2020高考文科数学(人教A版)总复习练习：第四章 三角函数、解三角形 课时规范练3
课时规范练18 三角函数的图象与性质基础巩固组1.函数f(x)=的最小正周期是( )|sin x 2·cos x 2|A. B. C.πD.2ππ4π22.已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)对任意x 都有f =f ,则f 等于( )(π6+x )(π6-x)(π6)A.2或0B.-2或2C.0D.-2或03.已知函数f(x)=sin (x ∈R ),下面结论错误的是( )(2x +3π2)A.函数f(x)的最小正周期为πB.函数f(x)是偶函数C.函数f(x)的图象关于直线x=对称π4 D.函数f(x)在区间上是增函数[0,π2]4.当x=时,函数f(x)=sin(x+φ)取得最小值,则函数y=f( )π4(3π4-x)A.是奇函数,且图象关于点对称(π2,0)B.是偶函数,且图象关于点(π,0)对称C.是奇函数,且图象关于直线x=对称π2D.是偶函数,且图象关于直线x=π对称5.(2018河南六市联考一,5)已知函数f(x)=2sin (ω>0)的图象与函数g(x)=cos(2x+φ)的(ωx +π6)(|φ|<π2)图象的对称中心完全相同,则φ为( )A. B.- C. D.-π6π6π3π36.函数y=xcos x-sin x 的部分图象大致为( )7.(2018四川双流中学考前模拟)“φ=”是“函数y=cos 2x 与函数y=sin(2x+φ)在区间上的单调性3π4[0,π4]相同”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件8.函数y=tan 的单调递增区间是 ,最小正周期是 .(x 2+π3)9.若函数f(x)=sin ωx(ω>0)在区间上单调递增,在区间上单调递减,则ω= .[0,π3][π3,π2]10.已知函数y=cos x 与y=sin(2x+φ)(0≤φ<π),它们的图象有一个横坐标为的交点,则φ的值是 .π3综合提升组11.(2018天津,文6)将函数y=sin的图象向右平移个单位长度,所得图象对应的函数( )(2x +π5)π10A.在区间上单调递增[3π4,5π4]B.在区间上单调递减[3π4,π]C.在区间上单调递增[5π4,3π2]D.在区间上单调递减[3π2,2π]12.已知函数f(x)=sin(ωx+φ),A 为f(x)图象的对称中心,B,C 是该图象上相3(ω>0,-π2<φ<π2)(13,0)邻的最高点和最低点,若BC=4,则f(x)的单调递增区间是( )A.,k ∈Z (2k -23,2k +43)B.,k ∈Z (2kπ-2π3,2kπ+4π3)C.,k ∈Z (4k -23,4k +43)D.,k ∈Z (4kπ-2π3,4kπ+4π3)13.函数f(x)=sin 的单调减区间为 .(-2x +π3)14.设函数f(x)=Asin(ωx+φ)A>0,ω>0,|φ|<与直线y=3的交点的横坐标构成以π为公差的等差数列,且π2x=是f(x)图象的一条对称轴,则函数f(x)的单调递增区间为 .π6创新应用组15.(2018河北衡水中学考前仿真,6)已知函数f(x)=sin +1的图象在区间上恰有一条2(2ωx +π4)[0,12]对称轴和一个对称中心,则实数ω的取值范围为( )A.B.[3π8,5π8)(3π8,5π8]C. D.[3π4,5π4)[3π4,5π4]16.(2018江西南昌三模,9)将函数f(x)=sin的图象上所有点的横坐标压缩为原来的,纵坐标保(x +π6)12持不变,得到g(x)的图象,若g(x 1)+g(x 2)=2,且x 1,x 2∈[-2π,2π],则x 1-x 2的最大值为( )A.π B.2π C.3π D.4π课时规范练18 三角函数的图象与性质1.C 由已知得f(x)=,故f(x)的最小正周期为π.|sinx |22.B 由f =f 知,函数图象关于x=对称,f 是函数f(x)的最大值或最小值.故选B.(π6+x )(π6-x )π6(π6)3.C f(x)=sin =-cos 2x,故其最小正周期为π,A 正确;易知函数f(x)是偶函数,B 正确;由函数(2x +3π2)f(x)=-cos 2x 的图象可知,函数f(x)的图象关于直线x=不对称,C 错误;由函数f(x)的图象易知,函数f(x)在π4上是增函数,D 正确.故选C.[0,π2]4.C 由题意,得sin =-1,(π4+φ)∴φ=2kπ-(k ∈Z ).3π4∴f(x)=sin =sin .(x +2kπ-3π4)(x -3π4)∴y=f =sin(-x)=-sin x.(3π4-x)∴y=f 是奇函数,且图象关于直线x=对称.(3π4-x )π25.D ∵两个函数图象的对称中心完全相同,则它们的周期相同,∴ω=2,即f(x)=2sin ,(2x +π6)由2x+=kπ,k ∈Z ,即x=,k ∈Z ,π6kπ2‒π12∴f(x)的对称中心为,k ∈Z ,(kπ2-π12,0)∴g(x)的对称中心为,k ∈Z ,(kπ2-π12,0)∴g =cos (kπ2-π12)(2×(kπ2-π12)+φ)=cos =±cos =0,(kπ-π6+φ)(φ-π6)∴φ-=kπ+,k ∈Z ,π6π2∴φ=kπ+,当k=-1时,φ=-π+=-,故选D.2π32π3π36.C 函数y=f(x)=xcos x-sin x 满足f(-x)=-f(x),即该函数为奇函数,图象关于原点对称,故排除B;当x=π时,y=f(π)=πcos π-sin π=-π<0,故排除A,D.故选C.7.A 由题意可得函数y=cos 2x 在区间上单调递减.[0,π4]当φ=时,函数y=sin(2x+φ)=sin,x ∈,此时2x+.3π4(2x +3π4)[0,π4]3π4∈[3π4,5π4]∴函数y=sin 在区间上单调递减.(2x +3π4)[0,π4]当φ=+2π时,函数y=sin在区间上单调递减,3π4(2x +3π4)[0,π4]∴“φ=”是函数“y=cos 2x 与函数y=sin(2x+φ)在区间上的单调性相同”的充分不必要条件.3π4[0,π4]故选A.8.(k ∈Z ) 2π 由kπ-<kπ+,k ∈Z ,得2kπ-<x<2kπ+,k ∈Z .最小正周期(2kπ-5π3,2kπ+π3)π2<x 2+π3π25π3π3T==2π.π129. ∵f(x)=sin ωx(ω>0)过原点,32∴当0≤ωx ≤,即0≤x ≤时,y=sin ωx 是增函数;π2π2ω当≤ωx ≤,即≤x ≤时,y=sin ωx 是减函数.π23π2π2ω3π2ω由题意知,∴ω=.π2ω=π33210. 由题意cos =sin ,π6π3(2×π3+φ)即sin ,(2π3+φ)=12+φ=kπ+(-1)k ·(k ∈Z ),2π3π6因为0≤φ<π,所以φ=.π611.A 将函数y=sin 的图象向右平移个单位长度,所得图象对应的函数解析式为y=sin(2x +π5)π10=sin 2x.[2(x -π10)+π5]当-+2kπ≤2x ≤+2kπ,k ∈Z ,即-+kπ≤x ≤+kπ,k ∈Z 时,y=sin 2x 单调递增.π2π2π4π4当+2kπ≤2x ≤+2kπ,k ∈Z ,即+kπ≤x ≤+kπ,k ∈Z 时,y=sin 2x 单调递减.π23π2π43π4结合选项,可知y=sin 2x 在区间上单调递增.故选A.[3π4,5π4]12.D 由题意,得(2)2+=42,3(T 2)2即12+=16,求得ω=.π2ω2π2再根据+φ=kπ,k ∈Z ,且-<φ<,可得φ=-,π2·13π2π2π6则f(x)=sin .3(π2x -π6)令2kπ-x-≤2kπ+,k ∈Z ,π2≤π2π6π2求得4kπ-≤x ≤4kπ+,k ∈Z ,2π34π3故f(x)的单调递增区间为,4kπ+,k ∈Z ,故选D.(4kπ-2π34π3)13.(k ∈Z ) 由已知函数为y=-sin ,欲求函数的单调减区间,只需求y=sin[kπ-π12,kπ+5π12](2x -π3)的单调增区间.(2x -π3)由2kπ-≤2x-≤2kπ+,k ∈Z ,π2π3π2得kπ-≤x ≤kπ+,k ∈Z .π125π12故所给函数的单调减区间为[kπ-,kπ+](k ∈Z ).π125π1214.,k ∈Z 由题意,得A=3,T=π,[-π3+kπ,π6+kπ]∴ω=2,∴f(x)=3sin(2x+φ).又f =3或f =-3,(π6)(π6)∴2×+φ=kπ+,k ∈Z ,φ=+kπ,k ∈Z .π6π2π6∵|φ|<,∴φ=,π2π6∴f(x)=3sin .(2x +π6)令-+2kπ≤2x++2kπ,k ∈Z ,π2π6≤π2化简,得-+kπ≤x ≤+kπ,k ∈Z ,π3π6∴函数f(x)的单调递增区间为,k ∈Z .[-π3+kπ,π6+kπ]15.C 由题意,知x ∈,2ωx+∈,ω+,[0,12]π4π4π4∵函数f(x)的图象在区间0,上恰有一条对称轴和一个对称中心,12∴∈,ω+,π∈,ω+,∉,ω+,∴即π≤ω+,π2π4π4π4π43π2π4π4{ω+π4≥π2,ω+π4≥π,ω+π4<3π2,π4<3π2即≤ω<.故选C.3π45π416.C 由题意知g(x)=sin ,(2x +π6)∵x 1,x 2∈[-2π,2π],∴2x 1+,2x 2+∈[-4π+,4π+].π6π6π6π6∵g(x 1)+g(x 2)=2,∴g(x 1)=g(x 2)=1,要使x 1-x 2的值最大,则2x 1+=2π+,2x 2+=-4π+=2(x 1-x 2)=π6π2π6π2,(2x 1+π6)‒(2x 2+π6)=6π,(2π+π2)‒(-4π+π2)∴x 1-x 2=3π.。
2020高考文科数学总复习课件：第四章 三角函数、解三角形4.4
函数y=Asin(ωx+φ)的图象及应用
必备知识预案自诊
考点1
考点2
-11-
关键能力·学案突破
关键能力学案突破
考点3
解 (1)根据表中已知数据,解得
数据补全如下表:
ωx+φ
Asin(ωx+φ)
2
3
0
12
x
0
且函数表达式为 f(x)=5sin
π
A=5,ω=2,φ=-6.
