广西南宁市第三中学2020-2021学年高二上学期期中段考数学(理)试题 含答案

南宁三中2020~2021学年度上学期高二段考理科数学试题命题人：韦锋 陈婷婷 审题人：韦锋 陈婷婷一、选择题（每小题5分，共60分）1．已知命题:0p x ∀>，33x x >,则p ⌝为（ ）A ．0x ∀>，33x x ≤B ．0x ∀≤，33x x ≤C ．00x ∃>，0303x x ≤D ．00x ∃≤，0303x x ≤2．甲乙两队积极准备一场篮球比赛，根据以往的经验知甲队获胜的概率是12，两队打平的概率是16，则这次比赛乙队获胜的概率是（ ） A ．16B ．13C ．12D ．563．过点(2,0)P -，斜率是3的直线方程是（ ）A ．32y x =-B ．32y x =+C ．3(2)y x =-D ．3(2)y x =+4．已知命题0:R p x ∃∈，使0sin 2x =；命题:R q x ∀∈，都有210x x ++>，则下列结论正确的是（ ）A ．命题“p q ∧”是真命题；B ．命题“()p q ∧⌝”是假命题；C ．命题“()p q ⌝∨”是假命题；D ．命题“()()p q ⌝∨⌝”是假命题．5．在空间中，设m ，n 为两条不同直线， α，β为两个不同平面，则下列命题正确的是A ．若//m α且//αβ，则//m βB ．若αβ⊥，m α⊂，n β⊂，则m n ⊥C ．若m α⊥且//αβ，则m β⊥D ．若m 不垂直于α，且n ⊂α，则m 必不垂直于n6．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．23 B ．1C ．43D ．837．已知命题2:6270,p x x --≤命题:|1|(0)q x m m -≤>， 若q 是p 的必要不充分条件，则实数m 的取值范围是( ) A ．4m ≤ B ．4m <C ．8m ≥D ．8m >8．执行如右图所示的程序框图,则输出的m 的值为( ) A ．5 B ．6C ．7D ．89．我国古代数学家赵爽给出了勾股定理的绝妙证明，下图是赵爽的弦图,弦图是一个以勾股形之弦为边的正方形,其面积称为弦实，图中包含四个全等的勾股形及一个小正方形，分别涂成红(朱)色、黄色,其面积称为朱实、黄实,利用2×勾×股+(股 - 勾)2=4×朱实+黄实=弦实，化简得 勾2+股2=弦2，设其中勾股比为1:3，若向弦图内随机抛掷1 000颗图钉(大小忽略不计),则落在黄色图形内的图钉数大约为 A ．866 B ．500C ．300D ．134F 1C 1A 1B CAB10．已知函数()21sin 3cos 2f x x x x =+，则下列结论正确的是A ．()f x 的最大值为1B ．()f x 的最小正周期为2πC ．()f x 的图象关于点7(0)12π，对称 D ．()f x 的图象关于直线3x π=对称11．平行四边形ABCD 中，2,1,1AB AD AB AD ==⋅=-，点M 在边CD 上，则MA MB ⋅的最大值为（ ）A ．2B ．221C ．5D 3112．在ABC ∆中，,D E 是BC 边上两点，,,BD BA BC 构成以2为公比的等比数列，6BD =，2,9AEB BAD AE ∠=∠=，则三角形AED 的面积为（ ）A ．31.2B ．32.4C ．33.6D ．34.8二、填空题（每小题5分，共20分）13．已知实数x ,y 满足约束条件20201x y x y x +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪≤⎩，则32z x y =+的最小值为_________14．某班的全体学生某次测试成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次为：[20，40），[40，60），[60，80），[80，100]，则该次测试该班的平均成绩是__________（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）第14题图 第15题图15．如图，111A B C ABC -是直三棱柱，90BCA ∠=，点11,D F 分别是1111,A B AC 的中点，若1BC CA CC ==，则1BD 与1AF 所成角的余弦值是_________．16．在等腰三角形ABC 中，23A AB π∠==，BC 边上的高AD 翻折，使BCD ∆为正三角形，则四面体ABCD 的外接球的表面积为_________． 三、解答题17．学生会有A B C D E F 、、、、、共6名同学,其中4名男生2名女生,现从中随机选出2名代表发言.