天线原理与设计 第五章天线阵

SLL = 20 lg | F (ψ s1 ) |= −13.5 (dB)
(5.31)
6、方向性系数 D
由方向性系数公式，即 4π D = 2π = π 2 ( ) sin d ϕ F ψ θ d θ ∫ ∫
0 0
2
∫
π
0
F 2 (ψ32)
式中，
I = ∫ F 2 (θ ) sin θ dθ
主瓣宽度为 2ϕ 0.5 = θ1 − θ 2
λ
L
(5.22) (5.23)
λ
L
= arc cos(cos θ m − 0.443λ / L) − arc cos(cosθ m + 0.443λ / L)
当扫描波束很窄时可由如下方法导出简单表达式。 式(5.23)减(5.22)得：
(5.24)
cosθ 2 − cosθ1 = 0.886
ψ = β d (cosθ − cosθ m )
f max = N F (ψ ) =
sin( Nψ / 2) N sin(ψ / 2)
以上是第一章介绍过的内容。下面对均匀直线阵作进一步介绍。
1、可见区与非可见区、最大值方向、栅瓣及其抑制条件
(1)可见区与非可见区
从数学上看，阵因子 f (ψ ) 是在 −∞ < ψ < ∞ 范围内的周期函数，实际上 θ 的 变化范围为 0 ≤ θ ≤ π ，由ψ = β d cosθ − α 可得对应的实际范围为
(5.15)
2ϕ 0 = 2θ 01 = 2arc cos(1 +
若阵长 L = Nd >> λ ， cos θ 01 ≈ 1 −
2 θ 01
λ
Nd
)
(5.16)
2
= 1−
λ
Nd
←取了 m=-1
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《天线原理与设计》讲稿
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即： θ 01 =
2λ ， Nd
得： 2ϕ 0 = 2
2λ Nd
(5.17)
f (ψ ) =
sin( Nψ / 2) sin(ψ / 2)
式中，ψ = β d cosθ − α ；
θ 为阵轴与射线之间的夹角；
α 为相邻单元之间的馈电相位差。
其最大值条件为ψ |θ =θm = β d cosθ m − α = 0 ，得： α = β d cos θ m 可得： 最大值为 归一化阵因子为
■对侧射阵( θ m = π / 2 )
sin ϕ 0 = sin | θ 01 − π / 2 |= cosθ 01 = λ / Nd ) Nd 设直线阵总长， L = Nd ，若 L >> λ ，则 2λ 2ϕ 0 = Nd ■对端射阵( θ m = 0 )
得：
2ϕ 0 = 2arc sin(
λ
0
π
(5.33)
■对侧射阵
F (θ ) = sin( N β d cos θ / 2) sin( N β d cos θ / 2) |N >>1 ≈ N sin( β d cosθ / 2) N β d cosθ / 2 (5.34)
sin( Nψ / 2) N sin(ψ / 2)
如果 N 很大，则方向图主瓣窄， sin(ψ / 2) ≈ ψ / 2 ，归一化方向图函数可写作
F (ψ ) =
sin( Nψ / 2) sin(u ) = ， u = Nψ / 2 = N β d (cosθ − cosθ m ) / 2 Nψ / 2 u
子 sin( Nψ s / 2) = 1 处，即
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ψ sq = ±π (2q + 1) / N , q=1,2,…
或
(5.28) (5.29)
β d (cosθ sq − cos θ m ) = ± (2q + 1)π / N ， q=1,2,…
此式可确定侧射和端射阵的副瓣位置。 当 q=1 时，得第一副瓣位置
令 F (ψ ) = 1/ 2 = 0.707 ，查图 5-5 得： u = Nψ / 2 = ±1.392 ，即
(a) 均匀直线阵主瓣 (b) 主瓣宽度示意 图 5-5 均匀直线阵主瓣及主瓣宽度示意
N β d (cosθ1 − cosθ m ) / 2 = ±1.392
见图 5-5(b)有， 2ϕ 0.5 = 2 | θ1 − θ m |
若方向图主瓣窄 sin ϕ 0.5 ≈ ϕ 0.5 ，并取 L = Nd ，则得
2ϕ 0.5 = 0.886
λ
L
(rad) = 50.764
λ
L
(o ) ≈ 51
λ
L
(o )
■端射阵( θ m = 0 )