5
π
2- 6
3
2
5
6
2
2
点坐标,描点后得出图象.
(2)图象变换法:由函数 y=sin x 的图象通过变换得到 y=Asin(ωx+φ)
的图象,有两种主要途径“先平移后伸缩”(即“先 φ 后 ω”)与“先伸缩后
平移”(即“先 ω 后 φ”).
第四页，编辑于星期日：一点 三十九分。
第四章
4.4
函数y=Asin(ωx+φ)的图象及应用
2.变换法作图象的关键是看x轴上是先平移后伸缩还是先伸缩后平移,对
于后者可利用
来确定平移单位
.
ωx+φ=ω
+
第十三页，编辑于星期日：一点 三十九分。
函数y=Asin(ωx+φ)的图象及应用
4.4
第四章
关键能力·学案突破
关键能力学案突破
必备知识预案自诊
考点1
考点2
-14-
考点3
对点训练 1 已知函数 y=2sin
π
3
D.y=2sin 2- 3
π
- 4
π
+6
2020高考文科数学(人教A版)总复习练习：第四章 三角函数、解三角形 课时规范练4
令2kπ- ≤x- ≤2kπ+ ,k∈Z,解得2kπ+ ≤x≤2kπ+ ,k∈Z,
当k=0时,所得图象对应的函数的一个单调递增区间为[ ],故选C.
4.C因为sin ∈[-1,1],所以函数y=3sin +k的最小值为k-3,最大值为k+3.
函数y= cos 3x= sin sin 3 ,故将函数y= cos 3x的图象向右平移 个单位,
得到函数y=sin 3x+cos 3x的图象.
2.D由题意知ω=2,函数f(x)的对称轴满足2x+ =kπ(k∈Z),解得x= (k∈Z),当k=1时,x= ,故选D.
3.A将y=sin 的图象向右平移 个单位,得到y=sin[ ]=sin 的图象,
7.A由题意得f(x)= sinωx-2cos2 +1= sinωx-cosωx=2sin ,
则g(x)=2sin[ω(x-φ)- ]=2sin(ωx-ωφ- ),由题图知T=2( )=π,
∴ω=2,g(x)=2sin(2x-2φ- ),
则g =2sin( -2φ)=2sin =2,
由0<φ< ,得 -2φ= ,解得φ的值为 ,故选A.
=2sin ,
所以f(x)的最小正周期是π.
(2)因为0≤x≤ ,所以0≤2x≤π,
所以 ≤2x+ ,
当x= 时,f(x)max=2;
当x= 时,f(x)min=-1.
15.A由题意可知 ,
∴T=π,ω= =2.
又sin =0,0<φ< ,
∴φ= ,故选A.
16.B(特殊值法)画出f(x)=sin 的图象如图所示.
人教A版高考总复习文科数学精品课件 第4章三角函数、解三角形 高考解答题专项二 三角函数中的综合问题
2b· ,可得
2
2 3
b= .
3
突破技巧关于三角函数、三角变换与解三角形的综合题的解题思路,一般
是由正弦定理、余弦定理求出某个量作为下面问题的已知量,然后利用三
角变换,将所求的量化为f(x)=Asin(ωx+φ)或f(x)=Acos(ωx+φ)的形式,最终求
出结果.
对点训练 4(2021 江苏南京金陵中学高三月考)已知函数 f(x)=cos x·
sin −
π
3
- 3sin2x.
(1)求 f(x)在
π
0, 4
上的最值;
(2)在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,f
15 3
为 4 ,求
sin B+sin C 的值.
2
3 3
=- 4 ,a=7,△ABC
的面积
1
sin
2
解:(1)f(x)=cos x
1
=2sin
xcos x-
∴sin A≠0,cos
1
π
B= ,∴B= .
2
3
(2)由题知 f(x)=cos −
π
6
+sin ωx=
2π
由已知得||=π,∵ω<0,∴ω=-2,f(x)=-
由
π
2kπ-2
π
≤2x-6
由
π
2kπ+2
π
≤2kπ+ 2 ,得
π
≤2x-6
π
kπ-6
3π
≤2kπ+ 2 ,得
3
ωx+ sin
2
3sin 2 −
π
(名师导学)2020版高考数学总复习第四章三角函数第26讲解三角形练习理(含解析)新人教A版
第26讲 解三角形夯实基础 【p 55】【学习目标】掌握正、余弦定理，能利用这两个定理及面积计算公式解斜三角形，培养运算求解能力． 【基础检测】1．设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c.若a ＝2，c ＝2 3，cos A ＝32且b ＜c ，则b ＝( )A ．3B ．2 2C ．2D . 3【解析】由a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，得4＝b 2＋12－6b ，解得b ＝2或4.又b ＜c ，∴b ＝2.【答案】C2．在△ABC 中，内角A, B, C 所对的边分别是a, b, c ，若B ＝30°， c ＝23，b ＝2，则C ＝( )A .π3B .π3或2π3C .π4D .π4或5π4【解析】由正弦定理bsin B ＝c sin C 得212＝23sin Csin C ＝32，∴C ＝π3或2π3. 【答案】B3．已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且c －b c －a ＝sin Asin C ＋sin B ，则B ＝( )A . π6B . π4C . π3D .3π4【解析】由sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c 2R ，代入整理得c －b c －a ＝a c ＋b c 2－b 2＝ac－a 2，所以a 2＋c 2－b 2＝ac ，即cos B ＝12，所以B ＝π3.【答案】C4．在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若sin A ＝223，a ＝2，该三角形的面积为2，则b 的值为( )A . 3B .322C ．2 2D ．2 3 【解析】由锐角三角形中sin A ＝223得：cos A ＝13，面积12bc sin A ＝2，所以bc ＝3，根据余弦定理cos A ＝b 2＋c 2－a22bc ，所以13＝b 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3b 2－46，整理得：b 2＋9b 2＝6，解得：b 2＝3，所以b ＝ 3.【答案】A5．如图，有一段河流，河的一侧是以O 为圆心的扇形区域OCD ，河的另一侧是一段笔直的河岸l ，岸边有一高为15米的烟囱AB(不计B 离河岸的距离)，设OB 与圆弧CD ︵的交点为E.经测量，扇形区域和河岸处于同一水平面，在点O 和点E 处测得烟囱AB 的仰角分别为30°和60°.若CE 的长为103米，则BC ＝________米．【解析】在△EAB 中，因为∠AEB＝60°，所以BE ＝53， 在△OAB 中，因为∠AOB＝30°，所以BO ＝153，所以在△OCE 中，OE ＝CE ＝OC ＝103， 从而∠BOC＝60°， 在△OBC 中，BC ＝BO 2＋CO 2－2BO·CO·cos 60°＝521. 【答案】521 【知识要点】1．正弦定理、余弦定理2.三角形的面积：S △ABC ＝__12ab sin __C__＝__12ac sin __B__＝__12bc sin __A__＝abc 4R ＝12(a＋b ＋c)·r(R 为三角形外接圆半径，r 为内切圆半径)．3．仰角和俯角在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线__上方__时叫仰角，目标视线在水平视线__下方__时叫俯角(如图(a ))．图(a ) 图(b ) 4．方位角从某点的指北方向线起按顺时针转到目标方向线之间的水平夹角叫做方位角．如B 点的方位角为α(如图(b ))．5．方向角正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角，通常表达为北(南)偏东(西)××度．典 例 剖 析 【p 56】考点1 利用正弦定理解三角形例1已知在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且asin B －bcos A ＝0. (1)求角A 的大小；(2)若a ＝25，b ＝2，求△ABC 的面积.【解析】(1)在△ABC 中，由正弦定理得sin Asin B －sin Bcos A ＝0， 即sin B (sin A －cos A )＝0， 又角B 为三角形内角，sin B ≠0，所以sin A －cos A ＝0，即2sin ⎝⎛⎭⎪⎫A －π4＝0，又因为A∈(0，π)，所以A ＝π4.