北师大版八年级数学下册-第一章检测卷含答案
第一章检测卷时间：120分钟满分：120分题号一二三四五六总分得分一、选择题(本大题共6小题，每小题3分，共18分．每小题只有一个正确选项)1．在△ABC中，AB＝2，BC＝3，AC＝7，则△ABC的形状是()A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰直角三角形2．如图，OP平分∠AOB，P A⊥OA，PB⊥OB，垂足分别为A，B.下列结论中不一定成立的是()A．P A＝PB B．PO平分∠APBC．AB垂直平分OP D．∠OBA＝∠OAB第2题图第3题图第4题图3．如图，l∥m，等边△ABC的顶点B在直线m上，边BC与直线m所夹锐角为20°，则∠α的度数为( )A．60° B．45° C．40° D．30°4．如图，D为△ABC内一点，CD平分∠ACB，BE⊥CD，垂足为D，交AC于点E，∠A＝∠ABE.若AC＝5，BC＝3，则BD的长为DA．2.5 B．1.5 C．2 D．15．如图，∠A＝50°，点O是AB，AC垂直平分线的交点，则∠BCO的度数是( )A．40° B．50° C．60° D．70°第5题图第6题图6．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，直角∠EPF的顶点P是BC的中点，两边PE，PF分别交AB，AC于点E，F，连接EF交AP于点G.给出以下四个结论：①∠B＝∠C＝45°；②AE ＝CF；③△EPF是等腰直角三角形；④四边形AEPF的面积是△ABC面积的一半．其中正确的有()A．1个B．2个C．3个D．4个二、填空题(本大题共6小题，每小题3分，共18分)7．等腰三角形两腰上的高相等，这个命题的逆命题是____________________________________________，这个逆命题是真命题．8．如图，△ABC中，AC＝BC，CD∥AB，若∠ECD＝36°，则∠B＝________.第8题图第9题图9．如图，点E在正方形ABCD内，满足∠AEB＝90°，AE＝6，BE＝8，则阴影部分的面积是________.10．如图，AB＝AC，AD＝AE，AF⊥BC于F，则图中全等的直角三角形有________对．第10题图第11题图11．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AD是△ABC的一条角平分线．若CD＝3，则△ABD的面积为________．12．在等腰三角形ABC中，AD⊥BC交直线BC于点D.若AD＝12BC，则△ABC的顶角的度数为______________．三、(本大题共5小题，每小题6分，共30分)13．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，BD是∠ABC的平分线，求∠BDC的度数．14．如图，在长方形ABCD中，点E在边AB上，点F在边BC上，且BE＝CF，EF⊥DF，求证：BF＝CD.15．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于点 E.求证：直线AD是线段CE的垂直平分线．16．如图，AD平分∠BAC，AD⊥BD，垂足为点D，DE∥AC.求证：△BDE是等腰三角形．17．如图，在△ABC中，AB＝AC，直线l过点A，且直线l∥BC，E，F是直线l上的两点，AE＝AF，请用无刻度的直尺作出BC边上的高AD.四、(本大题共3小题，每小题8分，共24分)18．如图，△ABC中，∠B＝90°，AB＝7，BC＝24，三角形内有一点P到各边的距离相等，PE⊥AB，PF⊥BC，PD⊥AC，垂足分别为E，F，D，求PD的长．19．如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC边的中点，过点D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F.(1)求证：△BED≌△CFD；(2)若∠A＝60°，BE＝1，求△ABC的周长．20．如图，AD是△ABC的边BC上的高，∠B＝60°，∠C＝45°，AC＝6.(1)求AD的长；(2)求△ABC的面积．五、(本大题共2小题，每小题9分，共18分)21．如图，在△ABC中，∠BAC＝106°，MP，NQ分别垂直平分AB，AC.(1)当AB＝AC时，∠1的度数为________；(2)若AB≠AC，请问(1)中的结论还成立吗？请通过计算说明．22．如图，△ABC是等边三角形，点D，E，F分别是AB，BC，CA上的点．(1)若AD＝BE＝CF，问△DEF是等边三角形吗？试证明你的结论；(2)若△DEF是等边三角形，问AD＝BE＝CF成立吗？试证明你的结论．六、(本大题共12分)23．如图，在平面直角坐标系中，已知点A(0，2)，△AOB为等边三角形，P是x轴上一个动点(不与原点O重合)，以线段AP为一边在其右侧作等边三角形△APQ.(1)求点B的坐标；(2)在点P的运动过程中，∠ABQ的大小是否发生改变？如不改变，求出其大小；如改变，请说明理由；(3)连接OQ，当OQ∥AB时，求P点的坐标．参考答案与解析1．B 2.C 3.C 4.D5．A解析：连接OA，OB.∵∠BAC＝50°，∴∠ABC＋∠ACB＝130°.∵O是AB，AC垂直平分线的交点，∴OA＝OB，OA＝OC，∴∠OAB＝∠OBA，∠OCA＝∠OAC，OB＝OC，∴∠OBA＋∠OCA＝∠OAB＋∠OAC＝50°，∴∠OBC＋∠OCB＝(∠ABC＋∠ACB)－(∠OBA＋∠OCA)＝130°－50°＝80°.∵OB＝OC，∴∠BCO＝∠CBO＝40°.故选A.6．D解析：∵△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠B＝∠C＝12×(180°－90°)＝45°，∴①正确；∵AB＝AC，∠BAC＝90°，直角∠EPF的顶点P是BC的中点，∴AP⊥BC，AP＝12BC＝PC，∠BAP＝∠CAP＝45°＝∠C.∵∠APF＋∠FPC＝90°，∠APF＋∠APE＝90°，∴∠FPC＝∠EP A.在△APE和△CPF中，∠EAP＝∠C，AP＝CP，∠EP A＝∠FPC，∴△APE≌△CPF(ASA)，∴AE＝CF，∴②正确；由△APE≌△CPF可得PE＝PF.∵∠EPF＝90°，∴△EPF是等腰直角三角形，∴③正确；∵△APE≌△CPF，∴S△APE＝S△CPF.∵BP＝CP，∴S△APC＝12S△ABC，∴S四边形AEPF＝S△APE＋S△APF＝S△CPF＋S△APF＝S△APC＝12S△ABC，∴④正确；即正确的有4个．故选 D.7．如果一个三角形两边上的高相等，那么这个三角形是等腰三角形真8．36°9.7610.211.1512．30°或150°或90°解析：若BC为腰，∵AD⊥BC于点D，AD＝12BC，∴∠ACD＝30°.如图①，AD在△ABC内部时，顶角∠C＝30°，如图②，AD在△ABC外部时，顶角∠ACB＝180°－30°＝150°；若BC为底，如图③.∵AD⊥BC于点D，AD＝12BC，∴AD＝BD＝CD，∴∠B＝∠BAD，∠C＝∠CAD，∴∠BAD＋∠CAD＝12×180°＝90°，∴顶角∠BAC＝90°.综上所述，等腰三角形ABC的顶角度数为30°或150°或90°.故答案为30°或150°或90°.13．解：∵AB＝AC，∠A＝40°，∴∠ABC＝∠C＝180－∠A2＝70°.(2分)∵BD是∠ABC的平分线，∴∠DBC＝12∠ABC＝35°，(4分)∴∠BDC＝180°－∠DBC－∠C＝75°.(6分)14．证明：∵四边形ABCD是长方形，∴∠B＝∠C＝90°.(1分)∵EF⊥DF，∴∠EFD＝90°，∴∠EFB＋∠CFD＝90°.又∵∠EFB＋∠BEF＝90°，∴∠BEF＝∠CFD.(3分)在△BEF和△CFD中，∠BEF＝∠CFD，BE＝CF，∠B＝∠C，∴△BEF≌△CFD(ASA)，(5分)∴BF＝CD.(6分)15．证明：∵DE⊥AB，∴∠DEA＝∠ACB＝90°.∵AD平分∠BAC，∴DE＝CD.(2分)又∵AD ＝AD，∴Rt△AED≌Rt△ACD，∴AE＝AC.(4分)∵点A，D都在直线AD上，且它们到点C，E的距离相等，∴直线AD是线段CE的垂直平分线．(6分)16．证明：∵DE∥AC，∴∠1＝∠3.(1分)∵AD平分∠BAC，∴∠1＝∠2，∴∠2＝∠3.(3分)∵AD⊥BD，∴∠2＋∠B＝90°，∠3＋∠BDE＝90°，∴∠B＝∠BDE，∴△BDE是等腰三角形．(6分)17．解：如图所示，AD即为所求．(6分)18．解：连接AP，BP，CP.设PE＝PF＝PD＝x.∵在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝7，BC＝24，∴AC＝AB2＋BC2＝25，(4分)S△ABC＝12AB·CB＝84.(5分)又∵S△ABC＝12AB·PE＋12AC·PD＋12BC·PF＝12(AB＋BC＋AC)·x＝12×56x＝28x，∴28x＝84，解得x＝3.故PD的长为 3.(8分)19．(1)证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C.∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠DEB＝∠DFC＝90°.∵D是BC的中点，∴BD＝CD.(3分)在△BED与△CFD中，∵∠DEB＝∠DFC，∠B＝∠C，BD＝CD，∴△BED≌△CFD(AAS)．(4分)(2)解：∵AB＝AC，∠A＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴AB＝BC＝CA，∠B＝60°.(5分)又∵DE⊥AB，∴∠EDB＝30°.在Rt△BED中，BD＝2BE＝2，∴BC＝2BD＝4，(7分)∴△ABC的周长为AB＋BC＋CD＝3BC＝12.(8分)20．解：(1)∵∠C＝45°，AD是△ABC的边BC上的高，∴∠DAC＝45°，∴AD＝CD.(2分)∵AC2＝AD2＋CD2，∴62＝2AD2，∴AD＝3 2.(4分)(2)在Rt△ADB中，∵∠B＝60°，∴∠BAD＝30°，∴AB＝2BD.(5分)∵AB2＝BD2＋AD2，∴(2BD)2＝BD2＋AD2，∴BD＝ 6.(6分)∴△ABC的面积为12BC·AD＝12(BD＋DC)·AD＝12×(6＋32)×32＝9＋3 3.(8分)21．解：(1)32°(4分)(2)成立．(5分)理由如下：∵∠BAC＝106°，∴∠ABP＋∠ACQ＝180°－106°＝74°.∵MP，NQ 分别垂直平分AB和AC，∴PB＝P A，QC＝QA，∴∠P AB＝∠ABP，∠QAC＝∠ACQ，(7分)∴∠PAB ＋∠QAC＝∠ABP＋∠ACQ＝74°，∴∠1＝∠BAC－(∠PAB＋∠QAC)＝106°－74°＝32°.(9分) 22．解：(1)△DEF是等边三角形．(1分)证明如下：∵△ABC是等边三角形，∴∠A＝∠B＝∠C，AB＝BC＝CA.又∵AD＝BE＝CF，∴DB＝EC＝FA，∴△ADF≌△BED≌△CFE，∴DF＝ED＝FE，(3分)∴△DEF是等边三角形．(4分)(2)AD＝BE＝CF成立．(5分)证明如下：如图，∵△DEF是等边三角形，∴DE＝EF＝FD，∠FDE ＝∠DEF＝∠EFD＝60°，∴∠1＋∠2＝120°.(7分)∵△ABC是等边三角形，∴∠A＝∠B＝∠C＝60°，∴∠2＋∠3＝120°，∴∠1＝∠3.同理∠3＝∠4，易证△ADF≌△BED≌△CFE(AAS)，∴AD＝BE ＝CF.(9分)23．解：(1)如图①，过点B作BC⊥x轴于点 C.∵△AOB为等边三角形，且OA＝2，∴∠AOB＝60°，OB＝OA＝2，∴∠BOC＝30°.(2分)又∵∠OCB＝90°，∴BC＝12OB＝1，OC＝3，∴点B的坐标为(3，1)．(4分)(2)∠ABQ＝90°，始终不变．(5分)理由如下：∵△APQ，△AOB均为等边三角形，∴AP＝AQ，AO＝AB，∠PAQ＝∠OAB，∴∠P AO＝∠QAB.(6分)在△APO与△AQB中，AP＝AQ，∠P AO＝∠QAB，AO＝AB，∴△APO≌△AQB(SAS)，∴∠ABQ＝∠AOP＝90°.(8分)(3)当点P在x轴负半轴上时，点Q在点B的下方，如图②.∵AB∥OQ，∠ABQ＝90°，∴∠BQO ＝90°，∠BOQ＝∠ABO＝60°.又∵OB＝OA＝2，∴BQ＝3，(10分)由(2)可知，△APO≌△AQB，∴OP＝BQ＝3，∴此时点P的坐标为(－3，0)．(12分)。
(完整版)北师大版八年级数学下册第一单元试题与答案
北师大版八年级数学下册第一章测试题（试卷满分100分，时间120分钟）请同学们认真思考、认真解答，相信你会成功！一、选择题（每小题3分，共30分）1．当21-=x 时，多项式12-+kx x 的值小于0，那么k 的值为 [ ]．A ．23-<k B ．23<k C ．23->k D ．23>k2．同时满足不等式2124xx-<-和3316-≥-x x 的整数x 是 [ ]．A ．1，2，3B ．0，1，2，3C ．1，2，3，4D ．0，1，2，3，43．若三个连续正奇数的和不大于27，则这样的奇数组有 [ ]．A ．3组B ．4组C ．5组D ．6组4．如果0>>a b ，那么 [ ]．A ．b a 11->- B ．b a 11< C ．b a 11-<- D ．a b ->-5．某数的2倍加上5不大于这个数的3倍减去4，那么该数的范围是 [ ]．A ．9>xB ．9≥xC ．9<xD ．9≤x6．不等式组⎩⎨⎧<>+72013x x 的正整数解的个数是 [ ]．A ．1B ．2C ．3D ．47．关于x 的不等式组⎪⎩⎪⎨⎧+>++-<a x x x x 4231)3(32有四个整数解，则a 的取值范围是 [ ]． A ．25411-≤<-a B ．25411-<≤-aC ．25411-≤≤-a D ．25411-<<-a8．已知关于x 的不等式组⎩⎨⎧+<-≥-122b a x ba x 的解集为53<≤x ，则ab 的值为 [ ]．A ．-2B ．21- C ．-4 D ．41-9．不等式组⎩⎨⎧>-<+-m x x x 62的解集是4>x ，那么m 的取值范围是 [ ]．A ．4≥mB ．4≤mC ．4<mD ．4=m10．现用 甲、乙两种运输车将46吨抗旱物资运往灾区，甲种运输车载重5吨，乙种运输车载重4吨，安排车辆不超过10辆，则甲种运输车至少应安排 [ ]．A ．4辆B ．5辆C ．6辆D ．7辆二、填空题（每小题3分，共30分）1．若代数式2151--+t t 的值不小于-3，则t 的取值范围是_________． 2．不等式03≤-k x 的正数解是1，2，3，那么k 的取值范围是________．3．若0)3)(2(>-+x x ，则x 的取值范围是________．4．若b a <，用“＜”或“＞”号填空：2a______b a +，33a b -_____． 5．若11|1|-=--x x ，则x 的取值范围是_______． 6．如果不等式组⎩⎨⎧><m x x 5有解，那么m 的取值范围是_______． 7．若不等式组⎩⎨⎧>-<-3212b x a x 的解集为11<<-x ，那么)3)(3(+-b a 的值等于_______．8．函数2151+-=x y ，1212+=x y ，使21y y <的最小整数是________． 9．如果关于x 的不等式5)1(+<-a x a 和42<x 的解集相同，则a 的值为________．10．一次测验共出5道题，做对一题得一分，已知26人的平均分不少于4.8分，最低的得3分，至少有3人得4分，则得5分的有_______人．三、解答题（本大题，共40分）1．（本题8分）解下列不等式（组）：（1）1312523-+≥-x x ； （2）⎪⎩⎪⎨⎧<--+->++-．，021331215)1(2)5(7x x x x。
北师大版八年级数学(下册)第一章测试卷(附参考答案)
