置信区间(详细定义及计算)-42
置信区间的计算与解读
置信区间的计算与解读置信区间是统计学中常用的一种方法，用于估计总体参数的范围。
在实际应用中，我们往往无法获得总体的全部数据，而只能通过抽样得到一部分样本数据。
通过计算置信区间，我们可以利用样本数据对总体参数进行估计，并给出一个范围，以表明我们对估计结果的不确定性程度。
一、置信区间的计算方法置信区间的计算方法主要有两种：参数估计法和非参数估计法。
1. 参数估计法参数估计法是基于总体参数的已知分布进行计算的。
常见的参数估计法有正态分布的置信区间和二项分布的置信区间。
正态分布的置信区间计算方法如下：假设总体服从正态分布N(μ, σ^2)，样本容量为n，样本均值为x̄，样本标准差为s。
置信水平为1-α，α为显著性水平。
置信区间的计算公式为：x̄± Z(1-α/2) * (σ/√n)其中，Z(1-α/2)为标准正态分布的上分位数，可以在标准正态分布表中查找。
二项分布的置信区间计算方法如下：假设总体服从二项分布B(n, p)，样本容量为n，样本成功次数为x，置信水平为1-α，α为显著性水平。
置信区间的计算公式为：p̄± Z(1-α/2) * √(p̄(1-p̄)/n)其中，p̄为样本成功率，可以通过样本成功次数除以样本容量得到。
2. 非参数估计法非参数估计法是基于样本数据的分布进行计算的。
常见的非参数估计法有中位数的置信区间和百分位数的置信区间。
中位数的置信区间计算方法如下：假设样本容量为n，样本数据按升序排列，第k个观测值为中位数，置信水平为1-α，α为显著性水平。
置信区间的计算公式为：[x(k-1)/2, x(n-k+1)/2]其中，x(k-1)/2为第k-1个观测值，x(n-k+1)/2为第n-k+1个观测值。
百分位数的置信区间计算方法类似，只需将中位数的位置换成相应的百分位数的位置。
二、置信区间的解读置信区间给出了对总体参数的估计范围，通常以置信水平来表示。
置信水平越高，估计结果的可信度越高，但估计范围也会相应增大。
置信区间(详细定义及计算)
5 1.96] [X z 2 ] [105 40 n 20
[96.05 , 113.95]
用某仪器间接测量温度，重复测量5次得 1250 0 12650 12450 1260 0 12750 求温度真值的置信度为 0.99 的置信区间。 解 设μ为温度的真值，X表示测量值，通常是一个 正态随机变量 EX .
我们称其为置信度为0.95的μ的置信区间。 其含义是： 若反复抽样多次，每个样本值（n =16) 按公式
1.96 1.96 (x ,x )即 4 4
( x 0.49) 确定一个区间。
10
( x 0.49, x 0.49) 确定一个区间。
在这么多的区间内包含μ的占0.95, 不包含μ的占0.05。
试求总体均值 的置信区间。 解：已知 0 7, n 9, 0.05. 由样本值算得： 1 x (115 120 110 ) 115 . 9 查正态分布表得临界值 Z 1.96，由此得置信区间：
18
当总体X的方差未知时， 容易想到用样本方差Ѕ 2代替σ2。 X T ~ t (n 1) 已知 2 S n X t (n 1)} 1 则对给定的α，令 P{ S 2 2 n 查t 分布表，可得 t (n 1) 的值。 2 S S P{ X t 2 ( n 1) X t 2 ( n 1)} 1 n n
问题是在未知方差的条件下求μ的置信区间。 由公式 1 x 1250 [0 15 5 10 25] 1259 5 1 570 2 2 2 s [(1250 1259) (1275 1259) ] 5 1 4 2 s n 1 4 0.01 28.5 5.339 5 S [X t 2 ( n 1)] t ( 4 ) t ( 4 ) 4 . 6041 查表 0.01 0.005 n
置信区间(详细定义及计算)
可见，对参数 作区间估计，就是要设法找出两个 只依赖于样本的界限(构造统计量) (ˆ1 ˆ2 )
[ˆ1 ,ˆ2 ] 内.
1. 要求 很大的可能被包含在区间 [ˆ1 , ˆ2 ] 内，
就是说，概率 P {ˆ1 ˆ2 } 要尽可能大. 即要求估计尽量可靠.