(2)法一：在△ABC 中，由余弦定理得：a 2＝b 2＋c 2－2bc·cos A ，则20＝4＋c 2－4c·⎝ ⎛⎭⎪⎫22. 即c 2－22c －16＝0，解得c ＝－22(舍)或c ＝42，又S ＝12bcsin A ，所以S ＝12×2×42×22＝4.法二：∵a ＝25，b ＝2，由(1)知A ＝π4，∴由a sin A ＝b sin B 得sin B ＝bsin A a ＝2·2225＝110，∵sin B ＝110<12＝sin A ，∴B 为锐角．∴cos B ＝310，∴sin C ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫34π－B ＝12(cos B ＋sin B )＝12·410＝25.∴S △ABC ＝12absin C ＝12·25·2·25＝4.考点2 利用余弦定理解三角形例2(1)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2bcos B ＝acos C ＋ccos A ，则B ＝________．【解析】法一：由2bcos B ＝acos C ＋ccos A 及余弦定理，得 2b ·a 2＋c 2－b 22ac ＝a·a 2＋b 2－c 22ab ＋c·b 2＋c 2－a22bc ，整理得，a 2＋c 2－b 2＝ac ， 所以cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝ac 2ac ＝12，又0<B<π，所以B ＝π3.法二：由正弦定理得2sin Bcos B ＝sin Acos C ＋sin Ccos A ＝sin (A ＋C )＝sin B ， 又0<B<π，所以sin B>0，cos A ＝12，B ＝π3.【答案】π3(2)△ABC 中， cos ∠ABC ＝13，AB ＝2，点D 在线段AC 上，且AD ＝2DC ，BD ＝433，则BC 的长为________．【解析】在△ABC 中，设BC ＝a ，AC ＝3b ，则由余弦定理可得9b 2＝a 2＋4－43a ，①在△ABD 和△DBC 中，由余弦定理可得 cos ∠ADB ＝4b 2＋163－41633b ，cos ∠BDC ＝b 2＋163－a2833b .因为cos ∠ADB ＝－cos ∠BDC ，所以有4b 2＋163－41633b ＝－b 2＋163－a2833b ，所以3b 2－a 2＝－6，②由①②可得a ＝3，b ＝1，即BC ＝3. 【答案】3【点评】解三角形时，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到． 考点3 与三角形面积有关的问题例3△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin A －3cos A ＝0，a ＝7，b ＝5.(1)求c ；(2)设D 为CB 延长线上一点，满足AD⊥AC ，求△ABD 的面积． 【解析】(1)由已知得tan A ＝3A ＝π3，由余弦定理2bccos A ＝b 2＋c 2－a 2，c 2－5c －24＝0c ＝8(舍负)．(2)法一：如图，△ABC 中，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝17tan C ＝43；Rt △ACD 中，tan C ＝ADAC＝43AD ＝203，∴S △ABD ＝12AB·AD·sin ∠BAD ＝12×8×203×12＝40 3.法二：S △ABC ＝12bcsin A ＝12ahh ＝2037，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝17AC CD ＝17BD ＝28，∴S △ABD ＝12BD·h ＝40 3.【点评】(1)对于面积公式S ＝12absin C ＝12acsin B ＝12bcsin A ，一般是已知哪一个角就使用哪一个公式． (2)与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化． 考点4 三角形中的测量问题(高度、距离、角度)例4要测量底部不能到达的电视塔AB 的高度，在C 点测得塔顶A 的仰角是45°，在D 点测得塔顶A 的仰角是30°，并测得水平面上的∠BCD ＝120°，CD ＝40 m ，则电视塔的高度为________m.【解析】如图，设电视塔AB 高为x m ， 则在Rt △ABC 中，由∠ACB ＝45°，得BC ＝x. 在Rt △ADB 中，∠ADB ＝30°， 所以BD ＝3x.在△BDC 中，由余弦定理，得BD 2＝BC 2＋CD 2－2BC·CD·cos 120°， 即(3x )2＝x 2＋402－2·x·40·cos 120°， 解得x ＝40，所以电视塔高为40 m. 【答案】40【点评】求解高度问题应注意：(1)在处理有关高度问题时，理解仰角、俯角(它是在铅垂面上所成的角)、方向(位)角(它是在水平面上所成的角)是关键．(2)在实际问题中，可能会遇到空间与平面(地面)同时研究的问题，这时最好画两个图形，一个空间图形，一个平面图形，这样处理起来既清楚又不容易搞错．(3)注意山或塔垂直于地面或海平面，把空间问题转化为平面问题．例5如图，经过村庄A 有两条夹角为60°的公路AB ，AC ，根据规划拟在两条公路之间的区域内建一工厂P ，分别在两条公路边上建两个仓库M ，N (异于村庄A )，要求PM ＝PN ＝MN ＝2(单位：千米)．如何设计能使得工厂产生的噪声对居民的影响最小(即工厂与村庄的距离最远)?【解析】设∠AMN ＝θ，在△AMN 中，MN sin 60°＝AM sin （120°－θ）.因为MN ＝2，所以AM ＝433sin (120°－θ)．在△APM 中，cos ∠AMP ＝cos (60°＋θ)． AP 2＝AM 2＋MP 2－2AM·MP·cos ∠AMP＝163sin 2(120°－θ)＋4－2×2×433sin (120°－θ)·cos (60°＋θ) ＝163sin 2(θ＋60°)－1633sin (θ＋60°)cos (θ＋60°)＋4 ＝83[1－cos (2θ＋120°)]－833sin (2θ＋120°)＋4 ＝－83[3sin (2θ＋120°)＋cos (2θ＋120°)]＋203＝203－163sin (2θ＋150°)，θ∈(0，120°)． 当且仅当2θ＋150°＝270°，即θ＝60°时，AP 2取得最大值12，即AP 取得最大值2 3.所以当∠AMN ＝60°时，符合要求． 【点评】求解距离问题应注意：(1)选定或确定要创建的三角形，首先确定所求量所在的三角形，若其他量已知则直接求解；若有未知量，则把未知量放在另一确定三角形中求解．(2)确定用正弦定理还是余弦定理，如果都可用，就选择更便于计算的定理．例6在一次海上联合作战演习中，红方一艘侦察艇发现在北偏东45°方向，相距12 n mile 的水面上，有蓝方一艘小艇正以每小时10 n mile 的速度沿南偏东75°方向前进，若红方侦察艇以每小时14 n mile 的速度，沿北偏东45°＋α方向拦截蓝方的小艇．若要在最短的时间内拦截住，求红方侦察艇所需的时间和角α的正弦值．【解析】如图，设红方侦察艇经过x 小时后在C 处追上蓝方的小艇， 则AC ＝14x ，BC ＝10x ，∠ABC ＝120°.根据余弦定理得(14x )2＝122＋(10x )2－240xcos 120°， 解得x ＝2.故AC ＝28，BC ＝20.根据正弦定理得BC sin α＝ACsin 120°，解得sin α＝20sin 120°28＝5314.所以红方侦察艇所需要的时间为2小时，角α的正弦值为5314.【点评】求解角度问题应注意：(1)测量角度时，首先应明确方位角及方向角的含义． (2)求角的大小时，先在三角形中求出其正弦或余弦值．(3)在解应用题时，要根据题意正确画出示意图，通过这一步可将实际问题转化为可用数学方法解决的问题，解题中也要注意体会正、余弦定理“联袂”使用的优点．方 法 总 结 【p 57】1．利用正弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题： (1)已知两角和任一边，求其他两边和一角；(2)已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角(从而进一步求出其他的边和角)． 2．