2016年普通高等学校招生全国统一考试·高考全国卷2甲卷 (理科数学)
(完整word版)2016全国二卷理科数学高考真题及答案
2016年全国高考理科数学试题全国卷2一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1、已知z=(m+3)+(m –1)i 在复平面内对应的点在第四象限，则实数m 的取值范围是( ) A ．(–3,1) B ．(–1,3) C ．(1,+∞) D ．(–∞,–3) 2、已知集合A={1,2,3}，B={x|(x+1)(x –2)<0，x ∈Z}，则A ∪B=( ) A ．{1} B ．{1,2} C ．{0,1,2,3} D ．{–1,0,1,2,3} 3、已知向量a =(1,m)，b =(3,–2)，且(a +b )⊥b ，则m=( ) A ．–8 B ．–6 C ．6 D ．8 4、圆x 2+y 2–2x –8y+13=0的圆心到直线ax+y –1=0的距离为1，则a=( ) A ．–43 B ．–34 C ． 3 D ．25、如下左1图，小明从街道的E 处出发，先到F 处与小红会合，再一起到位于G 处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为( ) A ．24 B ．18 C ．12 D ．96、上左2图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为( ) A ．20π B ．24π C ．28π D ．32π7、若将函数y=2sin2x 的图像向左平移π12个单位长度，则平移后图象的对称轴为( ) A ．x=kπ2–π6(k ∈Z) B ．x=kπ2+π6(k ∈Z) C ．x=kπ2–π12(k ∈Z) D ．x=kπ2+π12(k ∈Z)8、中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，上左3图是实现该算法的程序框图。
执行该程序框图，若输入的x=2，n=2，依次输入的a 为2，2，5，则输出的s=( )A ．7B ．12C ．17D ．34 9、若cos(π4–α)=35，则sin2α= ( )A ．7B ．1C ．–1D ．–7中两数的平方和小于1的数对共有m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为( ) A ．4n m B ．2n m C ．4m n D ．2m n11、已知F 1、F 2是双曲线E ：x 2a 2–y 2b 2=1的左，右焦点，点M 在E 上，MF 1与x 轴垂直，sin ∠MF 2F 1=13,则E 的离心率为( )A ． 2B ．32 C ．3 D ．212、已知函数f(x)(x ∈R)满足f(–x)=2–f(x)，若函数y=x+1x 与y=f(x)图像的交点为(x 1,y 1)，(x 2,y 2)，...(x m ,y m )，则1()miii x y =+=∑( )A ．0B ．mC ．2mD ．4m 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分13、△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cosA=45，cosC=513，a=1，则b=___________． 14、α、β是两个平面，m ，n 是两条直线，有下列四个命题：(1)如果m ⊥n ，m ⊥α，n ∥β，那么α⊥β。
2016全国卷2高考试题及答案-理科数学
新东方在线高考网（/）2016年普通高等学校招生全国统一考试理科数学注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至5页. 2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置. 3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效. 4. 考试结束后，将本试题和答题卡一并交回.第Ⅰ卷一. 选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）已知(3)(1)i z m m =++-在复平面内对应的点在第四象限，则实数m 的取值范围是（A ）(31)-， （B ）(13)-，（C ）(1,)∞+（D ）(3)∞--， （2）已知集合{1,}A =2,3，{|(1)(2)0,}B x x x x =+-<∈Z ，则A B =（A ）{1}（B ）{12}，（C ）{0123}，，，（D ）{10123}-，，，， （3）已知向量(1,)(3,2)m =-，=a b ，且()⊥a +b b ，则m = （A ）－8 （B ）－6 （C ）6 （D ）8（4）圆2228130x y x y +--+=的圆心到直线10ax y +-= 的距离为1，则a= （A ）43-（B ）34-（C （D ）2（5）如图，小明从街道的E 处出发，先到F 处与小红会合，再一起到位于G 处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为（A ）24 （B ）18 （C ）12 （D ）9新东方在线高考网（/）（6）右图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为（A ）20π （B ）24π （C ）28π （D ）32π（7）若将函数y =2sin 2x 的图像向左平移π12个单位长度，则评议后图象的对称轴为（A ）x =k π2–π6 (k ∈Z ) （B ）x =k π2+π6 (k ∈Z ) （C ）x =k π2–π12 (k ∈Z ) （D ）x =k π2+π12(k ∈Z )（8）中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，右图是实现该算法的程序框图.执行该程序框图，若输入的x =2，n =2，依次输入的a 为2，2，5，则输出的s =（A ）7 （B ）12 （C ）17 （D ）34 （9）若cos(π4–α)= 35，则sin 2α=（A ）725 （B ）15 （C ）–15 （D ）–725新东方在线高考网（/）（10）从区间[]0,1随机抽取2n 个数1x ,2x ，…，n x ，1y ，2y ，…，n y ，构成n 个数对()11,x y ，()22,x y ，…，(),n n x y ，其中两数的平方和小于1的数对共有m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π 的近似值为（A ）4n m （B ）2n m （C ）4m n （D ）2mn（11）已知F 1，F 2是双曲线E 22221x y a b-=的左，右焦点，点M 在E 上，M F 1与x 轴垂直，sin 2113MF F ∠= ,则E 的离心率为（A（B ）32（C ） （D ）2（12）已知函数()()f x x ∈R 满足()2()f x f x -=-，若函数1x y x+=与()y f x =图像的交点为1122(,),(,),,(,),m m x y x y x y ⋅⋅⋅ 则1()miii x y =+=∑（A ）0 （B ）m （C ）2m （D ）4m第II 卷本卷包括必考题和选考题两部分.第(13)题~第(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答.第(22)题~第(24)题为选考题，考生根据要求作答. 二、填空题：本大题共3小题，每小题5分(13)△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若cos A =45，cos C =513，a =1，则b = .(14)α、β是两个平面，m 、n 是两条直线，有下列四个命题：（1）如果m ⊥n ，m ⊥α，n ∥β，那么α⊥β. （2）如果m ⊥α，n ∥α，那么m ⊥n .（3）如果α∥β，m ⊂α，那么m ∥β.（4）如果m ∥n ，α∥β，那么m 与α所成的角和n 与β所成的角相等. 其中正确的命题有 .(填写所有正确命题的编号）（15）有三张卡片，分别写有1和2，1和3，2和3。
2016全国2(甲卷)高考数学(理)试题
