探究勾股数
探究：关于勾股定理的那点事(勾股的历史、证明,勾股数探究等)
探究：关于勾股定理的证明的那点事在我国，把直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方这一特性叫做勾股定理或勾股弦定理，这个定理在中国又称为“商高定理”，在外国称为“毕达哥拉斯定理”（Pythagoras Theorem）。
数学公式中常写作a2+b2=c2勾股定理（又称商高定理，毕达哥拉斯定理）是一个基本的几何定理，早在中国商代就由商高发现。
据说毕达哥拉斯发现了这个定理后，即斩了百头牛作庆祝，因此又称“百牛定理”。
勾股定理指出：直角三角形两直角边（即“勾”“股”）边长平方和等于斜边（即“弦”）边长的平方。
也就是说，设直角三角形两直角边为a和b，斜边为c，那么a^2+b^2=c^2 (为了编辑省时，以下“a2”用“a^2”代替)勾股定理现发现约有500种证明方法，是数学定理中证明方法最多的定理之一。
勾股定理其实是余弦定理的一种特殊形式。
我国古代著名数学家商高说：“若勾三，股四，则弦五。
”它被记录在了《九章算术》中。
勾股数组满足勾股定理方程a^2+b^2=c^2的正整数组(a,b,c)。
例如(3,4,5)就是一组勾股数组。
由于方程中含有3个未知数，故勾股数组有无数多组。
勾股数组的通式：a=m^2-n^2b=2mnc=m^2+n^2(m>n,m,n为正整数）推广1、如果将直角三角形的斜边看作二维平面上的向量，将两直角边看作在平面直角坐标系坐标轴上的投影，则可以从另一个角度考察勾股定理的意义。
即，向量长度的平方等于它在其所在空间一组正交基上投影长度的平方之和。
2、勾股定理是余弦定理的特殊情况。
勾股定理定理如果直角三角形两直角边分别为a，b，斜边为c，那么a^2+b^ 2=c^2;；即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
古埃及人利用打结作Rt如果三角形的三条边a，b，c满足a^2+b^2=c^2;，还有变形公式：A B=根号（AC^2+BC^2），如：一条直角边是3，另一条直角边是4，斜边就是3×3+4×4=x×x，x=5。
苏科版数学八年级上册《数序活动探寻“勾股数”》说课稿2
苏科版数学八年级上册《数序活动探寻“勾股数”》说课稿2一. 教材分析《数序活动探寻“勾股数”》是苏科版数学八年级上册的一节探究活动课。
本节课是在学生学习了勾股定理的基础上进行的，通过引导学生进行动手操作、观察、猜测、验证等活动，让学生发现并证明勾股数的存在。
教材通过数序活动的形式，让学生在实践中感受数学的乐趣，培养学生的动手操作能力和探究能力。
二. 学情分析学生在七年级时已经学习了勾股定理，对勾股定理有一定的了解。
但是，对于勾股数的定义、性质和判定方法，学生可能还不是很清楚。
因此，在教学过程中，我需要引导学生回顾勾股定理，为新课的学习做好铺垫。
同时，学生对于探索性问题比较感兴趣，通过数序活动，可以激发学生的学习兴趣，提高学生的参与度。
三. 说教学目标1.知识与技能：让学生掌握勾股数的定义、性质和判定方法，能够找出常见的勾股数。
2.过程与方法：通过数序活动，培养学生的动手操作能力、观察能力、猜想能力和验证能力。
3.情感态度与价值观：让学生感受数学的乐趣，培养学生的探究精神，提高学生对数学学科的兴趣。
四. 说教学重难点1.教学重点：让学生掌握勾股数的定义、性质和判定方法，能够找出常见的勾股数。
2.教学难点：让学生通过数序活动，发现并证明勾股数的存在。
五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动法、探究法、合作学习法等，引导学生主动参与课堂，提高学生的学习兴趣和参与度。