ˆ ˆ 2. 估计的精度要尽可能的高.如要求区间长度 2 1 尽可能短，或能体现该要求的其它准则.
查正态分布表得临界值 Z 1.96，由此得置信区间：
18
当总体X的方差未知时， 容易想到用样本方差Ѕ 2代替σ2。 X T ~ t (n 1) 已知 2 S n X t (n 1)} 1 则对给定的α，令 P{ S 2 2 n 查t 分布表，可得 t (n 1) 的值。 2 S S P{ X t 2 ( n 1) X t 2 ( n 1)} 1 n n
有时我们嫌置信度0.95偏低或偏高， 也可采用0.99或
0.9. 对于 1－ α不同的值， 可以得到不同的置信区间。
15
ˆ1 ˆ1 ( X 1 , X 2 , X n ) ˆ2 ˆ2 ( X 1 , X 2 , X n )
一旦有了样本，就把 估计在区间 这里有两个要求:
[96.05 , 113.95]
用某仪器间接测量温度，重复测量5次得 1250 0 12650 1245 0 1260 0 12750 求温度真值的置信度为 0.99 的置信区间。
解
设μ为温度的真值，X表示测量值，通常是一个 正态随机变量 EX .
问题是在未知方差的条件下求μ的置信区间。 由公式 1 x 1250 [0 15 5 10 25] 1259 5 1 570 2 2 2 s [(1250 1259) (1275 1259) ] 5 1 4 2 s n 1 4 0.01 28.5 5.339 5 S [X t 2 ( n 1)] t ( 4 ) t ( 4 ) 4 . 6041 查表 0.01 0.005 n 则所求μ的置信区间为 [1259 24 .58 , 1259 24 .58]
置信区间(详细定义及计算)
1
前面，我们讨论了参数点估计. 它是用样本算得的 一个值去估计未知参数.但是点估计值仅仅是未知参数
的一个近似值，它没有反映出这个近似值的误差范围， 使用起来把握不大. 范围通常用区间的形式给出的。
这种形式的估计称为区间估计.
使我们能以比 也就是说，我们希望确定一个区间， 较高的可靠程度相信它包含真参数值.
有时我们嫌置信度0.95偏低或偏高， 也可采用0.99或
0.9. 对于 1－ α不同的值， 可以得到不同的置信区间。
15
ˆ1 ˆ1 ( X 1 , X 2 , X n ) ˆ2 ˆ2 ( X 1 , X 2 , X n )
一旦有了样本，就把 估计在区间 这里有两个要求:
11
2 X ~ N ( , )的前提下提出的。 μ的置信区间是总体
当 n 充分大时， 无论X服从什么 分布，都近似有
X EX Z ~ N (0,1) DX n
[X z 2 , X z 2 ] n n
均可看作EX的置信区间。
12
设总体X ~ N(μ,0.09)， 有一组样本值： 12.6，13.4，12.8，13.2， 求参数μ的置信度为0.95的置信区间. 0 0 , X z ] 解 μ的置信区间为 [ X z
3
设
是总体X的 一个未知参数，
若存在随机区间 [1 , 2 ], 对于给定的 0 1, 若满足
P{1 2 } 1
则称区间 [1 , 2 ] 是 的置信水平（置信度）为 1 的置信区间. 1 和 2 分别称为置信下限和置信上限 （双侧置信区间）.
