勾股数的常用套路
常见勾股数口诀背诵
常见勾股数口诀背诵常见的勾股数口诀是指勾股定理中的三个数，即满足a² + b² = c²的三个正整数a、b、c。
这个定理是公元前6世纪中国数学家毕达哥拉斯所发现的，因而被称为勾股定理。
勾股定理是数学中的基本定理之一，它在几何学和物理学中都有广泛的应用。
在勾股数口诀中，我们可以通过记忆一些特定的数对来快速计算勾股数。
常见的勾股数口诀有以下几组数对：1. 3、4、5：这是最简单的勾股数口诀，也是最早被发现的。
它满足3² + 4² = 5²，可以记忆为“三四五，直角肯定有”。
2. 5、12、13：这组数对也很常见，满足5² + 12² = 13²，可以记忆为“五十一三，直角保底”。
3. 8、15、17：这组数对满足8² + 15² = 17²，可以记忆为“八十一七，直角在其中”。
4. 7、24、25：这组数对满足7² + 24² = 25²，可以记忆为“七二十五，直角躲不过”。
5. 9、40、41：这组数对满足9² + 40² = 41²，可以记忆为“九四一，直角太帅”。
通过记忆这些常见的勾股数口诀，我们可以在实际问题中快速判断是否存在直角三角形。
例如，在测量地面上两点间的直线距离时，我们可以通过勾股定理判断是否存在直角。
只需要计算三个边长的平方并进行比较，如果符合勾股定理的条件，那么就可以确定存在直角。
除了这些常见的勾股数口诀，还有一些特殊的勾股数。
例如，勾股数中的a、b、c可以按比例缩放，得到新的勾股数。
另外，勾股数也可以通过一些数学方法生成，例如欧拉公式等。
勾股数口诀是数学中的一个重要概念，它帮助我们快速判断是否存在直角三角形，并在实际问题中有着广泛的应用。
通过记忆常见的勾股数口诀，我们可以在解决问题时更加高效和准确。
勾股数顺口溜及常用的套路
勾股数顺口溜及常用的套路摘要：一、引言1.勾股数的概念2.勾股数的顺口溜二、勾股数的常见套路1.3-4-52.5-12-133.7-24-254.9-40-41三、勾股数的应用1.测量直角三角形边长2.构建直角三角形四、勾股数的扩展概念1.勾股定理2.勾股数列正文：一、引言勾股数是指可以构成直角三角形的三个正整数，其中最著名的就是3、4、5。
勾股数的顺口溜为“勾三股四弦五”，这简单的五个字却概括了勾股数的精华。
二、勾股数的常见套路1.3-4-53、4、5 是最经典的勾股数，也是最早被发现的勾股数。
它们满足勾股定理，即3^2 + 4^2 = 5^2。
2.5-12-135、12、13 是另一个常见的勾股数，它们同样满足勾股定理，即5^2 + 12^2 = 13^2。
3.7-24-257、24、25 也是勾股数，它们满足勾股定理，即7^2 + 24^2 = 25^2。
4.9-40-419、40、41 是一组勾股数，它们满足勾股定理，即9^2 + 40^2 =41^2。
三、勾股数的应用1.测量直角三角形边长在实际生活中，勾股数可以用来测量直角三角形的边长。
比如，如果我们知道直角边的长度为3 和4，那么可以通过勾股数的关系计算出斜边的长度为5。
2.构建直角三角形勾股数不仅可以用来测量直角三角形的边长，还可以用来构建直角三角形。
比如，我们可以用3、4、5 这组勾股数来构建一个直角三角形。
四、勾股数的扩展概念1.勾股定理勾股定理是勾股数的一个重要概念，它表示为a^2 + b^2 = c^2，其中a、b 为直角三角形的两条直角边，c 为斜边。
2.勾股数列勾股数列是指一组按照一定规律排列的勾股数。
勾股数顺口溜及常用的套路
勾股数顺口溜及常用的套路勾股数，又名毕氏三元数。
勾股数就是可以构成一个直角三角形三边的一组正整数。
接下来给大家分享勾股数顺口溜及常用的套路。
勾股数的口诀(一)奇数组口诀：平方后拆成连续两个数5^2=25,25=12+13，于是5，12，13是一组勾股数。