由正弦定理容易得到：在三角形中，大角对大边，大边对大角；大角的正弦值也较大，正弦值较大的角也较大，即A ＞Ba ＞b sin A ＞sin B.3．已知三角形两边及其一边的对角解三角形时，利用正弦定理求解时，要注意判断三角形解的情况(存在两解、一解和无解三种可能)．而解的情况确定的一般方法是“大边对大角且三角形钝角至多一个”．4．利用余弦定理，可以解决以下三类有关三角形的问题： (1)已知三边，求三个角；(2)已知两边和它们的夹角，求第三边和其余角； (3)已知两边和其中一边的对角，求其他边和角；(4)由余弦值确定角的大小时，一定要依据角的范围及函数值的正负确定．走 进 高 考 【p 57】1．(2018·全国卷Ⅱ)在△ABC 中，cos C 2＝55，BC ＝1，AC ＝5，则AB ＝( )A ．4 2 B.30 C.29 D ．25【解析】因为cos C ＝2cos 2C 2－1＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫552－1＝－35.所以由余弦定理得AB 2＝BC 2＋AC 2－2BC·AC cos C ＝1＋25－2×1×5×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35＝32，∴AB ＝4 2. 【答案】A2．(2018·全国卷Ⅲ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若△ABC 的面积为a 2＋b 2－c24，则C ＝( ) A.π2 B.π3 C.π4 D.π6【解析】由三角形面积公式知：S △ABC ＝12absin C ＝a 2＋b 2－c 24，由余弦定理得：a 2＋b 2－c 2＝2abcos C ， ∴sin C ＝cos C ，∴C ＝π4.【答案】C3．(2018·全国卷Ⅰ)在平面四边形ABCD 中，∠ADC ＝90°，∠A ＝45°，AB ＝2，BD ＝5.(1)求cos ∠ADB ； (2)若DC ＝22，求BC.【解析】(1)在△ABD 中，由正弦定理得BD sin ∠A ＝ABsin ∠ADB.由题设知，5sin 45°＝2sin ∠ADB ，所以sin ∠ADB ＝25.由题设知，∠ADB<90°， 所以cos ∠ADB ＝1－225＝235.(2)由题设及(1)知，cos ∠BDC ＝sin ∠ADB ＝25. 在△BCD 中，由余弦定理得BC 2＝BD 2＋DC 2－2·BD·DC·cos ∠BDC ＝25＋8－2×5×22×25＝25. 所以BC ＝5.考 点 集 训 【p 206】A 组题1．在△ABC 中，a ＝15，b ＝10，A ＝60°，则cos B ＝( ) A ．－223 B.223C ．－63 D.63【解析】根据正弦定理a sin A ＝b sin B ，可得15sin 60°＝10sin B，解得sin B ＝33， 又因为b <a ，则B <A ，故B 为锐角， 所以cos B ＝1－sin 2B ＝63. 【答案】D2．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且b (2sin B ＋sin A )＋(2a ＋b )sinA ＝2c sin C ，则C ＝( )A.π6 B.π3 C.2π3 D.5π6【解析】由正弦定理可得b (2sin B ＋sin A )＋(2a ＋b )sin A ＝2c sin C b (2b ＋a )＋(2a＋b )a ＝2c 2，整理得a 2＋b 2－c 2＝－ab cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝－12，∵0<C <π，∴C ＝2π3.【答案】C3．已知船A 在灯塔C 北偏东85°且到C 的距离为2 km ，船B 在灯塔C 西偏北25°且到C 的距离为 3 km ，则A ，B 两船的距离为( )A ．2 3 kmB ．3 2 km C.15 km D.13 km【解析】由题意可得∠ACB ＝( 90°－25°)＋85°＝150°， 又 AC ＝2，BC ＝3，由余弦定理可得AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC cos 150°＝13， ∴AB ＝13. 【答案】D4．已知△ABC 中，a 、b 分别是角A 、B 所对的边，且a ＝x (x >0)，b ＝2，A ＝60°，若三角形有两解，则x 的取值范围是( )A ．x > 3B ．0<x <2 C.3<x <2 D.3<x ≤2【解析】根据正弦定理a sin A ＝b sin B ＝csin C＝2R ，可得x sin 60°＝2sin B ，所以sin B ＝3x，∵A ＝60°，∴0<B <120°，要使三角形有两解需满足60°<B <120°，且B ≠90°， 即32<sin B <1，解得3<x <2 . 【答案】C5．若△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知2b sin 2A ＝a sin B ，且c ＝2b ，则ab＝________．【解析】由题知，2b ·2sin A cos A ＝a sin B ，由正弦定理得4ab ·cos A ＝ab ，即cos A ＝14，又∵cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝5b 2－a 24b 2＝14，∴a 2＝4b 2，a ＝2b . 【答案】26．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若角A ，B ，C 依次成等差数列，且a ＝1，b ＝3，则S △ABC ＝________．【解析】因为角A ，B ，C 依次成等差数列，所以B ＝60°.由正弦定理，得1sin A ＝3sin 60°，解得sin A ＝12，因为0°＜A ＜180°，所以A ＝30°或150°(舍去)，此时C ＝90°，所以S △ABC ＝12ab ＝32.【答案】327．如图，在△ABC 中，点D 在AC 边上，且AD ＝3DC ，AB ＝7， ∠ADB ＝π3，∠C＝π6.(1)求DC 的值； (2)求tan ∠ABC 的值．【解析】(1)如图所示， ∠DBC ＝∠ADB －∠C ＝π3－π6＝π6，故∠DBC＝∠C, DB ＝DC .设DC ＝x ，则DB ＝x, DA ＝3x .在△ADB 中，由余弦定理AB 2＝DA 2＋DB 2－2DA ·DB ·cos ∠ADB ， 即7＝()3x 2＋x 2－2·3x ·x ·12＝7x 2，解得x ＝1，DC ＝1.(2)在△ADB 中，由AD >AB ，得∠ABD >∠ADB ＝π3，故∠ABC ＝∠ABD ＋∠DBC >π3＋π6＝π2，在△ABC 中，由正弦定理AC sin ∠ABC ＝ABsin ∠ACB，即4sin ∠ABC ＝712，故sin ∠ABC ＝27，由∠ABC ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，得cos ∠ABC ＝－37，tan ∠ABC ＝－23＝－23 3.8．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2cos C (a cos B ＋b cos A )＝c . (1)求C ；(2)若c ＝7，△ABC 的面积为332，求△ABC 的周长．【解析】(1)2cos C ()a cos B ＋b cos A ＝c ，由正弦定理得： 2cos C sin ()A ＋B ＝sin C ，∵A ＋B ＋C ＝π， ∴sin(A ＋B )＝sin C >0， ∴cos C ＝12，∵C ∈(0，π)，∴C ＝π3.(2)由余弦定理得：c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，即()a ＋b 2－3ab ＝7，又S ＝12ab sin C ＝34ab ＝332，ab ＝6，∴()a ＋b 2－18＝7，a ＋b ＝5， ∴△ABC 周长为a ＋b ＋c ＝5＋7.B 组题1．设△ABC 的面积为S 1，它的外接圆面积为S 2，若△ABC 的三个内角大小满足A ∶B ∶C ＝3∶4∶5，则S 1S 2的值为( )A.2512πB.2524πC.3＋32π D.3＋34π【解析】设三角形的三内角分别为3x ，4x ，5x ，外接圆的半径为R ，由三角形内角和定理可得三内角分别为A ＝π4，B ＝π3，C ＝5π12，则由正弦定理可得a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ，故S 1＝12ab sin C ＝12(2R )2×22×32×6＋24＝3＋34R 2，即S 1S 2＝3＋34π. 