北师八下数学测试卷第一章1.若一个等腰三角形的两边长分别是2和5,则它的周长是()A.12B.9C.12或9D.9或72.下列说法中不正确的是( )A.平行四边形是中心对称图形B.斜边及一锐角分别相等的两直角三角形全等C.两个锐角分别相等的两直角三角形全等D.一直角边及斜边分别相等的两直角三角形全等3.如图1,在△ABC中,∠C=90°,AB的垂直平分线交AB于点D,交BC于点E,连接AE,若CE=5,AC=12,则BE的长是()图1A.5B.10C.12D.134.如图2,OC是∠AOB的平分线,P是OC上一点,PD⊥OA于点D,PD=6,则点P到OB的距离为( )图2A.6B.5C.4D.35.在如图3中,AB=AC,BE⊥AC于点E,CF⊥AB于点F,BE、CF交于点D,则下列结论中不正确的是( )图3A.△ABE≌△ACFB.点D在∠BAC的平分线上C.△BDF≌△CDED.点D是BE的中点6.在△ABC和△DEF中,∠A=∠D=90°,则下列条件中不能判定△ABC和△DEF全等的是( )A.AB=DE,AC=DFB.AC=EFC.AB=DE,BC=EFD.∠C=∠F,BC=EF7.如图4所示,在△ABC中,∠A=36°,∠C=72°,∠ABC的平分线交AC于点D,则图中共有等腰三角形( )图4A.0个B.1个C.2个D.3个8.如图5,直线CP是AB的中垂线且交AB于点P,其中AP=2CP.甲、乙两人想在AB上取两点D、E,使得AD=DC=CE=EB,其作法如下：(甲)作∠ACP、∠BCP的角平分线,分别交AB于点D、E,则D、E即为所求;(乙)作AC、BC的中垂线,分别交AB于点D、E,则D、E即为所求.对于甲、乙两人的作法,下列判断正确的是( )图5A.两人都正确B.两人都错误C.甲正确,乙错误D.甲错误,乙正确9.若△ABC三边的比为：：,则△ABC是三角形.10.如图6,在△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,AD平分∠CAB,交BC于点D,若CD=1,则BD=.图611.如图7是由四个直角边分别为3和4全等的直角三角形拼成的“赵爽弦图”,那么阴影部分面积为.图712.如图8,AB=AC,∠A=40°,AB的垂直平分线MN交AC于点D,则∠DBC=度.图813.如图9,在△ABC中,∠ACB=90°,AB=10,点D在AB边上,且CD=BD,则CD的长为.图914.如图10,△ABC是等腰三角形,且AB=AC,BM,CM分别平分∠ABC,∠ACB,DE经过点M,且DE∥BC,则图中有个等腰三角形.图1015.如图11,已知AC⊥BC,BD⊥AD,AC与BD交于点O,AC=BD.求证：(1)BC=AD;(2)△OAB是等腰三角形.图1116.如图12,CD⊥AB于点D,BE⊥AC于点E,BE,CD交于点O,且AO平分∠BAC,求证：OB=OC.图1217.如图13,DE是△ABC的边AB的垂直平分线,分别交AB、BC于点D、E,AE平分∠BAC,若∠B=30°,求∠C的度数.图1318.如图14,在直角三角形ABC中,∠ACB=90°,D是AB上一点,且∠ACD=∠B.求证：CD⊥AB.图1419.如图15,直线CF垂直且平分AD于点E,四边形ABCD中,AB=BC=CD=DA,BA的延长线交CF 于点F,连接AC.(1)图中有几对全等三角形,请把它们都写出来;(2)证明：△ABC是正三角形.图1520.如图16,△ABC中,AC>AB,D是BA延长线上一点,点E是∠CAD的平分线上一点,EB=EC,过点E作EF⊥AC于点F,EG⊥AD于点G.(1)求证：△EGB≌△EFC;(2)若AB=3,AC=5,求AF的长.图16参考答案1.A2.C3.D4.A5.D6.B7.D8.D9.等腰10.211.112.3013.514.515.证明：(1)∵AC⊥BC,BD⊥AD,∴△ABC与△BAD是直角三角形.在△ABC和△BAD中,∵A ∴△ABC≌△BAD. ∴BC=AD. (2)∵△ABC≌△BAD, ∴∠CAB=∠DBA, ∴OA=OB. ∴△OAB是等腰三角形. 16.证明：∵CD⊥AB,BE⊥AC,AO平分∠BAC,∴OD=OE,∠BDO=∠CEO=90°.∵∠BOD=∠COE, ∴△BOD≌△COE. ∴OB=OC. 17. 解：∵DE是AB的垂直平分线,∴EA=EB, ∴∠ABE=∠1. ∵∠B=30°, ∴∠1=30°.又AE平分∠BAC,∴∠2=∠1=30°,即∠BAC=60°.∵∠C=180°-∠BAC-∠B,∴∠C=90°.18. 证明：∵∠ACB=90°, ∴∠A+∠B=90°.∵∠ACD=∠B,∴∠A+∠ACD=90°,∴∠ADC=90°,∴CD⊥AB.19.(1)解：图中有四对全等三角形,分别为△ABC≌△CDA,△AEF≌△DEC,△DEC≌△AEC,△AEF≌△AEC.(2)证明：∵CF垂直平分AD,∴AC=CD.又∵AB=BC=CD=DA,∴AB=BC=AC.∴△ABC为正三角形.20. (1)证明：∵AE平分∠DAC,EF⊥AC,EG⊥AD,∴∠EFC=∠EGB=90°,EF=EG.∵在Rt△EGB和Rt△EFC中,E ∴Rt△EGB≌Rt△EFC(HL). (2)解：∵△EGB≌△EFC,∴GB=FC,EG=EF. 在Rt△EGA和Rt△EFA中,∴Rt△EGA≌Rt△EFA, ∴AF=AG. ∵AG+AB=AC-AF, ∴AF+AB=AC-AF,∴2AF=AC-AB=5-3=2,∴AF=1.。
八年级数学下册第一章综合测试卷-北师大版(含答案)
图1图2图3图4 图5图6图7八年级数学下册第一章综合测试卷-北师大版（含答案）一、填空题1. 如图1，等边△ABC 的周长是9，D 是AC 边上的中点，E 在BC 的延长线上．若DE= BD,则CE 的长为_ ．2.下列命题是真命题的是_________.①有一个外角是120°的等腰三角形是等边三角形． ②有两个外角相等的等腰三角形是等边三角形．③有一边上的高也是这边上的中线的等腰三角形是等边三角形． ④三个外角都相等的三角形是等边三角形．3.如图2，△ABC 为等边三角形，D 、E 、F 分别在边BC 、CA 、AB 上，且AE=CD=BF ，则△DEF 为_____三角形.4.如图3，△ABC 是等边三角形，点D 是BC 边上任意一点，DE ⊥AB 于点E ，DF ⊥AC 于点F ．若BC =4，则BE+ BF=____________．5. 如图4，已知AB ＝AC ＝BC ＝AD,則∠BDC ＝_________.6. 如图5，已知ΔABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝120°，DE 垂直平分AC 交BC 于D ，垂足为E ，若DE ＝2cm ，则BC ＝_____cm .7.如图6所示，∠A ＝60°，CE ⊥AB 于E ，BD ⊥AC 于D ，BD 与CE 相交于点H ，HD ＝1，HE ＝2，则BD ＝ ，CE ＝ ．8.利用反证法证明：垂直于同一条直线的两条直线平行。
第一步应先假设： 。
二、选择题1． 如图7，△ABC 是等边三角形，点D 在AC 边上，∠DBC=35°，则∠ADB 的度数为( )A ．25°B ．60°C ．85°D ．95°2．下列每组三角形中，不一定全等的是（ ） A.有一个角是60°且腰长相等的两个等腰三角形 B.周长相等的两个等边三角形C.有一个角是100°，腰长相等的两个等腰三角形图8图9图10图11D.有两条边分别相等的两个等腰三角形3.以下叙述中不正确的是( )．A．等边三角形的每条高线都是角平分线和中线；B．有一个内角为60°的等腰三角形是等边三角形；C．等腰三角形一定是锐角三角形；D．在一个三角形中，如果有两条边相等，那么它们所对的角也相等；反之，在一个三角形中，如果有两个角相等，那么它们所对的边也相等．4.△ABC中三边为a、b、c，满足关系式（a－b）（b－c）（c－a）＝0，则这个三角形一定为（）A．等边三角形B．等腰三角形C．等腰钝角三角形D．等腰直角三角形5.等边三角形的两条高线相交成钝角的度数是（）A.105°B.120°C.135°D.150°6.如图8，等边三角形ABC中，D为BC的中点，BE平分∠ABC交AD 于E，若△CDE的面积等于1，则△ABC的面积等于（）A．2 B．4 C．6 D．127.如图9,给出下列四组条件：①AB=DE, BC=EF, AC=DF; ②AB=DE,∠B=∠E, BC=EF;③∠B=∠E,BC=EF, ∠C=∠F;④AB=DE, AC=DF,∠B=∠E;其中，能使△ABC≌△DEF的条件共有（）A. 1组B. 2组C. 3组D. 4组8.如图10所示，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，则下列结论不一定正确的是（）A.∠1=∠2B.BD=CDC.∠B=∠CD.AB=2BD9.如图11所示，等边△ABC中，BD=CE，AD与BE相交于点P，则∠APE的度数是（）A.45°B.55°C.60°D.75°10．已知点P在∠AOB的平分线上，∠AOB=60°，OP=10cm，那么点P到边OA，OB的距离分别是（）A．5cm、53cm B．5cm、5cm C．4cm、5cm D．5cm、10cm三、解答题1．如图12．在等边△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点O，且OD∥AB，OE∥AC．图12图13图15 图14（1）试判定△ODE 的形状，并说明理由；（2）线段BD 、DE 、EC 三者有什么关系？写出你的判断过程．2.如图13等边△ABC ，P 为BC 上一点，含30°、60°的直角三角板60°角的顶点落在点P 上，如图，当P 为BC 的三等分点，且PE ⊥AB 时，判断△EPF 的形状.3. 如图14，已知B 、C 、E 三点共线，，都是等边三角形，连结AE 、BD 分别交CD 、AC 于N 、M ，连接MN. 求证：AE ＝BD ，MN ∥BE.4、如图15所示，在等边△ABC 中，AE ＝CD ，AD 、BE 相交于点P ，BQ ⊥AD 于Q ，求证：BP ＝2PQ ．ABC ∆DCE ∆5. 如图16，已知点E在△ABC的边AC上，且∠AEB=∠ABC.(1)求证：∠ABE=∠C；(2)若∠BAE的平分线AF交BE于F，FD∥BC交AC于D，设AB=6，AC=10，求DC的长；(3)若BE平分∠ABC，AF平分∠BAC，且FD∥BC交AC于点D，连接FC，则△DFC是什么三角形？为什么？图166.如图17，在平面直角坐标系中，已知点A（0，2），△AOB为等边三角形，P是x轴上一个动点（不与原点O重合），以线段AP为一边在其右侧作等边三角形△APQ．（1）求点B的坐标；（2）在点P的运动过程中，∠ABQ的大小是否发生改变？如不改变，求出其大小；如改变，请说明理由．（3）连接OQ，当OQ∥AB时，求P点的坐标．图17参考答案第一章一、填空题1. 2. ①④ 3. 等边4. 2 5. 150° 6. 12 7. 5、4 8.略二、选择题1. Ｄ2. Ｄ3. Ｃ4. Ｂ5.Ｂ．6.Ｃ7.Ｃ8.Ｄ9.Ｃ10.Ｂ 三、解答题1. （1）△ODE 是等边三角形，其理由是：∵△ABC 是等边三角形，∴∠ABC ＝∠ACB ＝60°，∵OD ∥AB ，OE ∥AC ，∴∠ODE ＝∠ABC ＝60°，∠OED ＝∠ACB ＝60°∴△ODE 是等边三角形； （2）答：BD ＝DE ＝EC ，理由：∵OB 平分∠ABC ，且∠ABC ＝60°，∴∠ABO ＝∠OBD ＝30°，∵OD ∥AB ，∴∠BOD ＝∠ABO ＝30°，∴∠DBO ＝∠DOB ，∴DB ＝DO ， 同理，EC ＝EO ，∵DE ＝OD ＝OE ，∴BD ＝DE ＝EC ．2. 解：∵PE ⊥AB ，∠B ＝60°， 因此直角三角形PEB 中，BE ＝BP ＝BC ＝PC ，∴∠BPE ＝30°，∵∠EPF ＝60°， ∴FP ⊥BC ，∵∠B ＝∠C ＝60°，BE ＝PC ，∠PEB ＝∠FPC ＝90°，∴△BEP ≌△CPF ，∴PE ＝PF ，∵∠EPF ＝60°，3. 证明：，都是等边三角形 ∴BC ＝AC ，CE ＝CD ，∠1＝∠3＝60° ∠1＋∠2＋∠3＝180°∴∠2＝60°∴∴△BCD ≌△ACE （SAS ）∴BD ＝AE （全等三角形对应边相等） （全等三角形对应角相等） ∴△BMC ≌△ANC （ASA ）∴MC ＝NC （全等三角形对应边相等） ∵∠2＝60°∴△MCN 是等边三角形∴∠6＝60°，∴∠6＝∠1 ∴MN ∥BE （内错角相等，两直线平行）4．证明：∵ △ABC 为等边三角形， ∴ AC ＝BC ＝AB ，∠C ＝∠BAC ＝60°．∴ △ACD ≌△BAE(SAS)．∴ ∠CAD ＝∠ABE ．∵ ∠CAD ＋∠BAP ＝∠BAC ＝60°，∴ ∠ABE ＋∠BAP ＝60°，∴ ∠BPQ ＝60°． ∵ BQ ⊥AD ，∴ ∠BQP ＝90°，∴ ∠PBQ ＝90°－60°＝30°，∴ BP ＝2PQ ． 5.（1）证明：∵ ∠AEB=∠ABC ， 且∠AEB=∠EBC ＋∠C ，∠ABC=∠EBC ＋∠ABE ， ∴ ∠321213ABC ∆DCE ∆ ECA BCD ∠=∠54∠=∠EBC＋∠C＝∠EBC＋∠ABE，∴∠ABE＝∠C；（2）解：∵∠BAE的平分线AF交BE于F，∴∠BAF＝∠DAF，∵FD∥BC交AC于D，∴∠ADF＝∠C，∵∠ABE＝∠C，∴∠ADF＝∠ABE，即∠ADF＝∠ABF，∵AF＝AF，∴△BAF≌△DAF，∴AD＝AB＝6,∴DC＝AC－AD＝10－6＝4.（3）解：△DFC是等腰三角形.理由是：过点F分别作FH⊥AB，FN⊥BC，FM⊥AC，易证：△AFH≌△AFM（AAS），从而知FH＝FM，△BFH≌△BFM（AAS），从而知FH＝FN，∴FM＝FN，又FC＝FC，可证Rt△CFM≌Rt△CFN（HL）∴∠MCF＝∠NCF，∵FD∥BC，∴∠DFC＝∠BCF，∴∠DFC＝∠MCF，∴DF＝DC，∴△DFC是等腰三角形.6（1）如图1，过点B作BC⊥x轴于点C，∵△AOB为等边三角形，且OA=2，∴∠AOB=60°，OB=OA=2，∴∠BOC=30°，而∠OCB=90°，∴BC=OB=1，OC=，∴点B的坐标为B（，1）；（2）∠ABQ=90°，始终不变．（3）∵△APQ、△AOB均为等边三角形，∴AP=AQ、AO=AB、∠PAQ=∠OAB，∴∠PAO=∠QAB，∴△APO≌△AQB，∴∠ABQ=∠AOP=90°；（3）当点P在x轴负半轴上时，点Q在点B的下方，∵AB∥OQ，∠BQO=90°，∠BOQ=∠ABO=60°．OB=OA=2，BQ=，由（2）可知，△APO≌△AQB，∴OP=BQ=，∴此时P的坐标为（﹣，0）．。
北师大版八年级数学(下册)第一章测试卷(附参考答案)
第一章测试卷（考试时间：90分钟满分：100分）1.下列命题不正确的是( )A.等腰三角形的底角不能是钝角B.等腰三角形不能是直角三角形C.若一个三角形有三条对称轴,那么它一定是等边三角形D.两个全等的且有一个锐角为30°的直角三角形可以拼成一个等边三角形2.如图1所示,AB=AC,BD=BC,若∠A=40°,则∠CBD的度数是( )图1A.20°B.30°C.35°D.40°3.如图2,在△ABC中,∠B=∠C,AD为△ABC的中线,那么下列结论错误的是( )图2A.△ABD≌△ACDB.AD为△ABC的高线C.AD为△ABC的角平分线D.△ABC是等边三角形4.如图3,OP平分∠MON,PA⊥ON于点A,点Q是射线OM上一个动点,若PA=3,则PQ的最小值为( )图3A.B.2C.3D.25.如图4所示,B,C,D,E在同一条直线上,且BC=AC=AD=DE,则图中的等腰三角形共有( )图4A.3个B.4个C.5个D.6个6.如图5所示,AB=AC,∠A=50°,AB的垂直平分线MN交AC于点D,则∠DBC的度数为( )图5A.15°B.50°C.65°D.80°7.如图6所示,△ABC是等边三角形,D是BC的中点,DE⊥AC于点E,若CE=1,则AB等于( )图6A.2B.2C.3D.48.如图7所示,已知AC=AD,BC=BD,给出以下结论:①△ACD与△BCD都是等腰三角形;②AB是∠CAD和∠CBD的平分线;③AB⊥CD,且AB平分CD;④图中有三对全等三角形.其中判断正确的是( )图7A.①B.①②C.①②④D.①②③④9.如图8,已知AB⊥CD,垂足为B,BC=BE,若直接应用“HL”判定△ABC≌△DBE,则需要添加的一个条件是.图810.已知两条线段的长为10cm和24cm,当第三条线段的长为cm时,这三条线段能组成一个直角三角形.11.如图9所示,在△ABC中,AB=AC,BD是∠ABC的平分线,且BD=BE,∠BAC=72°,则∠DEC=.图912.如图10所示,在△ABC中,∠B=30°,∠C=45°,若AD⊥BC,D为垂足,CD=1,则AB=.图1013.如图11所示,在△ABC中,∠B=32°,∠C=48°,AB和AC的垂直平分线交BC于点D,E,BC=6cm,则∠DAE的度数为,△ADE的周长为cm.图1114.在△ABC中,AB=4,AC=3,AD是△ABC的角平分线,则△ABD与△ACD的面积之比是.15.如图12,在△ABC中,AB=AC,AD是BC边上的中线,BE⊥AC于点E.求证:∠CBE=∠BAD.图1216.用反证法证明:等腰三角形的底角都是锐角.17.如图13所示,在Rt△ABC中,∠A=90°,点D为斜边BC上一点,且BD=BA,过点D作BC 的垂线交AC于点E.求证:点E在∠ABC的角平分线上.图1318.某地有两所大学和两条相交叉的公路,如图14所示(点M,N表示大学,AO,BO表示公路),现计划修建一座物资仓库,希望仓库到两所大学的距离相等,到两条公路的距离相等.(1)你能确定仓库应该建在什么位置吗?在所给的图中画出你的设计方案;(2)阐述你设计的理由.图1419.如图15,已知在△ABC中,AB=AC,AB的垂直平分线DE交AB于点D,交AC于点E,CE的垂直平分线正好经过点B,与AC相交于点F,求∠A的度数.图1520.如图16,在△ABC中,∠C=90°,AD平分∠CAB,交CB于点D,过点D作DE⊥AB于点E.(1)求证:AC=AE;(2)若点E为AB的中点,CD=4,求BE的长.图16参考答案1.B2.D3.D4.C5.B6.A7.D8.D9.AC=DE10.26或者11.103.5︒12.213.20︒ 614.4：315.证明:∵AB=AC,∴∠ABC=∠C.又∵AD是BC边上的中线,∴AD⊥BC,∴∠BAD+∠ABC=90°.∵BE⊥AC,∴∠CBE+∠C=90°,∴∠CBE=∠BAD.16.解:已知:在△ABC中,AB=AC.求证:∠B和∠C都是锐角.证明:∵AB=AC,∴∠B=∠C.假设∠B和∠C不都是锐角,则∠B=∠C≥90°.∴∠B+∠C≥180°,∴∠B+∠C+∠A>180°,这与三角形内角和定理相矛盾,所以假设不成立.故∠B和∠C都是锐角.17.证明:连接BE,∵ED⊥BC,∴∠BDE=∠A=90°.在Rt△ABE和Rt△DBE中,∴Rt△ABE≌Rt△DBE(HL).∴∠ABE=∠DBE.∴点E在∠ABC的角平分线上.18.解:(1)仓库在线段MN的垂直平分线和∠AOB的角平分线的交点上.作图如图所示,点P 即为所求的位置.(2)理由为:角平分线的性质和线段垂直平分线的性质. 19.解:连接BE , ∵△ABC 是等腰三角形,∴∠ABC=∠C=180.①∵DE 是线段AB 的垂直平分线, ∴AE=BE , ∴∠A=∠ABE.∵CE 的垂直平分线正好过点B ,与AC 相交于点F ,可知△BCE 是等腰三角形, ∴BF 是∠EBC 的平分线,∴(∠ABC-∠A )+∠C=90°,即(∠C-∠A )+∠C=90°.②由①②联立,得∠A=36°.故∠A=36°. 20.(1)证明:∵在△ABC 中,∠C=90°,AD 平分∠CAB ,DE ⊥AB , ∴CD=DE ,∠AED=∠C=90°,∠CAD=∠EAD.在△ACD 和△AED 中,∴△ACD ≌△AED ,∴AC=AE.(2)解:∵DE ⊥AB ,点E 为AB 的中点, ∴AD=BD ,∴∠B=∠DAB=∠CAD. ∵∠C=90°, ∴3∠B=90°,∴∠B=30°.∵CD=DE=4,∠DEB=90°,∴BD=2DE=8,=4.由勾股定理,得BE=8。
最新北师版初中数学八年级下册第一章检测卷及解析答案