7^2=49,49=24+25，于是7，24，25是一组勾股数。
9^2=81,81=40+41，于是9，40，41是一组勾股数。
(二)偶数组口诀：平方的一半再拆成差2的两个数8^2=64,64/2=32,32=15+17，于是8，15，17是一组勾股数。
10^2=100,100/2=50,50=24+26，于是10，24，26是一组勾股数。
12^2=144,144/2=72,72=35+37，于是12，35，37是一组勾股数。
勾股数顺口溜3，4，5：勾三股四弦五5，12，13：5月12记一生(13)6，8，10：连续的偶数8，15，17：八月十五在一起(17)特殊勾股数：连续的勾股数只有3，4，5连续的偶数勾股数只有6，8，10勾股数常见的套路(1)当a为大于1的奇数2n+1时，b=2n²+2n,c=2n²+2n+1。
实际上就是把a的平方数拆成两个连续自然数，例如：n=1时(a,b,c)=(3,4,5)n=2时(a,b,c)=(5,12,13)(2)当a为大于4的偶数2n时，b=n²-1,c=n²+1，也就是把a的一半的平方分别减1和加1，例如：n=3时(a,b,c)=(6,8,10) n=4时(a,b,c)=(8,15,17)。
探索勾股数的规律
勾股数的规律初中数学讲到直角三角形就离不开它的三边关系的一个重要定理：勾股定理。
如果直角三角形的三边a 、b 、c （a ﹤b ﹤c ），由勾股定理可知：222a b c +=，其中a 为勾，b 为股，c 为弦。
一、当勾为奇数时，探求勾股数的规律 1、 列表，观察表中每组勾股数2、归纳规律：（1）每组中a 都是奇数；（2）2a b c =+，212a b -=；（3）c = b+1，212a c +=.由此可得第n 组当a=2n+1时2221(21)12222a n b n n-+-===+,2221(21)122122a n c n n +++===++于是有第n 组勾股数为2n+1、2n 2+2n 、2n 2+2n+1（n 为正整数）。
3、证明：∵22222(21)(22)ab n n n +=+++4232441844n n n n n =+++++ 4232441844n n n n n =+++++22(221)n n =++∴222ab c +=∴2n+1、222n n +、2221n n ++（n为正整数）是一组勾股数。
4、此种形式勾股数的另一种规律表现形式： （1）列表观察（2）归纳规律：略。
当n 为正整数时，勾股数为：22(1)a n n =+-2(1)b n n =+22(1)c n n =++化简后即为：a 、b 、c 分别为2n+1、222nn +、2221n n ++。
（3）证明过程：同前面的证明。
二、当勾为偶数是，探求勾股数的规律 1、列表观察表中每组勾股数 2、 归纳规律：（1）、每组中a （勾）是偶数（第一组较特殊：勾比股大）；（2）、2214,22a abc b -=+=⨯（3）、2c b =+242a +=由此可得第n 组中的2(1)a n =+时，则：2224[2(1)]4224a n b n n -+-===+2224[2(1)]42224a n c n n +++===++[或22c=b+2=(n2n)+2=n 2n+2++]，于是有第n 组勾股数为2(1)n +、22n n +、222n n ++（n为正整数）。
勾股数规律
勾股数规律
规律一：在勾股数（3，4，5）、（5，12，13）、（7，24，25）（9，40，41）中，发现：
由（3，4，5）有： 32=9=4+5
由（5，12，13）有： 52=25=12+13
由（7，24，25）有： 72=49=24+25
由（9，40，41）有： 92=81=40+41.