4 4
2
z0.01} 0.95
14
置信区间法
置信区间法置信区间法是一种常用的统计推断方法，用于估计总体参数的真实值，并提供参数估计的精度范围。
在实际应用中，置信区间法被广泛用于市场调研、医学研究、质量控制等领域。
本文将从置信区间的定义、计算方法以及优缺点等方面进行阐述。
首先，置信区间是指在一定置信水平下，对总体参数的区间估计范围。
置信水平通常取95%或99%，代表统计学家对估计结果的置信程度。
例如，95%置信区间表示，在100次抽样中，有95次置信区间包含了总体参数的真实值。
计算置信区间的方法有多种，其中最常用的是基于正态分布或t分布的方法。
对于大样本，可以使用正态分布进行计算，而对于小样本，应使用t分布。
以下是计算置信区间的公式：1. 总体均值的置信区间：- 大样本（正态分布）：[sample_mean - Z * (sample_stddev / sqrt(n)), sample_mean + Z * (sample_stddev / sqrt(n))]- 小样本（t分布）：[sample_mean - t * (sample_stddev /sqrt(n)), sample_mean + t * (sample_stddev / sqrt(n))]2. 总体比例的置信区间：- 大样本：[sample_proportion - Z * sqrt((sample_proportion * (1 - sample_proportion)) / n), sample_proportion + Z *sqrt((sample_proportion * (1 - sample_proportion)) / n)]- 小样本：[sample_proportion - t * sqrt((sample_proportion * (1 - sample_proportion)) / n), sample_proportion + t *sqrt((sample_proportion * (1 - sample_proportion)) / n)]其中，sample_mean代表样本均值，sample_stddev代表样本标准差，sample_proportion代表样本比例，n代表样本容量，Z代表正态分布的分位数，t代表t分布的分位数。
ols置信区间
ols置信区间
摘要：
1.置信区间的定义
2.置信区间的计算方法
3.置信区间的应用实例
4.置信区间的局限性
正文：
1.置信区间的定义
置信区间是指根据样本数据计算得到的一个区间，它表示我们对总体参数的真实值有一定程度的信心。
置信区间通常包括两个端点，即上置信限和下置信限。
置信区间的计算是基于统计学的原理，通过对样本数据的分析，我们可以得到一个范围，这个范围是我们对总体参数的真实值所能达到的置信水平。
2.置信区间的计算方法
置信区间的计算方法通常采用t 分布或者正态分布来进行。
其中，t 分布适用于小样本情况，正态分布则适用于大样本情况。
在计算置信区间时，我们需要知道总体的标准差或者样本的标准差，以及我们希望达到的置信水平。
通常，置信水平用一个百分数来表示，比如95% 或者99%。
3.置信区间的应用实例
置信区间在实际应用中非常广泛，比如在民意调查中，我们可以通过置信区间来估计候选人的支持率；在医学研究中，我们可以通过置信区间来估计某种疾病的发病率。
这些应用都需要我们对总体参数有一个准确的估计，而置信
区间正是提供了这样一个准确的估计。
4.置信区间的局限性
虽然置信区间为我们提供了一个对总体参数的准确估计，但是它也存在一些局限性。
首先，置信区间只能告诉我们总体参数的真实值在某一个范围内，而无法精确地给出总体参数的真实值。
其次，置信区间的计算需要假设总体的分布形式，如果总体的分布形式与假设的不符，那么置信区间的计算结果可能会出现偏差。
总的来说，置信区间是一种重要的统计学工具，它能够帮助我们对总体参数进行准确的估计。
置信区间(详细定义及计算)
2
~ t ( n 1)
由公式知μ的置信区间为 [ X S t ( n 1)] 2 n 查表 t 0.05 (39) t 0.025 (39) 2.0227 则所求μ的置信区间为 即 [103 .45 , 106 .55]
2
n
若σ2＝25 μ的置信区间为
5 1.96] [X z 2 ] [105 40 n 20
的区间长度为最短，我们一般选择它。
若以L为区间长度，则
2 L z 2 n
可见L随 n 的增大而减少（α 给定时），
有时我们嫌置信度0.95偏低或偏高， 也可采用0.99或
0.9. 对于 1－ α不同的值， 可以得到不同的置信区间。
15
ˆ1 ˆ1 ( X 1 , X 2 , X n ) ˆ2 ˆ2 ( X 1 , X 2 , X n )
n
2
z
2
z
2
7
P{
X
2
z } 1
