ( ) A.一条直线 B.一个圆 C.双曲线得一支 D.一个椭圆 解析 (2y )2＝(1－x )(1＋x )(y ≠0)得x 2＋4y 2＝1(y ≠0). 8.设A 、B 就是非空数集,定义A *B ＝{x |x ∈A ∪B 且 x ∈A ∩B },已知集合A ＝{x |y ＝2x －x 2},B ＝{y |y ＝2x , x >0},则A *B 等于( )A.[0,1]∪(2,＋∞)B.[0,1)∪(2,＋∞)C.(－∞,1]D.[0,2] 解析 A ＝R,B ＝(1,＋∞), 故A *B ＝(－∞,1],故选C 、9.(2010·福建)若点O 与点F (－2,0)分别为双曲线x 2a 2－y 2＝1(a >0)得中心与左焦点,点P 为双曲线右支上得任意一点,则OP →·FP →得取值范围为 ()A.[3－23,＋∞)B.[3＋23,＋∞)C.[－74,＋∞)D.[74,＋∞) B解析 由c ＝2得a 2＋1＝4,∴a 2＝3,∴双曲线方程为x 23－y 2＝1、设P (x ,y )(x ≥3), OP →·FP →＝(x ,y )·(x ＋2,y )＝x 2＋2x ＋y 2＝x 2＋2x ＋x 23－1＝43x 2＋2x －1(x ≥3).令g (x )＝43x 2＋2x －1(x ≥3),则g (x )在[3,＋∞)上单调递增.g (x )min ＝g (3)＝3＋23、∴OP →·FP →得取值范围为[3＋23,＋∞).10.已知等差数列{a n }满足a 1＋a 2＋…＋a 101＝0,则有( )A.a 1＋a 101>0B.a 2＋a 102<0C.a 3＋a 99＝0D.a 51＝51 解析 取满足题意得特殊数列a n ＝0,则a 3＋a 99＝0,故选C 、 11.在等差数列{a n }中,若a 2＋a 4＋a 6＋a 8＋a 10＝80,则a 7－12a 8得值为( ) A.4 B.6 C.8 D.10 解析 令等差数列{a n }为常数列a n ＝16、显然a 7－12a 8＝16－8＝8、 故选C 、12.若1a <1b <0,则下列不等式:①a ＋b <ab ;②|a |>|b |; ③a <b ;④b a ＋ab >2中,正确得不等式就是 ()A.①②B.②③C.①④D.③④解析 取a ＝－1,b ＝－2,则②、③不正确,所以A 、B 、D 错误,故选C 、13、(2010·全国)如图,质点P 在半径为2得圆周上逆 时针运动,其初始位置为P 0(2,－2),角速度 为1,那么点P 到x 轴距离d 关于时间t 得函数图 象大致为()解析 观察并联想P 运动轨迹与d 得关系,当t ＝0时,d ＝2,排除A 、D;当开始运动时d 递减,排除B 、 C14.若函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 2x 2＋1－a ＋4a 得最小值等于3,则实数a 得值等于 ( )A 、 34 B.1 C 、 34或1 D.不存在这样得a 解析 方法一 直接对照法令x 2x 2＋1＝t ,则t ∈[0,1). 若a ≥1,则f (x )＝|t －a |＋4a ＝5a －t 不存在最小值;若0≤a <1,则f (x )＝|t －a |＋4a ,当t ＝a 时取得最小值4a ,于就是4a ＝3,得a ＝34符合题意;若a <0,f (x )＝|t －a |＋4a ＝t ＋3a ,当t ＝0时取得最小值3a ,于就是3a ＝3,得a ＝1不符合题意. 综上可知,a ＝34、 方法二 试验法若a ＝1,则f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 2x 2＋1－1＋4>4,显然函数得最小值不就是3,故排除选项B 、C;若a ＝34,f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 2x 2＋1－34＋3,这时只要令x 2x 2＋1－34＝0,即x ＝±3,函数可取得最小值3,因此A 项正确,D 项错误. A15.已知sin θ＝m －3m ＋5,cos θ＝4－2m m ＋5(π2<θ<π),则tan θ2等于( )A 、 m －39－m B.