2016年普通高等学校招生全国统一考试理科数学注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至5页. 2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置. 3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效. 4.考试结束后，将本试题和答题卡一并交回.第Ⅰ卷一. 选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）已知(3)(1)i z m m =++-在复平面内对应的点在第四象限，则实数m 的取值范围是（A ）(31)-， （B ）(13)-，（C ）(1,)∞+（D ）(3)∞--， （2）已知集合{1,}A =2,3，{|(1)(2)0,}B x x x x =+-<∈Z ，则A B =（A ）{1}（B ）{12}，（C ）{0123}，，，（D ）{10123}-，，，， （3）已知向量(1,)(3,2)m =-，=a b ，且()⊥a +b b ，则m = （A ）－8（B ）－6 （C ）6 （D ）8（4）圆2228130x y x y +--+=的圆心到直线10ax y +-= 的距离为1，则a=B ）34-（CD ）2（5）如图，小明从街道的E 处出发，先到F 处与小红会合，再一起到位于G 处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为（A ）24 （B ）18 （C ）12 （D ）9（6）右图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为（A ）20π （B ）24π （C ）28π （D ）32π（7）若将函数y =2sin 2x 的图像向左平移π12个单位长度，则评议后图象的对称轴为（A ）x =k π2–π6 (k ∈Z ) （C ）x =k π2–π12 (k ∈Z ) （D ）x =k π2+π12(k ∈Z )（8）中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，右图是实现该算法的程序框图.执行该程序框图，若输入的x =2，n =2，依次输入的a 为2，2，5，则输出的s =（A ）7 （B ）12 （C ）17 （D ）34 （9）若cos(π4–α)=35，则sin 2α=（A ）725 （B ）15 （C（10）从区间[]0,1随机抽取2n 个数1x ,2x ，…，n x ，1y ，2y ，…，n y ，构成n 个数对()11,x y ，()22,x y ，…，(),n n x y ，其中两数的平方和小于1的数对共有m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为（A ）4n m （B ）2n m （C（11）已知F 1，F 2是双曲线E 22221x y a b-=的左，右焦点，点M 在E 上，M F 1与x 轴垂直，sin 2113MF F ∠=,则E 的离心率为（B ）32（C （D ）2（12）已知函数()()f x x ∈R 满足()2()f x f x -=-，若函数1x y x+=与()y f x =图像的交点为1122(,),(,),,(,),m m x y x y x y ⋅⋅⋅则1()miii x y =+=∑（A ）0 （B ）m （C ）2m （D ）4m第II 卷本卷包括必考题和选考题两部分.第(13)题~第(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答.第(22)题~第(24)题为选考题，考生根据要求作答. 二、填空题：本大题共3小题，每小题5分(13)△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若cos A =45，cos C =513，a=1，则b (14)α、β是两个平面，m 、n 是两条直线，有下列四个命题：（1）如果m ⊥n ，m ⊥α，n ∥β，那么α⊥β. （2）如果m ⊥α，n ∥α，那么m ⊥n . （3）如果α∥β，m ⊂α，那么m ∥β.（4）如果m ∥n ，α∥β，那么m 与α所成的角和n 与β所成的角相等. 其中正确的命题有.(填写所有正确命题的编号）（15）有三张卡片，分别写有1和2，1和3，2和3。
2016年高考全国2卷理科数学及答案
绝密★启用前2016年普通高等学校招生全国统一考试理科数学 全国II 卷（全卷共12页）(适用地区：贵州,甘肃,青海,西藏,黑龙江,吉林,辽宁,宁夏,新疆,内蒙古,云南,重庆,陕西,海南)注意事项：1． 本试卷分第I 卷(选择题)和第II 卷(非选择题)两部分。
2． 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
3． 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答案卡一并交回。
第I 卷一、 选择题：本题共12小题，每小题5分。
在每个小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的。
（1） 已知i m m z )1()3(−++=在复平面内对应的点在第四象限，则实数m 的取值范围是（A ）（3−,1） （B ）（1−,3） （C ）（1,∞+） （D ）（∞−,3−） （2） 已知集合{}3,2,1=A ，{}Z x x x x B∈<−+=，0)2)(1(，则=B A（A ）{}1 （B ）{}2,1 （C ）{}3,2,1,0 （D ）{}3,2,1,0,1− （3） 已知向量),1(m a =，)2,3(−=b 且b b a ⊥+)(，则=m（A ）8− （B ）6− （C ）6 （D ）8 （4） 圆0138222=+−−+y x y x的圆心到直线01=−+y ax 的距离为1，则=a（A ）34−（B ）43− （C ）3 （D ）2（5） 如图，小明从街道的E 处出发，先到F 处与小红会合，再一起到位于G 处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为 （A ）24 （B ）18 （C ）12 （D ）9（6） 右图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为（A ）20π （B ）24π （C ）28π （D ）32π（7） 若将函数x y 2sin 2=的图像向左平移12π个单位长度，则平移后图像的对称轴为 （A ）)(62Z k k x ∈−=ππ （B ）)(62Z k k x ∈+=ππ（C ）)(122Z k k x ∈−=ππ （D ）)(122Z k k x ∈+=ππ（8） 中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，右图是实现该算法的程序框图.执行该程序框图，若输入的2=x ，2=n ,依次输入的a 为2，2，5，则输出的=s（A ）7 （B ）12（C ）17 （D ）34（9） 若53)4cos(=−απ，则=α2sin（A ）257（B ）51（C ）51− （D ）257−（10） 以从区间[]1,0随机抽取n 2个数n n y y y x x x ，⋯⋯,,,,,,2121，构成n 个数对),(),,(),,(2211n n y x y x y x ，⋯，其中两数的平方和小于1的数对共有m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为 （A ）n 4 （B ）n 2 （C ）m 4 （D ）m 2否是 0,0==s kn k >输入n x ,输出s开始 结束输入a1+=+⋅=k k ax s s（11） 已知21,F F 是双曲线E ：12222=−by a x 的左,右焦点，点M 在E 上，1MF 与x 轴垂直，31sin 12=∠F MF ，则E 的离心率为 （A ）2 （B ）23（C ）3 （D ）2（12） 已知函数))((R x x f ∈满足)(2)(x f x f −=−，若函数xx y 1+=与)(x f y =图像的交点为),(,),,(),,(2211m m y x y x y x ⋯，则=+∑=mi i i y x 1)(（A ）0 （B ）m （C ）m 2 （D ）m 4第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。
2016年高考理科数学全国新课标Ⅱ卷答案及解析
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知 在复平面内对应的点在第四象限，则实数m的取值范围是
（A） （B） （C） （D）
2.已知集合 ， ，则
（A） （B）
（C） （D）
3.已知向量 ，且 ，则m=
（A） （B） （C）6（D）8
（A） （B） （C） （D）2
12.已知函数 满足 ，若函数 与 图像的交点
为 ， ，⋯， ，则 （）
（A）0（B）m（C）2m（D）4m
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分．第13~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22~24题为选考题。考生根据要求作答。
二、选择题：本题共4小题，每小题5分。
∴
∴
∵ ，
∴
∴
∴
∴
∴ ．
∴B，C，G，F四点共圆．
（Ⅱ）∵E为AD中点， ，
∴ ，
∴在 中， ，
连接 ， ，
∴ ．
23.【解析】解：⑴整理圆的方程得 ，
由 可知圆 的极坐标方程为 ．
记直线的斜率为 ，则直线的方程为 ，
由垂径定理及点到直线距离公式知： ，
即 ，整理得 ，则 ．
24.【解析】解：⑴当 时， ，若 ；
由图得 ， ，由勾股定理得： ，
，
故选C．
7.【解析】B
平移后图像表达式为 ，
令 ，得对称轴方程： ，
故选B．
8.【解析】C
第一次运算： ，
第二次运算： ，
第三次运算： ，
故选C．
9.【解析】D
∵ ， ，
故选D．
10.【解析】C
由题意得： 在如图所示方格中，而平方和小于1的点均在
2016年高考数学全国二卷(理科)完美版
2016年普通高等学校招生全国统一考试理科数学本试题由专业数学文化传播平台“科学的皇后”（微信号：SQ-math ）整理发布。
