2018年全国高中数学联赛陕西赛区预赛试卷答案分离
2018年全国高中数学联赛一试A卷试题及参考答案评分标准
1,
3 2
,
2,,99 2 Nhomakorabea2,
4,
6,,
48
，
故 B C 的元素个数为 24 ． 2. 设点 P 到平面 的距离为 3 ，点 Q 在平面 上，使得直线 PQ 与 所成
角不小于 30 且不大于 60 ，则这样的点 Q 所构成的区域的面积为
．
答案：8 ．
解：设点 P 在平面 上的射影为 O ．由条件知，OP OQ
数 x 1 3 满足①、②，故 z 1满足条件．
若 b 0 ，则由②知 x {0, 2} ，但显然 x 0 不满足①，故只能是 x 2 ，代
入①解得 a 1 ，进而 b 15 ，相应有 z 1 15 i ．
4
4
4
综上，满足条件的所有复数 z 之和为1 1 15 i 1 15 i 3 ．
2
取 AC 的中点 M ，则 OM AC ，结合①知 OM BO ，且 B 与 A 位于直线 OM 的同侧．于是 cosBOC cos (90 MOC) sin MOC MC 1 ．
OC 4
在 BOC 中，由余弦定理得 BC OB2 OC2 2OBOC cosBOC 10 ，
．
答案： 15 ．
解：由对称性，不妨设 P(xP, yP ) 在第一象限，则由条件知
xP
1 PT
2
PS 2,
yP
1 PV
2
PU
1，
1
即 P(2, 1) ．进而由 xP PU 1, PS 2 得U (2, 2), S(4, 1) ，代入椭圆 C 的方程知
4
2018年全国高中数学联赛试题及答案详解(B卷)
a1a2a3a4a5 的值为
．
答案：32 ．
解：易知直线 l 的方程是 3x y 0 ．因此对任意正整数 n ，有 3an1 an 0 ，
1
1
1
即 an1 3 an ，故{an}是以 3 为公比的等比数列．于是 a3 3 a2 2 ．由等
比数列的性质可得， a1a2a3a4a5 a35 (2)5 32 ．
…………………16 分
10.（本题满分 20 分）已知定义在 R 上的函数 f (x) 为
解得 Re w r2 3 ． 2
二、解答题：本大题共 3 小题，满分 56 分．解答应写出文字说明、证明过
程或演算步骤．
9.（本题满分
16
分）已知数列 {an } ： a1
7
， an1 an
an
2,
n
1,2,Βιβλιοθήκη 3,．求 满足 an 42018 的最小正整数 n ．
解：由
an1 an
an
2
可知
an1
k
2
将 MN 与 C 联立，得方程 y2 2 y 1 0 ，于是 k
yM yN
( yM yN )2 4 yM yN
4 k2
4
2
，
结合 l 与 MN 平行，可知
SKMN
SBMN
SBAM SBAN
1 AB 2
yM yN
112 1 ． 22 2
7. 设 f (x) 是定义在 R 上的以 2 为周期的偶函数，在区间 [1, 2]上严格递减，
2018 年全国高中数学联合竞赛一试（B 卷） 参考答案及评分标准
说明： 1. 评阅试卷时，请依据本评分标准. 填空题只设 8 分和 0 分两档；其他各题的 评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不得增加其他中间档次. 2. 如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可 参考本评分标准适当划分档次评分，解答题中第 9 小题 4 分为一个档次，第 10、 11 小题 5 分为一个档次，不得增加其他中间档次．
2018年全国高中数学联赛真题(一试和二试)(A卷)试题(教师版)
1 1
x2 f (x) 2
的解集为
．
解析 [π − 2, 8 − 2π]． 由 f (x) 为偶函数及在 [0, 1] 上严格递减知，f (x) 在 [−1, 0] 上严格递增，再结合 f (x) 以 2 为周期可知，[1, 2] 是 f (x) 的严格递增区间．注意到 f (π − 2) = f (π) = 1, f (8 − 2π) = f (−2π) = f (2π) = 2，所以 1 f (x) 2 ⇔ f (π − 2) f (x) f (8 − 2π)，而 1 < π − 2 < 8 − 2π < 2，故原不等式组成立当且仅当 x ∈ [π − 2, 8 − 2π]．
·
1 b2
2 · |F1F2| · |yP | = a2 −
= b2
16 · · · yP
11 =· a√2 1+5．b2
=
1，解得
a2
=
20, b2
=
5．从而
5. 设 f (x) 是定义在 R 上的以 2 为周期的偶函数，在区间 [0, 1] 上严格递减，且满足 f (π) =
1,
f
(2π)
=
2，则不等式组
离实部与虚部后等价于 ax2 + 2ax + 2 = 0，①
bx2 − 2bx = 0．②
若 b = 0，则 a2 = 1，但当 a = 1 时，① 无实数解，从而 a = −1，此时存在实数
√
x = −1 ± 3 满足 ① ，② ，故 z = −1 满足条件．若 b = 0，则由 ② 知 x ∈ {√0, 2}，但
=
− sin ∠M OC
=
MC −
=
2018年全国高中数学联赛陕西赛区预赛试题+答案
cos B
10.