2.教学手段：利用多媒体课件、数序活动素材等，辅助教学，使抽象的数学问题形象化、具体化。
六. 说教学过程1.导入：回顾勾股定理，引导学生思考勾股数的定义和性质。
2.探究：分组进行数序活动，让学生找出常见的勾股数，并观察、猜测、验证勾股数的存在。
3.总结：引导学生归纳总结勾股数的定义、性质和判定方法。
4.应用：布置课后练习，让学生运用所学知识解决实际问题。
七. 说板书设计板书设计如下：判定方法：……八. 说教学评价教学评价主要包括过程性评价和终结性评价两部分。
八年级数学上册《探寻勾股数》教案、教学设计
b.对于基础较好的学生，引导他们深入探索勾股定理的证明过程，提高他们的思维能力和解决问题的能力。
4.精讲多练，巩固知识：在教学过程中，教师应注重讲解与练习的相结合，让学生在解答过程中巩固所学知识，提高解题能力。
5.拓展延伸，培养创新：在学生对勾股定理有了基本掌握后，引导他们探索勾股定理在其他领域中的应用，如物理、工程等，培养学生的创新思维和跨学科素养。
2.提倡学生独立思考，遇到问题可以与同学讨论，但不得直接抄袭他人答案。
3.家长要关注学生的学习情况，协助学生完成实践题和思考题，培养学生的自主学习能力。
4.教师在批改作业时，要关注学生的解题思路和方法，及时给予反馈和指导，帮助学生提高。
2.提高题：尝试完成课本第17页提高题6、7。这两道题目涉及勾股定理的逆向应用，有助于培养学生的逆向思维和解决问题的能力。
3.实践题：结合生活实际，设计一道与勾股定理相关的实际问题，并运用勾股定理解决问题。例如，测量学校旗杆的高度、计算三角形土地的面积等。要求学生将问题、解题过程和答案写成一篇小论文，提高学生的应用能力和写作能力。
在本章节的教学中，要充分考虑到学生的认知水平和心理特点，注重激发学生的兴趣，引导他们通过自主探究、合作交流的方式去发现勾股定理。此外，针对学生在解决问题时可能遇到的困难，教师应适时给予指导，帮助学生克服困难，提高解决问题的能力。
同时，要关注学生的个体差异，对于基础较弱的学生，教师应给予更多的关注和鼓励，帮助他们建立信心；对于基础较好的学生，则可以适当提高要求，引导他们深入挖掘勾股定理的内涵和外延，培养他们的创新思维和解决问题的能力。通过本章节的学习，使学生在掌握勾股定理的基础上，进一步提高数学素养，培养良好的学习习惯和团队合作精神。
勾股数规律的探究
勾股数规律的探究在直角三角形中，斜边长为c ，两条直角边长分别为a 、b ，那么a 2+b 2=c 2，这个结论通常叫做勾股定理，因为在中国古代，称直角三角形较短的一条直角边为勾，较长的一条直角边为股，斜边为弦．使a 2+b 2=c 2成立的任何三个自然数便组成勾股数，我们知道3，4，5；6，8，10；5，12，13都是勾股数，勾股数有没有规律可循呢？下面我们作一探究．如下表，其中所给的每行的三个数a 、b 、c ，有a ＜b ＜c ，试根据表中已有的数的规律，把b 、c 用a 的代数式表示出来，并写出①当a =2n （n 为大于等于1的整数）时，b 、c 的值；②当n =20时，b 、c观察得出表中已有数的规律为⎩⎨⎧+==+2222b c c b a 由①得（b +c ）（c -b ）=a 2 ③把②代入③得b =42a -1，c =42a +1 当a =2n 时，b =442n -1=n 2-1 c =442n +1=n 2+1 当a =20时，b =102-1=99，c =102+1=101规律：当a 是偶数2n （n 为大于等于1整数）时，b 为n 2-1，c 为n 2+1，不难看出c =b +2，即2n ，n 2-1，n 2+1为勾股数．下面我们再来探究为a 奇数2n +1（n 为大于1的整数）时，勾股数的规律．