注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至5页. 2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置. 3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效.4. 考试结束后，将本试题和答题卡一并交回.第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）已知(3)(1)i z m m =++-在复平面内对应的点在第四象限，则实数m 的取值范围是（A ）()31-，（B ）()13-，（C ）()1,∞+（D ）()3∞--，（2）已知集合{1,23}A =,，{|(1)(2)0}B x x x x =+-<∈Z ，，则AB =（A ）{}1（B ）{12}，（C ）{}0123，，，（D ）{10123}-，，，， （3）已知向量(1,)(3,2)a m b =-，=，且()a b b +⊥，则m = （A ）8- （B ）6- （C ）6 （D ）8（4）圆2228130x y x y +--+=的圆心到直线10ax y +-= 的距离为1，则a=（A ）43- （B ）34- （C 3 （D ）2（5）如图，小明从街道的E 处出发，先到F 处与小红会合，再一起到位于G 处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为（A ）24 （B ）18 （C ）12 （D ）9（6）右图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为（A ）20π （B ）24π （C ）28π （D ）32π （7）若将函数y =2sin 2x 的图像向左平移π12个单位长度，则平移后图象的对称轴为 （A ）()ππ26k x k =-∈Z （B ）()ππ26k x k =+∈Z （C ）()ππ212Z k x k =-∈ （D ）()ππ212Z k x k =+∈ （8）中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，右图是实现该算法的程序框图.执行该程序框图，若输入的2x =，2n =，依次输入的a 为2，2，5，则输出的s =（A ）7 （B ）12 （C ）17 （D ）34（9）若π3cos 45α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则sin 2α=（A ）725（B ）15（C ）15-（D ）725-（10）从区间[]0,1随机抽取2n 个数1x ,2x ，…，n x ，1y ，2y ，…，n y ，构成n 个数对()11,x y ，()22,x y ，…，(),n n x y ，其中两数的平方和小于1的数对共有m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π 的近似值为（A ）4n m （B ）2n m （C ）4m n （D ）2mn（11）已知1F ，2F 是双曲线E ：22221x y a b-=的左，右焦点，点M 在E 上，1MF 与x 轴垂直，sin 2113MF F ∠= ,则E 的离心率为 （A（B ）32（C（D ）2 （12）已知函数()()R f x x ∈满足()()2f x f x -=-，若函数1x y x+=与()y f x =图像的交点 为()11x y ，，()22x y ，，⋯，()m m x y ，，则()1mi i i x y =+=∑（ ）（A ）0 （B ）m （C ）2m （D ）4m第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第13~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22~24题为选考题，考生根据要求作答．（13）ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若4cos 5A =，5cos 13C =，1a =，则b = ．（14）α，β是两个平面，m ，n 是两条线，有下列四个命题：①如果m n ⊥，m α⊥，n β∥，那么αβ⊥． ②如果m α⊥，n α∥，那么m n ⊥． ③如果a β∥，m α⊂，那么m β∥．④如果m n ∥，αβ∥，那么m 与α所成的角和n 与β所成的角相等．（15）有三张卡片，分别写有1和2，1和3，2和3．甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是（16）若直线y kx b =+是曲线ln 2y x =+的切线，也是曲线()ln 1y x =+的切线，b = ．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．（17）（本小题满分12分）n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，且11a =，728S =．记[]lg n n b a =，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，如[]0.90=，[]lg991=． （Ⅰ）求1b ，11b ，101b ；（Ⅱ）求数列{}n b 的前1000项和．（18）（本小题满分12分）某险种的基本保费为a （单位：元），继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下：（Ⅰ）求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率；（Ⅱ）若一续保人本年度的保费高于基本保费，求其保费比基本保费高出60%的概率； （Ⅲ）求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值．（19）（本小题满分12分）如图，菱形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ，5AB =，6AC =，点E ，F 分别在AD ，CD 上，54AE CF ==，EF 交BD 于点H .将△DEF 沿EF 折到△D EF '的位置10OD '=. （I ）证明：D H '⊥平面ABCD ； （II ）求二面角B D A C '--的正弦值.（20）（本小题满分12分）已知椭圆E :2213x y t +=的焦点在x 轴上，A 是E 的左顶点，斜率为(0)k k >的直线交E 于A ，M 两点，点N 在E 上，MA ⊥NA.（I ）当4t =，AM AN =时，求△AMN 的面积； （II ）当2AM AN =时，求k 的取值范围.（21）（本小题满分12分） (I)讨论函数2(x)e 2xx f x -=+的单调性，并证明当0x >时，(2)e 20;x x x -++> (II)证明：当[0,1)a ∈ 时，函数()2e =(0)x ax ag x x x--> 有最小值.设()g x 的最小值为()h a ，求函数()h a 的值域.请考生在22、23、24题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,做答时请写清题号 （22）（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，在正方形ABCD ，E ，G 分别在边DA ，DC 上（不与端点重合），且DE =DG ，过D 点作DF ⊥CE ，垂足为F .(I) 证明：B ，C ，G ，F 四点共圆；(II)若1AB =，E 为DA 的中点，求四边形BCGF 的面积.（23）（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程在直线坐标系xOy 中，圆C 的方程为()22625x y ++=．（I ）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C 的极坐标方程；（II ）直线l 的参数方程是cos sin x t y t αα=⎧⎨=⎩（t 为参数），l 与C 交于A 、B 两点，10AB =，求l 的斜率．（24）（本小题满分10分），选修4—5：不等式选讲 已知函数()1122f x x x =-++，M 为不等式()2f x <的解集. （I ）求M ；（II ）证明：当a ，b M ∈时，1a b ab +<+．。
(完整word)2016年高考理科数学全国2卷(附答案)
12B-SX-0000014(5)如图，小明从街道的 E 处出发，先到F 处与小红会合，再一起到位于 G 处_ -2016年普通高等学校招生全国统一考试_ - 理科数学全国II 卷_ - (全卷共12页) 号-(适用地区：贵州，甘肃,青海，西藏,黑龙江，吉林，辽宁，宁夏，新疆,内蒙古，云南，重庆，陕西，海南) 学 - 注意事项： 1.本试卷分第I 卷(选择题)和第II 卷(非选择题)两部分。
2 .答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
3. 回答选择题时，选岀每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
4. 考试结束后，将本试卷和答案卡一并交回。
第I 卷姓-一、选择题：本题共12小题，每小题5分。
在每个小题给出的四个选项中，只- 有一项是符合题目要求的。