第一章检测卷时间：120分钟满分：150分一、选择题(本大题共15小题，每小题3分，共45分，在每道小题的四个选项中，只有一个选项正确)1．在△ABC中，AB＝AC.若∠A＝40°，则∠C的度数是( )A．70°B．55°C．50°D．40°2．下列各组数据中的三个数作为三角形的边长，其中能构成直角三角形的是( )A.3，4， 5 B．1，2， 3 C．6，7，8 D．2，3，43．如图，∠BAD＝∠BCD＝90°，AB＝CB，可以证明△BAD≌△BCD的理由是( )A．HL B．ASA C．SAS D．AAS第3题图第4题图4．如图，△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，下列结论中不正确的是( ) A．∠B＝∠C B．AD⊥BCC ．AD 平分∠BAC D ．AB ＝2BD5．用反证法证明“在同一平面内，若a ⊥c ，b ⊥c ，则a ∥b ”时，应假设( ) A ．a 不垂直于c B ．a ，b 都不垂直于c C ．a 与b 相交 D ．a ⊥b6．如图是某商场一楼与二楼之间的手扶电梯示意图．其中AB 、CD 分别表示一楼、二楼地面的水平线，∠ABC ＝150°，BC ＝8m ，则乘电梯从点B 到点C 上升的高度h 为( )A.833m B ．4m C ．43m D ．8m第6题图 第7题图7．如图，若∠AOB 的平分线上一点P 到OA 的距离PM ＝5cm ，N 是射线OB 上的任一点，则关于PN 的长( )A ．PN ＞5cmB ．PN ＜5cmC ．PN ≥5cmD ．PN ≤5cm8．已知一个等腰三角形的两边长分别是2和4，则该等腰三角形的周长为( )A ．8或10B ．8C ．10D ．6或129．如图，△ABC 中，BD 平分∠ABC ，BC 的垂直平分线交BC 于点E ，交BD 于点F ，连接CF .若∠A ＝60°，∠ABD ＝24°，则∠ACF 的度数为( )A．48°B．36°C．30°D．24°第9题图第10题图10．如图，在三角形纸片ABC中，AB＝BC，∠B＝40°，点D，E分别在AB，BC边上，将该纸片沿直线DE折叠，点B恰好落在点C处，则∠ACD的度数为( )A．10°B．20°C．30°D．40°11．如图，D为△ABC内一点，CD平分∠ACB，BE⊥CD于点D，交AC 于点E，∠A＝∠ABE.若AC＝5，BC＝3，则BD的长为( )A．2.5 B．1.5 C．2 D．1第11题图第12题图12．如图，△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点O，过点O作MN∥BC，分别交AB，AC于点M，N.若AB＝12，AC＝18，BC＝24，则△AMN 的周长为( )A．30 B．36 C．39 D．4213．如图是四张形状不同的纸片，用剪刀沿一条直线将它们分别剪开(只允许剪一次)，不能够得到两个等腰三角形纸片的是( )14．如图，等边△ABC 的三条角平分线相交于点O ，过点O 作EF ∥BC ，分别交AB 于E ，交AC 于F ，则图中的等腰三角形有( )A ．4个B ．5个C ．6个D ．7个15．如图，已知AB ＝A 1B ，A 1B 1＝A 1A 2，A 2B 2＝A 2A 3，A 3B 3＝A 3A 4…，若∠A ＝70°，则∠A n －1A n B n －1的度数为( )A.70°2nB.70°2n ＋1C.70°2n －1D.70°2n ＋2二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分)16．等腰三角形两腰上的高相等，这个命题的逆命题是____________________________________________，这个逆命题是__________命题．17．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AD 平分∠CAB ，CD ＝3，AB ＝12，则△ABD 的面积为________．第17题图第18题图18．如图，△ABC中，D是BC上一点，若AC＝AD＝DB，∠BAC＝102°，则∠ADC＝________°.19．如图，△ABC是等边三角形，P是∠ABC的平分线BD上一点，PE⊥AB 于点E，线段BP的垂直平分线交BC于点F，垂足为点Q.若BF＝2，则PE的长为________．第19题图第20题图20．如图，直线m，n交于点B，且夹角为50°，点A是直线m上的点，在直线n上寻找一点C使△ABC是等腰三角形，这样的C点有________个．三、解答题(本大题共7小题，各题分值见题号后，共80分)21．(8分)如图，在长方形ABCD中，点E在边AB上，点F在边BC上，且BE＝CF，EF⊥DF，求证：BF＝CD.22．(8分)如图，在△ABC中，已知AB＝AC，∠BAC的平分线AE交BC 于点E，∠ACB的平分线CD交AE于点D，∠ADC＝125°.求∠ACB和∠BAC 的度数．23．(10分)如图，已知P点是∠AOB平分线上一点，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足为C、D.(1)求证：∠PCD＝∠PDC；(2)求证：OP垂直平分线段CD.24．(12分)如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC边的中点，过点D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F.(1)求证：△BED≌△CFD；(2)若∠A＝60°，BE＝1，求△ABC的周长．25．(12分)如图，AD是△ABC的边BC上的高，∠B＝60°，∠C＝45°，AC＝6.求：(1)AD的长；(2)△ABC的面积．26．(14分)如图，△ABC是等边三角形，点D，E，F分别是AB，BC，CA上的点．(1)若AD＝BE＝CF，问△DEF是等边三角形吗？试证明你的结论；(2)若△DEF是等边三角形，问AD＝BE＝CF成立吗？试证明你的结论．27．(16分)如图，在平面直角坐标系中，已知点A(0，2)，△AOB为等边三角形，P是x轴上一个动点(不与原点O重合)，以线段AP为一边在其右侧作等边△APQ.(1)求点B的坐标；(2)在点P的运动过程中，∠ABQ的大小是否发生改变？如不改变，求出其大小；如改变，请说明理由；(3)连接OQ，当OQ∥AB时，求点P的坐标．参考答案与解析1．A 2.B 3.A 4.D 5.C 6.B 7.C 8.C9．A 10.C 11.D 12.A 13.B 14.D15．C 解析：∵在△ABA1中，∠A＝70°，AB＝A1B，∴∠BA1A＝70°.∵A1A2＝A1B1，∴∠A1A2B1＝∠A1B1A2.又∵∠A1A2B1＋∠A1B1A2＝∠BA1A，∴∠B1A2A1＝∠BA1A2＝35°；同理可得∠B2A3A2＝12∠B1A2A1＝12×35°＝17.5°，∠B3A4A3＝12×17.5°＝35°4，∴∠A n－1A n B n－1＝70°2n－1.故选C.16．如果一个三角形两边上的高相等，那么这个三角形是等腰三角形真17．18 18.52 19. 320．4 解析：∵△ABC为等腰三角形，∴应分以下三种情况．(1)当以C 为顶点时，则有BC＝AC，即点C在线段AB的垂直平分线上，可知点C只能在直线m的上方，有一个点；(2)当以A为顶点时，则有AC＝AB，由两直线夹角为50°可知点C只能在直线m的上方，有一个点；(3)当以B为顶点时，则有AB＝CB，此时点C可以在直线m的上方，也可以在直线m的下方，有两个点．综上可知满足条件的C点有4个．21．证明：∵四边形ABCD 是长方形，∴∠B ＝∠C ＝90°.(1分)∵EF ⊥DF ，∴∠EFD ＝90°，∴∠EFB ＋∠CFD ＝90°.∵∠EFB ＋∠BEF ＝90°，∴∠BEF＝∠CFD .(4分)在△BEF 和△CFD 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠BEF ＝∠CFD ，BE ＝CF ，∠B ＝∠C ，∴△BEF ≌△CFD (ASA)，(7分)∴BF ＝CD .(8分)22．解：∵AB ＝AC ，AE 平分∠BAC ，∴AE ⊥BC .(3分)∵∠ADC ＝125°，∴∠DCE ＝∠ADC －∠DEC ＝125°－90°＝35°.(5分)∵CD 平分∠ACB ，∴∠ACB ＝2∠DCE ＝70°.(6分)∵AB ＝AC ，∴∠B ＝∠ACB ＝70°，∴∠BAC ＝180°－(∠B ＋∠ACB )＝40°.(8分)23．证明：(1)∵P 是∠AOB 平分线上的一点，且PC ⊥OA ，PD ⊥OB ，∴PC ＝PD ，∴∠PCD ＝∠PDC .(4分)(2)在Rt △OCP 和Rt △ODP 中，∵OP ＝OP ，PC ＝PD ，∴Rt △OCP ≌Rt △ODP (HL)，(7分)∴OC ＝OD .又∵PC ＝PD ，则点O 和点P 均在线段CD 的垂直平分线上，∴OP 垂直平分线段CD .(10分)24．(1)证明：∵AB ＝AC ，∴∠B ＝∠C .∵DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，∴∠DEB ＝∠DFC ＝90°.∵D 是BC 的中点，∴BD ＝CD .(3分)在△BED 与△CFD 中，∵∠DEB ＝∠DFC ，∠B ＝∠C ，BD ＝CD ，∴△BED ≌△CFD (AAS)．(6分)(2)解：∵AB ＝AC ，∠A ＝60°，∴△ABC 是等边三角形，∴AB ＝BC ＝CA ，∠B ＝60°.(8分)又∵DE ⊥AB ，∴∠EDB ＝30°.在Rt △BED 中，BD ＝2BE ＝2，∴BC ＝2BD ＝4，(10分)∴△ABC 的周长为AB ＋BC ＋CA ＝3BC ＝12.(12分)25．解：(1)∵∠C ＝45°，AD ⊥BC ，∴∠DAC ＝45°，∴AD ＝CD .(2分)∵AC 2＝AD 2＋CD 2，∴62＝2AD 2，∴AD ＝3 2.(5分)(2)在Rt △ADB 中，∵∠B ＝60°，∴∠BAD ＝30°，∴AB ＝2BD .(7分)∵AB 2＝BD 2＋AD 2，∴(2BD )2＝BD 2＋AD 2，∴BD ＝6.(10分)∴S △ABC ＝12BC ·AD ＝12(BD ＋DC )·AD ＝12×(6＋32)×32＝9＋33.(12分) 26．解：(1)△DEF 是等边三角形．(2分)证明如下：∵△ABC 是等边三角形，∴∠A ＝∠B ＝∠C ，AB ＝BC ＝CA .又∵AD ＝BE ＝CF ，∴DB ＝EC ＝FA .∴△ADF ≌△BED ≌△CFE ，∴DF ＝ED ＝FE .(5分)∴△DEF 是等边三角形．(6分)(2)AD ＝BE ＝CF 成立．(8分)证明如下：如图，∵△DEF 是等边三角形，∴DE ＝EF ＝FD ，∠FDE ＝∠DEF ＝∠EFD ＝60°.∴∠1＋∠2＝120°.(10分)∵△ABC 是等边三角形，∴∠A ＝∠B ＝∠C ＝60°，∴∠2＋∠3＝120°，∴∠1＝∠3.同理∠3＝∠4，易证△ADF ≌△BED ≌△CFE (AAS)，∴AD ＝BE ＝CF .(14分)27．解：(1)如图①，过点B 作BC ⊥x 轴于点C .∵△AOB 为等边三角形，且OA ＝2，∴∠AOB ＝60°，OB ＝OA ＝2，∴∠BOC ＝30°.(2分)又∵∠OCB＝90°，∴BC ＝12OB ＝1，OC ＝OB 2－BC 2＝3，∴点B 的坐标为(3，1)．(4分)(2)∠ABQ ＝90°，始终不变．(5分)理由如下：∵△APQ ，△AOB 均为等边三角形，∴AP ＝AQ ，AO ＝AB ，∠PAQ ＝∠OAB ，∴∠PAO ＝∠QAB .(6分)在△APO 与△AQB 中，⎩⎪⎨⎪⎧AP ＝AQ ，∠PAO ＝∠QAB ，AO ＝AB ，∴△APO ≌△AQB (SAS)，∴∠ABQ ＝∠AOP ＝90°.(8分)(3)如图②，当点P 在x 轴负半轴上时，点Q 在点B 的下方．∵AB ∥OQ ，∴∠BQO ＝180°－∠ABQ ＝90°，∠BOQ ＝∠ABO ＝60°，∴∠OBQ ＝90°－∠BOQ ＝30°.又∵OB ＝OA ＝2，∴OQ ＝12OB ＝1，∴BQ ＝ 3.(10分)由(2)可知，△APO ≌△AQB ，∴OP ＝BQ ＝3，∴点P 的坐标为(－3，0)．(16分)。
北师大版八年级数学下册-第一章检测卷含答案
第一章检测卷时间：120分钟满分：120分题号一二三四五六总分得分一、选择题(本大题共6小题，每小题3分，共18分．每小题只有一个正确选项)1．在△ABC中，AB＝2，BC＝3，AC＝7，则△ABC的形状是()A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰直角三角形2．如图，OP平分∠AOB，P A⊥OA，PB⊥OB，垂足分别为A，B.下列结论中不一定成立的是()A．P A＝PB B．PO平分∠APBC．AB垂直平分OP D．∠OBA＝∠OAB第2题图第3题图第4题图3．如图，l∥m，等边△ABC的顶点B在直线m上，边BC与直线m所夹锐角为20°，则∠α的度数为( )A．60° B．45° C．40° D．30°4．如图，D为△ABC内一点，CD平分∠ACB，BE⊥CD，垂足为D，交AC于点E，∠A＝∠ABE.若AC＝5，BC＝3，则BD的长为DA．2.5 B．1.5 C．2 D．15．如图，∠A＝50°，点O是AB，AC垂直平分线的交点，则∠BCO的度数是( )A．40° B．50° C．60° D．70°第5题图第6题图6．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，直角∠EPF的顶点P是BC的中点，两边PE，PF分别交AB，AC于点E，F，连接EF交AP于点G.给出以下四个结论：①∠B＝∠C＝45°；②AE ＝CF；③△EPF是等腰直角三角形；④四边形AEPF的面积是△ABC面积的一半．其中正确的有()A．1个B．2个C．3个D．4个二、填空题(本大题共6小题，每小题3分，共18分)7．等腰三角形两腰上的高相等，这个命题的逆命题是____________________________________________，这个逆命题是真命题．8．如图，△ABC中，AC＝BC，CD∥AB，若∠ECD＝36°，则∠B＝________.第8题图第9题图9．如图，点E在正方形ABCD内，满足∠AEB＝90°，AE＝6，BE＝8，则阴影部分的面积是________.10．如图，AB＝AC，AD＝AE，AF⊥BC于F，则图中全等的直角三角形有________对．第10题图第11题图11．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AD是△ABC的一条角平分线．若CD＝3，则△ABD的面积为________．12．在等腰三角形ABC中，AD⊥BC交直线BC于点D.若AD＝12BC，则△ABC的顶角的度数为______________．三、(本大题共5小题，每小题6分，共30分)13．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，BD是∠ABC的平分线，求∠BDC的度数．14．如图，在长方形ABCD中，点E在边AB上，点F在边BC上，且BE＝CF，EF⊥DF，求证：BF＝CD.15．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于点 E.求证：直线AD是线段CE的垂直平分线．16．如图，AD平分∠BAC，AD⊥BD，垂足为点D，DE∥AC.求证：△BDE是等腰三角形．17．如图，在△ABC中，AB＝AC，直线l过点A，且直线l∥BC，E，F是直线l上的两点，AE＝AF，请用无刻度的直尺作出BC边上的高AD.四、(本大题共3小题，每小题8分，共24分)18．如图，△ABC中，∠B＝90°，AB＝7，BC＝24，三角形内有一点P到各边的距离相等，PE⊥AB，PF⊥BC，PD⊥AC，垂足分别为E，F，D，求PD的长．19．如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC边的中点，过点D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F.(1)求证：△BED≌△CFD；(2)若∠A＝60°，BE＝1，求△ABC的周长．20．如图，AD是△ABC的边BC上的高，∠B＝60°，∠C＝45°，AC＝6.(1)求AD的长；(2)求△ABC的面积．五、(本大题共2小题，每小题9分，共18分)21．如图，在△ABC中，∠BAC＝106°，MP，NQ分别垂直平分AB，AC.(1)当AB＝AC时，∠1的度数为________；(2)若AB≠AC，请问(1)中的结论还成立吗？请通过计算说明．22．如图，△ABC是等边三角形，点D，E，F分别是AB，BC，CA上的点．(1)若AD＝BE＝CF，问△DEF是等边三角形吗？试证明你的结论；(2)若△DEF是等边三角形，问AD＝BE＝CF成立吗？试证明你的结论．六、(本大题共12分)23．如图，在平面直角坐标系中，已知点A(0，2)，△AOB为等边三角形，P是x轴上一个动点(不与原点O重合)，以线段AP为一边在其右侧作等边三角形△APQ.(1)求点B的坐标；(2)在点P的运动过程中，∠ABQ的大小是否发生改变？如不改变，求出其大小；如改变，请说明理由；(3)连接OQ，当OQ∥AB时，求P点的坐标．参考答案与解析1．B 2.C 3.C 4.D5．A解析：连接OA，OB.∵∠BAC＝50°，∴∠ABC＋∠ACB＝130°.∵O是AB，AC垂直平分线的交点，∴OA＝OB，OA＝OC，∴∠OAB＝∠OBA，∠OCA＝∠OAC，OB＝OC，∴∠OBA＋∠OCA＝∠OAB＋∠OAC＝50°，∴∠OBC＋∠OCB＝(∠ABC＋∠ACB)－(∠OBA＋∠OCA)＝130°－50°＝80°.∵OB＝OC，∴∠BCO＝∠CBO＝40°.故选A.6．D解析：∵△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠B＝∠C＝12×(180°－90°)＝45°，∴①正确；∵AB＝AC，∠BAC＝90°，直角∠EPF的顶点P是BC的中点，∴AP⊥BC，AP＝12BC＝PC，∠BAP＝∠CAP＝45°＝∠C.∵∠APF＋∠FPC＝90°，∠APF＋∠APE＝90°，∴∠FPC＝∠EP A.