【答案】D2．如图，无人机在离地面高200 m 的A 处，观测到山顶M 处的仰角为15°、山脚C 处的俯角为45°，已知∠MCN ＝60°，则山的高度MN 为________ m.【解析】由条件，∠MAD ＝15°，所以∠NMA ＝75°，∠CMA ＝45°，∠MAC ＝15°＋45°＝60°，所以∠ACM ＝180°－60°－45°＝75°，∠ACB ＝45°，这样在△ACB 中，AC ＝2002，在△ACM 中，AC sin 45°＝MC sin 60°，解得MC ＝2003，△MNC 中，MN ＝MC sin 60°＝2003×32＝300.【答案】3003．如图，在△ABC 中，BE 平分∠ABC ，sin ∠ABE ＝33，AB ＝2，点D 在线段AC 上，且AD ＝2DC ，BD ＝433，则BE ＝________． 【解析】由条件得cos ∠ABC ＝13，sin ∠ABC ＝223.在△ABC 中，设BC ＝a ，AC ＝3b ，则9b 2＝a 2＋4－43a ①.因为∠ADB 与∠CDB 互补，所以cos ∠ADB ＝－cos ∠CDB ，4b 2＋163－41633b ＝－b 2＋163－a 2833b ，所以3b 2－a 2＝－6 ②，联立①②解得a ＝3，b ＝1，所以AC ＝3，BC ＝3.S △ABC ＝12·AC ·AB sin A ＝12×3×2×223＝22， S △ABE ＝12·BE ·BA sin ∠EBA ＝12×2×BE ×33＝33BE . S △BCE ＝12·BE ·BC sin ∠EBC ＝12×3×BE ×33＝32BE . 由S △ABC ＝S △ABE ＋S △BCE ，得22＝33BE ＋32BE ， ∴BE ＝45 6.【答案】45 64．如图所示，摄影爱好者S 在某公园发现A 处的正前方B 处有一立柱，测得立柱顶端O 的仰角和立柱底部B 的俯角均为π6.设S 的眼睛到地面的距离为3米．(1)求摄影爱好者到立柱的水平距离和立柱的高度；(2)立柱的顶端有一长2米的彩杆MN 绕中点O 在S 与立柱所在的平面内旋转．摄影爱好者有一视角范围为π3的镜头，在彩杆转动的任意时刻，摄影爱好者是否都可以将彩杆全部摄入画面？说明理由．【解析】(1)过S 作SC 垂直OB 于C ，连结SB ，SO ， 则∠CSB ＝π6，∠ASB ＝π3.又SA ＝3，故在Rt △SAB 中，可求得BA ＝3， 即摄影爱好者到立柱的水平距离为3米．由SC ＝3，∠CSO ＝π6，在Rt △SCO 中，可求得OC ＝ 3.因为BC ＝SA ＝3，故OB ＝23，即立柱高为23米． (2)连接SM ，SN ，设SN ＝a ，SM ＝b .由(1)知SO ＝23， 在△SOM 和△SON 中，cos ∠SOM ＝－cos ∠SON ， 即（23）2＋1－b 22×23×1＝－（23）2＋1－a 22×23×1，可得a 2＋b 2＝26.在△MSN 中，cos ∠MSN ＝a 2＋b 2－222ab ＝11ab ≥22a 2＋b 2＝1113>12，当且仅当a ＝b 时等号成立．又∠MSN ∈(0，π)，则0<∠MSN <π3.故摄影爱好者S 可以将彩杆全部摄入画面．。
2020高考文科数学(人教A版)总复习练习：第四章 三角函数、解三角形 课时规范练2
α 为锐角,则 α=50°,故选 B.
( ) 6.B ∵sin(π-α)=-2sin
������ 2
+
������
,
∴sin α=-2cos α.
25
5
25
5
2
再由 sin2α+cos2α=1 可得 sin α= 5 ,cos α=- 5 ,或 sin α=- 5 ,cos α= 5 ,∴sin αcos α=-5.故选 B.
( ) ( ) 9.(2018 河北衡水中学九模,14)已知 cos
������ -
������ 4
=4
������ + ������
5,则 sin 4 =
.
4 ������������������2������ - 2������������������2������
10.(2018 河北衡水中学金卷一模,13)已知 tan(α-π)=-3,则 ������������������2������
(1)5������������������������ + 2������������������������;
(2)sin2α+sin 2α.
创新应用组
2
17.(2018 河北衡水中学仿真,3)已知曲线 f(x)=3x3 在点(1,f(1))处的切线的倾斜角为 α,则
������������������2������ - ������������������2������
=
1
18
������������������������������������������������=- 5 ,故选
D.
8.A 1 - 2������������������(������ + 2)������������������(������ - 2) = 1 - 2������������������2������������������2 =
2020届高三数学文科总复习课件：第四章 三角函数、解三角形 课时作业4-5-1
2．二倍角的正弦、余弦、正切公式 (1)sin 2α＝2sin αcos α. (2)cos 2 α ＝ cos2 α － sin2 α ＝ __2_c_o_s__2α__－__1___ ＝ __1_－__2__s_in_2__α___． (3)tan 2α＝.
第二页，编辑于星期日：一点 一分。
C．3
D．－3
第十五页，编辑于星期日：一点 一分。
【解析】 (1)法一：cos2π4 －α＝2cos2π4 －α－1
＝2×352－1＝－275，
且
π
π
cos2
4
－α＝cos
2
－2α＝sin
2α，故选
D.
法二：由
cosπ4 －α＝35，得
2 2 cos
α＋
2 2 sin
α＝35，即
2 2
(cos α＋sin α)＝35，
【答案】 －45
第十页，编辑于星期日：一点 一分。
6．化简：12sin
x－
3 2 cos
x＝________．
【解析】
1 2sin
x－
3 2 cos
π x＝cos 3 sin
π x－sin 3 cos
x
π
＝sinx－
3
.
【答案】
π
sinx－
3
第十一页，编辑于星期日：一点 一分。
7．计算：11－ ＋ttaann 1155° °＝________．
【反思归纳】
第三十九页，编辑于星期日：一点 一分。
跟踪训练 5
已知
tan(α＋β)＝1，tanα－π3 ＝31，则
π
tanβ＋
2020版高考数学复习第四章三角函数解三角形第3节两角和与差的正弦余弦和正切公式课件理新人教A版
2 2 2 2
sin(α＋φ)其中tan
b φ＝a
· cos(α－φ)其中tan
a φ＝b.
[微点提醒] 1.tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β).
2.二倍角的正弦、余弦、正切公式
2sin αcos α sin 2α＝_____________. 1－2sin2α cos2α－sin2α ＝_____________ 2cos2α－1 ＝_____________. cos 2α＝_____________
2tan α 2 1 － tan α tan 2α＝________________ .
多维探究
cos 10° － 3cos（－100° ） 【例 2－1】 (1)计算： ＝________. 1－sin 10°
解析
cos 10° － 3cos（－100° ） cos 10° ＋ 3cos 80° cos 10° ＋ 3sin 10° ＝ ＝ ＝ 2· sin 40° 1－sin 10° 1－cos 80°
1 A. 2 3 B. 2 1 C.－ 2 3 D.－ 2
)
解析 由三角函数定义，sin α＝cos 47°，cos α＝sin 47°， 则sin(α－13°)＝sin αcos 13°－cos αsin 13°
＝cos 47°cos 13°－sin 47°sin 13° 1 ＝cos(47° ＋13° )＝cos 60° ＝ . 2 答案 A
解析 (1)cos(α＋β)cos β＋sin(α＋β)sin β＝cos[(α＋β)－β]＝cos α.