班-(1)已知z (m 3) (m 1)i 在复平面内对应的点在第四象限，则实数 m 的(A )( 3, 1) (B ) (1,3) (C ) (1, )(D )( ,3 )(2) 已知集合 A 1,2,3， B x(x 1)(x 2) 0, x Z ，则 A B(A )(B ) 1,2 (C ) 0,1,2,3(D ) 1,0,1,2,3(3)已知向量a (1,m)， b (3, 2) 且(a b) b ， 则 m(A )8(B )6 (C )6(D ) 8(4)圆x2' 2y 2x 8y 13 0的圆心到直 线axy 1 0的距离为1，则a(A )4(B )3 (C ) 「3(D ) 2取值范围是34线 封 密 的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数 为(A) 24 (B) 18 (C ) 12 (D )9(6)右图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为(A) 20 n(B) 24 n (C) 28 n (D) 32 n12称轴为(A) xk (k Z) (B ) xk (k Z )2 62 6(C ) xk (k Z)(D ) xk (k Z)212212(7)若将函数y 2sin2x 的图像向左平移一个单位长度，则平移后图像的对(8)中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，右图是实现该算法的程序框图•执行该程序框图，若输入的x 2，n 2,依次输入的a 为2, 2, 5，则输出绝密★启用前12B-SX-0000014(12) 已知函数f(x)(x R)满足f( x) 2 f(x)，若函数y -一1与xmy f(x)图像的交点为(儿$1),(屜"2)，，(冷必)，则(x y i)i 1(A) 0 (B) m(C) 2m (D) 4m第H卷本卷包括必考题和选考题两部分。
数学-2016年高考真题——全国Ⅱ卷(理)(word版含答案)
2016年普通高等学校招生全国统一考试理科数学注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至5页. 2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置. 3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效.4. 考试结束后，将本试题和答题卡一并交回.第Ⅰ卷一. 选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）已知(3)(1)i z m m =++-在复平面内对应的点在第四象限，则实数m 的取值范围 是( )（A ）(31)-， （B ）(13)-， （C ）(1,)∞+ （D ）(3)∞--，（2）已知集合{1,}A =2,3，{|(1)(2)0,}B x x x x =+-<∈Z ，则AB =( )（A ）{1}（B ）{12}，（C ）{0123}，，， （D ）{10123}-，，，， （3）已知向量(1,)(3,2)m =-，=a b ，且()⊥a +b b ，则m =( )（A ）－8 （B ）－6 （C ）6 （D ）8（4）圆2228130x y x y +--+=的圆心到直线10ax y +-=的距离为1，则a=( )（A ）43-（B ）34- （C （D ）2 （5）如图，小明从街道的E 处出发，先到F 处与小红会合，再一起到位于G 处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为( )（A ）24 （B ）18 （C ）12 （D ）9 （6）右图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为( ) （A ）20π （B ）24π （C ）28π（D ）32π（7）若将函数y =2sin 2x 的图像向左平移π12个单位长度，则平移后图象的对称轴为( ) （A ）x =k π2–π6 (k ∈Z )（B ）x =k π2+π6 (k ∈Z )（C ）x =k π2–π12(k ∈Z )（D ）x =k π2+π12(k ∈Z )（8）中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，右图是实现该算法的程序框图.执行该程序框图，若输入的x =2，n =2，依次输入的a 为2，2，5，则输出的s =( )（A ）7 （B ）12 （C ）17 （D ）34 （9）若cos(π4–α)=35，则sin 2α=( )（A ）725 （B ）15 （C ）–15 （D ）–725（10）从区间[]0,1随机抽取2n 个数1x ,2x ，…，n x ，1y ，2y ，…，n y ，构成n 个数对()11,x y ，()22,x y ，…，(),n n x y ，其中两数的平方和小于1的数对共有m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π 的近似值为( )（A ）4n m （B ）2n m （C ）4m n （D ）2mn（11）已知F 1，F 2是双曲线E ：22221x y a b-=的左，右焦点，点M 在E 上，M F 1与x 轴垂直，sin 2113MF F ∠=,则E 的离心率为( )（A （B ）32（C （D ）2（12）已知函数()()f x x ∈R 满足()2()f x f x -=-，若函数1x y x+=与()y f x =图像的交点为1122(,),(,),,(,),m m x y x y x y ⋅⋅⋅ 则1()miii x y =+=∑( )（A ）0 （B ）m （C ）2m （D ）4m第II 卷本卷包括必考题和选考题两部分.第(13)题~第(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答.第(22)题~第(24)题为选考题，考生根据要求作答. 二、填空题：本大题共3小题，每小题5分(13)△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若cos A =45，cos C =513，a =1，则b = . (14)α、β是两个平面，m 、n 是两条直线，有下列四个命题： （1）如果m ⊥n ，m ⊥α，n ∥β，那么α⊥β. （2）如果m ⊥α，n ∥α，那么m ⊥n . （3）如果α∥β，m ⊂α，那么m ∥β.（4）如果m ∥n ，α∥β，那么m 与α所成的角和n 与β所成的角相等. 其中正确的命题有 .(填写所有正确命题的编号）（15）有三张卡片，分别写有1和2，1和3，2和3.甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是 .（16）若直线y=kx +b 是曲线y =ln x +2的切线，也是曲线y =ln （x +2）的切线，则b = .三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17.（本题满分12分）n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，且7=128.n a S =，记[]=lg n n b a ，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，如[][]0.9=0lg99=1，. （I ）求111101b b b ，，；（II ）求数列{}n b 的前1 000项和.18.（本题满分12分）某险种的基本保费为a （单位：元），继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人的本年度的保费与其上年度的出险次数的关联如下：设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下：（I ）求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率；（II ）若一续保人本年度的保费高于基本保费，求其保费比基本保费高出60%的概率； （III ）求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值.19.（本小题满分12分）如图，菱形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ，AB =5，AC =6，点E ,F 分别在AD ,CD 上，AE =CF =54，EF 交BD 于点H .将△DEF 沿EF 折到△D EF '的位置，OD '=（I ）证明：D H '⊥平面ABCD ； （II ）求二面角B D A C '--的正弦值.20. （本小题满分12分）已知椭圆E :2213x y t +=的焦点在x 轴上，A 是E 的左顶点，斜率为的直线交E 于A ,M 两点，点N 在E 上，MA ⊥NA.（I ）当t =4，AM AN =时，求△AMN 的面积； （II ）当2AM AN =时，求k 的取值范围.（21）（本小题满分12分） (I)讨论函数2()e 2xx f x x -=+ 的单调性，并证明当x >0时，(2)e 20;x x x -++> (II)证明：当[0,1)a ∈ 时，函数2e =(0)x ax a g x x x -->（） 有最小值.设g （x ）的最小值为()h a ，求函数()h a 的值域.(0)k k >请考生在22、23、24题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,做答时请写清题号（22）（本小题满分10分）选修4-1：集合证明选讲如图，在正方形ABCD ，E ,G 分别在边DA ,DC 上（不与端点重合），且DE =DG ，过D 点作DF ⊥CE ，垂足为F .(I) 证明：B,C,E,F 四点共圆；(II)若AB =1，E 为DA 的中点，求四边形BCGF 的面积.（23）（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程 在直线坐标系xOy 中，圆C 的方程为.