高中数学必修2《立体几何初步》教材分析和教学建议

高中数学必修2《立体几何初步》教材分析和教学建议

2016/10/23

一、立体几何在近几年高考中分布

近几年客观题重点在于三视图面积或体积计算及简单判断，一般有2小题，难度中等稍多（如2016等出在第6题），但有时也比较靠后（如2014出在第12题），解答题位居第2,3题的位置，包含推理证明及计算，证明主要是平行和垂直关系，利用平行证明共面（2008四川）、证异面直线（2009辽宁）比较少，全国1卷近几年还没出过，理科计算以求角居多，文科计算比较多考体积或点面距离。

注意，现在文科也考求角了，今年第11题

2016：6三视图，体积面积，11，异面直线所成角，（理）18证面面垂直，计算二面角，五面体，（文）18证中点，体积，三棱锥

2015：6体积，11三视图，面积，（理）18证面面垂直，计算异面直线所成角，线面（文）18证面面垂直，计算体积，四棱锥

2014：12三视图，棱长，（理）19证相等，计算二面角，三棱柱（文）19证线线垂直，计算棱柱高，三棱柱

2013：6体积，相接，8三视图，体积，（理）18证线线垂直，计算线面角，三棱柱（文）19证线线垂直，计算体积，三棱柱

2012：7三视图，体积，11与球相接，体积，（理）19证线线垂直，计算二面角，三棱柱（文）19证面面垂直，计算体积，三棱柱

2011：6三视图，判断，15与球相接，体积，（理）18证线线垂直，计算二面角，四棱锥（文）18证线线垂直，计算棱锥高，四棱锥

2010：10与球相接，面积，14三视图，判断，（理）18证线线垂直，计算线面角，四棱锥（文）18证面面垂直，计算体积，四棱锥

二、对教材重点内容的处理建议

1.对三视图的教学建议

三视图是年年都考的内容，由三视图还原直观图是解题的第一步，也是很关键的一步，有些年份容易有些年份难，这部分内容初中也学过一下，不要以为学生都会，掉以轻心。

三视图还原直观图，可以考虑以一些简单的几何体为原形，从三个方向切割的方法确定，三个图形从简到繁构图。如

（2016广州二测）

(10)如图，网格纸上的小正方形的边长为1

体的体积是

(A) 4 + 6π

(B) 8 + 6π

(C) 4 + 12π

(D) 8 + 12π

【答案】B

我们按正视图→侧视图→

（2014全国1理）

12.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度为 (A) 6 2 (B) 4 2 (C) 6 (D) 4 【答案】C

【解析】如图所示，原几何体为三棱锥 D －ABC ，

其中 AB = BC = 4，AC = 4 2 ，DB = DC = 2 5 ，DA =

(42) 2 + 4 = 6，故最长的棱的长度为 DA = 6，选C

我们按俯视图 → 侧视图 → 正视图的顺序切割

切割是红色部分，切割后的几何体是蓝色部分，分别是从上到下切，从左到右切，从前到后切（两次，有一次是斜切，先切大的三角形，再修整出小三角形）

（2016广州一测）

(11)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某个四面体的三视图，则该四面体的表面积为

(A) 8 + 8 2 + 4 6 (B) 8 + 8 2 + 2 6 (C) 2 + 2 2 + 6

(D) 12 + 22 + 64

【答案】A

我们按侧视图 → 俯视图 → 正视图的顺序切割

切割是红色部分，切割后的几何体是蓝色部分，分别是从左到右切，从上到下切，从前到后切（两次，有一次是斜切，先切大的三角形，再修整出小三角形）

2. 对平行、垂直关系的教学建议

(1) 平行关系

证明平行关系，线线平行是基础，要熟悉平面几何证明两线平行的相关定理，如中位线定理，平行四边形性质定理，对于立体几何的相关性质，也要熟悉。

利用中位线寻找平行关系

课本55页例1是思维比较简单，证明中点的连线就是该三角形中位线

例1．求证：空间四边形相邻两边中点的连线平行于经过另外两边所在的平面。

已知：空间四边形ABCD ，E 、F 分别是AB 、AD 的中点。 求证：EF ∥平面 BCD

思维层次提高，需要构造三角形，确定其中位线，如课本55页练习2，这是比较典型的证明平行的例子。

练习2. 如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 为 DD 1 的中点，试判断 BD 1 与平面 AEC 的位置关系，并说明理由.