|AB| = 3p
△F A′B′
答案
1 .
3
解析
(
π)
3
cos B = − cos(A + C) = − cos 2C + = sin 2C =
2
4
y2 = 2px(p > 0) AB l
F A′ B′
l
F
AA′B′B
.
A, B MM
=
S△A′ B ′ F S AA′B′B
=
|A′B′| · p |A′B′| · (|AA′| + |BB′|)
[
]
4
1
f (x) = x + − 1 ∈ 3, 15
x
4
11
n
3 + 3 + 3 + 3 + 3 = 15
n = 6.
44
√
12. n
n > 100
n2 + 3n + 1
.
答案 49.
解析
√
√
1
n2 + 3n + 1 + n + 1
13
1
√
−2=
n2 + 3n + 1 − n − 1
n
− 2 = n2 + n + 1 − 1 + n > 0
√ B： 2
12
π 5. 0 < x <
2
sin4 x cos4 x 1
+
=
9
4 13
tan x
A： 1 2
B： 2 3
6. x, y ∈ R
2018全国高中数学联赛试题
2018全国高中数学联赛试题2018年全国高中数学联合竞赛一试试题（A卷）一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分。
1.设集合A={1,2,3,……,99}，BC={2,4,6,……,198}，则B={2x|x∈A}，C={x^2|x∈A}，则BC的元素个数为48，共24个元素。
2.设点P到平面α的距离为3，点Q在平面α上，使得直线PQ与α所成角不小于30且不大于60，则这样的点Q所构成的区域的面积为8π。
解析：过点P作平面α的垂线，这垂足为O，则点Q的轨迹是以O为圆心，分别以ON=1和OM=3为半径的扇环，于是点Q所构成的区域的面积为S=S2-S1=9π-π=8π。
3.将1,2,3,4,5,6随机排成一行，记为a,b,c,d,e,f，则abc+def是偶数的概率为648/720=9/10.解析：（直接法）将1,2,3,4,5,6随机排成一行，共有A6^6=720种不同的排法，要使abc+def为偶数，abc为与def 同为偶数或abc与且def同为奇数。
（1）若a,b,c中一个偶数两个奇数且d,e,f中一个奇数两个偶数，共324种情形；（2）若a,b,c中一个奇数两个偶数且d,e,f中一个偶数两个奇数，共324种情形；共有648种情形。
综上所述，abc+def是偶数的概率为648/720=9/10.（间接法）“abc+def是偶数”的对立事件为“abc+def是奇数”，abc+def是偶数分成两种情况：“abc是偶数且def是奇数”或“abc是奇数且def是偶数”，每种情况有A3^3*A3^3=36种不同情形，共有72种不同情形，abc+def是偶数的概率为1-729/720=9/10.4.在平面直角坐标系xoy中，椭圆C：x^2/a^2+y^2/b^2=1（a>b>0）的左、右焦点分别是F1,F2，椭圆C的弦ST与UV 分别平行于x轴和y轴，且相交于点P。
已知线段PU、PS、PV、PT的长分别为1,2,3,6，则ΔPF1F2的面积为4√(2/3)。
2018年全国高中数学联赛模拟试题与参考 答案
解得− ≥ ������＞ − 4.