在△APE和△CPF中，∠EAP＝∠C，AP＝CP，∠EP A＝∠FPC，∴△APE≌△CPF(ASA)，∴AE＝CF，∴②正确；由△APE≌△CPF可得PE＝PF.∵∠EPF＝90°，∴△EPF是等腰直角三角形，∴③正确；∵△APE≌△CPF，∴S△APE＝S△CPF.∵BP＝CP，∴S△APC＝12S△ABC，∴S四边形AEPF＝S△APE＋S△APF＝S△CPF＋S△APF＝S△APC＝12S△ABC，∴④正确；即正确的有4个．故选 D.7．如果一个三角形两边上的高相等，那么这个三角形是等腰三角形真8．36°9.7610.211.1512．30°或150°或90°解析：若BC为腰，∵AD⊥BC于点D，AD＝12BC，∴∠ACD＝30°.如图①，AD在△ABC内部时，顶角∠C＝30°，如图②，AD在△ABC外部时，顶角∠ACB＝180°－30°＝150°；若BC为底，如图③.∵AD⊥BC于点D，AD＝12BC，∴AD＝BD＝CD，∴∠B＝∠BAD，∠C＝∠CAD，∴∠BAD＋∠CAD＝12×180°＝90°，∴顶角∠BAC＝90°.综上所述，等腰三角形ABC的顶角度数为30°或150°或90°.故答案为30°或150°或90°.13．解：∵AB＝AC，∠A＝40°，∴∠ABC＝∠C＝180－∠A2＝70°.(2分)∵BD是∠ABC的平分线，∴∠DBC＝12∠ABC＝35°，(4分)∴∠BDC＝180°－∠DBC－∠C＝75°.(6分)14．证明：∵四边形ABCD是长方形，∴∠B＝∠C＝90°.(1分)∵EF⊥DF，∴∠EFD＝90°，∴∠EFB＋∠CFD＝90°.又∵∠EFB＋∠BEF＝90°，∴∠BEF＝∠CFD.(3分)在△BEF和△CFD中，∠BEF＝∠CFD，BE＝CF，∠B＝∠C，∴△BEF≌△CFD(ASA)，(5分)∴BF＝CD.(6分)15．证明：∵DE⊥AB，∴∠DEA＝∠ACB＝90°.∵AD平分∠BAC，∴DE＝CD.(2分)又∵AD ＝AD，∴Rt△AED≌Rt△ACD，∴AE＝AC.(4分)∵点A，D都在直线AD上，且它们到点C，E的距离相等，∴直线AD是线段CE的垂直平分线．(6分)16．证明：∵DE∥AC，∴∠1＝∠3.(1分)∵AD平分∠BAC，∴∠1＝∠2，∴∠2＝∠3.(3分)∵AD⊥BD，∴∠2＋∠B＝90°，∠3＋∠BDE＝90°，∴∠B＝∠BDE，∴△BDE是等腰三角形．(6分)17．解：如图所示，AD即为所求．(6分)18．解：连接AP，BP，CP.设PE＝PF＝PD＝x.∵在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝7，BC＝24，∴AC＝AB2＋BC2＝25，(4分)S△ABC＝12AB·CB＝84.(5分)又∵S△ABC＝12AB·PE＋12AC·PD＋12BC·PF＝12(AB＋BC＋AC)·x＝12×56x＝28x，∴28x＝84，解得x＝3.故PD的长为 3.(8分)19．(1)证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C.∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠DEB＝∠DFC＝90°.∵D是BC的中点，∴BD＝CD.(3分)在△BED与△CFD中，∵∠DEB＝∠DFC，∠B＝∠C，BD＝CD，∴△BED≌△CFD(AAS)．(4分)(2)解：∵AB＝AC，∠A＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴AB＝BC＝CA，∠B＝60°.(5分)又∵DE⊥AB，∴∠EDB＝30°.在Rt△BED中，BD＝2BE＝2，∴BC＝2BD＝4，(7分)∴△ABC的周长为AB＋BC＋CD＝3BC＝12.(8分)20．解：(1)∵∠C＝45°，AD是△ABC的边BC上的高，∴∠DAC＝45°，∴AD＝CD.(2分)∵AC2＝AD2＋CD2，∴62＝2AD2，∴AD＝3 2.(4分)(2)在Rt△ADB中，∵∠B＝60°，∴∠BAD＝30°，∴AB＝2BD.(5分)∵AB2＝BD2＋AD2，∴(2BD)2＝BD2＋AD2，∴BD＝ 6.(6分)∴△ABC的面积为12BC·AD＝12(BD＋DC)·AD＝12×(6＋32)×32＝9＋3 3.(8分)21．解：(1)32°(4分)(2)成立．(5分)理由如下：∵∠BAC＝106°，∴∠ABP＋∠ACQ＝180°－106°＝74°.∵MP，NQ 分别垂直平分AB和AC，∴PB＝P A，QC＝QA，∴∠P AB＝∠ABP，∠QAC＝∠ACQ，(7分)∴∠PAB ＋∠QAC＝∠ABP＋∠ACQ＝74°，∴∠1＝∠BAC－(∠PAB＋∠QAC)＝106°－74°＝32°.(9分) 22．解：(1)△DEF是等边三角形．(1分)证明如下：∵△ABC是等边三角形，∴∠A＝∠B＝∠C，AB＝BC＝CA.又∵AD＝BE＝CF，∴DB＝EC＝FA，∴△ADF≌△BED≌△CFE，∴DF＝ED＝FE，(3分)∴△DEF是等边三角形．(4分)(2)AD＝BE＝CF成立．(5分)证明如下：如图，∵△DEF是等边三角形，∴DE＝EF＝FD，∠FDE ＝∠DEF＝∠EFD＝60°，∴∠1＋∠2＝120°.(7分)∵△ABC是等边三角形，∴∠A＝∠B＝∠C＝60°，∴∠2＋∠3＝120°，∴∠1＝∠3.同理∠3＝∠4，易证△ADF≌△BED≌△CFE(AAS)，∴AD＝BE ＝CF.(9分)23．解：(1)如图①，过点B作BC⊥x轴于点 C.∵△AOB为等边三角形，且OA＝2，∴∠AOB＝60°，OB＝OA＝2，∴∠BOC＝30°.(2分)又∵∠OCB＝90°，∴BC＝12OB＝1，OC＝3，∴点B的坐标为(3，1)．(4分)(2)∠ABQ＝90°，始终不变．(5分)理由如下：∵△APQ，△AOB均为等边三角形，∴AP＝AQ，AO＝AB，∠PAQ＝∠OAB，∴∠P AO＝∠QAB.(6分)在△APO与△AQB中，AP＝AQ，∠P AO＝∠QAB，AO＝AB，∴△APO≌△AQB(SAS)，∴∠ABQ＝∠AOP＝90°.(8分)(3)当点P在x轴负半轴上时，点Q在点B的下方，如图②.∵AB∥OQ，∠ABQ＝90°，∴∠BQO ＝90°，∠BOQ＝∠ABO＝60°.又∵OB＝OA＝2，∴BQ＝3，(10分)由(2)可知，△APO≌△AQB，∴OP＝BQ＝3，∴此时点P的坐标为(－3，0)．(12分)。
北师大版初中数学八下第一章综合测试试题试卷含答案
第一章综合测试一、选择题（共10小题，满分30分）1．如图已知100BAC ︒∠=，AB AC =，AB AC 、的垂直平分线分别交BC 于D E 、，则DAE ∠=（ ）A ．40︒B ．30︒C ．20︒D ．10︒2．如图，ABC △中，AB AC =，高BD CE 、相交于点O ，连接AO 并延长交BC 于点F ，则图中全等的直角三角形共有（ ）A ．4对B ．5对C ．6对D ．7对 3．如果一个三角形一条边上的中点到其它两边距离相等，那么这个三角形一定是（ ） A ．等边三角形 B ．等腰三角形 C ．直角三角形 D ．斜三角形 4．Rt ABC △中，9046C B ︒︒∠=∠=，，则A ∠=（ ） A ．44︒ B ．34︒ C ．54︒ D ．64︒ 5．在ABC △中，若0A B C ∠+∠−∠=，则ABC △是（ ） A ．直角三角形B ．锐角三角形C ．钝角三角形D ．等腰三角形6．如图，AC AD BC BD ==，，则（ ）A ．AB 垂直平分CD B ．CD 垂直平分ABC ．CD 平分ACB ∠D ．以上结论均不对7．如图，ABC △中，D 为BC 上一点，ABD △的周长为12cm ，DE 是线段AC 的垂直平分线，5AE =cm ，则ABC △的周长是（ ）A ．17cmB ．22cmC ．29cmD ．32cm8．如图，在ABC △中，AF 平分BAC ∠，AC 的垂直平分线交BC 于点E ，60B ︒∠=，30C ︒∠=，则FAE ∠为（ ）A ．10︒B ．15︒C ．20︒D ．30︒9．如图，AD 是ABC △的角平分线，,DF AB ⊥，垂足分别为点F ，DE DG =，若ADG △和ADE △的面积分别为50和39，则DEF △的面积为（ ）A ．11B ．7C ．5.5D ．3.510．如图，ABC △中，90C ︒∠=，AD 平分BAC ∠，过点D 作DE AB ⊥于E ，若4DC =，则DE =（ ）A ．3B ．5C ．4D ．6二、填空题（共7小题，满分28分）11．若等腰三角形的一个内角为50︒，则这个等腰三角形的顶角为________.12．下列四组数:①5，12，13；②7，24，25；③1，2，4；④5，6，8其中可以作为直角三角形三边长的有________.（把所有你认为正确的序号都写上）13．如图，在ABC △中，90C ∠=︒，AC BC =，BD 平分ABC ∠交AC 于点D ，DE AB ⊥于点E .若AB =10cm ，则ADE △的周长为________cm .14．在ABC △中，AB AC =，AB 的垂直平分线交AC 于D ，交AB 于E ，连接BD ，若40ADE ︒∠=，则ABC ∠=________.15．如图，BD 垂直平分线段AC ，AE BC ⊥，垂足为E ，交BD 于点P ，3cm PE =，则点P 到直线AB 的距离是________cm .16．如图，在ABC △中，点D 是BC 边上一点，12∠=∠，34∠=∠，63BAC ︒∠=，则DAC ∠的度数为________.17．如图，在Rt ABC △中，90C ︒∠=，AD 平分BAC ∠，交BC 于点D ，若103AB CD ==，，则ABC S =△________.三、解答题（共8小题，满分62分）18．如图，ABC △中，90C =∠，4AC =，8BC =.（1）用直尺和圆规作AB 的垂直平分线；（保留作图痕迹，不要求写作法） （2）若（1）中所作的垂直平分线交BC 于点D ，求BD 的长.19．如图，已知ABC ∠，求作：（1）ABC ∠的平分线BD （写出作法，并保留作图痕迹）；（2）在BD 上任取一点P ，作直线PQ ，使PQ AB ⊥（不写作法，保留作图痕迹）.20．如图，ABC △中，D 是BC 上的一点，若10AB =，6BD =，8AD =，17AC =，求ABC △的面积.21．如图所示、AOB △和D CO ∆均为等腰直角三角形，90AOB COD ︒∠=∠=，D 在AB 上.（1）求证：AOC BOD △≌△；（2）若12AD BD ==，，求CD 的长.22．如图，已知ABC △中，AB AC BD CE =，、是高，BD 与CE 相交于点O . （1）求证：OB OC =；（2）若50ABC ︒∠=，求BOC ∠的度数.23．已知锐角ABC △，45ABC AD BC ︒∠=⊥，于D ，BE AC ⊥于E ，交AD 于F . （1）求证：BDF ADC △≌△；（2）若43BD DC ==，，求线段BE 的长度.24．如图，AB BC ⊥，射线CM BC ⊥，且5cm BC =，1cm AB =，点P 是线段BC （不与点B C 、重合）上的动点，过点P 作DP AP ⊥交射线CM 于点D ，连结AD .（1）如图1，若4cm BP =，则CD =________；（2）如图2，若DP 平分ADC ∠，试猜测PB 和PC 的数量关系，并说明理由；（3）若PDC △是等腰三角形，则CD =________cm .（请直接写出答案）25．如图，在ABC △中，20AB AC ==厘米，B C ∠=∠，16BC =厘米，点D 为AB 的中点，如果点P 在线段BC 上以6厘米/秒的速度由点向点运动，同时点Q 在线段CA 上由C 点向A 点运动.当一个点停止运动时，另一个点也随之停止运动.（1）用含有t 的代数式表示CP ，则CP =________厘米；（2）若点Q 的运动速度与点P 的运动速度相等，经过1秒后，BPD △与CQP △是否全等，请说明理由；（3）若点Q 的运动速度与点P 的运动速度不相等，那么当点Q 的运动速度为多少时，能够使BPD △与CQP △全等？第一章综合测试答案解析一、 1．【答案】C【解析】解：100BAC AC AB ︒∠==，，18040B C BAC ︒︒∴∠=∠=−∠=（），DM EN 、分别是边AB 和AC 的垂直平分线， BD AD AE CE ∴==，，4040B BAD C CAE ︒︒∴∠=∠=∠=∠=，， =100404020DAE ︒︒︒︒∴∠−−=.故选C. 2．【答案】D【解析】解：有7对全等三角形： ①BDC CEB △≌△，理由是：AB AC =， ABC ACB ∴∠=∠，BD 和CE 是两腰上的高， 90BDC CEB ︒∴∠=∠=，在BDC △和CEB △中，BDC CEB ACB ABC BC CB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，，，BDC CEB AAS ∴△≌△（）， BE DC ∴=.②BEO CDO △≌△，理由是：在BEO △和CDO △中，BEO CDO BOE COD BE CD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，，，BEO CDO AAS ∴△≌△（）. ③AEO ADO △≌△，理由是： 由BEO CDO △≌△得：EO DO =，在Rt AEO △和Rt ADO △中，AO AO EO OD =⎧⎨=⎩，，Rt Rt AEO ADO HL ∴△≌△（）， EAO DAO ∴∠=∠.④ABF ACF △≌△，理由是：在ABF △和ACF △中，AB AC EAO DAO AF AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，，，⑤BOF COF △≌△，理由是：AB AC BAF CAF =∠=∠，， BF FC AFB AFC ∴=∠=∠，，在BOF △和COF △中，OF OF AFB ADC BF FC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，，，BOF COF SAS ∴△≌△（）. ⑥AOB AOC △≌△，理由是：在AOB △和AOC △中，AO AO BAO CAO AB AC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，，，AOB AOC SAS ∴△≌△（）. ⑦ABD ACE △≌△，理由是： 在ABD △和ACE △中， ABD ACE SAS ∴△≌△（）. 故选：D. 3．【答案】B 【解析】如右图，DE AB DF AC ⊥⊥，，90BED DFC ︒∴∠=∠=，在BDE △和CDF △，BD CD DE DF ==，，DBE DFC HL ∴△≌△（）， B C ∴∠=∠， AB AC ∴=，∴这个三角形一定是等腰三角形. 故选B. 4．【答案】A【解析】解：9046904644C B A ︒︒︒︒︒∠=∠=∴∠=−=，，.故选A. 5．【答案】A【解析】解：0A B C ∠+∠−∠=，A B C ∴∠+∠=∠，180A B C ︒∠+∠+∠=，90C ︒∴∠=，ABC ∴△是直角三角形.故选择：A. 6．【答案】A 【解析】解：AC AD BC BD AB AB ===，，，CAB DAB ∴∠=∠，且AC AD =，AB ∴垂直平分CD .故选：A. 7．【答案】B【解析】因为DE 是AC 的垂直平分线，所以AD CD =，AE EC =，而5cm AE =，所以10cm AC =，而ABC C AB BC AC =++△，ABC C AB BD AD AB BD CD AB BC =++=++=+△，所以ABC ABD C C AC =+=△△cm 10c m 12m c 22+=.8．【答案】B【解析】解：在ABC ∆中，60B ︒∠=，30C ︒∠=，180690030BAC ︒︒︒︒∴−−=∠=，AF 平分BAC ∠，11904522CAF BAC ︒︒⨯∴∠=∠==；DE 垂直平分AC ， AE CE ∴=，30EAD C ︒∴∠=∠=，453015FAE CAF CAE ︒︒︒∴∠=∠−∠=−=.故选：B. 9．【答案】C【解析】作DM DE =交AC 于M ，作DN AC ⊥于点N ，DE DG =， DM DG ∴=，AD 是ABC △的角平分线，DF AB ⊥， DF DN ∴=，在Rt DEF △和Rt DMN △中，DN DFDM DE ==⎧⎨⎩， Rt Rt DEF DMN HL ∴△≌△（）， ADG △和AED △的面积分别为50和39， 503911MDG ADG ADM S S S ∴=−=−=△△△，1152.5112DNM EDF MDG S S S ===⨯=△△△.故选C. 10．【答案】C【解析】解：90C ︒∠=，AD 平分BAC DE AB ∠⊥，于E ，DE DC ∴=， 4DC =，4DE ∴=.故选：C. 二、11．【答案】50︒或80︒ 【解析】如右图所示，ABC △中，AB AC =，有两种情况：①顶角50A ︒∠=； ②当底角是50︒时，AB AC =，50B C ︒∴∠=∠=， 180A B C ︒∠+∠+∠=， 180505080A ︒︒︒︒∴∠=−−=，∴这个等腰三角形的顶角为50︒或80︒. 故答案为50︒或80︒. 12．【答案】①②【解析】解：①22251213+=，能构成直角三角形； ②22272425+=，能构成直角三角形； ③222124+≠，不能构成直角三角形； ④222568+≠，不能构成直角三角形， 所以可以作为直角三角形三边长的有①②， 故答案为：①②. 13．【答案】10 【解析】BD 平分ABC ∠交AC 于D ，DE AB ⊥于E ，90DBE DBC BED C BD BD ︒∴∠=∠∠=∠==，，，BDE BDC AAS ∴△≌△（）， DE DC BE BC ∴==，，ADE ∴△的周长10cm DE DA AE DC DA AE CA AE BC AE BE AE AB =++=++=+=+=+==.故答案为：10. 14．【答案】65︒ 【解析】DE 是AB 的垂直平分线，DE AB ∴⊥，90AED ︒∴∠=.