（I ）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C 的极坐标方程； （II ）直线l 的参数方程是（t 为参数）,l 与C 交于A 、B 两点，∣AB ∣= ，求l 的斜率.22(6)25x y ++=cos sin x t y t αα=⎧⎨=⎩（24）（本小题满分10分），选修4—5：不等式选讲 已知函数，M 为不等式的解集. （I ）求M ；（II ）证明：当时，．11()||||22f x x x =-++()2f x <,a b M ∈|||1|a b ab +<+参考答案一.选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. （1）【答案】A考点： 复数的几何意义. （2）【答案】C 【解析】试题分析：集合，而，所以，故选C.考点： 集合的运算. （3）【答案】D 【解析】试题分析：向量，由得，解得，故选D.考点： 平面向量的坐标运算、数量积. （4）【答案】A考点： 圆的方程、点到直线的距离公式. （5）【答案】B 【解析】B {x |1x 2,x Z}{0,1}=-<<∈=A {1,2,3}=A B {0,1,2,3}=a b (4,m 2)+=-(a b)b +⊥43(m 2)(2)0⨯+-⨯-=m 8=试题分析：由题意，小明从街道的E 处出发到F 处最短有条路，再从F 处到G 处最短共有条路，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为条，故选B.考点： 计数原理、组合. （6）【答案】C考点： 三视图，空间几何体的体积. （7）【答案】B 【解析】试题分析：由题意，将函数的图像向左平移个单位得，则平移后函数的对称轴为，即，故选B. 考点： 三角函数的图象变换与对称性. （8）【答案】C考点： 程序框图，直到型循环结构. （9）【答案】D 【解析】试题分析： ，且，故选D.考点：三角恒等变换. （10）【答案】C24C 13C 214318C C ⋅=2sin 2y x =12π2sin 2()2sin(2)126y x x ππ=+=+2,62x k k Z πππ+=+∈,62k x k Z ππ=+∈2237cos 22cos 12144525ππαα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=⋅-=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦cos 2cos 2sin 242ππααα⎡⎤⎛⎫⎡⎤-=-=⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎣⎦试题分析：利用几何概型，圆形的面积和正方形的面积比为，所以.选C. 考点： 几何概型. （11）【答案】A考点：双曲线的性质.离心率. （12）【答案】C 【解析】试题分析：由于，不妨设，与函数的交点为，故，故选C. 考点： 函数图象的性质二、填空题：本大题共3小题，每小题5分 (13)【答案】考点： 三角函数和差公式，正弦定理. (14) 【答案】②③④224S R mS R nπ==圆正方形4mnπ=()()2f x f x -+=()1f x x =+111x y x x+==+()()1,2,1,0-12122x x y y +++=2113试题分析：对于①，，则的位置关系无法确定，故错误；对于②,因为，所以过直线作平面与平面相交于直线，则，因为，故②正确；对于③，由两个平面平行的性质可知正确；对于④，由线面所成角的定义和等角定理可知其正确，故正确的有②③④. 考点： 空间中的线面关系. （15）【答案】1和3 【解析】试题分析：由题意分析可知甲的卡片上数字为1和3，乙的卡片上数字为2和3，丙卡片上数字为1和2. 考点： 推理.（16）【答案】考点： 导数的几何意义.三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17.【答案】（Ⅰ），， ；（Ⅱ）1893.,,//m n m n αβ⊥⊥,αβ//n αn γβc //n c ,,m m c m n α⊥∴⊥∴⊥1ln 2-10b =111b =1012b =考点：等差数列的的性质，前项和公式，对数的运算.18.【答案】（Ⅰ）根据互斥事件的概率公式求解；（Ⅱ）由条件概率公式求解；（Ⅲ）记续保人本年度的保费为，求的分布列为，在根据期望公式求解..考点： 条件概率，随机变量的分布列、期望. 19.【答案】（Ⅰ）详见解析；.n X X（II ）如图，以为坐标原点，的方向为轴的正方向，建立空间直角坐标系，则，，，，，，，.设是平面的法向量，则，即，所以可以取.设是平面的法向量，则，即，所以可以取.于是，因此二面角H HF x H xyz -()0,0,0H ()3,2,0A --()0,5,0B -()3,1,0C -()'0,0,3D (3,4,0)AB =-()6,0,0AC =()'3,1,3AD =()111,,m x y z ='ABD 'm AB m AD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩11111340330x y x y z -=⎧⎨++=⎩()4,3,5m =-()222,,n x y z ='ACD 'n AC n AD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩222260330x x y z =⎧⎨++=⎩()0,3,1n =-cos ,2550m n m n m n⋅<>===295sin ,m n <>=考点：线面垂直的判定、二面角. 20.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.（II ）由题意，，.将直线的方程代入得.由得，故.'B D A C --14449)3t >0k>()A AM (y k x =2213x y t +=()22222330tk xx t k t +++-=(22123tk x tk ⋅=+)21233tk x tk-=+1AM x =+=考点：椭圆的性质，直线与椭圆的位置关系.（21）【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）.【解析】试题分析：（Ⅰ）先求定义域，用导数法求函数的单调性，当时，证明结论；（Ⅱ）用导数法求函数的最值，在构造新函数，又用导数法求解.试题解析：（Ⅰ）的定义域为.且仅当时，，所以在单调递增， 因此当时， 所以21(,].24e (0,)x ∈+∞()(0)f x f >()g x 00h()2x e a x =+()f x (,2)(2,)-∞-⋃-+∞222(1)(2)(2)'()0,(2)(2)x x x x x e x e x e f x x x -+--==≥++0x ='()0f x =()f x (,2),(2,)-∞--+∞(0,)x ∈+∞()(0)1,f x f >=-(2)(2),(2)20xxx e x x e x ->-+-++>因为单调递增，对任意存在唯一的使得所以的值域是综上，当时，有，的值域是考点： 函数的单调性、极值与最值. （22）【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）.2x e x +21(,],24e λ∈0(0,2],x ∈0()[0,1),a f x =∈(),h a λ=()h a 21(,],24e [0,1)a ∈()g x ()h a ()h a 21(,].24e 12考点： 三角形相似、全等，四点共圆（23）【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.212cos 110ρρθ++=3±考点：圆的极坐标方程与普通方程互化， 直线的参数方程，点到直线的距离公式. （24）【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）详见解析. 【解析】考点：绝对值不等式，不等式的证明.{|11}M x x =-<<。
2016年高考真题——理科数学(全国Ⅱ卷)答案
2016年全国II 卷 理科数学参考答案(1)∴30m +>，10m -<，∴31m -<<， 故选A ．(2) ()(){}120Z B x x x x =+-<∈，{}12Z x x x =-<<∈，，∴{}01B =，， ∴{}0123AB =，，，，故选C ．(3) ()42a b m +=-，，∵()a b b +⊥， ∴()122(2)0a b b m +⋅=--=， 解得8m =，故选D ．(4)圆2228130x y x y +--+=化为标准方程为：()()22144x y -+-=，故圆心为()14，，1d ==，解得43a =-，故选A ．(5)E F →有6种走法，F G →有3种走法，由乘法原理知，共6318⨯=种走法，故选B ． (6)几何体是圆锥与圆柱的组合体，设圆柱底面圆半径为r ，周长为c ，圆锥母线长为l ，圆柱高为h ．由图得2r =，2π4πc r ==，由勾股定理得：4l ==，21π2S r ch cl =++表4π16π8π=++28π=，故选C ．(7)平移后图像表达式为π2sin 212y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， 令ππ2π+122x k ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，得对称轴方程： ()ππZ 26k x k =+∈，故选B ． (8) 第一次运算，2,2,2,1a s n k ====，不满足k n >;第二次运算，2,2226,a s ==⨯+=2k =，不满足k n >;第三次运算，5,62517,3a s k ==⨯+==，满足k n >，输出17s =，故选C ．