注意：函数的定义域不能为空集。
2.已知函数������(������) = 1 −
（������＞������）若������(������) = 2 ln √������ − ������(������)，则������(������������)的取值范围为____________.
P
注：也可采用联立直线与圆锥曲线的方法解答，但过于繁琐，本解
答采用熟知的结论：������������ + ������������ = ������. 7.对于 ≤ ������ ≤ 1，则(1 + ������) (1 − ������)(1 − 2������) 的最大值为___________.
的等腰三角形，则三棱锥 A-BCD 的高与其外接球的直径的比值为_____________.
A
【解答】如图，易得 AE⊥BE，由等量关系，CE=ED=2，AF=BF=4，AE=BE=2√2.
由垂径定理，OF⊥AB，OE⊥CD，由对称性得 O 在 EF 上.
F
由勾股定理，OF + AF = AO = R = OC = （4 − OF）² + CE²
故������������������������ =
=
=
=
2
²
，若������������������������＜0，则������������������������＜0，这不可能.
∴ ������������������������＞0. ������������������������ ≤ √ .
在 BDP 中由正弦定理得 1 x
sin 2 60
2018年全国高中数学联赛试题及答案详解(B卷)
说明： 1． 评阅试卷时，请严格按照本评分标准的评分档次给分． 2． 如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可 参考本评分标准适当划分档次评分，10 分为一个档次，不得增加其他中间档次．
一、（本题满分 40 分）设 a, b 是实数，函数 f (x) = ax + b + 9 ． x
知，满足条件的情况数为 36 × 2 =72 种．从而所求概率为= 72 7= 2 1 ． 6! 720 10
4. 在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l 通过原点， n (3, 1) 是 l 的一个法向
量．已知数列{an}满足：对任意正整数 n ，点 (an1, an ) 均在 l 上．若 a2 6 ，则
11.（本题满分 20 分）如图所示，在平面直角 坐 标 系 xOy 中 ， A 、 B 与 C 、 D 分 别 是 椭 圆
x2 y2 : a2 b2 1 (a b 0) 的左、右顶点与上、下顶 A 点．设 P, Q 是 上且位于第一象限的两点，满足
y
R
P
C
M
Q
O
Bx
OQ ∥ AP ， M 是线段 AP 的中点，射线 OM 与椭
是 0 1 2 4 8 16 31 ．
2. 已知圆锥的顶点为 P ，底面半径长为 2 ，高为1．在圆锥底面上取一点 Q ，
使得直线 PQ 与底面所成角不大于 45 ，则满足条件的点 Q 所构成的区域的面积
为
．
答案： 3 ．
解：圆锥顶点 P 在底面上的投影即为底面中心，记之为 O ．由条件知， OP tan OQP 1 ，即 OQ 1 ，故所求的区域面积为 22 12 3 ． OQ
最新-2018年全国高中数学联赛一 精品
2018年全国高中数学联合竞赛试题（一）及参考答案说明： 1．评阅试卷时，请依据本评分标准，选择题只设6分和0分两档，填空题只设9分和0分两档；其它各题的评阅，请严格按照本评分标准规定的评分档次给分，不要再增加其它中间档次. 2．如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理，步骤正确，在评卷时可参照本评分标准适当划分档次评分，5分为一个档次，不要再增加其它中间档次. 一、选择题（本题满分36分，每小题6分） 本题共有6小题，每小题均给出A ，B ，C ，D 四个结论，其中有且仅有一个是正确的.请将正确答案的代表字母填在题后的括号内，每小题选对得6分；不选、选错或选出的代表字母超过一个（不论是否写在括号内），一律得0分. 1．使关于x 的不等式k x x ≥-+-63有解的实数k 的最大值是 （ ）A ．36-B ．3C ．36+D ．6解：令63,63≤≤-+-=x x x y ，则)6)(3(2)6()3(2x x x x y --+-+-=∴≤<∴=-+-≤,60.6)]6()3[(2y x x 实数k 的最大值为.6选D.2．