又40ADE ︒∠=，50A ︒∴∠=.又AB AC =，18050265ABC ACB ︒︒︒∴∠=∠=−÷=（）.故答案为65︒. 15．【答案】3【解析】过点P 作PM AB ⊥与点M ，BD 垂直平分线段AC ， AB CB ∴=，ABD DBC ∴∠=∠，即BD 为角平分线，又PM AB PE CB ⊥⊥，，3PM PE ∴==.16．【答案】24︒【解析】设12x ∠=∠=，则43122x ∠=∠=∠+∠=，63DAC ︒∠=， 63DAC x ︒∴∠=−，在ABC △中，有263180x x ︒︒++=，39x ︒=，°°6324DAC x ∴∠=−=，故答案为：24︒. 17．【答案】15 【解析】解：作DE AB ⊥于E ，90C ︒∠=， DC AC ∴⊥，AD 平分BAC DC AC DE A ∠⊥⊥，，， DE CD ∴=， 103AB CD ==，，∴111031522ABDSAB DE =⨯⨯=⨯⨯=. 故答案为15. 三、18．【答案】（1）如图直线MN 即为所求.（2）5BD =【解析】（2）MN 垂直平分线段AB ，DA DB ∴=，设DA DB x ==，在Rt ACD △中，222AD AC CD =+，()22248x x ∴=+−，解得5x =， 5BD ∴=.19．【答案】解：（1）如下图所示，作法：①以B 点为圆心，任意长为半径画弧分别交BA BC 、于M N 、点； ②再以M N 、为圆心，以大于它们之间的距离的二分之一为半径画弧，两弧在ABC ∠内相交于E ，则BD 为所作；（2）如下图，PQ 为所作.20．【答案】解：2222226810BD AD AB +=+==，ABD ∴△是直角三角形，AD BC ∴⊥，在Rt ACD △中，15CD ===，()111 21884222ABC BC AD BD CD S AD ∴==+=⨯⨯=△， 因此ABC △的面积为84.答：ABC △的面积是84.21．【答案】解：（1）证明：如右图，1903︒∠=−∠，2903︒∠=−∠，12∴∠=∠.又OC OD =，OA OE =，AOC BOD ∴△≌△.（2）由AOC BOD △≌△有：2AC BD ==，45CAO BOD ︒∠=∠=，90CAB ︒∴∠=，故CD =22．【答案】解：（1）证明：AB AC =，ABC ACB ∴∠=∠，BD CE 、是ABC △的两条高线，DBC ECB ∴∠=∠，OB OC ∴=.（2）50ABC AB AC ︒∠==，，18025080A ︒︒︒∴∠=−⨯=，18080100BOC ︒︒︒∴∠=−=.23．【答案】解：（1）证明：45AD BC ABC ︒⊥∠=，， 45ABC BAD ︒∴∠=∠=，AD BD ∴=，DA BC BE AC ⊥⊥，，9090C DAC C CBE ︒︒∴∠+∠=∠+∠=，，CBE DAC ∴∠=∠，且90AD BD ADC ADB ︒=∠=∠，＝，BDF ADC ASA ∴△≌△（）. （2）BDF ADC △≌△，43AD BD CD DF BF AC ∴=====，，，5BF ∴=，5AC ∴=，11 22ABCBC A S AD C BE =⨯⨯=⨯⨯， 745BE =∴⨯⨯， 285BE ∴=. 24．【答案】（1）4cm （2）PB PC =，理由：如图2，延长线段AP DC 、交于点E ， DP 平分ADC ∠，ADP EDP =∴∠∠.DP AP ⊥，90DPA DPE ︒∴∠==∠，在DPA △和DPE △中，ADP EDP DP DP DPA DPE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩DPA DPE ASA ∴△≌△（）， PA PE ∴=.AB BP CM CP ⊥⊥，，ABP ECP Rt ∴∠=∠=∠.在APB △和EPC △中，ABP ECP APB EPC PA PE ∠=∠⎧⎪∠=⎨⎪=⎩APB EPC AAS ∴△≌△（）， PB PC ∴=.（3）4【解析】（1）5cm 4cm BC BP ==，，1cm PC ∴＝，AB PC ∴=，DP AP ⊥，90APD ︒=∴∠，90APB CPD ︒∴∠=∠+，90APB CPD ︒∠=∠+，90APB BAP ︒∠=+∠， BAP CPD =∴∠∠，在ABP △和PCD △中，B CBAP CPD AB PC∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，ABP PCD ∴△≌△，4cm BP CD =∴=.（3）PDC △是等腰三角形，PCD ∴△为等腰直角三角形，即45DPC ︒∠=， 又DP AP ⊥，45APB ︒∴∠=，1cm BP AB ∴==，4cm PC BC BP ∴=−=，4cm CD CP ∴==.25．【答案】（1）166t −（2）当1t =时，616BP CQ ==⨯=（厘米）， 20AB =厘米，点D 为AB 的中点，10BD ∴=厘米.又PC BC BP =−，16BC ∴=厘米，16610PC ∴=−=（厘米），PC BD =在BPD △和CQP △中，BD PC B C BP CQ =∠=∠=，，，BPD CQP SAS ∴△≌△（）（3）P Q v v ≠BP CQ ∴≠又BPD CPQ △≌△，B C ∠=∠，8cm BP PC ∴==，10cm CQ BD ==， ∴点P ，点Q 运动的时间4863t =÷=（秒），107.543Q CQv t ∴===（厘米/秒）.【解析】（1）6BP t =，则166PC BC BP t =−=−.。
北师大版数学八年级下册第一章达标检测卷参考答案及试卷解析(2套)
北师大版数学八年级下册第一章达标检测卷（1）一、选择题1．如图，已知等腰三角形ABC，AB=AC，若以点B为圆心，BC长为半径画弧，交腰AC于点E，则下列结论一定正确的是（）A．AE=EC B．AE=BE C．∠EBC=∠BAC D．∠EBC=∠ABE2．若等腰三角形的周长为10cm，其中一边长为2cm，则该等腰三角形的底边长为（）A．2cm B．4cm C．6cm D．8cm3．如图，△ABD是以BD为斜边的等腰直角三角形，△BCD中，∠DBC=90°，∠BCD=60°，DC中点为E，AD与BE的延长线交于点F，则∠AFB的度数为（）A．30°B．15°C．45°D．25°4．某城市几条道路的位置关系如图所示，已知AB∥CD，AE与AB的夹角为48°，若CF与EF的长度相等，则∠C的度数为（）A．48°B．40°C．30°D．24°5．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D，点E是AB的中点，CD=DE=a，则AB的长为（）A．2a B．2 a C．3a D．6．如图，点P是∠AOB平分线OC上一点，PD⊥OB，垂足为D，若PD=2，则点P到边OA的距离是（）A．2 B．3 C．D．47．已知△ABC的三边长分别为4、4、6，在△ABC所在平面内画一条直线，将△ABC分割成两个三角形，使其中的一个是等腰三角形，则这样的直线最多可画（）条．A．3 B．4 C．5 D．68．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=30°，AB的垂直平分线l交AC于点D，则∠CBD的度数为（）A．30°B．45°C．50°D．75°9．如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC上一点，且DA=DC，BD=BA，则∠B的大小为（）A ．40°B ．36°C ．30°D ．25°10．如图，OP 是∠AOB 的平分线，点P 到OA 的距离为3，点N 是OB 上的任意一点，则线段PN 的取值范围为（ ）A ．PN ＜3B ．PN ＞3C ．PN ≥3D ．PN ≤311．如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，以顶点A 为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC ，AB 于点M ，N ，再分别以点M ，N 为圆心，大于MN 的长为半径画弧，两弧交于点P ，作射线AP 交边BC 于点D ，若CD=4，AB=15，则△ABD 的面积是（ ）A ．15B ．30C ．45D ．6012．如图，△ABC 的三边AB ，BC ，CA 长分别是20，30，40，其三条角平分线将△ABC 分为三个三角形，则S △ABO ：S △BCO ：S △CAO 等于（ ）A ．1：1：1B ．1：2：3C ．2：3：4D ．3：4：5二、填空题13．等腰三角形的一个内角为100°，则顶角的度数是 ．14．如图，已知在△ABC 中，DE 是BC 的垂直平分线，垂足为E ，交AC 于点D ，若AB=6，AC=9，则△ABD的周长是．15．如图1是一把园林剪刀，把它抽象为图2，其中OA=OB．若剪刀张开的角为30°，则∠A=度．16．如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=36°，DE是线段AC的垂直平分线，若BE=a，AE=b，则用含a、b的代数式表示△ABC的周长为．17．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BD平分∠ABC交AC于点D，DE垂直平分AB，垂足为E点，请任意写出一组相等的线段．三、解答题18．如图，OM平分∠POQ，MA⊥OP，MB⊥OQ，A、B为垂足，AB交OM于点N．求证：∠OAB=∠OBA．19．如图，已知等腰三角形ABC中，AB=AC，点D、E分别在边AB、AC上，且AD=AE，连接BE、CD，交于点F．(1)判断∠ABE与∠ACD的数量关系，并说明理由；(2)求证：过点A、F的直线垂直平分线段BC．20．如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，CD平分∠ACB交AB于点D，DE⊥AC于点E，BF∥DE交CD于点F．求证：DE=BF．21．如图，AD平分∠BAC，AD⊥BD，垂足为点D，DE∥AC．求证：△BDE是等腰三角形．22．已知：如图，四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AB=AC=AD，∠DAC=∠ABC．(1)求证：BD平分∠ABC；(2)若∠DAC=45°，OA=1，求OC的长．23．如图，△ABC中，∠ACB=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E．求证：直线AD是线段CE的垂直平分线．北师大版数学八年级下册第一章达标检测卷（1）参考答案与试卷解析1．如图，已知等腰三角形ABC，AB=AC，若以点B为圆心，BC长为半径画弧，交腰AC于点E，则下列结论一定正确的是（）A．AE=EC B．AE=BE C．∠EBC=∠BAC D．∠EBC=∠ABE【考点】KH：等腰三角形的性质．【专题】选择题【分析】利用等腰三角形的性质分别判断后即可确定正确的选项．【解答】解：∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∵以点B为圆心，BC长为半径画弧，交腰AC于点E，∴BE=BC，∴∠ACB=∠BEC，∴∠BEC=∠ABC=∠ACB，∴∠A=∠EBC，故选C．【点评】本题考查了等腰三角形的性质，当等腰三角形的底角对应相等时其顶角也相等，难度不大．2．若等腰三角形的周长为10cm，其中一边长为2cm，则该等腰三角形的底边长为（）A．2cm B．4cm C．6cm D．8cm【考点】KH：等腰三角形的性质；K6：三角形三边关系．【专题】选择题【分析】分为两种情况：2cm是等腰三角形的腰或2cm是等腰三角形的底边，然后进一步根据三角形的三边关系进行分析能否构成三角形．【解答】解：若2cm为等腰三角形的腰长，则底边长为10﹣2﹣2=6（cm），2+2＜6，不符合三角形的三边关系；若2cm为等腰三角形的底边，则腰长为（10﹣2）÷2=4（cm），此时三角形的三边长分别为2cm，4cm，4cm，符合三角形的三边关系；故选A．【点评】此题考查了等腰三角形的两腰相等的性质，同时注意三角形的三边关系：三角形任意两边之和大于第三边．3．如图，△ABD是以BD为斜边的等腰直角三角形，△BCD中，∠DBC=90°，∠BCD=60°，DC中点为E，AD与BE的延长线交于点F，则∠AFB的度数为（）A．30°B．15°C．45°D．25°【考点】KP：直角三角形斜边上的中线；KW：等腰直角三角形．【专题】选择题【分析】根据直角三角形的性质得到BE=CE，求得∠CBE=60°，得到∠DBF=30°，根据等腰直角三角形的性质得到∠ABD=45°，求得∠ABF=75°，根据三角形的内角和即可得到结论．【解答】解：∵∠DBC=90°，E为DC中点，∴BE=CE=CD，∵∠BCD=60°，∴∠CBE=60°，∴∠DBF=30°，∵△ABD是等腰直角三角形，∴∠ABD=45°，∴∠ABF=75°，∴∠AFB=180°﹣90°﹣75°=15°，故选B．【点评】本题考查了直角三角形的性质，等腰直角三角形的性质，熟练掌握直角三角形的性质是解题的关键．4．某城市几条道路的位置关系如图所示，已知AB∥CD，AE与AB的夹角为48°，若CF与EF的长度相等，则∠C的度数为（）A．48°B．40°C．30°D．24°【考点】KH：等腰三角形的性质；JA：平行线的性质．【专题】选择题【分析】先根据平行线的性质，由AB∥CD得到∠1=∠BAE=45°，然后根据三角形外角性质计算∠C的度数．【解答】解：∵AB∥CD，∴∠1=∠BAE=48°，∵∠1=∠C+∠E，∵CF=EF，∴∠C=∠E，∴∠C=∠1=×48°=24°．故选D．【点评】本题考查了等腰三角形的性质，平行线的性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．5．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D，点E是AB的中点，CD=DE=a，则AB的长为（）A．2a B．2 a C．3a D．【考点】KP：直角三角形斜边上的中线．【专题】选择题【分析】根据勾股定理得到CE=a，根据直角三角形的性质即可得到结论．【解答】解：∵CD⊥AB，CD=DE=a，∴CE=a，∵在△ABC中，∠ACB=90°，点E是AB的中点，∴AB=2CE=2a，故选B．【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线，三角形内角和定理的应用，能求出AE=CE是解此题的关键，注意：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．6．如图，点P是∠AOB平分线OC上一点，PD⊥OB，垂足为D，若PD=2，则点P到边OA的距离是（）A．2 B．3 C．D．4【考点】KF：角平分线的性质．【专题】选择题【分析】作PE⊥OA于E，根据角平分线的性质解答．【解答】解：作PE⊥OA于E，∵点P是∠AOB平分线OC上一点，PD⊥OB，PE⊥OA，∴PE=PD=2，故选：A．【点评】本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．7．已知△ABC的三边长分别为4、4、6，在△ABC所在平面内画一条直线，将△ABC分割成两个三角形，使其中的一个是等腰三角形，则这样的直线最多可画（）条．A．3 B．4 C．5 D．6【考点】KI：等腰三角形的判定．【专题】选择题【分析】根据等腰三角形的性质，利用4作为腰或底边得出符合题意的图形即可．【解答】解：如图所示：当AC=CD，AB=BG，AF=CF，AE=BE时，都能得到符合题意的等腰三角形．故选B．【点评】此题主要考查了等腰三角形的判定以及应用设计与作图等知识，正确利用图形分类讨论得出是解题关键．8．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=30°，AB的垂直平分线l交AC于点D，则∠CBD的度数为（）A．30°B．45°C．50°D．75°【考点】KH：等腰三角形的性质；KG：线段垂直平分线的性质．【专题】选择题【分析】根据三角形的内角和定理，求出∠C，再根据线段垂直平分线的性质，推得∠A=∠ABD=30°，由外角的性质求出∠BDC的度数，从而得出∠CBD=45°．【解答】解：∵AB=AC，∠A=30°，∴∠ABC=∠ACB=75°，∵AB的垂直平分线交AC于D，∴AD=BD，∴∠A=∠ABD=30°，∴∠BDC=60°，∴∠CBD=180°﹣75°﹣60°=45°．故选B．【点评】此题主要考查线段的垂直平分线的性质和等腰三角形的性质；利用三角形外角的性质求得求得∠BDC=60°是解答本题的关键．本题的解法很多，用底角75°﹣30°更简单些．9．如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC上一点，且DA=DC，BD=BA，则∠B的大小为（）A．40°B．36°C．30°D．25°【考点】KH：等腰三角形的性质．【专题】选择题【分析】根据AB=AC可得∠B=∠C，CD=DA可得∠ADB=2∠C=2∠B，BA=BD，可得∠BDA=∠BAD=2∠B，在△ABD中利用三角形内角和定理可求出∠B．【解答】解：∵AB=AC，∴∠B=∠C，∵CD=DA，∴∠C=∠DAC，∵BA=BD，∴∠BDA=∠BAD=2∠C=2∠B，又∵∠B+∠BAD+∠BDA=180°，∴5∠B=180°，∴∠B=36°，故选B．【点评】本题主要考查等腰三角形的性质，掌握等边对等角是解题的关键，注意三角形内角和定理和方程思想的应用．10．如图，OP是∠AOB的平分线，点P到OA的距离为3，点N是OB上的任意一点，则线段PN的取值范围为（）A．PN＜3 B．PN＞3 C．PN≥3 D．PN≤3【考点】KF：角平分线的性质．【专题】选择题【分析】作PM⊥OB于M，根据角平分线的性质得到PM=PE，得到答案．【解答】解：作PM⊥OB于M，∵OP是∠AOB的平分线，PE⊥OA，PM⊥OB，∴PM=PE=3，∴PN≥3，故选：C．【点评】本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．