(9)∵3cos 45πα⎛⎫-=⎪⎝⎭，πsin 2cos 22αα⎛⎫=- ⎪⎝⎭2π72cos 1425α⎛⎫=--=⎪⎝⎭，故选D ． (10)由题意得：()()12i i x y i n =⋅⋅⋅，，，，在如图所示方格中，而平方和小于1的点均在如图所示的阴影中，由几何概型概率计算公式知π41mn=，∴4πmn=，故选C ．(11)离心率1221F F e MF MF =-，由正弦定理得122112sin 31sin sin 13F F Me MF MF F F ====---．故选A ．(12)由()()2f x f x =-得()f x 关于()01，对称，而111x y x x+==+也关于()01，对称，对于每一组对称点'0i i x x += '=2i i y y +，∴()111022m m miiiii i i mx y x ym ===+=+=+⋅=∑∑∑， 故选B ． (13)∵4cos 5A =，5cos 13C =， 3sin 5A =，12sin 13C =，()sin sin B A C =+ 63sin cos cos sin 65A C A C =+=，由正弦定理得：sin sin b a B A =解得2113b =． (14)②③④(15)由题意得：丙不拿（2，3），若丙（1，2），则乙（2，3），甲（1，3）满足，若丙（1，3），则乙（2，3），甲（1，2）不满足，故甲（1，3）.(16)ln 2y x =+的切线为：111ln 1y x x x =⋅++（设切点横坐标为1x ） ()ln 1y x =+的切线为：()22221ln 111x y x x x x =++-++ ∴()122122111ln 1ln 11xx x x x x ⎧=⎪+⎪⎨⎪+=+-⎪+⎩解得112x =212x =- ∴1ln 11ln 2b x =+=-．(17) （Ⅰ）设{}n a 的公差为d ，74728S a ==，∴44a =，∴4113a a d -==， ∴1(1)n a a n d n =+-=．∴[][]11lg lg10b a ===，[][]1111lg lg111b a ===， [][]101101101lg lg 2b a ===．（Ⅱ）记{}n b 的前n 项和为n T ， 则1000121000T b b b =++⋅⋅⋅+[][][]121000lg lg lg a a a =++⋅⋅⋅+．当0lg 1n a <≤时，129n =⋅⋅⋅，，，； 当1lg 2n a <≤时，101199n =⋅⋅⋅，，，； 当2lg 3n a <≤时，100101999n =⋅⋅⋅，，，； 当lg 3n a =时，1000n =．∴1000091902900311893T =⨯+⨯+⨯+⨯=． (18) （Ⅰ）设续保人本年度的保费高于基本保费为事件A ，则()1()1(0.300.15)0.55P A P A =-=-+=．（Ⅱ）设续保人保费比基本保费高出60%为事件B ，则()0.100.053()()0.5511P AB P B A P A +===． （III ）解：设本年度所交保费为随机变量X ．平均保费0.850.300.15 1.250.20 1.5EX a a a a =⨯++⨯+⨯0.20 1.750.1020.05a a +⨯+⨯0.2550.15a a =+ 0.250.30.1750.1 1.23a a a a a ++++=，∴平均保费与基本保费比值为1.23． (19) （Ⅰ）证明：∵54AE CF ==，∴AE CFAD CD=， ∴EF AC ∥．∵四边形ABCD 为菱形， ∴AC BD ⊥，∴EF BD ⊥，∴EF DH ⊥，∴EF DH'⊥．∵6AC =，∴3AO =； 又5AB =，AO OB ⊥，∴4OB =， ∴1AEOH OD AO=⋅=，∴3DH D H '==， ∴222'OD OH D H '=+，∴'D H OH ⊥． 又∵OHEF H =，∴'D H ⊥面ABCD ．（Ⅱ）建立如图坐标系H xyz -．()500B ，，，()130C ，，，()'003D ，，，()130A -，，，()430AB =，，，()'133AD =-，，，()060AC =，，，设面'ABD 法向量()1n x y z =，，，由1100n AB n AD ⎧⋅=⎪⎨'⋅=⎪⎩得430330x y x y z +=⎧⎨-++=⎩，取345x y z =⎧⎪=-⎨⎪=⎩，∴()1345n =-，，． 同理可得面'AD C 的法向量()2301n =，，，∴12129cos5n n n n θ⋅===∴sin θ=． (20) （Ⅰ）当4t =时，椭圆E 的方程为22143x y +=， A 点坐标为(2,0)-，则直线AM 的方程为(2)y k x =+．联立()221432x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩并整理得， ()2222341616120k xk x k +++-=，解得2x =-或228634k x k -=-+，则222861223434k AMk k -=+=++因为AM AN ⊥，所以2121341AN k =⎛⎫+⋅- ⎪⎝⎭1243k k=+，因为AM AN =，0k >，212124343k k k=++，整理得()()21440k k k --+=，2440k k -+=无实根，所以1k =．所以AMN △的面积为221112144223449AM ⎫==⎪+⎭． （Ⅱ）直线AM 的方程为(y k x =，联立(2213x y t y k x ⎧+=⎪⎨⎪=⎩并整理得，()222223230tk xx t kt +++-=解得x =x =，所以AM ==，所以3AN k k=+，因为2AMAN =，所以23k k=+整理得，23632k kt k -=-．因为椭圆E 的焦点在x 轴，所以3t >，即236332k kk ->-，整理得()()231202k k k +-<-， 2k <<．(21) （Ⅰ）证明：()2e 2xx f x x -=+， ()()()22224e e 222xxx x f x x x x ⎛⎫-' ⎪=+= ⎪+++⎝⎭， ∵当x ∈()()22,-∞--+∞，时，()0f x '>，∴()f x 在()()22,-∞--+∞，和上单调递增， ∴0x >时，()2e 0=12xx f x ->-+， ∴()2e 20xx x -++>， （Ⅱ）()()()24e2e xx a x x ax a g x x ----'=()4e 2e 2x x x x ax a x -++=()322e 2x x x a x x-⎛⎫+⋅+⎪+⎝⎭=，[)01a ∈，，由(1)知，当0x >时，2()2xx f x e x -=⋅+的值域为(1,)-+∞，只有一解．使得2e 2tt a t -⋅=-+，(]02t ∈， 当(0,)x t ∈时()0g x '<，()g x 单调递减； 当(,)x t ∈+∞时()0g x '>，()g x 单调递增；()()()222e 1e e 12t ttt t a t t h a t t-++⋅-++==e 2t t =+，记()e 2tk t t =+， 在(]0,2t ∈时，()()()2e 102t t k t t +'=>+，∴()k t 单调递增，∴()()21e 24h a k t ⎛⎤=∈ ⎥⎝⎦，．(22) （Ⅰ）证明：∵DF CE ⊥， ∴DEF CDF △∽△， ∴G D F D EF BCF ∠=∠=∠，DF DE DGCF CD CB==，∴GDF BCF △∽△， ∴DGF CBF ∠=∠，∴180CGF CBF ∠+∠=， ∴,,,B C G F 四点共圆．（Ⅱ）由,,,B C G F 四点共圆，CG CB ⊥知FG FB ⊥，连接GB ，由G 为Rt DFC △斜边CD 的中点，知GF GC =，故Rt B C G R t B F G ≅△△，因此1112=21=222BCG BCGF S S =⨯⨯⨯△四边形. (23)解：（Ⅰ）整理圆的方程得2212110x y x +++=，由222cos sin x y x y ρρθρθ⎧=+⎪=⎨⎪=⎩可知圆C 的极坐标方程为 212cos 110ρρθ++=．（Ⅱ）记直线的斜率为k ，则直线的方程为0k x y -=，由垂径定理及点到直线距离公式知：=22369014k k =+， 整理得253k =，则k =(24)解：（Ⅰ）12,,21111()||||1,,222212,,2x x f x x x x x x ⎧-<-⎪⎪⎪=-++=-≤≤⎨⎪⎪>⎪⎩当12x <-时，()22f x x =-<，解得1x >-， 所以112x -<<-； 当1122x -≤≤时，()12f x =<， 所以1122x -≤≤； 当12x >时，()22f x x =<，解得1x <， 所以112x <<． 综上可得，{}|11M x x =-<<． （Ⅱ）()()221a b ab +-+()2222212a ab b ab a b =++-++ ()()()222221111a b a a b =-+-=--，11a -<<，11b -<<，∴201a ≤<，201b ≤<， ∴210a -<，210b ->， ∴()()221a b ab +<+，即1a b ab +<+.。
2016年高考高考真题---------理科数学(全国卷II) Word版含解析