|m －39－m |C 、 13D.5D解析 由于受条件sin 2θ＋cos 2θ＝1得制约,故m 为一确定得值,于就是sin θ,cos θ得值应与m 得值无关,进而tan θ2得值与m 无关,又π2<θ<π,π4<θ2<π2,∴tan θ2>1,故选D 项.16.已知函数y ＝f (x ),y ＝g (x )得导函数得图象如下图,那么 y ＝f (x ),y ＝g (x )图象可能就是( )解析 从导函数得图象可知两个函数在x 0处斜率相同,可以排除B 项,再者导函数得函数值反映得就是原函数增加得快慢,可明显瞧出y ＝f (x )得导函数就是减函数,所以原函数应该增加得越来越慢,排除A 、C 两项,最后只有D 项,可以验证y ＝g (x )导函数就是增函数,增加越来越快.答案 D第2讲填空题第2讲填空题得解题方法与技巧题型特点概述填空题就是高考试卷中得三大题型之一,与选择题一样,属于客观性试题.它只要求写出结果而不需要写出解答过程.在整个高考试卷中,填空题得难度一般为中等.不同省份得试卷所占分值得比重有所不同.1．填空题得类型填空题主要考查学生得基础知识、基本技能以及分析问题与解决问题得能力,具有小巧灵活、结构简单、概念性强、运算量不大、不需要写出求解过程而只需要写出结论等特点.从填写内容瞧,主要有两类:一类就是定量填写,一类就是定性填写.2.填空题得特征填空题不要求写出计算或推理过程,只需要将结论直接写出得“求解题”.填空题与选择题也有质得区别:第一,表现为填空题没有备选项,因此,解答时有不受诱误干扰之好处,但也有缺乏提示之不足;第二,填空题得结构往往就是在一个正确得命题或断言中,抽出其中得一些内容(既可以就是条件,也可以就是结论),留下空位,让考生独立填上,考查方法比较灵活.从历年高考成绩瞧,填空题得分率一直不很高,因为填空题得结果必须就是数值准确、形式规范、表达式最简,稍有毛病,便就是零分.因此,解填空题要求在“快速、准确”上下功夫,由于填空题不需要写出具体得推理、计算过程,因此要想“快速”解答填空题,则千万不可“小题大做”,而要达到“准确”,则必须合理灵活地运用恰当得方法,在“巧”字上下功夫.3.解填空题得基本原则解填空题得基本原则就是“小题不能大做”,基本策略就是“巧做”.解填空题得常用方法有:直接法、数形结合法、特殊化法、等价转化法、构造法、合情推理法等.解题方法例析题型一直接法直接法就就是从题设条件出发,运用定义、定理、公式、性质、法则等知识,通过变形、推理、计算等,得出正确结论,使用此法时,要善于透过现象瞧本质,自觉地、有意识地采用灵活、简捷得解法.例1 在等差数列{a n}中,a1＝－3,11a5＝5a8－13,则数列{a n}得前n项与S n得最小值为________.思维启迪计算出基本量d,找到转折项即可.解析设公差为d,则11(－3＋4d)＝5(－3＋7d)－13,∴d ＝59、∴数列{a n }为递增数列.令a n ≤0,∴－3＋(n －1)·59≤0,∴n ≤325, ∵n ∈N *、∴前6项均为负值,∴S n 得最小值为S 6＝－293、答案 －293探究提高 本题运用直接法,直接利用等差数列得通项公式判断出数列得项得符号,进而确定前几项得与最小,最后利用等差数列得求与公式求得最小值. 变式训练1 设S n 就是等差数列{a n }得前n 项与,已知a 2＝3,a 6＝11,则S 7＝________、 49解析 方法一 S 7＝7(a 1＋a 7)2＝7(a 2＋a 6)2＝7×(3＋11)2＝49、故填49、方法二 由⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝a 1＋d ＝3a 6＝a 1＋5d ＝11可得⎩⎨⎧a 1＝1d ＝2∴a 7＝1＋6×2＝13、∴S 7＝7(a 1＋a 7)2＝7×(1＋13)2＝49、故填49、 题型二 特殊值法 特殊值法在考试中应用起来比较方便,它得实施过程就是从 特殊到一般,优点就是简便易行.当暗示答案就是一个“定 值”时,就可以取一个特殊数值、特殊位置、特殊图形、 特殊关系、特殊数列或特殊函数值来将字母具体化,把一般形式变为特殊形式.