2020高考文科数学(人教A版)总复习练习：第四章 三角函数、解三角形 课时规范练5 Word版含解析
课时规范练20两角和与差的正弦、余弦与正切公式基础巩固组1.若cos-,则sin 2α=()A. B. C.- D.-2.(2018河北衡水中学三调)若α∈,且3cos 2α=sin-,则sin 2α的值为()A.-B.C.-D.3.对于锐角α,若sin-,则cos=()A. B. C. D.-4.设sin,则sin 2θ=()A.-B.-C.D.5.若tan α=2tan,则--=()A.1B.2C.3D.46.(2018河北衡水中学16模,5)已知α满足sin α=,则cos cos -=()A. B. C.- D.-7.(2018河北衡水中学17模,6)已知sin α=,α∈,则cos的值为()A.-B.C.-D.-8.设sin 2α=-sin α,α∈,则tan 2α的值是.9.已知α∈,tan α=2,则cos-=.10.若sin 2α=,sin(β-α)=,且α∈,β∈,则α+β=.综合提升组11.(2018宁夏石嘴山一模)若tan=-3,则cos 2α+2sin 2α=()A. B.1 C.- D.-12.(2018福建百校临考冲刺)若α∈(0,π),且sin α+2cos α=2,则tan=()A. B. C. D.13.(2018北京怀柔区模拟)已知函数f(x)=(sin x+cos x)2+cos 2x-1.(1)求函数f(x)的最小正周期;(2)求函数f(x)在区间-上的最大值和最小值.创新应用组14.(2018重庆巴蜀中学月考)已知sin,则sin-=()A. B. C. D.-15.(2018河北衡水中学押题二,10)已知函数f(x)=3sin ωxcos ωx-4cos2ωx(ω>0)的最小正周期为π,且f(θ)=,则f=()A.-B.-C.-D.-16.已知sin,θ∈--,则cosθ+的值为.课时规范练20两角和与差的正弦、余弦与正切公式1.D(法一)cos-=2cos2--1=2×-1=-,且cos-=cos-=sin 2α,故选D.(法二)由cos-,得cos α+sin α=,即(cos α+sin α)=,两边平方得(cos2α+sin2α+2cos αsin α)=,整理得2sin αcos α=-,即sin 2α=-,故选D.2.C由3cos 2α=sin-,得3(cos2α-sin2α)=(cos α-sin α).∵α∈,∴cos α-sin α≠0,∴cos α+sin α=.两边平方,得1+2sin αcos α=,∴sin 2α=-.故选C.3.D由α为锐角,且sin-,可得cos-,∴sin-=2×,cos=cos-=-sin-=-,故选D.4.A sin 2θ=-cos=2sin2-1=2×-1=-.5.C因为tan α=2tan,所以----=--=-=3.6.A cos cos-=cos --αcos-α=sin-αcos-α=sin-2α=cos 2α=(1-2sin2α)=-,故选A.7.A∵sin α=,α∈,∴cos α=-,∴sin 2α=2sin αcos α=2×,cos 2α=1-2sin2α=1-2×.∴cos cos 2α-sin 2α=-.故选A.8.∵sin 2α=2sin αcos α=-sin α,∴cos α=-,又α∈,∴sin α=,tan α=-,∴tan 2α=---.9.由tan α=2,得sin α=2cos α.又sin2α+cos2α=1,α∈,∴cos α=,sin α=.∴cos-=cos αcos+sin αsin=.10.因为α∈,所以2α∈.又sin 2α=,故2α∈,α∈,所以cos 2α=-.又β∈,故β-α∈,于是cos(β-α)=-,所以cos(α+β)=cos[2α+(β-α)]=cos 2αcos(β-α)-sin 2αsin(β-α)=--,且α+β∈,故α+β=.=-3,11.B∵tan-∴tan α=2,∴cos 2α+2sin 2α=--=-=1.12.A由二倍角公式,得sin α+2cos α=2sin cos+21-2sin2=2,化简可得2sin cos=4sin2.∵α∈(0,π),∴,∴sin≠0,∴cos=2sin,∴tan.13.解 (1)∵f(x)=(sin x+cos x)2+cos 2x-1=2sin xcos x+cos 2x=sin 2x+cos 2x=sin,∴函数f(x)的最小正周期T==π.(2)由(1)可知,f(x)=sin.∵x∈-,∴2x+-,∴sin-.故函数f(x)在区间-上的最大值和最小值分别为,-1.14.B sin-=sin-2α=cos+2α=1-2sin2=1-2×=1-.15.B函数f(x)=3sin ωxcos ωx-4cos2ωx=sin 2ωx-2(1+cos 2ωx)=sin(2ωx-φ)-2,其中tan φ=,所以f(x)的最小正周期为T==π,解得ω=1,所以f(x)=sin(2x-φ)-2,又由f(θ)=,即f(θ)=sin(2θ-φ)-2=,即sin(2θ-φ)=1,所以f sin--2=-sin(2θ-φ)-2=-×1-2=-,故选B.16.-由θ∈--,得θ+--,又sin,所以cos=-.cos=cos=cos cos-sin sin=-=-.。
2020高考文科数学(人教A版)总复习练习：第四章 三角函数、解三角形 课时规范练3
课时规范练18三角函数的图象与性质基础巩固组1.函数f(x)=|sin x2·cos x2|的最小正周期是()A.π4B.π2C.πD.2π2.已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)对任意x都有f(π6+x)=f(π6-x),则f(π6)等于()A.2或0B.-2或2C.0D.-2或03.已知函数f(x)=sin(2x+3π2)(x∈R),下面结论错误的是()A.函数f(x)的最小正周期为πB.函数f(x)是偶函数C.函数f(x)的图象关于直线x=π4对称D.函数f(x)在区间[0,π2]上是增函数4.当x=π4时,函数f(x)=sin(x+φ)取得最小值,则函数y=f(3π4-x)()A.是奇函数,且图象关于点(π2,0)对称B.是偶函数,且图象关于点(π,0)对称C.是奇函数,且图象关于直线x=π2对称D.是偶函数,且图象关于直线x=π对称5.(2018河南六市联考一,5)已知函数f(x)=2sin(ωx+π6)(ω>0)的图象与函数g(x)=cos(2x+φ)(|φ|<π2)的图象的对称中心完全相同,则φ为()A.π6B.-π6C.π3D.-π36.函数y=xcos x-sin x的部分图象大致为()7.(2018四川双流中学考前模拟)“φ=3π”是“函数y=cos 2x与函数y=sin(2x+φ)在区间[0,π]上的单调性相同”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件8.函数y=tan(x2+π3)的单调递增区间是,最小正周期是.9.若函数f(x)=sin ωx(ω>0)在区间[0,π]上单调递增,在区间[π,π]上单调递减,则ω=.10.已知函数y=cos x与y=sin(2x+φ)(0≤φ<π),它们的图象有一个横坐标为π3的交点,则φ的值是.综合提升组11.(2018天津,文6)将函数y=sin(2x+π5)的图象向右平移π10个单位长度,所得图象对应的函数()A.在区间[3π4,5π4]上单调递增B.在区间[3π4,π]上单调递减C.在区间[5π4,3π2]上单调递增D.在区间[3π2,2π]上单调递减12.已知函数f(x)=√3sin(ωx+φ)(ω>0,-π2<φ<π2),A(13,0)为f(x)图象的对称中心,B,C是该图象上相邻的最高点和最低点,若BC=4,则f(x)的单调递增区间是()A.(2k-23,2k+43),k∈ZB.(2kπ-2π3,2kπ+4π3),k∈ZC.(4k-23,4k+43),k∈ZD.(4kπ-2π3,4kπ+4π3),k∈Z13.函数f(x)=sin(-2x+π3)的单调减区间为.14.设函数f(x)=Asin(ωx+φ)A>0,ω>0,|φ|<π2与直线y=3的交点的横坐标构成以π为公差的等差数列,且x=π6是f(x)图象的一条对称轴,则函数f(x)的单调递增区间为.创新应用组15.(2018河北衡水中学考前仿真,6)已知函数f(x)=√2sin(2ωx+π4)+1的图象在区间[0,12]上恰有一条对称轴和一个对称中心,则实数ω的取值范围为()A.[3π8,5π8) B.(3π8,5π8]C.[3π4,5π4) D.[3π4,5π4]16.(2018江西南昌三模,9)将函数f(x)=sin(x+π6)的图象上所有点的横坐标压缩为原来的12,纵坐标保持不变,得到g(x)的图象,若g(x1)+g(x2)=2,且x1,x2∈[-2π,2π],则x1-x2的最大值为() A.