2
n
2
z
2
2
z
2
P{ z 2
X
2
z 2 } 1
P{ z 2 X z 2 } 1 n n P{ X z 2 X z 2 } 1 n n [X z 2 , X z 2 ] 这就是说随机区间 n n 它以1－α的概率包含总体 X的数学期望μ。
对于任意给定的α，我们的任务是通过样本寻找一
个区间， 它以1－α的概率包含总体X的数学期望μ。
6
1、已知σ2时，μ的置信区间 设
X ~ N ( , 2 )
置信区间(详细定义及计算)-置信区间公式42页PPT
1、战鼓一响，法律无声。——英国 2、任何法律的根本；不，不成文法本 身就是 讲道理 ……法 律，也 ----即 明示道 理。— —爱·科 克
3、法律是最保险的头盔。——爱·科 克 4、一个国家如果纲纪不正，其国风一 定颓败 。—— 塞内加 5、法律不能使人人平等，但是在法律 面前人 人是平 等的。 ——波 洛克
谢谢！
51、 天 下 之 事 常成 于困约 ，而败 于奢靡 。——陆 游 52、 生 命 不 等 于是呼 吸，生 命是活 动。——卢 梭
53、 伟 大 的 事 业，需 要决心 ，能力 ，组织 和责任 感。 ——易 卜 生 54、 唯 书 籍 不 朽。——乔 特
55、 为 中 华 之 崛起而 读书。 ——
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x 1250 1 [0 15 510 25] 1259
s2
1
5 [(1250 1259)2
(1275 1259)2 ]
570
5 1
4
s2 5
28.5 5.339
n 1 4
查表
t0.01 (4) t0.005(4) 4.6041
0.01
[X
S n
t
2
(n
1)]
则所求μ的置信2区间为
[13 1.96 0.3 , 13 1.96 0.3] 2
2
2
得到μ的一个区间估计为
. [12.706，13.294]
注：该区间不一定包含μ. 13
0.05 可以取标准正态分布上
α分位点－z0.04 和 z0.01 ,则又有
0.04
X
P{ z0.04 P{X
n
2 z0.01}
n
z0.01 X
16
已知某种油漆的干燥时间X（单位:小时）
服从正态分布
X ~ N ( ,1), 其中μ未知,现在抽取
25个样品做试验，
得数据后计算得
x
1 25
n k 1
xk
6
取 0.05 (1 0.95),
求μ的置信区间。
解 z z0.025 1.96 n 25 x 6
2
[x
n
z
2
]
[6
1 5
其含义是：
若反复抽样多次，每个样本值（n =16) 按公式
(x 1.96 , x 1.96 ) 即 ( x 0.49) 确定一个区间。
4
4
10
(x 0.49, x 0.49) 确定一个区间。
在这么多的区间内包含μ的占0.95,
不包含μ的占0.05。
本题中 (4.71, 5.69)，属于那些包含μ的区间的可信
解：已知 x 1 (115
0 7, n 9,
120 110 )
0.05. 115.
由样本值算得：
9
查正态分布表得临界值 Z 1.96，由此得置信区间：
[X
n
z 2 ,
X
n
2
z 2 ]
115 1.96 7 / 9 , 115 1.96 7 / 9 110.43 , 119.57
3
设 是总体X的 一个未知参数，
若存在随机区间
[1,2 ], 对于给定的 0 1,
若满足 P{1 2} 1
则称区间 是[1,2 ]
的置信水平（置信度）为
的置信区间.
和 分别称为置信下限和置信上限
1
2
1
（双侧置信区间）.
1 为置信度，
为显著水平.
4
置信水平的大小是根据实际需要选定的.
t
2
(n
1),
X
S n
t
2
(n
1)]
[X
S n
t
2
(n
1)]
19
为了调查某地旅游者的消费额为X，
随机访问了
40名旅游者。
得平均消费额为
x 105 元，样本方差
s 2 282 设 X ~ N (, 2 )求该地旅游者的平均消费额
μ的置信区间。
0.05
解 本题是在σ2未知的条件下求正态总体参数μ的
2
2
2
(n 1)} 1
P{
(n
2
1)S 2 (n 1)
2
(n 1)
2 1
(n
S2 1)
}
1
2
2
则得到σ2随机区间
(n 1)S 2 (n 1)S 2
[
,
]
2
(n
1)
2 1
(n
1)
2
以 1 的概率包含未知方差σ2，
这就2是σ2的置信度为
1－α的置信区间。
24
某自动车床加工零件，抽查16个测得长度（毫米）
第七章
置信区间的概念
一、置信区间的概念 二 、数学期望的置信区间 三 、方差的置信区间
1
前面，我们讨论了参数点估计.
它是用样本算得的
一个值去估计未知参数.
但是点估计值仅仅是未知参数
的一个近似值，
它没有反映出这个近似值的误差范围，
使用起来把握不大.