空间四点A 、B 、C 、D 满足BD AC DA CD BC AB ⋅====则,9||,11||,7||,3||的取值 （ ） A ．只有一个B ．有二个C ．有四个D ．有无穷多个解：注意到32+112=130=72+92，由于0=+++DA CD BC AB ，则DA 2=22)(CD BC AB DA ++==AB 2+BC 2+CD 2+2（2222(2)(BC CD BC AB AB CD CD BC BC AB ++-=⋅+⋅+⋅+)AB CD CD BC BC AB ⋅+⋅+⋅=)()(2222CD BC BC AB CD BC AB +⋅+++-，即 022222==-+=⋅CD AB BC AD BD AC ，BD AC ⋅∴只有一个值0，故选A.3．△ABC 内接于单位圆，三个内角A 、B 、C 的平分线延 长后分别交此圆于A 1、B 1、C 1，则CB AC CC B BB A AA sin sin sin 2cos 2cos 2cos111++⋅+⋅+⋅的值为（ ） A ．2B ．4C ．6D ．8解：如图，连BA 1，则AA 1=2sin(B+)22cos(2)222sin(2)2C B C B C B A A -=-+++= )2cos(2cos 2cos 2cos )22cos(22cos 1C B C A C B A A C B A AA -=-++-+=-=∴π,sin sin )2cos(B C B +=-+π同理,sin sin 2cos 1C A B BB +=,sin sin 2cos 1B A C CC +=),sin sin (sin 22cos 2cos 2cos111C B A CCC B BB A AA ++=++∴ 原式=.2sin sin sin )sin sin (sin 2=++++CB AC B A 选A. 4．如图，ABCD —D C B A ''''为正方体，任作平面a 与对角线AC ′垂直，使得a 与正方体的每个面都有公共点，记这样得到的截面多边形的面积为S ，周长为l ，则（ ）A ．S 为定值，l 不为定值B ．S 不为定值，l 为定值C ．S 与l 均为定值D ．S 与l 均不为定值 解：将正方体切去两个正三棱锥A —A ′BD 与C ′—C B D '''后，得到一个以平行平面A ′BD 与C B D ''为上、下底面的几何体V ，V 的每个侧面都是等腰直角三角形，截面多边形W 的每一条边分别与V 的底面上的一条边平行，将V 的侧面沿棱B A ''剪开，展平在一张平面上，得到一个 11A B B A ''，而多边形W 的周界 展开后便成为一条与1A A '平行的线段（如图中1E E '）， 显然11A A E E '='，故l 为定值.当E ′位于B A ''中点时，多边形W 为正六边形，而当E ′移至A ′处时，W 为正三角形，易知周长为定值l 的正六边形与正三角形面积分别为22363243l l 与，故S 不为定值.选B. 5．方程13cos 2cos 3sin 2sin 22=-+-y x 表示的曲线是（ ）A ．焦点在x 轴上的椭圆B ．焦点在x 轴上的双曲线C ．焦点在y 轴上的椭圆D ．焦点在y 轴上的双曲线解：)23cos()22cos(,223220,32ππππππ->-∴<-<-<∴>+ ， 即3sin 2sin >，又03c o s2c o s,03c o s,02c o s ,32,220>-∴<>∴<<<<πππ，方程表示的曲线是椭圆.4232sin(232sin22)3cos 2(cos )3sin 2(sin π++-=--- ）……（*） .423243,432322,0232sin ,02322ππππππ<++<∴<+<<-∴<-<-.0(*),0)4232sin(<∴>++∴式π即3cos 2cos 3sin 2sin -<-.∴曲线表示焦点在y 轴上的椭圆，选C.6．记集合T={0，1，2，3，4，5，6}，M=}4,3,2,1,|7777{4433221=∈+++i T a a a a a i ，将M 中的元素按从大到小的顺序排列，则第2018个数是（ ）A ．43273767575+++B ．43272767575+++ C ．43274707171+++D ．