11．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，AB于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交边BC于点D，若CD=4，AB=15，则△ABD的面积是（）A．15 B．30 C．45 D．60【考点】KF：角平分线的性质．【专题】选择题【分析】判断出AP 是∠BAC 的平分线，过点D 作DE ⊥AB 于E ，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE=CD ，然后根据三角形的面积公式列式计算即可得解．【解答】解：由题意得AP 是∠BAC 的平分线，过点D 作DE ⊥AB 于E ，又∵∠C=90°，∴DE=CD ，∴△ABD 的面积=AB•DE=×15×4=30，故选B ．【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质以及角平分线的画法，熟记性质是解题的关键．12．如图，△ABC 的三边AB ，BC ，CA 长分别是20，30，40，其三条角平分线将△ABC 分为三个三角形，则S △ABO ：S △BCO ：S △CAO 等于（ ）A ．1：1：1B ．1：2：3C ．2：3：4D ．3：4：5【考点】KF ：角平分线的性质．【专题】选择题【分析】利用角平分线上的一点到角两边的距离相等的性质，可知三个三角形高相等，底分别是20，30，40，所以面积之比就是2：3：4．【解答】解：利用同高不同底的三角形的面积之比就是底之比可知选C ． 故选C ．【点评】本题主要考查了角平分线上的一点到两边的距离相等的性质及三角形的面积公式．做题时应用了三个三角形的高时相等的，这点式非常重要的．13．等腰三角形的一个内角为100°，则顶角的度数是．【考点】KH：等腰三角形的性质．【专题】填空题【分析】根据100°角是钝角判断出只能是顶角，然后根据等腰三角形两底角相等解答．【解答】解：∵100°＞90°，∴100°的角是顶角，故答案为：100°．【点评】本题考查了等腰三角形两底角相等的性质，先判断出100°的角是顶角是解题的关键．14．如图，已知在△ABC中，DE是BC的垂直平分线，垂足为E，交AC于点D，若AB=6，AC=9，则△ABD的周长是．【考点】KG：线段垂直平分线的性质．【专题】填空题【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到DB=DC，根据三角形的周长公式计算即可．【解答】解：∵DE是BC的垂直平分线，∴DB=DC，∴△ABD的周长=AB+AD+BD=AB+AD+DC=AB+AC=15，故答案为：15．【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．15．如图1是一把园林剪刀，把它抽象为图2，其中OA=OB．若剪刀张开的角为30°，则∠A=度．【考点】KH：等腰三角形的性质．【专题】填空题【分析】根据等腰三角形的性质和三角形的内角和即可得到结论．【解答】解：∵OA=OB，∠AOB=30°，∴∠A=（180°﹣30°）=75°，故答案为：75．【点评】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．16．如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=36°，DE是线段AC的垂直平分线，若BE=a，AE=b，则用含a、b的代数式表示△ABC的周长为．【考点】KH：等腰三角形的性质；KG：线段垂直平分线的性质．【专题】填空题【分析】由题意可知：AC=AB=a+b，由于DE是线段AC的垂直平分线，∠BAC=36°，所以易证AE=CE=BC=b，从可知△ABC的周长；【解答】解：∵AB=AC，BE=a，AE=b，∴AC=AB=a+b，∵DE是线段AC的垂直平分线，∴AE=CE=b，∴∠ECA=∠BAC=36°，∵∠BAC=36°，∴∠ABC=∠ACB=72°，∴∠BCE=∠ACB﹣∠ECA=36°，∴∠BEC=180°﹣∠ABC﹣∠ECB=72°，∴CE=BC=b，∴△ABC的周长为：AB+AC+BC=2a+3b故答案为：2a+3b．【点评】本题考查线段垂直平分线的性质，解题的关键是利用等腰三角形的性质以及垂直平分线的性质得出AE=CE=BC，本题属于中等题型．17．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BD平分∠ABC交AC于点D，DE垂直平分AB，垂足为E点，请任意写出一组相等的线段．【考点】KG：线段垂直平分线的性质；KF：角平分线的性质．【专题】填空题【分析】根据线段的垂直平分线的性质解答即可．【解答】解：∵DE垂直平分AB，∴BE=EA，故答案为：BE=EA．【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．18．如图，OM平分∠POQ，MA⊥OP，MB⊥OQ，A、B为垂足，AB交OM于点N．求证：∠OAB=∠OBA．【考点】KF：角平分线的性质；KD：全等三角形的判定与性质．【专题】解答题【分析】根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得AM=BM，然后利用“HL”证明Rt△AOM和Rt△BOM全等，根据全等三角形对应边相等可得OA=OB，再根据等边对等角的性质即可得证．【解答】证明：∵OM平分∠POQ，MA⊥OP，MB⊥OQ，∴AM=BM，在Rt△AOM和Rt△BOM中，，∴Rt△AOM≌Rt△BOM（HL），∴OA=OB，∴∠OAB=∠OBA．【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，全等三角形的判定与性质，等边对等角的性质，熟记性质是解题的关键．19．如图，已知等腰三角形ABC中，AB=AC，点D、E分别在边AB、AC上，且AD=AE，连接BE、CD，交于点F．(1)判断∠ABE与∠ACD的数量关系，并说明理由；(2)求证：过点A、F的直线垂直平分线段BC．【考点】KH：等腰三角形的性质；KG：线段垂直平分线的性质．【专题】解答题【分析】(1)证得△ABE≌△ACD后利用全等三角形的对应角相等即可证得结论；(2)利用垂直平分线段的性质即可证得结论．【解答】解：(1)∠ABE=∠ACD；在△ABE和△ACD中，，∴△ABE≌△ACD，∴∠ABE=∠ACD；(2)∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，由(1)可知∠ABE=∠ACD，∴∠FBC=∠FCB，∴FB=FC，∵AB=AC，∴点A、F均在线段BC的垂直平分线上，即直线AF垂直平分线段BC．【点评】本题考查了等腰三角形的性质及垂直平分线段的性质的知识，解题的关键是能够从题目中整理出全等三角形，难度不大．20．如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，CD平分∠ACB交AB于点D，DE⊥AC于点E，BF∥DE交CD于点F．求证：DE=BF．【考点】KF：角平分线的性质；JA：平行线的性质．【专题】解答题【分析】根据角平分线的定义得到∠1=∠2，根据角平分线的性质得到DE=BD，∠3=∠4，由平行线的性质得到3=∠5，于是得到结论．【解答】证明：∵CD平分∠ACB，∴∠1=∠2，∵DE⊥AC，∠ABC=90°∴DE=BD，∠3=∠4，∵BF∥DE，∴∠4=∠5，∴∠3=∠5，∴BD=BF，∴DE=BF．【点评】本题考查了角平分线的性质，平行线的性质，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键．21．如图，AD平分∠BAC，AD⊥BD，垂足为点D，DE∥AC．求证：△BDE是等腰三角形．【考点】KI：等腰三角形的判定；JA：平行线的性质．【专题】解答题【分析】直接利用平行线的性质得出∠1=∠3，进而利用角平分线的定义结合互余的性质得出∠B=∠BDE，即可得出答案．【解答】证明：∵DE∥AC，∴∠1=∠3，∴∠1=∠2，∴∠2=∠3，∵AD⊥BD，∴∠2+∠B=90°，∠3+∠BDE=90°，∴∠B=∠BDE，∴△BDE是等腰三角形．【点评】此题主要考查了平行线的性质以及角平分线的定义，正确得出∠2=∠3是解题关键．22．已知：如图，四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AB=AC=AD，∠DAC=∠ABC．(1)求证：BD平分∠ABC；(2)若∠DAC=45°，OA=1，求OC的长．【考点】KF：角平分线的性质；JB：平行线的判定与性质．【专题】解答题【分析】(1)根据等腰三角形的性质、平行线的性质以及角平分线的定义证明；(2)过点O作OE⊥BC于E，根据角平分线的性质得到OE=OA，根据勾股定理计算即可．【解答】(1)证明：∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∴∠DAC=∠ACB．∴AD∥BC，∴∠ADB=∠CBD．又∵AB=AD，∴∠ADB=∠ABD．∴∠ABD=∠CBD．∴BD平分∠ABC；(2)解：过点O作OE⊥BC于E，∵∠DAC=45°，∠DAC=∠ABC，∴∠ABC=∠ACB=45°，∴∠B AC=90°，∵BD平分∠ABC，∴OE=OA=1．在Rt△OEC中，∠ACB=45°，OE=1，∴OC=．【点评】本题考查的是角平分线的性质、等腰三角形的性质、勾股定理的应用，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．23．如图，△ABC中，∠ACB=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E．求证：直线AD是线段CE的垂直平分线．【考点】KF：角平分线的性质；KD：全等三角形的判定与性质；KG：线段垂直平分线的性质；KN：直角三角形的性质．【专题】解答题【分析】由于DE⊥AB，易得∠AED=90°=∠ACB，而AD平分∠BAC，易知∠DAE=∠DAC，又因为AD=AD，利用AAS可证△AED≌△ACD，那么AE=AC，而AD平分∠BAC，利用等腰三角形三线合一定理可知AD⊥CE，即得证．【解答】证明：∵DE⊥AB，∴∠AED=90°=∠ACB，又∵AD平分∠BAC，∴∠DAE=∠DAC，∵AD=AD，∴△AED≌△ACD，∴AE=AC，∵AD平分∠BAC，∴AD⊥CE，即直线AD是线段CE的垂直平分线．【点评】本题考查了线段垂直平分的定义、全等三角形的判定和性质、等腰三角形三线合一定理，解题的关键是证明AE=AC．北师大版数学八年级下册第一章达标检测卷(2)一、选择题1．如图，一副分别含有30°和45°角的两个直角三角板，拼成如下图形，其中∠C=90°，∠B=45°，∠E=30°，则∠BFD的度数是（）A．15°B．25°C．30°D．10°2．如图，将三角形△ABC绕着点C顺时针旋转35°，得到△A′B′C，A′B′交AC于点D，若∠A′DC=90°，则∠A的度数是（）A．35°B．65°C．55°D．25°3．如图：△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD平分∠CAB交BC于D，DE⊥AB于E，且AB=6cm，则△DEB的周长是（）A．6cm B．4cm C．10cm D．以上都不对4．已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A＜∠B，CM是斜边AB上的中线，将△ACM沿直线CM折叠，点A落在点A1处，CA1与AB交于点N，且AN=AC，则∠A的度数是（）A．30°B．36°C．50°D．60°5．如图，在△ABC中，∠C=60°，∠B=50°，D是BC上一点，DE⊥AB于点E，DF ⊥AC于点F，则∠EDF的度数为（）A．90°B．100°C．110° D．120°6．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB边上的高线，图中与∠A互余的角有（）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个7．如图，在△ABC中，∠C=90°，点E是AC上的点，且∠1=∠2，DE垂直平分AB，垂足是D，如果EC=3cm，则AE等于（）A．3cm B．4cm C．6cm D．9cm8．在直角△ABC中，∠C=30°，斜边AC的长为5cm，则AB的长为（）A．4cm B．3cm C．2.5cm D．2cm9．如果直角三角形中30°角所对的直角边是1cm，那么另一条直角边长是（）A．1cm B．2cm C．cm D．3cm10．10（1分）（2014春•九龙坡区校级期中）等腰三角形一腰上的高等于这腰的一半，则这个等腰三角形的顶角等于（）A．30°B．60°C．30°或150°D．60°或120°11．如图，BE、CF分别是△ABC的高，M为BC的中点，EF=5，BC=8，则△EFM 的周长是（）A．21 B．18 C．13 D．1512．如图，△ABC中，AD为△ABC的角平分线，BE为△ABC的高，∠C=70°，∠ABC=48°，那么∠3是（）A．59°B．60°C．56°D．22°13．在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=2，则AB2+BC2+CA2的值为（）A．2 B．4 C．8 D．1614．如图，在三角形纸片ABC中，AC=6，∠A=30°，∠C=90°，将∠A沿DE折叠，使点A与点B重合，则折痕DE的长为（）A．1 B．C．D．215．如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，则图中与CD相等的线段有（）A．AD与BD B．BD与BC C．AD与BC D．AD、BD与BC16．如图，△ABC中，AB=AC=10，BC=8，AD平分∠BAC交BC于点D，点E为AC的中点，连接DE，则△CDE的周长为（）A．20 B．12 C．14 D．1317．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5cm，D为AB的中点，则CD等于（）A．2cm B．2.5cm C．3cm D．4cm二、填空题18．如图，△ABC中，∠C=90°，∠ABC=60°，BD平分∠ABC，若AD=6，则CD=．19．如图，△ABC中，∠C=90°，AC﹣BC=2，△ABC的面积为7，则AB=．20．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠ABC=60°，BD平分∠ABC，若AD=6，则AC=．21．如图：△ABC中，∠ACB=90°，CD是高，∠A=30°，BD=3cm，则AD=cm．22．如图，△ABC是等腰直角三角形，AB=BC，已知点A的坐标为（﹣2，0），点B的坐标为（0，1），则点C的坐标为．23．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AD平分∠CAB，交BC于点D，若CD=1，则BD=．24．已知等腰△ABC中，AD⊥BC于点D，且AD=BC，则△ABC底角的度数为．25．若直角三角形两直角边的比为3：4，斜边长为20，则此直角三角形的面积为．三、解答题26．如图，在△ABC中，∠B=2∠C，且AD⊥BC于D，求证：CD=AB+BD，27．如图，已知在△ABC中，∠ACB=90°，CD为高，且CD，CE三等分∠ACB，(1) 求∠B的度数；(2) 求证：CE是AB边上的中线，且CE=AB，28．如图，AD∥BC，BD平分∠ABC，∠A=120°，∠C=60°，AB=CD=4cm，求：(1) AD的长；(2) 四边形ABCD的周长．29．已知锐角△ABC中，CD，BE分别是AB，AC边上的高，M是线段BC的中点，连接DM，EM．(1) 若DE=3，BC=8，求△DME的周长；(2) 若∠A=60°，求证：∠DME=60°；(3) 若BC2=2DE2，求∠A的度数．北师大版数学八年级下册第一章达标检测卷(2)参考答案与试卷解析1．如图，一副分别含有30°和45°角的两个直角三角板，拼成如下图形，其中∠C=90°，∠B=45°，∠E=30°，则∠BFD的度数是（）A．15°B．25°C．30°D．10°【考点】K8：三角形的外角性质．【专题】选择题【分析】先由三角形外角的性质求出∠BDF的度数，根据三角形内角和定理即可得出结论．【解答】解：∵Rt△CDE中，∠C=90°，∠E=30°，∴∠BDF=∠C+∠E=90°+30°=120°，∵△BDF中，∠B=45°，∠BDF=120°，∴∠BFD=180°﹣45°﹣120°=15°．故选A．【点评】本题考查的是三角形外角的性质，熟知三角形的外角等于与之不相邻的两个内角的和是解答此题的关键．2．如图，将三角形△ABC绕着点C顺时针旋转35°，得到△A′B′C，A′B′交AC于点D，若∠A′DC=90°，则∠A的度数是（）A．35°B．65°C．55°D．25°【考点】R2：旋转的性质．【专题】选择题【分析】根据旋转的性质，可得知∠ACA′=35°，从而求得∠A′的度数，又因为∠A的对应角是∠A′，则∠A度数可求．【解答】解：∵△ABC绕着点C时针旋转35°，得到△AB′C′∴∠ACA′=35°，∠A'DC=90°∴∠A′=55°，∵∠A的对应角是∠A′，即∠A=∠A′，∴∠A=55°．故选C．【点评】本题考查了旋转的性质，根据旋转的性质，图形的旋转是图形上的每一点在平面上绕某个固定点旋转固定角度的位置移动．其中对应点到旋转中心的距离相等，旋转前后图形的大小和形状没有改变．解题的关键是正确确定对应角．3．如图：△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD平分∠CAB交BC于D，DE⊥AB于E，且AB=6cm，则△DEB的周长是（）A．6cm B．4cm C．10cm D．以上都不对【考点】KF：角平分线的性质；KW：等腰直角三角形．