范围通常用区间的形式给出的。
这种形式的估计称为区间估计. 也就是说，我们希望确定一个区间，
数学期望 和方差 的区间估计2 。 5
设 X1, X 2 , , X n 为总体
X , S 2 分别是样本均值和样本方差。
X ~ N (, 2 ) 的样本，
对于任意给定的α，
我们的任务是通过样本寻找一
个区间， 它以1－α的概率包含总体X的数学期望μ。
6
1、已知σ2时，μ的置信区间
设
X ~ N(, 2)
12.15 12.12 12.01 12.08 12.09 12.16 12.03 12.01
12.15 12.06 12.13 12.07 12.11 12.08 12.01 12.06
怎样估计该车床加工零件长度的方差。
( 0.05)
解 先求 x 12 1 [0.15 0.12 0.06] 12.075
X ~ N(, 2 )
EX DX 2
n
n
则随机变量
X
Z
~ N (0,1)
2
n
令
X
P{
2
z } 1
2
n
2
z
2
2
z
2
7
X
P{
2
z } 1
2
n
2
2
P{z 2
X 2
z 2} 1
z
z
n
2
2
P{
n
z
2
X
n
z
2}
1
P{X
n
z 2
X
n
z 2} 1
这就是说随机区间
[X
n
z 2 ,
(1 2 )
则称 [1,为2随] 机区间。
随机区间与常数区间
(a, b) 不同， 其长度与在数轴上
的位置与样本
X1, X 2 , , X n 有关。
当一旦获得样本值
x1 , x2 , xn 那么，
1( x1, x2 , xn ), 2 ( x1, x2 , xn ) 都是常数。
[1,2 ] 为常数区间。
16
σ2的估计值
s2 1 [(12.15 12.075)2 (12.06 12.075)2 ] 15
或
s2
1 n 1
n i 1
(xi
x)2
1
n
[
n 1 i1
xi 2
nx 2 ]
1 [152 122 16 7.52 ] 0.0024
10000 15
例如，通常可取显著水平
等. 0.025, 0.05, 0.1,
即取置信水平
1或0.95，00.9.等97. 5
根据一个实际样本，
由给定的置信水平，我们求出
一个尽可能小的区间
，使 [1,2 ]
P{1 2} 1
由于正态随机变量广泛存在，
特别是很多产品的
指标服从正态分布，
我们重点研究一个正态总体情形
1.96]
[6
0.392]
所求为 [5.608, 6.392].
17
已知幼儿身高
X ~ N (, 2 ), 现从5～6岁的幼儿
中随机地抽查了9人，其高度分别为：
115, 120, 131, 115, 109, 115, 115, 105, 110cm;
假设标准差 0 7，置信度为 95%；
试求总体均值 的置信区间。
[1259 24.58 , 1259 24.58] 21
为了估计一批钢索所能承受的平均张力（单位
kg/cm2), 随机选取了9个样本作试验，
由试验所得数据得
x 6720 s 2 282 设钢索所能承受的张力X，
X ~ N (, 2 ) 分别估计这批钢索所能承受的平均张力
的范围与所能承受的平均张力。
使我们能以比
较高的可靠程度相信它包含真参数值. 这里所说的“可靠程度”是用概率来度量的，
称为置信概率，置信度或置信水平.
习惯上把置信水平记作 的正数，称为显著水平。
1
，这里 是一个很小
2
两个统计量
若由总体X的样本 X1,X2,…Xn 确定的
1 1( X1, X 2 , , X n ),
2 2 ( X1, X 2, , X n )
这里有两个要求:
1. 要求 很大的可能被包含在区间 内，
[ˆ1,ˆ2 ]
就是说，概率 P{ˆ1 ˆ2} 要尽可能大.
即要求估计尽量可靠.
2. 估计的精度要尽可能的高.如要求区间长度 尽可能短，或能体现该要求的其它准则.
ˆ2 ˆ1
可靠度与精度是一对矛盾，
一般是在保证可靠度的
条件下尽可能提高精度.
12
设总体X ~ N(μ,0.09)， 有一组样本值： 12.6，13.4，12.8，13.2， 求参数μ的置信度为0.95的置信区间.
解 μ的置信区间为
[X
z
2
0
n
,
X
z
2
0 ]
n
有 1－α= 0.95，σ0= 0.3，n = 4,
代入样本值算得
, x 13 z z0.025 1.96
2
~
2 (n 1)
2
2