43273707171+++解：用p k a a a ][21 表示k 位p 进制数，将集合M 中的每个数乘以74，得}4,3,2,1,|]{[}4,3,2,1,|777{74321432231=∈==∈+⋅+⋅+⋅='i T a a a a a i T a a a a a M i i ，M ′中的最大数为[6666]7=[2400]10.在十进制数中，从2400起从大到小顺序排列的第2018个数是2400－2018=396，而[396]10=[1104]7将此数除以74，便得M 中的数43274707171+++.故选C. 二、填空题（本题满分54分，每小题9分）本题共有6小题，要求直接将答案写在横线上. 7．将关于x 的多项式2019321)(x xx x x x f +-+-+-= 表为关于y 的多项式202019192210)(y a y a y a y a a y g ++++= ，其中4-=x y ，则615212010+=+++a a a .解：由题设知，)(x f 和式中的各项构成首项为1，公比为x -的等比数列，由等比数列的求和公式，得：.1111)()(2121++=----=x x x x x f令51)4()(,421+++=+=y y y g y x 得，取,1=y 有615)1(2120210+==++++g a a a a8．已知)(x f 是定义在（0，+∞）上的减函数，若)143()12(22+-<++a a f a a f 成立，则a 的取值范围是.51310<<<<a a 或 解：∵)(x f 在（0，+∞）上定义，又)1)(13(143;087)41(212222--=+->++=++a a a a a a a ，仅当1>a 或31<a 时， .(*)01432>+-a a)(x f 在（0，+∞）上是减函数，1431222+->++∴a a a a 50,052<<∴<-⇒a a a结合（*）知51310<<<<a a 或. 9．设α、β、γ满足πγβα20<<<<， 若对于任意0)cos()cos()cos(,=+++++∈γβαx x x R x ，则.34παγ=- 解：设0)(,0)(,),cos()cos()cos()(=-=∈+++++=αγβαf x f R x x x x x f 知由，,0)(,0)(=-=-βγf f即,1)cos()cos(,1)cos()cos(-=-+--=-+-βγβααγαβ.21)cos()cos()cos(,1)cos()cos(-=-=-=-∴-=-+-αγβγαβγβγα∵πγβα20<<<<，]34,32[,,ππβγαγαβ∈--- ， 又.34.32.,παγπβγαβαγβγαγαβ=-∴=-=--<--<-只有 另一方面，当32πβγαβ=-=-，有R x ∈∀+=+=,34,32παγπαβ， 记θα=+x ，由于三点))34sin(),34(cos(),32sin(),32(cos(),sin ,(cos πθπθπθπθθθ++++构成单位圆122=+y x 上正三角形的三个顶点，其中心位于原点，显然有.0)34cos()32cos(cos =++++πθπθθ即.0)cos()cos()cos(=+++++γβαx x x 10．如图，四面体DABC 的体积为61，且满足∠ACB=45°， AD+BC+32=AC ，则CD=3.解：61)45sin 21(31=≥︒⋅⋅⋅⋅DABC V AC BC AD，即.12≥⋅⋅AC BC AD 又323≥++=AC BC AD 323≥⋅⋅AC BC AD ，等号当且仅当AD=BC=12=AC 时成立，这时AB=1，AD ⊥面ABC ，∴DC=3.11．若正方形ABCD 的一条边在直线172-=x y 上，另外两个顶点在抛物线2x y =上.则该正方形面积的最小值为 80 .解：设正方形的边AB 在直线172-=x y 上，而位于抛物线上的两个顶点坐标C（11,y x ）、D （22,y x ），则CD 所在直线l 的方程b x y +=2，将直线l 的方程与抛物线方程联立，得.1122,12+±=⇒+=b x b x x令正方形边长为a ，则).1(20)(5)()(2212212212+=-=-+-=b x x y y x x a ①在172-=x y 上任取一点（6，－5），它到直线b x y +=2的距离为5|17|,b a a +=②①、②联立解得.80.1280,80.63,32min 2221=∴==∴==a a a b b 或12．