置信度(置信区间计算方法)
置信区间(详细定义及计算)-42
22
已知总体
X ~ N(, 2)
下面我们将根据样本找出σ2 的置信区间，
这在研究
生产的稳定性与精度问题是需要的。 我们利用样本方差对σ2进行估计，
由于不知道S2与
σ2差多少？
容易看出把
S 2 看成随机变量，又能找到
2
它的概率分布，则问题可以迎刃而解了。
S 2 的概率分布是难以计算的，而
2
p y
2
(n 1)S 2
1.96]
[6
0.392]
所求为 [5.608, 6.392].
17
已知幼儿身高
X ~ N (, 2 ), 现从5～6岁的幼儿
中随机地抽查了9人，其高度分别为：
115, 120, 131, 115, 109, 115, 115, 105, 110cm;
假设标准差 0 7，置信度为 95%；
试求总体均值 的置信区间。
n
z
2 ]
[105
5 1.96] 40
20
用某仪器间接测量温度，重复测量5次得
12500 12650 12450 12600 12750
求温度真值的置信度为 0.99 的置信区间。
解 设μ为温度的真值，
X表示测量值，通常是一个
正态随机变量
EX .
问题是在未知方差的条件下求μ的置信区间。
由公式
[13 1.96 0.3 , 13 1.96 0.3] 2
2
2
得到μ的一个区间估计为
. [12.706，13.294]
注：该区间不一定包含μ. 13
0.05 可以取标准正态分布上
α分位点－z0.04 和 z0.01 ,则又有
0.04
99%置信区间计算公式
99%置信区间计算公式
99%置信区间是统计学中一种常见的数据分析方法，它旨在测量
样本数据并估算其整体分布情况。
正如其名，这一方法可以提供至少99%的概率，来表示数据真正的分布范围在其两侧的区间范围内。
99%
置信区间的计算公式是通过抽样误差和样本方差来估算的，其公式为：置信区间= {（观测值-1.96×抽样误差），（观测值+1.96×抽
样误差）}
其中，抽样误差由样本数据所得，其计算公式为：
抽样误差= 标准偏差/根号（n）
而标准偏差由样本方差计算：
标准偏差= 根号（方差）
其中，“n”为抽样观测值的样本人数，“方差”为样本方差，“标准偏差”为标准偏差，“抽样误差”为抽样误差。
因此，99%置信度的置信区间概念在于，从已知的样本数据中估
算其整体分布情况，从而可以给出这一整体的特定置信范围。
对于有
限的样本数据来说，只能用抽样误差计算99%置信区间，可任然让人们明白数据分布趋势，但不能保证置信概率为99%。
置信区间(详细定义及计算)
5 1.96] [X z 2 ] [105 40 n 20
[96.05 , 113.95]
用某仪器间接测量温度，重复测量5次得 1250 0 12650 12450 1260 0 12750 求温度真值的置信度为 0.99 的置信区间。 解 设μ为温度的真值，X表示测量值，通常是一个 正态随机变量 EX .
我们称其为置信度为0.95的μ的置信区间。 其含义是： 若反复抽样多次，每个样本值（n =16) 按公式
1.96 1.96 (x ,x )即 4 4
( x 0.49) 确定一个区间。
10
( x 0.49, x 0.49) 确定一个区间。
在这么多的区间内包含μ的占0.95, 不包含μ的占0.05。
试求总体均值 的置信区间。 解：已知 0 7, n 9, 0.05. 由样本值算得： 1 x (115 120 110 ) 115 . 9 查正态分布表得临界值 Z 1.96，由此得置信区间：
18
当总体X的方差未知时， 容易想到用样本方差Ѕ 2代替σ2。 X T ~ t (n 1) 已知 2 S n X t (n 1)} 1 则对给定的α，令 P{ S 2 2 n 查t 分布表，可得 t (n 1) 的值。 2 S S P{ X t 2 ( n 1) X t 2 ( n 1)} 1 n n
问题是在未知方差的条件下求μ的置信区间。 由公式 1 x 1250 [0 15 5 10 25] 1259 5 1 570 2 2 2 s [(1250 1259) (1275 1259) ] 5 1 4 2 s n 1 4 0.01 28.5 5.339 5 S [X t 2 ( n 1)] t ( 4 ) t ( 4 ) 4 . 6041 查表 0.01 0.005 n
置信区间算法
置信区间算法
置信区间算法是一种统计学方法，用于确定一个参数的估计值的范围。
该算法基于样本数据，以一定的置信度计算出该参数的置信区间。
置信区间算法可以用于估计总体均值、总体方差等参数。
其中，置信度是指在重复抽样条件下，该参数落在置信区间范围内的概率。
通常，置信度往往设定为95%或99%。
置信区间算法的计算过程包括以下几个步骤：确定样本数据的均值和标准差、计算置信区间的下限和上限、确定置信区间的宽度以及检验置信区间是否包含了总体参数的真值。
置信区间算法是一种重要的统计学方法，可用于推断总体参数并进行决策。
- 1 -。