即在一组勾股数中，当最小边为奇数时，它的平方刚好等于另外两个连续的正整数之和。
因此，我们把它推广到一般，从而可得出以下公式：
∵（2n+1）2=4n2+4n+1=（2n2+2n）+（2n2+2n+1）
∴（2n+1）2+（2n2+2n）2=（2n2+2n+1）2（n为正整数）
勾股数公式一：（2n+1，2n2+2n，2n2+2n+1）（n为正整数）
规律二：在勾股数（6，8，10）、（8，15，17）、（10，24，26）中，发现：
由（6，8，10）有： 62=36=2×（8+10）
由（8，15，17）有： 82=64=2×（15+17）
由（10，24，26）有： 102=100=2×（24+26）
即在一组勾股数中，当最小边为偶数时，它的平方刚好等于两个连续整数之和的二倍，推广到一般，从而可得出另一公式：
∵（2n）2=4n2=2[（n2-1）+（n2+1）]
∴（2n）2+（n2-1）2=（n2+1）2（n≥2且n为正整数）
勾股数公式二：（2n，n2-1，n2+1）（n≥2且n为正整数）
利用以上两个公式，我们可以快速写出各组勾股数。
初中数学-与勾股定理相关的计算技巧
与勾股定理相关的计算技巧一、知识回顾（1）勾股定理：直角三角形两直角边（即“勾”，“股”）边长平方和等于斜边（即“弦”）边长的平方也就是说，设直角三角形两直角边为a 和b ，斜边为c ，那么a 2＋b 2＝c 2.（2）勾股数：凡是可以构成一个直角三角形三边的一组正整数，称之为勾股数.常见的勾股数有3、4、5；5、12、13；6、8、10；7、24、25；8、15、17；9、12、15；9、40、41.注：等腰直角三角形三边比例1：1：2；含30°直角三角形三边比例：1：3：2.二、典题精练【直角使用勾股定理，利用勾股数和比例计算】1、在△ABC 中，∠C ＝90°，若AC ＝1，BC ＝3，则AB ＝__________.2、在△ABC 中，∠C ＝90°，若AC ＝4，BC ＝16，则AB ＝__________.3、在△ABC 中，∠C ＝90°，若AB ＝15，BC ＝12，则AC ＝__________.【方程思想】 1、如图，在△ABC 中，∠B ＝90°，AB ＝3，BC ＝4，AD 为平分∠BAC ，交BC 于D ，则线段BD 的长为__________.2、如图，在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝7，BC ＝8，则△ABC 的面积为__________.【面积法求高，避免方程】 1、在△ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝3，AC ＝4，AD ⊥BC 于D ，则AD 、CD 的长分别为__________、__________.D CB ACB AD CB A2、在△ABC 中，AB ＝AC ＝5，BC ＝6，BD ⊥AC 于D ，则BD 的长为__________.【解三角形，利用特殊角作高构建直角三角形】 1、（锐角＋两边）已知∠A ＝60°，AB ＝6，AC ＝9，求BC 的长．2、（钝角＋两边）已知∠A ＝120°，AB ＝3，AC ＝4，求BC 的长．3、（两特殊角＋一边）已知∠B ＝45°，∠C ＝30°，BC ＝1，求AB 、AC ．4、（隐藏两特殊角＋一边）如图，△ABC 中，∠A ＝75°，∠C ＝45°，且AC ＝26，则BC 的长为__________.DCB ACB ACB ACB ACB A【网格画图】1、如图，正方形网格中的每个小正方形边长都是1，每个小格的顶点叫格点，以格点为顶点的三角形称为格点三角形．（1）画一个格点ABCAB=，BC=，CA（在图中画出）；∆：使5（2）求出（1）中ABC∆的面积．2、图①、图②均是66⨯的正方形网格，每个小正方形的顶点叫做格点，每个小正方形的边长均为1．（1）在图①中，以格点为端点，画线段MN=．（2）在图②中，以格点为顶点，画正方形ABCD，使它的面积为10．3、（三个顶点都在格点上的三角形称为格点三角形（每个小正方形的边长为1)，请在如图所示的正方形网格中：①②直接写出三角形的面积．③．。
勾股数规律
勾股数规律
规律一：在勾股数（3，4，5）、（5，12，13）、（7，24，25）（9，40，41）中，发现：
由（3，4，5）有： 32=9=4+5
由（5，12，13）有： 52=25=12+13
由（7，24，25）有： 72=49=24+25
由（9，40，41）有： 92=81=40+41.