求：()1列出所有可能的抽取结果，并求A 同学被选中的概率； ()2至少有1名女同学被选中的概率.18．若数列{}n a 的前n 项和为n S ，首项10a >且22()n n n S a a n N *=+∈．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若0()n a n N *>∈，令1(2)n n n b a a =+，求数列{}n b 的前n 项和n T ．19．某高新技术企业近5年的年研发费用x (百万元)与企业年利润y (百万元)的统计数据如下表:（1）求出y 关于x 的线性回归方程 ˆˆˆybx a =+； （2）如果该企业某年研发费用投入8百万元,预测该企业获得年利润为多少?参考公式:1122211()(), ()()inniii ii i nnii i x x y y x y nx yb a y bx x x xn x ====---===---∑∑∑∑.20．在ABC ∆中，三个内角,,A B C 所对的边分别为a,b,c ，若(cos ,cos ),(2,)m B C n a c b ==+，且m n ⊥．（1）求角B 的大小；（2）若6b =，求ABC ∆的周长的取值范围．21．如图，在长方形ABCD 中，4AB =，2AD =，点E 是DC 的中点．将ADE ∆沿AE 折起，使平面ADE ⊥平面ABCE ，连结DB 、DC 、EB ． （1）求证：AD ⊥平面BDE ；（2）求平面ADE 与平面BDC 所成锐二面角的余弦值．22．已知点(1,0)(1,0)M N -，，曲线E 上任意一点到点M 的距离均是到点N 倍． （1）求曲线E 的方程；（2）已知0m ≠，设直线1:10l x my --=交曲线E 于A 、C 两点，直线2:0l mx y m +-=交曲线E 于B 、D 两点，C 、D 两点均在x 轴下方．当CD 的斜率为1-时，求线段AB 的长．南宁三中2020~2021学年度上学期高二段考理科数学试题答案1．C 【解析】命题p 是一个全称命题，故其否定是一个特称命题，先改写量词，然后否定结论即可得到，该命题的否定为“00x ∃>，0303x x ≤”．故选：C ．2．B 3．D4．B 【解析】命题p 是假命题，命题q 是真命题，所以B 正确．5．C 【解析】在A 中，若m ∥α且α∥β，则m ∥β或m ⊂β，故A 错误；在B 中，若α⊥β，m ⊂α，n ⊂β，则m 与n 相交、平行或异面，故B 错误；在C 中，若m ⊥α且α∥β，则由线面垂直的判定定理得m ⊥β，故C 正确；在D 中，若m 不垂直于α，且n ⊂α，则m 有可能垂直于n ，故D 错误．故选：C ．6．C 【解析】由三视图可知，该几何体为三棱锥，其直观图如图， 则其体积114(22)2323V =⨯⨯⨯⨯=，故选C 。

7．C 【解析】若p 成立，则39x -≤≤；若q 成立，则11m x m -≤≤+， 因为q 是p 的必要不充分条件，所以p 是q 的充分不必要条件，所以8m ≥.8．B 【解析】始值S =0,m =1,进入循环,S =2,m =2; S =10,m =3; S =34,m =4; S =98,m =5; S =258,m =6, 此时S >100,不满足循环条件,退出循环．输出的m 的值为6,故选B ．9．D 【解析】因为勾股比为1∶√3,不妨设勾为1,则股为√3,大正方形的边长为2,小正方形的边长为31．设落在黄色图形内的图钉数为n ,则有2(31)1000n -=n ≈134． 10．D 【解析】因为211cos 231()sin 3cos 2222x f x x x x x -=++=++=sin(2)1,6x π-+所以函数()f x 的最大值为2，最小正周期为π，故A 、B 不正确；由2,6x k k Z ππ-=∈得,212k x k Z ππ=+∈，当1k =时712x π=，所以函数()f x 的图象关于点7(,1)12π对称，故C 不正确；由2,62x k k Z πππ-=+∈，得,23k x k Z ππ=+∈，所以函数的图象关于直线3x π=对称，故D 正确．故选D ．()f x11．A 【解析】方法一：如图，在平行四边形ABCD 中，因为2,1,1AB AD AB AD ==⋅=-，所以2cos 1BAD ⨯∠=-，所以1cos 2BAD ∠=-，又(0,)BAD π∠∈，所以23BAD π∠=，设(02)MD t t =≤≤，则()()()()MA MB MD AD MC BC MD AD MC AD ⋅=-⋅-=-⋅-2(2)cos(2)cos133t t t t ππ=-----+ ，当0t =时，MA MB ⋅取得最大值，为2，故选A ．