注意中位线的找法，要证明或判断线面平行的线段为三角形底边（BD 1），条件中存在中点的线段为三角形的另一条边（DD 1），由刚才两条边可构成三角形（△BD 1D ），就可看到要寻找的平行线（恰为要证明的平面外线段BD 1的中位线EF ）

课本的例题练习还缺其它一些题型，需要补充

构造平行四边形寻找平行关系 例题：如图，三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，M 、N 分别是BC 和 A 1B 1的

中点，求证：MN ∥平面 AA 1C 1C

分析：这里的中点恰好是要证明的平行线端点，所以不能用上一题目找中位线的做法，

这里，要以中点所在线段的一半（一端点在所证平行平面上）（如MC ，也可以NA 1）与要证平行线段（MN ）为邻边构造平行四边形，第四个顶点为中位线的另一端点（R ）。

证明构成的四边形为平行四边形要用第三条线段传递平行相等关系（如这里是B 1C 1） 本题型与上一题型的主要区别是中点是否是要证明的平行线段的端点。 【解析】分别取 B 1C 1、A 1C 1中点 P 、R ，连 NP 、NR 、CR 三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，M 、N 分别是BC 和 A 1B 1的中点， ∴ NR ∥ PC 1 ∥ MC ∴ 四边形 MNRC 为 □ ∴ MN ∥CR

∵ MN ? 平面 AA 1C 1C ，CR ? 平面 AA 1C 1C ∴ MN ∥平面 AA 1C 1C

B

C

N

A 1

B 1

C 1

M

A P

R B

C

N A 1

B 1

C 1

M

A C A 1

C 1 D

C

A 1

C 1 D

利用线面平行的性质寻找平行关系

例题：如图，在以 A 、B 、C 、D 、E 、F 为顶点的五面体中，面 ABEF 为正方形，求证：CD ∥EF 分析：这里没有中点条件，CD 的长度不定，所以也比较难

构成平行四边形，因此，可考虑把目标转向他们有可能都平

行的直线 AB 上，通过线面平行过渡平行关系。

【解析】由已知, AB ∥EF

∵ AB ? 平面 EFDC ，EF ? 平面 EFDC

∴ AB ∥平面 EFDC .

又平面 ABCD ∩平面 EFDC = DC ∴ AB ∥CD ∴ CD ∥EF

(2) 垂直关系

证明垂直关系，线线垂直是基础，要熟悉平面几何证明两线垂直的相关定理，如勾股定理，等腰三角形三线合一性质（67页练习1）。

立体几何中除平行关系保持角度不变外，只能用线面垂直定义了（如果不准用三垂线定理）

用线面垂直定义证明垂直关系 如果要证明直线 a 、b 垂直，

就要证明直线 a 与过直线 b 的一个平面垂直 或者证明直线 b 与过直线 a 的一个平面垂直

课本第65页例1证明线面垂直，其中证明两直线垂直只用了平行关系转移，没有给出利用线面垂直定义的典型例子，要通过66页探究，第67页练习1及补充例题给予说明。 P65例1

例1．如图，已知 a ∥b ，a ⊥α，求证：b ⊥α

补充例题

如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，求证： (1) AA 1⊥BD (2) A 1C ⊥BD 分析：(1) 有现成过BD 与 AA 1 垂直的平面 ABCD ，也容易证明AA 1⊥平面ABCD (2) 考虑寻找过 A 1C 的平面与 BD 垂直，或过 BD 的平面与 A 1C 垂直 与 A 1C 、BD 的垂直关系中，A 1C 的比较难找、BD 的比较多，如 AC 、AA 1、BB 1 等，能和 A 1C 构成平面的是 AC 、AA 1，这样就可找到过 A 1C 且与 BD 垂直的平面ACC 1A 1.

【解析】(1) 正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AA 1⊥AB ，AA 1⊥AD AB 、AD ? 平面ABCD ，AB ∩AD = A ∴ AA 1⊥平面ABCD ∵ BD ? 平面ABCD ∴ AA 1⊥BD

(2) 正方形ABCD 中，AC ⊥BD ，由 (1) AA 1⊥BD

A B

C

D F

E A B

C D A 1 B 1

C 1

D 1

A B C D A 1 B 1

C 1

D 1

AC、AA1?平面ABCD，AC∩AA1 = A

∴BD⊥平面ACC1A1

∵A1C?平面ACC1A1

∴A1C⊥BD

补充练习

如图所示，三棱柱ABC－A1B1C1中，CA = CB，AB = AA1，∠BAA1 = 60°.

求证：AB⊥A

C

分析：考虑寻找过A1C的平面与AB垂直，或过AB的平面与A1C

垂直

与A1C、BD的垂直关系中，A1C的比较难找、AB的比较易找，因

AB为等腰三角形底边，其中线与AB垂直，又AB = AA1，∠BAA1 =

60°，故其中点与A1 的连线与也AB垂直，而这两条线能和A1C构成平面，这样就可找到过A1C且与AB垂直的平面.

【解析】取AB的中点O，联结OC，OA1，A1B.

因为CA = CB，所以OC⊥AB.

由于AB = AA1，∠BAA1 = 60°，故△AA1B为等边三角形，所以OA1⊥AB.