置信区间和置信度
置信区间和置信度1. 介绍置信区间和置信度是统计学中常用的概念，用于描述估计值的不确定性程度。
在许多实际问题中，我们经常需要对一个未知的总体参数进行估计，例如总体均值、总体比例等。
而由于抽样误差的存在，我们得到的样本统计量可能会与真实的总体参数有所偏差。
因此，我们希望通过估计值的周围范围给出一个合理的区间，来描述总体参数的可能取值范围。
2. 置信区间置信区间是统计学中用来估计总体参数的一种方法。
它给出了一个包含真实总体参数的区间，称为置信区间。
置信区间通常由样本统计量的一个下限和上限组成，表示对总体参数的估计范围。
常见的置信区间有均值置信区间和比例置信区间。
2.1 均值置信区间均值置信区间用于估计总体均值的范围。
它的计算依赖于样本均值和样本大小，以及对总体分布的假设。
假设总体服从正态分布，当样本大小较大时，根据中心极限定理，可以使用标准正态分布来计算置信区间。
均值置信区间的计算公式为：其中，是样本均值，是样本标准差，是样本大小，是由置信水平和样本大小确定的数值。
常用的置信水平有90%、95%和99%。
2.2 比例置信区间比例置信区间用于估计总体比例的范围。
它的计算依赖于样本比例和样本大小，以及对总体分布的假设。
假设总体服从二项分布，当样本大小较大时，可以使用正态分布来计算置信区间。
比例置信区间的计算公式为：其中，是样本比例，是样本大小，是由置信水平和样本大小确定的数值。
常用的置信水平有90%、95%和99%。
3. 置信度置信度是用来度量置信区间的可靠程度。
它表示对总体参数的估计能够包含真实总体参数的程度。
常见的置信度有90%、95%和99%。
置信度的大小与置信区间的宽度有关。
置信度越高，置信区间就越宽，因为我们需要更加保守地估计总体参数的范围，以提高估计的准确性。
相反，置信度越低，置信区间就越窄，因为我们可以更加自信地给出总体参数的估计范围。
4. 示例4.1 均值置信区间的计算假设某电商公司想要估计其在线销售的平均订单金额。
置信区间(详细定义及计算)
0.04
X
P{ z0.04 P{X
n
2 z0.01}
n
z0.01 X
0.95
n z0.04}
0.95
z0.04
0.01
z0.01
则μ的置信度为0.95的置信区间为
[ X n z0.01 , X n z0.04 ]
与上一个置信区间比较，同样是 1 0.95
本题中 (4.71, 5.69)，属于那些包含μ的区间的可信
程度为0.95. 或“该区间包含μ”这一事实的可信程度 为0.95. 注： μ的置信水平1－α的置信区间不唯一。
11
μ的置信区间是总体 X ~ N (, 2)的前提下提出的。
分布，都近似有
当 n 充分大时，无论X服从什么
Z X EX ~ N (0,1) DX n
P{
2
z } 1
2
n
2
2
P{z 2
X 2
z 2} 1
z
z
n
2
2
P{
n
z
2
X
n
z
2}
1
P{X
n
z 2
X
n
z 2} 1
这就是说随机区间
[ X n z 2 , X n z 2 ]
2
它的概率分布，则问题可以迎刃而解了。
S 2 的概率分布是难以计算的，而
2
p y
2
置信度置信区间计算方法-置信区间公式表
置信度置信区间计算方法-置信区间公式表置信度置信区间计算方法置信区间公式表在统计学中，置信度和置信区间是非常重要的概念。
它们帮助我们在对总体参数进行估计时，给出一个可能包含真实参数值的范围，以及我们对这个范围的确定程度，也就是置信度。
首先，让我们来理解一下什么是置信度。
置信度通常用百分数表示，比如 95%或 99%。
它反映了我们在多次重复抽样和估计的过程中，得到的置信区间能够包含真实总体参数值的比例。
比如说，95%的置信度意味着如果我们进行 100 次抽样和估计，大约有 95 次得到的置信区间能够包含真实的总体参数值。
而置信区间则是一个可能包含总体参数真实值的范围。
这个范围的宽窄取决于我们所选择的置信度、样本数据的特征以及样本量的大小。
接下来，我们重点介绍几种常见的置信区间计算方法和相应的公式。
对于正态总体均值的置信区间计算，当总体方差已知时，我们使用的公式是：＼＼bar{X} ＼pm Z_{＼alpha/2} ＼frac{＼sigma}｛＼sqrt{n}｝＼其中，＼（＼bar{X}＼）是样本均值，＼（Z_{＼alpha/2}＼）是标准正态分布的双侧分位数（对应于置信度\（1 ＼alpha\）），＼（＼sigma\）是总体标准差，＼（n\）是样本量。
例如，如果我们有一个样本均值为 50，总体标准差为 10，样本量为 100，并且想要计算 95%置信度下的置信区间，那么首先找到\（Z_{＼alpha/2}＼），对于 95%的置信度，＼（＼alpha ＝ 005\），＼（＼alpha/2 ＝ 0025\），对应的\（Z_{＼alpha/2} ＼approx 196\）。
然后代入公式计算：＼50 ＼pm 196 ＼times ＼frac{10}｛＼sqrt{100}｝＝ 50 ＼pm 196＼得到的置信区间就是 4804, 5196。