方法二：以A 为坐标原点，AB 所在的直线为x 轴，建立如图所示的 平面直角坐标系．因为2,1,1AB AD AB AD ==⋅=-，所以2cos 1BAD ⨯∠=-，所以1cos 2BAD ∠=-，又(0,)BAD π∠∈，所以23BAD π∠=，所以3313(0,0),(2,0),(,(,2222A B C D -，设313(,222M m m -≤≤，所以3(,),MA m =-，所以23(2)()MA MB m m ⋅=--+ ，当12m =-时，MA MB ⋅取得最大值，为2，故选A ． 12．B 【解析】由2BA BD BC =⋅知BA BCBD BA=，又ABD ABC ∠=∠，故ABD ∆∽ABC ∆，从而BAD ACB ∠=∠，又由2AEB BAD ∠=∠可知9AE EC ==，于是15BE =，而12AB =，在ABE ∆中，由余弦定理可算得4cos 5B =，进而得3sin 5B =. 1sin 32.42ADE ABE ABD S S S AB DE B ∆∆∆=-=⋅= 13．4【解析】作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示,作出直线3x +2y =0并平移,由图知当直线2MD MC MD AD AD MC AD =⋅-⋅-⋅+223132()24t t t =-+=--3(2,2MB m =--2324m m =-+21(1)4m =--3x+2y - z=0经过点A(0,2)时,z=3x+2y取得最小值,即z min=3×0+2×2=4．14．68【详解】平均分是每个小长方形的面积乘以每个小长方形底边中点横坐标的和．⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=．∴平均分为：300.00520500.0120700.0220900.015206815．3010【解析】取BC 的中点D ，连接D 1F 1，F 1D,∴D 1B ∥DF 1,∴∠DF 1A或其补角就是BD 1与AF 1所成角,设BC ＝CA ＝CC 1＝2，则AD 5=AF 15=DF 16=在△DF 1A 中，由余弦定理得cos ∠DF 1A 3010=，16．15π【解析】翻折后所得的四面体ABCD 的直观图如图所示，易知AD ⊥平面,3,3BCD AD BD BC CD ====，设BCD ∆的重心为G ，则3233,23DG =⨯= 外接球的半径2231532R =+=（）（）2415R ππ=．17．【解析】() 1选两名代表发言一共有()()()(),,,,,,,A B A C A D A E ,()()(),,,,,A F B C B D ,()()()(),,,,,,,,B E B F C D C E ()()()(),,,,,,,C F D E D F E F 共15种情况，---------3分 其中A 被选中的情况是()()()()(),,,,,,,,,A B A C A D A E A F 共5种.所以A 被选中的概率为51153=. ------------------------6分()2不妨设, , , A B C D 四位同学为男同学,则没有女同学被选中的情况是: ()()(),,,,,,A B A C A D ()()(),,,,,B C B D C D 共6种， 则至少有一名女同学被选中的概率为631155-=. ------------------------10分18．解：（1）210,2,n n n a S a a >=+∴当1n =时，21112S a a =+，则11a =，∴当2n ≥时，2211122n n n n n n n a a a a a S S ---++=-=-，即111()(1)0,n n n n n n a a a a a a ---+--=∴=-或11n n a a -=+，1(1)n n a -∴=-或n a n =．------------------------6分（2）11110,,()(2)22n n n a a n b n n n n >∴===-++111111(1)()()23242n T n n ⎡⎤∴=-+-++-⎢⎥+⎣⎦1111323(1)221242(1)(2)n n n n n +=+--=-++++------------------------12分19．