如果自然数a 的各位数字之和等于7，那么称a 为“吉祥数”，将所有“吉祥数”从小到大排成一列.52000,2005,,,,5321==m m a a a a a 则若解：∵方程m x x x k =+++ 21的非负整数解的个数为,1m k m C -+而使2(0,11≥≥≥i x x i ）的整数解个数为,12--+m k m C 现取m=7，可知，k 位“吉祥数”的个数为P （k ）=65+k C .∵2018是形如2abc 的数中最小的一个“吉祥数”，且P （1）=66C =1，P （2）=67C =7，P （3）=68C =28，对于四位“吉祥数”1abc ，其个数为满足a+b+c=6的非负整数解个数， 即6136++C =28个.∵2018是第1+7+28+28+1=65个“吉祥数”，即.200565=a 从而n=65，5n=325. 又P （4）=210)5(,8461069===CP C ，而.330)(51=∑=k k P∴从大到小最后六个五位“吉祥数”依次是：70000，61000，60100，60010，60001，52018.∴第325个“吉祥数”是52018，即.520005=m a三、解答题（本题满分60分，每小题20分） 13．数列{}n a 满足：.,236457,1210N n a a a a n n n ∈-+==+证明：（1）对任意m a N n ,∈为正整数；（2）对任意1,1-∈+n n a a N n 为完全平方数.证明：（1）由题设得,51=a 且{}n a 严格单调递增，将条件式变形得36457221-=-+m m m a a a ，两边平方整理得0972121=++=++n n n n a a a a ①0972112=++-∴--n n n n a a a a ②①－②得⇒=-+∴>=-+--++-++07,,0)7)((111111m n n n n n n n n n a a a a a a a a a a.711-+-=n n n a a a ③由③式及5,110==a a 可知，对任意m a N n ,∈为正整数.……………………10分（2）将①两边配方，得211121)3(1),1(9)(n n n n n n n n a a a a a a a a +=-∴-=+++++。
2020陕西高中数学竞赛预赛试题(含答案)
2018年全国高中数学联赛陕西赛区预赛试题考生注意：1，本斌專分两试’第一试共两大趣.满分》）分；第二试共五大题，满分120分'2.用蓝色｛或黑色｝钢笔、巫字笔或圖殊笔作筌.3.解題书坊•不要趙违荣订銭.4・不能使用计算器.第一试一、选择题:本题共8小题,每小题6分，共48分•在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目姜求的.1.已知集合M % lx = sin E Z ,N = y | y = cos 孑,"e Z，则M 耳 N的关系是（）A・M宇/V B. If = /V C. N^M D•网门/V=e22.（2）31 a =log85.6 =1（）^3^ = -^-,则的大小关系是（）A. a > I）>c B・b>c > a C. b >a >c c >h> a3・已知数列a爲满足a〕++1 +叫（"2 ）•若［幻表示不超过实数兀的最大整数，则詁存…+在卜A. IB. 2C.3D. 20184.已知四面休ABCD内接丁球0.忖AD是球（）的点径•若△佔C和△BCD都是边长为1的等边三角形侧四而体ABCD的体积是（）A返B返C渥D渥-6 * 12 6 - 12八zn ■口 sin x cos x 1 Ml i r,/r M/r 0 <x <—%H.—+ —^― = —,W'J laiLV H'jfllTE i 殳兀j E R. H. 1哄(x+2y) +1(典(兀-2y) = 1 •则x - lyl 的最小值是若既约分数)化为小数是0・】8….则当q 啟小时•"二 8•在边l<为8的止方形ABCD 中.M 是BC 的中点.N 是DA 边I ：一点.H. DN = 3M1用 灯尸常数加.任止方形AHCD 的边I .恰冇6个不同的点P.使PM • RV =叽则实数处的取值 范冈址( )A. ( -8.8)B. ( 一1 .24)C. ( -1 ,8)I). (()&)二、填空题：本题共4小题海小题8分■共32分 将答案填在题中的横线上.9. i 殳△ ABC 的内角.4、〃、C 的灯边分别为心心［1.人- C =歩％ c 成等并数列•则10. 御图1.12.)31拋物线r = 2严(〃〉())的焦点为F.