当总体方差未知时，我们用样本方差\（s\）来代替总体方差\（＼sigma\），此时使用的是\（t\）分布，公式变为：＼＼bar{X} ＼pm t_{＼alpha/2}（n 1) ＼frac{s}｛＼sqrt{n}｝＼其中，＼（t_{＼alpha/2}（n 1)＼）是自由度为\（n 1\）的\（t\）分布的双侧分位数。
置信区间(详细定义及计算)
1
则μ的置信度为1－ α的置信区间为
[X
S n
t
2
(n
1),
X
S n
t
2
(n
1)]
[X
S n
t
2
(n
1)]
19
为了调查某地旅游者的消费额为X， 随机访问了
40名旅游者。得平均消费额为 x 105 元，样本方差
s2 282 设 X ~ N (, 2 )求该地旅游者的平均消费额
Z
~ N (0,1)
2
n
z } 1
2
2
z
2
2
z
2
7
X
P{
2
z } 1
2
n
2
2
P{z 2
X 2
z 2} 1
z
z
n
2
2
P{
n
z
2
X
n
z
2}
1
P{X
n
z 2
X
n
z 2} 1
25个样品做试验， 得数据后计算得
x
1 25
n k 1
xk
6
取 0.05 (1 0.95), 求μ的置信区间。
解 z z0.025 1.96 n 25 x 6
2
[x
n
z
2
]
[6
1 5
1.96]
[6
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
推导
选取枢轴量 T X ~ T (n 1)
S
n X 由P t (n 1) 确定t ( n 1) 2 S 2 n
这时, T2 T1 往往增大, 因而估计精度降低.
确定后, 置信区间 的选取方法不唯一,
ch73
常选最小的一个.
75
处理“可靠性与精度关系”的原 则
先
求参数 置信区间 保 证 可靠性
再
提 高 精 度
ch73
76
求置信区间的步骤
寻找一个样本的函数
— 称为枢轴量 它含有待估参数, 不含其它未知参数, 它的分布已知, 且分布不依赖于待估参 数 (常由 的点估计出发考虑 ). 例如 X～N ( , 1 / 5)
P(T1 T2 ) 1
则称 [ T1 , T2 ]为 的置信水平为1 - 的
置信区间或区间估计. T1 置信下限 T2 置信上限
ch73
几点说明
置信区间的长度 T2 T1 反映了估计精度 T2 T1 越小, 估计精度越高.
反映了估计的可靠度, 越小, 越可靠. 越小, 1- 越大, 估计的可靠度越高,但
( 引例中 a 1.96, b 1.96 )
由 a g ( X1, X 2 , X n , ) b 解出 T1 , T2
得置信区间 ( T1 , T2 ) 引例中
( T1 , T2 ) ( X 1.96 1 , X 1.96 1 ) 5 5
ch73 78
置信区间常用公式
区间估计
引例 已知 X ~ N ( ,1), 的无偏、有效点估计为 X 常数 随机变量
不同样本算得的 的估计值不同， 因此除了给出 的点估计外, 还希望根据 所给的样本确定一个随机区间, 使其包含 参数真值的概率达到指定的要求.
ch73 68
如引例中，要找一个区间,使其包含 的 真值的概率为0.95. ( 设 n = 5 )
2 1
n
2 2
~ N (0,1)
m
1 2 的置信区间为
2 2 2 2 ( X Y ) z 1 2 , ( X Y ) z 1 2 2 2 n m n m
ch73
(5)
88
(2) , 未知( 但 12 22 2 ) 1 2 的置信区间
1 X ~ N 0 , 1 X ~ N , 1 5 5
取
查表得
ch73
0.05
z / 2 1.96
69
X 这说明 P 1.96 0.05 1 5
1 1 即 P X 1.96 5 X 1.96 5 0.95
2 1 2 2
S S n m n m
2 1 2 2 2 1
2 2
( X Y ) ( 1 2 ) S S n m
2 1 2 2
~ N (0,1)
X , Y 相互独立, 因此 1 2 的置信区间为
ch73
( X Y ) z 2
S S (7) n m
取枢轴量
ch73
g ( X x , X 2 , , X n , )
X g ( X 1 , X 2 , , X n , ) ~ N (0, 1) 1/ 5
77
给定置信度 1 ,定出常数 a , b ,使得
P(a g ( X1 , X 2 , X n , ) b) 1
仿单个正态总体公式(2) 1 2 的置信区间为
ch73
SZ ( X Y ) t (n 1) 2 n
(8)
92
12 (5) 方差比 2 的置信区间 ( 1 , 2 未知) 2 2 S1 S12 / 12 S 22 取枢轴量 F S 2 / 2 2 ~ F (n 1, m 1) 1 2 2
1 1 X 1 . 96 , X 1 . 96 称随机区间 5 5
为未知参数 的置信度为0.95的置信区间.