我们知道3，4，5；5，12，13；7，24，25…都是第一个数为奇数的勾股数，观察得出已有数的规律为⎩⎨⎧+==+1222b c c b a 把②代入①得b =212-a ③ ① ②① ②把③代入②得c=212-a+1=212+a=21 )12(2++n当a=2n+1时，b=21 )12(2-+n，c=21 )12(2++n规律：当a为奇数2n+1（n≥1的整数）时，b为21 )12(2-+n，c为21 )12(2++n，不难看出c=b+1，即2n+1，21 )12(2-+n，21 )12(2++n为勾股数，如25，312，313为勾股数．例给出下列几组数：①6，7，8；②9，40，41；③11，264，266；④14，194，200，其中能组成直角三角形的三条边长的有．解：对于①∵6为偶数，8-7=1不等于2，所以①不能，对于②，因为9为奇数，181-180=1且40=21)18(2-+，所以②能，对于③因为11为奇数，266-264=2不等于1，所以③不能，对于④因为14为偶数，200-194≠2，所以不能．故应填②．点评：由以上例题解答可以看出，利用勾股数的规律解答三边能否构成直角三角形问题比用a2+b2=c2简洁的多，望同学们掌握之．。
探究勾股定理蕴含的秘密
探究勾股定理蕴含的秘密勾股定理是数学中的重要定理之一，被广泛应用于几何学和物理学等领域。
然而，除了其实用性以外，这个定理蕴含了一些深层的秘密。
本文将探究勾股定理所蕴含的三个秘密，以期更深入地了解这一经典定理。
一、几何之美：勾股定理的视觉享受通过勾股定理，我们可以推导出各种美妙的几何关系和性质。
首先，让我们先来感受一下勾股定理的几何之美。
1. 直角三角形的推演勾股定理表达了直角三角形中三条边之间的关系。
假设三角形的两条直角边分别为 a 和 b，斜边为 c。
则根据勾股定理，有：c^2 = a^2 + b^2直角三角形的几何之美在于它的斜边恰好可以表达为两个直角边的平方和的开平方。
这种简洁而优美的表达方式让人赞叹几何学的奇妙。
2. 勾股数的兴趣勾股定理不仅仅局限于直角三角形，还与整数集合之间的关系产生了有趣的联系。
我们将满足勾股定理的三个正整数称为勾股数。
例如，3、4、5就是最小的一组勾股数。
通过勾股定理，我们可以得到无穷多组勾股数。
例如，5、12、13也是一组勾股数。
这种数学的奇迹使得勾股定理蕴含了数学中的宝藏，供我们去探索。
二、数学之美：勾股定理的数学奥秘勾股定理所蕴含的秘密不仅仅是几何学上的，还深藏于数学的奥秘之中。
在这一部分，我们将进一步探究勾股定理的数学之美。
1. 勾股定理的代数证明勾股定理可以通过代数方法进行证明。
例如，我们可以利用平方差公式，将直角三角形的两条直角边的平方和与斜边的平方进行对比，从而证明勾股定理的成立。
这种代数证明方法揭示了勾股定理背后的数学结构和规律，让我们以另一种方式欣赏到数学之美。
2. 勾股定理的数论特性勾股定理还涉及到数论领域的研究。
例如，根据勾股定理，我们可以得知一个奇数的平方必定是奇数，偶数的平方必定是偶数。
这个特性在数论中具有重要影响。
勾股定理的数论特性表明了数学中隐藏的神秘性，引发了人们对数学规律和性质的好奇。
三、哲学之美：勾股定理的深层意义最后，勾股定理所蕴藏的秘密也折射出了哲学上的深层意义。
勾股数规律的探究
勾股数的规律能够组成一个直角三角形的三边长的正整数，叫做勾股数。
如“勾三股四弦为五”（3，4，5）再如常见的（6，8，10）（5，12，13）、（7，24，25），熟记一些勾股数利于我们更快、更准的解决于直角三角形有关的实际问题。