准线为I,过点F 的点线耳抛物线交r A B 网点JIJ.iB I = 3p ・设点A 、Bfl ： I I •.的射影分别为•—今向四边形AA 7TB 内任投•点协，则点M 落在内的飪率址 ____________ .11. 11知南数/(%)=%+ £~-1 .若存在知宀，…%“W ±4〕，使彳"(浙)+/(七)+・・•+/(“" =/(也)・则||瀝数〃的灵大值是 _________ .IX 15 ”是匸整数.当«> 100IIJ ,、后硏T 的小数部分的前两位数是5. 6. B.2 C. 2/T D.47. A. 9B.7C51).2第二试—■（本题满分20分）已曲1 唄数人鼻）=2cosr （ c （＞sx + ） - 1 G R.（1） 求函数/U ）的讯调递增区间;（2） 设点匕（衍皿）出（心上），…止（盼几）•…都在函数y=/（-r ）的图象上，且满足 ■札=y-(n e N* ).求的+y 2 +…+畑8的值• 二、（本题满分20分）如图2•圜c 与％轴相切于点r （2,o ）?H Y 轴的正半轴和交干两点（*在B 的上方），且I 肋I =1（1）求恻（?的方程：⑵设过点〃的1丁线小椭I 略+「1相交于P ®対点…求o 4证册"平分厶PAQ.三. （本题满分20分）如1*1 3.在锐角WC 中,M 是BC 的中点JM] O 过点4 HJ j 代线BC 相切丁•点C.戌线M 网0交T •另一点D,也线HD * j IW1（）交于另一点 E. \m,^EAC = ABAC.7T心二&屯"内四.(本题满分30分)L1 知函数/(x) =j^.g(x) =k( x - I ).Z- G R.(I )证明:炖任总* w R•也线y=gix)祁不町能是Illi线y =/(.v)的切线:(2)若存在"[e J・使/(小W g(.<)十*,求"勺取值范FH.五.(本题满分30分)设aj^c均为止实数,求证：2 2 2a( a + be ) l){lf + ca ) c( c + ab) _ 7；H 1 : 2 ah + /“• + ca b+c c + a a + b2018年陕西省预赛答案第一试一、选择餐（毎小軀6分，共8小SL 共勰分）4. 己知砂面体"（Q 内樓千球.且"星球的玄径.若MBC 和似T ）衿是边长为I 的等边三角號 則四面体 川BCD的体枳杲（A.返65 若= .且——+ —=—.剜un*的值杲()2 94 131 o _ 3 A. —B. *C. ID.— 232Hi D.由柯西不等氏(9才4)(竺上*竺丄."cos 订几由取$条件知氾上口竺上=>伽.2丄・9 4 81162&设比…■ filo&(x+2rHlo S4(x-2jp) = !t 卄恻的燉小值是()A. 7TB. 2C.裁D. 4> 入由S^.v 2-4/=41ix>2|>|.不妨设“2粽& 丿=3仇"(一彳£), Ax^|d = —-一邑也.等式右边是&的偶甬放不妨^g=2-smtf ^€[o,-)=>sin^i-rcostf^2.11心“心。
2018年全国高中数学联赛试题及答案详解(A卷)
2,
4,
6,,
48
，
故 B C 的元素个数为 24 ． 2. 设点 P 到平面 的距离为 3 ，点 Q 在平面 上，使得直线 PQ 与 所成
角不小于 30 且不大于 60 ，则这样的点 Q 所构成的区域的面积为
．
答案：8 ．
解：设点 P 在平面 上的射影为 O ．由条件知，OP OQ
tan
OQP
3, 3求的区域面积为 32 12 8 ．
3. 将1, 2, 3, 4, 5, 6 随机排成一行，记为 a, b, c, d , e, f ，则 abc + def 是偶数的
概率为
．
答案： 9 ． 10
在[9,) 上严格递减，且 f (3) 0, f (9) 1，故结合图像可知
a (0, 3) ， b (3, 9) ， c (9, ) ，
并且 f (a) f (b) f (c) (0, 1) ．
…………………4 分
由 f (a) f (b) 得 1 log3 a log3 b 1，
注意到 f ( 2) f () 1, f (8 2) f (2) f (2) 2 ，
所以 1 f (x) 2 f ( 2) f (x) f (8 2) ，
而1 2 8 2 2 ，故原不等式组成立当且仅当 x [ 2, 8 2] ． 6. 设复数 z 满足 z 1，使得关于 x 的方程 zx2 2zx 2 0 有实根，则这样
证明： (1) 约定 S0 0 ．由条件知，对任意正整数 n ，有
1
an
(2Sn