当题目得条件就是从一般性得角度给出时,特例法尤其有效.例2 已知△ABC 得三个内角A 、B 、C 得对边分别为a 、b 、c ,且满足(sin A －sin C )(a ＋c )b＝sin A －sin B ,则C ＝_______、思维启迪 题目中给出了△ABC 得边与角满足得一个关系式,由此关系式来确定角C 得大小,因此可考虑一些特殊得三角形就是否满足关系式,如:等边三角形、直角三角形等,若满足,则可求出此时角C 得大小.解析 容易发现当△ABC 就是一个等边三角形时,满足(sin A －sin C )(a ＋c )b ＝sinA －sinB ,而此时C ＝60°,故角C 得大小为60°、 答案 60°探究提高 特殊值法得理论依据就是:若对所有值都成立,那么对特殊值也成立,我们就可以利用填空题不需要过程只需要结果这一“弱点”,“以偏概全”来求值.在解决一些与三角形、四边形等平面图形有关得填空题时,可根据题意,选择其中得特殊图形(如正三角形、正方形)等解决问题.此题还可用直接法求解如下: 由(sin A －sin C )(a ＋c )b＝sin A －sin B 可得(a －c )(a ＋c )b ＝a －b ,整理得,a 2－c 2＝ab －b 2,即a 2＋b 2－c 2＝ab 、由余弦定理,得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝12,所以C ＝60°、变式训练2 在△ABC 中,角A 、B 、C 所对得边分别为a 、b 、c ,如果a 、b 、c 成等差数列,则cos A ＋cos C1＋cos A cos C＝________、解析 方法一 取特殊值a ＝3,b ＝4,c ＝5,则cos A ＝45,cos C ＝0,cos A ＋cos C 1＋cos A cos C ＝45、方法二 取特殊角A ＝B ＝C ＝π3,cos A ＝cos C ＝12,cos A ＋cos C 1＋cos A cos C ＝45、例3 如图所示,在△ABC 中,AO 就是BC 边上得中线,K 为AO 上一点,且OA →＝2AK →,过点K 得直线分别交直线AB 、AC 于不同得两点M 、N ,若AB →＝mAM →,AC →＝nAN →,则m ＋n ＝________、 思维启迪题目中过点K 得直线就是任意得,因此m 与n 得值就是变化得,但从题意瞧m ＋n 得值就是一个定值,故可取一条特殊得直线进行求解.解析 当过点K 得直线与BC 平行时,MN 就就是△ABC 得一条中位线(∵OA →＝2AK →,∴K 就是AO 得中点).这时由于有AB →＝mAM →,AC →＝nAN →,因此m ＝n ＝2,故m ＋n ＝4、 答案 4探究提高 本题在解答中,充分考虑了“直线虽然任意,但m ＋n 得值却就是定值”这一信息,通过取直线得一个特殊位置得到了问题得解,显得非常简单,在求解这类填空题时,就要善于捕捉这样得有效信息,帮助我们解决问题.变式训练3 设O 就是△ABC 内部一点,且OA →＋OC →＝－2OB →, 则△AOB 与△AOC 得面积之比为______. 解析 采用特殊位置,可令△ABC 为正三角形,则根据OA →＋OC →＝－2OB →可知,O 就是△ABC 得中心,则OA ＝OB ＝OC , 所以△AOB ≌△AOC ,即△AOB 与△AOC 得面积之比为1、 题型三 图象分析法(数形结合法) 依据特殊数量关系所对应得图形位置、特征,利用图形直 观性求解得填空题,称为图象分析型填空题,这类问题得 几何意义一般较为明显.由于填空题不要求写出解答过 程,因而有些问题可以借助于图形,然后参照图形得形 状、位置、性质,综合图象得特征,进行直观地分析,加 上简单得运算,一般就可以得出正确得答案.事实上许多 问题都可以转化为数与形得结合,利用数形结合法解题既 浅显易懂,又能节省时间.利用数形结合得思想解决问题 能很好地考查考生对基础知识得掌握程度及灵活处理问题得能力,此类问题为近年来高考考查得热点内容例4 已知方程(x 2－2x ＋m )(x 2－2x ＋n )＝0得四个根组成一个首项为14得等差数列,则|m －n |得值等于________. 