π B.2π C.3π D.4π课时规范练18 三角函数的图象与性质1.C 由已知得f(x)=|sinx |2,故f(x)的最小正周期为π. 2.B 由f (π6+x)=f (π6-x)知,函数图象关于x=π6对称,f (π6)是函数f(x)的最大值或最小值.故选B.3.C f(x)=sin (2x +3π2)=-cos 2x,故其最小正周期为π,A 正确;易知函数f(x)是偶函数,B 正确;由函数f(x)=-cos 2x 的图象可知,函数f(x)的图象关于直线x=π4不对称,C 错误;由函数f(x)的图象易知,函数f(x)在[0,π2]上是增函数,D 正确.故选C.4.C 由题意,得sin (π+φ)=-1,∴φ=2k π-3π4(k ∈Z ).∴f(x)=sin (x +2kπ-3π)=sin (x -3π).∴y=f (3π4-x)=sin(-x)=-sin x.∴y=f (3π4-x)是奇函数,且图象关于直线x=π2对称.5.D ∵两个函数图象的对称中心完全相同,则它们的周期相同,∴ω=2,即f(x)=2sin (2x +π),由2x+π6=k π,k ∈Z ,即x=kπ2−π12,k ∈Z ,∴f(x)的对称中心为(kπ2-π12,0),k ∈Z ,∴g(x)的对称中心为(kπ2-π12,0),k ∈Z , ∴g (kπ-π)=cos (2×(kπ-π)+φ)=cos (kπ-π6+φ)=±cos (φ-π6)=0,∴φ-π6=k π+π2,k ∈Z ,∴φ=k π+2π3,当k=-1时,φ=-π+2π3=-π3,故选D.6.C 函数y=f(x)=xcos x-sin x 满足f(-x)=-f(x),即该函数为奇函数,图象关于原点对称,故排除B;当x=π时,y=f(π)=πcos π-sin π=-π<0,故排除A,D.故选C. 7.A 由题意可得函数y=cos 2x 在区间[0,π4]上单调递减.当φ=3π4时,函数y=sin(2x+φ)=sin (2x+3π4),x ∈[0,π4],此时2x+3π4∈[3π4,5π4]. ∴函数y=sin (2x +3π4)在区间[0,π4]上单调递减. 当φ=3π+2π时,函数y=sin (2x +3π)在区间[0,π]上单调递减,∴“φ=3π4”是函数“y=cos 2x 与函数y=sin(2x+φ)在区间[0,π4]上的单调性相同”的充分不必要条件.故选A. 8.(2kπ-5π3,2kπ+π3)(k ∈Z ) 2π 由k π-π2<x 2+π3<k π+π2,k ∈Z ,得2k π-5π3<x<2k π+π3,k ∈Z .最小正周期T=π12=2π.9.32∵f(x)=sin ωx(ω>0)过原点,∴当0≤ωx ≤π2,即0≤x ≤π2ω时,y=sin ωx 是增函数;当π2≤ωx ≤3π2,即π2ω≤x ≤3π2ω时,y=sin ωx 是减函数.由题意知π2ω=π3,∴ω=32.10.π6 由题意cos π3=sin (2×π3+φ),即sin (2π3+φ)=12,2π3+φ=k π+(-1)k ·π6(k ∈Z ),因为0≤φ<π,所以φ=π6.11.A 将函数y=sin (2x +π5)的图象向右平移π10个单位长度,所得图象对应的函数解析式为y=sin [2(x -π10)+π5]=sin 2x.当-π2+2k π≤2x ≤π2+2k π,k ∈Z ,即-π4+k π≤x ≤π4+k π,k ∈Z 时,y=sin 2x 单调递增. 当π2+2k π≤2x ≤3π2+2k π,k ∈Z ,即π4+k π≤x ≤3π4+k π,k ∈Z 时,y=sin 2x 单调递减. 结合选项,可知y=sin 2x 在区间[3π,5π]上单调递增.故选A.12.D 由题意,得(2√3)2+(T 2)2=42,即12+π2ω2=16,求得ω=π2.再根据π2·13+φ=k π,k ∈Z ,且-π2<φ<π2,可得φ=-π6, 则f(x)=√3sin (π2x -π6).令2k π-π2≤π2x-π6≤2k π+π2,k ∈Z , 求得4k π-2π3≤x ≤4k π+4π3,k ∈Z , 故f(x)的单调递增区间为(4kπ-2π3,4k π+4π3),k ∈Z ,故选D. 13.[kπ-π12,kπ+5π12](k ∈Z ) 由已知函数为y=-sin (2x -π3),欲求函数的单调减区间,只需求y=sin (2x -π3)的单调增区间.由2k π-π2≤2x-π3≤2k π+π2,k ∈Z , 得k π-π12≤x ≤k π+5π12,k ∈Z .故所给函数的单调减区间为[k π-π12,k π+5π12](k ∈Z ). 14.[-π3+kπ,π6+kπ],k ∈Z 由题意,得A=3,T=π,∴ω=2,∴f(x)=3sin(2x+φ).又f (π6)=3或f (π6)=-3,∴2×π6+φ=k π+π2,k ∈Z ,φ=π6+k π,k ∈Z . ∵|φ|<π2,∴φ=π6,∴f(x)=3sin (2x +π6).令-π2+2k π≤2x+π6≤π2+2k π,k ∈Z , 化简,得-π3+k π≤x ≤π6+k π,k ∈Z ,∴函数f(x)的单调递增区间为[-π3+kπ,π6+kπ],k ∈Z .15.C 由题意,知x ∈[0,12],2ωx+π4∈π4,ω+π4,∵函数f(x)的图象在区间0,12上恰有一条对称轴和一个对称中心, ∴π2∈π4,ω+π4,π∈π4,ω+π4,3π2∉π4,ω+π4,∴{ω+π4≥π2,ω+π4≥π,ω+π4<3π2,即π≤ω+π4<3π2, 即3π4≤ω<5π4.故选C.16.C 由题意知g(x)=sin (2x +π),∵x 1,x 2∈[-2π,2π],∴2x 1+π6,2x 2+π6∈[-4π+π6,4π+π6].∵g(x 1)+g(x 2)=2,∴g(x 1)=g(x 2)=1,要使x 1-x 2的值最大,则2x 1+π6=2π+π2,2x 2+π6=-4π+π2,(2x 1+π6)−(2x 2+π6)=2(x 1-x 2)=(2π+π2)−(-4π+π2)=6π,∴x 1-x 2=3π.。
2020高考文科数学(人教A版)总复习练习：第四章 三角函数、解三角形 课时规范练7
课时规范练22 解三角形基础巩固组1.(2018山西吕梁一模,4)在△ABC 中,角A,B,C 所对的边分别为a,b,c,已知a=,c=3,cos A=,则b= ( )623A.3 B.1C.1或3 D.无解2.在△ABC 中,已知acos A=bcos B,则△ABC 的形状是( )A.等腰三角形 B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角形3.(2018湖南长郡中学四模,11)在△ABC 中,角A,B,C 所对的边分别为a,b,c,已知sin B+sin A(sin C-cos C)=0,a=2,c=,则角C=( )2A. B.5π6π6 C. D.π4π34.在△ABC中,B=,BC边上的高等于BC,则cos A=( )π413A. B.310101010C.-D.-1010310105.(2018湖南长郡中学五模,11)在△ABC 中,角A,B,C 的对边分别为a,b,c,且=-,则角A 的最cosB b 3cosCc 大值为( )A. B.π6π4C. D.π3π26.(2018河北衡水中学三模,14)在△ABC 中,角A,B,C 所对的边分别为a,b,c,且满足asin B=bcos A,则sin B-cos C 的最大值是 .27.(2018北京,文14)若△ABC 的面积为(a 2+c 2-b 2),且∠C为钝角,则∠B= ;的取值范围是 34ca .8.如图所示,长为3.5 m 的木棒AB 斜靠在石堤旁,木棒的一端A 在离堤足C 处1.4 m 的地面上,另一端B 在离堤足C 处2.8 m 的石堤上,石堤的倾斜角为α,则坡度值tan α=.9.(2018河北唐山一模,16)在△ABC 中,角A,B,C 的对边分别为a,b,c,若S △ABC =,则的最大值是 c 24a b +ba .10.在△ABC 中,∠A=60°,c=a.37(1)求sin C 的值;(2)若a=7,求△ABC 的面积.综合提升组11.(2018河北衡水中学考前仿真,11)在△ABC 中,内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c,已知a=5,△ABC 的面积S △ABC =,且b 2+c 2-a 2=accos C+c 2cos A,则sin B+sin C=( )2534A.3B. C. D.39323312.(2018河北衡水中学月考,12)已知△ABC 的内角A,B,C 的对边分别是a,b,c,且(a 2+b 2-c 2)·(acos B+bcos A)=abc,若a+b=2,则c 的取值范围为( )A.(0,2) B.[1,2)C. D.(1,2][12,2]13.