下面就勾股数的三个正整数之间的规律进行探究：规律一：在勾股数（3，4，5）、（5，12，13）、（7，24，25）（9，40，41）中，我们发现由（3，4，5）有： 32=9=4+5由（5，12，13）有： 52=25=12+13由（7，24，25）有： 72=49=24+25由（9，40，41）有： 92=81=40+41.即在一组勾股数中，当最小边为奇数时，它的平方刚好等于另外两个连续的正整数之和。
其论证如下：数a为大于1的正数，则2a+1为奇数数，则有∵（2a+1）2=4a2+4a+1=（2a2+2a）+（2a2+2a+1）∴（2a +1）2+（2a 2+2a）2=（2a2+2a+1）2因此，我们把它推广到一般，从而可得出勾股数公式一：（2a+1，2a2+2a，2a2+2a+1）（a为正整数）或整理为：对于一个大于1的整奇数m,构成的勾股数为（m,,）规律二：在勾股数（6，8，10）、（8，15，17）、（10，24，26）中，我们发现由（6，8，10）有： 62=36=2×（8+10）由（8，15，17）有： 82=64=2×（15+17）由（10，24，26）有： 102=100=2×（24+26）即在一组勾股数中，当最小边为偶数时，它的平方刚好等于两个连续且相差为2的整数之和的二倍。
其论证如下：数a为大于1的正数，则2a为偶数，则有∵（2a）2=4a2=2[（a2-1）+（a2+1）]∴（2a）2+（a2-1）2=（a2+1）2（a≥2且a为正整数）因此，我们把它推广到一般，从而可得出勾股数公式二：（2a，a2-1，a2+1）（a≥2且a为正整数）或整理为：对于一个大于1的整偶数m,构成的勾股数为（m,,）。
勾股数的相关探究
对勾股数的相关探究摘要本篇论文是对勾股数及定理的相关探究，在探究的过程中我主要围绕以下这五个问题：1.谁发现了勾股定理？2.勾股定理的证明有多少？3.如何寻找勾股数？4.勾股数有哪些特征？5.勾股世界妙处何在？在整篇文章中其网络资源非常丰富，而且对这五个问题的解决起到非常重要的作用，接下来我就这五个问题做出详细的解答。
关键词：勾股数、勾股定理、特征1、看历史，谁发现了勾股定理？根据考古发现及其他史籍记载，周代的天文测量历算达到《周髀》所描述的水平完全可能。
《周札》卷十《地官。
大司徒》有如下记载：“正日景（同”影“）以求地中，日南则景短，多暑；日北则景长，多寒”，“日至之景尺有五寸，谓之地中”。
而《周髀》说：“立竿测影……法曰：周髀长八尺，勾之损益，寸千里。
”两者何其相似。
曹魏著名数学家刘徽在《九章算术注》的序中指出，周代设有“大司徒”职，任务之一就是在夏至日立表观测日地距。
至今河南登封县还有周代观景台遗址。
《周髀》中周公称商高为“善数”的“大夫”，说明商高完全可能是主管天文测量和历算的官员。
《周髀》中荣方对陈子说：“今者窃闻夫子之道，知日之高大。
光之所照，一日所行，远近之数，人所望见，四极之穷，列星之宿，天地之广袤。
夫子之道，皆能知之。
”可见陈子也是精通天文历算的学者。
顺便指出，大约也在公元前6世纪，被西方誉为“测量之租”的塔利斯曾利用日影测量金字塔高，埃及王惊叹不已。
其实金字塔在地面，既可走近，又能攀登，与陈子测2、再思考，勾股定理的证明有多少？勾股定理的证明勾股定理是几何学中的明珠，所以它充满魅力，千百年来，人们对它的证明趋之若骛，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者，有普通的老百姓，也有尊贵的政要权贵，甚至有国家总统。
也许是因为勾股定理既重要又简单，更容易吸引人，才使它成百次地反复被人炒作，反复被人论证。
1940年出版过一本名为《毕达哥拉斯命题》的勾股定理的证明专辑，其中收集了367种不同的证明方法。
数序活动探寻“勾股数”-苏科版八年级数学上册教案