ch73 70
置信区间的意义
反复抽取容量为 5 的样本 , 都可得 一个区间 ,此区间不一定包含未知参数 的真值, 而包含真值的区间占95%.
若测得 一组样本值, 算得 x 1.86 则得一区间(1.86 – 0.877, 1.86 + 0.877) 它可能包含也可能不包含 的真值, 反复 抽样得到的区间中有95%包含 的真值.
n 2
得 2 的置信度为1 置信区间为
n 2 ( X i ) i 1 , 2 2 (n)
n 2
ch73
( X i ) i 1 (3) 2 1 (n) 2
82
(4) 当 未知时, 方差 2 的置信区间
(一) 一个正态总体 X ~N ( 2)的情形 (1) 方差 2已知, 的置信区间
( X z
2
n
, X z
2
2
n
) (1)
推导 由 X ~ N ( , ) n
g ( X 1 , X 2 , , X n , )
ch73
选取枢轴量
X
~ N (0,1)
由公式 (2) 得 的置信区间为 s s (x t0.025(5), x t0.025(5) ) 6 6 (14.71, 15.187 )
(3) 选取枢轴量 K 查表得
5s
2
5S 2
2
~ 2 (5) s 2 0.051.
2 0975
2 0.025
(5) 12.833 ,
( 14.95 1.96 0.1 , 14.95 1.96 0.1 ) ( 14.75 , 15.15 )
(2)
X ~ t (5) 取T S 6
6
查表 t0.025(5) 2.5706
由给定数据算得
ch73
x 14.95
85
6 1 2 2 2 s ( xi 6 x ) 0.051. s 0.226 5 i 1
ch73 71
为何要取 z / 2 ?
当置信区间为( X z 区间的长度为 2 z
2
1 , X z 1 ) 时 5 5 2
1
2
—— 达到最短 5
ch73
72
0.4 0.3 0.2 0.1
取 = 0.05
z z1 1.96 ( 1.96)
2 2
1
-2 1
置信度 均为0.95
解 (1) X ~ N ( , 0.06 / 6) 即 N ( ,0.01) X ~ N (0,1) z z0.025 1.96 2 0.1
ch73
84
1 由给定数据算得 x xi 14.95 6 i 1 由公式 (1) 得 的置信区间为
故
ch73
S S 的置信区间为 X t2 (n 1) , X t2 (n 1) n n 81
(3) 当 已知时, 方差 2 的 置信区间
Xi 2 ~ (n) 由概率 取枢轴量 Q ， i 1 n 2 (Xi ) 2 P 12 (n) i 1 ( n ) 1 2 2 2
5s
2
(5) 0.831
由公式 (4) 得 2 的置信区间为
(
ch73
2 0.025
(5)
,
2 0.975
(5)
) ( 0.0199 , 0.3069 )
86
(二) 两个正态总体的情形
( X 1 , X 2 , , X n ) 为取自总体 N ( 1 12 ) 的样本,
( Y1 , Y2 ,, Ym ) 为取自总体 N ( 2 22 ) 的样本,
2
2
-2
1
• 2
2
4
6
8
•2
2
10
83
例1 某工厂生产一批滚珠, 其直径 X 服从 正态分布 N( 2), 现从某天的产品中随机 抽取 6 件, 测得直径为 15.1 , 14.8 , 15.2 , 14.9 , 14.6 , 15.1
(1) 若 2=0.06, 求 的置信区间 (2) 若 2未知,求 的置信区间 (3) 求方差 2的置信区间.
选取 K
P(
2 1 2
(n 1) S 2
2
~ 2 (n 1)
2
0.15 0.125 0.1 0.075
则由
2
(n 1) S 2
2
) 1
2
得 2 的置信区间为
0.05 0.025
ch73
(n 1)S 2 (n 1)S 2 (4) , 2 (n 1) 12 (n 1) 2 2
2 1 2 2
t 1 2
1 2 的置信区间为
2 2 ( X Y ) t 1 1 (n 1) S1 (m 1) S 2 2 n m n m 2 (6)
ch73 90
(3) , 未知, n, m > 50, 1 2的置信区间