思维启迪 12考虑到原方程得四个根,其实就是抛物线y＝x2－2x＋m与y＝x2－2x＋n与x轴四个交点得横坐标,所以可以利用图象进行求解.解析如图所示,易知抛物线y＝x2－2x＋m与y＝x2－2x＋n有相同得对称轴x＝1,它们与x轴得四个交点依次为A、B、C、D、因为x A＝14,则x D＝7 4、又|AB|＝|BC|＝|CD|,所以x B＝34,x C＝5 4、故|m－n|＝|14×74－34×54|＝12、探究提高本题就是数列问题,但由于与方程得根有关系,故可借助数形结合得方法进行求解,因此在解题时,我们要认真分析题目特点,充分挖掘其中得有用信息,寻求最简捷得解法.变式训练4 已知定义在R上得奇函数f(x)满足f(x－4)＝－f(x),且在区间[0,2]上就是增函数,若方程f(x)＝m(m>0),在区间[－8,8]上有四个不同得根x1,x2,x3,x4,则x1＋x2＋x3＋x4＝________、8解析因为定义在R上得奇函数,满足f(x－4)＝－f(x),所以f(4－x)＝f(x).因此,函数图象关于直线x＝2对称且f(0)＝0,由f(x－4)＝－f(x)知f(x－8)＝f(x),所以函数就是以8为周期得周期函数.又因为f(x)在区间[0,2]上就是增函数,所以f(x)在区间[－2,0]上也就是增函数,如图所示,那么方程f(x)＝m(m>0)在区间[－8,8]上有四个不同得根x1,x2,x3,x4,不妨设x1<x2<x3<x4、由对称性知x1＋x2＝－12,x3＋x4＝4,所以x1＋x2＋x3＋x4＝－12＋4＝－8、例5函数y＝f(x)得图象如图所示,其定义域为[－4,4],那么不等式f(x)sin x≤0得解集为__________________________________.[－4,－π)∪(－π,0)∪[π2,π)解析f(x)sin x≤0⇔⎩⎪⎨⎪⎧f(x)≤0sin x>0或⎩⎪⎨⎪⎧f(x)≥0sin x<0在给出得坐标系中,再作出y＝sin x在[－4,4]上得图象,如图所示,观察图象即可得到所求得解集为[－4,－π)∪(－π,0)∪[π2,π).探究提高与函数有关得填空题,依据题目条件,灵活地应用函数图象解答问题,往往可使抽象复杂得代数问题变得形象直观,使问题快速获解.变式训练5 不等式(|x| )·sin x<0,x∈[π,2π］得解集为、解析在同一坐标系中分别作出y=|x| 与y=sin x得图象:根据图象可得不等式得解集为:题型四等价转化法将所给得命题进行等价转化,使之成为一种容易理解得语言或容易求解得模式.通过转化,使问题化繁为简、化陌生为熟悉,将问题等价转化成便于解决得问题,从而得出正确得结果.例6 设函数f (x )＝⎩⎨⎧x 2－4x ＋6x ≥03x ＋4x <0,若互不相等得实数x 1,x 2,x 3满足f (x 1)＝f (x 2)＝f (x 3),则x 1＋x 2＋x 3得取值 范围就是________.思维启迪将问题转化为y ＝m 与y ＝f (x )有三个不同得交点,再研究三个交点得横坐标之与得取值范围.解析 本题可转化为直线y ＝m 与函数f (x ) 得图象有三个交点,y ＝x 2－4x ＋6在[0,＋∞) 得最小值为f (2)＝2,故2<m <4,易知x 1,x 2, x 3中必有一负二正,不妨设x 1,x 2>0,由于 y ＝x 2－4x ＋6得对称轴为x ＝2,则x 1＋x 2＝4, 令3x ＋4＝2,得x ＝－23,则－23<x 3<0,故－23＋4<x 1＋x 2 ＋x 3<0＋4,即x 1＋x 2＋x 3得取值范围就是(103,4).答案 (103,4)探究提高 等价转化法得关键就是要明确转化得方向或者说转化得目标.本题转化得关键就就是将研究x 1＋x 2＋x 3得取值范围问题转化成了直线y ＝m 与曲线y ＝f (x )有三个交点得问题,将数得问题转化成了形得问题,从而利用图形得性质解决.变式训练6 已知关于x 得不等式ax －1x ＋1<0得解集就是(－∞,－1)∪(－12,＋∞),则a 得值为________.变式训练6 已知关于x 得不等式ax －1x ＋1<0得解集就是(－∞,－1) ∪(－12,＋∞),则a 得值为________. 题型五 构造法。