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式(5.18)取负得 有： θ1 = 0.886
cosθ1 = 1 − 0.443
−( β d + α ) ≤ ψ ≤ β d − α
(5.7)
该范围为可见区，范围之外为非可见区。在图 5-3 中给出了单元数为 N＝5，单 元间距为 d = λ / 2 ，均匀递变相位为 α = π / 6 时的归一化阵因子 F (ψ ) 随ψ 变化的 图形。
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图 5-3 均匀直线阵的归一化方向图的可见区和非可见区示意图
λ
L
≈ 1−
θ1
2
λ
L
= 0.94
λ
L
由式(5.19)得
2ϕ 0.5 = 2θ1 = 1.88
λ
L
(rad) = 107.72
λ
L
(o) ≈ 108
λ
L
(o )
(5.21)
■扫描阵( 0 < θ m < π / 2 )
由式(5.18)得
cosθ1 − cos θ m = −0.443 cosθ 2 − cosθ m = 0.443
λ
L
(5.25)
因为 cosθ 2 − cosθ1 = 2sin( 得
θ1 + θ 2
2
) sin(
θ1 − θ 2
2
) ≈ (θ1 − θ 2 ) sin θ m = 2ϕ 0.5 sin θ m (5.26)
2ϕ 0.5 = 0.886
λ
L sin θ m
当 θ m = π / 2 时，上式与侧射阵的主瓣宽度公式相同。 例如，在正侧向两边 ±φm 内扫描，取 θ m = 90o ± φm 得：
(2)最大值方向
f (ψ ) 出现最大值时，ψ = 2nπ ，n=0,±1,±2,… n=0 时，由ψ = β d cosθ − α =0 可导出最大值方向为：
(5.8)
θ m = arccos(
α ) βd
(5.9)
除 n=0 外，其余的最大值为不希望的栅瓣。
(3)栅瓣及其抑制
由上图可知， 可见区随间距 d / λ 的增大而扩大， 甚至可能使可见区扩大到包 含若干个最大值，即在可见区出现栅瓣。栅瓣的出现是人们不希望的，它不但使 辐射能量分散，增益下降，而且会造成对目标定位、测向造成错误判断等，应当 给予抑制。 f (ψ ) 的第二个最大值出现在ψ = β d (cos θ − cosθ m ) = ±2π 时。抑制条件是
2ϕ 0.5 = 0.886
λ
L cos φm
(5.27)
由此式可见，与侧射阵相比，波束最大值发生偏移时半功率波瓣宽度将变宽。
5、副瓣位置和副瓣电平
(1)副瓣位置
指副瓣最大值对应的角度，可由 dF (ψ ) / dψ = 0 解得，这种做法很烦琐。考 察 F (ψ ) =
sin( Nψ / 2) ，其分子变化比分母快得多，因此，副瓣最大值发生在分 N sin(ψ / 2)
(5.2)
ET =
(5.3)
不失一般性，取 β r = 2nπ ，n 为整数，得
I1l η sin(ω t ± ϕ ) 2λ r 随时间变化的瞬态方向图因子为 ET = − f (ϕ , t ) = sin(ω t ± ϕ )
(5.4)
(5.5)
式中，取“+”号，则总电场矢量为顺时针旋转，取“-”号则逆时针旋转。 由式(5.1)可得稳态方向图为一个圆。 其稳态和瞬态方向图见书上 P92 图 5-1。 如果旋转场天线由半波振子组成，则可得方向图函数为 cos(π cos θ / 2) cos(π sin θ / 2) f (ϕ , t ) = cos ω t ± sin ω t (5.6) sin θ cosθ
| ψ |max < 2π 即
d<
λ
| cos θ − cosθ m |max
，
因 θ = 0 ~ π ， | cos θ − cos θ m |max = 1+ | cos θ m | ，则得
d<
λ
1+ | cos θ m |
(5.10)
此式即为均匀直线阵抑制栅瓣的条件。 ■对侧射阵， θ m = π / 2 ，抑制栅瓣的条件为 d < λ ■对端射阵， θ m = 0 ，抑制栅瓣的条件为 d < λ / 2 ■对波束扫描阵， θ m 应为最大扫描角。例如，在正侧向两边 ±30o 内扫描，取
由式(5.15)和(5.17)可见： (1) 侧射阵主瓣零点宽度反比于天线阵长度，阵长越长， 2ϕ 0 就越小； (2) 端射阵主瓣零点宽度与阵长的平方根成反比； (3) 对相同的阵列长度，侧射阵的 2ϕ 0 比端射阵的窄。
4、主瓣的半功率波瓣宽度 2ϕ 0.5
均匀直线阵的归一化方向图函数为： F (ψ ) =
Nψ / 2 = nπ , n = ±1, ±2,...