高等代数在解析几何中的应用

学号10051107哈尔滨学院学士学位论文高等代数在解析几何中的应用院（系）名称：理学院专业名称：数学与应用数学学生姓名：范莉娜指导教师：方晓超讲师哈尔滨学院2014年7月学号10051107密级公开高等代数在解析几何中的研究英文学生姓名：范莉娜所在学院：理学院所在专业：数学与应用数学指导教师：方晓超职称：讲师所在单位：哈尔滨学院论文提交日期：论文答辩日期：学位授予单位：摘要关键词：二次型，ABSTRACTMathods of Key words :前言行列式出现于第一章线性代数在解析几何中的应用1.1向量在解析几何中的应用1.1.1向量的定义定义1.1：即有大小，又有方向的量成为向量（或矢量）。

向量有两个特征，即有大小，又有反向，向量的几何图型是一个有向线段。

在几何上，向量可以用有向线段表示。

例如,有向线段AB 的长度AB 表示向量的大小（或称向量的模），用箭头→表示向量的方向，即短点B A →所指的方向，端点A ，B 分别称为向量的起点和终点。

用有向线段表示的向量称为几何向量。

1.1.2向量的加法定义1.2：设βα,为空间中两个向量。

在空间任取一点O ，作α=OA ，β=AB ，称向量γ=OB 为βα与的和，（仍采用数的加法记号）记作βα+，即。

βαγ+==OB 。

三角形法则等价于平行四边形法则：从空间中一点O ，作α=OA ，β=OB ，再以OB OA ,为边作平行四边形OACB ，则对角线上的向量γ=OC 就是βαβα+之和,由定义不难验证向量的加法满足下列运算规律： 1）αββα+=+（交换律）2）()()γβαγβα++=++结合律3）α+=+004）()0=-+αα 直角坐标系定义1.3：如果k j i ,,是两两垂直的长度为1的向量，则称坐标系[]k j i O ,,;为直角坐标系。

若k j i ,,两两垂直，则它们一定不共面。

因而直角坐标系是特殊的仿射坐标系。

点（或向量）在直角坐标系下的坐标称为它的直角坐标。

1.1.3用坐标进行向量的线性运算在空间 取定仿射坐标系[]γβα,,;O 。

设1δ的坐标⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡111z y x ，2δ的坐标是⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡222z y x ，则利用向量加法的交换律和结合律有γβαγβαδδ22211121()(z y x z y x +++++=+()()()γβα212121z z y y x x +++++=类似地，()()()γβαδδ21212121z z y y x x -++-=- 任意R k ∈，利用数乘向量的分配律与结合律有()()()()γβαγβαδkz ky kx z y x k k ++=++=这说明21δδ±的坐标是⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡±±±212121z z y y x x ，δk 的坐标是⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡kz ky kx 因此求向量的和（差）及数量的乘积的坐标只需对各个坐标进行相应的数量运算就行。

数量积。

定义1.4：两个向量βα与的数量积（也称内积或点积）规定为一个实数，它等于这个向量的长度与它们夹角〉〈=βαθ,的余弦的乘积，记作βα⋅，即有θβαβαcos =⋅用坐标计算向量的向量积先设[]k j i O ,,;为仿射坐标系，k b j b i b k a j a i a z y x z y x ++=++=βα,，则()()k b j y i b k a j a i a z y x z y x ++⨯++=⨯βα()()()k i b a j i b a i i b a z x y x x x ⨯+⨯+⨯=()()()k j b a j j b a i j b a z y y y x y ⨯+⨯+⨯+ ()()()k k b a j k b a i k b a z z y z x z ⨯+⨯+⨯可见，只要知道基向量k j i ,,之间的数量积，就可以求出任意两个向量的数量积。

这九个数称为仿射坐标系[]k j i O ,,;的度量参数。

现在设[]k j i O ,,;是直角坐标系，则有0,1=⋅=⋅=⋅=⋅=⋅=⋅i k k j j i k k j j i i于是由上上式得到z z y y x x b a b a b a ++=⋅βα因此有如下定理。

定理1.1：在直角坐标系下，两个向量的数量积等于它们的对应坐标的乘积之和。

例：用向量证明三角形的余弦定理。

证：作ABC ∆，令βαγγβα-,,,====则BA CB CA 。

于是()()βαβαγγγ--2⋅=⋅=βαβα⋅+=2-22〉〈+=βαβαβα,cos 2-22。

余弦定理说明了如何由三角形三边长去计算三个顶角的余弦。

利用上上式，余弦定理也可以改写成〉〈++=+βαβαβαβα,cos 2222从上式不难看出()22221,cos βαβαβαβα--+=〉〈 上式含有长度及两向量的夹角。