即在一组勾股数中，当最小边为奇数时，它的平方刚好等于另外两个连续的正整数之和。
因此，我们把它推广到一般，从而可得出以下公式：
∵（2n+1）2=4n2+4n+1=（2n2+2n）+（2n2+2n+1）
∴（2n+1）2+（2n2+2n）2=（2n2+2n+1）2（n为正整数）
勾股数公式一：（2n+1，2n2+2n，2n2+2n+1）（n为正整数）
规律二：在勾股数（6，8，10）、（8，15，17）、（10，24，26）中，发现：
由（6，8，10）有： 62=36=2×（8+10）
由（8，15，17）有： 82=64=2×（15+17）
由（10，24，26）有： 102=100=2×（24+26）
即在一组勾股数中，当最小边为偶数时，它的平方刚好等于两个连续整数之和的二倍，推广到一般，从而可得出另一公式：
∵（2n）2=4n2=2[（n2-1）+（n2+1）]
∴（2n）2+（n2-1）2=（n2+1）2（n≥2且n为正整数）
勾股数公式二：（2n，n2-1，n2+1）（n≥2且n为正整数）
利用以上两个公式，我们可以快速写出各组勾股数。
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勾股定理技巧
勾股定理技巧
嘿，咱今儿就来说说这勾股定理的技巧！你可别小瞧了这勾股定理，它在数学里那可是相当重要啊！
啥是勾股定理呢？简单说就是直角三角形两条直角边的平方和等于
斜边的平方。
就好像一个小团队，两条直角边是两个小伙伴，斜边就
是他们的老大，这老大的能力大小得看这俩小伙伴的表现嘞！
那有啥技巧呢？比如说，遇到一个直角三角形，咱得先找到那两条
直角边呀，然后快速计算它们的平方，加起来一瞅，是不是等于斜边
的平方，这得多方便呀！这就好像找宝藏，得先知道宝藏在哪个方向，才能更容易找到嘛！
再比如说，给你一些边长，让你判断是不是能组成直角三角形。
嘿，这时候勾股定理就派上用场啦！你把较短的两条边的平方加起来，看
看和最长边的平方是不是一样，不就清楚啦！就像你要判断一个人是
不是好人，得从他的言行举止等方面去观察呀。
还有啊，在实际生活中勾股定理也大有用处呢！盖房子的时候，工
人师傅得保证墙角是直角吧，那怎么判断呢？不就得用勾股定理嘛！
这就像你做饭得掌握火候一样，火候对了，饭菜才香呢！
你想想，要是没有勾股定理，那得多麻烦呀！就像你走路没有方向感，那不得瞎转悠嘛！而且啊，学会了这些技巧，解数学题那也是杠
杠的！遇到难题也不怕，咱有勾股定理这个法宝呀！
你说勾股定理是不是很神奇？它就像一把钥匙，能打开好多数学难题的大门呢！咱可得好好掌握这些技巧，让勾股定理为咱所用呀！别小看这一个小小的定理，它里面蕴含的智慧可多着呢！咱得慢慢去体会，去发现。
所以呀，同学们，一定要把勾股定理的技巧学好喽！这可是咱数学学习路上的好帮手呀！以后再遇到和直角三角形相关的问题，咱就可以轻松搞定啦！你说是不是呀？。
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勾股数的常用套路
所谓勾股数，一般是指能够构成直角三角形三条边的三个正整数(a,b,c)。
即a^2+b^2=c^2,a,b,c∈N
又由于，任何一个勾股数组(a,b,c)内的三个数同时乘以一个整数n得到的新数组(na,nb,nc)仍然是勾股数，所以一般我们想找的是a,b,c互质的勾股数组。
关于这样的数组，比较常用也比较实用的套路有以下两种：
1、当a为大于1的奇数2n+1时，b=2*n^2+2*n, c=2*n^2+2*n+1。
实际上就是把a的平方数拆成两个连续自然数，例如：
n=1时(a,b,c)=(3,4,5)
n=2时(a,b,c)=(5,12,13)
n=3时(a,b,c)=(7,24,25)
... ...