因为OC∩OA1 = O，所以AB⊥平面OA1C.

又A1C?平面OA1C，故AB⊥A1C.

3.角的计算教学建议

必修2立体几何涉及的角有异面直线所成角、线面所成角、二面角，分布在2.1节空间点、直线、平面之间位置关系及2.3直线与平面垂直的判定与性质两节当中。二面角计算没有出现在例题中，只在习题中给出。虽然现在解答题角的计算以空间向量为主，但作角求解与向量计算求解各有千秋，文科没有空间向量部分的内容，现在异面直线所成角已经出现在选择题中，所以，学习空间中角的计算还是必需的。

空间中角的计算一般要完成三步，一作二证三算。

(1) 异面直线所成角

作角：在空间中找一点（一般优先考虑两线段的端点或中点），作两直线的平行线（如果点已在一直线上，则只需作另一直线的平行线）

作平行线要考虑作出来三角形是否可以求角，如果没有学习必修4，则要避免解斜三角形问题。

课本47页例3

例3．如图2.1－20，已知正方体ABCD－A’B’C’D’

(1) 哪些棱所在的直线与直线BA’成异面直线?

(2) 直线BA’和CC’的夹角是多少？

(3) 哪些棱所在的直线与直线AA’垂直?

如(2) 优先考虑过B、A’作CC’的平行线，或过C、C’作BA’的平行线，当然，过B、A’作CC’的平行线比较简单，就是BB’或AA’

本题可以增加求直线BA’和B’C的夹角是多少？（60?）

(2) 线面所成角

作角：考虑斜线段在平面外的端点作平面的垂线，一般考虑在两个互相垂直的平面上作垂线。

也可利用体积求点面距离，确定所求角的对边长度，结合斜线段的长即可求线面所成角

的正弦。

如课本66页例2

例2．如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，求直线 A 1B 和平面 A 1B 1CD 所成的角

.

作角过程：先要寻找过 B 点与平面 A 1B 1CD 垂直的平面，恰为侧面BCC 1B 1，在平面 BCC 1B 1 内作两平面交线 B 1C 的垂线 BO ，则 O 为 B 在平面 A 1B 1CD 内的射影，连结 A 1O ，则∠BA 1O 即为直线 A 1B 和平面 A 1B 1CD 所成的角。

本题还可利用体积求点B 到A 1B 1CD 平面距离，不需作角而求解。 设点B 到平面A 1B 1CD 距离为 d ，正方体棱长为 a

由 V B －B 1CD = V B 1－BCD ? 13 d ·12 B 1C ·CD = 13 BB 1·1

2

BC ·CD

? d = BB 1·BC B 1C = 2

2

a

A 1

B = 2 a

设直线 A 1B 和平面 A 1B 1CD 所成的角为 θ

则 sin θ = d A 1B = 22 a 2 a

= 1

2 ? θ = 30?

补充例题（本题垂面需要自己作出来）

已知长方体 ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB = AD ，AA 1 = 2AB ，求 CD 与平面BDC 1所成角的正弦值. 先要寻找过 C 点与平面 BDC 1 垂直的平面，这个平面为平面

ACC 1A 1，在平面 ACC 1A 1 内作两平面交线 C 1O 的垂线 CE ，则 E 为 C 在平面 BDC 1 内的射影，连结 DE ，则∠CDE 即为直线 CD 与平面BDC 1 所成的角。

本题也可利用体积求点C 到平面BDC 1距离，不需作角而求解。 【解析】如图，联结AC ，交BD 于点O . ∴ BO ⊥OC ，BO ⊥CC 1 ∴ BO ⊥平面OCC 1

从而平面OCC 1⊥平面BDC 1

过点C 作OC 1的垂线交OC 1于点E ，

根据面面垂直的性质定理可得CE ⊥平面BDC 1，

∠CDE 即为所求的线面角.

设AB = 2，则OC = 2 ，OC 1 = 18 = 3 2

∴ CE = CC 1·OC OC 1 = 4232

= 4

3

∴ sin ∠CDE = CE CD = 2

3

另解：设点 C 到平面 BDC 1 距离为 d ，正方形 ABCD 边长为 a

则 CC 1 = 2a ，BC 1 = DC 1 = 5 a ，BD = 2 a A

B

C

D A 1

B 1

C 1

D 1 O

E

A B

C D

A 1

B 1

C 1

D 1

? OC 1

=

BC 12－(

BD 2 ) 2

= 5－12 a = 322 a 由 V C －BDC 1 = V C 1－BCD ? 13 d ·12 BD ·OC 1 = 13 CC 1·1

2

BC ·CD

? d = CC 1·BC ·CD BD ·OC 1 = 2a ·a ·a 2 a ·32

2

a

= 2

3 a

设直线 CD 与平面BDC 1 所成的角为 θ

则 sin θ = d CD = 23 a a = 2

3

(3) 二面角

必修2对二面角的求解要求不高，虽然给出二面角、二面角的平面角的概念，但课本没有设置例题，二面角的问题只出现在习题中，涉及到的题型与方法有，二面角平面角直接出现在几何体中（习题2.3A 组第7题）、直接作二面角的平面角（习题2.3A 组第4题）、二垂一连作二面角的平面角（复习参考题A 组第7题）。二垂一连作法中平面的垂线是关键，要能引导学生发现或作出该垂线。建议一般学校不宜过度推广、求全。