【专题】选择题【分析】由∠C=90°，根据垂直定义得到DC与AC垂直，又AD平分∠CAB交BC 于D，DE⊥AB，利用角平分线定理得到DC=DE，再利用HL证明三角形ACD与三角形AED全等，根据全等三角形的对应边相等可得AC=AE，又AC=BC，可得BC=AE，然后由三角形BED的三边之和表示出三角形的周长，将其中的DE换为DC，由CD+DB=BC进行变形，再将BC换为AE，由AE+EB=AB，可得出三角形BDE的周长等于AB的长，由AB的长可得出周长．【解答】解：∵∠C=90°，∴DC⊥AC，又AD平分∠CAB交BC于D，DE⊥AB，∴CD=ED，在Rt△ACD和Rt△AED中，，∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL），∴AC=AE，又AC=BC，∴AC=AE=BC，又AB=6cm，∴△DEB的周长=DB+BE+ED=DB+CD+BE=BC+BE=AE+EB=AB=6cm．故选A．【点评】此题考查了角平分线定理，垂直的定义，直角三角形证明全等的方法﹣HL，利用了转化及等量代换的思想，熟练掌握角平分线定理是解本题的关键．4．已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A＜∠B，CM是斜边AB上的中线，将△ACM沿直线CM折叠，点A落在点A1处，CA1与AB交于点N，且AN=AC，则∠A的度数是（）A．30°B．36°C．50°D．60°【考点】PB：翻折变换（折叠问题）．【专题】选择题【分析】首先证明∠ACN=∠ANC=2∠ACM，然后证明∠A=∠ACM即可解决问题．【解答】解：由题意知：∠ACM=∠NCM；又∵AN=AC，∴∠ACN=∠ANC=2∠ACM；∵CM是直角△ABC的斜边AB上的中线，∴CM=AM，∴∠A=∠ACM；由三角形的内角和定理知：∠A+2∠A+2∠A=180°，∴∠A=36°，故选：B．【点评】该命题考查了翻折变换及其应用问题；解题的关键是根据翻折变换的性质找出图形中隐含的等量关系；灵活运用有关定理来分析、判断、推理或解答．5．如图，在△ABC中，∠C=60°，∠B=50°，D是BC上一点，DE⊥AB于点E，DF ⊥AC于点F，则∠EDF的度数为（）A．90°B．100°C．110° D．120°【考点】KN：直角三角形的性质．【专题】选择题【分析】由三角形内角和定理求得∠A=70°；由垂直的定义得到∠AED=∠AFD=90°；然后根据四边形内角和是360度进行求解．【解答】解：如图，∵在△ABC中，∠C=60°，∠B=50°，∴∠A=70°．∵DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，∴∠AED=∠AFD=90°，∴∠EDF=360°﹣∠A﹣∠AED﹣∠AFD=110°．故选：C．【点评】本题考查了直角三角形的性质．注意利用隐含在题中的已知条件：三角形内角和是180°、四边形的内角和是360°．6．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB边上的高线，图中与∠A互余的角有（）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【考点】KN：直角三角形的性质．【专题】选择题【分析】由“直角三角形的两锐角互余”，结合题目条件，找出与∠A互余的角．【解答】解：∵∠ACB=90°，CD是AB边上的高线，∴∠A+∠B=90°，∠A+∠ACD=90°，∴与∠A互余的角有2个，故选C．【点评】此题考查了直角三角形的性质，直角三角形的两锐角互余．7．如图，在△ABC中，∠C=90°，点E是AC上的点，且∠1=∠2，DE垂直平分AB，垂足是D，如果EC=3cm，则AE等于（）A．3cm B．4cm C．6cm D．9cm【考点】KO：含30度角的直角三角形；KG：线段垂直平分线的性质．【专题】选择题【分析】求出AE=BE，推出∠A=∠1=∠2=30°，求出DE=CE=3cm，根据含30度角的直角三角形性质求出即可．【解答】解：∵DE垂直平分AB，∴AE=BE，∴∠2=∠A，∵∠1=∠2，∴∠A=∠1=∠2，∵∠C=90°，∴∠A=∠1=∠2=30°，∵∠1=∠2，ED⊥AB，∠C=90°，∴CE=DE=3cm，在Rt△ADE中，∠ADE=90°，∠A=30°，∴AE=2DE=6cm，故选C．【点评】本题考查了垂直平分线性质，角平分线性质，等腰三角形性质，含30度角的直角三角形性质的应用，关键是求出∠A=30°和得出DE的长．8．在直角△ABC中，∠C=30°，斜边AC的长为5cm，则AB的长为（）A．4cm B．3cm C．2.5cm D．2cm【考点】KO：含30度角的直角三角形．【专题】选择题【分析】由题意可得，∠B是直角，AB=AC，直接代入即可求得AB的长．【解答】解：∵△ABC为直角三角形，∠C=30°，∴AB=AC=2.5，故选C．【点评】此题考查的是直角三角形的性质，30°的直角边所对的直角边等于斜边的一半．9．如果直角三角形中30°角所对的直角边是1cm，那么另一条直角边长是（）A．1cm B．2cm C．cm D．3cm【考点】KO：含30度角的直角三角形．【专题】选择题【分析】根据勾股定理和直角三角形中30°角所对的直角边是斜边的一半求另一条直角边长．【解答】解：∵直角三角形中30°角所对的直角边是1cm，∴该直角三角形的斜边是2cm，∴另一条直角边长是：=；故选C．【点评】本题考查了含30度角的直角三角形．在直角三角形中，30°角所对的直角边是斜边的一半．10．等腰三角形一腰上的高等于这腰的一半，则这个等腰三角形的顶角等于（）A．30°B．60°C．30°或150°D．60°或120°【考点】KO：含30度角的直角三角形；KH：等腰三角形的性质．【专题】选择题【分析】分为两种情况：①高BD在△ABC内时，根据含30度角的直角三角形性质求出即可；②高CD在△ABC外时，求出∠DAC，根据平角的定义求出∠BAC 即可．【解答】解：①如图，∵BD是△ABC的高，AB=AC，BD=AB，∴∠A=30°，②如图，∵CD是△ABC边BA 上的高，DC=AC，∴∠DAC=30°，∴∠BAC=180°﹣30°=150°，综上所述，这个等腰三角形的顶角等于30°或150°．故选：C．【点评】本题考查了等腰三角形性质和含30度角的直角三角形性质的应用，主要考查学生能否求出符合条件的所有情况，注意：一定要分类讨论．11．如图，BE、CF分别是△ABC的高，M为BC的中点，EF=5，BC=8，则△EFM 的周长是（）A．21 B．18 C．13 D．15【考点】KP：直角三角形斜边上的中线．【专题】选择题【分析】根据“BE、CF分别是△ABC的高，M为BC的中点”得到FM=EM=BC，所以△EFM的周长便不难求出．【解答】解：∵BE、CF分别是△ABC的高，M为BC的中点，∴在Rt△BCE中，EM=BC=4，在Rt△BCF中，FM=BC=4，∴△EFM的周长=EM+FM+EF=4+4+5=13，故选C．【点评】本题利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．12．如图，△ABC中，AD为△ABC的角平分线，BE为△ABC的高，∠C=70°，∠ABC=48°，那么∠3是（）。
北师大版八级数学下册第一章测试题及答案.docx
北八（下）第一章 1.4-1.6 章节水平测试题一、填空题：（每题3 分，共 24 分）1 ．已知不等式5(x2)8 6(x1) 7的最小整数解为方程 2x ax4 解，则 a 值是 ．2 ．已知3(5x2) 54x 6( x 1) ，化简 x 1 1 x = ．3 ． a 取正整数 时，方程4 ． k 为整数时，方程3x a 7 的解是负整数．5x 2k x 4 的解在 1 和 3 之间．7. 如果三角形的三边长分别是3 cm 、 (1-2 a ) cm 、 8 cm ，那么 a 的取值范围是 ________．8. 如图，某航空公司托运行李的费用与托运行李的重量的关系为一次函数，由图可知行李的重量只要不超过 ________ 千克，就可以免费托运．二、选择题：（每题 3 分，共 24 分）9 ．不等式 3( x -2) ≤ x ＋4 的非负整数解有几个()A ． 4B ． 5C ． 6D ．无数个11110 ．不等式 4x - 4x4 的最大的整数解为 ( )A ． 1B ． 0C ． -1D ．不存在A ． 5B ． 4C ． 3D ．无数个A． a＝ 3 b ＝ 5B． a ＝ -3 b ＝-5C． a＝ -3 b ＝ 5D． a ＝3 b ＝ -55x3m m1513 ．若方程42 4 的解是非正数，则m 的取值范围是（）．A m 3B m 2C m 3D m 214 ．七年级（ 3 ）班同学假日外出游玩，要拍合影留念，若一张彩色底片要0.57 ，冲印一张要 0.35元，每人预定要一张，花钱不超过0.45 元，则参加合影的同学至少有（）个人？A 5 B.6 C.7 D.82x y1015.如果关于 x、 y 的方程组3x y 5a的解满足 x ＞ 0且 y ＜ 0 ，则实数 a 的取值范围是（）．A2<a<3B-3<a<2C-2 ＜ a ＜3D-3<a<-216. 某单位准备和一个体车主或一国营出租车公司中的一家签订月租车合同，设汽车每月行驶 x 千米，个体车主收费y 1元，国营出租车公司收费为y 2元，观察下列图象可知，当x （）时，选用个体车较合算．A.x<1500B. x=1500C. x>1200D. x ＞ 1500三、解答题：（共30 分）17 （10分）解下列不等式（组），并把解集在数轴上表示出来：13x 51 2 x1（1）236（ 2）18. （10分）已知 5 x -2 y＝ 6 ，当 x 满足 6 ≤ 7 x -1 ＜ 13时，请确定 y 的取值范围．19.（ 10 分）如果方程组，m的值表示在数轴上．是多少？3x y 13mx3y1m的解满足x＋y＞0，求m的取值范围，并把四、综合探究题：（22 分）20．（ 10 分）某公司在甲、乙两座仓库分别有农用车12 辆和 6 辆，现需调往 A 县 10辆，调至 B 县 8 辆，已知从甲仓库调往 A 县和 B 县的费用分别 40 元和 80 元；从乙仓库调 往 A 县和 B 县的费用分别为 30 元和 50 元．（ 1）设从乙仓库调往 A 县农用车 x 辆．求总运费 y 与 x 的函数关系式．（ 2）若要求总运费不超过 900 元．问共有几种调配方案？（ 3）求出总运费最低的调运方案，最低运费是多少？21.（ 12 分）某企业现有工人 80 人，平均每人每年可创产值 a 元 . 为适应市场经济改革，现决定从中分流一部分人员从事服务行业 . 分流后企业工人平均每人每年创造产值可增加30% ，服务行业人员平均每人每年可创产值2.5 a 元 . 要使分流后企业工人的全年总产值不低于原来全年总产值，而且服务行业人员全年创产值不低于原企业全年总产值的一半. 假设你是企业管理者，请你确定分流到服务行业的人数．五、备选题22. 弟弟上午八点钟出发步行去郊游， 速度为每小时 4 千米； 上午十点钟哥哥从同一地点骑自行车去追弟弟 . 如果哥哥要在上午十点四十分之前追上弟弟，问哥哥的速度至少是多少？23. 某初一新生中，有若干住宿生，分住若干间宿舍，若每间住每间住 7 人，则有一间不空也不满．求住宿生人数．4 人，则有21 人无处住；若24. 某商场计划投入一笔资金采购一批紧销商品，经过市场调查发现：如果月初出售可获利15%，并把本利再投资其他商品， 到月末又可获利 10%，如果月末出售可获利 30%．但要付出仓储费用 700 元．请问：根据商场的资金状况，如何购销获利较多？新 课 标 第一网参考答案：一、1 ．a4（提示： x 3 ，则最小的整数解是 x2 ，原方程 4 2a 4 ．∴ a 4 ）2 ． -2（提示：不等式的解集是x1，∴x 11 xx 1 (1 x)2 ）a 7x3a7 0 ， a 7 ，∴3 ．4 ， 1 （解方程，∵ 符合条件的 a 值是 4 ， 1 ）k 2k 23x3 ，即134 ． 2 ， 3 ， 4 ，5 ，6 （∵）5. a ≤26. 2 ≤ x ＜ 57. -5 ＜ a ＜ -2 8. 20二、9 ．C 10 ．B11.B 12.D13 ．A （提示： x m3．∵ x 0∴m 3 0即m3 ）14.B （ 6 人 提示：设至少 x 人合影，依题意，得0.57 0.35x 0.45x ）2x y 10x2 a15.C 提示：解方程组3x y5a得这个方程组的解是y 2a 62 a0∵x ＞ 0 且 y ＜0 ，∴2a6016.D解得： -2 ＜ a ＜3三、 17. （1 ）18.解法一：由20x7（ 2） x≤1（数轴略）新课标第一网6 ≤ 7x -1 ＜ 13 得： 1 ≤x ＜26 2 y由 5 x-2 y ＝ 6得： x ＝ 5 ，6 2 y∴ 1 ≤5＜ 2则 5 ≤ 6 ＋2 y ＜10-1 ≤ 2 y＜ 41∴- 2≤ y ＜ 2解法二：由 6 ≤ 7x -1 ＜ 13 得： 1 ≤ x ＜ 25x 6由 5 x-2 y ＝ 6 得： y ＝2∵ 1 ≤ x ＜ 2 ，5 ≤ 5x ＜ 10-1 ≤ 5x -6 ＜ 415x6∴- 2≤2＜21即- 2≤ y＜ 23x y 1 3m①19.由方程组x 3y 1 m②①＋②得 :4 x ＋4 y ＝ 2 ＋ 2m ，1 m∴x ＋ y＝21 m∵x ＋ y＞ 0 ，∴2＞0，解得 : m ＞ -120.小于或等于11km，大于 10km．（提示：设甲、乙两地间距离为x km ．根据题意，得16 1.2(x 5)1017.2∴10 x 11）21.解：设分流x 人从事服务行业，则剩余(80- x ) 人从事企业生产．(1 30%)a(80 x)80 a12.5ax80a2根据题意得：1.3ax24a即 2.5ax 40a6x1813∴x 16又∵ x是整数∴x ＝ 16 ，17 或 18即可分流16 人或 17人、 18 人去从事服务行业．五、 22.解：设哥哥的速度为x 千米 / 小时4040根据题意得：60 x≥4(2＋ 60 )解得： x ≥16答：哥哥的速度至少是16 千米 / 小时．23.解：设有 x 间宿舍，则总人数为（4x＋21）人．由题意得：解不等式①得x＞7．28解不等式②得x＜3．28∴这个不等式组的解集是7＜x＜3．∵房间数只能取正整数．∴ x＝8或9．当x＝8时，人数：4×8＋21＝53（人）当x＝9时，人数：4×9＋21＝57（人）24. 解：设商场投入资金x元，第一种投资情况下，获总利用y1元表示．第 2 种投资情况下获总利用 y2元表示．由题意得： y1＝ x（1＋15%）（1＋10%）－ xy1＝0. 265x．y2＝ x（1＋30%）－ x－700y2＝0. 3x－700（1）当y1＞y2时， 0. 265x＞ 0. 3x－ 700，x＜ 2000；（2）当y1＝y2时， 0. 265x＝ 0. 3x－ 700，x＝ 2000；（3）当y1＜y2时， 0. 265x＜ 0. 3x－ 700，x＞ 2000．答：（ 1）当投资超过 2000 元时，选择第二种投资方式；（2）当投资为 2000 元时，两种选择都行；（3）当投资在 2000 元内时，选择第一种投资方式．新课标第一网。
(北师大版)初中数学八年级下册 第一章综合测试 (含答案)
第一章综合测试一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）1.如下图，已知BD 是ABC △的角平分线，ED 是BC 的垂直平分线，°903BAC AD ∠==，，则CE 的长为（ ）A .6B .5C .4D .2.如下图，在ABC △中，°90ACB BE ∠=，平分ABC ED AB ∠⊥，于D .如果°306cm A AE ∠==，，那么CE 等于（ ）A cmB .2cmC .3cmD .4cm3.如下图，在ABC △中°60A BM AC ∠=⊥，于点M CN AB ⊥，于点N P ，为BC 边的中点，连接PM PN ，，则下列结论：PM PN PMN =①；②△为等边三角形；下面判断正确是（ ）A .①正确B .②正确C .①②都正确D .①②都不正确4.如下图所示，已知BD 是ABC △的角平分线，ED 是BC 的垂直平分线，°903BAC AD ∠==，，则CE 的长为（ ）A .6B .5C .4D .5.在ABC △中，AD 既是A ∠的平分线，又是BC 边上的中线，则ABC △的形状是（ ） A .等腰三角形B .三边互不相等的直角三角形C .等腰直角三角形D .不能确定6.已知一个等腰三角形的边长分别是2和4，则该等腰三角形的周长是（ ） A .8或10B .8C .10D .6或127.如下图所示，ABC △是等边三角形，且°115BD CE =∠=，，则2∠的度数为（ ） A .°15B .°30C .°45D .°608.如下图，在PAB △中，PA PB M N K =，，，分别是PA PB AB ，，上的点，且AM BK BN AK ==，，若°44MKN ∠=，则P ∠的度数为（ ）A .°44B .°66C .°88D .°929.下列说法：①有一个角是°60的等腰三角形是等边三角形；②如果三角形的一个外角平分线平行三角形的一边，那么这个三角形是等腰三角形；③三角形三边的垂直平分线的交点与三角形三个顶点的距离相等；④有两个角相等的等腰三角形是等边三角形.其中正确的个数有（ ） A .1个B .2个C .3个D .4个10.如下图，在平面直角坐标系xoy 中，()()0206A B ，，，，动点C 在y x =上.若以A B C 、、三点为顶点的三角形是等腰三角形，则点C 的个数是（ ）A .2B .3C .4D .511.如下图，ABC △中，°°9030BAC B AD BC ∠=∠=⊥，，于D CE ，是ACB ∠的平分线，且交AD 于P 点.如果9AB =，则AP 的长为（ ）A .3B .3.5C .4D .4.512.如下图，°30BAC AP ∠=，平分BAC GF ∠，垂直平分AP ，交AC 于F Q ，为射线AB 上一动点，若PQ 的最小值为3，则AF 的长为（ ）A .3B .6C .D .9二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）13.