2016年普通高等学校招生全国统一考试理科数学注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至5页. 2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置. 3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效.4. 考试结束后，将本试题和答题卡一并交回.第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）已知(3)(1)i z m m =++-在复平面内对应的点在第四象限，则实数m 的取值范围是（A ）()31-，（B ）()13-，（C ）()1,∞+（D ）()3∞--，【解析】A∴30m +>，10m -<，∴31m -<<，故选A ．（2）已知集合{1,23}A =,，{|(1)(2)0}B x x x x =+-<∈Z ，，则A B =（A ）{}1（B ）{12}，（C ）{}0123，，，（D ）{10123}-，，，， 【解析】C()(){}120Z B x x x x =+-<∈，{}12Z x x x =-<<∈，， ∴{}01B =，，∴{}0123A B = ，，，， 故选C ．（3）已知向量(1,)(3,2)a m b =- ，=，且()a b b +⊥，则m =（A ）8- （B ）6- （C ）6 （D ）8【解析】D()42a b m +=-，，∵()a b b +⊥ ，∴()122(2)0a b b m +⋅=--=解得8m =， 故选D ．（4）圆2228130x y x y +--+=的圆心到直线10ax y +-= 的距离为1，则a=（A ）43- （B ）34- （C （D ）2【解析】A圆2228130x y x y +--+=化为标准方程为：()()22144x y -+-=，故圆心为()14，，1d ==，解得43a =-，故选A ．（5）如图，小明从街道的E 处出发，先到F 处与小红会合，再一起到位于G 处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为（A ）24 （B ）18 （C ）12 （D ）9 【解析】BE F →有6种走法，F G →有3种走法，由乘法原理知，共6318⨯=种走法故选B ．（6）右图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为（A ）20π （B ）24π （C ）28π （D ）32π【解析】C几何体是圆锥与圆柱的组合体，设圆柱底面圆半径为r ，周长为c ，圆锥母线长为l ，圆柱高为h ．由图得2r =，2π4πc r ==，由勾股定理得：4l =，21π2S r ch cl =++表4π16π8π=++28π=，故选C ．（7）若将函数y =2sin 2x 的图像向左平移π12个单位长度，则平移后图象的对称轴为 （A ）()ππ26k x k =-∈Z （B ）()ππ26k x k =+∈Z （C ）()ππ212Z k x k =-∈ （D ）()ππ212Z k x k =+∈ 【解析】B平移后图像表达式为π2sin 212y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，令ππ2π+122x k ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，得对称轴方程：()ππ26Z k x k =+∈，故选B ．（8）中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，右图是实现该算法的程序框图.执行该程序框图，若输入的2x =，2n =，依次输入的a 为2，2，5，则输出的s =（A ）7 （B ）12 （C ）17 （D ）34 【解析】C第一次运算：0222s =⨯+=， 第二次运算：2226s =⨯+=， 第三次运算：62517s =⨯+=， 故选C ．（9）若π3cos 45α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则sin 2α=（A ）725（B ）15（C ）15-（D ）725-【解析】D∵3cos 45πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，2ππ7sin 2cos 22cos 12425ααα⎛⎫⎛⎫=-=--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选D ．（10）从区间[]0,1随机抽取2n 个数1x ,2x ，…，n x ，1y ，2y ，…，n y ，构成n 个数对()11,x y ，()22,x y ，…，(),n n x y ，其中两数的平方和小于1的数对共有m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π 的近似值为（A ）4n m （B ）2n m （C ）4m n （D ）2mn【解析】C由题意得：()()12i i x y i n =⋅⋅⋅，，，，在如图所示方格中，而平方和小于1的点均在 如图所示的阴影中由几何概型概率计算公式知π41m n=，∴4πmn=，故选C ．（11）已知1F ，2F 是双曲线E ：22221x y a b-=的左，右焦点，点M 在E 上，1MF 与x 轴垂直，sin 2113MF F ∠= ,则E 的离心率为 （A（B ）32（C（D ）2 【解析】A离心率1221F F e MF MF =-，由正弦定理得122112sin 31sin sin 13F F Me MF MF F F ====---． 故选A ．（12）已知函数()()R f x x ∈满足()()2f x f x -=-，若函数1x y x+=与()y f x =图像的交点 为()11x y ，，()22x y ，，⋯，()m m x y ，，则()1mi i i x y =+=∑（ ）（A ）0 （B ）m （C ）2m （D ）4m【解析】B由()()2f x f x =-得()f x 关于()01，对称， 而111x y x x+==+也关于()01，对称， ∴对于每一组对称点'0i i x x += '=2i i y y +， ∴()111022mmmi i i i i i i mx y x y m ===+=+=+⋅=∑∑∑，故选B ．第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第13~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22~24题为选考题，考生根据要求作答．（13）ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若4cos 5A =，5cos 13C =，1a =，则b = ． 【解析】2113∵4cos 5A =，5cos 13C =，3sin 5A =，12sin 13C =， ()63sin sin sin cos cos sin 65B AC A C A C =+=+=， 由正弦定理得：sin sin b a B A =解得2113b =．（14）α，β是两个平面，m ，n 是两条线，有下列四个命题：①如果m n ⊥，m α⊥，n β∥，那么αβ⊥． ②如果m α⊥，n α∥，那么m n ⊥． ③如果a β∥，m α⊂，那么m β∥．④如果m n ∥，αβ∥，那么m 与α所成的角和n 与β所成的角相等． 【解析】②③④（15）有三张卡片，分别写有1和2，1和3，2和3．甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是 【解析】 (1,3)由题意得：丙不拿（2，3），若丙（1，2），则乙（2，3），甲（1，3）满足， 若丙（1，3），则乙（2，3），甲（1，2）不满足， 故甲（1，3），（16）若直线y kx b =+是曲线ln 2y x =+的切线，也是曲线()ln 1y x =+的切线，b = ．【解析】 1ln2-ln 2y x =+的切线为：111ln 1y x x x =⋅++（设切点横坐标为1x ） ()ln 1y x =+的切线为：()22221ln 111x y x x x x =++-++ ∴()122122111ln 1ln 11x x x x x x ⎧=⎪+⎪⎨⎪+=+-⎪+⎩解得112x =212x =- ∴1ln 11ln 2b x =+=-．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． （17）（本小题满分12分）n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，且11a =，728S =．记[]lg n n b a =，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，如[]0.90=，[]lg991=． （Ⅰ）求1b ，11b ，101b ；（Ⅱ）求数列{}n b 的前1000项和．【解析】⑴设{}n a 的公差为d ，74728S a ==，∴44a =，∴4113a a d -==，∴1(1)n a a n d n =+-=． ∴[][]11lg lg10b a ===，[][]1111lg lg111b a ===，[][]101101101lg lg 2b a ===． ⑵记{}n b 的前n 项和为n T ，则1000121000T b b b =++⋅⋅⋅+[][][]121000lg lg lg a a a =++⋅⋅⋅+．当0lg 1n a <≤时，129n =⋅⋅⋅，，，；当1lg 2n a <≤时，101199n =⋅⋅⋅，，，；当2lg 3n a <≤时，100101999n =⋅⋅⋅，，，； 当lg 3n a =时，1000n =．