这是最经典的一个套路，而且由于两个连续自然数必然互质，所以用这个套路得到的勾股数组全部都是互质的。
2、当a为大于4的偶数2n时，b=n^2-1, c=n^2+1
也就是把a的一半的平方分别减1和加1，例如：
n=3时(a,b,c)=(6,8,10)
n=4时(a,b,c)=(8,15,17)
n=5时(a,b,c)=(10,24,26)
n=6时(a,b,c)=(12,35,37)
... ...
这是次经典的套路，当n为奇数时由于(a,b,c)是三个偶数，所以该勾股数组必然不是互质的；而n为偶数时由于b、c是两个连续奇数必然互质，所以该勾股数组互质。
所以如果你只想得到互质的数组，这条可以改成，对于a=4n (n>=2), b=4*n^2-1, c=4*n^2+1，例如：
n=2时(a,b,c)=(8,15,17)
n=3时(a,b,c)=(12,35,37)
n=4时(a,b,c)=(16,63,65)
... ...
========Edward补充========
对于N 为质因数比较多的和数时还可以参照其质因数进行取相应的勾股数补充，即1个N会有多对的勾股数,例如：
n=9时（a,b,c）=（9,24,25）or (9,12,15) --------3* (3,4,5)
n=12时（a,b,c）= (12,35,37) or (12,16,20) ----- 4*（3,4,5）
=========ShangJingbo补充=======
还有诸如此类的勾股数，20、21、29；
119、120、169；
696、697、985；
4059、4060、5741；
23660、23661、33461；
137903 137904 195025
803760 803761 1136689
4684659 4684660 6625109常见的几种通式：
(1) （3，4，5）, （6，8，10）… …
3n,4n,5n (n是正整数)
(2) （5，12，13）,（7，24，25）, （9，40，41）… …
2n ＋1, 2n^2 ＋2n, 2n^2 ＋2n ＋1 (n是正整数)
(3) (8，15，17), (12，35，37) … …
2^2*(n＋1),[2(n＋1)]^2－1，[2(n＋1)]^2＋1 (n是正整数)
(4)m^2－n^2,2mn,m^2＋n^2 (m、n均是正整数，m>n)
观察分析上述的勾股数，可看出它们具有下列二个特点：
1、直角三角形短直角边为奇数，另一条直角边与斜边是两个连续自然数。
2、一个直角三角形的周长等于短直角边的平方与短边自身的和。
掌握上述二个特点，为解一类题提供了方便。
例：直角三角形的三条边的长度是正整数，其中一条短直角边的长度是13，求这个直角三角形的周长是多少？
用特点1解：设这个直角三角形三边分别为13、x、x+1，则有：169+x2=(x+1) 2，解得x=84，此三角形周长=13+84+85=182。
用特点2解：此直角三角形是以奇数为边构成的直角三角形，因此周长=169+13 =182
常用勾股数口诀记忆
3，4，5 ：三四五
5，12，13 ：5·12记一生
8，15，17 ：八月十五再一起
7，24，25 ：企鹅是二百五
勾股数须知
连续的勾股数只有3，4，5。