(2018河北衡水中学九模,14)如图,为了测量河对岸A 、B 两点之间的距离,观察者找到一个点C,从点C 可以观察到点A 、B;找到一个点D,从点D 可以观察到点A 、C;找到一个点E,从点E 可以观察到点B 、C;并测量得到一些数据:CD=2,CE=2,∠D=45°,∠ACD=105°,∠ACB=48.19°,∠BCE=75°, 3∠E=60°,则A 、B 两点之间的距离为 .其中cos 48.19°取近似值 2314.(2018湖南长郡中学三模,17)在△ABC 中,∠B=,BC=2,π3(1)若AC=3,求AB 的长;(2)若点D 在边AB 上,AD=DC,DE ⊥AC,E 为垂足,ED=求角A 的值.62创新应用组15.(2018江苏,13)在△ABC 中,角A,B,C 所对的边分别为a,b,c,∠ABC=120°,∠ABC 的平分线交AC 于点D,且BD=1,则4a+c 的最小值为 .16.已知岛A 南偏西38°方向,距岛A 3 n mile 的B 处有一艘缉私艇.岛A 处的一艘走私船正以10 n mile/h 的速度向岛北偏西22°方向行驶,问缉私艇朝何方向以多大速度行驶,恰好用0.5 h 能截住该走私船?(参考数据:sin38°=5314,sin22°=3314)课时规范练22 解三角形1.C 由余弦定理,得a 2=b 2+c 2-2bccos A,即b 2-4b+3=0,解得b=1或b=3.故选C.2.D ∵acos A=bcos B,∴sin Acos A=sin Bcos B,∴sin 2A=sin 2B,∴A=B,或2A+2B=180°,即A+B=90°,∴△ABC 为等腰三角形或直角三角形.故选D.3.B ∵sin B+sin A(sin C-cos C)=0,∴sin(A+C)+sin Asin C-sin Acos C=0⇒cos Asin C+sin Asin C=0⇒cos A+sin A=0⇒A=,3π4由正弦定理得⇒sin C=,C ∈⇒C=,选B.2sinC =2sin 3π412(0,π2)π64.C (方法一)设BC 边上的高为AD,则BC=3AD.结合题意知BD=AD,DC=2AD,所以AC=AD,AB=AD.由余弦定理,得cos ∠BAC=AD 2+DC 2=52=-.AB 2+AC 2-BC 22AB ·AC=2AD 2+5AD 2-9AD 22×2AD ×5AD1010故选C.(方法二)如图,在△ABC 中,AD 为BC 边上的高,由题意知∠BAD=.π4设∠DAC=α,则∠BAC=α+.π4∵BC=3AD,BD=AD.∴DC=2AD,AC=AD.5∴sin α=,cos α=,25=25515=55∴cos ∠BAC=cos =cos αcos -sin αsin α-sin α)==-故选C.(α+π4)π4π4=2222×(55-255)10105.A 由题意结合正弦定理得=-,cosB sinB 3cosCsinC 所以tan C=-3tan B,因此B,C 中有一钝角,角A 必为锐角,∵tan A=-tan(B+C)=->0,tanB +tanC 1-tanBtanC =2tanB1+3tan 2B ∴tan B>0,tan A ≤⇒0<A ≤,即角A 的最大值为,选A.2tanB 23tanB =33π6π66.1 由asin B=bcos A,得sin Asin B=sin Bcos A,tan A=1.所以在△ABC 中,A=sin B-cos C=sinπ4.22-cos C=sin C,C ∈,所以sin C max =1.(3π4-C )(0,3π4)7. (2,+∞) 由题意,得S △ABC =(a 2+c 2-b 2)=acsin B,即=sin B,∴cos B=sin B,∴tan B=π334123(a 2+c 2-b 2)2ac 3.∴B=.∴A+C=,C=-A>,∴0<A<.3π32π32π3π2π6由正弦定理,得.∵0<A<,∴tan A ∈.∴c a =sinC sinA =sin(2π3-A )sinA=sin 2π3cosA -cos 2π3sinAsinA=32tanA +12π6(0,33),即∈(2,+∞).c a >32×3+12c a 8. 在△ABC 中,AB=3.5 m,AC=1.4 m,BC=2.8 m,且α+∠ACB=π.2315由余弦定理,可得AB 2=AC 2+BC 2-2·AC·BC·cos ∠ACB,即3.52=1.42+2.82-2×1.4×2.8×cos(π-α),解得cos α=,则sin α=,51623116所以tan α=.sinαcosα=23159.2 ∵S △ABC =(a 2+b 2-2abcos C)=absin C,2c 24=1412∴a 2+b 2=2ab(sin C+cos C).=2(sin C+cos C)=2sin≤2,当且仅当C=时取等号.a b+b a=a 2+b 2ab 2(C +π4)2π410.解 (1)在△ABC 中,因为∠A=60°,c=a,37所以由正弦定理得sin C=.csinA a=37×32=3314(2)因为a=7,所以c=×7=3.37由余弦定理a 2=b 2+c 2-2bccos A得72=b 2+32-2b×3×,解得b=8或b=-5(舍).12所以△ABC 的面积S=bcsin A=×8×3×=6.121232311.C (方法一)∵b 2+c 2-a 2=accos C+c 2cos A,∴cos A=,accosC +c 2cosA 2bc =acosC +ccosA2b ∴cos A=,A=.sinAcosC +cosAsinC 2sinB =sin (A +C )2sinB =12π3∴S △ABC =bcsin A=,∴bc=25.122534∵a 2=b 2+c 2-2bccos A,∴b 2+c 2=a 2+bc=50,则(b+c)2=100,b+c=10,∴b=c=5,∴△ABC 为等边三角形,∴sin B+sin C=.3(方法二)∵b 2+c 2-a 2=accos C+c 2cos A,∴b 2+c 2-a 2=ac·+c 2·a 2+b 2-c 22abb 2+c 2-a 22bc==bc,c (a 2+b 2-c 2+b 2+c 2-a 2)2b =2b 2c2b ∴cos A=,∴A=.b 2+c 2-a 22bc=12π3∴S △ABC =bcsin A=,∴bc=25.122534∵a 2=b 2+c 2-2bccos A,∴b 2+c 2=a 2+bc=50,则(b+c)2=100,b+c=10,∴b=c=5,∴△ABC 为等边三角形,∴sin B+sin C=.312.B 由题意可得,且cosa 2+b 2-c 22ab×acosB +bcosAc=12C==1,a 2+b 2-c 22ab,acosB +bcosAc =sinAcosB +sinBcosAsinC=sinCsinC据此可得cos C=,12即,a 2+b 2-c 2=ab,a 2+b 2-c 22ab=12据此有c 2=a 2+b 2-ab=(a+b)2-3ab=4-3ab ≥4-3=1,当且仅当a=b=1时等号成立.(a +b 2)2三角形满足两边之和大于第三边,则c<a+b=2,综上可得,c 的取值范围为[1,2).13. 依题意知,在△ACD 中,∠A=30°,由正弦定理得AC==2.10CDsin45°sin30°2在△BCE 中,∠CBE=45°,由正弦定理得BC==3.CEsin60°sin45°2在△ABC 中,由余弦定理AB 2=AC 2+BC 2-2AC·BCcos ∠ACB=10,故AB=.1014.解 (1)设AB=x,则由余弦定理有AC 2=AB 2+BC 2-2AB·BCcos B,即32=x 2+22-2x·2cos ,π3解得x=+1,所以AB=+1.66(2)因为ED=62所以AD=DC=.EDsinA=62sinA在△BCD中,由正弦定理可得,BCsin∠BDC=CDsinB因为∠BDC=2∠A,所以.2sin2A=62sinAsin π3所以cos A=所以A=.22π415.9 由题意可知,S △ABC =S △ABD +S △BCD .由角平分线的性质和三角形面积公式得acsin 120°12=a×1×sin 60°+c×1×sin 60°,化简得ac=a+c,=1.因此4a+c=(4a+c)=5+≥5+2=9,12121a+1c(1a+1c)c a+4ac c a ·4a c 当且仅当c=2a=3时取等号,故4a+c 的最小值为9.16.解 设缉私艇在C 处截住走私船,D 为岛A 正南方向上的一点,缉私艇的速度为x n mile/h,则BC=0.5xn mile,AC=5 n mile,依题意,∠BAC=180°-38°-22°=120°,由余弦定理可得BC 2=AB 2+AC 2-2AB·ACcos 120°,解得BC 2=49,BC=0.5x=7,解得x=14.又由正弦定理得sin ∠ABC=ACsin∠BACBC=,5×327=5314所以∠ABC=38°.又∠BAD=38°,所以BC ∥AD.故缉私艇以14 n mile/h 的速度向正北方向行驶,恰好用0.5 h 截住该走私船.。