数序活动探寻“勾股数”-苏科版八年级数学上册教案教学目标1.了解勾股数的概念。
2.掌握如何判断勾股数。
3.能够熟练地运用勾股数求解实际问题。
教学准备1.教师准备宣传海报和宣传材料。
2.软件准备：麻将图、IPTV3.教师要提前准备讲台板书。
教学步骤第一步：自主学习引导将引导教材寄发给学生，让学生自主地观看、理解“直角三角形”、“勾股定理”的概念. 对一些看不懂的地方，要提出问题，以便后续了解。
第二步：自主学习活动主题活动：勾股数探寻活动活动方案我们的数学学科广泛应用于生活和社会中。
活动具体内容如下： 1. 请同学们自己组队，以探寻的方式来寻找“勾股数”。
2. 同学们在组队后就应该联系，确定了一个位于校园周围的合适区域，进行勾股数的探寻活动，这个区域最好是几何实物或者建筑物。
3. 在探寻的过程中，请同学们通过测量建筑物的各个边长来寻找勾股数，勾股数要求在探寻范围内。
4. 每个组要完成勾股数的探寻并转化为勾股定理的运用，然后再去勾股问题的求解。
5. 三个班的所有小组都必须结合自己探索的文字、图片、数据等完整呈现目标的勾股问题解。
活动效果这个挑战活动主要是让同学们在感受中掌握勾股数的概念和勾股定理的应用，这里还有一些效果、价值和意义： 1. 勾股问题谜团被破解，同学们的掌握程度逐步深化，以探索的方式活动反映了数学学科以掌握、应用的思维进阶。
2. 探索过程强调了团队协作和合作的学科精神，展现了经验跨越、多学科合作的教学策略，旨在促进同学们私底下交流和思考。
第三步：课堂讲解授课1.提出数学问题，基于“探索”活动的结果进行总结：用什么条件来判断直角三角形？2.勾股数的概念与判定。
–勾股数指的是a²+b²=c²这种形式的数值，其中a、b、c分别为三条边上的数值，其中一个角为直角。
3.推导勾股数的运用–演示如何使用勾股定理求解勾股数。
–引导同学们实际操作，并公布一些练习题，检验学生的掌握情况。
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探究勾股数两例
满足a 2+b 2=c 2的三个正整数，称为勾股数．对于给定的三个正整数，若能验证其中最大数的平方等于其他两数的平方和，这组数就一定是勾股数，否则不是．可以验证若a 、b 、c 是一组勾股数，则ka 、kb 、kc （k 为正整数）也是勾股数． 以下几个都可构成勾股数：
1．设n 为正整数，且n >1，a =2n ，b =n 2-1，c =n 2+1; 2．设n 为正整数，a =2n +1，b =2n 2+2n ，c =2n 2+2n +1;
3．设m 、n 为正整数，且m >n ，则a =m 2-n 2，b =2mn ，c =m 2+n 2;
例1 据我国古代《周髀算经》记载，公元前1120年商高对周公说，将一根直尺折成一个直角，两端连结得一个直角三角形，如果勾是三，股是四，那么弦就等于五．后人概括为:“勾三、股四、弦五”．
（1）观察：3、4、5；5、12、13；7、24、25；…发现这些勾股数的“勾”都是奇数，且从3起就没有间断过，计算
21(9-1)，21(9+1)与21(25-1)，2
1
(25+1)，并根据你发现的规律，分别写出能(用勾)表示7、24、25的股和弦的算式；
(2)根据(1)的规律，用n (n 为奇数且n ≥3)的代数式来表示所有这些勾股数的勾、股、弦．猜想它们之间的两种相等关系，并对其中一种猜想加以说明；
（3）继续观察4、3、5；6、8、10；8、15、17；…．可以发现各组的第一个数都是偶数，且从4起也没有间断过，运用类似上述探索的方法，直接用m （m 为偶数且m >4）的代数式来表示它们的股和弦．
分析：本题是一个勾股数的探索问题，考查观察、分析、类比、猜想和论证等能力．第（2）、（3）两小题都具有开放性，能较好地考查大家的创新意识和能力． 解:(1)因为