【解析】（1）由题意可知x =245513++++=3，234475y ++++==4，51122334445771i i i x y ==⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=∑，522222211234555i i x ==++++=∑，∴5152221715341.155535ˆ5i i i i i x y x yb x x ==---⨯⨯===-⨯∑∑，∴4 1.130.7ˆa y bx =-=-⨯=，∴所求回归直线的方程为ˆy =1.10.7x +．------------------------8分（2）在（1）中的方程中，令8x =，得ˆy =1.180.7⨯+=9.5，故如果该企业某年研发费用投入8百万元， 预测该企业获得年利润为9.5百万元．-------------12分20．解：（1）,cos (2)cos 0m n B a c C b ⊥∴⋅++⋅=，cos (2sin sin )cos sin 0B A C C B ∴⋅++⋅=，2cos sin (sin cos cos sin )sin()sin B A C B C B B C A ∴=-⋅+⋅=-+=-， 12cos ,23B B π∴=-∴=，故角B 的大小为23π．------------------------6分（2）根据余弦定理可知2222cos b a c ac B =+-22236,36()a c ac a c ac ∴=++∴=+-，2223()36(),()36,624a c a c ac a c a c +∴+-=≤∴+≤∴<+≤则ABC ∆的周长的取值范围是(12,6+．------------------------12分21．【解析】（1）证明：∵2AD DE ==,90ADE ∠=︒∴AE BE ==,4AB =,∴222AE BE AB +=,∴AE BE ⊥又平面ADE ⊥平面ABCE ,平面ADE 平面ABCE AE =,∴BE ⊥平面ADE ，又AD ⊂平面ADE ，所以AD BE ⊥，又AD DE ⊥，DE BE E ⋂=，所以AD ⊥平面BDE .------------------------5分（2）作AE 的中点O ,连结DO ,∵DA DE =,∴DO AE ⊥,又平面ADE ⊥平面ABCE ,∴DO ⊥平面ABCE ,过E 作直线//EF DO , 以EA 、EB 、EF 分别为为x 轴,y 轴,z 轴建立空间直角坐标系则(0,0,0),(0,E A B D ,(C 平面ADE 的法向量1//n EB ,∴1(0,1,0)n =又(2,CB=,(DB =-,设平面BDC 的法向量为()2,,n x y z =, 2200n CB n DB ⎧⋅=⎪∴⎨⋅=⎪⎩,00+=∴+=⎪⎩,即020x y x y z +=⎧⎨-+-=⎩∴平面BDC 的法向量2(1,1,3)n =--121212cos ,11nn n n n n ⋅∴===⋅⨯∴平面ADE 与平面BDC所成锐二面角的余弦值为11．------------------------12分22．解：（1）设曲线E 上任意一点坐标为(,)x y ，=整理得22410x y x +-+=，即22(2)3x y -+=．------------------------4分 （2）由题意知12l l ⊥，且两条直线均过定点(1,0)N ，设曲线E 的圆心为E ，则(2,0)E ，线段CD 的中点为P ，则直线:2EP y x =-， 设直线:CD y x t =-+，由2y x yx t =-⎧⎨=-+⎩得点22(,)22t t P +-，由圆的几何性质得12NP CD ==而22222222(1)(),3,22t t NP ED EP +-=-+==，解得0t =或3t =，又,C D 两点均在x 轴下方，所以直线:CD y x =-，由22410x y x y x ⎧+-+=⎨=-⎩，解得1212x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩或1212x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩，不失一般性，设(11),(1,1)2222C D --+--，由22410(1)x y x y u x ⎧+-+=⎨=-⎩，消去y 得2222(1)2(2)10u x u x u +-+++= ① 方程①的两根之积为1，所以点A的横坐标2A x = 又因为点C (11)22--在直线1:10l x my --=上，解得1m =，直线1:1)(1)l y x =-，所以(2A +，同理可得(2B ， 所以线段AB的长为 ------------------------12分。