∴1000091902900311893T =⨯+⨯+⨯+⨯=．（18）（本小题满分12分）某险种的基本保费为a （单位：元），继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下：（Ⅰ）求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率；（Ⅱ）若一续保人本年度的保费高于基本保费，求其保费比基本保费高出60%的概率； （Ⅲ）求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值． 【解析】 ⑴设续保人本年度的保费高于基本保费为事件A ，()1()1(0.300.15)0.55P A P A =-=-+=．⑵设续保人保费比基本保费高出60%为事件B ， ()0.100.053()()0.5511P AB P B A P A +===． ⑶解：设本年度所交保费为随机变量X ．平均保费0.850.300.15 1.250.20 1.50.20 1.750.1020.05EX a a a a a =⨯++⨯+⨯+⨯+⨯ 0.2550.150.250.30.1750.a a a a a a a =+++++=，∴平均保费与基本保费比值为1.23．（19）（本小题满分12分）如图，菱形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ，5AB =，6AC =，点E ，F 分别在AD ，CD 上，54AE CF ==，EF 交BD 于点H .将△DEF 沿EF 折到△D EF '的位置OD '=（I ）证明：DH'⊥平面ABCD ； （II ）求二面角B D A C '--的正弦值.【解析】⑴证明：∵54AE CF ==， ∴AE CFAD CD=， ∴EF AC ∥．∵四边形ABCD 为菱形， ∴AC BD ⊥， ∴EF BD ⊥， ∴EF D H ⊥，∴EF DH'⊥． ∵6AC =， ∴3AO =；又5AB =，AO OB ⊥， ∴4OB =， ∴1AEOH OD AO=⋅=， ∴3DH D H '==， ∴222'OD OH D H '=+， ∴'D H OH ⊥． 又∵OH EF H =I ， ∴'D H ⊥面ABCD ． ⑵建立如图坐标系H xyz -．()500B ，，，()130C ，，，()'003D ，，，()130A -，，，()430AB =u u u r ，，，()'133AD =-u u u r ，，，()060AC =u u u r ，，， 设面'ABD 法向量()1n x y z =，，u r，由1100n AB n AD ⎧⋅=⎪⎨'⋅=⎪⎩ 得430330x y x y z +=⎧⎨-++=⎩，取345x y z =⎧⎪=-⎨⎪=⎩， ∴()1345n =-u r，，．同理可得面'AD C 的法向量()2301n =u u r，，，∴1212cos n n n n θ⋅===u r u u ru r u u r∴sin θ=（20）（本小题满分12分）已知椭圆E :2213x y t +=的焦点在x 轴上，A 是E 的左顶点，斜率为(0)k k >的直线交E 于A ，M 两点，点N 在E 上，MA ⊥NA.（I ）当4t =，AM AN =时，求△AMN 的面积； （II ）当2AM AN =时，求k 的取值范围.【解析】 ⑴当4t =时，椭圆E 的方程为22143x y +=，A 点坐标为()20-，， 则直线AM 的方程为()2y k x =+．联立()221432x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩并整理得，()2222341616120k x k x k +++-= 解得2x =-或228634k x k -=-+，则222861223434k AM k k -=+=++ 因为AM AN ⊥，所以21212413341AN k kk ==⎛⎫++⋅- ⎪⎝⎭ 因为AM AN =，0k >，212124343k k k =++，整理得()()21440k k k --+=， 2440k k -+=无实根，所以1k =．所以AMN △的面积为221112144223449AM ⎫==⎪+⎭． ⑵直线AM的方程为(y k x =+，联立(2213x y t y k x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩并整理得，()222223230tk x x t k t +++-=解得x =x =所以AM =所以3AN k k=+ 因为2AM AN =所以23k k =+，整理得，23632k k t k -=-． 因为椭圆E 的焦点在x 轴，所以3t >，即236332k k k ->-，整理得()()231202k k k +-<-2k <．（21）（本小题满分12分）(I)讨论函数2(x)e 2x x f x -=+的单调性，并证明当0x >时，(2)e 20;x x x -++> (II)证明：当[0,1)a ∈ 时，函数()2e =(0)x ax a g x x x--> 有最小值.设()g x 的最小值为()h a ，求函数()h a 的值域.【解析】⑴证明：()2e 2x x f x x -=+ ()()()22224e e 222xxx x f x x x x ⎛⎫-' ⎪=+= ⎪+++⎝⎭ ∵当x ∈()()22,-∞--+∞ ，时，()0f x '>∴()f x 在()()22,-∞--+∞，和上单调递增∴0x >时，()2e 0=12x x f x ->-+ ∴()2e 20x x x -++>⑵ ()()()24e 2e x x a x x ax a g x x ----'=()4e 2e 2x x x x ax a x -++=()322e 2x x x a x x-⎛⎫+⋅+⎪+⎝⎭=[)01a ∈， 由(1)知，当0x >时，()2e 2x x f x x -=⋅+的值域为()1-+∞，，只有一解． 使得2e 2t t a t -⋅=-+，(]02t ∈， 当(0,)x t ∈时()0g x '<，()g x 单调减；当(,)x t ∈+∞时()0g x '>，()g x 单调增()()()222e 1e e 1e 22t t tt t t a t t h a t t t -++⋅-++===+ 记()e 2tk t t =+，在(]0,2t ∈时，()()()2e 102t t k t t +'=>+，∴()k t 单调递增 ∴()()21e 24h a k t ⎛⎤=∈ ⎥⎝⎦，．请考生在22、23、24题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,做答时请写清题号（22）（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，在正方形ABCD ，E ，G 分别在边DA ，DC 上（不与端点重合），且DE =DG ，过D 点作DF ⊥CE ，垂足为F .(I) 证明：B ，C ，G ，F 四点共圆；(II)若1AB =，E 为DA 的中点，求四边形BCGF 的面积.【解析】（Ⅰ）证明：∵DF CE ⊥∴Rt Rt DEF CED △∽△∴GDF DEF BCF ∠=∠=∠DF CFDG BC =∵DE DG =，CD BC = ∴DFCFDG BC =∴GDF BCF △∽△∴CFB DFG ∠=∠∴90GFB GFC CFB GFC DFG DFC ∠=∠+∠=∠+∠=∠=︒∴180GFB GCB ∠+∠=︒．∴B ，C ，G ，F 四点共圆．（Ⅱ）∵E 为AD 中点，1AB =， ∴12DG CG DE ===，∴在Rt GFC △中，GF GC =，连接GB ，Rt Rt BCG BFG △≌△， ∴1112=21=222BCG BCGF S S =⨯⨯⨯△四边形．（23）（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程在直线坐标系xOy 中，圆C 的方程为()22625x y ++=．（I ）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C 的极坐标方程；（II ）直线l 的参数方程是cos sin x t y t αα=⎧⎨=⎩（t 为参数），l 与C 交于A 、B两点，AB =l 的斜率． 【解析】解：⑴整理圆的方程得2212110x y +++=，由222cos sin x y x y ρρθρθ⎧=+⎪=⎨⎪=⎩可知圆C 的极坐标方程为212cos 110ρρθ++=．⑵记直线的斜率为k ，则直线的方程为0kx y -=，=即22369014k k =+，整理得253k =，则k = （24）（本小题满分10分），选修4—5：不等式选讲已知函数()1122f x x x =-++，M 为不等式()2f x <的解集. （I ）求M ；（II ）证明：当a ，b M ∈时，1a b ab +<+． 【解析】解：⑴当12x <-时，()11222f x x x x =---=-，若112x -<<-； 当1122x -≤≤时，()111222f x x x =-++=<恒成立； 当12x >时，()2f x x =，若()2f x <，112x <<． 综上可得，{}|11M x x =-<<．⑵当()11a b ∈-，，时，有()()22110a b -->，即22221a b a b +>+， 则2222212a b ab a ab b +++>++，则()()221ab a b +>+， 即1a b ab +<+，证毕．。