我们也可以利用它来定义数量积。

即θβαβαcos =⋅或()22221βαβαβα--+=⋅这样定义的数量积通用满足定理。

1.2矩阵的秩在解析几何中的应用矩阵的秩是代数中的基础概念，将它的理论推广到解析几何中，会收到很好的效果，下面就是矩阵的秩关于解析几何的几个定理和应用。

定理1.2已知平面11111:d z c y b x a =++π与平面22222:d z c y b x a =++π，设线性方程组⎩⎨⎧=++=++22221111d z c y b x a d z c y b x a 的系数矩阵为A ，增广矩阵为A ，则：1）若秩()A =秩()A =2，平面1π与平面2π相交于一条直线；2）若秩()A =秩()A =1，平面1π与平面2π重合；3）若秩()A =1，但是秩()A =2，平面1π与平面2π平行。

定理1.3已知两个平面γγγ211211211c u c z z b u b y y a u a x x ++=++=++= γγγ432432432c u c z z b u b y y a u a x x ++=++=++=的矩阵：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡c c c c b b b b a a a a 32143214321和⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---124321124321124321z z c c c c y y b b b b x x a a a a 的秩分别是R r 和，则：1) 两个平面相交的充要条件是3=r ；2) 两个平面平行且相异的重演条件是3,2==R r ； 3) 两个平面重合的充要条件是2==R r .定理三已知一个平面和一条直线:γγγ210210210,,c u c z z b u b y y a u a x x ++=++=++=t c z z t b y y t a x x 313131,+=<+=+=的矩阵：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡321321321c c c b b b a a a 和⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---013210132101321z z c c c y y b b b x x a a a 的秩分别是r 和R ，则，1）直线与平面相交的充要条件是3=r ；2）直线与平面没有公共点的充要条件是2=r ，3=R ； 3）直线属于已知平面的充要条件是2==R r 。

已知三个平面：⎪⎩⎪⎨⎧=+++=+++=+++000333322221111d z c y b x a d z c y b x a d z c y b x a 设R r 和分别是矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=333222111c b a c b a c b a A ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=333322221111d c b a d c b a d c b a B 的秩，则： 1）三个平面有唯一公共点的充要条件是3=r ；2）三个平面两两互异且有唯一公共点的充要条件是2==R r ，且矩阵A 的任何两行不成比例；3）三个平面两两相交且每两个平面的交线平行于第三个平面的充要条件是3,2==R r ，且矩阵A 的任何两行都不成比例；4）两个平面平行，第三个平面与它们相交的充要条件是3,2==R r 且A 的两行成比例； 5）三个平面互相平行的充要条件是2,1==R r ，B 的任何两行都不成比例；6）两个平面重合，第三个平面与它们相交的充要条件是2==R r ，且B 的两行成比例饿；7）两个平面重合，第三个平面与它们平行的充要条件是2,1==R r ，且B 的两行不成比例；8）三个平面重合的充要条件是1==R r 。

定理1.4已知两条平行线⎩⎨⎧=+++=+++0022221111d z c y b x a d z c y b x a⎩⎨⎧=+++=+++0044443333d z c y b x a d z c y b x a 矩阵⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡444333222111c b a c b a c b a c b a 和⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡4444333322221111d c b a b c b a d c b a d c b a 的秩分别为R r 和，则：1）两条直线既不平行也不相交的充要条件是4,3==R r ； 2）两条直线相交的充要条件是3==R r ；3）两条直线平行且互异的虫咬条件是3,2==R r ； 4）两条直线重合的充要条件是2==R r 。

例：证明下列两条直线互相平行：⎩⎨⎧=++-=-+7272:1z y x z y x L 与、 ⎩⎨⎧=--=-+028363:2z y x z y x L 证明：由定理4的3）只需证明3,2==R r 。

令⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----=112363112121A ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--------=0112836371127121B ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--→⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---→000000150121150000150121A ()2==∴r A r⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----→141501300021507121B ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----→00001300021507121 ()3==∴R B r ，故由定理四3）秩，两条直线平行。

解析几何证明：⎭⎬⎫---⎩⎨⎧-=1221,2111,11121S⎭⎬⎫⎩⎨⎧------1263,2133,11362S{}15,3,9---=故2112//,3S S S S 即-=，亦即两条直线平行。

从上面两种证法可以看出：采用矩阵的秩的有关结论证明平面与平面的位置关机：直线与直线的位置关系是简单而又方便的。

1.3齐次线性方程组在解析几何中的应用定理：齐次线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++000221122221211212111n nn n n nn n n x a x a x a x a x a x a x a x a x a 有非零解的充要条件是它的系数行列式等于零。