21(9-1)=21(32-1)=4， 21(9+1)=21(32+1)=5，21(25-1)=2
1
(52-1)=12， 21(25+1)=2
1
(52+1)=13， 对于3、4、5和5、12、13两组勾股数来说，可以表示为：
股=
21(勾2-1)，弦=2
1
(勾2+1)． 所以7、24、25的股24的算式为21(49-1)=21
(72-1)，
7、24、25的弦25的算式为21(49+1)=2
1
(72+1);
(2)当n 为奇数且n ≥3时，勾、股、弦的代数式分别为n ，21(n 2-1），2
1(n 2+1）． 猜想关系式一：弦-股=1；关系式二：勾2+股2=弦2．
说明关系式一：弦-股=
21(n 2+1）-21(n 2-1）=21[（n 2+1）-（n 2-1）]= 2
1
×2=1； 说明关系式二：勾2+股2=n 2+[21(n 2-1)]2=2224)1(4
1
412141+=++n n n =弦2．
(3)探索得：当m 为偶数且m >4时，股、弦的代数式分别为1)2
(,1)2(22+-m
m ．
例2 阅读材料并解答问题：
我国是最早了解和应用勾股定理的国家之一，古代印度、希腊、阿拉伯等许多国家也都很重视对勾股定理的研究和应用，古希腊数学家毕达哥拉斯首先证明了勾股定理，在西方勾股定理又称为“毕达哥拉斯定理”．
关于勾股定理的研究还有一个很重要的内容是勾股数组，在课本中我们了解到：“能够成为直角三角形三边的三个正整数称为勾股数”．以下是毕达哥拉斯等学派研究出的确定勾股数组的两种方法：
方法1：若m 为奇数(m ≥3)，则a =m ，b =
21(m 2-1)和c =2
1
(m 2+1)是勾股数． 方法2:若任意取两个正整数m 和n (m >n )，则a =m 2-n 2，b =2mn ，c =m 2+n 2是勾股数．
(1)在以上两种方法中任选一种，证明以a 、b 、c 为边长的△ACB 是直角三角形． （2）请你根据方法1和方法2按规律填写表格：
表2
（3）某园林管理处要在一块绿地上植树，使之构成如右图所示的图案竟观．该图案由四个
全等的直角三角形组成，要求每个三角形顶点处都植一棵树，各边上相邻两棵树之间的距离均为1米，如果每个三角形最短边上都植6棵树，那么这个四个直角三角形的边上共植树多少棵？
分析：本题是一道集阅读、证明、探究规律、解决实际问题于一体的综合性试题，通过阅读可使考生进一步认识勾股定理的重要性，了解勾股数的意义，感受毕达哥拉斯等学派的巨大的贡献．本题共三问，其中第（1）问是证明题，可利用代数计算解决;第(2)是探索规律问题，可在第(1)问的基础上解决;第(3)是实际应用问题，也是根据第(2)问解决． 解: (1)方法1:
因为a 2+b 2=m 2+[
21(m 2-1)]2=m 2+4
1(m 4-2m 2
+1) = 41m 4+21m 2+41=41
(m 4+2m 2+1) =41(m 2+1)2=[2
1
(m 2+1)]2 =c 2，
所以以a 、b 、c 为边长的△ACB 是直角三角形． 方法2:(请你试一试，相信你一定能成功!
(2)由第(1)可得到表1中第三竖列的勾、股、弦分别为：7、24、25；第四竖列的勾、股、弦分别为9、40、41． 观察表2的变化规律可得:
第九竖列应填5，2，21，20，29； 第十竖列应填5，1，24，10，26．
（3）根据每个直角三角形的最短边上植6棵树，每个树的距离为1米，可知最短边的长为5米，又直角三角形的每个边均为整数，根据第(2)问可知，直角三角形三边的长分别是5，12，13，这样一个直角三角形三边共植30棵树，所以四个三角形共植120棵树．。