腰长为12cm ，底角为°15的等腰三角形的面积为________.14.等腰三角形的一个内角是°70，则这个等腰三角形的底角是________.15.如下图，在ABC △中，°30B ED ∠=，垂直平分3BC ED =，，则CE 的长为________.16.如下图，已知在ABC Rt △中，°9018C AC ∠==，.分别以A B 、为圆心，大于12AB 长为半径作弧，过弧的交点作直线，分别交AB AC 、于点D E 、.若5EC =，则BEC △的面积为________.三、解答题（本大题共6小题，共48.0分）17.如下图，在ABC △中，°60B ACB AB AD ∠=∠=⊥，.（1）求证：ABC △为等边三角形；（2）若8BD =，求ABC △的边长.18.如下图，在ABC Rt △中，°90 3.C BC CAB ∠==∠，的平分线交BC 于点D DE ，是AB 的垂直平分线，垂足为E .（1）求B ∠度数.（2）求DE 的长.19.在ABC Rt △中，°90C BD ∠=，平分ABC ∠交AC 于点D DE ，垂直平分线段AB .（1）求ABD ∠度数；（2）求证：2AD CD =.20.如下图，AD 为ABC △的角平分线，DE AB ⊥于点E DF AC ⊥，于点F ，连接EF 交AD 于点O .（1）求证：AD 垂直平分EF ；（2）若°60BAC ∠=，请求出DO 与AD 之间的数量关系.21.如下图，在ABC △中，°90ACB ∠=，过A 点沿直线AE 折叠这个三角形，使点C 落在AB 边上的D 点处，连接DC ，若AE BE =，求证：ADC △是等边三角形.22.如下图，已知在ABC △中，°90ACB CD ∠=，为高，且CD CE ，三等分ACB ∠.（1）求B ∠的度数；（2）求证：CE 是AB 边上的中线，且12CE AB =.第一章综合测试答案解析1.【答案】D【解析】本题考查的是线段垂直平分线的性质、直角三角形的性质和勾股定理等知识，掌握线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解题的关键.根据线段垂直平分线的性质得到DB DC =，根据角平分线的定义、三角形内角和定理求出°30C DBC ABD ∠=∠=∠=，根据含°30的直角三角形的性质和勾股定理解答.解：ED ∵是BC 的垂直平分线，°90DB DC DEC =∠=∴，，C DBC ∠=∠∴，BD ∵是ABC △的角平分线，ABD DBC ∠=∠∴，°30C DBC ABD ∠=∠=∠=∴，26BD AD ==∴，即1632CD BD ED CD ====，，CE ==∴，故选：D . 2.【答案】C【解析】解：°30ED AB A ⊥∠=∵，，2AE ED =∴，6cm AE =∵， 3cm ED =∴，°90ACB BE ∠=∵，平分ABC ∠，ED CE =∴， 3cm CE =∴；故选：C .根据在直角三角形中，30度所对的直角边等于斜边的一半得出2AE ED =，求出ED ，再根据角平分线到两边的距离相等得出ED CE =，即可得出CE 的值.此题考查了含°30角的直角三角形，用到的知识点是在直角三角形中，30度所对的直角边等于斜边的一半和角平分线的基本性质，关键是求出ED CE =. 3.【答案】C【解析】解：BM AC ⊥①∵于点M CN AB ⊥，于点N P ，为BC 边的中点，1122PM BC PN BC ==∴，， PM PN =∴，正确；°60A BM AC ∠=⊥②∵，于点M CN AB ⊥，于点N ，°30ABM ACN ∠=∠=∴，在ABC △中，°°°°18060302=60BCN CBM ∠+=--⨯，∵点P 是BC 的中点，BM AC CN AB ⊥⊥，，PM PN PB PC ===∴，22BPN BCN CPM CBM ∠=∠∠=∠∴，，()°°2260=120BPN CPN BCN CBM ∠+∠=∠+∠=⨯∴，°60MPN ∠=∴，PMN ∴△是等边三角形，正确；所以①②都正确. 故选：C .根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可判断①正确；根据直角三角形两锐角互余的性质求出°30ABM ACN ∠=∠=，再根据三角形的内角和定理求出°60BCN CBM ∠+∠=，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出°120BPN CPM ∠+∠=，从而得到°60MPN ∠=，又由①得PM PN =，根据有一个角是°60的等腰三角形是等边三角形可判断②正确.本题主要考查了直角三角形°30角所对的直角边等于斜边的一半的性质，等边三角形的判定与性质，熟练掌握性质是解题的关键. 4.【答案】D【解析】本题考查的是线段垂直平分线的性质、直角三角形的性质和勾股定理等知识，掌握线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解题的关键.根据线段垂直平分线的性质得到DB DC =，根据角平分线的定义、三角形内角和定理求出°30C DBC ABD ∠=∠=∠=，根据含°30的直角三角形的性质和勾股定理解答.解：ED ∵是BC 的垂直平分线，°90DB DC DEC =∠=∴，，C DBC ∠=∠∴，BD ∵是ABC △的角平分线，ABD DBC ∠=∠∴，°30C DBC ABD ∠=∠=∠=∴，26BD AD ==∴，即1632CD BD ED CD ====，，CE ==∴，故选：D . 5.【答案】A 6.【答案】C【解析】解：①2是腰长时，三角形的三边分别为2、2、4，224+=∵，∴不能组成三角形，②2是底边时，三角形的三边分别为2、4、4， 能组成三角形， 周长24410=++=， 综上所述，它的周长是10. 故选：C .分2是腰长与底边长两种情况讨论求解.本题考查了等腰三角形的性质，难点在于要分情况讨论并利用三角形的三边关系进行判定. 7.【答案】D【解析】本题考查了全等三角形的证明，全等三角形对应角相等的性质，等边三角形内角为°60的性质，本题中求证ABD BCE △≌△是解题的关键.易证ABD BCE △≌△，可得1CBE ∠=∠，根据21ABE ∠=∠+∠可以求得2∠的度数，即可解题. 解：在ABD △和BCE △中，AB BC ABC ACB BD CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ABD BCE ∴△≌△，1CBE ∠=∠∴，21ABE ∠=∠+∠∵，°260CBE ABE ABC ∠=∠+∠=∠=∴.故选D . 8.【答案】D【解析】解：PA PB =∵，A B ∠=∠∴，在AMK △和BKN △中，AM BK A B AK BN =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ()AMK BKN SAS ∴△≌△，AMK BKN ∠=∠∴，MKB MKN NKB A AMK ∠=∠+∠=∠+∠∵， °44A MKN ∠=∠=∴， °°18092P A B ∠=-∠-∠=∴，故选：D .解题思路首先根据等腰三角形的性质得到A B ∠=∠，接下来证明AMK BKN △≌△，得到AMK BKN ∠=∠，然后根据三角形的外角定理求出°44A MKN ∠=∠=，最后用三角形内角和定理获得答案.本题考查的是等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质、三角形的外角的性质，掌握等边对等角、全等三角形的判定定理和性质定理、三角形的外角的性质是解题的关键. 9.【答案】C【解析】本题主要考查的是等腰三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，角平分线的性质，等边三角形的判定的有关知识，由题意对给出的各个选项进行逐一分析即可. 解：①有一个角是°60的等腰三角形是等边三角形，正确；②如果三角形的一个外角的平分线平行于三角形的一边，那么这个三角形是等腰三角形；正确； ③三角形三边垂直平分线的交点到三角形三个顶点的距离相等；正确； ④有三个角相等的等腰三角形是等边三角形，故④错误. 故选C . 10.【答案】B【解析】本题考查了等腰三角形的判定，坐标与图形性质，线段垂直平分线的性质，作出图形，利用数形结合的思想求解更形象直观.根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AB 的垂直平分线与直线y x =的交点为点C ，再求出AB 的长，以点A 为圆心，以AB 的长为半径画弧，与直线y x =的交点为点C ，求出点B 到直线y x =的距离可知以点B 为圆心，以AB 的长为半径画弧，与直线没有交点，据此求解即可.解：如下图，AB 的垂直平分线与直线y x =相交于点1C ，()()0206A B ∵，，，，624AB =-=∴，以点A 为圆心，以AB 的长为半径画弧，与直线y x =的交点为23C C ，，6OB =∵，∴点B 到直线y x =的距离为6=4∵，∴以点B 为圆心，以AB 的长为半径画弧，与直线y x =没有交点，所以，点C 的个数是123+=. 故选B . 11.【答案】A【解析】本题考查了含30度角的直角三角形的性质、角平分线的性质以及等边三角形的判定与性质.利用三角形外角定理得到°60AEC ∠=是解题的关键，根据角的关系可得到BE CE =，再通过计算得AEP △的等边三角形，则AE AP =，在直角AEC △中，利用含30度角的直角三角形的性质来得到AE 与CE 的关系，可得所求.解：ABC ∵△中，°°9030BAC B ∠=∠=，， °60ACB ∠=∴.又CE ∵是ACB ∠的平分线，°30ECB B ∠=∠=∴，BE CE =∴，°60AEC B ECB B ECB ∠=∠+∠=∠=∠∴， °60AEP BE EC ∠==∴，.又AD BC ⊥，°60BAD EAP ∠=∠=∴，则°60AEP EAP ∠=∠=，AEP ∴△的等边三角形，则AE AP =，在直角AEC △中，°30ACE ∠=，则2EC AE =，33AB AE BE AE CE AE AP =+=+==， 3AP =∴.故选A . 12.【答案】B【解析】本题考查的是角平分线的性质、线段垂直平分线的性质，角的平分线上的点到角的两边的距离相等.作PH AC ⊥于H ，连接PF ，根据角平分线的性质求出PH ，根据线段垂直平分线的性质得到FA FP =，根据三角形的外角的性质求出PFH ∠，根据直角三角形的性质解答即可.解：作PH AC ⊥于H ，连接PF ，当PQ AB ⊥时，PQ 的最小，AP ∵平分BAC ∠，PQ AB PH AC ⊥⊥，，°315PH PQ PAB PAC ==∠=∠=∴，，GF ∵垂直平分AP ，FA FP =∴，°15FPA PAC ∠=∠=∴，°30PFH ∠=∴，26PF PH ==∴，6AF =∴，故选B .13.【答案】236cm【解析】本题考查了等腰三角形的性质；解答本题的关键，是构建出含°30角的直角三角形，从而通过解直角三角形求出三角形的高，进而求出其面积.要求等腰三角形的面积，已知腰长为12cm ，只要求出腰上的高即可，所以要通过构建直角三角形来解答本题.解：如下图：ABC △是等腰三角形，且°1512cm BAC B AC BC ∠=∠===，； 过A 作DA BC ⊥的延长线于D ，ADC Rt △中，°3012cm DCA AC ∠==，， 16cm 2DA AC ==∴； 2136cm 2ABC S BC DA =⨯⨯=△∴.故答案为236cm .14.【答案】°55或°70【解析】解：①当这个角是顶角时，底角()°°°18070255=-÷=；②当这个角是底角时，另一个底角为°70，顶角为°40；故答案为：°55或°70.题中未指明已知的角是顶角还是底角，故应该分情况进行分析，从而求解.此题主要考查等腰三角形的性质及三角形内角和定理的综合运用.15.【答案】6【解析】此题考查了线段垂直平分线的性质与直角三角形的性质.解题的关键是数形结合思想的应用.由ED 垂直平分BC ，即可得°90BE CE EDB =∠=，，又由直角三角形中°30角所对的直角边是其斜边的一半，即可求得BE 的长，则问题得解.解：ED ∵垂直平分BC ， °90BE CE EDB =∠=∴，，°303B ED ∠==∵，，26BE DE ==∴，6CE =∴.故答案为6.16.【答案】30【解析】本题考查了基本作图以及线段垂直平分线的性质，垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等.根据垂直平分线的性质即可得到13AE BE ==，再根据勾股定理求得BC 的长，即可得到BEC △的面积. 解：由作图可知，MN 垂直平分AB ，AE BE =∴，又185AC EC ==∵，，13AE BE ==∴，又°90C ∠=∵，BCE ∴Rt △中，12BC =，111253022BCE S BC CE =⨯=⨯⨯=△∴， 故答案为：30.17.【答案】（1）证明：°60B ACB ∠=∠=∵，°60BAC ∠=∴，ABC ∴△为等边三角形；（2）解：AB AD ⊥∵，°90BAD ∠=∴.°30D ∠=∴，118422AB BD ==⨯=∴， ABC ∴△的边长为4.【解析】本题考查等边三角形的判定，以及含°30角的直角三角形的性质，掌握判定方法和性质是解题关键.（1）根据三角形的内角和求出BAC ∠的度数，即可得解；（2）先求出D ∠的度数，再根据直角三角形的性质求解即可.18.【答案】解：（1）DE ∵是AB 的垂直平分线，DA DB =∴，B DAB ∠=∠∴.AD ∵平分CAB ∠，CAD DAB ∠=∠∴.°90C ∠=∵，°390CAD ∠=∴，°30CAD ∠=∴，°30B ∠=∴；（2）AD ∵平分CAB DE AB CD AC ∠⊥⊥，，，12CD DE BD ==∴， 3BC =∵，1CD DE ==∴.【解析】本题主要考查线段垂直平分线的性质，熟悉掌握是关键.（1）由角平分线和线段垂直平分线的性质可求得°30B CAD DAB ∠=∠=∠=；（2）根据角平分线的性质即可得到结论.19.【答案】解：（1）DE ∵垂直平分线段AB ，AD BD =∴，A ABD ∠=∠∴，BD ∵平分ABC ∠交AC 于点D ，DBC ABD ∠=∠∴，2ABC A ∠=∠∴，°90C ∠=∵，°90A ABC ∠+∠=∴，°30A ∠=∴，°30ABD A ∠=∠=∴；（2）°°3090CBD ABD C ∠=∠=∠=∵，，AD BD =∵，2AD CD =∴.【解析】此题考查了线段垂直平分线的性质以及角平分线的性质.此题难度不大，注意掌握转化思想与数形结合思想的应用.（1）据线段垂直平分线的性质得到AD BD =，根据等腰三角形的性质得到A ABD ∠=∠，根据角平分线的定义得到DBC ABD ∠=∠，求得2ABC A ∠=∠，根据三角形的内角和即可得到结论；（2）根据含°30角的直角三角形的性质得到2BD CD =，等量代换即可得到结论.20.【答案】（1）证明：AD ∵平分BAC ∠，DE AB DF AC ⊥⊥，，°90DE DF DEA DFA =∠=∠=∴，，DEF DFE ∠=∠∴，DEA DEF DFA DFE ∠-∠=∠-∠∴，即AEF AFE AE AF ∠=∠=，∴，DE DF AE AF ==∵，，∴点D 、点A 在EF 的垂直平分线上，AD ∴垂直平分EF ；（2）解：14DO AD =. 理由：°60BAC ∠=∵，AD 平分BAC ∠，°30EAD ∠=∴，°260AD DE EDA =∠=∴，，由（1）知°90AD EF EOD ⊥∠=，∴，°30DEO ∠=∴，2DE DO =∴，4AD DO =∴， 即14DO AD =. 【解析】本题主要考查了角平分线的性质，线段垂直平分线的判定，等腰三角形的判定，含30°角的直角三角形的性质等知识点，解此题的关键是证明AE AF =和DE DF =，证明2AD DE =和2DE DO =.题目比较典型，综合性强，属于中档题.（1）由AD 为ABC △的角平分线，得到DE DF =，推出AEF ∠和AFE ∠相等，得到AE AF =，即可推出结论；（2）由已知推出°30EAD ∠=，得到2AD DE =，在DEO △中，由°30DEO ∠=推出2DE DO =，即可推出结论.21.【答案】证明：根据折叠的性质：°90ACE ADE AC AD ADE ACB =∠=∠=△≌△，，，AE BE =∵，22AB AD AC ==∴，°30B ∠=∴，°60CAB ∠=∴，ADC ∴△是等边三角形.【解析】本题考查了图形的翻折变换以及等边三角形的判定，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变.根据折叠的性质：°90ACE ADE AC AD ADE ACB =∠=∠=△≌△，，，根据等腰三角形三线合一得出点D 恰为AB 的中点，从而得出22AB AD AC ==，又°90C ∠=，故°30B ∠=，所以°60CAB ∠=，根据有一个角是°60的等腰三角形是等边三角形即可证得.22.【答案】（1）解：∵在ABC △中，°90ACB CD CE ∠=，，三等分ACB ∠，°30ACD DCE BCE ∠=∠=∠=∴，则°60BCD ∠=，又CD ∵为高，°°°906030B ∠=-=∴；（2）证明：由（1）知，°30B BCE ∠=∠=，则12CE BE AC AB ==，. °°9030ACB B ∠=∠=∵，，°60A ∠=∴，又∵由（1）知，°30ACD DCE ∠=∠=，°60ACE A ∠=∠=∴，ACE ∴△是等边三角形，12AC AE EC AB ===∴， AE BE =∴，即点E 是AB 的中点. CE ∴是AB 边上的中线，且12CE AB =. 【解析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线.本题解题过程中利用了“等角对等边”以及等边三角形的判定与性质证得（2）的结论的.（1）利用直角BCD △的两个锐角互余的性质进行解答；（2）利用已知条件和（1）中的结论可以得到ACE △是等边三角形和BCE △为等腰三角形，利用等腰三角形的性质证得结论.。