习题2.3A 组(73页)

4．如图，三棱锥V －ABC 中，VA = VB = AC = BC = 2，AB = 2 3 ，VC = 1，试画出二面角 V －AB －C 的平面角，并求它的度数.

（可作出二面角的平面角：取AB 中点 M ，连 VM 、CM ，可证∠VMC 即为所有二面角的平面角）

7．如图，正方体 ABCD －A ’B ’C ’D ’ 中，平面ABC ’D ’ 与正方体的其他各个面所成二面角的大小分别是多少？

（可证明某个角就是二面角的平面角，如平面ABC ’D ’ 与平面ABCD 所成二面角的平面角为∠C ’BC ，注意，如果考虑是半平面的话，还需加上其补角）

复习参考题A 组(78页)

7．如图，四棱锥V －ABCD 中，底面 ABCD 是边长为 2 的正方形，其他四个侧面都是侧棱长为 5 的等腰三角形，试画出二面角 V －AB －C 的平面角，并求它的度数. （用射影作角，二垂一连，默认是正四棱锥及其性质）

A

B

C

V

M

补充练习

1.在四棱锥P－ABCD中，ABCD为正方形，P A⊥平面ABCD，P A = AB = 2，E为BC中点

(1) 求二面角P－DE－A大小的正切；

(2) 求二面角E－PD－A大小的正切。

【解析】(1) 过A作AF⊥DE于F，连结PF，

∵P A⊥平面ABCD，DE?平面ABCD

∴P A⊥DE

∵AF、P A?平面P AF，AF∩P A = A

∴DE⊥平面P AF

∴DE⊥PF

∴∠PF A即为P－DE－A所成二面角的平面角。

∵CD = 2，CE = 1 ?ED = 5 ?sin∠DEC = 2

5

= sin∠ADF

∴AF = AD·sin∠ADF = 2×2

5

=

4

5

∴tan∠PF A = P A

AF=

2

4

5

=

5

2

故二面角P－DE－A大小的正切为

5 2

(2) 取AD中点M，连EM，作MG⊥PD交于点G，连EG 由E为BC中点

则EM⊥AD

∵P A⊥平面ABCD，EM?平面ABCD

∴P A⊥EM

∵AD、P A?平面P AD，AD∩P A = A

∴EM⊥平面P AD

∴EM⊥PD

∵MG、EM?平面EMG，MG∩EM = M

∴PD⊥平面EMG

∴PD⊥MG

∴∠EGM即为E－PD－A所成二面角的平面角。

∵MG = MD·sin 45? =

2 2

∴tan∠EGM = EM

MG=

2

2

2

= 2 2

故二面角E－PD－A大小的正切为2 2

B C

A D

E

P

F

G

M

B C

A D

E

P

2.如图，在直三棱柱 ABC －A 1B 1C 1中，AB = 1，AC = AA 1 = 3 ，∠ABC = 60?. (1) 证明：AB ⊥A 1C

(2) 求二面角A －A 1C －B 的余弦值。

【解析】(1) ∵三棱柱 ABC －A 1B 1C 1为直三棱柱， ∴ AB ⊥AA 1

在 △ABC 中， AB = 1，AC = 3 ，∠ABC = 60? 由正弦定理 ∠ACB = 30?

∴ ∠BAC = 90?，即AB ⊥AC ∴ AB ⊥平面ACC 1A 1 又 A 1C ? 平面 ACC 1A 1

∴ AB ⊥A 1C

(2) 如图，作 AD ⊥A 1C 交 A 1C 于点D 点，连结BD ， 由三垂线定理知 BD ⊥A 1C

∴∠ADB 为二面角 A －AC 1－B 的平面角

在 Rt △AA 1C 中，AD = AA 1·AC A 1C = 3·36

= 6

2

Rt △BAD 中,tan ∠ADB = AB AD = 63

∴ cos ∠ADB = 15

5

∴ 二面角A －A 1C －B 的余弦值为 15

5

三、教材中值得探讨的问题

课本18页例3

例3．如图1.2－13，已知几何体的三视图，用斜二测画法画出它的直观图。 （应该是正等测）

A

B

D

C

A 1

B 1

C 1 A

B C A 1 B 1 C 1